Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου σε ορθογώνιο τύπο. Τύποι για τις ακτίνες εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων κανονικών πολυγώνων

Πολύ συχνά, όταν λύνετε γεωμετρικά προβλήματα, πρέπει να κάνετε ενέργειες με βοηθητικά σχήματα. Για παράδειγμα, βρείτε την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου ή περιγεγραμμένου κύκλου κ.λπ. Αυτό το άρθρο θα σας δείξει πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλει ένα τρίγωνο. Ή, με άλλα λόγια, η ακτίνα του κύκλου στον οποίο είναι εγγεγραμμένο το τρίγωνο.

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο - ο γενικός τύπος

Ο γενικός τύπος είναι ο εξής: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, p είναι η περίμετρος του τριγώνου διαιρούμενη με 2 (ημιπερίμετρος). α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου.

Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου του τριγώνου αν a = 3, b = 6, c = 7.

Έτσι, με βάση τον παραπάνω τύπο, υπολογίζουμε την ημιπερίμετρο:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο και λάβετε:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Απάντηση: R = 126/16√5

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που περικλείεται σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο

Για να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που περικλείεται σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, υπάρχουν αρκετά απλή φόρμουλα: R = a/√3, όπου a είναι η τιμή της πλευράς του.

Παράδειγμα: Η πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 5. Βρείτε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Δεδομένου ότι όλες οι πλευρές ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες, για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει απλώς να εισαγάγετε την τιμή του στον τύπο. Παίρνουμε: R = 5/√3.

Απάντηση: R = 5/√3.

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Ο τύπος μοιάζει με αυτό: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, όπου a και b είναι σκέλη και c είναι η υποτείνουσα. Αν προσθέσουμε τα τετράγωνα των σκελών σε ορθογώνιο τρίγωνο, παίρνουμε το τετράγωνο της υποτείνουσας. Όπως φαίνεται από τον τύπο, αυτή η έκφραση βρίσκεται κάτω από τη ρίζα. Υπολογίζοντας τη ρίζα του τετραγώνου της υποτείνουσας, παίρνουμε το ίδιο το μήκος. Πολλαπλασιάζοντας την παράσταση που προκύπτει με το 1/2 τελικά μας οδηγεί στην παράσταση 1/2 × c = c/2.

Παράδειγμα: Υπολογίστε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου εάν τα σκέλη του τριγώνου είναι 3 και 4. Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο. Παίρνουμε: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

Σε αυτήν την έκφραση, το 5 είναι το μήκος της υποτείνουσας.

Απάντηση: R = 2,5.

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που περικλείεται γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο

Ο τύπος μοιάζει με αυτό: R = a² / √ (4a² - b²), όπου a είναι το μήκος του μηρού του τριγώνου και b είναι το μήκος της βάσης.

Παράδειγμα: Υπολογίστε την ακτίνα ενός κύκλου αν ο γοφός του = 7 και η βάση του = 8.

Λύση: Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στον τύπο και παίρνουμε: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Η απάντηση μπορεί να γραφτεί κατευθείαν έτσι.

Απάντηση: R = 49/√132

Διαδικτυακοί πόροι για τον υπολογισμό της ακτίνας ενός κύκλου

Είναι πολύ εύκολο να μπερδευτείς σε όλες αυτές τις φόρμουλες. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ηλεκτρονικές αριθμομηχανές, που θα σας βοηθήσει στην επίλυση προβλημάτων σχετικά με την εύρεση της ακτίνας. Η αρχή λειτουργίας τέτοιων μίνι προγραμμάτων είναι πολύ απλή. Αντικαταστήστε την τιμή της πλευράς στο κατάλληλο πεδίο και λάβετε μια έτοιμη απάντηση. Μπορείτε να επιλέξετε διάφορες επιλογές για τη στρογγυλοποίηση της απάντησης: σε δεκαδικά, εκατοστά, χιλιοστά κ.λπ.

Κύκλος εγγεγραμμένος σε τρίγωνο

Ύπαρξη κύκλου εγγεγραμμένου σε τρίγωνο

Θυμηθείτε τον ορισμό διχοτόμος γωνίας .

Ορισμός 1 .Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται ακτίνα που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσα μέρη.

Θεώρημα 1 (Βασική ιδιότητα της διχοτόμου γωνίας) . Κάθε σημείο της διχοτόμου της γωνίας βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τις πλευρές της γωνίας (Εικ. 1).

Ρύζι. 1

Απόδειξη ρε που βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίαςBAC , Και DE Και D.F. στις πλευρές της γωνίας (Εικ. 1).ορθογώνια τρίγωνα ADF Και ΑΔΕ ίσος γιατί έχουν τις ίδιες οξείες γωνίεςDAF Και ΔΑΕ , και την υποτείνουσα ΕΝΑ Δ - στρατηγός. Ως εκ τούτου,

Δ.Φ. = Δ.Ε.

Q.E.D.

Θεώρημα 2 (αντίστροφο θεώρημα στο θεώρημα 1) . Αν λίγο , τότε βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας (Εικ. 2).

Ρύζι. 2

Απόδειξη . Σκεφτείτε ένα αυθαίρετο σημείορε που βρίσκεται μέσα στη γωνίαBAC και βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τις πλευρές της γωνίας. Πτώση από το σημείορε κάθετες DE Και D.F. στις πλευρές της γωνίας (Εικ. 2).ορθογώνια τρίγωνα ADF Και ΑΔΕ ίσος , αφού έχουν ίσα πόδιαD.F. Και DE , και την υποτείνουσα ΕΝΑ Δ - στρατηγός. Ως εκ τούτου,

Q.E.D.

Ορισμός 2 . Ο κύκλος ονομάζεται κύκλος εγγεγραμμένος σε γωνία αν είναι οι πλευρές αυτής της γωνίας.

Θεώρημα 3 . Αν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε γωνία, τότε οι αποστάσεις από την κορυφή της γωνίας έως τα σημεία επαφής του κύκλου με τις πλευρές της γωνίας είναι ίσες.

Απόδειξη . Αφήστε το θέμα ρε είναι το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε γωνίαBAC , και τα σημεία μι Και φά - σημεία επαφής του κύκλου με τις πλευρές της γωνίας (Εικ. 3).

Εικ.3

ένα , σι , ντο - πλευρές τριγώνου
 μικρό -τετράγωνο,

r – ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
 Π - ημιπερίμετρος

.

Προβολή εξόδου τύπου

ένα – πλευρική πλευρά ισοσκελούς τριγώνου , 
 σι - βάση, r – εγγεγραμμένη ακτίνα κύκλου

ένα r – εγγεγραμμένη ακτίνα κύκλου

Προβολή εξόδου τύπου

,

Οπου

,

τότε, στην περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου, όταν

παίρνουμε

που ήταν και το ζητούμενο.

Θεώρημα 7 . Για την ισότητα

Οπου ένα - πλευρά ισόπλευρου τριγώνουr – ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (Εικ. 8).

Ρύζι. 8

Απόδειξη .

,

τότε, στην περίπτωση ισόπλευρου τριγώνου, όταν

b=a,

παίρνουμε

που ήταν και το ζητούμενο.

Σχόλιο . Συνιστώ να εξάγετε ως άσκηση τον τύπο για την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο απευθείας, δηλ. χωρίς τη χρήση γενικών τύπων για τις ακτίνες των κύκλων που εγγράφονται σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ή σε ένα ισοσκελές τρίγωνο.

Θεώρημα 8 . Για ορθογώνιο τρίγωνο, η ισότητα

Οπου ένα , σι - σκέλη ορθογώνιου τριγώνου, ντο – υποτείνουσα , r – ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Απόδειξη . Εξετάστε το σχήμα 9.

Ρύζι. 9

Από το τετράπλευροCDOF είναι , που έχει διπλανές πλευρέςΚΑΝΩ Και ΤΟΥ είναι ίσα, τότε αυτό το ορθογώνιο είναι . Ως εκ τούτου,

CB \u003d CF \u003d r,

Δυνάμει του Θεωρήματος 3, οι ισότητες

Επομένως, λαμβάνοντας επίσης υπόψη , παίρνουμε

που ήταν και το ζητούμενο.

Μια επιλογή εργασιών με θέμα "Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε τρίγωνο."

1.

Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο χωρίζει στο σημείο επαφής μια από τις πλευρές σε δύο τμήματα, τα μήκη των οποίων είναι ίσα με 5 και 3, μετρώντας από την κορυφή απέναντι από τη βάση. Να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου.

2.

3

ΣΕ τρίγωνο ABC AC=4, BC=3, η γωνία C είναι 90º. Βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

4.

Τα σκέλη ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου είναι 2+. Βρείτε την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό το τρίγωνο.

5.

Ακτίνα κύκλου εγγεγραμμένη σε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, ισούται με 2. Να βρείτε την υποτείνουσα c αυτού του τριγώνου. Γράψτε c(-1) στην απάντησή σας.

Ακολουθούν ορισμένες εργασίες από την εξέταση με λύσεις.

Η ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο είναι . Να βρείτε την υποτείνουσα c αυτού του τριγώνου. Σημειώστε στην απάντησή σας.

Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Άρα τα πόδια του είναι ίδια. Αφήστε κάθε πόδι να είναι ίσο. Τότε η υποτείνουσα είναι.

Γράφουμε το εμβαδόν του τριγώνου ABC με δύο τρόπους:

Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, καταλαβαίνουμε ότι. Επειδή η, το καταλαβαίνουμε. Επειτα.

Σε απάντηση, γράψτε.

Απάντηση:.

Εργασία 2.

1. Σε οποιεσδήποτε δύο πλευρές 10cm και 6cm (AB και BC). Να βρείτε τις ακτίνες των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων
Το πρόβλημα λύνεται ανεξάρτητα με σχολιασμό.

Λύση:

ΣΕ.

1) Βρείτε:
2) Απόδειξη:και βρείτε CK
3) Να βρείτε: τις ακτίνες των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων

Λύση:

Εργασία 6.

R η ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τετράγωνο είναι. Βρείτε την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από αυτό το τετράγωνο.Δεδομένος :

Εύρημα: OS=?
Λύση: V αυτή η υπόθεσητο πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας είτε το Πυθαγόρειο θεώρημα είτε τον τύπο για το R. Η δεύτερη περίπτωση είναι απλούστερη, αφού ο τύπος για το R προέρχεται από το θεώρημα.

Εργασία 7.

Η ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο είναι 2. Βρείτε την υποτείνουσαΜε αυτό το τρίγωνο. Σημειώστε στην απάντησή σας.

S είναι το εμβαδόν του τριγώνου

Δεν γνωρίζουμε ούτε τις πλευρές του τριγώνου ούτε το εμβαδόν του. Ας συμβολίσουμε τα σκέλη ως x, τότε η υποτείνουσα θα είναι ίση με:

Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι 0,5x 2 .

Που σημαίνει

Άρα η υποτείνουσα θα είναι:

Η απάντηση πρέπει να γραφτεί:

Απάντηση: 4

Εργασία 8.

Στο τρίγωνο ABC, AC = 4, BC = 3, γωνία ντοισούται με 90 0 . Βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο:

όπου α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου

S είναι το εμβαδόν του τριγώνου

Δύο πλευρές είναι γνωστές (αυτές είναι πόδια), μπορούμε να υπολογίσουμε την τρίτη (υποτείνουσα), μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το εμβαδόν.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Ας βρούμε την περιοχή:

Ετσι:

Απάντηση: 1

Εργασία 9.

Οι πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 5, η βάση είναι 6. Βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο:

όπου α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου

S είναι το εμβαδόν του τριγώνου

Όλες οι πλευρές είναι γνωστές και το εμβαδόν υπολογίζεται. Μπορούμε να το βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

Επειτα

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Ένας ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες. Επομένως, κληρονομεί όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. Και συγκεκριμένα:

• Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι μεταξύ τους κάθετες.
• Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών του.

Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τετράπλευρο εάν και μόνο εάν τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα.
Επομένως, ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιονδήποτε ρόμβο. Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου συμπίπτει με το κέντρο τομής των διαγωνίων του ρόμβου.
Η ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου σε έναν ρόμβο μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους

1 τρόπος. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου σε ρόμβο διαμέσου του ύψους

Το ύψος ενός ρόμβου είναι ίσο με τη διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα ενός ορθογωνίου, το οποίο σχηματίζεται από τη διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου και το ύψος του ρόμβου - οι απέναντι πλευρές του ορθογωνίου είναι ίσες.

Επομένως, ο τύπος για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου σε ρόμβο διαμέσου του ύψους:

2 τρόπος. Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου σε ρόμβο διαμέσου των διαγώνιων

Το εμβαδόν ενός ρόμβου μπορεί να εκφραστεί ως προς την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου
, Οπου Rείναι η περίμετρος του ρόμβου. Γνωρίζοντας ότι η περίμετρος είναι το άθροισμα όλων των πλευρών ενός τετράπλευρου, έχουμε Ρ= 4× χα.Επειτα
Αλλά το εμβαδόν ενός ρόμβου είναι επίσης το μισό γινόμενο των διαγωνίων του
Εξισώνοντας τα σωστά μέρη των τύπων εμβαδού, έχουμε την ακόλουθη ισότητα
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε έναν τύπο που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου σε έναν ρόμβο μέσω των διαγωνίων

Παράδειγμα υπολογισμού της ακτίνας κύκλου εγγεγραμμένου σε ρόμβο εάν οι διαγώνιοι είναι γνωστές
Βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ρόμβο αν είναι γνωστό ότι το μήκος των διαγωνίων είναι 30 cm και 40 cm
Αφήνω Α Β Γ Δ- ρόμβος, λοιπόν ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι BDτις διαγώνιες του. AC= 30 εκ , BD=40 cm
Αφήστε το θέμα ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕείναι το κέντρο του εγγεγραμμένου στον ρόμβο Α Β Γ Δκύκλο, τότε θα είναι και το σημείο τομής των διαγωνίων του, χωρίζοντάς τες στη μέση.


αφού οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται σε ορθή γωνία, τότε το τρίγωνο AOBορθογώνιος. Στη συνέχεια με το Πυθαγόρειο θεώρημα
, αντικαθιστούμε τις προηγούμενες τιμές στον τύπο

ΑΒ= 25 cm
Εφαρμόζοντας τον τύπο που προέκυψε προηγουμένως για την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου σε έναν ρόμβο, λαμβάνουμε

3 τρόπος. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στον ρόμβο διαμέσου των τμημάτων m και n

Τελεία φά- το σημείο επαφής του κύκλου με την πλευρά του ρόμβου, που τον χωρίζει σε τμήματα AFΚαι bf. Αφήνω AF=m, BF=n.
Τελεία Ο- το κέντρο τομής των διαγωνίων του ρόμβου και το κέντρο του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό.
Τρίγωνο AOB- ορθογώνιο, αφού οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται σε ορθή γωνία.
, επειδή είναι η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης του κύκλου. Ως εκ τούτου ΤΟΥ- το ύψος του τριγώνου AOBστην υποτείνουσα. Επειτα AFΚαι bf-προβολές των ποδιών στην υποτείνουσα.
Το ύψος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που πέφτει στην υποτείνουσα είναι η μέση αναλογία μεταξύ των προεξοχών των ποδιών στην υποτείνουσα.

Ο τύπος για την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου σε έναν ρόμβο διαμέσου των τμημάτων είναι ίσος με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου αυτών των τμημάτων στα οποία η πλευρά του ρόμβου διαιρείται με το σημείο εφαπτομένης του κύκλου

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου; Αυτή η ερώτηση είναι πάντα σχετική για τους μαθητές που σπουδάζουν επιπεδομετρία. Παρακάτω θα δούμε μερικά παραδείγματα για το πώς μπορείτε να αντιμετωπίσετε την εργασία.

Ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του κύκλου έτσι.

Τύπος 1: R \u003d L / 2π, όπου L είναι και π είναι μια σταθερά ίση με 3,141 ...

Τύπος 2: R = √(S / π), όπου S είναι η περιοχή του κύκλου.

Τύπος 1: R = B/2, όπου B είναι η υποτείνουσα.

Τύπος 2: R \u003d M * B, όπου B είναι η υποτείνουσα και M είναι η διάμεσος που έλκεται σε αυτήν.

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου εάν περιβάλλεται γύρω από ένα κανονικό πολύγωνο

Τύπος: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), όπου A είναι το μήκος μιας από τις πλευρές του σχήματος και n είναι ο αριθμός των πλευρών σε αυτό το γεωμετρικό σχήμα.

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός εγγεγραμμένου κύκλου

Ένας εγγεγραμμένος κύκλος ονομάζεται όταν αγγίζει όλες τις πλευρές του πολυγώνου. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Τύπος 1: R \u003d S / (P / 2), όπου - S και P είναι η περιοχή και η περίμετρος του σχήματος, αντίστοιχα.

Τύπος 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), όπου P είναι η περίμετρος, A είναι το μήκος μιας από τις πλευρές και είναι η γωνία απέναντι από αυτήν την πλευρά.

Πώς να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου εάν είναι εγγεγραμμένος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Φόρμουλα 1:

Ακτίνα κύκλου εγγεγραμμένη σε ρόμβο

Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιονδήποτε ρόμβο, τόσο ισόπλευρο όσο και ανισόπλευρο.

Τύπος 1: R \u003d 2 * H, όπου H είναι το ύψος του γεωμετρικού σχήματος.

Τύπος 2: R \u003d S / (A * 2), όπου S είναι και A είναι το μήκος της πλευράς του.

Τύπος 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), όπου S είναι η περιοχή του ρόμβου και η αμαρτία A είναι το ημίτονο οξεία γωνίααυτό το γεωμετρικό σχήμα.

Τύπος 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), όπου V και G είναι τα μήκη των διαγωνίων ενός γεωμετρικού σχήματος.

Τύπος 5: R = B * sin (A / 2), όπου B είναι η διαγώνιος του ρόμβου και A είναι η γωνία στις κορυφές που συνδέουν τη διαγώνιο.

Ακτίνα κύκλου που εγγράφεται σε τρίγωνο

Σε περίπτωση που στην συνθήκη του προβλήματος σας δοθούν τα μήκη όλων των πλευρών του σχήματος, τότε πρώτα υπολογίστε το (P) και μετά την ημιπερίμετρο (p):

P \u003d A + B + C, όπου A, B, C είναι τα μήκη των πλευρών του γεωμετρικού σχήματος.

Τύπος 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Και αν, γνωρίζοντας και τις τρεις ίδιες πλευρές, σας δίνονται επίσης, τότε μπορείτε να υπολογίσετε την επιθυμητή ακτίνα ως εξής.

Τύπος 2: R = S * 2(A + B + C)

Τύπος 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), όπου - p είναι η ημιπερίμετρος του γεωμετρικού σχήματος.

Τύπος 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), όπου n είναι η μισή περίμετρος του τριγώνου, A είναι μία από τις πλευρές του και tg (A / 2) είναι η εφαπτομένη του μισού γωνία απέναντι από αυτήν την πλευρά.

Και ο παρακάτω τύπος θα σας βοηθήσει να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος

Τύπος 5: R \u003d A * √3/6.

Ακτίνα κύκλου που εγγράφεται σε ορθογώνιο τρίγωνο

Εάν στο πρόβλημα δοθούν τα μήκη των ποδιών, καθώς και η υποτείνουσα, τότε η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου διαπιστώνεται ως εξής.

Τύπος 1: R \u003d (A + B-C) ​​/ 2, όπου τα A, B είναι τα πόδια, το C είναι η υποτείνουσα.

Σε περίπτωση που σας δοθούν μόνο δύο σκέλη, είναι καιρός να θυμηθείτε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε την υποτείνουσα και να χρησιμοποιήσετε τον παραπάνω τύπο.

C \u003d √ (A² + B²).

Ακτίνα κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο

Ο κύκλος, που είναι εγγεγραμμένος στο τετράγωνο, χωρίζει και τις 4 πλευρές του ακριβώς στη μέση στα σημεία επαφής.

Τύπος 1: R \u003d A / 2, όπου Α είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου.

Τύπος 2: R \u003d S / (P / 2), όπου S και P είναι η περιοχή και η περίμετρος του τετραγώνου, αντίστοιχα.