वर्गमूल। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत

एक गैर-ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल की अवधारणा

समीकरण x2 = 4 पर विचार करें। आइए इसे ग्राफिकल रूप से हल करें। ऐसा करने के लिए, एक प्रणाली में COORDINATESएक परवलय y = x2 और एक सरल रेखा y = 4 की रचना कीजिए (चित्र 74)। वे दो बिंदुओं A (- 2; 4) और B (2; 4) पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदुओं A और B के भुज समीकरण x2 = 4 के मूल हैं। इसलिए, x1 = - 2, x2 = 2।

इसी तरह तर्क करते हुए, हम समीकरण x2 = 9 (चित्र 74 देखें) की जड़ें पाते हैं: x1 = - 3, x2 = 3।

और अब आइए समीकरण x2 = 5 को हल करने का प्रयास करें; ज्यामितीय चित्रण अंजीर में दिखाया गया है। 75. यह स्पष्ट है कि इस समीकरण की दो जड़ें x1 और x2 हैं, और ये संख्याएँ, पिछले दो मामलों की तरह, निरपेक्ष मान में समान हैं और संकेत में विपरीत हैं (x1 - - x2) - लेकिन पिछले मामलों के विपरीत, जहाँ समीकरण की जड़ें बिना किसी कठिनाई के पाई गईं (और उन्हें ग्राफ़ का उपयोग किए बिना भी पाया जा सकता है), यह समीकरण x2 \u003d 5 के मामले में नहीं है: ड्राइंग के अनुसार, हम जड़ों के मूल्यों को इंगित नहीं कर सकते , हम केवल उसी को स्थापित कर सकते हैं जड़बिंदु - 2 के बाईं ओर थोड़ा स्थित है, और दूसरा - बिंदु 2 के थोड़ा सा दाईं ओर स्थित है।

लेकिन यहाँ हम एक अप्रिय आश्चर्य के लिए हैं। यह पता चला कि ऐसा कोई नहीं है अंशों DIV_ADBLOCK32">

मान लीजिए कि एक ऐसा अप्रासंगिक अंश है जिसके लिए समानता है https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, यानी, एम2 = 5एन2। अंतिम समानता का अर्थ है प्राकृतिक संख्या m2 बिना शेषफल के 5 से विभाज्य है (भागफल में हमें n2 प्राप्त होता है)।

नतीजतन, संख्या m2 या तो संख्या 5 या संख्या 0 के साथ समाप्त होती है। लेकिन फिर प्राकृतिक संख्या m भी या तो संख्या 5 या संख्या 0 के साथ समाप्त होती है, अर्थात संख्या m बिना शेष के 5 से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में यदि संख्या m को 5 से विभाजित किया जाए तो भागफल में कोई प्राकृत संख्या k प्राप्त होगी। इसका मतलब है कि एम = 5k।

और अब देखिए:

पहले समीकरण में m के स्थान पर 5k रखें:

(5k)2 = 5n2, यानी 25k2 = 5n2 या n2 = 5k2।

अंतिम समानता का अर्थ है कि संख्या। 5n2 शेष के बिना 5 से विभाज्य है। उपरोक्त तर्क के अनुसार, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि संख्या n भी बिना 5 से विभाज्य है शेष.

तो, m 5 से विभाज्य है, n 5 से विभाज्य है, इसलिए अंश को घटाया जा सकता है (5 से)। लेकिन हमने मान लिया कि अंश अलघुकरणीय है। क्या बात क्या बात? क्यों, सही ढंग से तर्क करने पर, हम बेतुकेपन पर आ गए या, जैसा कि गणितज्ञ अक्सर कहते हैं, एक विरोधाभास मिला "! हां, क्योंकि मूल आधार गलत था, जैसे कि एक ऐसा अप्रासंगिक अंश है, जिसके लिए समानता ).

यदि, सही तर्क के परिणामस्वरूप, हम स्थिति के साथ एक विरोधाभास पर आते हैं, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं: हमारी धारणा गलत है, जिसका अर्थ है कि जो सिद्ध किया जाना आवश्यक था वह सत्य है।

इसलिए, केवल होना भिन्नात्मक संख्याएं(और हम अभी तक अन्य संख्याओं को नहीं जानते हैं), हम समीकरण x2 \u003d 5 को हल नहीं कर पाएंगे।

पहली बार ऐसी स्थिति का सामना करने के बाद, गणितज्ञों ने महसूस किया कि उन्हें गणितीय भाषा में इसका वर्णन करने का एक तरीका खोजना होगा। उन्होंने विचार में एक नया प्रतीक पेश किया, जिसे उन्होंने वर्गमूल कहा और इस प्रतीक की सहायता से समीकरण x2 = 5 के मूलों को इस प्रकार लिखा गया: ). अब x2 \u003d a के रूप के किसी भी समीकरण के लिए, जहाँ a\u003e O, आप जड़ें पा सकते हैं - वे संख्याएँ हैंhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!}पूर्ण या अंश नहीं।
इसका मतलब यह है कि यह एक परिमेय संख्या नहीं है, यह एक नई प्रकृति की संख्या है, ऐसी संख्याओं के बारे में हम विशेष रूप से अध्याय 5 में बाद में बात करेंगे।
अभी के लिए, ध्यान दें कि नई संख्या 2 और 3 के बीच है, क्योंकि 22 = 4, जो 5 से कम है; Z2 \u003d 9, जो 5 से अधिक है। आप स्पष्ट कर सकते हैं:

एक बार फिर, ध्यान दें कि तालिका में केवल सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देती हैं, क्योंकि यह वर्गमूल की परिभाषा में निर्धारित है। और हालांकि, उदाहरण के लिए, \u003d 25 सही समानता है, वर्गमूल का उपयोग करके इसे अंकन पर जाएं (यानी, इसे लिखें। .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}एक सकारात्मक संख्या है, इसलिए https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. स्पष्ट यह है कि यह 4 से अधिक लेकिन 5 से कम है, क्योंकि 42 = 16 (जो 17 से कम है) और 52 = 25 (जो 17 से अधिक है)।
हालाँकि, संख्या का एक अनुमानित मान का उपयोग करके पाया जा सकता है कैलकुलेटर, जिसमें वर्गमूल संक्रिया होती है; यह मान 4.123 है।

ऊपर दी गई संख्या की तरह संख्या भी परिमेय नहीं है।
ई) गणना नहीं की जा सकती क्योंकि एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल मौजूद नहीं है; प्रवेश अर्थहीन है। प्रस्तावित कार्य गलत है।
इ) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Task)" width="80" height="33 id=">!}, क्योंकि 75> 0 और 752 = 5625।

सरलतम मामलों में, वर्गमूल मान की तुरंत गणना की जाती है:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Task)" width="65" height="42 id=">!}
समाधान।
प्रथम चरण।यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि उत्तर "पूंछ" के साथ 50 होगा। दरअसल, 502 = 2500 और 602 = 3600, जबकि 2809 2500 और 3600 के बीच है।

समीकरण x 2 = 4 पर विचार करें। आइए इसे ग्राफिकल रूप से हल करें। ऐसा करने के लिए, एक समन्वय प्रणाली में, हम एक परवलय y \u003d x 2 और एक सीधी रेखा y \u003d 4 (चित्र। 74) का निर्माण करते हैं। वे दो बिंदुओं A (- 2; 4) और B (2; 4) पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु A और B के भुज समीकरण x 2 \u003d 4 की जड़ें हैं। इसलिए, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2।

उसी तरह तर्क देते हुए, हम समीकरण x 2 \u003d 9 की जड़ें पाते हैं (चित्र 74 देखें): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3।

और अब आइए समीकरण x 2 \u003d 5 को हल करने का प्रयास करें; ज्यामितीय चित्रण अंजीर में दिखाया गया है। 75. यह स्पष्ट है कि इस समीकरण की दो जड़ें x 1 और x 2 हैं, और ये संख्याएँ, पिछले दो मामलों की तरह, निरपेक्ष मान में समान हैं और संकेत में विपरीत हैं (x 1 - - x 2) - लेकिन पिछले के विपरीत ऐसे मामले जहां समीकरण की जड़ें बिना किसी कठिनाई के पाई गईं (और वे ग्राफ़ का उपयोग किए बिना भी पाई जा सकती हैं), यह समीकरण x 2 \u003d 5 के मामले में नहीं है: ड्राइंग के अनुसार, हम मानों को इंगित नहीं कर सकते जड़ों की, हम केवल यह स्थापित कर सकते हैं कि एक जड़ बाएं बिंदुओं से थोड़ी दूर स्थित है - 2, और दूसरी - थोड़ी दाईं ओर

अंक 2।

यह संख्या (बिंदु) क्या है, जो बिंदु 2 के ठीक दाईं ओर स्थित है और जो 5 वर्ग देती है? यह स्पष्ट है कि यह 3 नहीं है, क्योंकि Z 2 \u003d 9, अर्थात, यह आवश्यकता से अधिक निकला (9\u003e 5)।

इसका मतलब यह है कि हमारे लिए रुचि की संख्या संख्या 2 और 3 के बीच स्थित है। लेकिन संख्या 2 और 3 के बीच परिमेय संख्याओं का एक अनंत सेट है, उदाहरण के लिए आदि। शायद उनमें से एक ऐसा अंश है जो ? तब हमें समीकरण x 2 - 5 में कोई समस्या नहीं होगी, हम इसे लिख सकते हैं

लेकिन यहाँ हम एक अप्रिय आश्चर्य के लिए हैं। यह पता चला है कि ऐसा कोई अंश नहीं है जिसके लिए समानता हो
कथित दावे का प्रमाण बल्कि कठिन है। फिर भी, हम इसे देते हैं क्योंकि यह सुंदर और शिक्षाप्रद है, इसे समझने की कोशिश करना बहुत उपयोगी है।

मान लीजिए कि एक ऐसा अलघुकरणीय अंश है, जिसके लिए समानता धारण करती है। फिर, यानी एम 2 = 5एन 2। अंतिम समानता का अर्थ है कि प्राकृतिक संख्या m 2 शेष के बिना 5 से विभाज्य है (विशेष रूप से, n2 निकलेगा)।

नतीजतन, संख्या m 2 या तो संख्या 5 या संख्या 0 के साथ समाप्त होती है। लेकिन फिर प्राकृतिक संख्या m भी संख्या 5 या संख्या 0 के साथ समाप्त होती है, अर्थात। संख्या m बिना शेषफल के 5 से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में यदि संख्या m को 5 से विभाजित किया जाए तो भागफल में कोई प्राकृत संख्या k प्राप्त होगी। इसका मतलब यह है,
वह एम = 5k।
और अब देखिए:
एम 2 \u003d 5n 2;
पहले समीकरण में m के स्थान पर 5k रखें:

(5k) 2 = 5n 2, यानी 25k 2 = 5n 2 या n 2 = 5k 2।
अंतिम समानता का अर्थ है कि संख्या। 5n 2 बिना शेषफल के 5 से विभाज्य है। उपरोक्त तर्क के अनुसार, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि संख्या n भी बिना शेषफल के 5 से विभाज्य है।
तो, m 5 से विभाज्य है, n 5 से विभाज्य है, इसलिए अंश को घटाया जा सकता है (5 से)। लेकिन हमने मान लिया कि अंश अलघुकरणीय है। क्या बात क्या बात? क्यों, सही ढंग से तर्क करने पर, हम बेतुकेपन पर आ गए या, जैसा कि गणितज्ञ अक्सर कहते हैं, एक विरोधाभास मिला "! हां, क्योंकि मूल आधार गलत था, जैसे कि एक ऐसा अप्रासंगिक अंश है, जिसके लिए समानता
इससे हम निष्कर्ष निकालते हैं: ऐसा कोई अंश नहीं है।
उपपत्ति की जिस विधि को हमने अभी लागू किया है उसे गणित में अंतर्विरोध द्वारा उपपत्ति की विधि कहा जाता है। इसका सार इस प्रकार है। हमें एक निश्चित कथन को सिद्ध करने की आवश्यकता है, और हम मानते हैं कि यह पकड़ में नहीं आता है (गणितज्ञ कहते हैं: "इसके विपरीत मान लीजिए" - "अप्रिय" के अर्थ में नहीं, बल्कि "जो आवश्यक है उसके विपरीत") के अर्थ में।
यदि, सही तर्क के परिणामस्वरूप, हम स्थिति के साथ एक विरोधाभास पर आते हैं, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं: हमारी धारणा गलत है, जिसका अर्थ है कि जो सिद्ध किया जाना आवश्यक था वह सत्य है।

इसलिए, केवल परिमेय संख्याएँ होने (और हम अभी तक अन्य संख्याओं को नहीं जानते हैं), हम समीकरण x 2 \u003d 5 को हल नहीं कर पाएंगे।
पहली बार ऐसी स्थिति का सामना करने के बाद, गणितज्ञों ने महसूस किया कि उन्हें गणितीय भाषा में इसका वर्णन करने का एक तरीका खोजना होगा। उन्होंने विचार में एक नया प्रतीक पेश किया, जिसे उन्होंने वर्गमूल कहा, और इस प्रतीक का उपयोग करते हुए, समीकरण x 2 \u003d 5 की जड़ें इस प्रकार लिखी गईं:

पढ़ता है: "5 का वर्गमूल")। अब x 2 \u003d a के किसी भी समीकरण के लिए, जहाँ a\u003e O, आप जड़ें पा सकते हैं - वे संख्याएँ हैं , (चित्र 76)।

फिर से, हम इस बात पर जोर देते हैं कि संख्या पूर्णांक नहीं है और अंश नहीं है।
इसका मतलब यह है कि यह एक परिमेय संख्या नहीं है, यह एक नई प्रकृति की संख्या है, ऐसी संख्याओं के बारे में हम विशेष रूप से अध्याय 5 में बाद में बात करेंगे।
अभी के लिए, ध्यान दें कि नई संख्या 2 और 3 के बीच है, क्योंकि 2 2 = 4, जो 5 से कम है; Z 2 \u003d 9, और यह 5 से अधिक है। आप स्पष्ट कर सकते हैं:

दरअसल, 2.2 2 = 4.84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. आप अभी भी कर सकते हैं
उल्लिखित करना:

वास्तव में, 2.23 2 = 4.9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
व्यवहार में, आमतौर पर यह माना जाता है कि संख्या 2.23 के बराबर है या यह 2.24 के बराबर है, केवल यह एक सामान्य समानता नहीं है, बल्कि एक अनुमानित समानता है, जिसके लिए प्रतीक का उपयोग किया जाता है।
इसलिए,

समीकरण x 2 = a के समाधान पर चर्चा करते हुए, हमें गणित के लिए एक विशिष्ट स्थिति का सामना करना पड़ा। एक गैर-मानक, असामान्य (जैसा कि कॉस्मोनॉट्स कहना पसंद करते हैं) स्थिति में आना और ज्ञात साधनों की मदद से इससे बाहर निकलने का रास्ता नहीं खोजना, गणितज्ञ गणितीय के लिए एक नया शब्द और एक नया पदनाम (एक नया प्रतीक) लेकर आए मॉडल जिसका उन्होंने पहली बार सामना किया है; दूसरे शब्दों में, वे एक नई अवधारणा का परिचय देते हैं और फिर इसके गुणों का अध्ययन करते हैं
अवधारणाओं। इस प्रकार, नई अवधारणा और उसका पदनाम गणितीय भाषा की संपत्ति बन जाता है। हमने उसी तरह से काम किया: हमने "संख्या का वर्गमूल" शब्द पेश किया, इसे निरूपित करने के लिए एक प्रतीक पेश किया और थोड़ी देर बाद हम नई अवधारणा के गुणों का अध्ययन करेंगे। अब तक हम केवल एक ही बात जानते हैं: यदि a > 0,
तो एक धनात्मक संख्या है जो समीकरण x 2 = a को संतुष्ट करती है। दूसरे शब्दों में, एक ऐसी धनात्मक संख्या है, जिसका वर्ग करने पर संख्या a प्राप्त होती है।
चूँकि समीकरण x 2 \u003d 0 की जड़ x \u003d 0 है, हम यह मानने के लिए सहमत हुए
अब हम कठोर परिभाषा देने के लिए तैयार हैं।
परिभाषा। एक गैर-ऋणात्मक संख्या a का वर्गमूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a है।

इस संख्या को निरूपित किया जाता है, संख्या और एक ही समय में मूल संख्या कहलाती है।
इसलिए, यदि a एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो:

यदि एक< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
इस प्रकार, अभिव्यक्ति तभी समझ में आती है जब a> 0।
वे कहते हैं कि - समान गणितीय मॉडल (गैर-ऋणात्मक संख्याओं के बीच समान संबंध
(ए और बी), लेकिन केवल दूसरे को पहले की तुलना में सरल भाषा में वर्णित किया गया है (सरल वर्णों का उपयोग करता है)।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने की संक्रिया को वर्गमूल लेना कहते हैं। यह ऑपरेशन स्क्वायरिंग के विपरीत है। तुलना करना:

एक बार फिर, ध्यान दें कि तालिका में केवल सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देती हैं, क्योंकि यह वर्गमूल की परिभाषा में निर्धारित है। और हालांकि, उदाहरण के लिए, (- 5) 2 \u003d 25 सही समानता है, वर्गमूल का उपयोग करके इसे अंकन पर जाएं (अर्थात इसे लिखें।)
यह वर्जित है। ए-प्रायरी, . एक सकारात्मक संख्या है, इसलिए .
अक्सर वे "वर्गमूल" नहीं, बल्कि "अंकगणितीय वर्गमूल" कहते हैं। हम संक्षिप्तता के लिए "अंकगणित" शब्द को छोड़ देते हैं।

डी) पिछले उदाहरणों के विपरीत, हम संख्या का सटीक मान निर्दिष्ट नहीं कर सकते हैं। यह केवल स्पष्ट है कि यह 4 से अधिक लेकिन 5 से कम है, क्योंकि

4 2 = 16 (जो कि 17 से कम है) और 5 2 = 25 (जो कि 17 से अधिक है)।
हालाँकि, संख्या का अनुमानित मान एक माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके पाया जा सकता है, जिसमें वर्गमूल निकालने का ऑपरेशन होता है; यह मान 4.123 है।
इसलिए,
ऊपर दी गई संख्या की तरह संख्या भी परिमेय नहीं है।
ई) गणना नहीं की जा सकती क्योंकि एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल मौजूद नहीं है; प्रवेश अर्थहीन है। प्रस्तावित कार्य गलत है।
e), चूँकि 31 > 0 और 31 2 = 961। ऐसे मामलों में, आपको प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की तालिका या एक माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करना होगा।
जी) चूंकि 75> 0 और 75 2 = 5625।
सबसे सरल मामलों में, वर्गमूल के मान की तुरंत गणना की जाती है: आदि। अधिक जटिल मामलों में, आपको संख्याओं के वर्गों की तालिका का उपयोग करना होगा या माइक्रोकैलकुलेटर का उपयोग करके गणना करना होगा। लेकिन क्या होगा अगर हाथ में कोई स्प्रेडशीट या कैलकुलेटर न हो? आइए निम्नलिखित उदाहरण को हल करके इस प्रश्न का उत्तर दें।

उदाहरण 2गणना
समाधान।
प्रथम चरण।यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि उत्तर "पूंछ" के साथ 50 होगा। दरअसल, 50 2 = 2500, और 60 2 = 3600, जबकि संख्या 2809 संख्या 2500 और 3600 के बीच है।

दूसरा चरण।आइए "पूंछ" खोजें, अर्थात। वांछित संख्या का अंतिम अंक। अब तक हम जानते हैं कि यदि मूल लिया जाए, तो उत्तर 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, या 59 हो सकता है। केवल दो संख्याओं की जाँच करने की आवश्यकता है: 53 और 57, चूँकि केवल वे , जब वर्ग किया जाता है, तो परिणाम 9 में समाप्त होने वाली चार अंकों की संख्या होगी, वही अंक 2809 के रूप में।
हमारे पास 532 = 2809 है - यह वही है जो हमें चाहिए (हम भाग्यशाली थे, हमने तुरंत "सांड की आंख" मारा)। अतः = 53।
उत्तर:

53
उदाहरण 3एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 1 सेमी और 2 सेमी हैं। त्रिभुज का कर्ण क्या है? (अंजीर.77)

समाधान।

आइए ज्यामिति से ज्ञात पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें: एक समकोण त्रिभुज के पैरों की लंबाई के वर्गों का योग उसके कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात a 2 + b 2 \u003d c 2, जहाँ a, b पैर हैं, c समकोण त्रिभुज का कर्ण है।

साधन,

इस उदाहरण से पता चलता है कि वर्गमूल का परिचय गणितज्ञों की सनक नहीं है, बल्कि एक वस्तुनिष्ठ आवश्यकता है: वास्तविक जीवन में, ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जिनके गणितीय मॉडल में एक वर्गमूल निकालने का कार्य होता है। शायद इन स्थितियों में सबसे महत्वपूर्ण है
द्विघात समीकरणों को हल करना। अब तक, जब द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0 के साथ मिलते हैं, तो हमने या तो बाईं ओर फ़ैक्टराइज़ किया (जो हमेशा काम नहीं करता था), या ग्राफ़िकल विधियों का उपयोग किया (जो कि बहुत विश्वसनीय नहीं है, हालांकि सुंदर है)। दरअसल, खोजने के लिए
गणित में द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0 की जड़ें x 1 और x 2, सूत्रों का उपयोग किया जाता है

युक्त, जाहिरा तौर पर, वर्गमूल का चिन्ह। ये सूत्र व्यवहार में निम्नानुसार लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण 2x 2 + bx - 7 \u003d 0. को हल करना आवश्यक है। यहाँ a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. इसलिए,
बी 2 - 4एसी \u003d 5 2 - 4। 2. (- 7) = 81. तब हम पाते हैं। साधन,

हमने ऊपर देखा कि यह एक परिमेय संख्या नहीं है।
गणितज्ञ ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहते हैं। यदि वर्गमूल नहीं लिया जाता है तो फॉर्म की कोई भी संख्या अपरिमेय है। उदाहरण के लिए, वगैरह। अपरिमेय संख्याएँ हैं। अध्याय 5 में हम परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बारे में अधिक बात करेंगे। परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाती हैं, अर्थात उन सभी नंबरों का सेट जिसके साथ हम वास्तविक जीवन में काम करते हैं (वास्तव में,
नेस). उदाहरण के लिए, - ये सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
जिस प्रकार हमने ऊपर एक वर्गमूल की अवधारणा को परिभाषित किया है, हम एक घनमूल की अवधारणा को भी परिभाषित कर सकते हैं: एक गैर-ऋणात्मक संख्या का घनमूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका घन एक के बराबर है। दूसरे शब्दों में, समानता का अर्थ है कि b 3 = a।

यह सब हम 11वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में पढ़ेंगे।

इस लेख में, हम परिचय देंगे किसी संख्या के मूल की अवधारणा. हम क्रमिक रूप से कार्य करेंगे: हम वर्गमूल से शुरू करेंगे, इससे हम घनमूल के विवरण पर आगे बढ़ेंगे, उसके बाद हम मूल की अवधारणा को nth डिग्री की जड़ को परिभाषित करके सामान्य करेंगे। साथ ही, हम परिभाषाएँ, अंकन, जड़ों के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियाँ देंगे।

वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल

किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए, आपके पास होना चाहिए। इस बिंदु पर, हम अक्सर संख्या की दूसरी शक्ति - संख्या के वर्ग का सामना करेंगे।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं वर्गमूल परिभाषाएँ.

परिभाषा

ए का वर्गमूलवह संख्या है जिसका वर्ग a है।

लाने के लिए वर्गमूल के उदाहरण, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , और उन्हें वर्ग करें, हमें संख्याएँ मिलती हैं 25 , 0.09 , 0.09 तथा 0 क्रमशः (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 और 0 2 =0 0=0)। फिर ऊपर की परिभाषा के अनुसार, 5, 25 का वर्गमूल है, -0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल है, और 0 शून्य का वर्गमूल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी संख्या के लिए a मौजूद नहीं है, जिसका वर्ग a के बराबर है। अर्थात्, किसी ऋणात्मक संख्या a के लिए, कोई वास्तविक संख्या b नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर हो। वास्तव में, समानता a=b 2 किसी भी ऋणात्मक a के लिए असंभव है, क्योंकि b 2 किसी भी b के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है. दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर, एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं होता है और इसका कोई अर्थ नहीं होता है।

यह एक तार्किक प्रश्न की ओर ले जाता है: "क्या किसी गैर-ऋणात्मक a के लिए a का वर्गमूल है"? उत्तर है, हाँ। इस तथ्य के लिए तर्क को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक रचनात्मक विधि माना जा सकता है।

तब निम्नलिखित तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दी गई गैर-ऋणात्मक संख्या a - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक के सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है"? यहाँ इसका उत्तर है: यदि a शून्य है, तो शून्य का केवल वर्गमूल शून्य है; यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो संख्या a से वर्गमूलों की संख्या दो के बराबर है, और जड़ें हैं। आइए इसे प्रमाणित करें।

चलिए केस a=0 से शुरू करते हैं। आइए पहले हम दिखाएँ कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 =0·0=0 और वर्गमूल की परिभाषा से आता है।

अब सिद्ध करते हैं कि 0 ही शून्य का वर्गमूल है। आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। मान लेते हैं कि कोई शून्येतर संख्या b है जो शून्य का वर्गमूल है। तब स्थिति b 2 = 0 को संतुष्ट होना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य b के लिए अभिव्यक्ति b 2 का मान धनात्मक है। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का वर्गमूल है।

आइए उन मामलों पर चलते हैं जहां एक धनात्मक संख्या है। ऊपर हमने बताया कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का हमेशा एक वर्गमूल होता है, मान लीजिए b, a का वर्गमूल है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएँ b 2 =a और c 2 =a मान्य हैं, जिससे यह अनुसरण करता है कि b 2 −c 2 =a−a=0, लेकिन चूँकि b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , फिर (b−c) (b+c)=0 । बल में परिणामी समानता वास्तविक संख्या के साथ क्रियाओं के गुणकेवल तभी संभव है जब b−c=0 या b+c=0 । इस प्रकार संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।

यदि हम मानते हैं कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्कों के समान तर्क देकर यह सिद्ध किया जाता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। तो, एक सकारात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो है, और वर्गमूल विपरीत संख्याएँ हैं।

वर्गमूल के साथ काम करने की सुविधा के लिए, नकारात्मक जड़ को सकारात्मक से "अलग" किया जाता है। इस उद्देश्य के लिए, यह परिचय देता है अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a का अंकगणितीय वर्गमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

संख्या a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए, संकेतन स्वीकार किया जाता है। चिन्ह को अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह कहा जाता है। इसे कर्क राशि का चिन्ह भी कहा जाता है। इसलिए, आप "जड़" और "कट्टरपंथी" दोनों को आंशिक रूप से सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।

अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत आने वाली संख्या कहलाती है जड़ संख्या, और मूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति - कट्टरपंथी अभिव्यक्ति, जबकि "रेडिकल नंबर" शब्द को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन में, संख्या 151 एक मूल संख्या है, और अंकन में, अभिव्यक्ति एक मूल अभिव्यक्ति है।

पढ़ते समय, "अंकगणित" शब्द को अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को "सात दशमलव उनतीस सौवें के वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का उच्चारण तभी किया जाता है जब वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि हम किसी संख्या के सकारात्मक वर्गमूल के बारे में बात कर रहे हैं।

पेश किए गए अंकन के प्रकाश में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से अनुसरण करता है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए।

एक धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह का उपयोग करके और के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 के वर्गमूल और हैं। शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य होता है, अर्थात . ऋणात्मक संख्याओं के लिए, जब तक हम अध्ययन नहीं करते, हम प्रविष्टियों को अर्थ नहीं देंगे जटिल आंकड़े. उदाहरण के लिए, भाव और अर्थहीन हैं।

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जो व्यवहार में प्राय: प्रयोग में लाये जाते हैं।

इस उपभाग का निष्कर्ष निकालने के लिए, हम देखते हैं कि किसी संख्या का वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 =a के रूप का हल होता है।

का घनमूल

घनमूल की परिभाषासंख्या a का वर्गमूल की परिभाषा के समान तरीके से दिया गया है। केवल यह एक संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग नहीं।

परिभाषा

ए का घनमूलवह संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

ले आओ घन जड़ों के उदाहरण. ऐसा करने के लिए, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 7 , 0 , −2/3 , और उनका घन करें: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संख्या 7 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और −2/3 −8/27 का घनमूल है।

यह दिखाया जा सकता है कि संख्या a का घनमूल, वर्गमूल के विपरीत, हमेशा मौजूद होता है, और न केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए, बल्कि किसी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूल का अध्ययन करते समय किया था।

इसके अलावा, दी गई संख्या a का केवल एक घनमूल होता है। आइए हम अंतिम कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, तीन स्थितियों पर अलग-अलग विचार करें: a एक धनात्मक संख्या है, a=0 और a एक ऋणात्मक संख्या है।

यह दिखाना आसान है कि धनात्मक a के लिए a का घनमूल या तो ऋणात्मक या शून्य नहीं हो सकता। वास्तव में, b को a का घनमूल होने दें, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 =a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b=0 के लिए सही नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 =b·b·b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः एक धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या होती है।

अब मान लीजिए कि संख्या b के अलावा संख्या a से एक और घनमूल है, आइए इसे c निरूपित करें। तब c 3 = a. इसलिए, b 3 −c 3 =a−a=0 , लेकिन बी 3 −सी 3 =(बी−सी) (बी 2 +बी सी+सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है क्यूब्स का अंतर), जहां से (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 । परिणामी समानता तभी संभव है जब b−c=0 या b 2 +b c+c 2 =0 हो। पहली समानता से हमारे पास b=c है, और दूसरी समानता का कोई हल नहीं है, क्योंकि इसकी बाईं ओर तीन सकारात्मक शब्दों b 2 , b c और c 2 के योग के रूप में किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए एक सकारात्मक संख्या है। यह धनात्मक संख्या a के घनमूल की अद्वितीयता सिद्ध करता है।

a = 0 के लिए, a का एकमात्र घनमूल शून्य होता है। वास्तव में, यदि हम मानते हैं कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 =0 होनी चाहिए, जो केवल तभी संभव है जब b=0 हो।

नकारात्मक a के लिए, सकारात्मक a के मामले के समान बहस कर सकते हैं। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल या तो धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। दूसरे, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का एक दूसरा घनमूल है और यह दिखाते हैं कि यह आवश्यक रूप से पहले वाले के साथ मेल खाएगा।

इसलिए, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल होता है, और केवल एक।

चलो हम देते है अंकगणितीय घनमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a का अंकगणितीय घनमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका घन a के बराबर होता है, कहलाती है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या के अंकगणितीय घनमूल को के रूप में दर्शाया जाता है, चिन्ह को अंकगणितीय घनमूल का चिन्ह कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को कहा जाता है जड़ सूचक. मूल चिन्ह के नीचे की संख्या है जड़ संख्या, मूल चिह्न के अंतर्गत व्यंजक है कट्टरपंथी अभिव्यक्ति.

यद्यपि अंकगणितीय घनमूल को केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, यह उन प्रविष्टियों का उपयोग करने के लिए भी सुविधाजनक है जिनमें ऋणात्मक संख्याएँ अंकगणितीय घनमूल चिह्न के अंतर्गत हैं। हम उन्हें इस प्रकार समझेंगे: , जहाँ a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, .

घनमूल के गुणों के बारे में हम सामान्य लेख में जड़ों के गुणों के बारे में बात करेंगे।

क्यूब रूट के मान की गणना करना क्यूब रूट निकालना कहलाता है, इस क्रिया की चर्चा लेख एक्सट्रेक्टिंग रूट्स में की गई है: विधियाँ, उदाहरण, समाधान।

इस उपभाग का निष्कर्ष निकालने के लिए, हम कहते हैं कि a का घनमूल x 3 =a के रूप का एक हल है।

Nth मूल, n का अंकगणितीय मूल

हम एक संख्या से मूल की अवधारणा का सामान्यीकरण करते हैं - हम परिचय देते हैं nth रूट का निर्धारणएन के लिए।

परिभाषा

ए की n वीं जड़एक संख्या है जिसकी nth शक्ति a के बराबर है।

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि संख्या a से पहली डिग्री की जड़ स्वयं संख्या है, क्योंकि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हमने 1 = a लिया।

ऊपर, हमने n=2 और n=3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवीं डिग्री के मूल के विशेष मामलों पर विचार किया। अर्थात्, वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n=4, 5, 6, ... के लिए nवें घात के मूलों का अध्ययन करने के लिए उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम कोटि के मूल (अर्थात, n=4, 6 के लिए) , 8, ...), दूसरा समूह - मूल विषम शक्तियाँ (अर्थात, n=5, 7, 9, ... के लिए)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम डिग्री की जड़ें वर्गमूल के समान होती हैं, और विषम डिग्री की जड़ें क्यूबिक रूट के समान होती हैं। आइए उनसे बारी-बारी से निपटें।

आइए जड़ों से शुरू करें, जिनकी शक्तियाँ सम संख्याएँ 4, 6, 8, ... हैं, जैसा कि हमने पहले ही कहा है, वे संख्या a के वर्गमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a से किसी भी डिग्री का मूल केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a = 0 है, तो a की जड़ अद्वितीय और शून्य के बराबर है, और यदि a> 0 है, तो संख्या a से सम डिग्री की दो जड़ें हैं, और वे विपरीत संख्याएँ हैं।

आइए अंतिम कथन को सही ठहराते हैं। मान लीजिए कि a से b एक सम कोटि का मूल है (हम इसे 2·m के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ m कोई प्राकृत संख्या है)। मान लीजिए कि एक संख्या c है - a का दूसरा 2 मीटर मूल। तब b 2 m −c 2 m =a−a=0 । लेकिन हम b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) के रूप में जानते हैं (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2), तब (b−c) (b+c) (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2)=0. इस समानता से यह अनुसरण करता है कि b−c=0 , या b+c=0 , या बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2 =0. पहली दो समानताओं का अर्थ है कि संख्याएँ b और c बराबर हैं या b और c विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल b=c=0 के लिए मान्य है, क्योंकि इसके बाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में किसी भी b और c के लिए गैर-ऋणात्मक है।

विषम n के लिए nth डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a से किसी विषम घात का मूल किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए विद्यमान होता है, और दी गई संख्या के लिए a अद्वितीय होता है।

संख्या a से विषम डिग्री 2·m+1 के मूल की अद्वितीयता a से घनमूल की अद्वितीयता के प्रमाण के सादृश्य द्वारा सिद्ध होती है। केवल यहाँ समानता के बजाय a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)रूप की एक समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). अंतिम कोष्ठक में अभिव्यक्ति को फिर से लिखा जा सकता है b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))). उदाहरण के लिए, m=2 के लिए हमारे पास है b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (बी−सी) (बी 4 +सी 4 +बी सी (बी 2 +सी 2 +बी सी)). जब a और b दोनों धनात्मक हों या दोनों ऋणात्मक हों, तो उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या होती है, तब व्यंजक b 2 +c 2 +b·c , जो नेस्टिंग के उच्चतम स्तर के कोष्ठकों में है, धनात्मक के योग के रूप में धनात्मक होता है नंबर। अब, क्रमिक रूप से नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठकों में भावों की ओर बढ़ते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि वे धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी धनात्मक हों। परिणामस्वरूप, हमें समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = प्राप्त होती है (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0केवल तभी संभव है जब b−c=0 , अर्थात, जब संख्या b संख्या c के बराबर हो।

यह nth डिग्री की जड़ों के अंकन से निपटने का समय है। इसके लिए दिया जाता है nth डिग्री की अंकगणितीय जड़ का निर्धारण.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a की nth डिग्री का अंकगणितीय मूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहलाती है, जिसकी n वीं शक्ति a के बराबर होती है।

मैंने फिर से थाली की ओर देखा... और, चलो!

आइए एक साधारण से शुरू करें:

ज़रा ठहरिये। यह, जिसका अर्थ है कि हम इसे इस तरह लिख सकते हैं:

समझ गया? यहाँ आपके लिए अगला है:

परिणामी संख्याओं की जड़ें बिल्कुल नहीं निकाली जाती हैं? चिंता न करें, यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

लेकिन क्या होगा अगर दो गुणक नहीं हैं, लेकिन अधिक हैं? जो उसी! मूल गुणन सूत्र किसी भी संख्या में कारकों के साथ काम करता है:

अब पूरी तरह से स्वतंत्र:

उत्तर:बहुत अच्छा! सहमत हूँ, सब कुछ बहुत आसान है, मुख्य बात गुणन तालिका को जानना है!

जड़ विभाजन

हमने जड़ों के गुणन का पता लगाया, अब हम विभाजन की संपत्ति पर चलते हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि सामान्य तौर पर सूत्र इस तरह दिखता है:

और इसका मतलब है भागफल की जड़ जड़ों के भागफल के बराबर है।

खैर, आइए उदाहरण देखें:

वह सब विज्ञान है। और यहाँ एक उदाहरण है:

पहले उदाहरण में सब कुछ उतना सहज नहीं है, लेकिन जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

क्या होगा अगर अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

आपको केवल सूत्र को उल्टा लागू करने की आवश्यकता है:

और यहाँ एक उदाहरण है:

आप भी देखें ये एक्सप्रेशन:

सब कुछ समान है, केवल यहां आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि अंशों का अनुवाद कैसे किया जाए (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय को देखें और वापस आएं!)। याद आ गई? अब हम तय करते हैं!

मुझे यकीन है कि आपने सब कुछ, सब कुछ के साथ मुकाबला किया है, अब आइए एक हद तक जड़ें बनाने की कोशिश करें।

घातांक

यदि वर्गमूल का वर्ग किया जाए तो क्या होता है? यह सरल है, किसी संख्या के वर्गमूल का अर्थ याद रखें - यह वह संख्या है जिसका वर्गमूल बराबर होता है।

इसलिए, यदि हम किसी ऐसी संख्या का वर्ग करें जिसका वर्गमूल बराबर हो, तो हमें क्या प्राप्त होता है?

बेशक, !

आइए उदाहरण देखें:

सब कुछ सरल है, है ना? और अगर जड़ अलग डिग्री में है? कोई बात नहीं!

एक ही तर्क पर टिके रहें और गुणों और डिग्री के साथ संभावित कार्यों को याद रखें।

विषय पर सिद्धांत पढ़ें "" और सब कुछ आपके लिए बेहद स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन अगर यह विषम है तो क्या होगा? दोबारा, बिजली गुणों को लागू करें और सबकुछ कारक करें:

इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन एक संख्या से डिग्री में जड़ कैसे निकालें? यहाँ, उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत आसान, है ना? क्या होगा यदि डिग्री दो से अधिक है? हम डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए समान तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर अपने उदाहरणों को हल करें:

और यहाँ उत्तर हैं:

जड़ के हस्ताक्षर के तहत परिचय

हमने अभी जड़ों से क्या करना नहीं सीखा है! यह केवल रूट साइन के तहत संख्या दर्ज करने का अभ्यास करने के लिए बनी हुई है!

यह काफी आसान है!

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या है

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? ठीक है, निश्चित रूप से, ट्रिपल को जड़ के नीचे छिपाएं, जबकि याद रखें कि ट्रिपल का वर्गमूल है!

हमें इसकी जरूरत क्यों है? हां, उदाहरणों को हल करते समय अपनी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? जीवन को बहुत आसान बनाता है? मेरे लिए, यह सही है! केवल हमें याद रखना चाहिए कि हम केवल वर्गमूल चिन्ह के तहत सकारात्मक संख्या दर्ज कर सकते हैं।

इस उदाहरण को अपने लिए आजमाएँ:
क्या आप संभाल पाओगे? आइए देखें कि आपको क्या मिलना चाहिए:

बहुत अच्छा! आप मूल चिह्न के अंतर्गत एक संख्या दर्ज करने में सफल रहे! आइए कुछ समान रूप से महत्वपूर्ण पर चलते हैं - विचार करें कि वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना कैसे करें!

रूट तुलना

हमें वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना करना क्यों सीखना चाहिए?

बहुत सरल। अक्सर, परीक्षा में आने वाले बड़े और लंबे भावों में, हमें एक तर्कहीन उत्तर मिलता है (क्या आपको याद है कि यह क्या है? हमने आज इस बारे में पहले ही बात कर ली है!)

हमें प्राप्त उत्तरों को निर्देशांक रेखा पर रखने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा अंतराल समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त है। और यहीं से रोड़ा पैदा होता है: परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं है, और इसके बिना, यह कैसे कल्पना की जाए कि कौन सी संख्या बड़ी है और कौन सी छोटी है? इतना ही!

उदाहरण के लिए, निर्धारित करें कि कौन बड़ा है: या?

आप सीधे बल्ले से नहीं कहेंगे। ठीक है, आइए मूल चिह्न के तहत एक संख्या जोड़ने की पार्स की गई संपत्ति का उपयोग करें?

फिर आगे:

ठीक है, जाहिर है, जड़ के संकेत के तहत जितनी बड़ी संख्या होगी, जड़ उतनी ही बड़ी होगी!

वे। अगर का मतलब है।

इससे हम दृढ़ता से यह निष्कर्ष निकालते हैं और कोई हमें मना नहीं करेगा!

बड़ी संख्या से जड़ें निकालना

इससे पहले, हमने रूट के संकेत के तहत एक कारक पेश किया, लेकिन इसे कैसे निकालना है? आपको बस इसे कारक बनाने और जो निकाला गया है उसे निकालने की आवश्यकता है!

दूसरे रास्ते पर जाना और अन्य कारकों में विघटित होना संभव था:

बुरा नहीं है, है ना? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, तय करें कि आप कैसा महसूस करते हैं।

इस तरह के गैर-मानक कार्यों को हल करते समय फैक्टरिंग बहुत उपयोगी होती है:

हम डरते नहीं हैं, हम अभिनय करते हैं! हम प्रत्येक कारक को जड़ के नीचे अलग-अलग कारकों में विघटित करते हैं:

और अब इसे स्वयं आज़माएँ (कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा में नहीं होगा):

क्या यह अंत है? हम आधे रास्ते में नहीं रुकते!

बस इतना ही, यह इतना डरावना नहीं है, है ना?

घटित? अच्छा किया, तुम सही हो!

अब इस उदाहरण को आजमाएं:

और एक उदाहरण एक कठिन अखरोट है जिसे तोड़ना मुश्किल है, इसलिए आप तुरंत यह पता नहीं लगा सकते हैं कि इसे कैसे प्राप्त किया जाए। लेकिन हम, निश्चित रूप से दांतों में हैं।

ठीक है, चलो फैक्टरिंग शुरू करें, क्या हम? तुरंत, हम ध्यान दें कि आप किसी संख्या को विभाजित कर सकते हैं (विभाज्यता के संकेतों को याद करें):

और अब, इसे स्वयं आज़माएँ (फिर से, बिना कैलकुलेटर के!):

अच्छा, क्या यह काम किया? अच्छा किया, तुम सही हो!

उपसंहार

1. एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग बराबर होता है।
   .
2. अगर हम किसी चीज़ का सिर्फ वर्गमूल लेते हैं, तो हमें हमेशा एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है।
3. अंकगणितीय मूल गुण:
4. वर्गमूलों की तुलना करते समय, यह याद रखना चाहिए कि मूल के चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, जड़ उतनी ही बड़ी होगी।

आपको वर्गमूल कैसा लगा? सब साफ?

हमने आपको बिना पानी के वह सब कुछ समझाने की कोशिश की है जो आपको परीक्षा में वर्गमूल के बारे में जानने की जरूरत है।

यह आपकी बारी है। हमें लिखें कि यह विषय आपके लिए कठिन है या नहीं।

क्या आपने कुछ नया सीखा या सब कुछ पहले से ही इतना स्पष्ट था।

टिप्पणियों में लिखें और परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

भूमि के एक वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल 81 वर्ग मीटर है। उसका पक्ष खोजें। मान लीजिए वर्ग की भुजा की लंबाई है एक्सडेसीमीटर। तो भूखंड का क्षेत्रफल है एक्स² वर्ग डेसीमीटर। चूंकि, स्थिति के अनुसार, यह क्षेत्रफल 81 dm² है, तब एक्स² = 81. एक वर्ग की भुजा की लंबाई एक धनात्मक संख्या है। एक सकारात्मक संख्या जिसका वर्ग 81 है, संख्या 9 है। समस्या को हल करते समय, संख्या x को खोजना आवश्यक था, जिसका वर्ग 81 है, अर्थात समीकरण को हल करें एक्स² = 81। इस समीकरण की दो जड़ें हैं: एक्स 1 = 9 और एक्स 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 और (- 9)² \u003d 81 के बाद से। दोनों नंबर 9 और - 9 को 81 नंबर का वर्गमूल कहा जाता है।

ध्यान दें कि वर्गमूलों में से एक एक्स= 9 एक धनात्मक संख्या है। इसे 81 का अंकगणितीय वर्गमूल कहा जाता है और इसे √81 के रूप में दर्शाया जाता है, इसलिए √81 = 9।

किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल एएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग बराबर है ए.

उदाहरण के लिए, संख्या 6 और -6 36 के वर्गमूल हैं। संख्या 6 36 का अंकगणितीय वर्गमूल है, क्योंकि 6 एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और 6² = 36। संख्या -6 एक अंकगणितीय जड़ नहीं है।

किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल एनिम्नानुसार निरूपित: √ एक।

चिह्न को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न कहा जाता है; एजड़ अभिव्यक्ति कहा जाता है। अभिव्यक्ति √ एपढ़ना इस प्रकार: किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल एक।उदाहरण के लिए, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7। ऐसे मामलों में जहां यह स्पष्ट है कि हम एक अंकगणितीय जड़ के बारे में बात कर रहे हैं, वे संक्षेप में कहते हैं: "का वर्गमूल ए«.

किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने की क्रिया को वर्गमूल निकालना कहते हैं। यह क्रिया वर्ग के विपरीत है।

किसी भी संख्या का वर्ग किया जा सकता है, लेकिन प्रत्येक संख्या का वर्गमूल नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, संख्या - 4 का वर्गमूल निकालना असंभव है। यदि ऐसा कोई मूल मौजूद है, तो इसे अक्षर से निरूपित करना एक्स, हमें गलत समानता x² \u003d - 4 मिलेगी, क्योंकि बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक संख्या है।

अभिव्यक्ति √ एकेवल तभी समझ में आता है एक ≥ 0. वर्गमूल की परिभाषा संक्षेप में इस प्रकार लिखी जा सकती है: √ एक ≥ 0, (√ए)² = ए. समानता (√ ए)² = एके लिए मान्य एक ≥ 0. इस प्रकार, यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एके बराबर होती है बी, यानी, कि √ ए =बी, आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं: बी ≥ 0, बी² = एक।

एक अंश का वर्गमूल

आइए हिसाब लगाते हैं। ध्यान दें कि √25 = 5, √36 = 6, और जांचें कि क्या समानता है।

क्योंकि और , तो समानता सत्य है। इसलिए, .

प्रमेय:अगर ए≥ 0 और बी> 0, अर्थात, भिन्न का मूल, अंश के मूल को हर के मूल से विभाजित करने के बराबर होता है। यह साबित करना आवश्यक है: और .

चूँकि √ ए≥0 और √ बी> 0, फिर।

एक अंश को एक शक्ति तक बढ़ाने और वर्गमूल का निर्धारण करने की संपत्ति से प्रमेय सिद्ध है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

सिद्ध प्रमेय के अनुसार गणना करें .

दूसरा उदाहरण: साबित करो , अगर ए ≤ 0, बी < 0. .

एक अन्य उदाहरण: गणना करें।

.

वर्गमूल परिवर्तन

गुणक को मूल चिह्न के नीचे से निकालना। एक एक्सप्रेशन दिया जाए। अगर ए≥ 0 और बी≥ 0, तो गुणनफल के मूल पर प्रमेय द्वारा, हम लिख सकते हैं:

इस तरह के परिवर्तन को रूट साइन को फैक्टरिंग कहा जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें;

पर गणना करें एक्स= 2. प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन एक्स= 2 मूल अभिव्यक्ति में जटिल गणना की ओर जाता है। इन गणनाओं को सरल बनाया जा सकता है यदि हम पहले मूल चिह्न के नीचे से कारकों को हटा दें: . अब x = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:।

इसलिए, मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालते समय, मूल व्यंजक को एक गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें एक या अधिक गुणनखंड गैर-ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग होते हैं। मूल उत्पाद प्रमेय तब लागू किया जाता है और प्रत्येक कारक की जड़ ली जाती है। एक उदाहरण पर विचार करें: अभिव्यक्ति A = √8 + √18 - 4√2 को पहले दो पदों में मूल चिह्न के नीचे से कारकों को निकालकर सरल करें, हमें यह मिलता है:। हम जोर देते हैं कि समानता केवल तभी मान्य ए≥ 0 और बी≥ 0. अगर ए < 0, то .