व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन डेरिवेटिव कैलकुलेटर। डेरिवेटिव की गणना के लिए नियम

व्युत्पन्न गणनाअवकलन कलन में सबसे महत्वपूर्ण संक्रियाओं में से एक है। नीचे सरल कार्यों के डेरिवेटिव खोजने के लिए एक तालिका है। अधिक जटिल भेदभाव नियमों के लिए, अन्य पाठ देखें:

• घातीय और लघुगणक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

दिए गए सूत्रों को संदर्भ मान के रूप में उपयोग करें। वे अवकल समीकरणों और समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे। चित्र में, सरल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका में, व्युत्पन्न को एक ऐसे रूप में खोजने के मुख्य मामलों की "चीट शीट" है जो उपयोग के लिए समझ में आता है, इसके आगे प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण हैं।

सरल कार्यों के डेरिवेटिव

1. किसी संख्या का अवकलज शून्य होता है
एस´ = 0
उदाहरण:
5' = 0

व्याख्या:
डेरिवेटिव उस दर को दर्शाता है जिस पर तर्क बदलने पर फ़ंक्शन का मान बदलता है। चूंकि संख्या किसी भी स्थिति में किसी भी तरह से नहीं बदलती है, इसके परिवर्तन की दर हमेशा शून्य होती है।

2. एक चर का व्युत्पन्नएक के बराबर
एक्स '= 1

व्याख्या:
तर्क (x) की प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान (गणना परिणाम) उसी राशि से बढ़ता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन y = x के मान के परिवर्तन की दर तर्क के मान के परिवर्तन की दर के बराबर है।

3. एक चर और एक कारक का व्युत्पन्न इस कारक के बराबर है
сx´ = s
उदाहरण:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
व्याख्या:
इस स्थिति में, हर बार फ़ंक्शन तर्क ( एक्स) इसका मान (y) में बढ़ता है साथएक बार। इस प्रकार, तर्क के परिवर्तन की दर के संबंध में फ़ंक्शन के मान के परिवर्तन की दर मान के बिल्कुल बराबर है साथ.

यह इस प्रकार है
(सीएक्स + बी)" = सी
अर्थात, रैखिक फलन y=kx+b का अवकलन सरल रेखा (k) के ढाल के बराबर है।

4. एक चर का मॉड्यूलो व्युत्पन्नइस चर के भागफल के बराबर इसके मापांक के बराबर है
|x|"= एक्स / |एक्स| बशर्ते कि x ≠ 0
व्याख्या:
चूँकि चर का व्युत्पन्न (सूत्र 2 देखें) एक के बराबर है, मापांक का व्युत्पन्न केवल इसमें भिन्न होता है कि मूल बिंदु को पार करते समय फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर विपरीत में बदल जाती है (ग्राफ़ खींचने का प्रयास करें) फ़ंक्शन y = |x| और अपने लिए देखें। यह बिल्कुल मूल्य है और एक्सप्रेशन x / |x| देता है जब x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - एक। अर्थात्, चर x के ऋणात्मक मानों के साथ, तर्क में परिवर्तन में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान ठीक उसी मान से घटता है, और सकारात्मक मानों के साथ, इसके विपरीत, यह बढ़ता है, लेकिन वास्तव में समान मूल्य।

5. एक चर का पावर डेरिवेटिवइस शक्ति की संख्या और शक्ति में चर के उत्पाद के बराबर है, एक से कम
(एक्स सी) "= सीएक्स सी -1, बशर्ते कि x c और cx c-1 परिभाषित हों और c ≠ 0 हो
उदाहरण:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
सूत्र याद करने के लिए:
चर "नीचे" के घातांक को गुणक के रूप में लें, और फिर घातांक को स्वयं एक से कम करें। उदाहरण के लिए, x 2 के लिए - दो x से आगे था, और फिर घटी हुई शक्ति (2-1 = 1) ने हमें सिर्फ 2x दिया। x 3 के लिए भी यही हुआ - हम ट्रिपल को कम करते हैं, इसे एक से घटाते हैं, और घन के बजाय हमारे पास एक वर्ग है, अर्थात 3x 2 । थोड़ा "अवैज्ञानिक", लेकिन याद रखना बहुत आसान है।

6.अंश व्युत्पन्न 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
उदाहरण:
चूँकि एक भिन्न को ऋणात्मक घात में ऊपर उठाने के रूप में दर्शाया जा सकता है
(1/x)" = (x -1)" , तो आप डेरिवेटिव तालिका के नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(एक्स -1)" = -1x -2 = - 1 / एक्स 2

7. अंश व्युत्पन्न मनमाना डिग्री के एक चर के साथभाजक में
(1/x सी)" = - सी / एक्स सी + 1
उदाहरण:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. जड़ व्युत्पन्न(वर्गमूल के अंतर्गत चर का व्युत्पन्न)
(√x)" = 1 / (2√x)या 1/2 x -1/2
उदाहरण:
(√x)" = (x 1/2)" तो आप नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. एक मनमानी डिग्री की जड़ के तहत एक चर का व्युत्पन्न
(एन √ एक्स)" = 1 / (एन एन √ एक्स एन -1)

आवेदन

छात्रों और स्कूली बच्चों द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए साइट के व्युत्पन्न का समाधान। यदि आप हमारी ऑनलाइन समस्या समाधान सेवा का उपयोग करते हैं तो कुछ सेकंड में किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करना मुश्किल नहीं है। हर तीसरा छात्र व्यावहारिक पाठ में गहन अध्ययन के लिए विस्तृत विश्लेषण देने में सक्षम होगा। अक्सर देश के शिक्षण संस्थानों में गणित को बढ़ावा देने के लिए संबंधित विभाग के विभाग द्वारा हमसे संपर्क किया जाता है। कैसे, इस मामले में, संख्यात्मक अनुक्रमों के एक बंद स्थान के लिए व्युत्पन्न ऑनलाइन के समाधान का उल्लेख नहीं करना। कई धनी व्यक्तियों को अपनी घबराहट व्यक्त करने की अनुमति है। लेकिन इस बीच, गणितज्ञ शांत नहीं बैठते और कड़ी मेहनत करते हैं। रैखिक विशेषताओं के अनुसार इनपुट मापदंडों में परिवर्तन डेरिवेटिव कैलकुलेटर द्वारा मुख्य रूप से क्यूब्स के अवरोही पदों के सर्वोच्च होने के कारण स्वीकार किया जाएगा। परिणाम सतह के रूप में अपरिहार्य है। प्रारंभिक डेटा के रूप में, ऑनलाइन व्युत्पन्न अनावश्यक कदम उठाने की आवश्यकता को समाप्त करता है। काल्पनिक गृहकार्य को छोड़कर। इस तथ्य के अलावा कि गणित सीखने के लिए डेरिवेटिव्स को ऑनलाइन हल करना एक आवश्यक और महत्वपूर्ण पहलू है, छात्रों को अक्सर पिछली समस्याओं को याद नहीं रहता है। विद्यार्थी एक आलसी प्राणी की तरह इस बात को समझता है। लेकिन छात्र अजीब लोग हैं! या तो इसे नियमों के अनुसार करें, या एक झुकाव वाले विमान में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न भौतिक बिंदु पर त्वरण दे सकता है। आइए अवरोही स्थानिक बीम के वेक्टर को कहीं निर्देशित करें। वांछित उत्तर में, गणितीय प्रणाली की अस्थिरता के कारण व्युत्पन्न खोजना एक अमूर्त सैद्धांतिक दिशा प्रतीत होती है। अप्रयुक्त विकल्पों के अनुक्रम के रूप में संख्याओं के अनुपात के बारे में सोचें। घन के बंद द्विभाजन के बिंदु से अवरोही वेक्टर के साथ संचार चैनल को पांचवीं पंक्ति के साथ भर दिया गया था। घुमावदार स्थानों के तल पर, व्युत्पन्न ऑनलाइन को हल करने से हमें एक निष्कर्ष पर ले जाता है जिसने पिछली शताब्दी में ग्रह के महानतम दिमागों को सोचने पर मजबूर कर दिया था। गणित के क्षेत्र से घटनाओं के क्रम में, एक चर की पसंद की स्थिति में सुधार करने में योगदान देने वाले पांच मूलभूत महत्वपूर्ण कारकों को सार्वजनिक चर्चा में लाया गया। तो अंकों के लिए कानून कहता है कि ऑनलाइन डेरिवेटिव की गणना हर मामले में विस्तार से नहीं की जाती है, केवल एक वफादारी से प्रगति का क्षण अपवाद हो सकता है। पूर्वानुमान हमें विकास के एक नए दौर में ले आया। हमें परिणाम चाहिए। सतह के नीचे पारित गणितीय ढलान की रेखा में, मोड डेरिवेटिव्स का कैलकुलेटर झुकने वाले सेट पर उत्पादों के चौराहे के क्षेत्र में है। यह एप्सिलॉन पड़ोस के निकट अपने स्वतंत्र बिंदु पर फ़ंक्शन के विभेदीकरण का विश्लेषण करने के लिए बनी हुई है। इसे व्यवहार में हर कोई देख सकता है। नतीजतन, प्रोग्रामिंग के अगले चरण में कुछ तय करना होगा। छात्र को हमेशा की तरह ऑनलाइन डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है, भले ही काल्पनिक अध्ययन का अभ्यास किया जा रहा हो। यह पता चला है कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के ऑनलाइन समाधान को एक स्थिरांक से गुणा करने से भौतिक बिंदु की गति की सामान्य दिशा नहीं बदलती है, लेकिन एक सीधी रेखा में गति में वृद्धि की विशेषता है। इस अर्थ में, हमारे डेरिवेटिव कैलकुलेटर को लागू करना और इसकी परिभाषा के पूरे सेट पर किसी फ़ंक्शन के सभी मानों की गणना करना उपयोगी होगा। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की बल तरंगों का अध्ययन करने की कोई आवश्यकता नहीं है। किसी भी मामले में ऑनलाइन व्युत्पन्न समाधान आउटगोइंग बीम के झुकाव को नहीं दिखाएगा, लेकिन केवल दुर्लभ मामलों में, जब यह वास्तव में आवश्यक हो, तो विश्वविद्यालय के छात्र इसकी कल्पना कर सकते हैं। हम प्रिंसिपल की जांच करते हैं। सबसे छोटे रोटर का मूल्य अनुमानित है। परिणाम पर दाईं ओर दिखने वाली रेखाएं लागू करें, जिसके साथ गेंद का वर्णन किया गया है, लेकिन डेरिवेटिव का ऑनलाइन कैलकुलेटर विशेष शक्ति और गैर-रैखिक निर्भरता के आंकड़ों का आधार है। गणित प्रोजेक्ट रिपोर्ट तैयार है। व्यक्तिगत विशेषताएँ सबसे छोटी संख्याओं का अंतर और y-अक्ष के साथ फलन का व्युत्पन्न समान फलन की अवतलता को ऊँचाई तक ले आएगा। एक दिशा है - एक निष्कर्ष है। सिद्धांत को व्यवहार में लाना आसान है। अध्ययन की शुरुआत के समय पर छात्रों से एक प्रस्ताव है। शिक्षक का उत्तर चाहिए। फिर से, पिछली स्थिति की तरह, गणितीय प्रणाली एक क्रिया के आधार पर विनियमित नहीं होती है जो व्युत्पन्न खोजने में मदद करेगी। निचले अर्ध-रैखिक संस्करण की तरह, ऑनलाइन व्युत्पन्न विवरण के अनुसार समाधान की पहचान को विस्तार से इंगित करेगा। पतित सशर्त कानून। केवल सूत्रों की गणना करने का विचार सामने रखें। किसी फलन का रेखीय विभेदीकरण केवल अप्रासंगिक सकारात्मक विविधताओं को प्रस्तुत करके समाधान की सच्चाई को अस्वीकार करता है। तुलना संकेतों के महत्व को अक्ष के साथ कार्य के निरंतर विराम के रूप में माना जाएगा। छात्र के अनुसार, सबसे सचेत निष्कर्ष का यह महत्व है, जिसमें ऑनलाइन व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण के एक वफादार उदाहरण के अलावा कुछ और है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक घुमावदार वृत्त की त्रिज्या, इसके विपरीत, डेरिवेटिव के कैलकुलेटर को स्थिरता के लिए निर्णायक समस्याओं के आदान-प्रदान का एक प्राकृतिक प्रतिनिधित्व देती है। सबसे अच्छा तरीका खोजा गया है। कार्य को समतल करना आसान था। बता दें कि स्वतंत्र अंतर अनुपात की प्रयोज्यता ऑनलाइन डेरिवेटिव के समाधान की ओर ले जाती है। समाधान एक वृत्त की आकृति का वर्णन करते हुए, x-अक्ष के चारों ओर घूमता है। एक रास्ता है, और यह विश्वविद्यालय के छात्रों द्वारा सैद्धांतिक रूप से समर्थित अनुसंधान पर आधारित है, जो हर कोई सीखता है, और यहां तक ​​​​कि उन क्षणों में भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है। हमें प्रगति का रास्ता मिला और छात्रों ने इसकी पुष्टि की। हम गणितीय प्रणाली को बदलने के लिए एक अप्राकृतिक दृष्टिकोण से परे जाने के बिना व्युत्पन्न को खोजने का जोखिम उठा सकते हैं। अनंत वाई-अक्ष पर रैखिक कारकों की अज्ञात परिस्थिति के कारण बाएं आनुपातिक चिह्न ऑनलाइन व्युत्पन्न कैलकुलेटर के गणितीय प्रतिनिधित्व के रूप में तेजी से बढ़ता है। दुनिया भर के गणितज्ञों ने उत्पादन प्रक्रिया की विशिष्टता को साबित कर दिया है। सिद्धांत के विवरण के अनुसार एक वृत्त के अंदर सबसे छोटा वर्ग होता है। फिर से, ऑनलाइन डेरिवेटिव हमारे अनुमान पर विस्तृत होगा कि सैद्धांतिक रूप से परिष्कृत राय को पहली जगह में क्या प्रभावित हो सकता है। हमारे द्वारा विश्लेषण की गई रिपोर्ट से भिन्न प्रकृति की राय थी। हमारे संकायों के छात्रों के लिए अलग ध्यान नहीं हो सकता है, लेकिन स्मार्ट और उन्नत गणितज्ञों के लिए नहीं, जिनके लिए फ़ंक्शन का भेदभाव केवल एक बहाना है। व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ बहुत सरल है। भारोत्तोलन बल की गणना समय में नीचे की ओर ढलान वाली स्थिर जगहों के लिए एक ऑनलाइन व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। जाहिर है, डेरिवेटिव कैलकुलेटर एक अनाकार शरीर के रूप में एक कृत्रिम परिवर्तन की अध: पतन की समस्या का वर्णन करने की एक कठोर प्रक्रिया है। पहला व्युत्पन्न भौतिक बिंदु की गति में परिवर्तन की बात करता है। डेरिवेटिव ऑनलाइन हल करने के लिए विशेष रूप से प्रशिक्षित तकनीकों के संदर्भ में त्रि-आयामी स्थान स्पष्ट रूप से मनाया जाता है, वास्तव में यह गणितीय अनुशासन के विषय पर हर बोलचाल में है। दूसरा व्युत्पन्न भौतिक बिंदु की गति में परिवर्तन को दर्शाता है और त्वरण को निर्धारित करता है। मेरिडियन दृष्टिकोण एक affine परिवर्तन के उपयोग के आधार पर एक फ़ंक्शन के डेरिवेटिव को इस फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन से एक नए स्तर पर एक बिंदु पर ले जाता है। डेरिवेटिव का एक ऑनलाइन कैलकुलेटर कार्य की चीजों की परिवर्तनीय व्यवस्था को छोड़कर, कुछ मामलों में सही निष्पादन योग्य पल से संख्या और प्रतीकात्मक संकेतन के बिना नहीं हो सकता है। आश्चर्यजनक रूप से, एक भौतिक बिंदु का दूसरा त्वरण होता है, यह त्वरण में परिवर्तन की विशेषता है। थोड़े समय में, हम व्युत्पन्न के समाधान का ऑनलाइन अध्ययन करना शुरू कर देंगे, लेकिन जैसे ही ज्ञान में एक निश्चित मील का पत्थर पहुंचेगा, हमारा छात्र इस प्रक्रिया को रोक देगा। नेटवर्किंग का सबसे अच्छा साधन गणितीय विषय पर लाइव चैट करना है। ऐसे सिद्धांत हैं जिनका किसी भी परिस्थिति में उल्लंघन नहीं किया जाना चाहिए, चाहे कार्य कितना भी कठिन क्यों न हो। समय पर और त्रुटियों के बिना व्युत्पन्न ऑनलाइन खोजना उपयोगी है। इससे गणितीय अभिव्यक्ति की एक नई स्थिति बन जाएगी। व्यवस्था स्थिर है। व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ उतना लोकप्रिय नहीं है जितना कि यांत्रिक। यह संभावना नहीं है कि किसी को याद है कि कैसे ऑनलाइन डेरिवेटिव ने एक्स-अक्ष से सटे त्रिकोण से फ़ंक्शन की रेखाओं की रूपरेखा को विस्तार से विस्तार से बताया। मनुष्य पिछली शताब्दी के शोध में एक बड़ी भूमिका का हकदार है। आइए हम तीन प्राथमिक चरणों में परिभाषा के क्षेत्र से और अनंत पर बिंदुओं पर कार्य के विभेदीकरण का प्रदर्शन करें। केवल अध्ययन के क्षेत्र में लिखित रूप में होगा, लेकिन गणित और संख्या सिद्धांत में मुख्य वेक्टर की जगह ले सकता है, जैसे ही क्या होता है, ऑनलाइन व्युत्पन्न कैलकुलेटर को समस्या से जोड़ देगा। एक कारण होगा, लेकिन एक समीकरण बनाने का एक कारण होगा। सभी इनपुट मापदंडों को ध्यान में रखना बहुत महत्वपूर्ण है। सबसे अच्छा हमेशा सीधे नहीं लिया जाता है, इसके पीछे सबसे अच्छे दिमागों के श्रम की एक बड़ी मात्रा है जो जानते थे कि अंतरिक्ष में ऑनलाइन डेरिवेटिव की गणना कैसे की जाती है। तब से, उत्तलता को एक सतत कार्य की संपत्ति माना गया है। फिर भी, पहले कम से कम संभव समय में डेरिवेटिव्स को ऑनलाइन हल करने का कार्य निर्धारित करना बेहतर है। इस प्रकार समाधान पूरा हो जाएगा। अधूरे मानदंडों के अलावा, यह पर्याप्त नहीं माना जाता है। प्रारंभ में, लगभग हर छात्र एक सरल विधि को सामने रखने का प्रस्ताव करता है कि कैसे एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक विवादास्पद विकास एल्गोरिथम का कारण बनता है। आरोही किरण की दिशा में। यह एक सामान्य स्थिति के रूप में समझ में आता है। पहले, वे एक विशिष्ट गणितीय क्रिया के पूरा होने की शुरुआत को चिह्नित करते थे, लेकिन आज यह दूसरा तरीका होगा। शायद व्युत्पन्न ऑनलाइन का समाधान इस मुद्दे को फिर से उठाएगा और हम शिक्षकों की बैठक की चर्चा में इसके संरक्षण पर एक आम राय स्वीकार करेंगे। हम बैठक के प्रतिभागियों के सभी पक्षों से समझने की उम्मीद करते हैं। तार्किक अर्थ समस्या के विचार की प्रस्तुति के अनुक्रम के बारे में संख्याओं के प्रतिध्वनि में डेरिवेटिव के कैलकुलेटर के विवरण में निहित है, जिसका उत्तर पिछली शताब्दी में दुनिया के महान वैज्ञानिकों ने दिया था। यह परिवर्तित अभिव्यक्ति से एक जटिल चर निकालने में मदद करेगा और एक ही प्रकार की एक बड़ी कार्रवाई करने के लिए ऑनलाइन डेरिवेटिव ढूंढेगा। सच्चाई अनुमान लगाने से कहीं बेहतर है। प्रवृत्ति में सबसे छोटा मूल्य। सबसे सटीक स्थान के लिए एक अनूठी सेवा का उपयोग करते समय परिणाम आने में देर नहीं लगेगी, जिसके लिए विस्तार से एक ऑनलाइन व्युत्पन्न है। अप्रत्यक्ष रूप से, लेकिन इस बिंदु पर, जैसा कि एक बुद्धिमान व्यक्ति ने कहा, संघ के विभिन्न शहरों के कई छात्रों के अनुरोध पर एक ऑनलाइन डेरिवेटिव कैलकुलेटर बनाया गया था। अगर फर्क है तो दो बार फैसला क्यों। दिया गया सदिश सामान्य के समान दिशा में स्थित है। पिछली शताब्दी के मध्य में, समारोह के भेदभाव को किसी भी तरह से नहीं माना जाता था जैसा कि आज है। प्रगति में विकास के लिए धन्यवाद, ऑनलाइन गणित प्रकट हुआ है। समय के साथ, छात्र गणितीय विषयों को श्रेय देना भूल जाते हैं। व्युत्पन्न ऑनलाइन का समाधान व्यावहारिक ज्ञान द्वारा समर्थित सिद्धांत के अनुप्रयोग के आधार पर, हमारी थीसिस को चुनौती देगा। प्रस्तुति कारक के मौजूदा मूल्य से परे जाना होगा और फ़ंक्शन के लिए सूत्र को स्पष्ट रूप में लिखना होगा। ऐसा होता है कि आपको किसी भी कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना अभी व्युत्पन्न को ऑनलाइन खोजने की आवश्यकता है, हालांकि, आप हमेशा छात्र की चाल का सहारा ले सकते हैं और फिर भी वेबसाइट जैसी सेवा का उपयोग कर सकते हैं। इस प्रकार, छात्र ड्राफ्ट नोटबुक से उदाहरणों को अंतिम रूप में कॉपी करने में बहुत समय बचाएगा। यदि कोई विरोधाभास नहीं है, तो ऐसे जटिल उदाहरणों के लिए चरण-दर-चरण समाधान सेवा का उपयोग करें।

परिभाषा।फलन \(y = f(x) \) को कुछ अंतराल में परिभाषित किया जाता है जिसके अंदर बिंदु \(x_0 \) है। चलिए \(\Delta x \) को तर्क में बढ़ाते हैं ताकि इस अंतराल को न छोड़ें। फलन \(\Delta y \) की संगत वृद्धि का पता लगाएं (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाने पर) और संबंध \(\frac(\Delta y) की रचना करें )(\डेल्टा x) \). यदि \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर इस संबंध की कोई सीमा हो, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है व्युत्पन्न समारोह\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

प्रतीक y का उपयोग अक्सर व्युत्पन्न को निरूपित करने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया कार्य है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है, जिस पर उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस समारोह को इस तरह कहा जाता है: फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न.

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित के होते हैं। यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, तो फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ को एब्सिस्सा x \u003d a के साथ एक बिंदु पर खींचा जा सकता है, फिर f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(के = च"(ए)\)

चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।

और अब हम अवकलज की परिभाषा की व्याख्या सन्निकट समानता के संदर्भ में करते हैं। माना फलन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर व्युत्पन्न है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, अनुमानित समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \डेल्टाक्स\). प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक किसी दिए गए बिंदु x पर व्युत्पन्न का मान है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) मान्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिथम है।

आइए इसे सूत्रबद्ध करें।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

1. \(x \) का मान ठीक करें, \(f(x) \) ज्ञात करें
2. वृद्धि \(x \) तर्क \(\डेल्टा x \), एक नए बिंदु पर जाएँ \(x+ \Delta x \), ढूँढें \(f(x+ \Delta x) \)
3. फलन वृद्धि ज्ञात करें: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फलन का अवकलज है।

यदि फ़ंक्शन y = f(x) का बिंदु x पर व्युत्पन्न है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभावफ़ंक्शंस वाई = एफ (एक्स)।

आइए निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: एक बिंदु पर किसी फलन की निरंतरता और अवकलनीयता किस प्रकार संबंधित हैं?

फलन y = f(x) को बिंदु x पर अवकलनीय होने दें। तब बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ़ "ब्रेक" नहीं कर सकता बिंदु M, अर्थात फलन x पर सतत होना चाहिए।

यह "उंगलियों पर" तर्क कर रहा था। आइए अधिक कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फ़ंक्शन y = f(x) बिंदु x पर अलग-अलग है, तो अनुमानित समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) रखती है। शून्य, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य की ओर प्रवृत्त होगा, और यह एक बिंदु पर फलन की निरंतरता के लिए शर्त है।

इसलिए, यदि कोई फलन किसी बिन्दु x पर अवकलनीय है, तो वह उस बिन्दु पर भी संतत होता है.

इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर हर जगह निरंतर है, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।

एक और उदाहरण। फलन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित पूरी संख्या रेखा पर निरंतर है। और फलन के ग्राफ की स्पर्शरेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। । लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y- अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ऐसी सीधी रेखा के लिए कोई ढलान नहीं है, जिसका अर्थ है कि \ ( f"(0) \) का भी अस्तित्व नहीं है

तो, हम एक समारोह की एक नई संपत्ति से परिचित हो गए - भिन्नता। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है या नहीं?

उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो एक्स-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अलग-अलग होता है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है।

विभेदन नियम

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, रकम, कार्यों के उत्पाद के साथ-साथ "कार्यों के कार्य", यानी जटिल कार्यों के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम इस कार्य को सुविधाजनक बनाने वाले भेदभाव नियमों को प्राप्त कर सकते हैं। यदि C एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ अवकलनीय कार्य हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं भेदभाव नियम:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \बाएं(\frac(f)(g) \दाएं) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \बाएं(\frac (C)(g) \right) "= -\frac(Cg")(g^2) $$ कंपाउंड फंक्शन डेरिवेटिव:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

कुछ कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

$$ \बाएं(\frac(1)(x) \दाएं) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \बाएं(x^a \right) "= a x^(a-1) $$ $$ \बाएं(a^x \right)" = a^x \cdot \ln a $$ $$ \बाएं(ई^x \दाएं) "= ई^एक्स $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) "= \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

प्रथम स्तर

समारोह व्युत्पन्न। व्यापक गाइड (2019)

एक पहाड़ी क्षेत्र से गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर और नीचे जाता है, लेकिन दाएं या बाएं नहीं मुड़ता है। यदि धुरी को क्षैतिज रूप से सड़क के साथ और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर कार्यों के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊँचाई का एक निश्चित स्तर है, जीवन में हम समुद्र तल का उपयोग करते हैं।

ऐसी सड़क के साथ आगे बढ़ते हुए हम भी ऊपर या नीचे जा रहे हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (एब्सिस्सा अक्ष के साथ चल रहा है), फ़ंक्शन का मान बदल जाता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ चल रहा है)। अब आइए विचार करें कि हमारी सड़क की "स्थिरता" का निर्धारण कैसे किया जाए? यह मूल्य क्या हो सकता है? बहुत सरल: एक निश्चित दूरी आगे बढ़ने पर ऊँचाई कितनी बदल जाएगी। वास्तव में, सड़क के विभिन्न खंडों पर, आगे बढ़ते हुए (एब्सिस्सा के साथ) एक किलोमीटर, हम समुद्र तल के सापेक्ष (समन्वय के साथ) मीटर की एक अलग संख्या में उठेंगे या गिरेंगे।

हम प्रगति को निरूपित करते हैं ("डेल्टा एक्स" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) आमतौर पर गणित में एक उपसर्ग के रूप में प्रयोग किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। वह है - यह परिमाण में परिवर्तन है, - परिवर्तन; ओर भला क्या? यह सही है, आकार में परिवर्तन।

महत्वपूर्ण: व्यंजक एक इकाई, एक चर है। आपको कभी भी "x" या किसी अन्य अक्षर से "डेल्टा" को अलग नहीं करना चाहिए! अर्थात्, उदाहरण के लिए, .

इसलिए, हम क्षैतिज रूप से आगे बढ़े हैं। यदि हम किसी फलन के ग्राफ से सड़क की रेखा की तुलना करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे निरूपित करते हैं? निश्चित रूप से, । यानी आगे बढ़ने पर हम ऊपर उठते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हम ऊंचाई पर थे, तो। यदि अंत बिंदु प्रारंभ बिंदु से कम निकला, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम आरोही नहीं हैं, बल्कि अवरोही हैं।

वापस "स्थिरता" पर: यह एक ऐसा मान है जो इंगित करता है कि प्रति इकाई दूरी पर आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तीव्र) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि पथ के किसी भाग पर, किमी की दर से आगे बढ़ने पर, सड़क किमी से ऊपर उठती है। तब इस स्थान पर खड़ीता बराबर होती है। और अगर सड़क, मीटर से आगे बढ़ने पर, किमी से डूब गई? फिर ढलान बराबर है।

अब एक पहाड़ी की चोटी पर विचार करें। यदि आप खंड की शुरुआत आधा किलोमीटर ऊपर और अंत - आधा किलोमीटर बाद करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

अर्थात्, हमारे तर्क के अनुसार, यह पता चला है कि यहाँ ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सच नहीं है। कुछ ही मील दूर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक अनुमान के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर चलते समय ऊँचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उस पर फिसल सकते हैं। फिर हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

वास्तविक जीवन में, निकटतम मिलीमीटर तक की दूरी को मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए अवधारणा थी बहुत छोता, यानी, मॉड्यूलो मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरबवां! कितना कम? और आप इस संख्या को - से विभाजित करते हैं और यह और भी कम हो जाएगा। और इसी तरह। यदि हम लिखना चाहते हैं कि मान असीम रूप से छोटा है, तो हम इस तरह लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर झुकता है")। समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य के बराबर नहीं है!लेकिन इसके बहुत करीब। इसका मतलब यह है कि में विभाजित किया जा सकता है।

असीम रूप से छोटे के विपरीत अवधारणा असीम रूप से बड़ी () है। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे तब आप शायद पहले ही इसका सामना कर चुके हैं: यह संख्या आपके द्वारा सोची जा सकने वाली किसी भी संख्या की तुलना में मापांक में अधिक है। यदि आप सबसे बड़ी संभव संख्या के साथ आते हैं, तो बस इसे दो से गुणा करें और आप और भी अधिक प्राप्त करें। और अनंत उससे भी अधिक है जो घटित होता है। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, अर्थात, और इसके विपरीत: पर।

अब वापस हमारे रास्ते पर। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक असीम रूप से छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि असीम रूप से छोटे विस्थापन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी असीम रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि असीम रूप से छोटा का मतलब शून्य के बराबर नहीं है। यदि आप अपरिमित संख्याओं को एक दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप पूरी तरह से साधारण संख्या प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। यानी, एक छोटा मान दूसरे से ठीक दोगुना बड़ा हो सकता है।

यह सब क्यों? सड़क, ढलान... हम रैली में नहीं जा रहे हैं, लेकिन हम गणित सीख रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, बस इसे अलग तरह से कहा जाता है।

व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का डेरिवेटिव, तर्क के अनंत वृद्धि पर फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात है।

वेतन वृद्धिगणित में परिवर्तन कहलाता है। अक्ष के साथ चलने पर तर्क () कितना बदल गया है, कहा जाता है तर्क वृद्धिऔर द्वारा निरूपित किया जाता है कि धुरी के साथ एक दूरी से आगे बढ़ने पर फ़ंक्शन (ऊंचाई) कितना बदल गया है समारोह वृद्धिऔर अंकित है।

अतः, किसी फलन का अवकलज कब से संबंध है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल शीर्ष दाईं ओर से एक स्ट्रोक के साथ: या बस। तो, आइए इन संकेतन का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के साथ समानता में, यहां, जब कार्य बढ़ता है, व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह नकारात्मक होता है।

लेकिन क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर है? निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। दरअसल, ऊंचाई बिल्कुल नहीं बदलती है। तो व्युत्पन्न के साथ: एक निरंतर कार्य (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूंकि इस तरह के एक समारोह की वृद्धि किसी के लिए शून्य है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण लें। यह पता चला कि शीर्ष के विपरीत पक्षों पर खंड के सिरों को इस तरह से व्यवस्थित करना संभव था कि सिरों पर ऊँचाई समान हो, अर्थात खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े खंड गलत माप का संकेत हैं। हम अपने खंड को उसके समानांतर ऊपर उठाएंगे, फिर उसकी लंबाई कम हो जाएगी।

अंत में, जब हम असीम रूप से शीर्ष के करीब होते हैं, तो खंड की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन एक ही समय में, यह अक्ष के समानांतर बना रहा, अर्थात, इसके सिरों पर ऊँचाई का अंतर शून्य के बराबर है (प्रवृत्त नहीं होता है, लेकिन बराबर होता है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर, कार्य बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है। जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि जब फलन बढ़ता है तो अवकलज धनात्मक होता है और जब घटता है तो ऋणात्मक होता है। लेकिन यह आसानी से बदल जाता है, बिना कूदता है (क्योंकि सड़क कहीं भी अपनी ढलान को तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां शीर्ष बिंदु पर फलन न तो बढ़ता है और न ही घटता है।

घाटी के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहां फ़ंक्शन बाईं ओर घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को मान में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? वह (तर्क) अब क्या हो गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं, और अब हम इससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें। इसमें फलन का मान बराबर होता है। फिर हम वही वेतन वृद्धि करते हैं: द्वारा समन्वय बढ़ाएँ। अब क्या तर्क है? बहुत आसान: । अब समारोह का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, कार्य वहां जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिसके द्वारा फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. के बराबर तर्क की वृद्धि के साथ एक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि पाएं।
2. एक बिंदु पर एक समारोह के लिए वही।

समाधान:

अलग-अलग बिंदुओं पर, तर्क की समान वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन की वृद्धि भिन्न होगी। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न का अपना है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - अलग-अलग बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम एक व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें किस बिंदु पर इंगित करना चाहिए:

ऊर्जा समीकरण।

एक पावर फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक होता है (तार्किक, सही?)

और - किसी भी हद तक: .

सबसे सरल मामला तब होता है जब एक्सपोनेंट होता है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न की परिभाषा याद रखें:

तो तर्क से बदल जाता है। फंक्शन इंक्रीमेंट क्या है?

वृद्धि है। लेकिन किसी भी बिंदु पर कार्य इसके तर्क के बराबर है। इसीलिए:

व्युत्पन्न है:

का व्युत्पन्न है:

ख) अब द्विघात फलन () पर विचार करें।

अब इसे याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य शब्द की पृष्ठभूमि के खिलाफ नगण्य है:

तो, हमारे पास एक और नियम है:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं: .

इस अभिव्यक्ति को विभिन्न तरीकों से सरल किया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के सूत्र का उपयोग करके पहला कोष्ठक खोलें, या क्यूब्स के अंतर के सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करें। सुझाए गए किसी भी तरीके से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और चलिए इसे फिर से याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि हम सभी शब्दों की उपेक्षा कर सकते हैं जिनमें शामिल हैं:

हम पाते हैं: ।

घ) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाने ढंग से घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, एक पूर्णांक भी नहीं:

(2)

आप नियम को शब्दों के साथ तैयार कर सकते हैं: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर घट जाती है"।

हम इस नियम को बाद में (लगभग बिल्कुल अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. . मानो या न मानो, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके पास प्रश्न हैं जैसे "यह कैसा है? और डिग्री कहाँ है? ”, विषय याद रखें“ ”!
   हाँ, हाँ, जड़ भी एक डिग्री है, केवल एक आंशिक:।
   तो हमारा वर्गमूल केवल एक घातांक वाली शक्ति है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

   यदि इस बिंदु पर यह फिर से अस्पष्ट हो गया, तो विषय को दोहराएं "" !!! (एक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री के बारे में)

2. . अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम उस शब्द की उपेक्षा करते हैं जिसमें:
   .

3. . पिछले मामलों का संयोजन: .

त्रिकोणमितीय कार्य।

यहाँ हम उच्च गणित से एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

जब अभिव्यक्ति।

आप संस्थान के पहले वर्ष में प्रमाण सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको अच्छी तरह से परीक्षा उत्तीर्ण करनी होगी)। अब मैं इसे ग्राफिकल रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - ग्राफ़ पर बिंदु पंचर हो जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब, फ़ंक्शन उतना ही करीब है। यह बहुत ही "प्रयास" है।

इसके अतिरिक्त, आप इस नियम को कैलकुलेटर से देख सकते हैं। हां, हां, शरमाओ मत, कैलकुलेटर लो, हम अभी परीक्षा में नहीं हैं।

तो चलो कोशिश करें: ;

कैलकुलेटर को रेडियंस मोड में स्विच करना न भूलें!

वगैरह। हम देखते हैं कि अनुपात का मूल्य जितना छोटा होता है।

ए) एक समारोह पर विचार करें। हमेशा की तरह, हम इसकी वृद्धि पाते हैं:

आइए ज्या के अंतर को एक उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें):।

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर, असीम रूप से छोटे के लिए, यह असीम रूप से छोटा भी होता है: . के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम उसे अभिव्यक्ति के साथ याद करते हैं। और यह भी, क्या होगा यदि योग में एक असीम रूप से छोटे मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है (अर्थात, पर)।

तो हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है:

ये बुनियादी ("टेबल") डेरिवेटिव हैं। यहाँ वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि ये सबसे अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

अभ्यास:

1. एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें;
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

1. सबसे पहले, हम व्युत्पन्न को एक सामान्य रूप में पाते हैं, और फिर हम इसके मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास पावर फ़ंक्शन के समान कुछ है। आइए उसे लाने की कोशिश करते हैं
   सामान्य दृश्य:
   .
   ठीक है, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. . ईईईईई … .. यह क्या है ????

ठीक है, आप सही कह रहे हैं, हम अभी भी नहीं जानते हैं कि इस तरह के डेरिवेटिव कैसे खोजे जाते हैं। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक।

गणित में एक ऐसा फलन होता है, जिसका व्युत्पन्न किसी के लिए भी उसी फलन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातीय कार्य है

इस फ़ंक्शन का आधार - एक स्थिर - एक अनंत दशमलव अंश है, जो कि एक अपरिमेय संख्या (जैसे) है। इसे "यूलर संख्या" कहा जाता है, यही कारण है कि इसे एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

तो नियम है:

इसे याद रखना बहुत आसान है।

खैर, हम दूर नहीं जाएंगे, हम तुरंत उलटे कार्य पर विचार करेंगे। घातीय फलन का व्युत्क्रम क्या है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

इस तरह के एक लघुगणक (अर्थात, एक आधार के साथ एक लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

किसके बराबर है? बिल्कुल, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: प्रतिपादक और प्राकृतिक लघुगणक ऐसे कार्य हैं जो व्युत्पन्न के संदर्भ में विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका हम बाद में विश्लेषण करेंगे, जब हम अवकलन के नियमों से गुजरेंगे।

विभेदन नियम

क्या नियम? एक और नया शब्द, फिर से?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

केवल और सब कुछ। इस प्रक्रिया के लिए दूसरा शब्द क्या है? Proizvodnovanie नहीं... गणित के अंतर को समारोह की बहुत वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन डिफरेंसिया - डिफरेंस से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो कार्यों का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल 5 नियम हैं।

स्थिरांक को अवकलज के चिह्न से निकाल लिया जाता है।

अगर - कुछ निरंतर संख्या (स्थिर), तो।

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है: .

आइए इसे साबित करें। चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के डेरिवेटिव खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम एक नया कार्य शुरू करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के डेरिवेटिव खोजें और;
2. एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

घातीय समारोह का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी भी घातीय फलन का अवकलज कैसे ज्ञात किया जाए, न कि केवल घातांक (क्या आप भूल गए हैं कि यह अभी तक क्या है?)।

तो कुछ संख्या कहाँ है।

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, इसलिए आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करते हैं: . तब:

अच्छा, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह कार्य जटिल है।

घटित?

यहाँ, अपने आप को जांचें:

सूत्र प्रतिपादक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा कि यह था, यह बना हुआ है, केवल एक कारक दिखाई दिया, जो कि केवल एक संख्या है, लेकिन एक चर नहीं है।

उदाहरण:
कार्यों के डेरिवेटिव खोजें:

उत्तर:

यह केवल एक संख्या है जिसकी गणना कैलकुलेटर के बिना नहीं की जा सकती है, अर्थात इसे सरल रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अतः उत्तर में इसे इसी रूप में छोड़ दिया गया है।

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार पर लाने की आवश्यकता है। आप लघुगणक के आधार को कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

इसके बजाय अब हम लिखेंगे:

भाजक केवल एक स्थिर (एक स्थिर संख्या, एक चर के बिना) निकला। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

घातीय और लघुगणक कार्यों के डेरिवेटिव परीक्षा में लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

एक "जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह एक लघुगणक नहीं है, और एक चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना मुश्किल हो सकता है (हालाँकि यदि लघुगणक आपको कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ काम करेगा), लेकिन गणित के संदर्भ में, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे से वाहक की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा इसे रिबन से बांधता है। यह इस तरह की एक मिश्रित वस्तु निकला: एक चॉकलेट बार लपेटा और एक रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको उल्टे क्रम में विपरीत चरणों को करने की आवश्यकता है।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या का कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, वे हमें एक संख्या (चॉकलेट) देते हैं, मुझे इसकी कोसाइन (आवरण) मिलती है, और फिर आप वर्गाकार करते हैं जो मुझे मिला (इसे एक रिबन के साथ बांधें)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल कार्य का एक उदाहरण है: जब, इसके मान को खोजने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे चर के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया पहले के परिणाम के साथ हुई।

हम समान क्रियाओं को उल्टे क्रम में कर सकते हैं: पहले आप वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या के कोसाइन की तलाश करता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य एक ऐसा कार्य है जिसका तर्क एक और कार्य है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही)। .

हमारे द्वारा की जाने वाली अंतिम क्रिया कहलाएगी "बाहरी" समारोह, और पहले की गई क्रिया - क्रमशः "आंतरिक" समारोह(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए ही करता हूँ)।

अपने लिए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों का पृथक्करण बदलते चर के समान है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

1. हम पहले क्या कार्रवाई करेंगे? पहले हम साइन की गणना करते हैं, और उसके बाद ही हम इसे क्यूब तक बढ़ाते हैं। तो यह एक आंतरिक कार्य है, बाहरी नहीं।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम चर बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपनी चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के लिए, ऐसा दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, चलिए अंत में आधिकारिक नियम तैयार करते हैं:

एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिथम:

ऐसा लगता है कि सब कुछ सरल है, है ना?

आइए उदाहरणों के साथ जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक:;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक कम करने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकाला जाता है, याद है?)

3) आंतरिक:;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यहां एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम अभी भी इससे जड़ निकालते हैं, अर्थात हम तीसरी क्रिया करते हैं (एक आवरण में चॉकलेट डालते हैं) और एक अटैची में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: वैसे भी, हम इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

यही है, पहले हम जड़, फिर कोज्या, और उसके बाद ही कोष्ठक में अभिव्यक्ति को अलग करते हैं। और फिर हम यह सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, क्रियाओं को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। यही है, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में कार्रवाई करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

बाद में कार्रवाई की जाती है, अधिक "बाहरी" संबंधित कार्य होगा। क्रियाओं का क्रम - पहले की तरह:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तर का होता है। आइए कार्रवाई का पाठ्यक्रम निर्धारित करें।

1. कट्टरपंथी अभिव्यक्ति। .

2. जड़। .

3. साइनस। .

4. वर्ग। .

5. इसे एक साथ रखना:

व्युत्पन्न। संक्षेप में मुख्य के बारे में

समारोह व्युत्पन्न- तर्क की वृद्धि के साथ तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात:

मूल डेरिवेटिव:

भेदभाव नियम:

व्युत्पन्न के चिह्न से स्थिरांक निकाला जाता है:

राशि का व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न उत्पाद:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिथम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसका व्युत्पन्न पाते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसका व्युत्पन्न पाते हैं।
3. हम पहले और दूसरे अंक के परिणामों को गुणा करते हैं।