0 का प्राकृतिक लघुगणक बराबर होता है। लोगारित्म

लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेषकर - लघुगणक वाले समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास नहीं है? अच्छा। अब, कुछ 10-20 मिनट के लिए आप:

1. समझें लघुगणक क्या है.

2. घातीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो.

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन सारणी जानने की आवश्यकता होगी, और किसी संख्या को घात तक कैसे बढ़ाया जाता है...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है... ठीक है, समय का ध्यान रखें! जाना!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

यदि आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

संख्या b से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए आपको संख्या a को बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

तो अगर ।

लघुगणक अत्यंत है महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा, चूँकि लघुगणकीय कलन न केवल हल करने की अनुमति देता है घातीय समीकरण, लेकिन संकेतकों के साथ भी काम करते हैं, घातीय और लघुगणकीय कार्यों को अलग करते हैं, उन्हें एकीकृत करते हैं और गणना के लिए अधिक स्वीकार्य रूप की ओर ले जाते हैं।

के साथ संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे गुणों से संबंधित हैं घातीय कार्य. उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लघुगणक के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं:

;

.

ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने का प्रयास करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में अलग रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले के आधार पर संख्या "10" है, और इसे "कहा जाता है" दशमलव लघुगणक". दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या e है। यह उनके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

• एलजी एक्स - दशमलव;
• एलएन एक्स - प्राकृतिक।

पहचान का उपयोग करके, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, साथ ही lg 10=1 भी।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ़

हम बिंदुओं द्वारा मानक शास्त्रीय तरीके से प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाते हैं। यदि आप चाहें, तो आप फ़ंक्शन की जांच करके जांच सकते हैं कि हम किसी फ़ंक्शन का निर्माण सही ढंग से कर रहे हैं या नहीं। हालाँकि, लघुगणक की सही गणना करने का तरीका जानने के लिए इसे "मैन्युअल रूप से" बनाना सीखना समझ में आता है।

फ़ंक्शन: y = लॉग x. आइए उन बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिनसे ग्राफ़ गुज़रेगा:

आइए हम बताएं कि हमने तर्क x के ऐसे मान क्यों चुने। यह सब पहचान के बारे में है: प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह पहचान इस तरह दिखेगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

;

;

.

;

.

इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक की गणना करना काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल बनाता है, उन्हें बदल देता है सामान्य गुणन.

बिंदुओं के आधार पर एक ग्राफ़ बनाने पर, हमें एक अनुमानित ग्राफ़ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (अर्थात, X तर्क के सभी मान्य मान) शून्य से बड़ी सभी संख्याएँ हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र में केवल शामिल हैं सकारात्मक संख्या! दायरे में x=0 शामिल नहीं है. लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (अर्थात् फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ़ का अध्ययन करने पर प्रश्न उठता है - y होने पर फ़ंक्शन कैसा व्यवहार करता है<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लकड़ी का लट्ठाइस प्रकार लिखा जा सकता है:

लघुगणक का आधार बदलने का सूत्र

प्राकृतिक लघुगणक से निपटना मनमाना आधार वाले लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है। इसीलिए हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से इसे एक मनमाना आधार में कैसे व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

फिर किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस अभिव्यक्ति को दोनों तरफ लघुगणकीय किया जा सकता है। आइए इसे एक मनमाना आधार z के साथ करें:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "साथ" के बजाय हमारे पास एक अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वभौमिक सूत्र मिलता है:

.

विशेष रूप से, यदि z=e, तो:

.

हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से लघुगणक को एक मनमाना आधार पर प्रस्तुत करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक में बेहतर ढंग से नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

समाधान:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि , तो , हमें मिलता है:

कार्य 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

समाधान: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम पाते हैं:

.

एक बार फिर, हम लघुगणक की परिभाषा लागू करते हैं:

.

इस प्रकार:

.

आप उत्तर की गणना लगभग कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3.प्रश्न हल करें।

समाधान:आइए एक प्रतिस्थापन करें: t = ln x। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

.

हमारे पास एक द्विघात समीकरण है. आइए इसका विभेदक खोजें:

समीकरण का पहला मूल:

.

समीकरण का दूसरा मूल:

.

यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x किया है, हमें मिलता है:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत सामान्य हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाती है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लॉगरिदम काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, मेमोरी में एन बिट्स को स्टोर करने के लिए।

फ्रैक्टल और आयामों के सिद्धांतों में, लघुगणक का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि फ्रैक्टल के आयाम केवल उनकी सहायता से निर्धारित किए जाते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई अनुभाग नहीं है जहां लघुगणक का उपयोग नहीं किया गया हो। बैरोमीटर का वितरण, सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स के सभी सिद्धांत, त्सोल्कोव्स्की समीकरण इत्यादि ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों, रेडॉक्स प्रक्रियाओं के विवरण में किया जाता है।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या जानने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक फलन y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक की मुख्य संपत्ति का प्रमाण

अक्सर एक नंबर लेते हैं इ = 2,718281828 . इस आधार में लघुगणक कहलाते हैं प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, चिह्न के साथ काम करना आम बात है एलएन, लेकिन नहीं लकड़ी का लट्ठा; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए इंगित न करें।

दूसरे शब्दों में, शब्दांकन इस प्रकार दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्सवह प्रतिपादक है जिससे संख्या बढ़ाई जानी है इ, प्राप्त करने के लिए एक्स.

इसलिए, एलएन(7,389...)= 2 क्योंकि इ 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही इ= 1 क्योंकि इ 1 =इ, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य के बराबर है, क्योंकि इ 0 = 1.

नंबर ही इएक मोनोटोन बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है

उसका हिसाब लगाया इ = 2,7182818284... .

अक्सर, किसी संख्या को मेमोरी में ठीक करने के लिए, आवश्यक संख्या के अंक किसी बकाया तारीख से जुड़े होते हैं। किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति इदशमलव के बाद दशमलव बिंदु बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष है!

आज तक, प्राकृतिक लघुगणक की काफी पूर्ण तालिकाएँ मौजूद हैं।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ़(कार्य आप=एलएन एक्स) सीधी रेखा के संबंध में दर्पण छवि के रूप में घातांक के कथानक का परिणाम है वाई = एक्सऔर ऐसा दिखता है:

प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में य = 1/एक्ससे 1 पहले ए.

इस सूत्रीकरण की प्राथमिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के साथ फिट बैठती है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।

अगर हम विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, यह कार्य करता है उलटा काम करनाएक घातीय फ़ंक्शन के लिए, जो पहचान को कम करता है:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

सभी लघुगणक के अनुरूप, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, भाग को घटाव में परिवर्तित करता है:

एल.एन(xy) = एल.एन(एक्स) + एल.एन(य)

एल.एन(x/y)= एलएनएक्स - lny

लघुगणक हर उस सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, केवल इसके लिए नहीं इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक प्राकृतिक लघुगणक से केवल एक स्थिर कारक द्वारा भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित होते हैं।

विश्लेषण करके प्राकृतिक लॉग ग्राफ,हम पाते हैं कि यह चर के सकारात्मक मानों के लिए मौजूद है एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है।

पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ). अत्याधिक एक्सलघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति कार्य एक्स एएक सकारात्मक प्रतिपादक के साथ एलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है।

प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकउच्च गणित के पारित होने में बहुत तर्कसंगत। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग उन समीकरणों का उत्तर खोजने के लिए सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में प्रकट होते हैं। गणनाओं में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग बड़ी संख्या में गणितीय सूत्रों को सुविधाजनक बनाना संभव बनाता है। आधार लघुगणक इ महत्वपूर्ण संख्या में भौतिक समस्याओं को हल करने में मौजूद हैं और स्वाभाविक रूप से व्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में शामिल हैं। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग ज्ञात आधे जीवन के लिए क्षय स्थिरांक की गणना करने या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए किया जाता है। वे गणित और व्यावहारिक विज्ञान के कई वर्गों में अग्रणी भूमिका निभाते हैं, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए वित्त के क्षेत्र में उनका सहारा लिया जाता है।

विषयों पर पाठ और प्रस्तुति: "प्राकृतिक लघुगणक। प्राकृतिक लघुगणक का आधार। प्राकृतिक संख्या का लघुगणक"

अतिरिक्त सामग्री
प्रिय उपयोगकर्ताओं, अपनी टिप्पणियाँ, प्रतिक्रिया, सुझाव छोड़ना न भूलें! सभी सामग्रियों की जांच एंटीवायरस प्रोग्राम द्वारा की जाती है।

कक्षा 11 के लिए ऑनलाइन स्टोर "इंटीग्रल" में शिक्षण सहायक सामग्री और सिमुलेटर
ग्रेड 9-11 "त्रिकोणमिति" के लिए इंटरैक्टिव मैनुअल
ग्रेड 10-11 "लघुगणक" के लिए इंटरैक्टिव मैनुअल

प्राकृतिक लघुगणक क्या है

दोस्तों, पिछले पाठ में हमने एक नया, विशेष नंबर सीखा - ई. आज हम इस नंबर के साथ काम करना जारी रखेंगे।
हमने लघुगणक का अध्ययन किया है और हम जानते हैं कि लघुगणक का आधार संख्याओं का एक समूह हो सकता है जो 0 से अधिक हो। आज हम लघुगणक पर भी विचार करेंगे, जो संख्या ई पर आधारित है। ऐसे लघुगणक को आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। इसका अपना अंकन है: $\ln(n)$ प्राकृतिक लघुगणक है। यह अंकन इसके समतुल्य है: $\log_e(n)=\ln(n)$.
घातांकीय और लघुगणकीय फलन व्युत्क्रम हैं, तो प्राकृतिक लघुगणक फलन का व्युत्क्रम है: $y=e^x$।
व्युत्क्रम फलन सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में सममित हैं।
आइए सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में घातीय फलन को आलेखित करके प्राकृतिक लघुगणक आलेखित करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि बिंदु (0;1) पर फ़ंक्शन $y=e^x$ के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का ढलान 45° है। तब बिंदु (1; 0) पर प्राकृतिक लघुगणक के ग्राफ की स्पर्श रेखा का ढलान भी 45° के बराबर होगा। ये दोनों स्पर्शरेखाएँ रेखा $y=x$ के समानांतर होंगी। आइए स्पर्शरेखाओं का रेखाचित्र बनाएं:

फ़ंक्शन के गुण $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. न तो सम है और न ही विषम।
3. परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में वृद्धि।
4. न ऊपर से सीमित, न नीचे से सीमित।
5. कोई अधिकतम मूल्य नहीं है, कोई न्यूनतम मूल्य नहीं है।
6. सतत.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. ऊपर की ओर उत्तल होना।
9. हर जगह अलग-अलग होना।

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में यह सिद्ध हो चुका है व्युत्क्रम फलन का अवकलज दिए गए फलन के अवकलज का व्युत्क्रम होता है.
प्रमाण में गहराई से जाने का कोई मतलब नहीं है, आइए बस सूत्र लिखें: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

उदाहरण।
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y=\ln(2x-7)$ बिंदु $x=4$ पर।
समाधान।
सामान्य तौर पर, हमारे फ़ंक्शन को फ़ंक्शन $y=f(kx+m)$ द्वारा दर्शाया जाता है, हम ऐसे फ़ंक्शन के डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं।
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
उत्तर: 2.

उदाहरण।
फ़ंक्शन $y=ln(x)$ के ग्राफ़ पर बिंदु $x=e$ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं।
समाधान।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का समीकरण, बिंदु $x=a$ पर, हमें अच्छी तरह याद है।
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
आइए क्रमिक रूप से आवश्यक मानों की गणना करें।
$ए=ई$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
बिंदु $x=e$ पर स्पर्शरेखा समीकरण फ़ंक्शन $y=\frac(x)(e)$ है।
आइए प्राकृतिक लघुगणक और स्पर्शरेखा आलेखित करें।

उदाहरण।
एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $y=x^6-6*ln(x)$।
समाधान।
फ़ंक्शन का डोमेन $D(y)=(0;+∞)$.
दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
परिभाषा के क्षेत्र से सभी x के लिए व्युत्पन्न मौजूद है, फिर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। आइए स्थिर बिंदु खोजें:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
बिंदु $х=-1$ परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है। तब हमारे पास एक स्थिर बिंदु $х=1$ है। वृद्धि और कमी के अंतराल ज्ञात कीजिए:

बिंदु $x=1$ न्यूनतम बिंदु है, तो $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
उत्तर: खंड (0;1] पर फलन घट रहा है, किरण $ पर फलन बढ़ रहा है)