प्राकृतिक लघुगणक माइनस 1. EXCEL में प्राकृतिक लघुगणक की गणना के लिए LN और LOG कार्य करता है

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काफी अच्छा, है ना? जबकि गणितज्ञ आपको एक लंबी, जटिल परिभाषा देने के लिए शब्दों की तलाश कर रहे हैं, आइए इस सरल और स्पष्ट परिभाषा पर करीब से नज़र डालें।

संख्या ई का अर्थ है विकास

संख्या ई का अर्थ है निरंतर वृद्धि। जैसा कि हमने पिछले उदाहरण में देखा, e x हमें ब्याज और समय को जोड़ने की अनुमति देता है: 100% वृद्धि पर 3 वर्ष "चक्रवृद्धि ब्याज" के अधीन 300% पर 1 वर्ष के समान है।

आप किसी भी प्रतिशत और समय मान (4 वर्षों में 50%) को स्थानापन्न कर सकते हैं, लेकिन सुविधा के लिए प्रतिशत को 100% के रूप में सेट करना बेहतर है (यह 2 वर्षों में 100% निकलता है)। 100% पर जाकर, हम केवल समय घटक पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं:

ई एक्स = ई प्रतिशत * समय = ई 1.0 * समय = ई समय

स्पष्ट रूप से, e x का अर्थ है:

• समय की x इकाइयों में मेरा योगदान कितना बढ़ेगा (100% निरंतर वृद्धि मानते हुए)।
• उदाहरण के लिए, 3 बार के अंतराल के बाद मुझे ई 3 = 20.08 गुना "चीजें" मिलेंगी।

ई एक्स एक स्केलिंग कारक है जो दिखाता है कि हम एक्स समय अवधि में किस स्तर तक बढ़ेंगे।

प्राकृतिक लघुगणक का अर्थ है समय

प्राकृतिक लघुगणक ई का व्युत्क्रम है, विपरीत के लिए ऐसा फैंसी शब्द। विचित्रताओं की बात; लैटिन में इसे लघुगणक प्राकृतिक कहा जाता है, इसलिए संक्षिप्त नाम ln है।

और इस उलटे या विपरीत का क्या अर्थ है?

• ई एक्स हमें समय जोड़ने और विकास प्राप्त करने की अनुमति देता है।
• एलएन (एक्स) हमें विकास या आय लेने और इसे प्राप्त करने में लगने वाले समय का पता लगाने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए:

• ई 3 20.08 के बराबर है। तीन समय अवधि में, हमारे पास शुरुआत से 20.08 गुना अधिक होगा।
• ln(20.08) लगभग 3 होगा। यदि आप 20.08x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आपको 3 गुना (फिर से, 100% निरंतर वृद्धि मानते हुए) की आवश्यकता होगी।

क्या आप अभी भी पढ़ रहे हैं? प्राकृतिक लघुगणक वांछित स्तर तक पहुँचने में लगने वाले समय को दर्शाता है।

यह गैर-मानक लघुगणक गणना

आपने लघुगणक पार कर लिया है - यह है अजीब प्राणी. उन्होंने गुणन को जोड़ में बदलने का प्रबंधन कैसे किया? घटाव में विभाजन के बारे में क्या? आइए एक नजर डालते हैं।

एलएन (1) किसके बराबर है? सहज रूप से, सवाल यह है: मेरे पास जितना है उससे 1 गुना अधिक पाने के लिए मुझे कितना समय इंतजार करना होगा?

शून्य। शून्य। बिल्कुल नहीं। आपके पास पहले से ही एक बार है। लेवल 1 से लेवल 1 तक बढ़ने में इसे ज्यादा समय नहीं लगता है।

• लॉग (1) = 0

ठीक है, भिन्नात्मक मान के बारे में क्या? हमारे पास जो बचा है उसका आधा हिस्सा हमारे पास होने में कितना समय लगेगा? हम जानते हैं कि 100% निरंतर वृद्धि के साथ, ln(2) का अर्थ है कि इसे दोगुना होने में कितना समय लगता है। हम अगर समय को लौटा लाना(यानी एक नकारात्मक समय की प्रतीक्षा करें), तो हमारे पास जो है उसका आधा मिलता है।

• एलएन (1/2) = -एलएन (2) = -0.693

तार्किक, है ना? यदि हम 0.693 सेकंड पीछे (वापस समय) जाते हैं, तो हमें उपलब्ध राशि का आधा हिस्सा मिलेगा। सामान्य तौर पर, आप अंश को फ्लिप कर सकते हैं और नकारात्मक मान ले सकते हैं: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09। इसका मतलब यह है कि अगर हम समय में 1.09 गुना पीछे जाते हैं, तो हमें वर्तमान संख्या का केवल एक तिहाई ही मिलेगा।

ठीक है, एक ऋणात्मक संख्या के लघुगणक के बारे में क्या? 1 से -3 तक जीवाणुओं की एक कॉलोनी "बढ़ने" में कितना समय लगता है?

ऐसा हो ही नहीं सकता! आप एक नकारात्मक बैक्टीरिया की गिनती नहीं कर सकते, क्या आप कर सकते हैं? आप शून्य का अधिकतम (उह... न्यूनतम) प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन ऐसा कोई तरीका नहीं है जिससे आप इन छोटे क्रिटर्स की ऋणात्मक संख्या प्राप्त कर सकें। बैक्टीरिया की नकारात्मक संख्या का कोई मतलब नहीं है।

• एलएन (ऋणात्मक संख्या) = अपरिभाषित

"अपरिभाषित" का अर्थ है कि ऋणात्मक मान प्राप्त करने के लिए प्रतीक्षा करने के लिए कोई समय नहीं है।

लघुगणक गुणन केवल प्रफुल्लित करने वाला है

चौगुनी वृद्धि में कितना समय लगेगा? बेशक, आप केवल एलएन (4) ले सकते हैं। लेकिन यह बहुत आसान है, हम दूसरे रास्ते पर चलेंगे।

आप चौगुनी को दोहरीकरण के रूप में सोच सकते हैं (एलएन (2) समय इकाइयों की आवश्यकता होती है) और फिर दोहरीकरण (एक और एलएन (2) समय इकाइयों की आवश्यकता होती है):

• 4x वृद्धि का समय = ln(4) = दुबारा दोगुना करने का समय = ln(2) + ln(2)

दिलचस्प। किसी भी वृद्धि दर, मान लीजिए 20, को 10 गुना वृद्धि के तुरंत बाद दुगुनी के रूप में देखा जा सकता है। या विकास 4 गुना, और फिर 5 गुना। या एक तिगुना और फिर 6.666 गुना की वृद्धि। पैटर्न देखें?

• एलएन (ए * बी) = एलएन (ए) + एलएन (बी)

A गुणा B का लघुगणक log(A) + log(B) है। यदि आप विकास के संदर्भ में काम करते हैं तो यह रिश्ता तुरंत समझ में आता है।

यदि आप 30x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आप या तो एक बार में ln(30) की प्रतीक्षा कर सकते हैं, या ln(3) के तिगुने होने की प्रतीक्षा कर सकते हैं, और फिर दूसरे ln(10) को दस से गुणा कर सकते हैं। अंतिम परिणाम वही है, इसलिए निश्चित रूप से समय स्थिर रहना चाहिए (और रहता है)।

विभाजन के बारे में क्या? विशेष रूप से, ln(5/3) का अर्थ है: 5 गुना बढ़ने और फिर उसका 1/3 प्राप्त करने में कितना समय लगता है?

बढ़िया, 5 का गुणनखण्ड ln(5) है। 1/3 गुना बढ़ने में -ln(3) यूनिट समय लगेगा। इसलिए,

• एलएन (5/3) = एलएन (5) - एलएन (3)

इसका मतलब है: इसे 5 गुना बढ़ने दें, और फिर "समय पर वापस जाएं" उस बिंदु तक जहां उस राशि का केवल एक तिहाई शेष रहता है, इसलिए आपको 5/3 वृद्धि मिलती है। सामान्य तौर पर, यह निकला

• एलएन (ए / बी) = एलएन (ए) - एलएन (बी)

मुझे आशा है कि लघुगणक का अजीब अंकगणित आपको समझ में आने लगा है: विकास दर को गुणा करना विकास समय की इकाइयों को जोड़ना बन जाता है, और विभाजन समय की इकाइयों को घटाना बन जाता है। नियमों को याद न करें, उन्हें समझने की कोशिश करें।

मनमाना विकास के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करना

ठीक है, बिल्कुल, - आप कहते हैं, - यह सब अच्छा है अगर विकास 100% है, लेकिन 5% के बारे में क्या है जो मुझे मिलता है?

कोई बात नहीं। ln() के साथ हम जिस "समय" की गणना करते हैं, वह वास्तव में ब्याज दर और समय का एक संयोजन है, वही X e x समीकरण से। सरलता के लिए हमने प्रतिशत को 100% पर सेट करना चुना है, लेकिन हम किसी भी संख्या का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं।

मान लीजिए कि हम 30 गुना वृद्धि प्राप्त करना चाहते हैं: हम ln(30) लेते हैं और 3.4 प्राप्त करते हैं इसका अर्थ है:

• ई एक्स = ऊंचाई
• ई 3.4 = 30

जाहिर है, इस समीकरण का अर्थ है "3.4 वर्षों में 100% रिटर्न 30 गुना बढ़ जाता है।" हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

• ई एक्स = ई दर * समय
• ई 100% * 3.4 साल = 30

हम "दर" और "समय" के मूल्यों को बदल सकते हैं, जब तक कि दर * समय 3.4 रहता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 30 गुना वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो हमें 5% ब्याज दर पर कब तक प्रतीक्षा करनी होगी?

• लॉग (30) = 3.4
• दर * समय = 3.4
• 0.05 * समय = 3.4
• समय = 3.4 / 0.05 = 68 वर्ष

मैं इस तरह तर्क देता हूं: "एलएन (30) = 3.4, इसलिए 100% विकास दर में 3.4 साल लगेंगे। अगर मैं विकास दर को दोगुना कर दूं, तो आवश्यक समय आधा हो जाएगा।"

• 3.4 वर्षों में 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 साल में 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 वर्षों में 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 वर्ष से अधिक 5% = .05 * 68 = 3.4।

यह बहुत अच्छा है, है ना? प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किसी भी ब्याज दर और समय के साथ किया जा सकता है, जब तक कि उनका उत्पाद स्थिर रहता है। आप जितनी चाहें उतनी चर के मान को स्थानांतरित कर सकते हैं।

बुरा उदाहरण: बहत्तर नियम

बहत्तर का नियम एक गणितीय तकनीक है जो आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देती है कि आपके पैसे को दोगुना होने में कितना समय लगेगा। अब हम इसे प्राप्त करेंगे (हाँ!), और इसके अलावा, हम इसके सार को समझने की कोशिश करेंगे।

हर साल बढ़ने वाली 100% दर से आपके पैसे को दोगुना करने में कितना समय लगता है?

ओप-पा। हमने निरंतर वृद्धि के मामले में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किया, और अब आप वार्षिक संचयन के बारे में बात कर रहे हैं? क्या यह सूत्र ऐसे मामले के लिए अनुपयुक्त नहीं हो जाएगा? हां, यह होगा, लेकिन 5%, 6%, या 15% जैसी वास्तविक ब्याज दरों के लिए, सालाना चक्रवृद्धि और लगातार बढ़ने के बीच का अंतर छोटा होगा। तो मोटा अनुमान काम करता है, उह, मोटे तौर पर, तो हम दिखावा करने जा रहे हैं कि हमारे पास पूरी तरह से निरंतर संचय है।

अब सवाल आसान है: आप 100% ग्रोथ के साथ कितनी तेजी से डबल कर सकते हैं? एलएन (2) = 0.693। 100% की निरंतर वृद्धि के साथ हमारी राशि को दोगुना करने में 0.693 यूनिट समय (हमारे मामले में वर्ष) लगता है।

तो, क्या होगा यदि ब्याज दर 100% नहीं है, लेकिन मान लीजिए 5% या 10% है?

आसानी से! चूंकि दर * समय = 0.693, हम राशि को दोगुना कर देंगे:

• दर * समय = 0.693
• समय = 0.693 / दर

तो अगर विकास 10% है, तो इसे दोगुना होने में 0.693/0.10 = 6.93 साल लगेंगे।

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, आइए दोनों भागों को 100 से गुणा करें, फिर हम "10" कह सकते हैं न कि "0.10":

• दोहरीकरण समय = 69.3 / शर्त, जहां शर्त प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है।

अब यह 5%, 69.3 / 5 = 13.86 वर्ष पर दोगुना होने का समय है। हालाँकि, 69.3 सबसे सुविधाजनक लाभांश नहीं है। आइए एक करीबी संख्या, 72 चुनें, जो आसानी से 2, 3, 4, 6, 8 और अन्य संख्याओं से विभाज्य है।

• दोहरीकरण समय = 72 / शर्त

जो बहत्तर का नियम है। सब कुछ ढका हुआ है।

यदि आपको तीन गुना समय खोजने की आवश्यकता है, तो आप ln(3) ~ 109.8 का उपयोग कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

• तीन गुना समय = 110 / शर्त

दूसरा क्या है उपयोगी नियम. "नियम 72" द्वारा वृद्धि पर लागू होता है ब्याज दर, जनसंख्या वृद्धि, बैक्टीरिया कल्चर, और सब कुछ जो तेजी से बढ़ता है।

आगे क्या होगा?

मुझे उम्मीद है कि प्राकृतिक लघुगणक अब आपके लिए समझ में आता है - यह किसी भी संख्या को घातीय रूप से बढ़ने में लगने वाले समय को दर्शाता है। मुझे लगता है कि इसे प्राकृतिक कहा जाता है क्योंकि ई विकास का एक सार्वभौमिक उपाय है, इसलिए इसे बढ़ने में कितना समय लगता है यह निर्धारित करने का एक सार्वभौमिक तरीका माना जा सकता है।

हर बार जब आप ln (x) देखते हैं, तो याद रखें "x गुना बढ़ने में लगने वाला समय"। आगामी लेख में, मैं ई और एलएन संयोजन के रूप में वर्णन करूंगा, ताकि गणित की ताजा सुगंध हवा भर जाए।

पूरक: ई का प्राकृतिक लघुगणक

त्वरित प्रश्नोत्तरी: ln(e) कितना होगा?

• गणित रोबोट कहेगा: चूंकि उन्हें एक दूसरे के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है, यह स्पष्ट है कि ln(e) = 1.
• समझने वाला व्यक्ति: ln(e) "e" गुणा (लगभग 2.718) बढ़ने की संख्या है। हालाँकि, संख्या e स्वयं 1 के गुणक द्वारा वृद्धि का माप है, इसलिए ln(e) = 1।

स्पष्ट सोचो।

सितम्बर 9, 2013

यह, उदाहरण के लिए, ऑपरेटिंग रूम प्रोग्राम के मूल सेट से एक कैलकुलेटर हो सकता है। विंडोज सिस्टम. इसे लॉन्च करने का लिंक OS के मुख्य मेनू में काफी छिपा हुआ है - इसे "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करके खोलें, फिर इसके "प्रोग्राम्स" सेक्शन को खोलें, "एक्सेसरीज़" सबसेक्शन पर जाएँ, और फिर "यूटिलिटीज़" पर जाएँ। अनुभाग और, अंत में, "कैलकुलेटर" आइटम पर क्लिक करें। आप माउस के बजाय कीबोर्ड और प्रोग्राम लॉन्च डायलॉग का उपयोग कर सकते हैं और मेनू के माध्यम से नेविगेट कर सकते हैं - कुंजी संयोजन WIN + R दबाएं, कैल्क टाइप करें (यह कैलकुलेटर निष्पादन योग्य फ़ाइल का नाम है) और एंटर कुंजी दबाएं।

कैलकुलेटर के इंटरफ़ेस को उन्नत मोड में बदलें, जिससे आप . डिफ़ॉल्ट रूप से, यह "सामान्य" रूप में खुलता है, और आपको "इंजीनियरिंग" या "" (आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे OS के संस्करण के आधार पर) की आवश्यकता होती है। मेनू में "दृश्य" अनुभाग का विस्तार करें और उपयुक्त पंक्ति का चयन करें।

वह तर्क दर्ज करें जिसका प्राकृतिक मान परिकलित किया जाना है। यह कीबोर्ड से और ऑन-स्क्रीन कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में संबंधित बटनों पर क्लिक करके किया जा सकता है।

ln लेबल वाले बटन पर क्लिक करें - प्रोग्राम आधार e के लघुगणक की गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।

मान के वैकल्पिक परिकलन के रूप में किसी एक -कैलकुलेटर का उपयोग करें प्राकृतिक. उदाहरण के लिए, जिस पर स्थित है http://calc.org.ua. इसका इंटरफ़ेस बेहद सरल है - एक एकल इनपुट फ़ील्ड है जहाँ आपको संख्या के मान में टाइप करने की आवश्यकता होती है, जिसका लघुगणक आप गणना करना चाहते हैं। बटनों में से, ln कहने वाले को ढूंढें और क्लिक करें। इस कैलकुलेटर की स्क्रिप्ट को सर्वर पर डेटा भेजने और प्रतिक्रिया की आवश्यकता नहीं है, इसलिए आपको गणना का परिणाम लगभग तुरंत प्राप्त होगा। एकमात्र विशेषता जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए वह यह है कि दर्ज संख्या के भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच विभाजक यहाँ एक बिंदु होना चाहिए, और नहीं।

शब्द " लोगारित्म"दो से व्युत्पन्न ग्रीक शब्द, जिनमें से एक "संख्या" के लिए और दूसरा "अनुपात" के लिए है। वे एक चर (एक्सपोनेंट) की गणना के गणितीय ऑपरेशन को निरूपित करते हैं, जिसके लिए चिन्ह के तहत इंगित संख्या प्राप्त करने के लिए एक निरंतर मान (आधार) बढ़ाया जाना चाहिए लोगारित्मएक। यदि आधार गणितीय स्थिरांक के बराबर है, जिसे संख्या "ई" कहा जाता है, तो लोगारित्म"प्राकृतिक" कहा जाता है।

आपको चाहिये होगा

• इंटरनेट एक्सेस, माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल या कैलकुलेटर।

अनुदेश

इंटरनेट पर प्रस्तुत कई कैलकुलेटरों का उपयोग करें - यह, शायद, प्राकृतिक गणना करने का एक आसान तरीका है। आपको उपयुक्त सेवा की खोज नहीं करनी होगी, क्योंकि कई खोज इंजनों में स्वयं अंतर्निहित कैलकुलेटर होते हैं जो काम करने के लिए काफी उपयुक्त होते हैं लोगारित्मअमी। उदाहरण के लिए जाएं होम पेजसबसे बड़ा ऑनलाइन सर्च इंजन - गूगल। मूल्यों को दर्ज करने और कार्यों का चयन करने के लिए यहां कोई बटन आवश्यक नहीं है, बस क्वेरी इनपुट फ़ील्ड में वांछित गणितीय क्रिया टाइप करें। गणना करने के लिए कहते हैं लोगारित्मऔर आधार "ई" में संख्या 457 ln 457 दर्ज करें - यह Google के लिए आठ दशमलव स्थानों (6.12468339) की सटीकता के साथ सर्वर को अनुरोध भेजने के लिए बटन दबाए बिना भी प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त होगा।

यदि आपको प्राकृतिक के मान की गणना करने की आवश्यकता है, तो उचित अंतर्निर्मित फ़ंक्शन का उपयोग करें लोगारित्मलेकिन लोकप्रिय स्प्रेडशीट संपादक माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल में डेटा के साथ काम करते समय होता है। इस फ़ंक्शन को यहाँ पारंपरिक संकेतन का उपयोग करके कहा जाता है लोगारित्मऔर अपरकेस में - एलएन। उस सेल का चयन करें जिसमें गणना का परिणाम प्रदर्शित किया जाना चाहिए, और एक समान चिह्न दर्ज करें - इस प्रकार मुख्य मेनू के "सभी कार्यक्रम" खंड के "मानक" उपखंड में शामिल कोशिकाओं में प्रविष्टियां इस तालिका में शुरू होनी चाहिए। संपादक। कीबोर्ड शॉर्टकट Alt + 2 दबाकर कैलकुलेटर को अधिक कार्यात्मक मोड में स्विच करें। फिर प्राकृतिक मान दर्ज करें लोगारित्मजिसकी आप गणना करना चाहते हैं, और प्रोग्राम इंटरफ़ेस में बटन पर क्लिक करें, जो प्रतीकों ln के साथ चिह्नित है। एप्लिकेशन गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।

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आधार a के लिए संख्या b का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a बढ़ाने की आवश्यकता है।

तो अगर ।

लघुगणक अत्यंत है महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा, चूंकि लघुगणकीय कलन न केवल हल करने की अनुमति देता है घातीय समीकरण, लेकिन संकेतकों के साथ भी काम करते हैं, एक्सपोनेंशियल और लॉगरिदमिक कार्यों को अलग करते हैं, उन्हें एकीकृत करते हैं और गणना करने के लिए अधिक स्वीकार्य रूप का नेतृत्व करते हैं।

के साथ संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे गुणों से संबंधित होते हैं घातीय कार्य. उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लघुगणक के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य बीजगणितीय भाव हैं:

;

.

ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने का प्रयास करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या होते हैं। गणित में अलग रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले के आधार पर "10" संख्या होती है, और इसे "कहा जाता है" दशमलव लघुगणक"। दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या ई है। यह उनके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

• एलजी एक्स - दशमलव;
• एलएन एक्स - प्राकृतिक।

सर्वसमिका का प्रयोग करके, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, और साथ ही वह lg 10=1।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ

हम बिंदुओं द्वारा मानक शास्त्रीय तरीके से प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाते हैं। यदि आप चाहें, तो आप जाँच सकते हैं कि क्या हम फ़ंक्शन की जाँच करके सही ढंग से फ़ंक्शन का निर्माण कर रहे हैं। हालांकि, लॉगरिदम की सही गणना कैसे करें, यह जानने के लिए इसे "मैन्युअल" बनाने का तरीका सीखना समझ में आता है।

समारोह: वाई = लॉग एक्स। आइए बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिसके माध्यम से ग्राफ गुजरेगा:

आइए हम समझाते हैं कि हमने तर्क x के ऐसे मान क्यों चुने। यह सब पहचान के बारे में है: एक प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह सर्वसमिका इस प्रकार दिखाई देगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

;

;

.

;

.

इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणकों की गिनती करना काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल करता है, उन्हें बदल देता है सामान्य गुणन।

अंकों के आधार पर एक ग्राफ बनाने के बाद, हमें एक अनुमानित ग्राफ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (अर्थात, X तर्क के सभी मान्य मान) सभी संख्याएँ शून्य से अधिक हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र में केवल शामिल है सकारात्मक संख्या! दायरे में x=0 शामिल नहीं है। लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (यानी फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ का अध्ययन करते हुए, प्रश्न उठता है - फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है जब y<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लकड़ी का लट्ठाइस प्रकार लिखा जा सकता है:

लघुगणक का आधार बदलने का सूत्र

एक प्राकृतिक लघुगणक से निपटना एक ऐसे लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है जिसका एक मनमाना आधार है। यही कारण है कि हम यह सीखने की कोशिश करेंगे कि किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या इसे प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से मनमाने आधार में कैसे व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

तब किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस व्यंजक को दोनों ओर से लघुगणकित किया जा सकता है। इसे मनमाना आधार z के साथ करते हैं:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "साथ" के बजाय हमारे पास अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वभौमिक सूत्र मिलता है:

.

विशेष रूप से, यदि z=e, तो:

.

हम दो प्राकृतिक लघुगणकों के अनुपात के माध्यम से एक मनमाने आधार पर लघुगणक का प्रतिनिधित्व करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणकों में बेहतर नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

समाधान:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करना: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

कार्य 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

हल: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करना: यदि , तो, हम प्राप्त करते हैं:

.

एक बार फिर, हम लघुगणक की परिभाषा लागू करते हैं:

.

इस प्रकार:

.

आप लगभग उत्तर की गणना कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3।प्रश्न हल करें।

समाधान:आइए एक प्रतिस्थापन करें: t = ln x। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

.

हमारे पास एक द्विघात समीकरण है। आइए इसके विभेदक को खोजें:

समीकरण की पहली जड़:

.

समीकरण का दूसरा मूल:

.

यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x बनाया है, हम प्राप्त करते हैं:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत सामान्य हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाता है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लघुगणक काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, एन बिट्स को मेमोरी में स्टोर करने के लिए।

भग्न और आयाम के सिद्धांतों में, लघुगणक का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि भग्न के आयाम केवल उनकी सहायता से निर्धारित किए जाते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई खंड नहीं है जहां लघुगणक का उपयोग नहीं किया गया हो। बैरोमेट्रिक वितरण, सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी के सभी सिद्धांत, Tsiolkovsky समीकरण और इसी तरह की ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों में किया जाता है, रेडॉक्स प्रक्रियाओं का विवरण।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या का पता लगाने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक समारोह y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक की मुख्य संपत्ति का प्रमाण

एक लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास नहीं होता? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें एक लघुगणक क्या है.

2. घातीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणा तालिका जानने की आवश्यकता होगी, और कैसे एक संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है ...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... अच्छा, समय रखो! जाना!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।