आधार से लॉग इन करें। लघुगणकीय भाव

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं। यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस पर आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए एक दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x के आधार a का लघुगणक वह शक्ति है जिस तक संख्या a को संख्या x प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

अंकन: log a x \u003d b, जहाँ a आधार है, x तर्क है, b वास्तव में लघुगणक के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। 2 64 = 6 भी लॉग कर सकते हैं क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की संक्रिया को लघुगणक कहते हैं। तो चलिए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ते हैं:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणकों को इतनी आसानी से नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, log 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क तय करता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लघुगणक अपरिमेय निकला, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर होगा: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 ।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। सबसे पहले, बहुत से लोग भ्रमित होते हैं कि आधार कहाँ है और तर्क कहाँ है। कष्टप्रद गलतफहमी से बचने के लिए, बस चित्र पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद करना: लघुगणक शक्ति है, जिसके लिए आपको तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की जरूरत है। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - तस्वीर में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा नीचे होता है! मैं अपने छात्रों को पहले ही पाठ में यह अद्भुत नियम बताता हूँ - और इसमें कोई भ्रम नहीं है।

हमने परिभाषा निकाली - यह सीखना बाकी है कि लघुगणक को कैसे गिनना है, अर्थात। "लॉग" चिन्ह से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि दो महत्वपूर्ण तथ्य परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1. तर्क और आधार हमेशा शून्य से अधिक होना चाहिए। यह एक परिमेय प्रतिपादक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार को एकता से अलग होना चाहिए, क्योंकि किसी भी शक्ति की इकाई अभी भी एक इकाई है। इस वजह से, सवाल "दो पाने के लिए किस शक्ति को उठाया जाना चाहिए" अर्थहीन है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं मान्य रेंज(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 ।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, लघुगणक अच्छी तरह से नकारात्मक हो सकता है: लॉग 2 0.5 \u003d -1, क्योंकि 0.5 = 2 −1।

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक व्यंजकों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक के ODZ को जानने की आवश्यकता नहीं है। समस्याओं के संकलनकर्ताओं द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा गया है। लेकिन जब लघुगणकीय समीकरण और असमानताएं चलन में आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। दरअसल, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं, जो उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप नहीं हैं।

अब विचार करें सामान्य योजनालघुगणक गणना। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक शक्ति के रूप में व्यक्त करें जिसमें सबसे छोटा संभव आधार एक से अधिक हो। रास्ते में, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक तर्कहीन हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही देखा जाएगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से अधिक हो बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणनाओं को बहुत सरल करता है। इसी तरह दशमलव अंशों के साथ: यदि आप उन्हें तुरंत साधारण में परिवर्तित करते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 5 25

1. आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

आइए समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. जवाब मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

1. आइए आधार और तर्क को दो की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. आइए समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. जवाब मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

1. आइए आधार और तर्क को दो की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. आइए समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. प्रतिक्रिया मिली: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 7 14

1. आइए आधार और तर्क को सात की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया जाता है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. यह पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

के लिए एक छोटा सा नोट अंतिम उदाहरण. यह कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? बहुत आसान - बस इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक घातें हैं: 8; 48; 81; 35; 14।

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक शक्ति नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 2 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा स्वयं की सटीक घात होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

x तर्क का दशमलव लघुगणक आधार 10 लघुगणक है, अर्थात संख्या x प्राप्त करने के लिए आपको संख्या 10 बढ़ाने के लिए जिस शक्ति की आवश्यकता है। पदनाम: एलजी एक्स।

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

साधारण लघुगणक के लिए जो सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक मायने में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। इसके बारे मेंप्राकृतिक लघुगणक के बारे में।

x का प्राकृतिक लघुगणक आधार e लघुगणक है, अर्थात वह घात जिस तक संख्या e को संख्या x प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स।

बहुत से लोग पूछेंगे: संख्या ई और क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है सही मूल्यखोजना और रिकॉर्ड करना असंभव है। यहाँ केवल पहली संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459...

हम इस बात पर ध्यान नहीं देंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार एलएन ई = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एकता को छोड़कर: ln 1 = 0।

के लिए प्राकृतिक लघुगणकसाधारण लघुगणकों के लिए सत्य होने वाले सभी नियम मान्य हैं।

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूँकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, यहाँ नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं की जा सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - सब कुछ एक दिन में सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणकों का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणकों पर विचार करें: log ए एक्सऔर लॉग करें ए वाई. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लकड़ी का लट्ठा ए एक्स+लॉग ए वाई= लॉग ए (एक्स · वाई);
2. लकड़ी का लट्ठा ए एक्स-log ए वाई= लॉग ए (एक्स : वाई).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही मैदान. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में तब भी आपकी सहायता करेंगे जब इसके अलग-अलग भागों पर विचार नहीं किया जाता है (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 - log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 - log 3 5.

दोबारा, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135: 5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणकों से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। इस तथ्य के आधार पर अनेक परीक्षण कागजात. हां, परीक्षा में नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश किए जाते हैं।

लघुगणक से घातांक को हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो तो क्या होगा? तब इस डिग्री के प्रतिपादक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

इसे देखना आसान है अंतिम नियमपहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

यदि ODZ लघुगणक देखा जाता है, तो निश्चित रूप से, ये सभी नियम समझ में आते हैं: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक बात और: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत, यानी लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो अक्सर आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि भाजक एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 72। अपने पास:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है कि आखिरी उदाहरण को स्पष्टीकरण की जरूरत है। लघुगणक कहाँ गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल भाजक के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब मुख्य भिन्न को देखते हैं। अंश और हर में समान संख्या होती है: log 2 7. चूँकि log 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम का उत्तर है: 2।

एक नई नींव के लिए संक्रमण

लघुगणकों को जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे समान संख्या की सटीक शक्तियाँ नहीं हैं?

एक नए आधार में संक्रमण के सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

दिया जाए लघुगणक लॉग ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी≠ 1, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, अगर हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से अनुसरण करता है कि लघुगणक के आधार और तर्क को बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र साधारण संख्यात्मक व्यंजकों में विरले ही पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव पर ले जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 5 16 log 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। चलो संकेतक निकालते हैं: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूँकि उत्पाद कारकों के क्रमचय से नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणकों का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

अब निपटते हैं दशमलव लघुगणक, नए आधार पर जाना:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर इसे हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहा जाता है।

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या बीसत्ता में उठाओ ताकि बीइस हद तक एक संख्या देता है ए? यह सही है: यह वही संख्या है ए. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इस पर "लटके" हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि log 25 64 = log 5 8 - बस आधार से वर्ग और लघुगणक का तर्क निकाल लिया। समान आधार वाली शक्तियों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

अगर कोई नहीं जानता है, तो यह परीक्षा से वास्तविक कार्य था :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो सर्वसमिकाएँ दूंगा जिन्हें गुण कहना मुश्किल है - बल्कि, ये लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लकड़ी का लट्ठा ए ए= 1 लघुगणकीय इकाई है। हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक एइस आधार से ही एक के बराबर है।
2. लकड़ी का लट्ठा ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें व्यवहार में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, इसे प्रिंट करें और समस्याओं को हल करें।

समाज के विकास के साथ उत्पादन की जटिलता, गणित का भी विकास हुआ। सरल से जटिल की ओर गति। जोड़ और घटाव की सामान्य लेखांकन पद्धति से, उनके बार-बार दोहराए जाने से, वे गुणा और भाग की अवधारणा पर आ गए। गुणा दोहराए जाने वाले ऑपरेशन की कमी घातांक की अवधारणा बन गई। आधार पर संख्याओं की निर्भरता की पहली सारणी और घातांक की संख्या 8 वीं शताब्दी में भारतीय गणितज्ञ वरसेना द्वारा संकलित की गई थी। उनसे आप लघुगणक के होने के समय की गणना कर सकते हैं।

ऐतिहासिक रूपरेखा

16वीं शताब्दी में यूरोप के पुनरुद्धार ने भी यांत्रिकी के विकास को प्रेरित किया। टी बड़ी मात्रा में गणना की आवश्यकता हैबहु-अंकीय संख्याओं के गुणन और विभाजन से संबंधित। प्राचीन तालिकाओं ने बहुत अच्छी सेवा की। उन्होंने जटिल परिचालनों को सरल - जोड़ और घटाव के साथ बदलना संभव बना दिया। 1544 में प्रकाशित गणितज्ञ माइकल स्टिफ़ेल का काम एक बड़ा कदम था, जिसमें उन्होंने कई गणितज्ञों के विचार को साकार किया। इससे फॉर्म में न केवल डिग्री के लिए तालिकाओं का उपयोग करना संभव हो गया प्रमुख संख्या, लेकिन मनमाना तर्कसंगत लोगों के लिए भी।

1614 में, स्कॉट्समैन जॉन नेपियर ने इन विचारों को विकसित करते हुए, पहली बार "एक संख्या का लघुगणक" नया शब्द पेश किया। ज्या और कोज्या के लघुगणक के साथ-साथ स्पर्शरेखा की गणना के लिए नई जटिल तालिकाएँ संकलित की गईं। इसने खगोलविदों के काम को बहुत कम कर दिया।

नई तालिकाएँ दिखाई देने लगीं, जिनका वैज्ञानिकों ने सफलतापूर्वक उपयोग किया तीन शतक. पहले बहुत समय लगा नया ऑपरेशनबीजगणित में अपना पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया। लघुगणक परिभाषित किया गया था और इसके गुणों का अध्ययन किया गया था।

केवल 20वीं शताब्दी में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन के साथ, मानव जाति ने उन प्राचीन तालिकाओं को त्याग दिया जो 13वीं शताब्दी में सफलतापूर्वक संचालित हो रही थीं।

आज हम संख्या x को आधार बनाने के लिए b का लघुगणक कहते हैं, जो संख्या b प्राप्त करने के लिए a की शक्ति है। इसे एक सूत्र के रूप में लिखा गया है: x = log a(b).

उदाहरण के लिए, लॉग 3(9) 2 के बराबर होगा। यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं तो यह स्पष्ट है। यदि हम 3 की घात 2 बढ़ाते हैं, तो हमें 9 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, तैयार की गई परिभाषा केवल एक प्रतिबंध लगाती है, संख्याएँ a और b वास्तविक होनी चाहिए।

लघुगणक की किस्में

शास्त्रीय परिभाषा को वास्तविक लघुगणक कहा जाता है और वास्तव में समीकरण a x = b का हल है। विकल्प a = 1 सीमा रेखा है और इसमें कोई दिलचस्पी नहीं है। नोट: 1 किसी भी शक्ति के लिए 1 है।

लघुगणक का वास्तविक मानपरिभाषित केवल अगर आधार और तर्क 0 से अधिक है, और आधार 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।

गणित के क्षेत्र में विशेष स्थानलघुगणक खेलें, जिन्हें उनके आधार के मान के आधार पर नामित किया जाएगा:

नियम और प्रतिबंध

लघुगणक की मूलभूत संपत्ति नियम है: किसी उत्पाद का लघुगणक लघुगणक योग के बराबर होता है। लॉग एबीपी = लॉग ए (बी) + लॉग ए (पी)।

इस कथन के एक संस्करण के रूप में, यह होगा: लॉग सी (बी / पी) \u003d लॉग सी (बी) - लॉग सी (पी), भागफल समारोह कार्यों के अंतर के बराबर है।

पिछले दो नियमों से यह देखना आसान है कि: log a(b p) = p * log a(b).

अन्य गुणों में शामिल हैं:

टिप्पणी। एक सामान्य गलती न करें - योग का लघुगणक, लघुगणक के योग के बराबर नहीं है।

कई शताब्दियों के लिए, लघुगणक खोजने का कार्य काफी समय लेने वाला कार्य था। गणितज्ञों ने एक बहुपद में विस्तार के लघुगणकीय सिद्धांत के प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग किया:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), जहां n 1 से अधिक प्राकृतिक संख्या है, जो गणना की सटीकता निर्धारित करती है।

अन्य आधारों के साथ लघुगणक की गणना एक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण पर प्रमेय और उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करके की गई थी।

चूँकि यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समयलागू करने में मुश्किल, उन्होंने लघुगणक के पूर्व-संकलित तालिकाओं का उपयोग किया, जिसने पूरे काम को बहुत तेज कर दिया।

कुछ मामलों में, लघुगणक के विशेष रूप से संकलित ग्राफ़ का उपयोग किया गया था, जो कम सटीकता देता था, लेकिन वांछित मूल्य की खोज में काफी तेजी लाता था। फ़ंक्शन y = log a(x) का वक्र, कई बिंदुओं पर निर्मित, सामान्य शासक का उपयोग किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों को खोजने की अनुमति देता है। इंजीनियर्स लंबे समय तकइन उद्देश्यों के लिए तथाकथित ग्राफ पेपर का उपयोग किया गया था।

17वीं सदी में, पहली सहायक एनालॉग कंप्यूटिंग स्थितियां सामने आईं, जिन्हें उन्नीसवीं सदीएक समाप्त रूप प्राप्त किया। सबसे सफल युक्ति को स्लाइड नियम कहा जाता था। डिवाइस की सादगी के बावजूद, इसकी उपस्थिति ने सभी इंजीनियरिंग गणनाओं की प्रक्रिया को काफी तेज कर दिया, और इसे कम करना मुश्किल है। वर्तमान में, कम ही लोग इस डिवाइस से परिचित हैं।

कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन ने किसी अन्य उपकरण का उपयोग करना व्यर्थ कर दिया।

समीकरण और असमानताएँ

लघुगणकों का उपयोग करके विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए निम्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

• एक आधार से दूसरे में संक्रमण: लॉग ए (बी) = लॉग सी (बी) / लॉग सी (ए);
• पिछले संस्करण के परिणामस्वरूप: लॉग ए (बी) = 1 / लॉग बी (ए)।

असमानताओं को हल करने के लिए, यह जानना उपयोगी है:

• लघुगणक का मान तभी धनात्मक होगा जब आधार और तर्क दोनों एक से अधिक या एक से कम हों; यदि कम से कम एक शर्त का उल्लंघन होता है, तो लघुगणक का मान ऋणात्मक होगा।
• यदि लघुगणक फलन असमानता के दाएं और बाएं पक्षों पर लागू होता है, और लघुगणक का आधार एक से अधिक है, तो असमिका का चिह्न संरक्षित रहता है; अन्यथा, यह बदल जाता है।

कार्य के उदाहरण

लघुगणक और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए कई विकल्पों पर विचार करें। समीकरणों को हल करने के उदाहरण:

लघुगणक को डिग्री में रखने के विकल्प पर विचार करें:

• टास्क 3. 25^लॉग 5(3) की गणना करें। समाधान: समस्या की स्थिति में, अंकन निम्न (5^2)^log5(3) या 5^(2 * log 5(3)) के समान है। आइए इसे अलग तरीके से लिखते हैं: 5^लॉग 5(3*2), या फ़ंक्शन तर्क के रूप में किसी संख्या के वर्ग को फ़ंक्शन के वर्ग के रूप में ही लिखा जा सकता है (5^लॉग 5(3))^2। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, यह व्यंजक 3^2 है। उत्तर: गणना के परिणामस्वरूप हमें 9 मिलते हैं।

प्रायोगिक उपयोग

विशुद्ध रूप से गणितीय उपकरण होने के नाते, यह बहुत दूर लगता है वास्तविक जीवनकि लघुगणक अचानक प्राप्त हो गया बडा महत्ववस्तुओं का वर्णन करना असली दुनिया. ऐसा विज्ञान खोजना मुश्किल है जहां इसका उपयोग नहीं किया जाता है। यह न केवल प्राकृतिक, बल्कि ज्ञान के मानविकी क्षेत्रों पर भी पूरी तरह से लागू होता है।

लघुगणकीय निर्भरताएँ

यहाँ संख्यात्मक निर्भरता के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यांत्रिकी और भौतिकी

ऐतिहासिक रूप से, यांत्रिकी और भौतिकी हमेशा प्रयोग करके विकसित हुए हैं गणितीय तरीकेअनुसंधान और एक ही समय में लघुगणक सहित गणित के विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया। भौतिकी के अधिकांश नियमों का सिद्धांत गणित की भाषा में लिखा गया है। हम लघुगणक का उपयोग करते हुए भौतिक नियमों के वर्णन के केवल दो उदाहरण देते हैं।

Tsiolkovsky सूत्र का उपयोग करके रॉकेट की गति के रूप में ऐसी जटिल मात्रा की गणना करने की समस्या को हल करना संभव है, जिसने अंतरिक्ष अन्वेषण के सिद्धांत की नींव रखी:

वी = आई * एलएन (एम 1/एम 2), जहां

• V विमान की अंतिम गति है।
• मैं इंजन का विशिष्ट आवेग है।
• एम 1 रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान है।
• एम 2 - अंतिम द्रव्यमान।

एक और महत्वपूर्ण उदाहरण- यह एक अन्य महान वैज्ञानिक, मैक्स प्लैंक के सूत्र में उपयोग है, जो ऊष्मप्रवैगिकी में संतुलन की स्थिति का मूल्यांकन करने का कार्य करता है।

एस = के * एलएन (Ω), जहां

• S एक ऊष्मागतिकीय गुण है।
• k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
• Ω विभिन्न राज्यों का सांख्यिकीय भार है।

रसायन विज्ञान

लघुगणकों के अनुपात वाले रसायन विज्ञान में सूत्रों का उपयोग कम स्पष्ट होगा। यहाँ केवल दो उदाहरण हैं:

• नर्नस्ट समीकरण, पदार्थों की गतिविधि और संतुलन स्थिरांक के संबंध में माध्यम की रेडॉक्स क्षमता की स्थिति।
• ऑटोप्रोलिसिस इंडेक्स और समाधान की अम्लता जैसे स्थिरांक की गणना भी हमारे कार्य के बिना पूरी नहीं होती है।

मनोविज्ञान और जीव विज्ञान

और यह पूरी तरह से समझ से बाहर है कि मनोविज्ञान का इससे क्या लेना-देना है। यह पता चला है कि उत्तेजना की तीव्रता को कम तीव्रता मूल्य के लिए उत्तेजना तीव्रता मूल्य के व्युत्क्रम अनुपात के रूप में इस समारोह द्वारा अच्छी तरह से वर्णित किया गया है।

उपरोक्त उदाहरणों के बाद, अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि जीव विज्ञान में लघुगणक का विषय भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लॉगरिदमिक सर्पिल के अनुरूप जैविक रूपों के बारे में संपूर्ण खंड लिखे जा सकते हैं।

अन्य क्षेत्र

ऐसा लगता है कि इस कार्य से जुड़े बिना दुनिया का अस्तित्व असंभव है, और यह सभी कानूनों को नियंत्रित करता है। खासकर तब जब प्रकृति के नियम जुड़े हुए हों ज्यामितीय अनुक्रम. यह MatProfi वेबसाइट का उल्लेख करने योग्य है, और गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में ऐसे कई उदाहरण हैं:

सूची अंतहीन हो सकती है। इस कार्य के बुनियादी नियमों में महारत हासिल करने के बाद, आप अनंत ज्ञान की दुनिया में उतर सकते हैं।

एक लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास नहीं होता? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें एक लघुगणक क्या है.

2. पूरी कक्षा को हल करना सीखें घातीय समीकरण. भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणा तालिका जानने की आवश्यकता होगी, और कैसे एक संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है ...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... अच्छा, समय रखो! जाना!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा करते हैं, तो उनके घातांक हमेशा जुड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय कानून आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8वीं शताब्दी में, गणितज्ञ वीरसेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहाँ बोझिल गुणन को सरल जोड़ में सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे काम करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्न रूप का एक व्यंजक है: log a b=c, अर्थात, किसी का लघुगणक गैर-नकारात्मक संख्या(यानी कोई सकारात्मक) "बी" को इसके आधार "ए" को "सी" की शक्ति माना जाता है जिसके लिए आधार "ए" को अंततः मूल्य "बी" प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक अभिव्यक्ति लॉग 2 8 है। उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत सरल है, आपको ऐसी डिग्री खोजने की आवश्यकता है कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8. आपके दिमाग में कुछ गणनाएँ करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही तो है, क्योंकि 2 की घात 3 उत्तर में 8 अंक देती है।

लघुगणक की किस्में

कई छात्रों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझें और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखें। वहाँ तीन हैं ख़ास तरह केलघुगणकीय भाव:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव ए, जहां आधार 10 है।
3. आधार a>1 के लिए किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें सरलीकरण, कमी और लॉगरिदमिक प्रमेय का उपयोग करके एक लॉगरिदम में बाद में कमी शामिल है। लघुगणकों के सही मान प्राप्त करने के लिए, उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं से सम डिग्री का मूल निकालना भी असंभव है। लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि कैसे लंबे और कैपेसिटिव लॉगरिदमिक एक्सप्रेशंस के साथ भी काम करना है:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से अधिक होना चाहिए, और एक ही समय में 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री के लिए हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से अधिक होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने के लिए कार्य दिया गया था। यह बहुत आसान है, आपको ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है, जो संख्या दस को बढ़ाकर हमें 100 मिलती है। यह निश्चित रूप से 10 है 2 \u003d 100।

अब आइए इस व्यंजक को लघुगणकीय व्यंजक के रूप में निरूपित करें। हमें log 10 100 = 2 प्राप्त होता है। लघुगणक को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए लघुगणक का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको सीखना चाहिए कि डिग्री तालिका के साथ कैसे काम करना है। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है, तो कुछ प्रतिपादकों का सहज अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, के लिए बड़े मूल्यआपको डिग्री की तालिका चाहिए। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है, जिससे संख्या a उठाई जाती है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर, संख्याओं के मान निर्धारित किए जाते हैं, जो उत्तर (a c = b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, 10 नंबर वाली पहली सेल लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारी दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे सच्चा मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानताएँ

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, प्रतिपादक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति को लघुगणकीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 = 81 को आधार 3 पर 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि चार है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक शक्तियों के लिए, नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) = -5 प्राप्त होता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। हम उनके गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब देखते हैं कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप का एक व्यंजक दिया गया है: log 2 (x-1) > 3 - यह है लघुगणकीय असमानता, चूंकि अज्ञात मान "x" लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है। और अभिव्यक्ति में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = √9 का लघुगणक) उत्तर में एक या एक से अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय दोनों की श्रेणी स्वीकार्य मान और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। नतीजतन, उत्तर अलग-अलग संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, लेकिन एक निरंतर श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेय

लघुगणक के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुण ज्ञात नहीं हो सकते हैं। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी मूल गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक संपत्ति का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल सर्वसमिका इस प्रकार दिखाई देती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो, और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2। इस मामले में, पूर्वापेक्षा है: d, s 1 और s 2 > 0; एक≠1। आप लघुगणक के इस सूत्र की उपपत्ति उदाहरणों और हल के साथ दे सकते हैं। मान लीजिए log a s 1 = f 1 और log a s 2 = f 2 , तो a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: log a (s 1 *s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, जिसे सिद्ध किया जाना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log as 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्न रूप लेता है: लॉग ए क्यू बी एन = एन/क्यू लॉग ए बी।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री की संपत्ति" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्रियों के गुणों से मिलता-जुलता है, और इसमें कोई आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सारा गणित नियमित अभिधारणाओं पर टिका होता है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t होने दें, यह t \u003d b निकला। यदि आप दोनों भागों की घात m: a tn = b n ;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए log a q b n = (n*t)/t, तो log a q b n = n/q log a b। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे सामान्य प्रकार की लघुगणक समस्याएँ समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश लेने या गणित में प्रवेश परीक्षा पास करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मान को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, तथापि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या अभिव्यक्ति को सरल या कम किया जा सकता है सामान्य रूप से देखें. यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं तो आप लंबे लघुगणकीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। आइए जल्द ही उनके बारे में जानें।

लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे पास किस प्रकार का लघुगणक है: एक अभिव्यक्ति के उदाहरण में एक प्राकृतिक लघुगणक या एक दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य पर उबलता है कि आपको उस डिग्री को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिस पर आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। प्राकृतिक लघुगणकों के समाधान के लिए, किसी को आवेदन करने की आवश्यकता है लघुगणकीय पहचानया उनके गुण। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों का उपयोग करने के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां संख्या बी के एक बड़े मूल्य को सरल कारकों में विघटित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की डिग्री की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और अघुलनशील अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को फ़ैक्टराइज़ करना और फिर लघुगणक के चिह्न से घातांक मानों को निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लघुगणक अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में लघुगणकीय समस्याएं। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (सबसे आसान) में मौजूद होते हैं परीक्षण भागपरीक्षा), लेकिन भाग सी (सबसे कठिन और विशाल कार्य) में भी। परीक्षा में "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और पूर्ण ज्ञान शामिल है।

आधिकारिक से उदाहरण और समस्या समाधान लिए जाते हैं उपयोग के विकल्प. आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लॉग 2 (2x-1) = 4. हल:
लॉग 2 (2x-1) = 2 2 , लघुगणक की परिभाषा के अनुसार इसे थोड़ा सरल करते हुए, हम व्यंजक को फिर से लिखते हैं, हम पाते हैं कि 2x-1 = 2 4 , इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणकों को एक ही आधार पर कम करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रामक न हो।
• लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत सभी भावों को धनात्मक के रूप में दर्शाया गया है, इसलिए, व्यंजक के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है और इसके आधार के रूप में, लघुगणक के अंतर्गत बची हुई अभिव्यक्ति धनात्मक होनी चाहिए।