Σπίτι › Διάφορα › Πυθαγόρειες τριάδες και ο αριθμός τους. Σύγχρονες τεχνολογίες έντασης επιστήμης Πρώτοι αριθμοί ως μέρος των Πυθαγόρειων τριπλών

Πυθαγόρειες τριάδες και ο αριθμός τους. Σύγχρονες τεχνολογίες έντασης επιστήμης Πρώτοι αριθμοί ως μέρος των Πυθαγόρειων τριπλών

«Περιφερειακό Κέντρο Εκπαίδευσης»

Μεθοδική ανάπτυξη

Χρήση Πυθαγόρειων τριπλών στην επίλυση

γεωμετρικά προβλήματα και τριγωνομετρικές εργασίες ΧΡΗΣΗ

Kaluga, 2016

Εισαγωγή

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα κύρια και, θα έλεγε κανείς, το πιο σημαντικό θεώρημα της γεωμετρίας. Η σημασία του έγκειται στο γεγονός ότι τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν από αυτό ή με τη βοήθειά του. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι επίσης αξιοσημείωτο στο ότι από μόνο του δεν είναι καθόλου προφανές. Για παράδειγμα, οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου φαίνονται απευθείας στο σχέδιο. Αλλά ανεξάρτητα από το πώς κοιτάξετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, δεν θα δείτε ποτέ ότι υπάρχει μια τόσο απλή αναλογία μεταξύ των πλευρών του: a2+b2=γ2. Ωστόσο, δεν ήταν ο Πυθαγόρας που ανακάλυψε το θεώρημα που φέρει το όνομά του. Ήταν γνωστό και νωρίτερα, αλλά ίσως μόνο ως γεγονός που προέρχεται από μετρήσεις. Προφανώς, ο Πυθαγόρας το γνώριζε αυτό, αλλά βρήκε αποδείξεις.

Υπάρχει άπειρος αριθμός φυσικών αριθμών α, β, γ, ικανοποιώντας τη σχέση a2+b2=γ2.. Λέγονται Πυθαγόρειοι αριθμοί. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, τέτοιοι αριθμοί μπορούν να χρησιμεύσουν ως τα μήκη των πλευρών κάποιου ορθογώνιου τριγώνου - θα τους ονομάσουμε Πυθαγόρεια τρίγωνα.

Στόχος της εργασίας:να μελετήσει τη δυνατότητα και την αποτελεσματικότητα χρήσης Πυθαγόρειων τριπλών για την επίλυση προβλημάτων σχολικού μαθήματος μαθηματικών, εργασίες ΧΡΗΣΗΣ.

Με βάση το σκοπό της εργασίας, τα ακόλουθα καθήκοντα:

Να μελετήσει την ιστορία και την ταξινόμηση των Πυθαγόρειων τριπλών. Αναλύστε εργασίες χρησιμοποιώντας πυθαγόρεια τριάδες που είναι διαθέσιμες στα σχολικά εγχειρίδια και βρίσκονται στα υλικά ελέγχου και μέτρησης της εξέτασης. Αξιολογήστε την αποτελεσματικότητα της χρήσης Πυθαγόρειων τριπλών και των ιδιοτήτων τους για την επίλυση προβλημάτων.

Αντικείμενο μελέτης: Πυθαγόρειες τριάδες αριθμών.

Αντικείμενο μελέτης: εργασίες του σχολικού μαθήματος τριγωνομετρίας και γεωμετρίας, στο οποίο χρησιμοποιούνται πυθαγόρειες τριάδες.

Η συνάφεια της έρευνας. Οι πυθαγόρειες τριάδες χρησιμοποιούνται συχνά στη γεωμετρία και την τριγωνομετρία, γνωρίζοντας ότι θα εξαλειφθούν τα λάθη στους υπολογισμούς και θα εξοικονομηθεί χρόνος.

II. Κύριο μέρος. Επίλυση προβλημάτων με χρήση πυθαγόρειων τριπλών.

2.1 Πίνακας τριπλών πυθαγόρειων αριθμών (σύμφωνα με τον Perelman)

Οι πυθαγόρειοι αριθμοί έχουν τη μορφή ένα= m n, , όπου m και n είναι κάποιοι συμπρώτοι περιττοί αριθμοί.

Οι Πυθαγόρειοι αριθμοί έχουν μια σειρά από ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά:

Ένα από τα «πόδια» πρέπει να είναι πολλαπλάσιο των τριών.

Ένα από τα «πόδια» πρέπει να είναι πολλαπλάσιο των τεσσάρων.

Ένας από τους πυθαγόρειους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του πέντε.

Το βιβλίο «Διασκεδαστική Άλγεβρα» περιέχει έναν πίνακα πυθαγόρειων τριπλών που περιέχει αριθμούς μέχρι εκατό, οι οποίοι δεν έχουν κοινούς παράγοντες.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Η ταξινόμηση των Πυθαγόρειων τριπλών από τον Σούστροφ.

Ο Σούστροφ ανακάλυψε το ακόλουθο μοτίβο: αν όλα τα πυθαγόρεια τρίγωνα χωρίζονται σε ομάδες, τότε οι ακόλουθοι τύποι ισχύουν για το περιττό σκέλος x, άρτιο y και την υποτείνουσα z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (η+2Ν-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, όπου N είναι ο αριθμός της οικογένειας και n είναι ο τακτικός αριθμός του τριγώνου της οικογένειας.

Αντικαθιστώντας στον τύπο στη θέση των N και n οποιουσδήποτε θετικούς ακέραιους αριθμούς, ξεκινώντας από ένα, μπορείτε να λάβετε όλα τα κύρια πυθαγόρεια τριπλάσια αριθμών, καθώς και πολλαπλάσια ενός συγκεκριμένου τύπου. Μπορείτε να φτιάξετε έναν πίνακα με όλες τις πυθαγόρειες τρίπλες για κάθε οικογένεια.

2.3. Εργασίες επιπεδομετρίας

Ας εξετάσουμε προβλήματα από διάφορα εγχειρίδια για τη γεωμετρία και ας μάθουμε πόσο συχνά βρίσκονται πυθαγόρειες τριάδες σε αυτές τις εργασίες. Επιπόλαια προβλήματα εύρεσης του τρίτου στοιχείου στον πίνακα των πυθαγόρειων τριπλών δεν θα ληφθούν υπόψη, αν και βρίσκονται επίσης σε σχολικά βιβλία. Ας δείξουμε πώς να ανάγουμε τη λύση ενός προβλήματος του οποίου τα δεδομένα δεν εκφράζονται με φυσικούς αριθμούς σε Πυθαγόρεια τριπλάσια.

Εξετάστε εργασίες από ένα εγχειρίδιο γεωμετρίας για τις τάξεις 7-9.

№ 000. Να βρείτε την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ΕΝΑ=, σι=.

Λύση. Πολλαπλασιάζουμε τα μήκη των ποδιών με το 7, παίρνουμε δύο στοιχεία από το πυθαγόρειο τριπλό 3 και 4. Το στοιχείο που λείπει είναι το 5, το οποίο διαιρούμε με το 7. Απάντηση.

№ 000. Στο ορθογώνιο ABCD βρείτε BC εάν CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Λύση. Ας λύσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ACD. Πολλαπλασιάζουμε τα μήκη με το 2, παίρνουμε δύο στοιχεία από το πυθαγόρειο τριπλό 3 και 5, το στοιχείο που λείπει είναι το 4, το οποίο διαιρούμε με το 2. Απάντηση: 2.

Όταν λύνετε τον επόμενο αριθμό, ελέγξτε την αναλογία a2+b2=γ2είναι εντελώς προαιρετικό, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε πυθαγόρειους αριθμούς και τις ιδιότητες τους.

№ 000. Μάθετε εάν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο αν οι πλευρές του εκφράζονται με αριθμούς:

α) 6,8,10 (Πυθαγόρειο τριπλό 3,4,5) - ναι.

Ένα από τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου πρέπει να διαιρείται με το 4. Απάντηση: όχι.

γ) 9,12,15 (Πυθαγόρειο τριπλό 3,4,5) - ναι;

δ) 10,24,26 (Πυθαγόρειο τριπλό 5,12,13) - ναι;

Ένας από τους πυθαγόρειους αριθμούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του πέντε. Απάντηση: όχι.

ζ) 15, 20, 25 (Πυθαγόρειο τριπλό 3,4,5) - ναι.

Από τις τριάντα εννέα εργασίες αυτής της ενότητας (Πυθαγόρειο θεώρημα), οι είκοσι δύο λύνονται προφορικά χρησιμοποιώντας πυθαγόρειους αριθμούς και γνώση των ιδιοτήτων τους.

Εξετάστε το πρόβλημα #000 (από την ενότητα "Πρόσθετες εργασίες"):

Βρείτε το εμβαδόν του τετράπλευρου ABCD όπου AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Το καθήκον είναι να ελέγξετε την αναλογία a2+b2=γ2και να αποδείξετε ότι το δεδομένο τετράπλευρο αποτελείται από δύο ορθογώνια τρίγωνα (το αντίστροφο θεώρημα). Και η γνώση των πυθαγόρειων τριπλών: 3, 4, 5 και 5, 12, 13, εξαλείφει την ανάγκη για υπολογισμούς.

Ας δώσουμε λύσεις σε αρκετά προβλήματα από ένα σχολικό βιβλίο γεωμετρίας για τις τάξεις 7-9.

Πρόβλημα 156 (η). Τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 9 και 40. Βρείτε τη διάμεσο που σύρεται στην υποτείνουσα.

Λύση . Η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της. Το Πυθαγόρειο τριπλό είναι 9,40 και 41. Επομένως, η διάμεσος είναι 20,5.

Πρόβλημα 156 (i). Οι πλευρές του τριγώνου είναι: ΕΝΑ= 13 cm, b= 20 cm και ύψος hс = 12 εκ. Βρείτε τη βάση Με.

Εργασία (ΧΡΗΣΗ KIM). Βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα οξύ τρίγωνο ABC αν το ύψος BH είναι 12 και είναι γνωστό ότι αμαρτία Α=,αμαρτία C \u003d αριστερά "\u003e

Λύση.Λύνουμε ορθογώνιο Δ ASC: sin A=, BH=12, άρα AB=13,AK=5 (Πυθαγόρειο τριπλό 5,12,13). Λύστε ορθογώνιο Δ BCH: BH =12, αμαρτία C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (πυθαγόρεια τριπλό 3,4,5).Η ακτίνα βρίσκεται με τον τύπο r === 4. Απάντηση.4.

2.4. Πυθαγόρειες τριάδες στην τριγωνομετρία

Η κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος: sin2a + cos2a = 1; (α/γ) 2 + (β/γ)2 =1. Επομένως, ορισμένες τριγωνομετρικές εργασίες λύνονται εύκολα προφορικά χρησιμοποιώντας πυθαγόρεια τριάδες.

Προβλήματα στα οποία απαιτείται η εύρεση των τιμών άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων από μια δεδομένη τιμή μιας συνάρτησης μπορούν να επιλυθούν χωρίς τετραγωνισμό και εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας. Όλες οι εργασίες αυτού του τύπου στο σχολικό εγχειρίδιο της άλγεβρας (10-11) Mordkovich (No. 000-No. 000) μπορούν να λυθούν προφορικά, γνωρίζοντας μόνο μερικές πυθαγόρειες τριάδες: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Ας εξετάσουμε τις λύσεις δύο εργασιών.

αρ. 000 α). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Λύση. Πυθαγόρειο τριπλό: 3, 4, 5. Επομένως, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

αρ. 000 β). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Λύση. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Πυθαγόρειο τριπλό 5,12,13. Λαμβάνοντας υπόψη τα σημάδια, παίρνουμε sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Υλικά ελέγχου και μέτρησης της εξέτασης

α) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

β) αμαρτία (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

γ) tg (τοξίνη 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

δ) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

ε) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

ε) ελέγξτε την εγκυρότητα της ισότητας:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Λύση. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

αμαρτία (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = αμαρτία (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. συμπέρασμα

Στα γεωμετρικά προβλήματα, συχνά πρέπει να λύσει κανείς ορθογώνια τρίγωνα, μερικές φορές πολλές φορές. Μετά την ανάλυση των εργασιών των σχολικών εγχειριδίων και του υλικού ΧΡΗΣΗΣ, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι χρησιμοποιούνται κυρίως τρίδυμα: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; που είναι εύκολο να θυμάστε. Κατά την επίλυση ορισμένων τριγωνομετρικών εργασιών, η κλασική λύση που χρησιμοποιεί τριγωνομετρικούς τύπους και μεγάλο αριθμό υπολογισμών απαιτεί χρόνο και η γνώση των πυθαγόρειων τριπλών θα εξαλείψει τα λάθη στους υπολογισμούς και θα εξοικονομήσει χρόνο για την επίλυση πιο δύσκολων προβλημάτων στην εξέταση.

Βιβλιογραφικός κατάλογος

1. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. 10-11 τάξεις. Στις 2 ώρες Μέρος 2. Ένα βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα / [και άλλα]. εκδ. . - 8η έκδ., Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : Εγώ θα.

2. Άλγεβρα Perelman. - Δ.: VAP, 1994. - 200 σελ.

3. Roganovsky: Proc. Για 7-9 κύτταρα. με ένα βαθύ η μελέτη των μαθηματικών γενικής εκπαίδευσης. σχολείο από τα ρωσικά lang. εκμάθηση, - 3η έκδ. - Μν. Ναρ. Asveta, 2000. - 574 σελ.: ill.

4. Μαθηματικά: Αναγνώστης ιστορίας, μεθοδολογίας, διδακτικής. / Σύνθ. . - Μ.: Εκδοτικός οίκος URAO, 2001. - 384 σελ.

5. Περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Σχολείο» Νο 1, 1965.

6. Υλικά ελέγχου και μέτρησης της εξέτασης.

7. Geometry, 7-9: Proc. για εκπαιδευτικά ιδρύματα /, κ.λπ. - 13η έκδ. - Μ .: Εκπαίδευση, 2003. – 384 σελ. : Εγώ θα.

8. Γεωμετρία: Proc. για 10-11 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο /, κ.λπ. - 2η έκδ. - Μ .: Εκπαίδευση, 1993, - 207 σελ.: ill.

Άλγεβρα Perelman. - Δ.: VAP, 1994. - 200 σελ.

Περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Σχολείο» Νο 1, 1965.

Geometry, 7-9: Proc. για εκπαιδευτικά ιδρύματα /, κ.λπ. - 13η έκδ. - Μ .: Εκπαίδευση, 2003. – 384 σελ. : Εγώ θα.

Roganovsky: Proc. Για 7-9 κύτταρα. με ένα βαθύ η μελέτη των μαθηματικών γενικής εκπαίδευσης. σχολείο από τα ρωσικά lang. εκμάθηση, - 3η έκδ. - Μν. Ναρ. Asveta, 2000. - 574 σελ.: ill.

Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. 10-11 τάξεις. Στις 2 ώρες Μέρος 2. Ένα βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα / [και άλλα]. εκδ. . - 8η έκδ., Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : άρρωστο, σ.18.

Belotelov V.A. Οι πυθαγόρειες τριάδες και ο αριθμός τους // Εγκυκλοπαίδεια των Νεστερόφ

Αυτό το άρθρο είναι μια απάντηση σε έναν καθηγητή - ένα τσίμπημα. Κοίτα, καθηγητά, πώς το κάνουν στο χωριό μας.

Περιφέρεια Nizhny Novgorod, Zavolzhye.

Απαιτείται γνώση του αλγορίθμου επίλυσης Διοφαντικών εξισώσεων (ADDE) και γνώση πολυωνυμικών προόδων.

Το ΑΝ είναι πρώτος αριθμός.

Το MF είναι ένας σύνθετος αριθμός.

Έστω περιττός αριθμός Ν. Για οποιονδήποτε περιττό αριθμό εκτός του ενός, μπορείτε να γράψετε μια εξίσωση.

p 2 + N \u003d q 2,

όπου р + q = N, q – р = 1.

Για παράδειγμα, για τους αριθμούς 21 και 23, οι εξισώσεις θα είναι, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Αν ο Ν είναι πρώτος, αυτή η εξίσωση είναι μοναδική. Εάν ο αριθμός N είναι σύνθετος, τότε είναι δυνατό να συνθέσουμε παρόμοιες εξισώσεις για τον αριθμό των ζευγών παραγόντων που αντιπροσωπεύουν αυτόν τον αριθμό, συμπεριλαμβανομένου του 1 x N.

Ας πάρουμε τον αριθμό N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Ονειρευόμουν, αλλά είναι δυνατόν, κολλώντας σε αυτή τη διαφορά μεταξύ του IF και του MF, να βρω μια μέθοδο για την αναγνώρισή τους.

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία.

Ας αλλάξουμε την κάτω εξίσωση, -

N \u003d σε 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Ας ομαδοποιήσουμε τις τιμές του N σύμφωνα με το κριτήριο σε - a, δηλ. ας κάνουμε ένα τραπέζι.

Οι αριθμοί N συνοψίστηκαν σε έναν πίνακα, -

Ήταν για αυτό το έργο που έπρεπε να αντιμετωπίσω τις προόδους των πολυωνύμων και τους πίνακές τους. Όλα αποδείχτηκαν μάταια - οι άμυνες του PCh διατηρούνται ισχυρά. Ας εισαγάγουμε μια στήλη στον πίνακα 1, όπου σε - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Αλλη μια φορά. Ο Πίνακας 2 λήφθηκε ως αποτέλεσμα μιας προσπάθειας επίλυσης του προβλήματος αναγνώρισης του IF και του MF. Από τον πίνακα προκύπτει ότι για οποιονδήποτε αριθμό N, υπάρχουν τόσες εξισώσεις της μορφής a 2 + N \u003d στο 2, σε πόσα ζεύγη παραγόντων μπορεί να διαιρεθεί ο αριθμός N, συμπεριλαμβανομένου του παράγοντα 1 x N. Επιπλέον στους αριθμούς N \u003d ℓ 2, όπου

ℓ - FC. Για N = ℓ 2 , όπου ℓ είναι IF, υπάρχει μια μοναδική εξίσωση p 2 + N = q 2 . Για ποια πρόσθετη απόδειξη μπορούμε να μιλήσουμε αν ο πίνακας παραθέτει μικρότερους παράγοντες από ζεύγη παραγόντων που σχηματίζουν N, από ένα έως ∞. Θα τοποθετήσουμε τον πίνακα 2 σε ένα σεντούκι και θα κρύψουμε το σεντούκι σε μια ντουλάπα.

Ας επιστρέψουμε στο θέμα που αναφέρεται στον τίτλο του άρθρου.

Αυτό το άρθρο είναι μια απάντηση σε έναν καθηγητή - ένα τσίμπημα.

Ζήτησα βοήθεια - χρειαζόμουν μια σειρά από αριθμούς που δεν μπορούσα να βρω στο Διαδίκτυο. Έτρεξα σε ερωτήσεις όπως, - "γιατί;", "Αλλά δείξε μου τη μέθοδο". Συγκεκριμένα, υπήρχε το ερώτημα αν η σειρά των πυθαγόρειων τριπλών είναι άπειρη, «πώς να το αποδείξω;». Δεν με βοήθησε. Κοίτα, καθηγητά, πώς το κάνουν στο χωριό μας.

Ας πάρουμε τον τύπο των πυθαγόρειων τριπλών, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Ας περάσουμε από το ARDU.

Τρεις καταστάσεις είναι δυνατές:

I. x είναι περιττός αριθμός,

Το y είναι ζυγός αριθμός

Το z είναι ζυγός αριθμός.

Και υπάρχει μια συνθήκη x > y > z.

II. Το x είναι περιττός αριθμός

Το y είναι ζυγός αριθμός

Το z είναι περιττός αριθμός.

x > z > y.

III.x - ένας ζυγός αριθμός,

Το y είναι περιττός αριθμός

Το z είναι περιττός αριθμός.

x > y > z.

Ας ξεκινήσουμε με το εγώ.

Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές

Αντικαταστήστε στην εξίσωση (1).

Ας ακυρώσουμε με τη μικρότερη μεταβλητή 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Ας μειώσουμε τη μεταβλητή 2β – 2γ κατά μια μικρότερη με την ταυτόχρονη εισαγωγή μιας νέας παραμέτρου ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Τότε, 2α - 2β = x - y - 1.

Η εξίσωση (2) θα λάβει τη μορφή, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Ας το τετραγωνίσουμε -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

Το ARDU δίνει μέσω των παραμέτρων τη σχέση μεταξύ των ανώτερων όρων της εξίσωσης, οπότε πήραμε την εξίσωση (3).

Δεν είναι στιβαρό να ασχολούμαστε με την επιλογή λύσεων. Αλλά, πρώτον, δεν υπάρχει πού να πάμε, και δεύτερον, χρειάζονται αρκετές από αυτές τις λύσεις και μπορούμε να επαναφέρουμε άπειρο αριθμό λύσεων.

Για ƒ = 1, k = 1, έχουμε x – y = 1.

Με ƒ = 12, k = 16, έχουμε x - y = 9.

Με ƒ = 4, k = 32, έχουμε x - y = 25.

Μπορείτε να το παραλάβετε για πολύ καιρό, αλλά στο τέλος η σειρά θα πάρει τη μορφή -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Εξετάστε την επιλογή II.

Ας εισάγουμε νέες μεταβλητές στην εξίσωση (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Μειώνουμε κατά μια μικρότερη μεταβλητή 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Ας μειώσουμε κατά τη μικρότερη μεταβλητή 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z και αντικαταστήστε στην εξίσωση (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Με ƒ = 3, k = 4, έχουμε x - z = 2.

Με ƒ = 8, k = 14, έχουμε x - z = 8.

Με ƒ = 3, k = 24, έχουμε x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Ας σχεδιάσουμε ένα τραπέζιο -

Ας γράψουμε έναν τύπο.

όπου n=1, 2,...∞.

Η περίπτωση III δεν θα περιγραφεί - δεν υπάρχουν λύσεις εκεί.

Για την συνθήκη II, το σύνολο των τριπλών θα είναι ως εξής:

Η εξίσωση (1) παρουσιάζεται ως x 2 = z 2 + y 2 για σαφήνεια.

Για την συνθήκη I, το σύνολο των τριπλών θα είναι ως εξής:

Συνολικά, ζωγραφίζονται 9 στήλες τριπλών, πέντε τριάδες σε καθεμία. Και κάθε μία από τις στήλες που παρουσιάζονται μπορεί να γραφτεί μέχρι ∞.

Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη τις τριάδες της τελευταίας στήλης, όπου x - y \u003d 81.

Για τις τιμές του x, γράφουμε ένα τραπέζιο, -

Ας γράψουμε τον τύπο

Για τις τιμές του γράφουμε ένα τραπεζοειδές, -

Ας γράψουμε τον τύπο

Για τις τιμές του z, γράφουμε ένα τραπέζιο, -

Ας γράψουμε τον τύπο

Όπου n = 1 ÷ ∞.

Όπως υποσχέθηκε, μια σειρά από τρίδυμα με x - y = 81 πετά στο ∞.

Υπήρξε μια προσπάθεια για τις περιπτώσεις I και II να κατασκευαστούν πίνακες για x, y, z.

Γράψτε τις τελευταίες πέντε στήλες του x από τις επάνω σειρές και δημιουργήστε ένα τραπεζοειδές.

Δεν λειτούργησε και το μοτίβο θα πρέπει να είναι τετραγωνικό. Για να γίνουν τα πάντα σε διάτρητο, αποδείχθηκε ότι ήταν απαραίτητο να συνδυαστούν οι στήλες I και II.

Στην περίπτωση II, οι ποσότητες y, z ανταλλάσσονται και πάλι.

Καταφέραμε να συγχωνευθούμε για έναν λόγο - οι κάρτες ταιριάζουν καλά σε αυτό το έργο - ήμασταν τυχεροί.

Τώρα μπορείτε να γράψετε πίνακες για x, y, z.

Ας πάρουμε από τις πέντε τελευταίες στήλες της τιμής x από τις επάνω σειρές και δημιουργούμε ένα τραπεζοειδές.

Όλα είναι καλά, μπορείτε να δημιουργήσετε πίνακες και ας ξεκινήσουμε με έναν πίνακα για το z.

Τρέχω στην ντουλάπα για ένα σεντούκι.

Σύνολο: Εκτός από ένα, κάθε περιττός αριθμός του αριθμητικού άξονα συμμετέχει στο σχηματισμό των πυθαγόρειων τριπλών από ίσο αριθμό ζευγών παραγόντων που σχηματίζουν αυτόν τον αριθμό N, συμπεριλαμβανομένου του παράγοντα 1 x N.

Ο αριθμός N \u003d ℓ 2, όπου ℓ - IF, σχηματίζει ένα πυθαγόρειο τριπλό, αν το ℓ είναι MF, τότε δεν υπάρχει τριπλό στους παράγοντες ℓхℓ.

Ας δημιουργήσουμε πίνακες για x, y.

Ας ξεκινήσουμε με τον πίνακα για το x. Για να γίνει αυτό, θα τραβήξουμε πάνω του το πλέγμα συντεταγμένων από το πρόβλημα αναγνώρισης του IF και του MF.

Η αρίθμηση των κάθετων σειρών κανονικοποιείται από την έκφραση

Ας αφαιρέσουμε την πρώτη στήλη, γιατί

Ο πίνακας θα πάρει τη μορφή -

Ας περιγράψουμε τις κάθετες σειρές, -

Ας περιγράψουμε τους συντελεστές στο "a", -

Ας περιγράψουμε τα ελεύθερα μέλη, -

Ας κάνουμε έναν γενικό τύπο για το "x", -

Αν κάνουμε παρόμοια δουλειά για το "y", παίρνουμε -

Μπορείτε να προσεγγίσετε αυτό το αποτέλεσμα από την άλλη πλευρά.

Ας πάρουμε την εξίσωση,

και 2 + N = σε 2 .

Ας το αλλάξουμε λίγο...

N \u003d σε 2 - a 2.

Ας το τετραγωνίσουμε -

N 2 \u003d σε 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης, προσθέστε σε μέγεθος 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d σε 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Και τελικά -

(σε 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Οι πυθαγόρειες τριάδες συντίθενται ως εξής:

Εξετάστε ένα παράδειγμα με τον αριθμό N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Οι κάθετες στήλες του Πίνακα 2 αριθμούνται με τιμές σε - a, ενώ οι κάθετες στήλες του Πίνακα 3 αριθμούνται με τιμές x - y.

x - y \u003d (γ - α) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Ας κάνουμε τρεις εξισώσεις.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Οι παράγοντες 3 και 39 δεν είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί, επομένως ένας τριπλός βγήκε με συντελεστή 9.

Ας απεικονίσουμε τα παραπάνω γραμμένα σε γενικά σύμβολα, -

Σε αυτό το έργο, τα πάντα, συμπεριλαμβανομένου ενός παραδείγματος για τον υπολογισμό των Πυθαγόρειων τριπλασιών με τον αριθμό

N = 117, συνδεδεμένο με τον μικρότερο παράγοντα σε - α. Ρητή διάκριση σε σχέση με τον παράγοντα στο + α. Ας διορθώσουμε αυτή την αδικία - θα συνθέσουμε τρεις εξισώσεις με συντελεστή + α.

Ας επιστρέψουμε στο ζήτημα της ταυτοποίησης των IF και MF.

Πολλά πράγματα έχουν γίνει προς αυτή την κατεύθυνση, και σήμερα έχει περάσει από τα χέρια η ακόλουθη σκέψη - δεν υπάρχει εξίσωση ταύτισης και δεν υπάρχει κάτι τέτοιο που να καθορίζει τους παράγοντες.

Ας υποθέσουμε ότι βρήκαμε τη σχέση F = a, b (N).

Υπάρχει μια φόρμουλα

Μπορείτε να απαλλαγείτε από τον τύπο F από μέσα και παίρνετε μια ομοιογενή εξίσωση nου βαθμού ως προς το a, δηλ. F = a(N).

Για οποιονδήποτε βαθμό n αυτής της εξίσωσης, υπάρχει ένας αριθμός N με m ζεύγη παραγόντων, για m > n.

Και κατά συνέπεια, μια ομοιογενής εξίσωση βαθμού n πρέπει να έχει m ρίζες.

Ναι, αυτό δεν μπορεί να είναι.

Σε αυτή την εργασία, οι αριθμοί N θεωρήθηκαν για την εξίσωση x 2 = y 2 + z 2 όταν βρίσκονται στην εξίσωση στη θέση z. Όταν το N είναι στη θέση του x, αυτό είναι μια άλλη εργασία.

Με εκτίμηση, Belotelov V.A.

Στη συνέχεια, εξετάζουμε τις γνωστές μεθόδους για τη δημιουργία αποτελεσματικών Πυθαγόρειων τριπλών. Οι μαθητές του Πυθαγόρα ήταν οι πρώτοι που επινόησαν έναν απλό τρόπο δημιουργίας Πυθαγόρειων τριπλών, χρησιμοποιώντας έναν τύπο του οποίου τα μέρη αντιπροσωπεύουν μια Πυθαγόρεια τριάδα:

Μ 2 + ((Μ 2 − 1)/2) 2 = ((Μ 2 + 1)/2) 2 ,

Οπου Μ- ασύζευκτα, Μ>2. Πραγματικά,

4Μ 2 + Μ 4 − 2Μ 2 + 1
Μ 2 + ((Μ 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((Μ 2 + 1)/2) 2 .
4

Μια παρόμοια φόρμουλα προτάθηκε από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πλάτωνα:

(2Μ) 2 + (Μ 2 − 1) 2 = (Μ 2 + 1) 2 ,

Οπου Μ- οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Για Μ= 2,3,4,5 δημιουργούνται οι ακόλουθες τριπλέτες:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτοί οι τύποι δεν μπορούν να δώσουν όλες τις πιθανές πρωτόγονες τριάδες.

Θεωρήστε το ακόλουθο πολυώνυμο, το οποίο αποσυντίθεται σε ένα άθροισμα πολυωνύμων:

(2Μ 2 + 2Μ + 1) 2 = 4Μ 4 + 8Μ 3 + 8Μ 2 + 4Μ + 1 =
=4Μ 4 + 8Μ 3 + 4Μ 2 + 4Μ 2 + 4Μ + 1 = (2Μ(Μ+1)) 2 + (2Μ +1) 2 .

Εξ ου και οι ακόλουθοι τύποι για τη λήψη πρωτόγονων τριπλών:

ένα = 2Μ +1 , σι = 2Μ(Μ+1) = 2Μ 2 + 2Μ , ντο = 2Μ 2 + 2Μ + 1.

Αυτοί οι τύποι δημιουργούν τριάδες στις οποίες ο μέσος αριθμός διαφέρει από τον μεγαλύτερο κατά ένα ακριβώς, δηλαδή δεν δημιουργούνται επίσης όλες οι πιθανές τριάδες. Εδώ οι πρώτες τριάδες είναι: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Για να προσδιοριστεί ο τρόπος δημιουργίας όλων των πρωτόγονων τριπλών, πρέπει κανείς να εξετάσει τις ιδιότητές τους. Πρώτον, αν ( αλφάβητο) είναι ένα πρωτόγονο τριπλό, λοιπόν έναΚαι σι, σιΚαι ντο, ΕΝΑΚαι ντο— πρέπει να είναι coprime. Αφήνω έναΚαι σιχωρίζονται σε ρε. Επειτα ένα 2 + σιΤο 2 διαιρείται επίσης με ρε. Αντίστοιχα, ντο 2 και ντοπρέπει να χωριστεί σε ρε. Δηλαδή δεν είναι πρωτόγονη τριάδα.

Δεύτερον, μεταξύ των αριθμών ένα, σιτο ένα πρέπει να είναι ζευγαρωμένο και το άλλο μη ζευγαρωμένο. Πράγματι, αν έναΚαι σι- ζευγαρώσει, λοιπόν Μεθα είναι ζευγαρωμένοι και οι αριθμοί μπορούν να διαιρεθούν με τουλάχιστον 2. Εάν και οι δύο είναι μη ζευγαρωμένοι, τότε μπορούν να αναπαρασταθούν ως 2 κ+1 i 2 μεγάλο+1, όπου κ,μεγάλο- κάποιοι αριθμοί. Επειτα ένα 2 + σι 2 = 4κ 2 +4κ+1+4μεγάλο 2 +4μεγάλο+1, δηλαδή, Με 2, καθώς και ένα 2 + σιΤο 2 έχει υπόλοιπο 2 όταν διαιρείται με το 4.

Αφήνω Με- οποιοσδήποτε αριθμός, δηλαδή Με = 4κ+Εγώ (Εγώ=0,…,3). Επειτα Με 2 = (4κ+Εγώ) Το 2 έχει υπόλοιπο 0 ή 1 και δεν μπορεί να έχει υπόλοιπο 2. Έτσι, έναΚαι σιδεν μπορεί να είναι unpaired, δηλαδή ένα 2 + σι 2 = 4κ 2 +4κ+4μεγάλο 2 +4μεγάλο+1 και υπόλοιπο Με 2 επί 4 πρέπει να είναι 1, που σημαίνει ότι Μεθα πρέπει να αποσυνδεθεί.

Τέτοιες απαιτήσεις για τα στοιχεία του Πυθαγόρειου τριπλού ικανοποιούνται από τους ακόλουθους αριθμούς:

ένα = 2μν, σι = Μ 2 − n 2 , ντο = Μ 2 + n 2 , Μ > n, (2)

Οπου ΜΚαι nείναι coprime με διαφορετικά ζεύγη. Για πρώτη φορά, αυτές οι εξαρτήσεις έγιναν γνωστές από τα έργα του Ευκλείδη, ο οποίος έζησε το 2300 r. πίσω.

Ας αποδείξουμε την εγκυρότητα των εξαρτήσεων (2). Αφήνω ΕΝΑ- διπλό, λοιπόν σιΚαι ντο- μη ζευγαρωμένο. Επειτα ντο + σιΕγώ ντο − σι- ζευγάρια. Μπορούν να αναπαρασταθούν ως ντο + σι = 2uΚαι ντο − σι = 2v, Οπου u,vείναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί. Να γιατί

ένα 2 = Με 2 − σι 2 = (ντο + σι)(ντο − σι) = 2u 2 v = 4UV

Και ως εκ τούτου ( ένα/2) 2 = UV.

Μπορεί να αποδειχθεί αντιφατικά ότι uΚαι vείναι coprime. Αφήνω uΚαι v- χωρίζονται σε ρε. Επειτα ( ντο + σι) Και ( ντο − σι) χωρίζονται σε ρε. Και ως εκ τούτου ντοΚαι σιπρέπει να χωριστεί σε ρε, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση για την Πυθαγόρεια τριάδα.

Επειδή UV = (ένα/2) 2 και uΚαι v coprime, είναι εύκολο να το αποδείξεις αυτό uΚαι vπρέπει να είναι τετράγωνα ορισμένων αριθμών.

Υπάρχουν λοιπόν θετικοί ακέραιοι αριθμοί ΜΚαι n, τέτοιο που u = Μ 2 και v = n 2. Επειτα

ΕΝΑ 2 = 4UV = 4Μ 2 n 2 έτσι
ΕΝΑ = 2μν; σι = u − v = Μ 2 − n 2 ; ντο = u + v = Μ 2 + n 2 .

Επειδή σι> 0, λοιπόν Μ > n.

Μένει να το δείξουμε ΜΚαι nέχουν διαφορετικά ζεύγη. Αν ΜΚαι n- ζευγαρώσει, λοιπόν uΚαι vπρέπει να ζευγαρωθούν, αλλά αυτό είναι αδύνατο, αφού είναι coprime. Αν ΜΚαι n- ασύζευκτο, λοιπόν σι = Μ 2 − n 2 και ντο = Μ 2 + n 2 θα ζευγαρώνονταν, κάτι που είναι αδύνατο γιατί ντοΚαι σιείναι coprime.

Έτσι, κάθε πρωτόγονη πυθαγόρεια τριάδα πρέπει να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις (2). Ταυτόχρονα οι αριθμοί ΜΚαι nπου ονομάζεται δημιουργώντας αριθμούςπρωτόγονα τρίδυμα. Για παράδειγμα, ας έχουμε ένα πρωτόγονο Πυθαγόρειο τριπλό (120.119.169). Σε αυτήν την περίπτωση

ΕΝΑ= 120 = 2 12 5, σι= 119 = 144 − 25, και ντο = 144+25=169,

Οπου Μ = 12, n= 5 - δημιουργία αριθμών, 12 > 5; Το 12 και το 5 είναι συμπρωτεύοντα και διαφορετικών ζευγαριών.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί Μ, nοι τύποι (2) δίνουν ένα πρωτόγονο πυθαγόρειο τριπλό (a,b,c). Πραγματικά,

ΕΝΑ 2 + σι 2 = (2μν) 2 + (Μ 2 − n 2) 2 = 4Μ 2 n 2 + (Μ 4 − 2Μ 2 n 2 + n 4) =
= (Μ 4 + 2Μ 2 n 2 + n 4) = (Μ 2 + n 2) 2 = ντο 2 ,

Αυτό είναι ( ένα,σι,ντο) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα. Ας αποδείξουμε ότι ενώ ένα,σι,ντοείναι συμπρώτοι αριθμοί κατά αντίφαση. Ας διαιρεθούν αυτοί οι αριθμοί με Π> 1. Αφού ΜΚαι nέχουν διαφορετικά ζευγάρια, λοιπόν σιΚαι ντο- ασύζευκτο δηλαδή Π≠ 2. Επειδή Rχωρίζει σιΚαι ντο, Οτι Rπρέπει να διαιρέσει 2 Μ 2 και 2 n 2, κάτι που είναι αδύνατο γιατί Π≠ 2. Επομένως Μ, nείναι coprime και ένα,σι,ντοείναι επίσης coprime.

Ο Πίνακας 1 δείχνει όλες τις πρωτόγονες πυθαγόρειες τριάδες που δημιουργούνται από τους τύπους (2) για Μ≤10.

Πίνακας 1. Πρωτόγονες Πυθαγόρειες τριάδες για Μ≤10

Μ	n	ένα	σι	ντο	Μ	n	ένα	σι	ντο
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Η ανάλυση αυτού του πίνακα δείχνει την παρουσία της ακόλουθης σειράς μοτίβων:

ή ένα, ή σιδιαιρούνται με το 3?
ένας από τους αριθμούς ένα,σι,ντοδιαιρείται με το 5?
αριθμός ΕΝΑδιαιρείται με το 4?
δουλειά ένα· σιδιαιρείται με το 12.

Το 1971, οι Αμερικανοί μαθηματικοί Teigan και Hedwin πρότειναν τέτοιες ελάχιστα γνωστές παραμέτρους ενός ορθογώνιου τριγώνου όπως το ύψος (ύψος) του για να δημιουργήσουν τρίδυμα η = ντο− β και υπέρβαση (επιτυχία) μι = ένα + σι − ντο. Στο Σχ.1. αυτές οι ποσότητες φαίνονται σε ένα συγκεκριμένο ορθογώνιο τρίγωνο.

Εικόνα 1. Ορθογώνιο τρίγωνο και η ανάπτυξη και η περίσσευσή του

Η ονομασία "υπερβολή" προέρχεται από το γεγονός ότι αυτή είναι η πρόσθετη απόσταση που πρέπει να περάσετε κατά μήκος των σκελών του τριγώνου από τη μία κορυφή στην αντίθετη κορυφή, εάν δεν προχωρήσετε στη διαγώνιο του.

Μέσω της υπερβολής και της ανάπτυξης, οι πλευρές του Πυθαγόρειου τριγώνου μπορούν να εκφραστούν ως:

μι 2 μι 2
ένα = η + μι, σι = μι + ——, ντο = η + μι + ——, (3)
2η 2η

Όχι όλοι οι συνδυασμοί ηΚαι μιμπορεί να αντιστοιχεί σε πυθαγόρεια τρίγωνα. Για ένα δεδομένο ηπιθανές τιμές μιείναι το γινόμενο κάποιου αριθμού ρε. Αυτός ο αριθμός ρεονομάζεται ανάπτυξη και αναφέρεται σε ημε τον εξής τρόπο: ρεείναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος του οποίου το τετράγωνο διαιρείται με το 2 η. Επειδή μιπολλαπλούς ρε, τότε γράφεται ως μι = κδ, Οπου κείναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός.

Με τη βοήθεια ζευγαριών ( κ,η) μπορείτε να δημιουργήσετε όλα τα πυθαγόρεια τρίγωνα, συμπεριλαμβανομένων των μη πρωτόγονων και γενικευμένων, ως εξής:

(dk) 2 (dk) 2
ένα = η + dk, σι = dk + ——, ντο = η + dk + ——, (4)
2η 2η

Επιπλέον, ένα τριπλό είναι πρωτόγονο αν κΚαι ηείναι coprime και αν η =± q 2 στο q- μη ζευγαρωμένο.
Επιπλέον, θα είναι ακριβώς ένα πυθαγόρειο τριπλό αν κ> √2 η/ρεΚαι η > 0.

Να βρω κΚαι ηαπό ( ένα,σι,ντο) κάντε τα εξής:

η = ντο − σι;
σημειωσε ηΠως η = pq 2, όπου Π> 0 και τέτοιο που δεν είναι τετράγωνο.
ρε = 2pqΑν Π- ασύζευκτα και ρε = pq, αν το p είναι ζευγαρωμένο.
κ = (ένα − η)/ρε.

Για παράδειγμα, για το τριπλό (8,15,17) έχουμε η= 17−15 = 2 1, άρα Π= 2 και q = 1, ρε= 2, και κ= (8 − 2)/2 = 3. Άρα αυτό το τριπλό δίνεται ως ( κ,η) = (3,2).

Για το τριπλό (459.1260.1341) έχουμε η= 1341 − 1260 = 81, άρα Π = 1, q= 9 και ρε= 18, επομένως κ= (459 − 81)/18 = 21, άρα ο κωδικός αυτού του τριπλού είναι ( κ,η) = (21, 81).

Καθορισμός τριπλών με ηΚαι κέχει μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Παράμετρος κισοδυναμεί

κ = 4μικρό/(dP), (5)

Οπου μικρό = αβ/2 είναι το εμβαδόν του τριγώνου και Π = ένα + σι + ντοείναι η περίμετρός του. Αυτό προκύπτει από την ισότητα eP = 4μικρό, που προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Για ορθογώνιο τρίγωνο μιισούται με τη διάμετρο του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο. Αυτό προέρχεται από το γεγονός ότι η υποτείνουσα Με = (ΕΝΑ − r)+(σι − r) = ένα + σι − 2r, Οπου rείναι η ακτίνα του κύκλου. Από εδώ η = ντο − σι = ΕΝΑ − 2rΚαι μι = ένα − η = 2r.

Για η> 0 και κ > 0, κείναι ο τακτικός αριθμός των τριδύμων ένα-σι-ντοσε μια ακολουθία Πυθαγόρειων τριγώνων με αύξηση η. Από τον πίνακα 2, ο οποίος δείχνει πολλές επιλογές για τρίδυμα που δημιουργούνται από ζεύγη η, κ, μπορεί να φανεί ότι με την αύξηση κοι πλευρές του τριγώνου αυξάνονται. Έτσι, σε αντίθεση με την κλασική αρίθμηση, η αρίθμηση σε ζεύγη η, κέχει υψηλότερη σειρά σε ακολουθίες τριδύμων.

Πίνακας 2. Πυθαγόρειες τριάδες που δημιουργούνται από ζεύγη h, k.

η	κ	ένα	σι	ντο	η	κ	ένα	σι	ντο
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Για η > 0, ρεικανοποιεί την ανίσωση 2√ η ≤ ρε ≤ 2η, στο οποίο το κάτω όριο επιτυγχάνεται στο Π= 1, και το ανώτερο, στο q= 1. Επομένως, η τιμή ρεσε σχέση με 2√ ηείναι ένα μέτρο του πόσο ημακριά από το τετράγωνο κάποιου αριθμού.

Ιδιότητες

Από την εξίσωση Χ 2 + y 2 = z 2 ομοιογενής, όταν πολλαπλασιάζεται Χ , yΚαι zγια τον ίδιο αριθμό παίρνετε ένα άλλο πυθαγόρειο τριπλό. Η πυθαγόρεια τριάδα λέγεται πρωτόγονος, εάν δεν μπορεί να ληφθεί με αυτόν τον τρόπο, δηλαδή - σχετικά πρώτοι αριθμοί.

Παραδείγματα

Μερικές πυθαγόρειες τριάδες (ταξινομημένες κατά αύξουσα σειρά μέγιστου αριθμού, οι πρωτόγονες επισημαίνονται):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Με βάση τις ιδιότητες των αριθμών Fibonacci, μπορείτε να τους κάνετε, για παράδειγμα, τέτοιες πυθαγόρειες τριάδες:

Ιστορία

Οι πυθαγόρειες τριάδες είναι γνωστές εδώ και πολύ καιρό. Στην αρχιτεκτονική των αρχαίων επιτύμβιων μνημείων της Μεσοποταμίας, βρίσκεται ένα ισοσκελές τρίγωνο, που αποτελείται από δύο ορθογώνια με πλευρές 9, 12 και 15 πήχεις. Οι πυραμίδες του Φαραώ Σνεφρού (XXVII αιώνας π.Χ.) χτίστηκαν χρησιμοποιώντας τρίγωνα με πλευρές 20, 21 και 29, καθώς και 18, 24 και 30 δεκάδες αιγυπτιακές πήχεις.

δείτε επίσης

Συνδέσεις

E. A. GorinΔυνάμεις των πρώτων αριθμών στα πυθαγόρεια τριπλάσια // Μαθηματική εκπαίδευση. - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι οι «Πυθαγόρειοι αριθμοί» σε άλλα λεξικά:

Τριπλάσια φυσικών αριθμών έτσι ώστε ένα τρίγωνο του οποίου τα μήκη πλευρών είναι ανάλογα (ή ίσα) με αυτούς τους αριθμούς να είναι ορθογώνιο, π.χ. τριπλό αριθμών: 3, 4, 5… Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Τριπλάσια φυσικών αριθμών έτσι ώστε ένα τρίγωνο του οποίου τα μήκη πλευρών είναι ανάλογα (ή ίσα) με αυτούς τους αριθμούς να είναι ορθογώνιο, για παράδειγμα, ένα τριπλό αριθμών: 3, 4, 5. ότι ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Τριπλάσια φυσικών αριθμών έτσι ώστε ένα τρίγωνο του οποίου τα μήκη πλευρών είναι ανάλογα (ή ίσα) με αυτούς τους αριθμούς να είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Σύμφωνα με το θεώρημα, το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος (βλ. Πυθαγόρειο θεώρημα), για αυτό αρκεί να ... ...

Τριπλές θετικών ακεραίων x, y, z που ικανοποιούν την εξίσωση x2+y 2=z2. Όλες οι λύσεις αυτής της εξίσωσης, και κατά συνέπεια, όλα τα P. p., εκφράζονται με τους τύπους x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, όπου τα a, b είναι αυθαίρετοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί (a>b). Π. η... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Τριπλάσια φυσικών αριθμών έτσι ώστε ένα τρίγωνο, τα μήκη των πλευρών του οποίου είναι ανάλογα (ή ίσα) με αυτούς τους αριθμούς, να είναι παραλληλόγραμμο, για παράδειγμα. τριπλό αριθμών: 3, 4, 5… Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Στα μαθηματικά, οι πυθαγόρειοι αριθμοί (πυθαγόρειο τριπλό) είναι μια πλειάδα τριών ακεραίων που ικανοποιούν την Πυθαγόρεια σχέση: x2 + y2 = z2. Περιεχόμενα 1 Ιδιότητες 2 Παραδείγματα ... Wikipedia

Οι σγουροί αριθμοί είναι το γενικό όνομα των αριθμών που σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα. Αυτή η ιστορική έννοια ανάγεται στους Πυθαγόρειους. Πιθανώς, η έκφραση "Τετράγωνο ή κύβος" προέκυψε από σγουρούς αριθμούς. Περιεχόμενα ... ... Wikipedia

Οι σγουροί αριθμοί είναι το γενικό όνομα των αριθμών που σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα. Αυτή η ιστορική έννοια ανάγεται στους Πυθαγόρειους. Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι σγουρά αριθμών: Οι γραμμικοί αριθμοί είναι αριθμοί που δεν αποσυντίθενται σε παράγοντες, δηλαδή τους ... ... Wikipedia

- Το "pi παράδοξο" είναι ένα αστείο για το θέμα των μαθηματικών, το οποίο κυκλοφορούσε μεταξύ των μαθητών μέχρι τη δεκαετία του '80 (στην πραγματικότητα, πριν από τη μαζική διανομή μικροϋπολογιστών) και συνδέθηκε με την περιορισμένη ακρίβεια υπολογισμού τριγωνομετρικών συναρτήσεων και ... ... Βικιπαίδεια

- (ελληνική αριθμητική, από τον αριθμητικό αριθμό) η επιστήμη των αριθμών, κυρίως των φυσικών (θετικών ακέραιων) αριθμών και των (ορθολογικών) κλασμάτων και των πράξεων σε αυτούς. Κατοχή επαρκώς ανεπτυγμένης έννοιας φυσικού αριθμού και ικανότητα ... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Βιβλία

Αρχιμήδειο καλοκαίρι, ή ιστορία της κοινότητας των νέων μαθηματικών. Δυαδικό σύστημα αριθμών, Bobrov Sergey Pavlovich. Δυαδικό σύστημα αριθμών, «Πύργος του Ανόι», κίνηση του ιππότη, μαγικά τετράγωνα, αριθμητικό τρίγωνο, σγουροί αριθμοί, συνδυασμοί, έννοια πιθανοτήτων, λωρίδα Möbius και μπουκάλι Klein.…

» Επίτιμος καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Warwick, γνωστός εκλαϊκευτής της επιστήμης Ian Stewart, αφιερωμένος στον ρόλο των αριθμών στην ιστορία της ανθρωπότητας και στη συνάφεια της μελέτης τους στην εποχή μας.

Πυθαγόρεια υποτείνουσα

Τα πυθαγόρεια τρίγωνα έχουν ορθή γωνία και ακέραιες πλευρές. Στο πιο απλό από αυτά, η μεγαλύτερη πλευρά έχει μήκος 5, οι υπόλοιπες είναι 3 και 4. Υπάρχουν συνολικά 5 κανονικά πολύεδρα. Μια εξίσωση πέμπτου βαθμού δεν μπορεί να λυθεί με ρίζες πέμπτου βαθμού - ή οποιεσδήποτε άλλες ρίζες. Τα πλέγματα στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο δεν έχουν περιστροφική συμμετρία πέντε λοβών· επομένως, τέτοιες συμμετρίες απουσιάζουν επίσης στους κρυστάλλους. Ωστόσο, μπορούν να βρίσκονται σε πλέγματα σε τετραδιάστατο χώρο και σε ενδιαφέρουσες δομές γνωστές ως οιονεί κρύσταλλοι.

Υποτείνουσα του μικρότερου Πυθαγόρειου τριπλού

Το Πυθαγόρειο θεώρημα δηλώνει ότι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου (η περιβόητη υποτείνουσα) συσχετίζεται με τις άλλες δύο πλευρές αυτού του τριγώνου με πολύ απλό και όμορφο τρόπο: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων του άλλου δύο πλευρές.

Παραδοσιακά, ονομάζουμε αυτό το θεώρημα από τον Πυθαγόρα, αλλά στην πραγματικότητα η ιστορία του είναι μάλλον ασαφής. Οι πήλινες πινακίδες υποδηλώνουν ότι οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα πολύ πριν από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. τη δόξα του ανακάλυψε του έφερε η μαθηματική λατρεία των Πυθαγορείων, οι υποστηρικτές των οποίων πίστευαν ότι το σύμπαν βασιζόταν σε αριθμητικά μοτίβα. Οι αρχαίοι συγγραφείς απέδιδαν στους Πυθαγόρειους -και ως εκ τούτου στον Πυθαγόρα- μια ποικιλία μαθηματικών θεωρημάτων, αλλά στην πραγματικότητα δεν έχουμε ιδέα με τι είδους μαθηματικά ασχολούνταν ο ίδιος ο Πυθαγόρας. Δεν ξέρουμε καν αν οι Πυθαγόρειοι μπορούσαν να αποδείξουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα ή αν απλώς πίστευαν ότι ήταν αλήθεια. Ή, το πιθανότερο, είχαν πειστικά στοιχεία για την αλήθεια του, τα οποία ωστόσο δεν θα ήταν αρκετά για αυτό που θεωρούμε απόδειξη σήμερα.

Στοιχεία του Πυθαγόρα

Η πρώτη γνωστή απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος βρίσκεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Αυτή είναι μια αρκετά περίπλοκη απόδειξη χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο που οι μαθητές της Βικτώριας θα αναγνώριζαν αμέσως ως «Πυθαγόρειο παντελόνι». το σχέδιο μοιάζει πραγματικά με σώβρακο που στεγνώνει σε σχοινί. Είναι γνωστές κυριολεκτικά εκατοντάδες άλλες αποδείξεις, οι περισσότερες από τις οποίες κάνουν τον ισχυρισμό πιο προφανή.

// Ρύζι. 33. Πυθαγόρειο παντελόνι

Μια από τις πιο απλές αποδείξεις είναι ένα είδος μαθηματικού παζλ. Πάρτε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, κάντε τέσσερα αντίγραφά του και μαζέψτε τα μέσα στο τετράγωνο. Με μία τοποθέτηση, βλέπουμε ένα τετράγωνο στην υποτείνουσα. με το άλλο - τετράγωνα στις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου. Είναι σαφές ότι οι περιοχές και στις δύο περιπτώσεις είναι ίσες.

// Ρύζι. 34. Αριστερά: τετράγωνο στην υποτείνουσα (συν τέσσερα τρίγωνα). Δεξιά: το άθροισμα των τετραγώνων στις άλλες δύο πλευρές (συν τα ίδια τέσσερα τρίγωνα). Τώρα αφαιρέστε τα τρίγωνα

Η ανατομή του Περίγαλου είναι άλλο ένα παζλ απόδειξη.

// Ρύζι. 35. Ανατομή Περιγάλου

Υπάρχει επίσης μια απόδειξη του θεωρήματος χρησιμοποιώντας στοίβαξη τετραγώνων στο επίπεδο. Ίσως έτσι ανακάλυψαν αυτό το θεώρημα οι Πυθαγόρειοι ή οι άγνωστοι προκάτοχοί τους. Αν κοιτάξετε πώς το λοξό τετράγωνο επικαλύπτει τα άλλα δύο τετράγωνα, μπορείτε να δείτε πώς να κόψετε το μεγάλο τετράγωνο σε κομμάτια και στη συνέχεια να τα ενώσετε σε δύο μικρότερα τετράγωνα. Μπορείτε επίσης να δείτε ορθογώνια τρίγωνα, οι πλευρές των οποίων δίνουν τις διαστάσεις των τριών τετραγώνων που εμπλέκονται.

// Ρύζι. 36. Απόδειξη με πλακόστρωση

Υπάρχουν ενδιαφέρουσες αποδείξεις που χρησιμοποιούν παρόμοια τρίγωνα στην τριγωνομετρία. Τουλάχιστον πενήντα διαφορετικές αποδείξεις είναι γνωστές.

Πυθαγόρεια τρίδυμα

Στη θεωρία αριθμών, το Πυθαγόρειο θεώρημα έγινε η πηγή μιας γόνιμης ιδέας: να βρεθούν ακέραιες λύσεις σε αλγεβρικές εξισώσεις. Πυθαγόρειο τριπλό είναι ένα σύνολο ακεραίων a, b και c τέτοιοι ώστε

Γεωμετρικά, ένα τέτοιο τριπλό ορίζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές.

Η μικρότερη υποτείνουσα ενός Πυθαγόρειου τριπλού είναι το 5.

Οι άλλες δύο πλευρές αυτού του τριγώνου είναι το 3 και το 4. Εδώ

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Η επόμενη μεγαλύτερη υποτείνουσα είναι το 10 γιατί

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Ωστόσο, αυτό είναι ουσιαστικά το ίδιο τρίγωνο με διπλές πλευρές. Η επόμενη μεγαλύτερη και πραγματικά διαφορετική υποτείνουσα είναι το 13, για το οποίο

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Ο Ευκλείδης γνώριζε ότι υπήρχε ένας άπειρος αριθμός διαφορετικών παραλλαγών των Πυθαγόρειων τριπλών και έδωσε αυτό που θα μπορούσε να ονομαστεί τύπος για την εύρεση όλων. Αργότερα, ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός πρόσφερε μια απλή συνταγή, βασικά ίδια με την Ευκλείδεια.

Πάρτε δύο φυσικούς αριθμούς και υπολογίστε:

το διπλό τους προϊόν?

διαφορά των τετραγώνων τους?

το άθροισμα των τετραγώνων τους.

Οι τρεις αριθμοί που θα προκύψουν θα είναι οι πλευρές του Πυθαγόρειου τριγώνου.

Πάρτε, για παράδειγμα, τους αριθμούς 2 και 1. Υπολογίστε:

διπλό γινόμενο: 2 × 2 × 1 = 4;

διαφορά τετραγώνων: 22 - 12 = 3;

άθροισμα τετραγώνων: 22 + 12 = 5,

και πήραμε το περίφημο τρίγωνο 3-4-5. Αν πάρουμε τους αριθμούς 3 και 2, παίρνουμε:

διπλό γινόμενο: 2 × 3 × 2 = 12;

διαφορά τετραγώνων: 32 - 22 = 5;

άθροισμα τετραγώνων: 32 + 22 = 13,

και παίρνουμε το επόμενο διάσημο τρίγωνο 5 - 12 - 13. Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε τους αριθμούς 42 και 23 και να πάρουμε:

διπλό γινόμενο: 2 × 42 × 23 = 1932;

διαφορά τετραγώνων: 422 - 232 = 1235;

άθροισμα τετραγώνων: 422 + 232 = 2293,

Κανείς δεν έχει ακούσει ποτέ για το τρίγωνο 1235–1932–2293.

Αλλά και αυτοί οι αριθμοί λειτουργούν:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Υπάρχει ένα άλλο χαρακτηριστικό στον κανόνα Διοφαντίνων που έχει ήδη υπονοηθεί: έχοντας λάβει τρεις αριθμούς, μπορούμε να πάρουμε έναν άλλο αυθαίρετο αριθμό και να τους πολλαπλασιάσουμε όλους με αυτόν. Έτσι, ένα τρίγωνο 3-4-5 μπορεί να μετατραπεί σε τρίγωνο 6-8-10 πολλαπλασιάζοντας όλες τις πλευρές επί 2 ή σε τρίγωνο 15-20-25 πολλαπλασιάζοντας τα πάντα επί 5.

Αν μεταβούμε στη γλώσσα της άλγεβρας, ο κανόνας παίρνει την εξής μορφή: έστω u, v και k φυσικοί αριθμοί. Στη συνέχεια ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές

2kuv και k (u2 - v2) έχει υποτείνουσα

Υπάρχουν άλλοι τρόποι παρουσίασης της κύριας ιδέας, αλλά όλοι συνοψίζονται σε αυτόν που περιγράφηκε παραπάνω. Αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να λάβετε όλες τις πυθαγόρειες τριάδες.

Κανονικά πολύεδρα

Υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα. Ένα κανονικό πολύεδρο (ή πολύεδρο) είναι ένα τρισδιάστατο σχήμα με πεπερασμένο αριθμό επίπεδων όψεων. Οι όψεις συγκλίνουν μεταξύ τους σε γραμμές που ονομάζονται ακμές. οι ακμές συναντώνται σε σημεία που ονομάζονται κορυφές.

Το αποκορύφωμα των Ευκλείδειων «Αρχών» είναι η απόδειξη ότι μπορούν να υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα, δηλαδή πολύεδρα στα οποία κάθε όψη είναι ένα κανονικό πολύγωνο (ίσες πλευρές, ίσες γωνίες), όλες οι όψεις είναι ίδιες και όλες οι κορυφές περιβάλλονται από ίσο αριθμό όψεων σε ίση απόσταση. Εδώ είναι πέντε κανονικά πολύεδρα:

τετράεδρο με τέσσερις τριγωνικές όψεις, τέσσερις κορυφές και έξι άκρες.

κύβος, ή εξάεδρο, με 6 τετράγωνες όψεις, 8 κορυφές και 12 άκρες.

οκτάεδρο με 8 τριγωνικές όψεις, 6 κορυφές και 12 άκρες.

Δωδεκάεδρο με 12 πενταγωνικές όψεις, 20 κορυφές και 30 άκρες.

Εικοσάεδρο με 20 τριγωνικές όψεις, 12 κορυφές και 30 ακμές.

// Ρύζι. 37. Πέντε κανονικά πολύεδρα

Τα κανονικά πολύεδρα μπορούν επίσης να βρεθούν στη φύση. Το 1904, ο Ernst Haeckel δημοσίευσε σχέδια μικροσκοπικών οργανισμών γνωστών ως radiolarians. Πολλά από αυτά έχουν σχήμα σαν τα ίδια πέντε κανονικά πολύεδρα. Ίσως, ωστόσο, διόρθωσε ελαφρώς τη φύση και τα σχέδια δεν αντικατοπτρίζουν πλήρως το σχήμα συγκεκριμένων ζωντανών όντων. Οι τρεις πρώτες δομές παρατηρούνται και στους κρυστάλλους. Δεν θα βρείτε δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο σε κρυστάλλους, αν και μερικές φορές συναντώνται εκεί ακανόνιστα δωδεκάεδρα και εικοσάεδρα. Τα αληθινά δωδεκάεδρα μπορούν να εμφανίζονται ως οιονεί κρύσταλλοι, οι οποίοι μοιάζουν με τους κρυστάλλους από κάθε άποψη, εκτός από το ότι τα άτομά τους δεν σχηματίζουν ένα περιοδικό πλέγμα.

// Ρύζι. 38. Σχέδια του Haeckel: radiolarians με τη μορφή κανονικών πολύεδρων

// Ρύζι. 39. Εξελίξεις Κανονικών Πολυεδρών

Μπορεί να είναι ενδιαφέρον να φτιάξετε μοντέλα κανονικών πολύεδρων από χαρτί, κόβοντας πρώτα ένα σύνολο διασυνδεδεμένων όψεων - αυτό ονομάζεται σάρωση πολυέδρων. η σάρωση διπλώνεται κατά μήκος των άκρων και οι αντίστοιχες άκρες είναι κολλημένες μεταξύ τους. Είναι χρήσιμο να προσθέσετε μια πρόσθετη περιοχή για κόλλα σε μία από τις άκρες κάθε τέτοιου ζεύγους, όπως φαίνεται στο Σχ. 39. Εάν δεν υπάρχει τέτοια πλατφόρμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κολλητική ταινία.

Εξίσωση πέμπτου βαθμού

Δεν υπάρχει αλγεβρικός τύπος για την επίλυση εξισώσεων 5ου βαθμού.

Γενικά, η εξίσωση του πέμπτου βαθμού μοιάζει με αυτό:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Το πρόβλημα είναι να βρεθεί ένας τύπος για την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης (μπορεί να έχει έως και πέντε λύσεις). Η εμπειρία με τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις, καθώς και με εξισώσεις τέταρτου βαθμού, υποδηλώνει ότι ένας τέτοιος τύπος πρέπει να υπάρχει και για εξισώσεις πέμπτου βαθμού και, θεωρητικά, οι ρίζες του πέμπτου, τρίτου και δεύτερου βαθμού πρέπει να εμφανίζονται σε το. Και πάλι, μπορεί κανείς με ασφάλεια να υποθέσει ότι ένας τέτοιος τύπος, εάν υπάρχει, θα αποδειχθεί πολύ, πολύ περίπλοκος.

Αυτή η υπόθεση τελικά αποδείχθηκε λανθασμένη. Πράγματι, δεν υπάρχει τέτοιος τύπος. Τουλάχιστον δεν υπάρχει τύπος που να αποτελείται από τους συντελεστές a, b, c, d, e και f, που να συντίθεται με πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση, καθώς και με ρίζες. Έτσι, υπάρχει κάτι πολύ ιδιαίτερο στον αριθμό 5. Οι λόγοι αυτής της ασυνήθιστης συμπεριφοράς των πέντε είναι πολύ βαθιές και χρειάστηκε πολύς χρόνος για να τους καταλάβουμε.

Το πρώτο σημάδι ενός προβλήματος ήταν ότι όσο κι αν προσπαθούσαν οι μαθηματικοί να βρουν έναν τέτοιο τύπο, όσο έξυπνοι κι αν ήταν, πάντα αποτυγχάνανε. Για κάποιο διάστημα, όλοι πίστευαν ότι οι λόγοι βρίσκονται στην απίστευτη πολυπλοκότητα της φόρμουλας. Πιστεύεται ότι κανείς απλώς δεν μπορούσε να καταλάβει σωστά αυτήν την άλγεβρα. Ωστόσο, με την πάροδο του χρόνου, ορισμένοι μαθηματικοί άρχισαν να αμφιβάλλουν για την ύπαρξη ενός τέτοιου τύπου, και το 1823 ο Niels Hendrik Abel μπόρεσε να αποδείξει το αντίθετο. Δεν υπάρχει τέτοιος τύπος. Λίγο αργότερα, ο Évariste Galois βρήκε έναν τρόπο να προσδιορίσει εάν μια εξίσωση του ενός ή του άλλου βαθμού - 5ος, 6ος, 7ος, γενικά οποιαδήποτε - είναι επιλύσιμη χρησιμοποιώντας αυτό το είδος τύπου.

Το συμπέρασμα από όλα αυτά είναι απλό: ο αριθμός 5 είναι ιδιαίτερος. Μπορείτε να λύσετε αλγεβρικές εξισώσεις (χρησιμοποιώντας νη ρίζες για διαφορετικές τιμές του n) για δυνάμεις 1, 2, 3 και 4, αλλά όχι για δυνάμεις 5. Εδώ τελειώνει το προφανές μοτίβο.

Κανείς δεν εκπλήσσεται που οι εξισώσεις δυνάμεων μεγαλύτερες από 5 συμπεριφέρονται ακόμη χειρότερα. Συγκεκριμένα, η ίδια δυσκολία συνδέεται με αυτά: δεν υπάρχουν γενικοί τύποι για τη λύση τους. Αυτό δεν σημαίνει ότι οι εξισώσεις δεν έχουν λύσεις. δεν σημαίνει επίσης ότι είναι αδύνατο να βρεθούν πολύ ακριβείς αριθμητικές τιμές αυτών των λύσεων. Είναι όλα σχετικά με τους περιορισμούς των παραδοσιακών εργαλείων άλγεβρας. Αυτό θυμίζει την αδυναμία τριτοτομής γωνίας με χάρακα και πυξίδα. Υπάρχει μια απάντηση, αλλά οι μέθοδοι που αναφέρονται δεν είναι επαρκείς και δεν σας επιτρέπουν να προσδιορίσετε τι είναι.

Κρυσταλλογραφικός περιορισμός

Οι κρύσταλλοι σε δύο και τρεις διαστάσεις δεν έχουν περιστροφική συμμετρία 5 ακτίνων.

Τα άτομα σε έναν κρύσταλλο σχηματίζουν ένα πλέγμα, δηλαδή μια δομή που επαναλαμβάνεται περιοδικά σε πολλές ανεξάρτητες κατευθύνσεις. Για παράδειγμα, το σχέδιο στην ταπετσαρία επαναλαμβάνεται κατά μήκος του ρολού. Επιπλέον, συνήθως επαναλαμβάνεται στην οριζόντια κατεύθυνση, μερικές φορές με μετατόπιση από το ένα κομμάτι ταπετσαρίας στο άλλο. Ουσιαστικά η ταπετσαρία είναι ένας δισδιάστατος κρύσταλλος.

Υπάρχουν 17 ποικιλίες μοτίβων ταπετσαρίας στο αεροπλάνο (βλ. κεφάλαιο 17). Διαφέρουν ως προς τους τύπους συμμετρίας, δηλαδή στους τρόπους άκαμπτης μετατόπισης του σχεδίου έτσι ώστε να βρίσκεται ακριβώς πάνω του στην αρχική του θέση. Οι τύποι συμμετρίας περιλαμβάνουν, ειδικότερα, διάφορες παραλλαγές περιστροφικής συμμετρίας, όπου το σχέδιο πρέπει να περιστρέφεται σε μια συγκεκριμένη γωνία γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο - το κέντρο συμμετρίας.

Η σειρά συμμετρίας περιστροφής είναι πόσες φορές μπορείτε να περιστρέψετε το σώμα σε έναν πλήρη κύκλο, έτσι ώστε όλες οι λεπτομέρειες της εικόνας να επιστρέψουν στην αρχική τους θέση. Για παράδειγμα, μια περιστροφή 90° είναι περιστροφική συμμετρία 4ης τάξης*. Ο κατάλογος των πιθανών τύπων περιστροφικής συμμετρίας στο κρυσταλλικό πλέγμα υποδεικνύει και πάλι το ασυνήθιστο του αριθμού 5: δεν υπάρχει. Υπάρχουν παραλλαγές με περιστροφική συμμετρία 2ης, 3ης, 4ης και 6ης τάξης, αλλά κανένα σχέδιο ταπετσαρίας δεν έχει περιστροφική συμμετρία 5ης τάξης. Δεν υπάρχει επίσης περιστροφική συμμετρία τάξης μεγαλύτερης από 6 στους κρυστάλλους, αλλά η πρώτη παραβίαση της ακολουθίας εξακολουθεί να εμφανίζεται στον αριθμό 5.

Το ίδιο συμβαίνει και με τα κρυσταλλογραφικά συστήματα στον τρισδιάστατο χώρο. Εδώ το πλέγμα επαναλαμβάνεται σε τρεις ανεξάρτητες κατευθύνσεις. Υπάρχουν 219 διαφορετικοί τύποι συμμετρίας ή 230 αν λάβουμε υπόψη την αντανάκλαση του μοτίβου ως ξεχωριστή εκδοχή του - επιπλέον, σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει συμμετρία καθρέφτη. Και πάλι, παρατηρούνται περιστροφικές συμμετρίες των τάξεων 2, 3, 4 και 6, αλλά όχι 5. Αυτό το γεγονός ονομάζεται κρυσταλλογραφικός περιορισμός.

Στον τετραδιάστατο χώρο υπάρχουν πλέγματα με συμμετρία 5ης τάξης. Γενικά, για πλέγματα επαρκώς υψηλών διαστάσεων, είναι δυνατή οποιαδήποτε προκαθορισμένη σειρά περιστροφικής συμμετρίας.

// Ρύζι. 40. Κρυσταλλικό πλέγμα επιτραπέζιου αλατιού. Οι σκούρες μπάλες αντιπροσωπεύουν άτομα νατρίου, οι ανοιχτόχρωμες μπάλες αντιπροσωπεύουν άτομα χλωρίου.

Οιονεί κρύσταλλοι

Ενώ η περιστροφική συμμετρία 5ης τάξης δεν είναι δυνατή σε 2D και 3D πλέγματα, μπορεί να υπάρχει σε ελαφρώς λιγότερο κανονικές δομές γνωστές ως οιονεί κρύσταλλοι. Χρησιμοποιώντας τα σκίτσα του Kepler, ο Roger Penrose ανακάλυψε επίπεδα συστήματα με έναν γενικότερο τύπο πενταπλής συμμετρίας. Ονομάζονται οιονεί κρύσταλλοι.

Οι οιονεί κρύσταλλοι υπάρχουν στη φύση. Το 1984, ο Daniel Shechtman ανακάλυψε ότι ένα κράμα αλουμινίου και μαγγανίου μπορεί να σχηματίσει οιονεί κρυστάλλους. Αρχικά, οι κρυσταλλογράφοι υποδέχθηκαν το μήνυμά του με κάποιο σκεπτικισμό, αλλά αργότερα η ανακάλυψη επιβεβαιώθηκε και το 2011 ο Σέχτμαν τιμήθηκε με το Νόμπελ Χημείας. Το 2009, μια ομάδα επιστημόνων με επικεφαλής τον Luca Bindi ανακάλυψε οιονεί κρυστάλλους σε ένα ορυκτό από τα ρωσικά υψίπεδα Koryak - μια ένωση από αλουμίνιο, χαλκό και σίδηρο. Σήμερα αυτό το ορυκτό ονομάζεται εικοσαεδρίτης. Μετρώντας την περιεκτικότητα σε διάφορα ισότοπα οξυγόνου στο ορυκτό με φασματόμετρο μάζας, οι επιστήμονες έδειξαν ότι αυτό το ορυκτό δεν προέρχεται από τη Γη. Σχηματίστηκε πριν από περίπου 4,5 δισεκατομμύρια χρόνια, σε μια εποχή που το ηλιακό σύστημα μόλις αναδυόταν, και περνούσε τον περισσότερο χρόνο του στη ζώνη των αστεροειδών, σε τροχιά γύρω από τον ήλιο, έως ότου κάποια διαταραχή άλλαξε την τροχιά του και το έφερε τελικά στη Γη.

// Ρύζι. 41. Αριστερά: ένα από τα δύο σχεδόν κρυσταλλικά πλέγματα με ακριβή πενταπλή συμμετρία. Δεξιά: Ατομικό μοντέλο ενός εικοσαεδρικού οιονεί κρυστάλλου αλουμινίου-παλλαδίου-μαγγανίου

Δημοφιλή στην κατηγορία: