Πυραμίδα της βάσης πλευρικές νευρώσεις ύψος. Πυραμίδα

• αποθεμα- το ύψος της πλευρικής όψης μιας κανονικής πυραμίδας, η οποία τραβιέται από την κορυφή της (επιπλέον, το απόθεμα είναι το μήκος της κάθετου, η οποία χαμηλώνει από το μέσο ενός κανονικού πολυγώνου σε 1 από τις πλευρές του).
• πλαϊνά πρόσωπα (ASB, BSC, CSD, DSA) - τρίγωνα που συγκλίνουν στην κορυφή.
• πλαϊνά πλευρά ( ΟΠΩΣ ΚΑΙ , BS , CS , Δ.Σ. ) - κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων.
• κορυφή της πυραμίδας (v. S) - ένα σημείο που συνδέει τις πλευρικές άκρες και το οποίο δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης.
• ύψος ( ΕΤΣΙ ) - ένα τμήμα της κάθετης, το οποίο τραβιέται μέσω της κορυφής της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης της (τα άκρα ενός τέτοιου τμήματος θα είναι η κορυφή της πυραμίδας και η βάση της κάθετου).
• διαγώνιο τμήμα μιας πυραμίδας- τμήμα της πυραμίδας, που διέρχεται από την κορυφή και τη διαγώνιο της βάσης.
• βάση (Α Β Γ Δ) είναι ένα πολύγωνο στο οποίο δεν ανήκει η κορυφή της πυραμίδας.

ιδιότητες πυραμίδας.

1. Όταν όλες οι πλευρικές άκρες έχουν το ίδιο μέγεθος, τότε:

• Κοντά στη βάση της πυραμίδας είναι εύκολο να περιγραφεί ένας κύκλος, ενώ η κορυφή της πυραμίδας θα προβάλλεται στο κέντρο αυτού του κύκλου.
• Οι πλευρικές νευρώσεις σχηματίζουν ίσες γωνίες με το επίπεδο βάσης.
• επιπλέον ισχύει και το αντίστροφο, δηλ. όταν οι πλευρικές άκρες σχηματίζουν ίσες γωνίες με το επίπεδο βάσης ή όταν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί κοντά στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας θα προβληθεί στο κέντρο αυτού του κύκλου, τότε όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας έχουν το ίδιο μέγεθος.

2. Όταν οι πλευρικές όψεις έχουν γωνία κλίσης ως προς το επίπεδο της βάσης της ίδιας τιμής, τότε:

• κοντά στη βάση της πυραμίδας, είναι εύκολο να περιγραφεί ένας κύκλος, ενώ η κορυφή της πυραμίδας θα προβάλλεται στο κέντρο αυτού του κύκλου.
• τα ύψη των πλευρικών όψεων είναι ίσου μήκους;
• το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι το ½ του γινόμενου της περιμέτρου της βάσης και του ύψους της πλευρικής όψης.

3. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί κοντά στην πυραμίδα εάν η βάση της πυραμίδας είναι ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται από τα μεσαία σημεία των κάθετων σε αυτά άκρων της πυραμίδας. Από αυτό το θεώρημα συμπεραίνουμε ότι, όπως για κάθε τριγωνικό, και για οποιοδήποτε σωστή πυραμίδασφαίρα μπορεί να περιγραφεί.

4. Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα αν τα επίπεδα διχοτόμων των εσωτερικών διεδρικών γωνιών της πυραμίδας τέμνονται στο 1ο σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα γίνει το κέντρο της σφαίρας.

Η πιο απλή πυραμίδα.

Ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών της βάσης της πυραμίδας, χωρίζονται σε τριγωνικές, τετράγωνες και ούτω καθεξής.

Η πυραμίδα θα τριγωνικός, τετράπλευρος, και ούτω καθεξής, όταν η βάση της πυραμίδας είναι ένα τρίγωνο, ένα τετράπλευρο, και ούτω καθεξής. Μια τριγωνική πυραμίδα είναι ένα τετράεδρο - ένα τετράεδρο. Τετράγωνο - πεντάεδρο και ούτω καθεξής.

Εδώ συλλέγονται βασικές πληροφορίες για τις πυραμίδες και σχετικούς τύπους και έννοιες. Όλοι τους μελετώνται με δάσκαλο στα μαθηματικά στην προετοιμασία για τις εξετάσεις.

Σκεφτείτε ένα επίπεδο, ένα πολύγωνο που βρίσκεται σε αυτό και ένα σημείο S που δεν βρίσκεται μέσα σε αυτό. Συνδέστε το S σε όλες τις κορυφές του πολυγώνου. Το πολύεδρο που προκύπτει ονομάζεται πυραμίδα. Τα τμήματα ονομάζονται πλευρικές ακμές. Το πολύγωνο ονομάζεται βάση και το σημείο S ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας. Ανάλογα με τον αριθμό n, η πυραμίδα ονομάζεται τριγωνική (n=3), τετράγωνη (n=4), πενταγωνική (n=5) και ούτω καθεξής. Εναλλακτικό όνομα για την τριγωνική πυραμίδα - τετράεδρο. Το ύψος μιας πυραμίδας είναι η κάθετη που σύρεται από την κορυφή της στο επίπεδο της βάσης.

Μια πυραμίδα ονομάζεται σωστή αν κανονικό πολύγωνο, και η βάση του ύψους της πυραμίδας (η βάση της κάθετου) είναι το κέντρο της.

Σχόλιο του δασκάλου:
Μην συγχέετε την έννοια της «κανονικής πυραμίδας» και του «κανονικού τετράεδρου». Σε μια κανονική πυραμίδα, οι πλευρικές ακμές δεν είναι απαραίτητα ίσες με τις ακμές της βάσης, αλλά σε ένα κανονικό τετράεδρο, και οι 6 ακμές των ακμών είναι ίσες. Αυτός είναι ο ορισμός του. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η ισότητα συνεπάγεται ότι το κέντρο P του πολυγώνου με βάση ύψους, άρα ένα κανονικό τετράεδρο είναι μια κανονική πυραμίδα.

Τι είναι ένα αποθέμα;
Το απόθεμα μιας πυραμίδας είναι το ύψος της πλευρικής της όψης. Εάν η πυραμίδα είναι κανονική, τότε όλα τα αποθέματά της είναι ίσα. Το αντίστροφο δεν ισχύει.

Καθηγητής μαθηματικών σχετικά με την ορολογία του: η εργασία με πυραμίδες δομείται κατά 80% μέσω δύο τύπων τριγώνων:
1) Περιέχει απόθεμα SK και ύψος SP
2) Περιέχει την πλευρική ακμή SA και την προεξοχή της PA

Για να απλοποιηθούν οι αναφορές σε αυτά τα τρίγωνα, είναι πιο βολικό για έναν καθηγητή μαθηματικών να ονομάσει το πρώτο από αυτά αποθεματικός, και δεύτερο πλευρικός. Δυστυχώς, δεν θα βρείτε αυτή την ορολογία σε κανένα από τα σχολικά βιβλία και ο δάσκαλος πρέπει να την εισάγει μονομερώς.

Τύπος όγκου πυραμίδας:
1) , όπου είναι το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας και είναι το ύψος της πυραμίδας
2), όπου είναι η ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας και είναι η συνολική επιφάνεια της πυραμίδας.
3) , όπου MN είναι η απόσταση οποιωνδήποτε δύο διασταυρούμενων άκρων και είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από τα μεσαία σημεία των τεσσάρων υπόλοιπων άκρων.

Ιδιότητα βάσης ύψους πυραμίδας:

Το σημείο P (βλέπε σχήμα) συμπίπτει με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στη βάση της πυραμίδας εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) Όλα τα αποθέματα είναι ίσα
2) Όλες οι πλευρικές όψεις έχουν την ίδια κλίση προς τη βάση
3) Όλα τα αποθέματα έχουν την ίδια κλίση προς το ύψος της πυραμίδας
4) Το ύψος της πυραμίδας είναι εξίσου κεκλιμένο σε όλες τις πλευρικές όψεις

Σχολιασμός καθηγητή μαθηματικών: σημειώστε ότι όλα τα σημεία ενώνονται με μια κοινή ιδιότητα: με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, οι πλευρικές όψεις συμμετέχουν παντού (τα αποθέματα είναι τα στοιχεία τους). Επομένως, ο δάσκαλος μπορεί να προσφέρει μια λιγότερο ακριβή, αλλά πιο βολική διατύπωση για απομνημόνευση: το σημείο P συμπίπτει με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, τη βάση της πυραμίδας, εάν υπάρχουν ίσες πληροφορίες για τις πλευρικές της όψεις. Για να το αποδείξουμε, αρκεί να δείξουμε ότι όλα τα αποθεματικά τρίγωνα είναι ίσα.

Το σημείο P συμπίπτει με το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου κοντά στη βάση της πυραμίδας, εάν ισχύει μία από τις τρεις συνθήκες:
1) Όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες
2) Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν την ίδια κλίση προς τη βάση
3) Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν την ίδια κλίση στο ύψος

Βίντεο μάθημα 2: Πρόκληση πυραμίδας. Όγκος πυραμίδας

Βίντεο μάθημα 3: Πρόκληση πυραμίδας. Σωστή πυραμίδα

Διάλεξη: Πυραμίδα, βάση της, πλευρικές άκρες, ύψος, πλευρική επιφάνεια. τριγωνική πυραμίδα? δεξιά πυραμίδα

Πυραμίδα- Αυτό είναι ένα τρισδιάστατο σώμα που έχει ένα πολύγωνο στη βάση του και όλες οι όψεις του αποτελούνται από τρίγωνα.

Μια ειδική περίπτωση πυραμίδας είναι ένας κώνος, στη βάση του οποίου βρίσκεται ένας κύκλος.

Εξετάστε τα κύρια στοιχεία της πυραμίδας:

Απόθεμείναι ένα τμήμα που συνδέει την κορυφή της πυραμίδας με το μέσο του κάτω άκρου της πλευρικής όψης. Με άλλα λόγια, αυτό είναι το ύψος της όψης της πυραμίδας.

Στο σχήμα μπορείτε να δείτε τα τρίγωνα ADS, ABS, BCS, CDS. Αν κοιτάξετε προσεκτικά τα ονόματα, μπορείτε να δείτε ότι κάθε τρίγωνο έχει ένα κοινό γράμμα στο όνομά του - S. Δηλαδή, αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές όψεις (τρίγωνα) συγκλίνουν σε ένα σημείο, το οποίο ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας.

Το τμήμα OS, που συνδέει την κορυφή με το σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (στην περίπτωση των τριγώνων, στο σημείο τομής των υψών), ονομάζεται ύψος πυραμίδας.

Διαγώνιο τμήμα είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας, καθώς και μία από τις διαγώνιες της βάσης.

Δεδομένου ότι η πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας αποτελείται από τρίγωνα, για να βρείτε το συνολικό εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας, είναι απαραίτητο να βρείτε τις περιοχές κάθε προσώπου και να τις προσθέσετε. Ο αριθμός και το σχήμα των όψεων εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος των πλευρών του πολυγώνου που βρίσκεται στη βάση.

Το μόνο επίπεδο σε μια πυραμίδα που δεν έχει κορυφή ονομάζεται βάσηπυραμίδες.

Στο σχήμα, βλέπουμε ότι η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο, ωστόσο, μπορεί να υπάρχει οποιοδήποτε αυθαίρετο πολύγωνο.

Ιδιότητες:

Εξετάστε την πρώτη περίπτωση μιας πυραμίδας, στην οποία έχει άκρα του ίδιου μήκους:

• Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση μιας τέτοιας πυραμίδας. Εάν προβάλλετε την κορυφή μιας τέτοιας πυραμίδας, τότε η προβολή της θα βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου.
• Οι γωνίες στη βάση της πυραμίδας είναι ίδιες για κάθε πρόσωπο.
• Ταυτόχρονα, μια επαρκής προϋπόθεση για το γεγονός ότι μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας, καθώς και ότι όλες οι ακμές έχουν διαφορετικά μήκη, μπορεί να θεωρηθούν οι ίδιες γωνίες μεταξύ της βάσης και κάθε άκρης των όψεων. .

Αν συναντήσετε μια πυραμίδα στην οποία οι γωνίες μεταξύ των πλευρικών όψεων και της βάσης είναι ίσες, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

• Θα μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο γύρω από τη βάση της πυραμίδας, η κορυφή του οποίου προβάλλεται ακριβώς στο κέντρο.
• Εάν σχεδιάσετε σε κάθε πλευρική όψη του ύψους προς τη βάση, τότε θα έχουν ίσο μήκος.
• Για να βρείτε την πλευρική επιφάνεια μιας τέτοιας πυραμίδας, αρκεί να βρείτε την περίμετρο της βάσης και να την πολλαπλασιάσετε κατά το ήμισυ του μήκους του ύψους.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Τύποι πυραμίδας.
• Ανάλογα με το ποιο πολύγωνο βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας, μπορούν να είναι τριγωνικά, τετράγωνα κ.λπ. Εάν ένα κανονικό πολύγωνο (με ίσες πλευρές) βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας, τότε μια τέτοια πυραμίδα θα ονομάζεται κανονική.

Κανονική τριγωνική πυραμίδα

Έννοια πυραμίδας

Ορισμός 1

Γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από ένα πολύγωνο και ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο που περιέχει αυτό το πολύγωνο, συνδεδεμένο με όλες τις κορυφές του πολυγώνου, ονομάζεται πυραμίδα (Εικ. 1).

Το πολύγωνο από το οποίο αποτελείται η πυραμίδα ονομάζεται βάση της πυραμίδας, τα τρίγωνα που προκύπτουν από τη σύνδεση με το σημείο είναι οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας, οι πλευρές των τριγώνων είναι οι πλευρές της πυραμίδας και το κοινό σημείο για όλους τρίγωνα είναι η κορυφή της πυραμίδας.

Τύποι πυραμίδων

Ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών στη βάση της πυραμίδας, μπορεί να ονομαστεί τριγωνική, τετραγωνική και ούτω καθεξής (Εικ. 2).

Σχήμα 2.

Ένας άλλος τύπος πυραμίδας είναι μια κανονική πυραμίδα.

Ας εισαγάγουμε και ας αποδείξουμε την ιδιότητα μιας κανονικής πυραμίδας.

Θεώρημα 1

Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ισοσκελές τρίγωνα που είναι ίσα μεταξύ τους.

Απόδειξη.

Θεωρήστε μια κανονική $n-$gonal πυραμίδα με κορυφή $S$ ύψους $h=SO$. Ας περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από τη βάση (Εικ. 4).

Εικόνα 4

Εξετάστε το τρίγωνο $SOA$. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε

Προφανώς, κάθε πλευρικό άκρο θα οριστεί με αυτόν τον τρόπο. Επομένως, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή όλες οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τρίγωνα. Ας αποδείξουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους. Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, οι βάσεις όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσες μεταξύ τους. Κατά συνέπεια, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσες σύμφωνα με το σύμβολο III της ισότητας των τριγώνων.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εισάγουμε τώρα τον ακόλουθο ορισμό που σχετίζεται με την έννοια της κανονικής πυραμίδας.

Ορισμός 3

Το απόθεμα μιας κανονικής πυραμίδας είναι το ύψος της πλευρικής της όψης.

Προφανώς, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, όλα τα αποθέματα είναι ίσα.

Θεώρημα 2

Η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας ορίζεται ως το γινόμενο της ημιπεριμέτρου της βάσης και του αποθέματος.

Απόδειξη.

Ας συμβολίσουμε την πλευρά της βάσης της πυραμίδας $n-$ άνθρακα ως $a$ και το απόθεμα ως $d$. Επομένως, η περιοχή της πλευρικής όψης είναι ίση με

Αφού, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, όλες οι πλευρές είναι ίσες, τότε

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ένας άλλος τύπος πυραμίδας είναι η κολοβωμένη πυραμίδα.

Ορισμός 4

Εάν ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση του τραβηχτεί μέσω μιας συνηθισμένης πυραμίδας, τότε το σχήμα που σχηματίζεται μεταξύ αυτού του επιπέδου και του επιπέδου της βάσης ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα (Εικ. 5).

Εικόνα 5. Κόλουρη πυραμίδα

Οι πλευρικές όψεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδείς.

Θεώρημα 3

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας ορίζεται ως το γινόμενο του αθροίσματος των ημιπεριμέτρων των βάσεων και του αποθέματος.

Απόδειξη.

Ας συμβολίσουμε τις πλευρές των βάσεων της πυραμίδας $n-$ άνθρακα με $a\ και\ b$, αντίστοιχα, και το απόθεμα με $d$. Επομένως, η περιοχή της πλευρικής όψης είναι ίση με

Αφού όλες οι πλευρές είναι ίσες, λοιπόν

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα εργασίας

Παράδειγμα 1

Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κόλουρης τριγωνικής πυραμίδας εάν λαμβάνεται από μια κανονική πυραμίδα με πλευρά βάσης 4 και απόθεμα 5 αποκόπτοντας από ένα επίπεδο που διέρχεται από τη μέση γραμμή των πλευρικών όψεων.

Λύση.

Σύμφωνα με το θεώρημα της διάμεσης γραμμής, λαμβάνουμε ότι η άνω βάση της κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίση με $4\cdot \frac(1)(2)=2$ και το απόθεμα είναι ίσο με $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 3, λαμβάνουμε