3 और 2 का लघुत्तम समापवर्तक। उभयनिष्ठ भाजक और गुणज

दूसरा नंबर: ख =

अंक विभाजककोई अंतरिक्ष विभाजक नहीं "´

परिणाम:

महानतम आम विभाजक जीसीडी ( ए,बी)=6

एलसीएम का कम से कम सामान्य गुणक ( ए,बी)=468

वह बड़ी से बड़ी प्राकृतिक संख्या, जिससे संख्याएँ a और b बिना शेषफल के विभाज्य हों, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) इन नंबरों की। निरूपित जीसीडी (ए, बी), (ए, बी), जीसीडी (ए, बी) या एचसीएफ (ए, बी)।

न्यूनतम समापवर्तकदो पूर्णांकों a और b का (LCM) वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो बिना शेषफल के a और b से विभाज्य है। अस्वीकृत एलसीएम (ए, बी), या एलसीएम (ए, बी)।

पूर्णांक a और b कहलाते हैं सह अभाज्यअगर उनके पास +1 और -1 के अलावा कोई सामान्य विभाजक नहीं है।

महत्तम सामान्य भाजक

दो दिया जाए सकारात्मक संख्या ए 1 और ए 2 1). इन संख्याओं का एक सामान्य विभाजक खोजना आवश्यक है, अर्थात ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए λ , जो संख्याओं को विभाजित करता है ए 1 और ए 2 एक ही समय में। आइए एल्गोरिदम का वर्णन करें।

1) इस लेख में संख्या शब्द का अर्थ पूर्णांक होगा।

होने देना ए 1 ≥ ए 2 और चलो

कहाँ एम 1 , ए 3 कुछ पूर्णांक हैं, ए 3 <ए 2 (विभाजन से शेष ए 1 पर ए 2 कम होना चाहिए ए 2).

चलो बहाना करते हैं λ विभाजित ए 1 और ए 2, फिर λ विभाजित एम 1 ए 2 और λ विभाजित ए 1 −एम 1 ए 2 =ए 3 (लेख का अभिकथन 2 "संख्याओं की विभाज्यता। विभाज्यता का चिह्न")। यह इस प्रकार है कि हर आम विभाजक ए 1 और ए 2 एक सामान्य विभाजक है ए 2 और ए 3। विलोम भी सत्य है यदि λ सामान्य विभाजक ए 2 और ए 3, फिर एम 1 ए 2 और ए 1 =एम 1 ए 2 +ए 3 में भी बांटा गया है λ . इसलिए सामान्य विभाजक ए 2 और ए 3 एक सामान्य विभाजक भी है ए 1 और ए 2. क्योंकि ए 3 <ए 2 ≤ए 1, तो हम कह सकते हैं कि संख्याओं का एक सामान्य विभाजक खोजने की समस्या का समाधान ए 1 और ए 2 संख्याओं का एक सामान्य विभाजक खोजने की सरल समस्या को कम करता है ए 2 और ए 3 .

अगर ए 3 ≠0, तो हम विभाजित कर सकते हैं ए 2 पर ए 3। तब

,

कहाँ एम 1 और ए 4 कुछ पूर्णांक हैं, ( ए 4 भाग शेष ए 2 पर ए 3 (ए 4 <ए 3))। इसी तरह के तर्क से, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि संख्याओं के सामान्य विभाजक ए 3 और ए 4 संख्याओं के सामान्य भाजक के समान है ए 2 और ए 3, और सामान्य विभाजक के साथ भी ए 1 और ए 2. क्योंकि ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4 , ... संख्याएँ जो लगातार घट रही हैं, और चूँकि उनके बीच पूर्णांकों की एक सीमित संख्या है ए 2 और 0, फिर किसी कदम पर एन, शेष भाग एएन पर ए n+1 शून्य के बराबर होगा ( एएन+2=0).

.

हर आम विभाजक λ नंबर ए 1 और ए 2 संख्याओं का भाजक भी है ए 2 और ए 3 , ए 3 और ए 4 , .... एएन और एएन+1। विलोम भी सत्य है, संख्याओं का उभयनिष्ठ विभाजक एएन और ए n+1 भी संख्याओं के विभाजक हैं एएन−1 और एएन , .... , ए 2 और ए 3 , ए 1 और ए 2. लेकिन आम विभाजक एएन और ए n+1 एक संख्या है एएन + 1, क्योंकि एएन और ए n+1 से विभाज्य हैं एएन + 1 (याद रखें एएन+2=0). इस तरह ए n+1 भी संख्याओं का भाजक है ए 1 और ए 2 .

ध्यान दें कि संख्या ए n+1 सबसे बड़ी संख्या का भाजक है एएन और ए n+1 , क्योंकि सबसे बड़ा विभाजक ए n+1 स्वयं है एएन+1। अगर ए n + 1 को पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ये संख्याएँ संख्याओं के सामान्य विभाजक भी हैं ए 1 और ए 2. संख्या ए n+1 कहलाते हैं महत्तम सामान्य भाजकनंबर ए 1 और ए 2 .

नंबर ए 1 और ए 2 धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। यदि संख्याओं में से एक शून्य के बराबर है, तो इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक दूसरी संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर होगा। शून्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक परिभाषित नहीं है।

उपरोक्त एल्गोरिदम कहा जाता है यूक्लिड का एल्गोरिदमदो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने का एक उदाहरण

दो संख्याओं 630 और 434 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

• चरण 1. संख्या 630 को 434 से विभाजित करें। शेषफल 196 है।
• चरण 2. संख्या 434 को 196 से विभाजित करें। शेषफल 42 है।
• चरण 3. संख्या 196 को 42 से विभाजित करें। शेषफल 28 है।
• चरण 4. संख्या 42 को 28 से विभाजित करें। शेषफल 14 है।
• चरण 5. संख्या 28 को 14 से विभाजित करें। शेषफल 0 है।

चरण 5 पर, विभाजन का शेष 0 है। इसलिए, संख्या 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 14 है। ध्यान दें कि संख्या 2 और 7 भी संख्या 630 और 434 के विभाजक हैं।

कोप्राइम नंबर

परिभाषा 1. संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक दें ए 1 और ए 2 एक के बराबर है। फिर इन नंबरों पर कॉल किया जाता है कोप्राइम नंबरजिसका कोई उभयनिष्ठ भाजक न हो।

प्रमेय 1. अगर ए 1 और ए 2 अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ, और λ कुछ संख्या, फिर संख्याओं का कोई सामान्य विभाजक हाँ 1 और ए 2 संख्याओं का एक सामान्य विभाजक भी है λ और ए 2 .

सबूत। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए यूक्लिड के एल्गोरिथ्म पर विचार करें ए 1 और ए 2 (ऊपर देखें)।

.

यह प्रमेय की शर्तों से अनुसरण करता है कि संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक ए 1 और ए 2, और इसलिए एएन और ए n+1 1 है। यानी एएन+1=1।

आइए इन सभी समानताओं को गुणा करें λ , तब

.

उभयनिष्ठ भाजक दें ए 1 λ और ए 2 है δ . तब δ में कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 1 λ , एम 1 ए 2 λ और में ए 1 λ -एम 1 ए 2 λ =ए 3 λ ("संख्याओं की विभाज्यता" देखें, कथन 2)। आगे δ में कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 2 λ और एम 2 ए 3 λ , और इसलिए एक कारक के रूप में प्रवेश करता है ए 2 λ -एम 2 ए 3 λ =ए 4 λ .

इस तरह से तर्क करने से हमें यकीन हो जाता है δ में कारक के रूप में प्रवेश करता है ए n-1 λ और एम n-1 एएन λ , और इसलिए में ए n-1 λ −एम n-1 एएन λ =एएन+1 λ . क्योंकि एएन + 1 = 1, फिर δ में कारक के रूप में प्रवेश करता है λ . इसलिए संख्या δ संख्याओं का एक सामान्य विभाजक है λ और ए 2 .

प्रमेय 1 की विशेष स्थितियों पर विचार करें।

परिणाम 1. होने देना एऔर सीअभाज्य संख्याएँ अपेक्षाकृत होती हैं बी. फिर उनका उत्पाद एसीके संबंध में एक प्रमुख संख्या है बी.

वास्तव में। प्रमेय 1 से एसीऔर बीके समान सामान्य भाजक हैं सीऔर बी. लेकिन नंबर सीऔर बीकोप्राइम, यानी एक सामान्य भाजक 1 है। फिर एसीऔर बीएक सामान्य भाजक भी है 1. इसलिए एसीऔर बीपरस्पर सरल।

परिणाम 2. होने देना एऔर बीकोप्राइम नंबर और लेट बीविभाजित एके. तब बीविभाजित करता है और क.

वास्तव में। कथन की स्थिति से एकेऔर बीएक आम विभाजक है बी. प्रमेय 1 के आधार पर, बीएक सामान्य विभाजक होना चाहिए बीऔर क. इस तरह बीविभाजित क.

कोरोलरी 1 को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिणाम 3. 1. संख्याओं को जाने दो ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए m संख्या के सापेक्ष प्रधान हैं बी. तब ए 1 ए 2 , ए 1 ए 2 · ए 3 , ..., ए 1 ए 2 ए 3 ··· ए m , इन संख्याओं का गुणनफल संख्या के संबंध में अभाज्य है बी.

2. मान लीजिए कि हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं

इस प्रकार कि पहली पंक्ति की प्रत्येक संख्या दूसरी पंक्ति की प्रत्येक संख्या के सापेक्ष अभाज्य है। फिर उत्पाद

ऐसी संख्याएँ ज्ञात करना आवश्यक है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यदि संख्या से विभाज्य है ए 1, तो ऐसा लगता है एसए 1, कहाँ एसकुछ संख्या। अगर क्यूसंख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है ए 1 और ए 2, फिर

कहाँ एस 1 कुछ पूर्णांक है। तब

है संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 और ए 2 .

ए 1 और ए 2 सहअभाज्य, फिर संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ए 1 और ए 2:

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

यह उपरोक्त से अनुसरण करता है कि संख्याओं में से कोई भी गुणक ए 1 , ए 2 , ए 3 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε और ए 3 और इसके विपरीत। संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होने दें ε और ए 3 है ε 1। इसके अलावा, संख्याओं का गुणक ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε 1 और ए 4। संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होने दें ε 1 और ए 4 है ε 2. इस प्रकार, हमने पाया कि संख्याओं के सभी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमीटर किसी विशिष्ट संख्या के गुणकों के साथ मेल खाता है ε n , जो दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कहलाता है।

विशेष मामले में जब संख्याएँ ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m coprime, फिर संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ए 1 , एजैसा कि ऊपर दिखाया गया है 2 का रूप (3) है। आगे, चूंकि एसंख्याओं के संबंध में 3 अभाज्य ए 1 , ए 2, फिर ए 3 एक प्रमुख सापेक्ष संख्या है ए 1 · ए 2 (उपप्रमेय 1)। अतः संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 ,ए 2 ,ए 3 एक संख्या है ए 1 · ए 2 · ए 3। इसी तरह तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित कथनों पर पहुँचते हैं।

कथन 1. कोप्राइम संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमी उनके उत्पाद के बराबर है ए 1 · ए 2 · ए 3 ··· एएम ।

कथन 2. कोई भी संख्या जो प्रत्येक सहअभाज्य संख्या से विभाज्य हो ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमी भी उनके उत्पाद से विभाज्य है ए 1 · ए 2 · ए 3 ··· एएम ।

किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो बिना शेषफल के दी गई संख्या से विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो समूह में प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य है। लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। साथ ही, LCM की गणना कई अन्य विधियों का उपयोग करके की जा सकती है जो दो या दो से अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की संख्या

इन नंबरों को देखें।यहाँ वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी गई हों जो दोनों 10 से कम हों। यदि बड़ी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, संख्याओं 5 और 8 का लघुतम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए इस विधि का उपयोग किया जा सकता है।

1. किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो बिना शेषफल के दी गई संख्या से विभाज्य होती है। गुणन तालिका में एकाधिक संख्याएँ पाई जा सकती हैं।

   • उदाहरण के लिए, संख्याएँ जो 5 की गुणज हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो पंक्तियों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणकों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, संख्याएँ जो 8 की गुणज हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. गुणकों की दोनों श्रृंखलाओं में आने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।योग ज्ञात करने के लिए आपको गुणकों की लंबी श्रृंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में आने वाली सबसे छोटी संख्या लघुत्तम समापवर्तक होती है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणकों की श्रृंखला में आने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणक है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखें।यहाँ वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी गई हों जो दोनों 10 से अधिक हों। यदि छोटी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक भिन्न विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याओं 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए इस विधि का उपयोग किया जा सकता है।

   2. पहली संख्या को फ़ैक्टराइज़ करें।अर्थात्, आपको ऐसी अभाज्य संख्याओं को खोजने की आवश्यकता है, जब गुणा किया जाता है, तो आपको एक दी गई संख्या मिलती है। प्रमुख कारकों को खोजने के बाद, उन्हें एक समानता के रूप में लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)और 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). इस प्रकार, संख्या 20 के प्रमुख गुणनखंड संख्या 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें:।

   3. दूसरी संख्या को प्रमुख कारकों में विभाजित करें।इसे उसी तरह से करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणनखंड किया है, अर्थात ऐसी अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करें जिन्हें गुणा करने पर यह संख्या प्राप्त हो।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)और 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के प्रमुख गुणनखंड संख्या 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखें:।

   4. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड लिखिए।गुणन संक्रिया के रूप में ऐसे कारकों को लिखिए। जैसा कि आप प्रत्येक कारक लिखते हैं, इसे दोनों भावों में पार करें (अभिव्यक्तियाँ जो संख्याओं के अपघटन को प्रमुख कारकों में वर्णित करती हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का सार्व गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखिए 2 × (\displaystyle 2\times )और दोनों व्यंजकों में 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखिए 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)और दोनों व्यंजकों में दूसरे 2 को काट दें।

   5. गुणा ऑपरेशन में शेष कारकों को जोड़ें।ये ऐसे कारक हैं जो दोनों अभिव्यक्तियों में पार नहीं किए गए हैं, अर्थात ऐसे कारक जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)दोनों ड्यूस (2) भी काट दिए गए हैं। गुणनखंड 7 और 3 को काटा नहीं गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं का गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्तक 420 है।

   सामान्य विभाजक ढूँढना

   1. टिक-टैक-टो के खेल के लिए आप एक ग्रिड बनाएं।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएँ होती हैं जो दो अन्य समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इसका परिणाम तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों में होगा (ग्रिड बहुत हद तक # चिन्ह जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहली संख्या लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरी संख्या लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में 18 लिखिए, और पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में 30 लिखिए।

   2. दोनों संख्याओं का भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिख लें। प्रधान विभाजकों की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई पूर्वापेक्षा नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका सामान्य भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को पहले भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के नीचे लिखो। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), तो 9 को 18 के नीचे लिखो।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), इसलिए 15 को 30 के नीचे लिखें।

   4. दोनों भागफलों के लिए सामान्य भाजक खोजें।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, भाजक को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए 3 को दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संगत भागफल के अंतर्गत लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 को 9 के नीचे लिखें।
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), तो 5 को 15 के नीचे लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि भागफल एक सामान्य भाजक न हो।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति की संख्याओं पर गोला लगाएं।फिर हाइलाइट की गई संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, नंबर 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और नंबर 3 और 5 आखिरी पंक्ति में हैं, इसलिए गुणा ऑपरेशन इस तरह लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिदम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। विभाजक वह संख्या है जिससे भाग देना है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेष वह संख्या है जब दो संख्याओं को विभाजित किया जाता है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)आराम। 3:
        15 विभाज्य है
        6 भाजक है
        2 निजी है
        3 शेष है।

लेकिन कई प्राकृतिक संख्याएँ अन्य प्राकृतिक संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती हैं संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का विभाजक एवह प्राकृतिक संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एएक का पता लगाए बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट .

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में उभयनिष्ठ भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दो संख्याओं का सामान्य भाजक एऔर बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएँ बिना शेषफल के विभाज्य हैं एऔर बी.

सामान्य बहुअनेक संख्याएँ वह संख्या कहलाती हैं जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हो। उदाहरण के लिएसंख्या 9, 18 और 45 में 180 का एक सामान्य गुणक है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सामान्य गुणक हैं। सभी सामान्य गुणजों में हमेशा सबसे छोटा गुणज होता है, इस स्थिति में यह 90 है। इस संख्या को कहा जाता है कम से कमसामान्य बहु (एलसीएम).

एलसीएम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होती है, जो उस सबसे बड़ी संख्या से अधिक होनी चाहिए जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

कम से कम सामान्य गुणक (LCM)। गुण।

क्रमविनिमेयता:

साहचर्य:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक एमऔर एनअन्य सभी सामान्य गुणकों का विभाजक है एमऔर एन. इसके अलावा, सामान्य गुणकों का सेट एम, एनएलसीएम के गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के संदर्भ में एसिम्प्टोटिक्स को व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. और:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से अनुसरण करता है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या होता है।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना।

एनओसी ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि महत्तम समापवर्तक ज्ञात है, तो आप लघुत्तम समापवर्त्य के साथ इसके संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

2. दोनों संख्याओं के प्रमुख कारकों में विहित अपघटन ज्ञात होने दें:

कहाँ पी 1,...,पी केविभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और डी 1, ..., डीकेऔर ई 1,..., एकगैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संबंधित प्राइम विस्तार में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)।

फिर एलसीएम ( ए,बी) सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम विस्तार में सभी प्रमुख कारक शामिल हैं जो कम से कम एक संख्या विस्तार में शामिल हैं ए, बी, और इस कारक के दो घातांकों में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुतम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें;

- वांछित उत्पाद के कारकों में सबसे बड़ा विस्तार स्थानांतरित करें (दिए गए लोगों की सबसे बड़ी संख्या के कारकों का उत्पाद), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से उन कारकों को जोड़ें जो पहली संख्या में नहीं होते हैं या इसमें हैं कम बार;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

किन्हीं भी दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना लघुत्तम समापवर्त्य होता है। यदि संख्याएँ एक दूसरे की गुणज नहीं हैं या विस्तार में समान कारक नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के प्रमुख कारक 3 (संख्या 21) के कारक के साथ पूरक थे, परिणामी उत्पाद (84) सबसे छोटी संख्या होगी जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के प्रमुख कारकों को संख्या 25 के 5 के कारक के साथ पूरक किया गया, परिणामी उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से अधिक है और शेष के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है। यह सबसे छोटा संभव गुणनफल (150, 250, 300...) है जो सभी दी गई संख्याओं का गुणज है।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका लघुत्तम समापवर्त्य दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य निकालने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके प्रमुख गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करते हैं, उदाहरण के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाए जाने वाले प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी प्रधान विभाजकों की सबसे बड़ी शक्तियाँ लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

एक व्यापक स्कूल के 5 वीं कक्षा में "एकाधिक संख्या" विषय का अध्ययन किया जाता है। इसका लक्ष्य गणितीय गणनाओं के लिखित और मौखिक कौशल में सुधार करना है। इस पाठ में, नई अवधारणाओं को पेश किया गया है - "बहु संख्या" और "भाजक", भाजक और प्राकृतिक संख्या के गुणकों को खोजने की तकनीक, विभिन्न तरीकों से एलसीएम खोजने की क्षमता पर काम किया गया है।

यह विषय बहुत ही महत्वपूर्ण है। भिन्नों के साथ उदाहरणों को हल करते समय इस पर ज्ञान लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको लघुत्तम समापवर्तक (LCM) की गणना करके सार्व भाजक ज्ञात करना होगा।

A का एक गुणक एक पूर्णांक है जो बिना शेष के A से विभाज्य है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में इसके गुणकों की अनंत संख्या होती है। यह सबसे कम मानी जाती है। एक गुणज स्वयं संख्या से कम नहीं हो सकता।

यह साबित करना आवश्यक है कि संख्या 125 संख्या 5 की एक बहु है। ऐसा करने के लिए, आपको पहले नंबर को दूसरे से विभाजित करना होगा। यदि 125 बिना शेषफल के 5 से विभाज्य है, तो उत्तर हाँ है।

यह विधि छोटी संख्या के लिए लागू है।

एलसीएम की गणना करते समय, विशेष मामले होते हैं।

1. यदि आपको 2 संख्याओं (उदाहरण के लिए, 80 और 20) के लिए एक सामान्य गुणक खोजने की आवश्यकता है, जहां उनमें से एक (80) शेष के बिना दूसरे (20) से विभाज्य है, तो यह संख्या (80) सबसे छोटी है इन दो संख्याओं का गुणज।

एलसीएम (80, 20) = 80।

2. यदि दो में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो हम कह सकते हैं कि उनका लघुत्तम समापवर्त्य इन दो संख्याओं का गुणनफल है।

एलसीएम (6, 7) = 42।

पिछले उदाहरण पर विचार करें। 42 के संबंध में 6 और 7 विभाजक हैं। वे बिना शेष के एक गुणज को विभाजित करते हैं।

इस उदाहरण में, 6 और 7 युग्म भाजक हैं। उनका उत्पाद सबसे अधिक संख्या (42) के बराबर है।

एक संख्या को प्रधान कहा जाता है यदि यह केवल स्वयं या 1 (3:1=3; 3:3=1) से विभाज्य है। बाकी को कंपोजिट कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या 9 42 के संबंध में एक भाजक है।

42:9=4 (शेष 6)

उत्तर: 9, 42 का भाजक नहीं है क्योंकि उत्तर में शेषफल है।

एक विभाजक एक बहु से भिन्न होता है जिसमें विभाजक वह संख्या होती है जिसके द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित किया जाता है, और गुणक स्वयं उस संख्या से विभाज्य होता है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एऔर बी, उनके सबसे छोटे गुणज से गुणा करने पर, संख्याओं का गुणनफल स्वयं प्राप्त होगा एऔर बी.

अर्थात्: जीसीडी (ए, बी) एक्स एलसीएम (ए, बी) = ए एक्स बी।

अधिक जटिल संख्याओं के लिए सामान्य गुणज निम्नलिखित तरीके से पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, 168, 180, 3024 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

हम इन नंबरों को प्रमुख कारकों में विघटित करते हैं, उन्हें शक्तियों के उत्पाद के रूप में लिखते हैं:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

एलसीएम (168, 180, 3024) = 15120।

यह समझने के लिए कि LCM की गणना कैसे की जाती है, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना चाहिए।

A का एक गुणक एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना शेष के A से विभाज्य है। इस प्रकार, 15, 20, 25, और इसी तरह 5 के गुणक माने जा सकते हैं।

किसी विशेष संख्या के विभाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन अनंत संख्या में गुणक होते हैं।

प्राकृत संख्याओं का सार्व गुणज वह संख्या होती है जो बिना शेषफल के उनसे विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (दो, तीन या अधिक) वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इन सभी संख्याओं से समान रूप से विभाज्य है।

एनओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणकों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि उनमें से एक सामान्य न हो जाए। गुणकों को रिकॉर्ड में बड़े अक्षर K से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणज को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

के (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के (6) = (12, 18, 24, ...)

तो, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य संख्या 24 है। यह प्रविष्टि निम्नानुसार की जाती है:

ल.स.प.(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात करें, तो LCM की गणना करने के लिए दूसरे तरीके का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, प्रस्तावित संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करना आवश्यक है।

पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्या का विस्तार लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के विस्तार में, कारकों की एक अलग संख्या हो सकती है।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।

छोटी संख्या के विस्तार में पहले सबसे बड़ी संख्या के विस्तार में छूटे हुए गुणनखण्डों को रेखांकित करके उसमें जोड़ देना चाहिए। प्रस्तुत उदाहरण में, एक ड्यूस गायब है।

अब हम 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्तक की गणना कर सकते हैं।

लघुत्तम समापवर्त्य (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

इस प्रकार, बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों और दूसरी संख्या के गुणनखंडों का गुणनफल, जो बड़ी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं हैं, लघुत्तम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए, उन सभी को पिछले मामले की तरह प्रमुख कारकों में विघटित किया जाना चाहिए।

एक उदाहरण के रूप में, आप 16, 24, 36 संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य पा सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इस प्रकार, सोलह के अपघटन से केवल दो ड्यूस को एक बड़ी संख्या के गुणनखंड में शामिल नहीं किया गया (एक चौबीस के अपघटन में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के अपघटन में जोड़ने की आवश्यकता है।

लघुत्तम समापवर्त्य (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

लघुत्तम समापवर्त्य के निर्धारण की विशेष स्थितियाँ हैं। इसलिए, यदि संख्याओं में से एक को बिना शेषफल के दूसरी संख्या से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस की एनओसी चौबीस होगी।

यदि समान विभाजक वाले सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (10, 11) = 110।