Die Formel für die Differenz einer arithmetischen Folge. Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

Arithmetische Progression eine Zahlenfolge benennen (Mitglieder einer Progression)

Dabei unterscheidet sich jeder nachfolgende Begriff vom vorherigen durch einen Stahlbegriff, der auch genannt wird Schritt- oder Progressionsunterschied.

Wenn Sie also den Schritt der Progression und ihren ersten Term festlegen, können Sie jedes ihrer Elemente mithilfe der Formel finden

Eigenschaften einer arithmetischen Folge

1) Jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit der zweiten Zahl, ist das arithmetische Mittel des vorherigen und nächsten Glieds der Folge

Auch die Umkehrung gilt. Wenn das arithmetische Mittel benachbarter ungerader (gerader) Glieder der Reihe gleich dem dazwischen stehenden Glied ist, dann ist diese Zahlenfolge eine arithmetische Reihe. Durch diese Behauptung ist es sehr einfach, jede Folge zu überprüfen.

Auch durch die Eigenschaft der arithmetischen Progression kann die obige Formel wie folgt verallgemeinert werden

Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn wir die Terme rechts vom Gleichheitszeichen schreiben

Es wird in der Praxis oft verwendet, um Berechnungen in Problemen zu vereinfachen.

2) Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge wird durch die Formel berechnet

Merken Sie sich gut die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge, sie ist bei Berechnungen unentbehrlich und in einfachen Lebenssituationen durchaus üblich.

3) Wenn Sie nicht die gesamte Summe finden müssen, sondern einen Teil der Folge, beginnend mit ihrem k-ten Glied, dann wird Ihnen die folgende Summenformel nützlich sein

4) Es ist von praktischem Interesse, die Summe von n Gliedern einer arithmetischen Folge ausgehend von der k-ten Zahl zu finden. Verwenden Sie dazu die Formel

Darauf theoretischer Stoff endet und wir gehen weiter zur Lösung gemeinsamer praktischer Probleme.

Beispiel 1. Finden Sie das vierzigste Glied der arithmetischen Folge 4;7;...

Lösung:

Entsprechend der Bedingung haben wir

Definieren Sie den Fortschrittsschritt

Nach der bekannten Formel finden wir das vierzigste Glied der Progression

Beispiel2. Arithmetische Progression wird von seinem dritten und siebten Mitglied gegeben. Finde den ersten Term der Progression und die Zehnersumme.

Lösung:

Wir schreiben die gegebenen Elemente der Progression nach den Formeln

Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, als Ergebnis finden wir den Progressionsschritt

Der gefundene Wert wird in eine der Gleichungen eingesetzt, um den ersten Term der arithmetischen Folge zu finden

Berechnen Sie die Summe der ersten zehn Terme der Progression

Ohne komplexe Berechnungen haben wir alle erforderlichen Werte gefunden.

Beispiel 3. Eine arithmetische Folge wird durch den Nenner und eines seiner Mitglieder gegeben. Ermitteln Sie den ersten Term der Progression, die Summe der 50 Terme ab 50 und die Summe der ersten 100.

Lösung:

Lassen Sie uns die Formel für das hundertste Element der Progression schreiben

und finde den ersten

Basierend auf dem ersten finden wir den 50. Term der Progression

Ermitteln der Summe des Teils der Progression

und die Summe der ersten 100

Die Summe der Progression beträgt 250.

Beispiel 4

Finden Sie die Anzahl der Mitglieder einer arithmetischen Folge, wenn:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lösung:

Wir schreiben die Gleichungen in Bezug auf den ersten Term und den Schritt der Progression und definieren sie

Wir setzen die erhaltenen Werte in die Summenformel ein, um die Anzahl der Mitglieder in der Summe zu bestimmen

Vereinfachungen vornehmen

und lösen Sie die quadratische Gleichung

Von den beiden gefundenen Werten ist nur die Zahl 8 für die Problemstellung geeignet. Somit ist die Summe der ersten acht Terme der Progression 111.

Beispiel 5

löse die Gleichung

1+3+5+...+x=307.

Lösung: Diese Gleichung ist die Summe einer arithmetischen Folge. Wir schreiben seinen ersten Term aus und finden den Unterschied der Progression

Die Summe einer arithmetischen Progression.

Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber es gibt allerlei Aufgaben zu diesem Thema. Von elementar bis ziemlich solide.

Beschäftigen wir uns zunächst mit der Bedeutung und Formel der Summe. Und dann entscheiden wir. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung der Summe ist so einfach wie Lowing. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, müssen Sie nur alle ihre Mitglieder sorgfältig addieren. Wenn diese Terme wenige sind, können Sie ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel ... Addition ist ärgerlich.) In diesem Fall spart die Formel.

Die Summenformel ist einfach:

Lassen Sie uns herausfinden, welche Art von Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges aufklären.

Sn ist die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alle Mitglieder, mit Erste Von zuletzt. Es ist wichtig. Füge genau hinzu Alle Mitglieder in einer Reihe, ohne Lücken und Sprünge. Und, genau, ab Erste. Bei Problemen wie dem Ermitteln der Summe des dritten und achten Glieds oder der Summe der Glieder fünf bis zwanzig wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschend sein.)

eine 1 - Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.

ein- zuletzt Mitglied der Progression. letzte Zahl Reihe. Kein sehr geläufiger Name, aber auf die Menge bezogen sehr passend. Dann wirst du es selbst sehen.

N ist die Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Mitglieder überein.

Lassen Sie uns das Konzept definieren zuletzt Mitglied ein. Füllfrage: Welche Art von Mitglied wird zuletzt, falls gegeben endlos arithmetische Folge?

Für eine sichere Antwort müssen Sie die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge verstehen und ... die Aufgabe sorgfältig lesen!)

Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu finden, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt werden soll. Andernfalls eine endliche, bestimmte Menge existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, welche Progression gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es gegeben ist: durch eine Reihe von Zahlen oder durch die Formel des n-ten Glieds.

Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Glied der Progression bis zum Glied mit der Zahl funktioniert N. Eigentlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Zahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. N, wird allein durch die Aufgabenstellung bestimmt. In der Aufgabe werden all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... Aber nichts, in den folgenden Beispielen werden wir diese Geheimnisse enthüllen.)

Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.

Vor allem, eine nützliche Information:

Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge ist die richtige Bestimmung der Elemente der Formel.

Die Autoren der Aufgaben verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Die Hauptsache hier ist, keine Angst zu haben. Um die Essenz der Elemente zu verstehen, genügt es, sie zu entschlüsseln. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.

1. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Finde die Summe der ersten 10 Terme.

Gut gemacht. Einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge nach der Formel zu bestimmen? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Begriffs N.

Wo bekommt man die letzte Mitgliedsnummer N? Ja, an gleicher Stelle, im Zustand! Es sagt, finden Sie die Summe ersten 10 Mitglieder. Nun, welche Nummer wird es sein zuletzt, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein wir werden in die Formel einsetzen eine 10, aber stattdessen N- zehn. Auch hier ist die Nummer des letzten Mitglieds gleich der Anzahl der Mitglieder.

Es bleibt zu bestimmen eine 1 Und eine 10. Dies lässt sich leicht durch die Formel des n-ten Terms berechnen, die in der Aufgabenstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie es geht? Besuchen Sie die vorherige Lektion, ohne dies - nichts.

eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

eine 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

Sn = S10.

Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt, sie zu ersetzen und zu zählen:

Das ist alles dazu. Antwort: 75.

Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:

2. Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; ein 1 \u003d 2,3. Finde die Summe der ersten 15 Terme.

Wir schreiben sofort die Summenformel:

Diese Formel ermöglicht es uns, den Wert eines beliebigen Mitglieds anhand seiner Nummer zu ermitteln. Wir suchen nach einer einfachen Substitution:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Es bleibt übrig, alle Elemente in der Formel durch die Summe einer arithmetischen Folge zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:

Antwort: 423.

Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein ersetzen Sie einfach die Formel des n-ten Terms, wir erhalten:

Geben wir ähnliche an, erhalten wir eine neue Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge:

Wie Sie sehen können, besteht keine Notwendigkeit ntes Mitglied ein. Bei manchen Aufgaben hilft diese Formel sehr, ja ... Sie können sich diese Formel merken. Und Sie können es einfach zum richtigen Zeitpunkt abheben, wie hier. Schließlich muss man sich die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term unbedingt merken.)

Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):

3. Finden Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.

Wie! Kein erstes Mitglied, kein letztes, überhaupt keine Progression ... Wie soll man leben!?

Sie müssen mit Ihrem Kopf denken und aus der Bedingung alle Elemente der Summe einer arithmetischen Folge ziehen. Was sind zweistellige Zahlen - wir wissen es. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird Erste? 10, vermutlich.) letztes Ding zweistellige Zahl? 99 natürlich! Die dreistelligen werden ihm folgen ...

Vielfache von drei ... Hm ... Das sind hier Zahlen, die ohne Rest durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können je nach Problemstellung bereits eine Reihe schreiben:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Wird diese Reihe eine arithmetische Folge sein? Sicherlich! Jeder Begriff unterscheidet sich vom vorherigen strikt um drei. Wenn dem Term beispielsweise 2 oder 4 hinzugefügt wird, ist das Ergebnis, d.h. eine neue Zahl wird nicht mehr durch 3 geteilt. Sie können sofort die Differenz der arithmetischen Progression zum Haufen feststellen: d = 3. Nützlich!)

Wir können also sicher einige Progressionsparameter aufschreiben:

Wie wird die Nummer sein N letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 irrt, der irrt gewaltig ... Zahlen - sie gehen immer hintereinander, und unsere Mitglieder springen über die ersten drei. Sie passen nicht zusammen.

Hier gibt es zwei Lösungen. Ein Weg ist für die super Fleißigen. Sie können den Verlauf, die ganze Zahlenreihe malen und die Anzahl der Begriffe mit dem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für die Nachdenklichen. Sie müssen sich die Formel für den n-ten Term merken. Wenn die Formel auf unser Problem angewendet wird, erhalten wir, dass 99 das dreißigste Glied der Progression ist. Diese. n = 30.

Wir betrachten die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge:

Wir schauen und freuen uns.) Wir haben alles Notwendige herausgezogen, um den Betrag aus dem Zustand des Problems zu berechnen:

eine 1= 12.

eine 30= 99.

Sn = S30.

Was bleibt, ist elementare Arithmetik. Ersetzen Sie die Zahlen in der Formel und berechnen Sie:

Antwort: 1665

Eine andere Art von beliebten Rätseln:

4. Eine arithmetische Progression ist gegeben:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Ermitteln Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.

Wir sehen uns die Summenformel an und ... wir sind verärgert.) Die Formel, ich möchte Sie daran erinnern, berechnet die Summe vom ersten Mitglied. Und in dem Problem müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.

Sie können natürlich die gesamte Progression hintereinander malen und die Mitglieder von 20 bis 34 setzen. Aber ... irgendwie stellt sich das als dumm und lang heraus, oder?)

Es gibt eine elegantere Lösung. Lassen Sie uns unsere Serie in zwei Teile aufteilen. Der erste Teil wird von der ersten Amtszeit bis zum neunzehnten. Zweiter Teil - zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S1-19, addieren wir es zur Summe der Mitglieder des zweiten Teils S 20-34, erhalten wir die Summe der Progression vom ersten Term bis zum vierunddreißigsten S1-34. So:

S1-19 + S 20-34 = S1-34

Dies zeigt, dass die Summe zu finden S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen

S 20-34 = S1-34 - S1-19

Beide Summen auf der rechten Seite werden berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. die Standard-Summenformel ist durchaus anwendbar auf sie. Fangen wir an?

Wir extrahieren die Progressionsparameter aus der Aufgabenbedingung:

d = 1,5.

eine 1= -21,5.

Um die Summen der ersten 19 und der ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und 34. Term. Wir zählen sie nach der Formel des n-ten Terms, wie in Aufgabe 2:

eine 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

eine 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Da ist nichts mehr übrig. Subtrahiere die Summe von 19 Termen von der Summe von 34 Termen:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Antwort: 262.5

Ein wichtiger Hinweis! Es gibt eine sehr nützliche Funktion zur Lösung dieses Problems. Statt direkter Berechnung was du brauchst (S 20-34), wir haben gezählt was anscheinend nicht benötigt wird - S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem vollständigen Ergebnis verworfen wird. Eine solche "Täuschung mit den Ohren" erspart oft böse Rätsel.)

In dieser Lektion haben wir Probleme untersucht, für die es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)

praktische Ratschläge:

Wenn Sie ein Problem für die Summe einer arithmetischen Folge lösen, empfehle ich, die beiden Hauptformeln aus diesem Thema sofort aufzuschreiben.

Formel des n-ten Terms:

Diese Formeln sagen Ihnen sofort, wonach Sie suchen müssen, in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.

Und nun die Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

5. Finde die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.

Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Aufgabe 4 versteckt. Nun, Aufgabe 3 wird helfen.

6. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben: a 1 = –5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finde die Summe der ersten 24 Terme.

Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber in der vorherigen Lektion lesen. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Rätsel sind häufig im GIA zu finden.

7. Vasya hat Geld für den Urlaub gespart. So viel wie 4550 Rubel! Und ich beschloss, der am meisten geliebten Person (mich) ein paar Tage des Glücks zu schenken). Lebe schön, ohne dir etwas zu versagen. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und geben Sie an jedem weiteren Tag 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld aufgebraucht ist. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?

Ist es schwierig?) Eine zusätzliche Formel aus Aufgabe 2 hilft weiter.

Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

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Beim Studium der Algebra in allgemeinbildende Schule(Klasse 9) einer von wichtige Themen ist das Studium numerischer Folgen, zu denen Progressionen gehören - geometrisch und arithmetisch. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Progression und Beispiele mit Lösungen.

Was ist eine arithmetische Progression?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den betrachteten Ablauf zu definieren sowie die grundlegenden Formeln anzugeben, die bei der Lösung von Problemen weiter verwendet werden.

Arithmetik oder ist eine solche Menge geordneter rationaler Zahlen, von denen sich jedes Mitglied durch einen konstanten Wert vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird Differenz genannt. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied einer geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.

Nehmen wir ein Beispiel. Die nächste Zahlenfolge ist eine arithmetische Folge: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 ist (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Aber die Zahlenmenge 3, 5, 8, 12, 17 kann nicht mehr der betrachteten Progressionsart zugeordnet werden, da die Differenz dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Wichtige Formeln

Wir geben jetzt die grundlegenden Formeln an, die benötigt werden, um Probleme mit einer arithmetischen Progression zu lösen. Sei a n das n-te Glied der Folge, wobei n eine ganze Zahl ist. Lassen Sie uns den Unterschied bezeichnen Lateinischer Buchstabe D. Dann sind die folgenden Ausdrücke wahr:

1. Um den Wert des n-ten Terms zu bestimmen, eignet sich die Formel: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n + a 1)*n/2.

Um Beispiele für eine arithmetische Progression mit einer Lösung in Klasse 9 zu verstehen, reicht es aus, sich an diese beiden Formeln zu erinnern, da alle Probleme der betrachteten Art auf ihrer Verwendung aufbauen. Vergessen Sie auch nicht, dass die Progressionsdifferenz durch die Formel bestimmt wird: d = a n - a n-1 .

Beispiel #1: Suche nach einem unbekannten Mitglied

Wir geben ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und die Formeln, die zur Lösung verwendet werden müssen.

Sei die Folge 10, 8, 6, 4, ... gegeben, es müssen fünf Terme darin gefunden werden.

Aus den Bedingungen des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Die Quinte kann auf zwei Arten definiert werden:

1. Lassen Sie uns zuerst die Differenz berechnen. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. Ebenso könnte man zwei beliebige andere Terme nehmen, die nebeneinander stehen. Beispiel: d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d \u003d a n - a n-1, dann d \u003d a 5 - a 4, woher wir bekommen: a 5 \u003d a 4 + d. Wir ersetzen die bekannten Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Die zweite Methode erfordert ebenfalls die Kenntnis des Unterschieds der betreffenden Progression, also müssen Sie ihn zuerst bestimmen, wie oben gezeigt (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die Zahl n der Folge. Wir haben: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Setzen wir n = 5 in den letzten Ausdruck ein, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Wie Sie sehen, führen beide Lösungen zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Differenz d der Progression negativ ist. Solche Folgen werden als abnehmend bezeichnet, weil jeder nachfolgende Term kleiner als der vorherige ist.

Beispiel #2: Progressionsunterschied

Lassen Sie uns die Aufgabe jetzt ein wenig komplizieren und ein Beispiel geben, wie Sie den Unterschied einer arithmetischen Folge ermitteln können.

Es ist bekannt, dass in einigen algebraischen Progressionen der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Folge zum 7. Term wiederherzustellen.

Lassen Sie uns die Formel verwenden, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Wir ersetzen die bekannten Daten aus der Bedingung, dh die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 \u003d 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie leicht die Differenz berechnen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Damit war der erste Teil der Aufgabe gelöst.

Um die Folge bis zum 7. Glied wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Progression verwenden, dh a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d und so weiter. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 und 7 = 18.

Beispiel Nr. 3: eine Progression machen

Lassen Sie uns die Bedingung des Problems noch komplizierter machen. Jetzt müssen Sie die Frage beantworten, wie Sie eine arithmetische Progression finden. Wir können folgendes Beispiel geben: Es sind zwei Zahlen gegeben, zum Beispiel 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Folge zu machen, damit drei weitere Terme dazwischen passen.

Bevor Sie mit der Lösung dieses Problems beginnen, müssen Sie verstehen, welchen Platz die angegebenen Zahlen in der zukünftigen Progression einnehmen werden. Da zwischen ihnen drei weitere Terme stehen, dann eine 1 \u003d -4 und eine 5 \u003d 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, fahren wir mit einer Aufgabe fort, die der vorherigen ähnlich ist. Auch hier verwenden wir für den n-ten Term die Formel, wir erhalten: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Aus: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Hier ist die Differenz kein ganzzahliger Wert, sondern eine rationale Zahl, sodass die Formeln für die algebraische Progression gleich bleiben.

Jetzt addieren wir den gefundenen Unterschied zu einer 1 und stellen die fehlenden Mitglieder der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, was mit der Bedingung des Problems übereinstimmte.

Beispiel #4: Das erste Mitglied der Progression

Wir geben weiterhin Beispiele für eine arithmetische Folge mit einer Lösung. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten wir nun ein Problem anderer Art: Gegeben seien zwei Zahlen, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es ist notwendig herauszufinden, ab welcher Zahl diese Folge beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. Über diese Zahlen ist im Zustand des Problems nichts bekannt. Schreiben wir trotzdem die Ausdrücke für jeden Begriff, über den wir Informationen haben: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen, in denen es 2 Unbekannte gibt (a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.

Das angegebene System lässt sich am einfachsten lösen, wenn Sie in jeder Gleichung eine 1 ausdrücken und dann die resultierenden Ausdrücke vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, woher die Differenz d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (nur 3 Dezimalstellen sind angegeben).

Wenn Sie d kennen, können Sie jeden der beiden obigen Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, können Sie es überprüfen, indem Sie beispielsweise das 43. Glied der Progression bestimmen, das in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Ein kleiner Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.

Beispiel #5: Summe

Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.

Gegeben sei eine Zahlenreihe folgender Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?

Dank der Entwicklung der Computertechnologie kann dieses Problem gelöst werden, dh alle Zahlen nacheinander addieren, was der Computer tut, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem lässt sich aber gedanklich lösen, wenn man darauf achtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz 1 ist. Wendet man die Summenformel an, erhält man: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Es ist merkwürdig, dass dieses Problem "Gaußsche" genannt wird, da der berühmte Deutsche es Anfang des 18. Jahrhunderts im Alter von nur 10 Jahren in wenigen Sekunden in Gedanken lösen konnte. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer dasselbe Ergebnis erhält, wenn man Zahlenpaare addiert, die sich an den Rändern der Folge befinden, nämlich 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) sein werden, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel #6: Summe der Terme von n bis m

Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das folgende: Bei einer Reihe von Zahlen: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie die Summe ihrer Glieder von 8 bis 14 finden.

Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Terme von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zu summieren. Da es nur wenige Terme gibt, ist diese Methode nicht mühsam genug. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem durch die zweite Methode zu lösen, die universeller ist.

Die Idee ist, eine Formel für die Summe einer algebraischen Folge zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Für beide Fälle schreiben wir zwei Ausdrücke für die Summe:

1. S m \u003d m * (am + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (ein n + ein 1) / 2.

Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2-Summe die erste enthält. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen bilden und den Term a m dazu addieren (im Falle der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + ein n * n / 2 + ein m * (1- m / 2). Es ist notwendig, Formeln für ein n und ein m in diesen Ausdruck einzusetzen. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen einsetzen, erhalten wir: S mn = 301.

Wie aus den obigen Lösungen ersichtlich ist, basieren alle Aufgaben auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, dass Sie die Bedingung sorgfältig lesen, klar verstehen, was Sie finden möchten, und erst dann mit der Lösung fortfahren.

Ein weiterer Tipp ist, sich um Einfachheit zu bemühen, dh wenn Sie die Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers geringer ist. Zum Beispiel könnte man im Beispiel einer arithmetischen Progression mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am anhalten, und aufgeteilt gemeinsame Aufgabe in separate Teilaufgaben (in dieser Fall Finden Sie zuerst die Terme a n und a m).

Wenn Zweifel am erzielten Ergebnis bestehen, wird empfohlen, es zu überprüfen, wie dies in einigen der angegebenen Beispiele geschehen ist. Wie man eine arithmetische Progression findet, herausgefunden. Wenn du es einmal herausgefunden hast, ist es nicht so schwer.

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Arithmetische Progression

Eine arithmetische Folge ist eine besondere Art von Folge. Bevor wir also die arithmetische (und dann die geometrische) Progression definieren, müssen wir kurz diskutieren wichtiges Konzept Zahlenfolge.

Folge

Stellen Sie sich ein Gerät vor, auf dessen Bildschirm nacheinander einige Zahlen angezeigt werden. Sagen wir 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Eine solche Zahlenfolge ist nur ein Beispiel für eine Folge.

Definition. Eine Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen, in denen jeder Zahl eine eindeutige Zahl zugeordnet werden kann (d. h. einer einzelnen natürlichen Zahl zugeordnet werden kann)1. Die Nummer mit der Nummer n wird angerufen ntes Mitglied Sequenzen.

Im obigen Beispiel hat die erste Zahl also die Zahl 2, die das erste Glied der Folge ist, die mit a1 bezeichnet werden kann; die Nummer fünf hat die Nummer 6, die das fünfte Glied der Sequenz ist, die als a5 bezeichnet werden kann. Im Allgemeinen wird das n-te Glied einer Sequenz mit an (oder bn , cn usw.) bezeichnet.

Eine sehr bequeme Situation ist, wenn das n-te Glied der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Beispielsweise gibt die Formel an = 2n 3 die Folge an: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Die Formel an = (1)n definiert die Folge: 1; 1; 1; 1; : : :

Nicht jede Zahlenreihe ist eine Folge. Ein Segment ist also keine Sequenz; es enthält ¾zu viele¿ Nummern, um neu nummeriert zu werden. Auch die Menge R aller reellen Zahlen ist keine Folge. Diese Tatsachen werden im Laufe der mathematischen Analyse bewiesen.

Arithmetische Progression: grundlegende Definitionen

Jetzt können wir eine arithmetische Folge definieren.

Definition. Eine arithmetische Folge ist eine Sequenz, in der jeder Term (beginnend mit dem zweiten) gleich der Summe des vorherigen Terms und einer festen Zahl ist (die als Differenz der arithmetischen Folge bezeichnet wird).

Zum Beispiel Sequenz 2; 5; 8; elf; : : : ist eine arithmetische Folge mit erstem Glied 2 und Differenz 3. Folge 7; 2; 3; 8; : : : ist eine arithmetische Folge mit erstem Glied 7 und Differenz 5. Folge 3; 3; 3; : : : ist eine arithmetische Folge ohne Differenz.

Äquivalente Definition: Eine Folge an heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz an+1 an ein konstanter Wert ist (unabhängig von n).

Eine arithmetische Progression heißt steigend, wenn ihre Differenz positiv ist, und fallend, wenn ihre Differenz negativ ist.

1 Und hier ist eine prägnantere Definition: Eine Folge ist eine Funktion, die auf der Menge natürlicher Zahlen definiert ist. Die Folge reeller Zahlen ist beispielsweise die Funktion f: N! R.

Standardmäßig werden Sequenzen als unendlich betrachtet, d. h. sie enthalten eine unendliche Anzahl von Zahlen. Aber niemand macht sich die Mühe, auch endliche Folgen zu berücksichtigen; Tatsächlich kann jede endliche Menge von Zahlen eine endliche Folge genannt werden. Zum Beispiel die letzte Sequenz 1; 2; 3; 4; 5 besteht aus fünf Zahlen.

Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge

Es ist leicht zu verstehen, dass eine arithmetische Progression vollständig durch zwei Zahlen bestimmt wird: den ersten Term und die Differenz. Daher stellt sich die Frage: Wie findet man, wenn man den ersten Term und die Differenz kennt, einen beliebigen Term einer arithmetischen Folge?

Es ist nicht schwierig, die gewünschte Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge zu erhalten. Lassen Sie ein

arithmetische Progression mit Differenz d. Wir haben:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Insbesondere schreiben wir:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
und jetzt wird klar, dass die Formel für an lautet:
an = a1 + (n 1)d:

Aufgabe 1. In arithmetischer Progression 2; 5; 8; elf; : : : Finden Sie die Formel des n-ten Terms und berechnen Sie den hundertsten Term.

Lösung. Nach Formel (1) gilt:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Eigenschaft und Zeichen der arithmetischen Progression

Eigenschaft einer arithmetischen Folge. In der arithmetischen Folge ein für alle

Mit anderen Worten, jedes Glied der arithmetischen Folge (beginnend mit dem zweiten) ist das arithmetische Mittel der benachbarten Glieder.

	Nachweisen. Wir haben:
	ein n 1+ ein n+1		(ein d) + (ein + d)

was erforderlich war.

Allgemeiner erfüllt die arithmetische Progression die Gleichheit

ein n = ein n k+ ein n+k

für jedes n > 2 und jedes natürliche k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Es stellt sich heraus, dass Formel (2) nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass eine Folge eine arithmetische Folge ist.

Zeichen einer arithmetischen Progression. Wenn Gleichheit (2) für alle n > 2 gilt, dann ist die Folge an eine arithmetische Folge.

Nachweisen. Schreiben wir die Formel (2) wie folgt um:

ein na n 1= ein n+1a n:

Dies zeigt, dass die Differenz an+1 an nicht von n abhängt, was lediglich bedeutet, dass die Folge an eine arithmetische Folge ist.

Eigenschaft und Vorzeichen einer arithmetischen Folge lassen sich als eine Aussage formulieren; Der Einfachheit halber werden wir dies für drei Zahlen tun (dies ist die Situation, die häufig bei Problemen auftritt).

Charakterisierung einer arithmetischen Progression. Drei Zahlen a, b, c bilden genau dann eine arithmetische Folge, wenn 2b = a + c.

Aufgabe 2. (Staatliche Universität Moskau, Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, 2007) Drei Zahlen 8x, 3 x2 und 4 in der angegebenen Reihenfolge bilden eine fallende arithmetische Folge. Finde x und schreibe die Differenz dieser Progression auf.

Lösung. Nach der Eigenschaft einer arithmetischen Progression gilt:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Bei x = 1 ergibt sich eine abnehmende Progression von 8, 2, 4 bei einer Differenz von 6. Bei x = 5 ergibt sich eine steigende Progression von 40, 22, 4; Dieser Fall funktioniert nicht.

Antwort: x = 1, die Differenz ist 6.

Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

Die Legende besagt, dass der Lehrer den Kindern einmal sagte, sie sollten die Summe der Zahlen von 1 bis 100 finden, und sich hinsetzte, um leise die Zeitung zu lesen. Doch innerhalb weniger Minuten sagte ein Junge, dass er das Problem gelöst habe. Es war der 9-jährige Carl Friedrich Gauß, später einer der größten Mathematiker der Geschichte.

Die Idee des kleinen Gauss war folgende. Lassen

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Schreiben wir diese Summe in umgekehrter Reihenfolge:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

und füge diese beiden Formeln hinzu:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Jeder Term in Klammern entspricht 101, und es gibt insgesamt 100 solcher Terme

2S = 101 100 = 10100;

Wir verwenden diese Idee, um die Summenformel herzuleiten

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Eine nützliche Modifikation der Formel (3) erhält man durch Einsetzen der Formel für den n-ten Term an = a1 + (n 1)d darin:

		2a1 + (n 1)d

Aufgabe 3. Finden Sie die Summe aller positiven dreistelligen Zahlen, die durch 13 teilbar sind.

Lösung. Dreistellige Zahlen, die Vielfache von 13 sind, bilden eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied 104 und der Differenz 13; Der n-te Term dieser Progression ist:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Mitglieder unsere Progression enthält. Dazu lösen wir die Ungleichung:

ein 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; Nr. 6 69:

Es gibt also 69 Mitglieder in unserer Progression. Nach der Formel (4) finden wir die erforderliche Menge:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674 : 2