जब k 0. समीकरण का ढलान कैसे ज्ञात करें

रैखिक प्रकार्यप्रपत्र का एक कार्य है

एक्स-तर्क (स्वतंत्र चर),

y- फ़ंक्शन (आश्रित चर),

k और b कुछ स्थिर संख्याएँ हैं

रैखिक फलन का ग्राफ है सीधा.

ग्राफ बनाने के लिए पर्याप्त है। दोअंक, क्योंकि दो बिंदुओं के माध्यम से आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और इसके अलावा, केवल एक।

यदि k˃0, तो ग्राफ़ पहली और तीसरी समन्वय तिमाही में स्थित है। यदि k˂0, तो ग्राफ़ दूसरे और चौथे समन्वय क्वार्टर में स्थित है।

संख्या k को फ़ंक्शन y(x)=kx+b के सीधे ग्राफ़ का ढलान कहा जाता है। यदि k˃0, तो सीधी रेखा y(x)= kx+b का सकारात्मक दिशा Ox पर झुकाव का कोण न्यून कोण है; यदि k˂0, तो यह कोण अधिक कोण है।

गुणांक b, y-अक्ष (0; b) के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु को दर्शाता है।

y(x)=k∙x-- विशेष मामलाविशिष्ट कार्य को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, इसलिए इस ग्राफ को बनाने के लिए एक बिंदु पर्याप्त है।

रैखिक फ़ंक्शन ग्राफ़

जहाँ गुणांक k = 3, इसलिए

फ़ंक्शन का ग्राफ़ बढ़ेगा और होगा तेज़ कोनेऑक्स अक्ष के साथ क्योंकि गुणांक k में धन चिह्न है।

एक रैखिक फ़ंक्शन का OOF

एक रैखिक फलन का FRF

उस मामले को छोड़कर जहां

प्रपत्र का एक रैखिक कार्य भी

यह एक सामान्य कार्य है.

बी) यदि k=0; b≠0,

इस मामले में, ग्राफ़ ऑक्स अक्ष के समानांतर और बिंदु (0;बी) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

सी) यदि k≠0; b≠0, तो रैखिक फलन का रूप y(x)=k∙x+b है।

उदाहरण 1 . फलन y(x)= -2x+5 आलेखित करें

उदाहरण 2 . फलन y=3x+1, y=0; के शून्य ज्ञात कीजिए;

फ़ंक्शन के शून्य हैं.

उत्तर: या (;0)

उदाहरण 3 . x=1 और x=-1 के लिए फ़ंक्शन मान y=-x+3 निर्धारित करें

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

उत्तर: y_1=2; y_2=4.

उदाहरण 4 . उनके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें या साबित करें कि ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। मान लीजिए फलन y 1 =10∙x-8 और y 2 =-3∙x+5 दिए गए हैं।

यदि फ़ंक्शंस के ग्राफ़ प्रतिच्छेद करते हैं, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शंस का मान बराबर होता है

x=1 रखें, फिर y 1 (1)=10∙1-8=2.

टिप्पणी। आप तर्क के प्राप्त मान को फ़ंक्शन y 2 =-3∙x+5 में भी प्रतिस्थापित कर सकते हैं, तो हमें वही उत्तर y 2 (1)=-3∙1+5=2 मिलेगा।

y=2 - प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि।

(1;2) - फ़ंक्शन y \u003d 10x-8 और y \u003d -3x + 5 के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु।

उत्तर: (1;2)

उदाहरण 5 .

फ़ंक्शन y 1 (x)= x+3 और y 2 (x)= x-1 के ग्राफ़ बनाएं।

यह देखा जा सकता है कि दोनों कार्यों के लिए गुणांक k=1 है।

उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि किसी रैखिक फलन के गुणांक बराबर हैं, तो समन्वय प्रणाली में उनके ग्राफ़ समानांतर होते हैं।

उदाहरण 6 .

आइए फ़ंक्शन के दो ग्राफ़ बनाएं।

पहले ग्राफ़ में सूत्र है

दूसरे ग्राफ़ में सूत्र है

में इस मामले मेंहमारे सामने बिंदु (0; 4) पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं का एक ग्राफ है। इसका मतलब यह है कि गुणांक b, जो x-अक्ष के ऊपर ग्राफ़ की ऊंचाई के लिए ज़िम्मेदार है, यदि x=0. तो हम मान सकते हैं कि दोनों ग्राफ़ का गुणांक b 4 है।

संपादक: अजीवा हुसोव अलेक्जेंड्रोवना, गवरिलिना अन्ना विक्टोरोवना

आइए कार्य पर विचार करें। एक मोटरसाइकिल सवार शहर ए से निकल रहा है वर्तमान में 20 किमी दूर स्थित है। यदि मोटरसाइकिल चालक 40 किमी/घंटा की गति से चलता है तो टी घंटे के बाद A से कितनी दूरी (किमी) पर होगा?

यह स्पष्ट है कि t घंटे में मोटरसाइकिल चालक 50t किमी की यात्रा करेगा। नतीजतन, t घंटे के बाद यह A से (20 + 50t) किमी की दूरी पर होगा, यानी। s = 50t + 20, जहाँ t ≥ 0.

t का प्रत्येक मान s के एकल मान से मेल खाता है।

सूत्र s = 50t + 20, जहां t ≥ 0, एक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है।

आइए एक और समस्या पर विचार करें। टेलीग्राम भेजने के लिए प्रत्येक शब्द के लिए 3 कोपेक और अतिरिक्त 10 कोपेक का शुल्क लिया जाता है। n शब्दों वाला टेलीग्राम भेजने के लिए कितने कोपेक (यू) का भुगतान किया जाना चाहिए?

चूँकि प्रेषक को n शब्दों के लिए 3n kopecks का भुगतान करना होगा, n शब्दों में टेलीग्राम भेजने की लागत सूत्र u = 3n + 10 द्वारा पाई जा सकती है, जहाँ n कोई प्राकृतिक संख्या है।

विचार की गई दोनों समस्याओं में, हमें ऐसे फ़ंक्शन का सामना करना पड़ा जो फॉर्म y \u003d kx + l के सूत्रों द्वारा दिए गए हैं, जहां k और l कुछ संख्याएं हैं, और x और y चर हैं।

एक फ़ंक्शन जिसे y = kx + l के रूप के सूत्र द्वारा दिया जा सकता है, जहां k और l कुछ संख्याएं हैं, रैखिक कहलाता है।

चूँकि अभिव्यक्ति kx + l किसी भी x के लिए अर्थपूर्ण है, एक रैखिक फलन का डोमेन सभी संख्याओं का समुच्चय या उसका कोई उपसमुच्चय हो सकता है।

रैखिक फलन का एक विशेष मामला पहले मानी जाने वाली प्रत्यक्ष आनुपातिकता है। याद रखें कि l \u003d 0 और k ≠ 0 के लिए, सूत्र y \u003d kx + l रूप y \u003d kx लेता है, और यह सूत्र, जैसा कि आप जानते हैं, k ≠ 0 के लिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता दी गई है।

आइए हमें सूत्र द्वारा दिए गए एक रैखिक फलन f को आलेखित करने की आवश्यकता है
y = 0.5x + 2.

आइए x के कुछ मानों के लिए वेरिएबल y के कई संगत मान प्राप्त करें:

आइए हमें प्राप्त निर्देशांक के साथ बिंदुओं को नोट करें: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

यह स्पष्ट है कि निर्मित बिंदु किसी सीधी रेखा पर स्थित हैं। इससे अभी यह निष्कर्ष नहीं निकलता कि इस फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।

यह जानने के लिए कि विचारित फ़ंक्शन f का ग्राफ़ किस रूप में है, आइए इसकी तुलना हमारे परिचित प्रत्यक्ष आनुपातिकता x - y के ग्राफ़ से करें, जहाँ x \u003d 0.5 है।

किसी भी x के लिए, व्यंजक 0.5x + 2 का मान, व्यंजक 0.5x के संगत मान से 2 इकाई अधिक है। इसलिए, फ़ंक्शन f के ग्राफ़ के प्रत्येक बिंदु की कोटि प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ़ की संगत कोटि से 2 इकाइयों से अधिक है।

इसलिए, विचारित फ़ंक्शन f का ग्राफ़ y-अक्ष की दिशा में 2 इकाइयों द्वारा समानांतर अनुवाद द्वारा प्रत्यक्ष आनुपातिकता के ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है।

चूँकि प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ एक सीधी रेखा है, तो माने गए रैखिक फलन f का ग्राफ भी एक सीधी रेखा है।

सामान्य तौर पर, फॉर्म y \u003d kx + l के सूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।

हम जानते हैं कि एक सीधी रेखा बनाने के लिए उसके दो बिंदुओं की स्थिति निर्धारित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आपको एक फ़ंक्शन को प्लॉट करने की आवश्यकता है जो सूत्र द्वारा दिया गया है
y = 1.5x - 3.

आइए x के दो मनमाने मान लें, उदाहरण के लिए, x 1 = 0 और x 2 = 4। फ़ंक्शन y 1 = -3, y 2 = 3 के संबंधित मानों की गणना करें, बिंदु A (-3;) बनाएं। 0) और बी (4; 3) और इन बिंदुओं से होकर एक रेखा खींचें। यह सीधी रेखा वांछित ग्राफ़ है।

यदि रैखिक फ़ंक्शन का डोमेन सभी द्वारा दर्शाया नहीं गया है mi संख्याएँ, तो इसका ग्राफ़ एक सीधी रेखा पर बिंदुओं का एक उपसमूह होगा (उदाहरण के लिए, एक किरण, एक खंड, व्यक्तिगत बिंदुओं का एक समूह)।

सूत्र y = kx + l द्वारा दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ का स्थान l और k के मानों पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, x-अक्ष पर एक रैखिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के झुकाव के कोण का मान गुणांक k पर निर्भर करता है। यदि k है सकारात्मक संख्या, तो यह कोण न्यूनकोण है; यदि k एक ऋणात्मक संख्या है, तो कोण अधिक कोण है। संख्या k को रेखा की ढलान कहा जाता है।

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>>गणित: रैखिक फलन और उसका ग्राफ़

रैखिक फलन और उसका ग्राफ़

समीकरण ax + by + c = 0 का ग्राफ बनाने के लिए एल्गोरिदम, जिसे हमने § 28 में तैयार किया था, इसकी सभी स्पष्टता और निश्चितता के बावजूद, गणितज्ञ वास्तव में पसंद नहीं करते हैं। आमतौर पर वे एल्गोरिथम के पहले दो चरणों पर दावे करते हैं। वे कहते हैं कि चर y के संबंध में समीकरण को दो बार क्यों हल करें: पहले ax1 + bu + c = O, फिर axi + bu + c = O? क्या समीकरण ax + by + c = 0 से y को तुरंत व्यक्त करना बेहतर नहीं होगा, फिर गणना करना आसान होगा (और, सबसे महत्वपूर्ण, तेजी से)? की जाँच करें। पहले विचार करें समीकरण 3x - 2y + 6 = 0 (§ 28 से उदाहरण 2 देखें)।

एक्स देना विशिष्ट मूल्य, संगत y मानों की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, x = 0 के लिए हमें y = 3 मिलता है; x = -2 पर हमारे पास y = 0 है; x = 2 के लिए हमारे पास y = 6 है; x = 4 के लिए हमें मिलता है: y = 9.

आप देख सकते हैं कि अंक (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) और (4; 9) कितनी आसानी से और जल्दी से पाए गए, जिन्हें § 28 से उदाहरण 2 में हाइलाइट किया गया था।

इसी प्रकार, समीकरण bx - 2y = 0 (§ 28 का उदाहरण 4 देखें) को 2y = 16 -3x के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। तब y = 2.5x; इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदु (0; 0) और (2; 5) खोजना आसान है।

अंत में, उसी उदाहरण से समीकरण 3x + 2y - 16 = 0 को 2y = 16 -3x के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है और फिर इसे संतुष्ट करने वाले बिंदु (0; 0) और (2; 5) ढूंढना आसान है।

आइए अब हम संकेतित परिवर्तनों पर विचार करें सामान्य रूप से देखें.

इस प्रकार, दो चर x और y वाले रैखिक समीकरण (1) को हमेशा रूप में परिवर्तित किया जा सकता है
y = kx + m,(2) जहां k,m संख्याएं (गुणांक) हैं, और।

रैखिक समीकरण के इस विशेष रूप को रैखिक फलन कहा जाएगा।

समानता (2) का उपयोग करके, x का एक विशिष्ट मान निर्दिष्ट करके, y के संगत मान की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, चलो

y = 2x + 3. फिर:
यदि x = 0, तो y = 3;
यदि x = 1, तो y = 5;
यदि x = -1, तो y = 1;
यदि x = 3, तो y = 9, आदि।

आमतौर पर ये परिणाम फॉर्म में प्रस्तुत किए जाते हैं टेबल:

तालिका की दूसरी पंक्ति से y मानों को क्रमशः x = 0, x = 1, x = -1, बिंदुओं पर रैखिक फ़ंक्शन y = 2x + 3 के मान कहा जाता है। एक्स \u003d -3.

समीकरण (1) में चर xnu बराबर हैं, लेकिन समीकरण (2) में वे नहीं हैं: हम उनमें से एक को विशिष्ट मान निर्दिष्ट करते हैं - चर x, जबकि चर y का मान चुने गए मान पर निर्भर करता है चर एक्स. इसलिए, आमतौर पर यह कहा जाता है कि x स्वतंत्र चर (या तर्क) है, y आश्रित चर है।

ध्यान दें कि एक रैखिक फलन दो चरों वाला एक विशेष प्रकार का रैखिक समीकरण है। समीकरण ग्राफ y - kx + m, दो चर वाले किसी भी रैखिक समीकरण की तरह, एक सीधी रेखा है - इसे रैखिक फलन y = kx + mp का ग्राफ़ भी कहा जाता है। इस प्रकार, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

उदाहरण 1एक रैखिक फ़ंक्शन y \u003d 2x + 3 का ग्राफ़ बनाएं।

समाधान। आइए एक तालिका बनाएं:

दूसरी स्थिति में, स्वतंत्र चर x, जो पहली स्थिति की तरह, दिनों की संख्या को दर्शाता है, केवल 1, 2, 3, ..., 16 मान ले सकता है। वास्तव में, यदि x = 16 , फिर सूत्र y \u003d 500 - Z0x का उपयोग करके हम पाते हैं: y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20। इसका मतलब है कि पहले से ही 17 वें दिन गोदाम से 30 टन कोयला निकालना संभव नहीं होगा, क्योंकि इस दिन तक गोदाम में केवल 20 टन ही बचेगा और कोयला निर्यात की प्रक्रिया रोकनी पड़ेगी। इसलिए, दूसरी स्थिति का परिष्कृत गणितीय मॉडल इस तरह दिखता है:

y = 500 - ZOD:, जहाँ x = 1, 2, 3, .... 16।

तीसरी स्थिति में स्वतंत्र चर x सैद्धांतिक रूप से कोई भी गैर-नकारात्मक मान ले सकता है (उदाहरण के लिए, x मान = 0, x मान = 2, x मान = 3.5, आदि), लेकिन व्यवहार में एक पर्यटक लंबे समय तक सोए और आराम किए बिना स्थिर गति से नहीं चल सकता है। जैसा वह चाहता है. इसलिए हमें x पर उचित सीमाएं बनानी पड़ीं, मान लीजिए 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

याद रखें कि नॉनस्ट्रिक्ट डबल असमानता का ज्यामितीय मॉडल 0 है< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

वाक्यांश "x सेट एक्स से संबंधित है" के बजाय, हम लिखने के लिए सहमत हैं (वे पढ़ते हैं: "तत्व एक्स सेट एक्स से संबंधित है", ई सदस्यता का संकेत है)। जैसा कि आप देख सकते हैं, गणितीय भाषा से हमारा परिचय लगातार जारी है।

यदि रैखिक फलन y = kx + m को x के सभी मानों के लिए नहीं, बल्कि केवल कुछ संख्यात्मक अंतराल X से x के मानों के लिए माना जाना चाहिए, तो वे लिखते हैं:

उदाहरण 2. एक रैखिक फलन का ग्राफ़ बनाएं:

समाधान, ए) रैखिक फलन y = 2x + 1 के लिए एक तालिका बनाएं

आइए xOy निर्देशांक तल पर बिंदु (-3; 7) और (2; -3) बनाएं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। यह समीकरण y = -2x: + 1 का ग्राफ है। इसके बाद, निर्मित बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड का चयन करें (चित्र 38)। यह खंड रैखिक फ़ंक्शन y \u003d -2x + 1 का ग्राफ है, जहां xe [-3, 2] है।

आमतौर पर वे ऐसा कहते हैं: हमने खंड [- 3, 2] पर एक रैखिक फ़ंक्शन y \u003d - 2x + 1 प्लॉट किया है।

ख) यह उदाहरण पिछले उदाहरण से किस प्रकार भिन्न है? रैखिक फ़ंक्शन समान है (y \u003d -2x + 1), जिसका अर्थ है कि वही सीधी रेखा इसके ग्राफ़ के रूप में कार्य करती है। लेकिन सावधान रहना! - इस बार x e (-3, 2), यानी मान x = -3 और x = 2 पर विचार नहीं किया जाता है, वे अंतराल (-3, 2) से संबंधित नहीं हैं। हमने निर्देशांक रेखा पर अंतराल के सिरों को कैसे चिह्नित किया? प्रकाश वृत्त (चित्र 39), हमने इसके बारे में 26 में बात की थी। इसी प्रकार, बिंदु (- 3; 7) और बी; - 3) ड्राइंग पर हल्के वृत्तों से अंकित करना होगा। यह हमें याद दिलाएगा कि सीधी रेखा y \u003d - 2x + 1 के केवल वे बिंदु लिए गए हैं जो वृत्तों से चिह्नित बिंदुओं के बीच स्थित हैं (चित्र 40)। हालाँकि, कभी-कभी ऐसे मामलों में, हल्के वृत्तों का नहीं, बल्कि तीरों का उपयोग किया जाता है (चित्र 41)। यह मौलिक नहीं है, मुख्य बात यह समझना है कि दांव पर क्या है।

उदाहरण 3खंड पर रैखिक फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।
समाधान। आइए एक रैखिक फलन के लिए एक तालिका बनाएं

हम xOy निर्देशांक तल पर बिंदु (0; 4) और (6; 7) बनाते हैं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं - रैखिक x फ़ंक्शन का ग्राफ़ (चित्र 42)।

हमें इस रैखिक फ़ंक्शन पर समग्र रूप से नहीं, बल्कि खंड पर, यानी x e के लिए विचार करने की आवश्यकता है।

ग्राफ़ के संबंधित खंड को ड्राइंग में हाइलाइट किया गया है। हमने देखा कि चयनित भाग से संबंधित बिंदुओं का सबसे बड़ा कोटि 7 है - यह है उच्चतम मूल्यखंड पर रैखिक कार्य। आमतौर पर निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है: y अधिकतम = 7.

हम ध्यान दें कि चित्र 42 में हाइलाइट की गई सीधी रेखा के भाग से संबंधित बिंदुओं का सबसे छोटा कोटि 4 है - यह खंड पर रैखिक फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान है।
आमतौर पर निम्नलिखित प्रविष्टि का उपयोग करें: y नाम। =4.

उदाहरण 4वाई नाइब और वाई नईम खोजें। रैखिक फलन y = -1.5x + 3.5 के लिए

क) खंड पर; बी) अंतराल पर (1.5);
ग) आधे अंतराल पर.

समाधान। आइए रैखिक फ़ंक्शन y \u003d -l, 5x + 3.5 के लिए एक तालिका बनाएं:

हम xOy निर्देशांक तल पर बिंदु (1; 2) और (5; - 4) बनाते हैं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं (चित्र 43-47)। आइए निर्मित सीधी रेखा पर खंड (चित्र 43), अंतराल ए, 5) (चित्र 44), आधे-अंतराल (चित्र 47) से x के मानों के अनुरूप भाग को अलग करें। ).

ए) चित्र 43 का उपयोग करके, यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि y अधिकतम \u003d 2 (रैखिक फ़ंक्शन x \u003d 1 पर इस मान तक पहुंचता है), और y अधिकतम। = - 4 (रैखिक फलन x = 5 पर इस मान तक पहुंचता है)।

बी) चित्र 44 का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इस रैखिक फ़ंक्शन का दिए गए अंतराल में न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है। क्यों? तथ्य यह है कि, पिछले मामले के विपरीत, खंड के दोनों छोर, जिसमें सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य तक पहुंच गए थे, को विचार से बाहर रखा गया है।

ग) चित्र 45 की सहायता से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि y अधिकतम है। = 2 (जैसा कि पहले मामले में), और सबसे छोटा मानरैखिक फलन ऐसा नहीं करता (जैसा कि दूसरे मामले में है)।

डी) चित्र 46 का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: y अधिकतम = 3.5 (रैखिक फ़ंक्शन x = 0 पर इस मान तक पहुंचता है), और y अधिकतम। मौजूद नहीं होना।

ई) चित्र 47 का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: y अधिकतम = -1 (रैखिक फ़ंक्शन x = 3 पर इस मान तक पहुंचता है), और y अधिकतम मौजूद नहीं है।

उदाहरण 5. एक रैखिक फलन आलेखित करें

y = 2x - 6. ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें:

a) x के किस मान पर y = 0 होगा?
ख) x के किन मानों के लिए y > 0 होगा?
ग) x के किन मानों के लिए y होगा< 0?

समाधान। आइए रैखिक फलन y = 2x-6 के लिए एक तालिका बनाएं:

बिंदुओं (0; - 6) और (3; 0) के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें - फ़ंक्शन y \u003d 2x - 6 का ग्राफ (चित्र 48)।

a) y = 0 x = 3 पर। ग्राफ x अक्ष को बिंदु x = 3 पर काटता है, यह कोटि y = 0 वाला बिंदु है।
बी) x > 3 के लिए y > 0। वास्तव में, यदि x > 3, तो रेखा x-अक्ष के ऊपर स्थित है, जिसका अर्थ है कि रेखा के संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक सकारात्मक हैं।

बिल्ली< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

ध्यान दें कि इस उदाहरण में, हमने ग्राफ़ की सहायता से निर्णय लिया है:

ए) समीकरण 2x - 6 = 0 (x = 3 मिला);
बी) असमानता 2x - 6 > 0 (हमें x > 3 मिला);
ग) असमानता 2x - 6< 0 (получили х < 3).

टिप्पणी। रूसी में, एक ही वस्तु को अक्सर अलग-अलग कहा जाता है, उदाहरण के लिए: "घर", "भवन", "संरचना", "कुटीर", "हवेली", "बैरक", "झोपड़ी", "झोपड़ी"। गणितीय भाषा में कहें तो स्थिति लगभग वैसी ही है. मान लीजिए कि दो चर y = kx + m के साथ समानता, जहां k, m विशिष्ट संख्याएं हैं, को एक रैखिक फलन कहा जा सकता है, कहा जा सकता है रेखीय समीकरणदो चर x और y के साथ (या दो अज्ञात x और y के साथ), आप इसे एक सूत्र कह सकते हैं, आप इसे x और y के बीच संबंध कह सकते हैं, आप अंततः इसे x और y के बीच संबंध कह सकते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, मुख्य बात यह समझना है कि सभी मामलों में हम बात कर रहे हैंगणितीय मॉडल y = kx + m के बारे में

.

चित्र 49 में दिखाए गए एक रैखिक फलन के ग्राफ़ पर विचार करें। यदि हम इस ग्राफ़ पर बाएँ से दाएँ चलते हैं, तो ग्राफ़ के बिंदुओं की कोटि हर समय बढ़ती जाती है, हम "पहाड़ी पर चढ़ते हुए" प्रतीत होते हैं। ऐसे मामलों में, गणितज्ञ वृद्धि शब्द का उपयोग करते हैं और यह कहते हैं: यदि k>0, तो रैखिक फ़ंक्शन y \u003d kx + m बढ़ता है।

चित्र 49, बी में दिखाए गए एक रैखिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें। यदि हम इस ग्राफ़ पर बाएँ से दाएँ चलते हैं, तो ग्राफ़ के बिंदुओं की कोटि हर समय घटती जाती है, हमें ऐसा प्रतीत होता है कि हम "पहाड़ी से नीचे जा रहे हैं"। ऐसे मामलों में, गणितज्ञ कमी शब्द का उपयोग करते हैं और यह कहते हैं: यदि k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

वास्तविक जीवन में रैखिक कार्य

अब इस विषय को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। हम पहले से ही एक रैखिक फ़ंक्शन जैसी अवधारणा से परिचित हो चुके हैं, हम इसके गुणों को जानते हैं और ग्राफ़ बनाना सीख चुके हैं। इसके अलावा, आपने एक रैखिक फलन के विशेष मामलों पर विचार किया और सीखा कि रैखिक फलन के ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति किस पर निर्भर करती है। लेकिन यह पता चला है कि हमारे में रोजमर्रा की जिंदगीहम भी लगातार इस गणितीय मॉडल के साथ अंतर्संबंध रखते हैं।

आइए विचार करें कि रैखिक फलन जैसी अवधारणा के साथ वास्तविक जीवन की कौन सी स्थितियाँ जुड़ी हुई हैं? इसके अलावा, किन मात्राओं के बीच या जीवन परिस्थितियाँशायद एक रैखिक निर्भरता स्थापित करें?

आप में से कई लोग शायद यह नहीं समझ पा रहे हैं कि उन्हें रैखिक कार्यों का अध्ययन करने की आवश्यकता क्यों है, क्योंकि इसमें उपयोगी होने की संभावना नहीं है बाद का जीवन. लेकिन यहां आप गहराई से गलत हैं, क्योंकि हम हर समय और हर जगह कार्यों का सामना करते हैं। चूँकि, सामान्य मासिक किराया भी एक ऐसा कार्य है जो कई चर पर निर्भर करता है। और इन चरों में वर्ग फ़ुटेज, निवासियों की संख्या, टैरिफ, बिजली का उपयोग आदि शामिल हैं।

निःसंदेह, रैखिक निर्भरता फलनों के सबसे आम उदाहरण जो हमें मिले हैं वे गणित के पाठ हैं।

आपने और मैंने उन समस्याओं को हल किया जहां हमने कारों, ट्रेनों या पैदल यात्रियों द्वारा एक निश्चित गति से गुजरने वाली दूरी का पता लगाया। ये गति समय के रैखिक कार्य हैं। लेकिन ये उदाहरण केवल गणित में ही लागू नहीं होते, ये हमारे दैनिक जीवन में भी मौजूद हैं।

डेयरी उत्पादों की कैलोरी सामग्री वसा की मात्रा पर निर्भर करती है, और ऐसी निर्भरता, एक नियम के रूप में, एक रैखिक कार्य है। इसलिए, उदाहरण के लिए, खट्टा क्रीम में वसा सामग्री के प्रतिशत में वृद्धि के साथ, उत्पाद की कैलोरी सामग्री भी बढ़ जाती है।

आइए अब गणना करें और समीकरणों की प्रणाली को हल करके k और b के मान ज्ञात करें:

आइए अब निर्भरता सूत्र प्राप्त करें:

परिणामस्वरूप, हमें एक रैखिक संबंध प्राप्त हुआ।

तापमान के आधार पर ध्वनि प्रसार की गति को जानने के लिए, सूत्र को लागू करके पता लगाना संभव है: v = 331 + 0.6t, जहां v गति है (m/s में), t तापमान है। यदि हम इस निर्भरता का ग्राफ बनाएं तो देखेंगे कि यह रैखिक होगा, अर्थात एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करेगा।

और रैखिक कार्यात्मक निर्भरता के अनुप्रयोग में ज्ञान के ऐसे व्यावहारिक उपयोगों को लंबे समय तक सूचीबद्ध किया जा सकता है। फ़ोन चार्ज से लेकर, बालों की लंबाई और ऊंचाई और यहां तक ​​कि साहित्य में कहावतें भी। और यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है।

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ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

अनुदेश

रैखिक फलनों को हल करने के कई तरीके हैं। आइए उनमें से अधिकांश पर एक नजर डालें। सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली चरण-दर-चरण प्रतिस्थापन विधि। किसी एक समीकरण में, एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करना और उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। और इसी तरह जब तक कि किसी एक समीकरण में केवल एक चर न रह जाए। इसे हल करने के लिए, आपको चर को समान चिह्न के एक तरफ छोड़ना होगा (यह एक गुणांक के साथ हो सकता है), और समान चिह्न के दूसरी तरफ सभी संख्यात्मक डेटा, संख्या के चिह्न को बदलना न भूलें स्थानांतरित करते समय विपरीत। एक चर की गणना करने के बाद, इसे अन्य अभिव्यक्तियों में प्रतिस्थापित करें, उसी एल्गोरिदम के अनुसार गणना जारी रखें।

के लिए एक उदाहरण लीजिएरेखीय कार्य, दो समीकरणों से मिलकर बना है:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
दूसरे समीकरण से x को व्यक्त करना सुविधाजनक है:
x=y+2.
जैसा कि आप देख सकते हैं, समानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते समय, ऊपर वर्णित अनुसार, चर और चर का चिह्न बदल गया।
हम परिणामी अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, इस प्रकार इसमें से चर x को बाहर कर देते हैं:
2*(y+2)+y-7=0.
कोष्ठक का विस्तार:
2y+4+y-7=0.
हम चर और संख्याएँ बनाते हैं, उन्हें जोड़ते हैं:
3y-3=0.
हम समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, चिह्न बदलते हैं:
3y=3.
हम कुल गुणांक से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:
आप=1.
परिणामी मान को पहली अभिव्यक्ति में रखें:
x=y+2.
हमें x=3 मिलता है।

समान समीकरणों को हल करने का दूसरा तरीका एक चर के साथ एक नया समीकरण प्राप्त करने के लिए पद-दर-पद दो समीकरणों का उपयोग करना है। समीकरण को एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जा सकता है, मुख्य बात यह है कि समीकरण के प्रत्येक पद को गुणा करना और भूलना नहीं है, और फिर एक समीकरण जोड़ना या घटाना है। रैखिक ढूँढ़ते समय यह विधि बहुत बचत करती है कार्य.

आइए दो चर वाले समीकरणों की पहले से ही परिचित प्रणाली लें:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
यह देखना आसान है कि चर y का गुणांक पहले और दूसरे समीकरण में समान है और केवल चिह्न में भिन्न है। इसका मतलब यह है कि जब इन दोनों समीकरणों को पद दर पद जोड़ा जाता है, तो हमें एक नया समीकरण मिलता है, लेकिन एक चर के साथ।
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
हम चिह्न बदलते हुए संख्यात्मक डेटा को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:
3x=9.
हम x पर गुणांक के बराबर एक उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करते हैं:
एक्स=3.
परिणामी को y की गणना करने के लिए सिस्टम के किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है:
x-y-2=0;
3-y-2=0;
-y+1=0;
-य=-1;
आप=1.

आप एक सटीक ग्राफ़ बनाकर भी डेटा की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको शून्य खोजने की आवश्यकता है कार्य. यदि चरों में से एक शून्य के बराबर है, तो ऐसे फ़ंक्शन को सजातीय कहा जाता है। ऐसे समीकरणों को हल करने पर, आपको एक सीधी रेखा बनाने के लिए आवश्यक और पर्याप्त दो बिंदु मिलेंगे - उनमें से एक x-अक्ष पर स्थित होगा, दूसरा y-अक्ष पर।

हम सिस्टम का कोई भी समीकरण लेते हैं और वहां मान x = 0 प्रतिस्थापित करते हैं:
2*0+y-7=0;
हमें y=7 प्राप्त होता है। इस प्रकार, पहला बिंदु, चलो इसे ए कहते हैं, के निर्देशांक ए (0; 7) होंगे।
एक्स-अक्ष पर स्थित एक बिंदु की गणना करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में मान y \u003d 0 को प्रतिस्थापित करना सुविधाजनक है:
x-0-2=0;
एक्स=2.
दूसरे बिंदु (बी) में निर्देशांक बी (2;0) होंगे।
हम प्राप्त बिंदुओं को समन्वय ग्रिड पर चिह्नित करते हैं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं। यदि आप इसे काफी सटीकता से बनाते हैं, तो अन्य x और y मानों की गणना सीधे इससे की जा सकती है।