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प्रत्यक्ष आनुपातिकता क्या है? रैखिक प्रकार्य। प्रत्यक्ष आनुपातिकता

उदाहरण

1.6 / 2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 आदि।

आनुपातिकता कारक

समानुपातिक मात्राओं का स्थिर अनुपात कहलाता है आनुपातिकता का गुणांक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरी मात्रा की एक इकाई पर पड़ती हैं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें कुछ मात्रा दूसरी मात्रा पर इस तरह निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते हैं अनुपात में, बराबर शेयरों में, यानी, अगर तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदल गया है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

एफ(एक्स) = एएक्स,ए = सीहेएनएसटी

उलटा आनुपातिकता

उलटा अनुपात- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि निर्भर मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी का कारण बनती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रमानुपाती को एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

समारोह गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010।

I. सीधे आनुपातिक मात्रा।

मान दें वाईआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि वृद्धि के साथ एक्सकई गुना आकार परउसी कारक से बढ़ता है, फिर ऐसे मान एक्सऔर परसीधे आनुपातिक कहलाते हैं।

उदाहरण।

1 . खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद की लागत (माल की एक इकाई की निश्चित कीमत पर - 1 टुकड़ा या 1 किलो, आदि) कितने गुना ज्यादा माल खरीदा, कितने गुना ज्यादा और भुगतान किया।

2 . तय की गई दूरी और उस पर बिताया गया समय (स्थिर गति पर)। कितना गुना लंबा रास्ता, कितना अधिक समय हम उस पर खर्च करेंगे।

3 . किसी पिंड का आयतन और उसका द्रव्यमान। ( यदि एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो उसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)

द्वितीय। मात्राओं के प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुण।

यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाना मूल्यों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मूल्यों के अनुपात के बराबर है।

कार्य 1।रास्पबेरी जाम के लिए 12 किग्रारास्पबेरी और 8 किग्रासहारा। चीनी लेंगे तो कितनी लगेगी 9 किग्रारसभरी?

समाधान।

हम इस तरह बहस करते हैं: इसे जरूरी होने दो एक्स किलोचीनी चालू 9 किग्रारसभरी। रसभरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे आनुपातिक हैं: रसभरी को कितनी बार कम, उतनी ही मात्रा में चीनी की आवश्यकता होती है। इसलिए, रसभरी (वजन से) का अनुपात ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8:x). हमें अनुपात मिलता है:

12: 9=8: एक्स;

एक्स = 9 · 8: 12;

एक्स = 6। उत्तर:पर 9 किग्रारसभरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

समस्या का समाधानऐसा किया जा सकता था:

पर चलो 9 किग्रारसभरी लेने के लिए एक्स किलोसहारा।

(चित्र में तीरों को एक दिशा में निर्देशित किया गया है, और इससे ऊपर या नीचे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थ: कितनी बार संख्या 12 अधिक संख्या 9 , वही संख्या 8 अधिक संख्या एक्स, यानी, यहाँ प्रत्यक्ष निर्भरता है)।

उत्तर:पर 9 किग्रारसभरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

कार्य 2।कार के लिए 3 घंटेयात्रा की दूरी 264 किमी. उसे कितना समय लगेगा 440 किमीअगर यह उसी गति से यात्रा करता है?

समाधान।

करने दो एक्स घंटेदूरी तय करेगी कार 440 किमी।

उत्तर:कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता की अवधारणा

कल्पना कीजिए कि आप अपनी पसंदीदा कैंडी (या जो भी आपको वास्तव में पसंद है) खरीदने के बारे में सोच रहे हैं। दुकान में मिठाइयों की अपनी कीमत होती है। मान लीजिए 300 रूबल प्रति किलोग्राम। जितनी अधिक कैंडीज आप खरीदते हैं, उतनी अधिक कैंडीज आप खरीदते हैं अधिक पैसेभुगतान करना। यही है, यदि आप 2 किलोग्राम चाहते हैं - 600 रूबल का भुगतान करें, और यदि आप 3 किलो चाहते हैं - 900 रूबल दें। इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, है ना?

यदि हाँ, तो अब यह आपके लिए स्पष्ट हो गया है कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता क्या है - यह एक ऐसी अवधारणा है जो दो मात्राओं के अनुपात का वर्णन करती है जो एक दूसरे पर निर्भर करती हैं। और इन मात्राओं का अनुपात अपरिवर्तित और स्थिर रहता है: उनमें से कितने भागों में से एक बढ़ता या घटता है, समान भागों की संख्या से दूसरा आनुपातिक रूप से बढ़ता या घटता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता को निम्न सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है: f(x) = a*x, और इस सूत्र में a एक स्थिर मान (a = const) है। हमारे कैंडी उदाहरण में, कीमत स्थिर है, स्थिर है। यह बढ़ता या घटता नहीं है, चाहे आप कितनी भी मिठाइयाँ खरीदने का फैसला करें। स्वतंत्र चर (तर्क) x यह है कि आप कितने किलोग्राम मिठाइयाँ खरीदने जा रहे हैं। और निर्भर चर f(x) (फ़ंक्शन) यह है कि आप अपनी खरीदारी के लिए कितना पैसा चुकाते हैं। तो हम संख्या को सूत्र में स्थानापन्न कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं: 600 आर। = 300 आर। * 2 किग्रा.

मध्यवर्ती निष्कर्ष यह है: यदि तर्क बढ़ता है, तो कार्य भी बढ़ता है, यदि तर्क घटता है, तो कार्य भी घटता है

कार्य और उसके गुण

प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यहै विशेष मामलारैखिक प्रकार्य। यदि रैखिक कार्य y = k*x + b है, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए यह इस तरह दिखता है: y = k*x, जहाँ k को आनुपातिकता कारक कहा जाता है, और यह हमेशा एक गैर-शून्य संख्या होती है। K की गणना करना आसान है - यह एक फ़ंक्शन के भागफल और एक तर्क के रूप में पाया जाता है: k = y/x।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक और उदाहरण लें। कल्पना कीजिए कि एक कार बिंदु A से बिंदु B की ओर जा रही है। इसकी रफ्तार 60 किमी/घंटा है। यदि हम मान लें कि गति की गति स्थिर रहती है, तो इसे एक स्थिर मान लिया जा सकता है। और फिर हम शर्तों को फॉर्म में लिखते हैं: S \u003d 60 * t, और यह सूत्र प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन y \u003d k * x के समान है। आइए आगे एक समानांतर बनाएं: यदि k \u003d y / x, तो कार की गति की गणना की जा सकती है, A और B के बीच की दूरी और सड़क पर बिताए गए समय को जानकर: V \u003d S / t।

और अब, प्रत्यक्ष आनुपातिकता के बारे में ज्ञान के अनुप्रयोग से, आइए इसके कार्य पर वापस लौटें। जिनमें से गुण शामिल हैं:

इसकी परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं (साथ ही इसके उपसमुच्चय) का समुच्चय है;

कार्य विषम है;

चरों में परिवर्तन संख्या रेखा की संपूर्ण लंबाई के समानुपाती होता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और इसका ग्राफ

प्रत्यक्ष आनुपातिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु को प्रतिच्छेद करती है। इसे बनाने के लिए, यह केवल एक और बिंदु को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है। और इसे और लाइन की उत्पत्ति को कनेक्ट करें।

ग्राफ के मामले में, यह है ढलान. यदि ढलान शून्य से कम है (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), ग्राफ और एक्स-एक्सिस फॉर्म तेज़ कोने, और फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ़ की एक और संपत्ति सीधे ढलान k से संबंधित है। मान लीजिए कि हमारे पास दो गैर-समान कार्य हैं और तदनुसार दो ग्राफ हैं। इसलिए, यदि इन कार्यों के गुणांक के बराबर हैं, तो उनके ग्राफ समन्वय अक्ष पर समानांतर हैं। और यदि गुणांक k एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो रेखांकन प्रतिच्छेद करते हैं।

कार्य के उदाहरण

आइए एक जोड़ी तय करें प्रत्यक्ष आनुपातिकता की समस्याएं

चलिए सरल शुरू करते हैं।

कार्य 1: कल्पना कीजिए कि 5 मुर्गियों ने 5 दिनों में 5 अंडे दिए। और अगर 20 मुर्गियाँ हैं, तो वे 20 दिनों में कितने अंडे देंगी?

हल: अज्ञात को x से निरूपित करें। और हम इस प्रकार तर्क देंगे: कितनी बार अधिक मुर्गियां हुई हैं? 20 को 5 से विभाजित करें और उसे 4 बार ज्ञात करें। और उसी 5 दिनों में 20 मुर्गियाँ कितने गुना अधिक अंडे देंगी? साथ ही 4 गुना अधिक। तो, हम अपने को इस तरह पाते हैं: 20 दिनों में 5 * 4 * 4 \u003d 80 अंडे 20 मुर्गियों द्वारा रखे जाएंगे।

अब उदाहरण थोड़ा और जटिल है, आइए न्यूटन के "सामान्य अंकगणितीय" से समस्या को दोबारा दोहराएं। टास्क 2: एक लेखक 8 दिनों में एक नई किताब के 14 पेज लिख सकता है। यदि उसके सहायक होते, तो 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखने में कितने लोगों की आवश्यकता होती?

समाधान: हम तर्क देते हैं कि काम की मात्रा में वृद्धि के साथ लोगों (लेखक + सहायक) की संख्या बढ़ जाती है अगर इसे उसी समय में किया जाना था। लेकिन कितनी बार? 420 को 14 से भाग देने पर हमें पता चलता है कि यह 30 गुना बढ़ जाता है। लेकिन चूंकि, कार्य की स्थिति के अनुसार, काम के लिए अधिक समय दिया जाता है, सहायकों की संख्या 30 गुना नहीं बढ़ती है, लेकिन इस प्रकार: x \u003d 1 (लेखक) * 30 (बार): 12/8 (दिन)। आइए रूपांतरित करें और पता करें कि x = 20 लोग 12 दिनों में 420 पेज लिखेंगे।

आइए एक और समस्या को उसी तरह हल करें जो हमारे पास उदाहरणों में थी।

कार्य 3: दो कारें एक ही यात्रा पर निकलीं। एक 70 किमी/घंटा की गति से चल रहा था और 2 घंटे में उतनी ही दूरी तय करता है जितनी दूसरी 7 घंटे में तय करती है। दूसरी कार की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान: जैसा कि आपको याद है, पथ गति और समय के माध्यम से निर्धारित होता है - एस = वी * टी। चूँकि दोनों कारों ने एक ही तरह से यात्रा की, हम दो भावों की बराबरी कर सकते हैं: 70*2 = V*7। हम कहां पाते हैं कि दूसरी कार की गति V = 70*2/7 = 20 किमी/घंटा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता वाले कार्यों के कुछ और उदाहरण। कभी-कभी समस्याओं में गुणांक k ज्ञात करना आवश्यक होता है।

टास्क 4: फ़ंक्शंस y \u003d - x / 16 और y \u003d 5x / 2 को देखते हुए, उनके आनुपातिक गुणांक निर्धारित करें।

हल: जैसा कि आपको याद है, k = y/x। इसलिए, पहले फ़ंक्शन के लिए, गुणांक -1/16 है, और दूसरे के लिए, k = 5/2 है।

और आपके सामने टास्क 5 जैसे कार्य भी आ सकते हैं: प्रत्यक्ष आनुपातिकता सूत्र लिखें। इसका ग्राफ और फ़ंक्शन y \u003d -5x + 3 का ग्राफ समानांतर में स्थित है।

हल: स्थिति में हमें जो फलन दिया गया है वह रैखिक है। हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक फलन की एक विशेष स्थिति है। और हम यह भी जानते हैं कि यदि k फलन के गुणांक समान हैं, तो उनके ग्राफ समानांतर होते हैं। इसका मतलब यह है कि किसी ज्ञात फ़ंक्शन के गुणांक की गणना करना और परिचित सूत्र का उपयोग करके प्रत्यक्ष आनुपातिकता निर्धारित करना आवश्यक है: y \u003d k * x। गुणांक k \u003d -5, प्रत्यक्ष आनुपातिकता: y \u003d -5 * x।

निष्कर्ष

अब आप जान गए हैं (या याद है, यदि आप पहले ही इस विषय को कवर कर चुके हैं), किसे कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता, और इस पर विचार किया उदाहरण. हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता फलन और उसके ग्राफ के बारे में भी बात की, उदाहरण के लिए कुछ समस्याओं को हल किया।

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प्रत्यक्ष और व्युत्क्रमानुपाती

यदि t वह समय है जब पैदल यात्री चल रहा है (घंटों में), s तय की गई दूरी (किलोमीटर में), और वह समान रूप से 4 किमी/घंटा की गति से चलता है, तो इन राशियों के बीच के संबंध को सूत्र s द्वारा व्यक्त किया जा सकता है = 4t। चूँकि t का प्रत्येक मान s के एक अद्वितीय मान से मेल खाता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि सूत्र s = 4t का उपयोग करके एक फलन दिया गया है। इसे प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है और इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

परिभाषा। प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक ऐसा कार्य है जिसे सूत्र y \u003d kx का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहाँ k एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है।

फ़ंक्शन y \u003d k x का नाम इस तथ्य के कारण है कि सूत्र y \u003d kx में चर x और y हैं, जो मात्रा के मान हो सकते हैं। और यदि दो मानों का अनुपात शून्य के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या के बराबर हो तो वे कहलाते हैं सीधे आनुपातिक . हमारे मामले में = k (k≠0)। इस नंबर को कहा जाता है आनुपातिकता कारक।

फ़ंक्शन y \u003d k x गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में पहले से ही मानी जाने वाली कई वास्तविक स्थितियों का गणितीय मॉडल है। उनमें से एक ऊपर वर्णित है। एक अन्य उदाहरण: यदि एक पैकेज में 2 किलो आटा है, और ऐसे x पैकेज खरीदे जाते हैं, तो खरीदे गए आटे का पूरा द्रव्यमान (हम इसे y द्वारा निरूपित करते हैं) को सूत्र y \u003d 2x, अर्थात के रूप में दर्शाया जा सकता है। पैकेजों की संख्या और खरीदे गए आटे के कुल द्रव्यमान के बीच संबंध गुणांक k=2 के साथ सीधे आनुपातिक है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता के कुछ गुणों को याद करें, जिनका अध्ययन गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में किया जाता है।

1. फ़ंक्शन y \u003d k x का डोमेन और उसके मानों का डोमेन वास्तविक संख्याओं का समूह है।

2. प्रत्यक्ष समानुपातिकता का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। इसलिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक ग्राफ बनाने के लिए, यह केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है जो इसका है और मूल के साथ मेल नहीं खाता है, और फिर इस बिंदु और मूल के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = 2x को प्लॉट करने के लिए, निर्देशांक (1, 2) के साथ एक बिंदु होना पर्याप्त है, और फिर इसके माध्यम से और मूल (चित्र 7) के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें।

3. k > 0 के लिए, फलन y = kx परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में बढ़ता है; काँटा< 0 - убывает на всей области определения.

4. यदि फ़ंक्शन f एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता है और (x 1, y 1), (x 2, y 2) - चर x और y के संबंधित मानों के जोड़े, और x 2 ≠ 0 तब।

वास्तव में, यदि फ़ंक्शन f एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता है, तो इसे सूत्र y \u003d kx, और फिर y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2 द्वारा दिया जा सकता है। चूंकि x 2 ≠ 0 और k ≠ 0, तो y 2 ≠ 0। इसीलिए और मतलब है।

यदि चर x और y के मान सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के सिद्ध गुण को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: चर x के मान में कई बार वृद्धि (कमी) के साथ, चर y का संगत मान उसी राशि से बढ़ता (घटता) है।

यह संपत्ति केवल प्रत्यक्ष आनुपातिकता में निहित है, और इसका उपयोग शाब्दिक समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है जिसमें सीधे आनुपातिक मात्राओं पर विचार किया जाता है।

टास्क 1. 8 घंटे में टर्नर ने 16 हिस्से किए। एक टर्नर को 48 पुर्जे बनाने में कितने घंटे लगेंगे यदि वह समान उत्पादकता पर काम करता है?

समाधान। समस्या मात्राओं पर विचार करती है - टर्नर का समय, उसके द्वारा बनाए गए पुर्जों की संख्या और उत्पादकता (अर्थात 1 घंटे में टर्नर द्वारा निर्मित पुर्जों की संख्या), बाद वाला मान स्थिर होना, और अन्य दो लेना विभिन्न अर्थ. इसके अलावा, भागों की संख्या और काम का समय सीधे आनुपातिक होते हैं, क्योंकि उनका अनुपात एक निश्चित संख्या के बराबर होता है जो शून्य के बराबर नहीं होता है, अर्थात्, 1 घंटे में एक टर्नर द्वारा बनाए गए भागों की संख्या। बनाए गए पुर्जों की संख्या को अक्षर y से निरूपित किया जाता है, कार्य समय x है, और प्रदर्शन - k, तो हमें वह = k या y = kx, यानी मिलता है। समस्या में प्रस्तुत स्थिति का गणितीय मॉडल प्रत्यक्ष आनुपातिकता है।

समस्या को दो अंकगणितीय तरीकों से हल किया जा सकता है:

1 तरीका: 2 तरीका:

1) 16:8 = 2 (बच्चे) 1) 48:16 = 3 (बार)

2) 48:2 = 24(एच) 2) 8-3 = 24(एच)

समस्या को पहले तरीके से हल करते हुए, हमने पहले आनुपातिक गुणांक k पाया, यह 2 के बराबर है, और फिर, यह जानते हुए कि y \u003d 2x, हमने x का मान पाया, बशर्ते कि y \u003d 48।

समस्या को दूसरे तरीके से हल करते समय, हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति का उपयोग किया: टर्नर द्वारा बनाए गए भागों की संख्या कितनी बार बढ़ जाती है, उनके निर्माण के लिए समय की मात्रा उसी मात्रा से बढ़ जाती है।

आइए अब हम प्रतिलोम समानुपातिकता नामक फलन पर विचार करें।

यदि t पैदल यात्री की गति (घंटों में) का समय है, v उसकी गति (किमी/घंटा में) है और वह 12 किमी चला, तो इन मूल्यों के बीच संबंध को सूत्र v∙t = 20 या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है वी = .

चूँकि t (t ≠ 0) का प्रत्येक मान वेग v के एकल मान से मेल खाता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि सूत्र v = का उपयोग करके एक फलन दिया गया है। इसे व्युत्क्रमानुपात कहा जाता है और इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

परिभाषा। व्युत्क्रमानुपाती एक ऐसा कार्य है जिसे सूत्र y \u003d का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहाँ k एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है।

इस फ़ंक्शन का नाम इस तथ्य से आता है कि वाई = चर x और y हैं, जो मात्राओं के मान हो सकते हैं। और यदि दो राशियों का गुणनफल शून्य के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या के बराबर हो तो उन्हें व्युत्क्रमानुपाती कहते हैं। हमारे मामले में, xy = k(k ≠ 0)। इस संख्या k को आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है।

समारोह वाई = गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में पहले से ही मानी जाने वाली कई वास्तविक स्थितियों का गणितीय मॉडल है। उनमें से एक का वर्णन व्युत्क्रमानुपाती की परिभाषा से पहले किया गया है। एक और उदाहरण: यदि आपने 12 किलो आटा खरीदा और इसे y किलो के 1: डिब्बे में डाल दिया, तो इन मात्राओं के बीच संबंध को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है एक्स-y= 12, अर्थात यह गुणांक k=12 के व्युत्क्रमानुपाती है।

गणित के स्कूल पाठ्यक्रम से ज्ञात व्युत्क्रमानुपाती के कुछ गुणों को याद करें।

1. कार्य क्षेत्र वाई = और इसका परिसर x शून्येतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

2. व्युत्क्रमानुपाती ग्राफ एक अतिपरवलय है।

3. k > 0 के लिए, अतिपरवलय की शाखाएँ पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्थित हैं और फलन वाई = x के पूरे डोमेन पर घट रहा है (चित्र 8)।

चावल। 8 चित्र 9

जब के< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция वाई = एक्स के पूरे डोमेन में बढ़ रहा है (चित्र 9)।

4. यदि फ़ंक्शन f व्युत्क्रमानुपाती है और (x 1, y 1), (x 2, y 2) चर x और y के संबंधित मानों के जोड़े हैं, तो।

वास्तव में, यदि फलन f व्युत्क्रमानुपाती है, तो इसे सूत्र द्वारा दिया जा सकता है वाई = ,और तब . चूँकि x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0, तब

यदि चर x और y के मान सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो व्युत्क्रम आनुपातिकता की इस संपत्ति को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: चर x के मान में कई बार वृद्धि (कमी) के साथ, चर का संगत मान y उसी मात्रा से घटता (बढ़ता) है।

यह संपत्ति केवल व्युत्क्रमानुपाती में निहित है, और इसका उपयोग शब्द समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है जिसमें व्युत्क्रमानुपाती मात्राओं पर विचार किया जाता है।

समस्या 2. एक साइकिल सवार, 10 किमी/घंटा की गति से चलते हुए, A से B की दूरी 6 घंटे में तय करता है।

समाधान। समस्या निम्नलिखित मात्राओं पर विचार करती है: साइकिल चालक की गति, गति का समय और ए से बी की दूरी, बाद वाला मान स्थिर है, और अन्य दो अलग-अलग मान ले रहे हैं। इसके अलावा, आंदोलन की गति और समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, क्योंकि उनका उत्पाद एक निश्चित संख्या के बराबर होता है, अर्थात् तय की गई दूरी। यदि साइकिल चालक की गति का समय अक्षर y से दर्शाया जाता है, तो गति x है, और दूरी AB k है, तो हमें वह xy \u003d k या y \u003d, अर्थात मिलता है। समस्या में प्रस्तुत स्थिति का गणितीय मॉडल व्युत्क्रमानुपाती है।

आप समस्या को दो तरीकों से हल कर सकते हैं:

1 तरीका: 2 तरीका:

1) 10-6 = 60 (किमी) 1) 20:10 = 2 (बार)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(एच)

समस्या को पहले तरीके से हल करते हुए, हमने पहले आनुपातिकता गुणांक k पाया, यह 60 के बराबर है, और फिर, यह जानते हुए कि y \u003d, हमने y का मान पाया, बशर्ते कि x \u003d 20।

समस्या को दूसरे तरीके से हल करते समय, हमने व्युत्क्रमानुपाती गुण का उपयोग किया: गति की गति कितनी बार बढ़ जाती है, समान दूरी तय करने में लगने वाला समय समान मात्रा में घट जाता है।

ध्यान दें कि व्युत्क्रमानुपाती या सीधे आनुपातिक मात्रा के साथ विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, कुछ प्रतिबंध x और y पर लगाए जाते हैं, विशेष रूप से, उन्हें वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट पर नहीं, बल्कि इसके सबसेट पर माना जा सकता है।

समस्या 3. लीना ने x पेंसिल खरीदीं, और कात्या ने 2 गुना अधिक खरीदीं। कात्या द्वारा खरीदी गई पेंसिलों की संख्या को y के रूप में निरूपित करें, y को x के संदर्भ में व्यक्त करें, और स्थापित पत्राचार ग्राफ को प्लॉट करें, बशर्ते कि x ≤ 5। क्या यह मैच एक फंक्शन है? इसकी परिभाषा और मूल्यों की सीमा का डोमेन क्या है?

समाधान। कात्या ने यू = 2 पेंसिल खरीदीं। फ़ंक्शन y = 2x को प्लॉट करते समय, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि चर x पेंसिल की संख्या और x≤5 को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि यह केवल 0, 1, 2, 3, 4, मान ले सकता है। 5. यह इस फ़ंक्शन का डोमेन होगा। इस फ़ंक्शन की सीमा प्राप्त करने के लिए, आपको प्रत्येक मान x को परिभाषा के डोमेन से 2 से गुणा करना होगा, अर्थात। यह एक समुच्चय (0, 2, 4, 6, 8, 10) होगा। इसलिए, परिभाषा के डोमेन (0, 1, 2, 3, 4, 5) के साथ फ़ंक्शन y \u003d 2x का ग्राफ चित्र 10 में दिखाए गए बिंदुओं का समूह होगा। ये सभी बिंदु रेखा y \u003d से संबंधित हैं 2x।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता की अवधारणा

कल्पना कीजिए कि आप अपनी पसंदीदा कैंडी (या जो भी आपको वास्तव में पसंद है) खरीदने के बारे में सोच रहे हैं। दुकान में मिठाइयों की अपनी कीमत होती है। मान लीजिए 300 रूबल प्रति किलोग्राम। आप जितनी ज्यादा कैंडीज खरीदेंगे, आपको उतने ही ज्यादा पैसे चुकाने होंगे। यही है, यदि आप 2 किलोग्राम चाहते हैं - 600 रूबल का भुगतान करें, और यदि आप 3 किलो चाहते हैं - 900 रूबल दें। इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, है ना?

कार्य और उसके गुण

प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यएक रैखिक कार्य का एक विशेष मामला है। यदि रैखिक कार्य y = k*x + b है, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए यह इस तरह दिखता है: y = k*x, जहाँ k को आनुपातिकता कारक कहा जाता है, और यह हमेशा एक गैर-शून्य संख्या होती है। K की गणना करना आसान है - यह एक फ़ंक्शन के भागफल और एक तर्क के रूप में पाया जाता है: k = y/x।

कार्य विषम है;

चरों में परिवर्तन संख्या रेखा की संपूर्ण लंबाई के समानुपाती होता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और इसका ग्राफ

ग्राफ के मामले में, k ढलान है। यदि ढलान शून्य से कम है (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), ग्राफ और एक्स-अक्ष एक तीव्र कोण बनाते हैं, और फ़ंक्शन बढ़ रहा है।