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Wie finde ich den kleinsten Wert einer Funktion? Der größte und kleinste Wert einer Funktion auf einem Segment.

Problemstellung 2:

Gegeben sei eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall definiert und stetig ist. Es ist erforderlich, den größten (kleinsten) Wert der Funktion in diesem Intervall zu finden.

Theoretische Basis.
Satz (Zweiter Satz von Weierstraß):

Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall definiert und stetig ist, dann erreicht sie in diesem Intervall ihre Maximal- und Minimalwerte.

Die Funktion kann ihre Maximal- und Minimalwerte entweder an den internen Punkten des Intervalls oder an seinen Grenzen erreichen. Lassen Sie uns alle möglichen Optionen veranschaulichen.

Erläuterung:
1) Die Funktion erreicht ihren der größte Wert am linken Rand des Intervalls am Punkt , und sein kleinster Wert am rechten Rand des Intervalls am Punkt .
2) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert an dem Punkt (dies ist der Maximalpunkt) und ihren Minimalwert an der rechten Grenze des Intervalls an dem Punkt.
3) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am linken Rand des Intervalls am Punkt , und ihren Minimalwert am Punkt (dies ist der Minimalpunkt).
4) Die Funktion ist auf dem Intervall konstant, d.h. es erreicht seine minimalen und maximalen Werte an jedem Punkt im Intervall, und die minimalen und maximalen Werte sind einander gleich.
5) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am Punkt und ihren Minimalwert am Punkt (trotz der Tatsache, dass die Funktion in diesem Intervall sowohl ein Maximum als auch ein Minimum hat).
6) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert an einem Punkt (dies ist der Maximalpunkt) und ihren Minimalwert an einem Punkt (dies ist der Minimalpunkt).
Kommentar:

"Maximum" und "Maximalwert" sind verschiedene Dinge. Dies ergibt sich aus der Definition des Maximums und dem intuitiven Verständnis des Begriffs „Maximalwert“.

Algorithmus zur Lösung von Problem 2.

4) Wählen Sie aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) und schreiben Sie die Antwort auf.

Beispiel 4:

Bestimmen Sie die größten und kleinster Wert Funktionen auf dem Segment.
Lösung:
1) Finde die Ableitung der Funktion.

2) Finde stationäre Punkte (und extremverdächtige Punkte) durch Lösen der Gleichung . Achten Sie auf die Punkte, an denen es keine zweiseitige endliche Ableitung gibt.

3) Berechnen Sie die Werte der Funktion an stationären Punkten und an den Grenzen des Intervalls.

4) Wählen Sie aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) und schreiben Sie die Antwort auf.

Die Funktion auf diesem Segment erreicht ihren Maximalwert an dem Punkt mit den Koordinaten .

Die Funktion auf diesem Segment erreicht ihren Minimalwert an dem Punkt mit den Koordinaten .

Sie können die Richtigkeit der Berechnungen überprüfen, indem Sie sich den Graphen der untersuchten Funktion ansehen.

Kommentar: Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am Maximalpunkt und den Minimalwert am Rand des Segments.

Besonderer Fall.

Angenommen, Sie möchten den maximalen und minimalen Wert einer Funktion auf einem Segment finden. Nach der Ausführung des ersten Absatzes des Algorithmus, d.h. Berechnung des Derivats wird deutlich, dass es beispielsweise nur negative Werte auf dem gesamten betrachteten Segment annimmt. Denken Sie daran, dass die Funktion abnimmt, wenn die Ableitung negativ ist. Wir haben festgestellt, dass die Funktion im gesamten Intervall abnimmt. Diese Situation ist in der Tabelle Nr. 1 am Anfang des Artikels dargestellt.

Die Funktion nimmt im Intervall ab, d.h. es hat keine Extrempunkte. Aus dem Bild ist ersichtlich, dass die Funktion den kleinsten Wert am rechten Rand des Segments und den größten Wert am linken Rand annimmt. Wenn die Ableitung des Intervalls überall positiv ist, steigt die Funktion. Der kleinste Wert steht am linken Rand des Segments, der größte rechts.

Der Prozess, den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden, erinnert an einen faszinierenden Flug um ein Objekt (einen Graphen einer Funktion) mit einem Hubschrauber, bei dem an bestimmten Punkten aus einer Langstreckenkanone geschossen und ausgewählt wird diese Punkte ganz besondere Punkte für Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden darüber weiter sprechen.

Wenn die Funktion j = F(X) kontinuierlich im Intervall [ A, B] , dann gelangt es auf dieses Segment am wenigsten Und höchste Werte . Dies kann entweder in passieren Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten Und die größten Werte der Funktion , stetig im Intervall [ A, B] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments, und wählen Sie dann das kleinste und größte davon aus.

Beispielsweise ist es erforderlich, den Maximalwert der Funktion zu bestimmen F(X) auf dem Segment [ A, B] . Finden Sie dazu alle kritischen Punkte, die auf [ liegen A, B] .

kritischer Punkt heißt der Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat entweder Null ist oder nicht existiert. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an kritischen Stellen berechnen. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( F(A) Und F(B) ). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion auf dem Segment [A, B] .

Das Problem des Findens die kleinsten Werte der Funktion .

Wir suchen gemeinsam den kleinsten und den größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finde den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion. Gleichen Sie die Ableitung mit Null () und erhalten Sie zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen , da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2] . Diese Funktionswerte sind die folgenden: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(in der Grafik unten rot markiert), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(auch rot in der Grafik), ist gleich 9,- am kritischen Punkt .

Wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern beispielsweise ein Intervall ist; der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls werden nicht in das Intervall aufgenommen, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann gibt es unter den Werten der Funktion möglicherweise nicht den kleinsten und den größten. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten dargestellte Funktion auf ]-∞, +∞[ stetig und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns Eins gibt kritischer Punkt: . Es gehört zum Intervall [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an der Spitze und der größte Wert gleich 1 am Punkt .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Es gibt Lehrer, die beim Thema, den kleinsten und größten Wert einer Funktion zu finden, den Schülern keine komplizierteren Beispiele als die gerade betrachteten geben, dh solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder ein Bruch ist, der Zähler und deren Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, da es unter den Lehrern Liebhaber gibt, die Schüler zum vollständigen Denken zu bringen (Tabelle der Ableitungen). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Das Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, an einem Punkt und an einem Punkt und der größte Wert gleich e² , an der Stelle .

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion:

Gleichsetzen Sie die Ableitung mit Null:

Der einzige kritische Punkt gehört zum Segment . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Abschluss: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und der größte Wert, gleich , an dem Punkt .

Bei angewandten Extremalproblemen wird das Finden der kleinsten (größten) Funktionswerte in der Regel auf das Finden des Minimums (Maximums) reduziert. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischem Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit - die Zusammenstellung von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8 Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4, der die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Wie groß sollte der Tank sein, um ihn mit möglichst wenig Material abzudecken?

Lösung. Lassen X- Bodenseite H- Tankhöhe, S- seine Oberfläche ohne Abdeckung, v- sein Volumen. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt , d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S als Funktion einer Variablen verwenden wir die Tatsache, dass , woher . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks H in die Formel für S:

Untersuchen wir diese Funktion für ein Extremum. Sie ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich () und finden den kritischen Punkt. Außerdem existiert bei , die Ableitung nicht, aber dieser Wert ist nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extremum sein. Also, - der einzige kritische Punkt. Lassen Sie uns anhand des zweiten hinreichenden Zeichens auf das Vorhandensein eines Extremums prüfen. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Das heißt, wenn die Funktion ein Minimum erreicht . Weil das Minimum - das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seite des Tankbodens sollte also 2 m und seine Höhe betragen.

Beispiel 9 Aus Absatz A, an der Bahnlinie gelegen, auf den Punkt MIT, davon entfernt l, Waren müssen transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit auf der Schiene betragen , auf der Autobahn . Bis zu welchem Punkt M Linien Eisenbahn Eine Autobahn sollte gebaut werden, damit der Warentransport ab A v MIT war am sparsamsten AB Eisenbahn wird als gerade angenommen)?

Wie findet man die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment?

Dafür Wir folgen dem bekannten Algorithmus:

1 . Wir finden ODZ-Funktionen.

2 . Bestimmung der Ableitung einer Funktion

3 . Setze die Ableitung mit Null gleich

4 . Wir finden die Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Intervall zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion , dann die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

IN der Funktionshöchstpunkt, die Ableitung wechselt das Vorzeichen von "+" nach "-".

IN Minimalpunkt der FunktionAbleitung ändert das Vorzeichen von "-" nach "+".

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten, und Wählen Sie die größte davon, wenn Sie den größten Wert der Funktion finden müssen
oder wir vergleichen den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Minimalpunkten, und Wählen Sie die kleinste davon, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion finden müssen

Je nachdem, wie sich die Funktion auf dem Intervall verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht so aus:

Schauen wir uns einige Beispiele für die Lösung von Problemen an Bank eröffnen Aufgaben für

1 . Aufgabe B15 (#26695)

Auf den Schnitt.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Daher steigt die Funktion an und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert einer Funktion auf dem Segment.

1.ODZ-Funktion title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei Null, ändert jedoch an diesen Stellen nicht das Vorzeichen:

Daher ist title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um zu verdeutlichen, warum die Ableitung ihr Vorzeichen nicht ändert, formen wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt um:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3 . Aufgabe B15 (#26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Intervall .

1. ODZ-Funktionen: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Lassen Sie uns die Wurzeln dieser Gleichung auf einem trigonometrischen Kreis platzieren.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lassen Sie uns die Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte ändert auch die Ableitung das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung der Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (wo die Ableitung das Vorzeichen von "-" zu "+" ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion im Intervall zu finden, müssen Sie die Werte der Funktion vergleichen am Minimalpunkt und am linken Ende des Segments, .

In diesem Artikel werde ich darüber sprechen Algorithmus zum Finden des größten und kleinsten Werts Funktion, minimale und maximale Punkte.

Von der Theorie werden wir auf jeden Fall brauchen Ableitungstabelle Und Unterscheidungsregeln. Es ist alles in diesem Board:

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte.

Ich finde es einfacher zu erklären konkretes Beispiel. Halten:

Beispiel: Finden Sie den größten Wert der Funktion y=x^5+20x^3–65x auf dem Segment [–4;0].

Schritt 1. Wir nehmen die Ableitung.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Schritt 2 Extrempunkte finden.

Extrempunkt wir nennen solche Punkte, an denen die Funktion ihren maximalen oder minimalen Wert erreicht.

Um die Extrempunkte zu finden, ist es notwendig, die Ableitung der Funktion mit Null gleichzusetzen (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Jetzt lösen wir diese biquadratische Gleichung und die gefundenen Wurzeln sind unsere Extrempunkte.

Ich löse solche Gleichungen, indem ich t = x^2 ersetze, dann 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Reduzieren Sie die Gleichung um 5, erhalten wir: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Wir machen die umgekehrte Substitution x^2 = t:

X_(1 und 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 und 4) = ±sqrt(-13) (wir schließen aus, es können keine negativen Zahlen unter der Wurzel stehen, es sei denn, wir sprechen natürlich von komplexen Zahlen)

Summe: x_(1) = 1 und x_(2) = -1 - das sind unsere Extremumspunkte.

Schritt 3 Bestimme den größten und kleinsten Wert.

Substitutionsmethode.

In der Bedingung wurde uns das Segment [b][–4;0] gegeben. Der Punkt x=1 ist in diesem Segment nicht enthalten. Also ziehen wir es nicht in Betracht. Aber neben dem Punkt x=-1 müssen wir auch noch die linke und rechte Grenze unseres Segments berücksichtigen, also die Punkte -4 und 0. Dazu setzen wir alle diese drei Punkte in die ursprüngliche Funktion ein. Beachten Sie, dass das Original dasjenige ist, das in der Bedingung angegeben ist (y = x ^ 5 + 20 x ^ 3–65 x), einige beginnen mit der Substitution in die Ableitung ...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Das bedeutet, dass der Maximalwert der Funktion [b]44 ist und an den Punkten [b]-1 erreicht wird, was als Maximalpunkt der Funktion auf dem Segment [-4; 0].

Wir haben uns entschieden und eine Antwort bekommen, uns geht es super, ihr könnt euch entspannen. Aber halt! Findest du nicht, dass das Zählen von y(-4) irgendwie zu kompliziert ist? Bei begrenzter Zeit ist es besser, eine andere Methode zu verwenden, ich nenne sie so:

Durch Intervalle der Beständigkeit.

Diese Lücken findet man bei der Ableitung der Funktion, also bei unserer biquadratischen Gleichung.

Ich mache es auf folgende Weise. Ich zeichne eine Richtungslinie. Ich setze die Punkte: -4, -1, 0, 1. Obwohl die 1 nicht im angegebenen Segment enthalten ist, sollte sie dennoch notiert werden, um die Konstanzintervalle korrekt zu bestimmen. Nehmen wir eine Zahl, die um ein Vielfaches größer als 1 ist, sagen wir 100, setzen Sie sie gedanklich in unsere biquadratische Gleichung 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 ein. Auch ohne etwas zu zählen, wird es offensichtlich, dass am Punkt 100 Die Funktion hat ein Pluszeichen. Das bedeutet, dass es für Intervalle von 1 bis 100 ein Pluszeichen hat. Beim Durchlaufen von 1 (wir gehen von rechts nach links) ändert die Funktion das Vorzeichen in Minus. Beim Durchgang durch den Punkt 0 behält die Funktion ihr Vorzeichen, da dies nur die Grenze des Segments und nicht die Wurzel der Gleichung ist. Beim Durchlaufen von -1 ändert die Funktion wieder das Vorzeichen auf Plus.

Aus der Theorie wissen wir, wo die Ableitung der Funktion ist (und wir haben das dafür gezeichnet) ändert das Vorzeichen von Plus auf Minus (Punkt -1 in unserem Fall) Funktion erreicht sein lokales Maximum (y(-1)=44 wie zuvor berechnet) auf diesem Segment (das ist logisch sehr klar, die Funktion hat aufgehört zu steigen, da sie ihr Maximum erreicht hat und zu fallen begann).

Dementsprechend wo die Ableitung der Funktion ändert das Vorzeichen von Minus auf Plus, erreicht lokales Minimum einer Funktion. Ja, ja, wir haben auch den lokalen Minimalpunkt gefunden, der 1 ist, und y(1) ist der Minimalwert der Funktion auf dem Intervall, sagen wir von -1 bis +∞. Bitte beachten Sie, dass dies nur ein LOKALES MINIMUM ist, d. h. ein Minimum auf einem bestimmten Segment. Denn irgendwo dort, in -∞, wird die eigentliche (globale) Minimumfunktion liegen.

Meiner Meinung nach ist die erste Methode theoretisch einfacher und die zweite arithmetisch einfacher, aber theoretisch viel schwieriger. Schließlich gibt es manchmal Fälle, in denen die Funktion beim Durchgang durch die Wurzel der Gleichung nicht das Vorzeichen ändert, und tatsächlich kann man mit diesen lokalen, globalen Maxima und Minima verwechselt werden, obwohl man es sowieso gut beherrschen muss, wenn man plant eine technische Universität zu betreten (und für was sonst noch zu geben Profil Prüfung und dieses Problem lösen). Aber Übung und nur Übung wird dich lehren, solche Probleme ein für alle Mal zu lösen. Und Sie können auf unserer Website trainieren. Hier .

Wenn Sie Fragen haben oder etwas nicht klar ist, fragen Sie unbedingt nach. Ich werde Ihnen gerne antworten und Änderungen und Ergänzungen des Artikels vornehmen. Denken Sie daran, dass wir diese Seite gemeinsam erstellen!

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