लघुगणक को गुणा करने का सूत्र. लघुगणक की परिभाषा, मूल लघुगणकीय पहचान

अब विचार करें सामान्य योजनालघुगणक गणना. इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक से अधिक न्यूनतम संभव आधार वाली घात के रूप में व्यक्त करें। साथ ही, दशमलव भिन्नों से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b के लिए समीकरण हल करें: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही देखा जाएगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत प्रासंगिक है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणना बहुत सरल हो जाती है। इसी प्रकार दशमलव भिन्नों के साथ: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य भिन्नों में बदल दें, तो कई गुना कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

1. आइए आधार और तर्क को पाँच की घात के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒(5 1) बी = 5 2 ⇒5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. उत्तर मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में प्रस्तुत करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 4 64 = बी ⇒(2 2) बी = 2 6 ⇒2 2बी = 2 6 ⇒2बी = 6 ⇒ बी = 3;
3. जवाब मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में प्रस्तुत करें: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   लॉग 16 1 = बी ⇒(2 4) बी = 2 0 ⇒2 4बी = 2 0 ⇒4बी = 0 ⇒ बी = 0;
3. उत्तर मिला: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

1. आइए आधार और तर्क को सात की घात के रूप में प्रस्तुत करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में दर्शाया नहीं गया है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. पिछले पैराग्राफ से यह निष्कर्ष निकलता है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

के लिए एक छोटा सा नोट अंतिम उदाहरण. यह कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? बहुत सरल - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक घातें हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 2 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक घात नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;
14 = 7 2 - फिर से कोई सटीक डिग्री नहीं;

हम यह भी नोट करते हैं कि हम प्रमुख संख्यावे हमेशा स्वयं की सटीक शक्तियां होते हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम है।

x तर्क का आधार 10 लघुगणक है, अर्थात वह शक्ति जिससे x प्राप्त करने के लिए 10 को बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजीएक्स.

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप ऐसे पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक प्रकार से यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। इसके बारे मेंप्राकृतिक लघुगणक के बारे में.

x तर्क का आधार e का लघुगणक है, अर्थात। वह घात जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या e को बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएनएक्स.

कई लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है सही मूल्यढूंढना और रिकॉर्ड करना असंभव है। यहाँ केवल प्रथम संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459…

हम इस बात की गहराई में नहीं जाएंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एकता को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

यह सभी देखें:

लघुगणक. लघुगणक के गुण (लघुगणक की शक्ति)।

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे निरूपित करें?

हम लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हैं।

लघुगणक उस घात का सूचक है जिस तक लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत संख्या प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

इस प्रकार, एक निश्चित संख्या c को आधार a के लघुगणक के रूप में दर्शाने के लिए, आपको लघुगणक के आधार के समान आधार वाली एक डिग्री को लघुगणक के चिह्न के नीचे रखना होगा, और इस संख्या c को घातांक में लिखना होगा:

लघुगणक के रूप में, आप बिल्कुल किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं - सकारात्मक, नकारात्मक, पूर्णांक, भिन्नात्मक, तर्कसंगत, अपरिमेय:

किसी परीक्षण या परीक्षा की तनावपूर्ण स्थितियों में ए और सी को भ्रमित न करने के लिए, आप याद रखने के लिए निम्नलिखित नियम का उपयोग कर सकते हैं:

जो नीचे है वह नीचे जाता है, जो ऊपर है वह ऊपर जाता है।

उदाहरण के लिए, आप संख्या 2 को आधार 3 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना चाहते हैं।

हमारे पास दो संख्याएँ हैं - 2 और 3. ये संख्याएँ आधार और घातांक हैं, जिन्हें हम लघुगणक के चिह्न के नीचे लिखेंगे। यह निर्धारित करना बाकी है कि इनमें से कौन सी संख्या नीचे लिखी जानी चाहिए, डिग्री के आधार में, और कौन सी - ऊपर, घातांक में।

लघुगणक के रिकॉर्ड में आधार 3 सबसे नीचे है, जिसका अर्थ है कि जब हम ड्यूस को 3 के आधार पर लघुगणक के रूप में दर्शाते हैं, तो हम आधार के नीचे 3 भी लिखेंगे।

2, 3 से ऊंचा है. और डिग्री के अंकन में हम तीन के ऊपर दो को लिखते हैं, यानी घातांक में:

लघुगणक. प्रथम स्तर।

लघुगणक

लोगारित्मसकारात्मक संख्या बीवजह से ए, कहाँ ए > 0, ए ≠ 1, वह प्रतिपादक है जिससे संख्या बढ़ाई जानी चाहिए। ए, प्राप्त करने के लिए बी.

लघुगणक की परिभाषासंक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यह समानता के लिए मान्य है बी > 0, ए > 0, ए ≠ 1.उसे आमतौर पर बुलाया जाता है लघुगणकीय पहचान.
किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है लघुगणक.

लघुगणक के गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

विभाजन से भागफल का लघुगणक:

लघुगणक का आधार बदलना:

डिग्री लघुगणक:

मूल लघुगणक:

शक्ति आधार के साथ लघुगणक:

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक.

दशमलव लघुगणकसंख्याएँ उस संख्या के आधार 10 लघुगणक को कॉल करें और   lg लिखें बी
प्राकृतिकसंख्याएँ इस संख्या के लघुगणक को आधार पर बुलाती हैं इ, कहाँ इएक अपरिमेय संख्या है, जो लगभग 2.7 के बराबर है। साथ ही वे एलएन लिखते हैं बी.

बीजगणित और ज्यामिति पर अन्य नोट्स

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं की जा सकती। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - सब कुछ एक दिन में सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक x और लघुगणक y। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स वाई);
2. लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बात यह है - वही आधार. यदि आधार भिन्न हैं तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय अभिव्यक्तितब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार नहीं किया जाता है (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक के आधार समान हैं, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर, आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिन पर अलग से विचार नहीं किया गया है। लेकिन परिवर्तनों के बाद बिल्कुल सामान्य संख्याएँ सामने आती हैं। इस तथ्य के आधार पर, अनेक परीक्षण पत्र. हाँ, नियंत्रण - पूरी गंभीरता के साथ समान अभिव्यक्तियाँ (कभी-कभी - वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) परीक्षा में पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक को हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो तो क्या होगा? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है अंतिम नियमपहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

निःसंदेह, यदि ODZ लघुगणक देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 72. अपने पास:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें एक "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर की संख्या समान है: लघुगणक 2 7. चूँकि लघुगणक 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - हर में 2/4 रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि आधार भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नए आधार पर संक्रमण के सूत्र बचाव में आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

इसे दिया जाए लघुगणक लॉगकुल्हाड़ी फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि आधार और लघुगणक के तर्क को आपस में बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है.

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को पलटें:

चूँकि गुणनखंडों के क्रमपरिवर्तन से गुणनफल नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक निकाला।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे इस प्रकार कहा जाता है:

वास्तव में, यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस डिग्री में संख्या b, संख्या a दे तो क्या होगा? यह सही है: यह वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर "लटके" रहते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि लघुगणक 25 64 = लघुगणक 5 8 - बस आधार से वर्ग और लघुगणक का तर्क हटा दिया गया है। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हमें यह मिलता है:

यदि किसी को इसकी जानकारी नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था 🙂

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुण कहना मुश्किल है - बल्कि, ये लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लॉग ए ए = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक उस आधार से स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉग ए 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

चलिए इसे आसान तरीके से समझाते हैं. उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) उस शक्ति के बराबर है जिसे \(8\) प्राप्त करने के लिए \(2\) को बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट है कि \(\log_(2)(8)=3\).

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर उसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक के चिह्न के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और इस प्रविष्टि को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "पांच के आधार पर पच्चीस का लघुगणक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस डिग्री तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा. इसीलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ग) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? और कौन सी डिग्री किसी संख्या को इकाई बनाती है? बिल्कुल शून्य!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? प्रथम में - प्रथम घात में कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) पाने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? इससे हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक घात है, जिसका अर्थ है वर्गमूलडिग्री \(\frac(1)(2)\) है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

समाधान :

उत्तर : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\). समानता को कार्यान्वित करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\).

अब समीकरण हल करें: \(3^(x)=8\). x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे सरल व्यक्ति कहेगा: "X दो से थोड़ा कम है।" यह संख्या वास्तव में कैसे लिखी जानी है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, वे लघुगणक लेकर आये। उनके लिए धन्यवाद, यहां उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), साथ ही कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है. हां, यह असामान्य दिखता है, लेकिन यह छोटा है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहें, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714...\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

समाधान :

उत्तर : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में कहा गया है, इसका आधार कोई भी हो सकता है सकारात्मक संख्या, इकाई \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर। और सभी संभावित आधारों में से, दो ऐसे आधार हैं जो इतनी बार घटित होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु अंकन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818...\) के बराबर), और लघुगणक को \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

वह है, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है उसे \(\lg(a)\) लिखा जाता है।

वह है, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कोई संख्या है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

लघुगणक में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "बुनियादी लघुगणकीय पहचान" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है। आइए देखें कि वास्तव में यह सूत्र कैसे सामने आया।

चलो याद करते हैं छोटा लेखलघुगणक परिभाषाएँ:

यदि \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह \(a^(\log_(a)(c))=c\) निकला - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के बाकी गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

समाधान :

उत्तर : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर बताया गया है, कोई भी लघुगणक सिर्फ एक संख्या है। इसका विपरीत भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, इसलिए आप \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी प्रकार \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता हो, तो हम दोनों को कहीं भी किसी भी आधार के साथ लघुगणक के रूप में लिख सकते हैं (यहां तक ​​कि एक समीकरण में, यहां तक ​​कि एक अभिव्यक्ति में, यहां तक ​​कि एक असमानता में भी) - हम केवल वर्ग आधार को एक तर्क के रूप में लिखते हैं।

यह ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में लिखा जा सकता है) 64) \)... यहां हम आधार को घन में तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और शून्य से एक के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

समाधान :

उत्तर : \(1\)