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मोंटी हॉल विरोधाभास। अब तक का सबसे गलत गणित

जिसका निर्णय, पहली नज़र में, सामान्य ज्ञान के विपरीत है।

विश्वकोश यूट्यूब

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समस्या को अमेरिकी टेलीविजन गेम "लेट्स मेक ए डील" पर आधारित एक गेम के विवरण के रूप में तैयार किया गया है, और इस कार्यक्रम के मेजबान के नाम पर रखा गया है। इस समस्या का सबसे आम सूत्रीकरण, 1990 में जर्नल में प्रकाशित हुआ परेड पत्रिका, ऐसा लगता है:

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आपको तीन दरवाजों में से एक को चुनना है। एक दरवाजे के पीछे एक कार है, अन्य दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं। आप दरवाजों में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, उसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे एक बकरी है। इसके बाद वह आपसे पूछता है- क्या आप अपनी पसंद बदलकर दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहेंगे? यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद बदलते हैं तो क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी?

प्रकाशन के बाद, यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि समस्या गलत तरीके से तैयार की गई थी: सभी शर्तें निर्धारित नहीं की गई थीं। उदाहरण के लिए, सूत्रधार "नारकीय मोंटी" रणनीति का पालन कर सकता है: पसंद को बदलने की पेशकश करें यदि और केवल अगर खिलाड़ी ने पहली चाल पर कार चुनी है। जाहिर है, प्रारंभिक पसंद को बदलने से ऐसी स्थिति में गारंटीकृत नुकसान होगा (नीचे देखें)।

सबसे लोकप्रिय एक अतिरिक्त शर्त के साथ समस्या है - खेल के प्रतिभागी निम्नलिखित नियमों को पहले से जानते हैं:

कार के तीन दरवाजों में से किसी एक के पीछे रखे जाने की समान संभावना है;
किसी भी स्थिति में, मेजबान को बकरी के साथ दरवाजा खोलने के लिए बाध्य किया जाता है (लेकिन वह नहीं जिसे खिलाड़ी ने चुना है) और खिलाड़ी को पसंद बदलने की पेशकश करता है;
यदि नेता के पास दोनों में से कौन सा दरवाजा खोलने का विकल्प है, तो वह समान संभावना के साथ उनमें से किसी एक को चुनता है।

निम्नलिखित पाठ इस सूत्रीकरण में मोंटी हॉल समस्या पर चर्चा करता है।

पदच्छेद

जीतने की रणनीति के लिए, निम्नलिखित महत्वपूर्ण है: यदि आप नेता के कार्यों के बाद दरवाजे की पसंद बदलते हैं, तो आप जीतते हैं यदि आपने शुरुआत में हारने वाले दरवाजे को चुना है। ऐसा होने की संभावना है 2 ⁄ 3 , चूंकि शुरुआत में आप 3 में से 2 तरीकों से हारने वाले दरवाजे को चुन सकते हैं।

लेकिन अक्सर, इस समस्या को हल करते समय, वे कुछ इस तरह से तर्क देते हैं: मेजबान हमेशा अंत में एक खोने वाले दरवाजे को हटा देता है, और फिर दो गैर-खुले लोगों के पीछे दिखाई देने वाली कार की संभावनाएं प्रारंभिक पसंद की परवाह किए बिना ½ के बराबर हो जाती हैं। लेकिन यह सच नहीं है: हालांकि चुनाव की वास्तव में दो संभावनाएँ हैं, ये संभावनाएँ (पृष्ठभूमि को ध्यान में रखते हुए) समान रूप से संभव नहीं हैं! यह सच है क्योंकि शुरू में सभी दरवाजों के जीतने की समान संभावना थी, लेकिन फिर समाप्त होने की अलग-अलग संभावनाएँ थीं।

अधिकांश लोगों के लिए, यह निष्कर्ष स्थिति की सहज धारणा का खंडन करता है, और तार्किक निष्कर्ष और उत्तर के बीच परिणामी विसंगति के कारण, जिसके लिए सहज राय झुकती है, कार्य को कहा जाता है मोंटी हॉल विरोधाभास.

दरवाजों के साथ स्थिति और भी स्पष्ट हो जाती है यदि हम कल्पना करते हैं कि 3 दरवाजे नहीं हैं, लेकिन कहते हैं, 1000, और खिलाड़ी की पसंद के बाद, प्रस्तुतकर्ता 998 अतिरिक्त हटा देता है, 2 दरवाजे छोड़ देता है: एक जिसे खिलाड़ी ने चुना और और एक। यह अधिक स्पष्ट प्रतीत होता है कि इन दरवाजों के पीछे पुरस्कार मिलने की संभावनाएं अलग-अलग हैं, और ½ के बराबर नहीं हैं। यदि हम दरवाजा बदलते हैं, तो हम केवल तभी हारते हैं जब हम पुरस्कार द्वार को पहले चुनते हैं, जिसकी संभावना 1:1000 है। अगर हमारी शुरुआती पसंद होती तो हम जीत जाते नहींसही है, और इसकी संभावना 1000 में से 999 है। 3 दरवाजों के मामले में, तर्क संरक्षित है, लेकिन निर्णय बदलने पर जीतने की संभावना तदनुसार कम है, अर्थात् 2 ⁄ 3 .

तर्क करने का दूसरा तरीका स्थिति को समकक्ष स्थिति से बदलना है। आइए कल्पना करें कि खिलाड़ी प्रारंभिक पसंद करने के बजाय (इसे हमेशा #1 दरवाजा रहने दें) और फिर शेष लोगों के बीच बकरी के साथ दरवाजा खोलना (यानी, हमेशा #2 और #3 के बीच), आइए कल्पना करें कि खिलाड़ी पहली कोशिश में दरवाजे का अनुमान लगाने की जरूरत है, लेकिन उन्हें पहले से सूचित किया जाता है कि प्रारंभिक संभावना (33%) के साथ दरवाजे नंबर 1 के पीछे एक कार हो सकती है, और शेष दरवाजों के बीच यह संकेत दिया जाता है कि कौन से दरवाजे के लिए कार निश्चित रूप से पीछे नहीं है (0%)। तदनुसार, अंतिम दरवाजा हमेशा 67% के लिए जिम्मेदार होगा, और इसे चुनने की रणनीति बेहतर है।

अन्य नेता व्यवहार

मोंटी हॉल विरोधाभास के क्लासिक संस्करण में कहा गया है कि मेजबान खिलाड़ी को दरवाजा बदलने के लिए प्रेरित करेगा, भले ही उसने कार को चुना हो या नहीं। लेकिन मेज़बान का अधिक जटिल व्यवहार भी संभव है। यह तालिका संक्षेप में कई व्यवहारों का वर्णन करती है।

संभावित नेता व्यवहार
मेजबान व्यवहार	परिणाम
"राक्षसी मोंटी": यदि दरवाजा सही है तो मेजबान बदलने की पेशकश करता है।	परिवर्तन हमेशा एक बकरी देगा।
"एंजेलिक मोंटी": अगर दरवाजा गलत है तो मेजबान बदलने की पेशकश करता है।	परिवर्तन हमेशा एक कार देगा।
"अज्ञानी मोंटी" या "मोंटी बुच": मेजबान अनजाने में गिर जाता है, दरवाजा खुल जाता है, और यह पता चलता है कि उसके पीछे कोई कार नहीं है। दूसरे शब्दों में, मेजबान खुद नहीं जानता कि दरवाजे के पीछे क्या है, वह पूरी तरह से यादृच्छिक रूप से दरवाजा खोलता है, और केवल संयोग से उसके पीछे कोई कार नहीं थी।	एक बदलाव आधे मामलों में जीत देता है। इस तरह अमेरिकी शो "डील या नो डील" की व्यवस्था की जाती है - हालांकि, खिलाड़ी खुद एक यादृच्छिक दरवाजा खोलता है, और अगर इसके पीछे कोई कार नहीं है, तो प्रस्तुतकर्ता इसे बदलने की पेशकश करता है।
मेजबान एक बकरी को चुनता है और अगर खिलाड़ी ने एक अलग दरवाजा चुना है तो उसे खोलता है।	एक बदलाव आधे मामलों में जीत देता है।
यजमान हमेशा बकरा खोलता है। यदि एक कार का चयन किया जाता है, तो बायीं बकरी को प्रायिकता के साथ खोला जाता है पीऔर सही संभावना के साथ क्यू=1−पी.	यदि नेता ने बायां दरवाजा खोला, तो पारी संभाव्यता के साथ जीत देती है 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). अगर सही 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). हालाँकि, विषय इस संभावना को प्रभावित नहीं कर सकता है कि सही दरवाजा खुल जाएगा - उसकी पसंद की परवाह किए बिना, यह संभावना के साथ होगा 1 + क्यू 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
जो उसी, पी=क्यू= ½ (शास्त्रीय मामला)।	एक बदलाव संभावना के साथ जीत देता है 2 ⁄ 3 .
जो उसी, पी=1, क्यू= 0 ("शक्तिहीन मोंटी" - थका हुआ प्रस्तोता बाएं दरवाजे पर खड़ा होता है और उस बकरी को खोलता है जो करीब है)।	यदि प्रस्तोता ने सही दरवाजा खोला, तो परिवर्तन निश्चित जीत देता है। यदि बाएँ - प्रायिकता ½।
यदि कोई कार चुनी जाती है, तो मेजबान हमेशा बकरी को खोलता है, और प्रायिकता के साथ ½ अन्यथा।	परिवर्तन ½ की संभावना के साथ जीत देता है।
सामान्य मामला: खेल को कई बार दोहराया जाता है, कार को एक या दूसरे दरवाजे के पीछे छिपाने की संभावना, साथ ही इस या उस दरवाजे को खोलना मनमाना है, लेकिन मेजबान जानता है कि कार कहां है और हमेशा एक को खोलकर बदलाव की पेशकश करता है बकरियों।	नैश संतुलन: यह मोंटी हॉल का विरोधाभास अपने शास्त्रीय रूप में है जो मेजबान के लिए सबसे अधिक फायदेमंद है (जीतने की संभावना 2 ⁄ 3 ). संभावना के साथ कार किसी भी दरवाजे के पीछे छिप जाती है ⅓; यदि कोई विकल्प है, तो किसी भी बकरी को यादृच्छिक रूप से खोलें।
वही, लेकिन हो सकता है कि मेजबान बिल्कुल भी दरवाजा न खोले।	नैश संतुलन: मेजबान के लिए दरवाजा नहीं खोलना फायदेमंद है, जीतने की संभावना ⅓ है।

यह सभी देखें

टियरनी, जॉन (21 जुलाई, 1991), "बिहाइंड मोंटी हॉल"s डोर्स: पज़ल, डिबेट और आंसर? ", दी न्यू यौर्क टाइम्स, . 18 जनवरी 2008 को पुनःप्राप्त।

दिसंबर 1963 में, अमेरिकी टेलीविजन चैनल एनबीसी ने पहली बार लेट्स मेक ए डील ("लेट्स मेक ए डील!") कार्यक्रम प्रसारित किया, जिसमें स्टूडियो में दर्शकों से चुने गए प्रतिभागियों ने एक-दूसरे के साथ और मेजबान के साथ सौदेबाजी की, छोटे-छोटे नाटक किए। खेल या केवल प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाया। प्रसारण के अंत में, प्रतिभागी "डील ऑफ द डे" खेल सकते थे। उनके सामने तीन दरवाजे थे, जिनके बारे में यह ज्ञात था कि उनमें से एक के पीछे ग्रैंड प्राइज़ (उदाहरण के लिए, एक कार) थी, और अन्य दो के पीछे कम मूल्यवान या पूरी तरह से बेतुके उपहार थे (उदाहरण के लिए, जीवित बकरियाँ) . खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद किए जाने के बाद, कार्यक्रम के मेजबान मोंटी हॉल ने शेष दो दरवाजों में से एक को खोला, यह दिखाते हुए कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं था और प्रतिभागी को खुश होने दिया कि उसके पास जीतने का मौका था।

1975 में, यूसीएलए के वैज्ञानिक स्टीव सेल्विन ने पूछा कि क्या होगा यदि उस समय, बिना पुरस्कार के दरवाजा खोलने के बाद, प्रतिभागी को अपनी पसंद बदलने के लिए कहा जाए। क्या इस मामले में खिलाड़ी के पुरस्कार पाने की संभावना बदल जाएगी, और यदि हां, तो किस दिशा में? उन्होंने द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन ("अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन") के साथ-साथ खुद मोंटी हॉल को एक समस्या के रूप में संबंधित प्रश्न भेजा, जिन्होंने इसका एक जिज्ञासु उत्तर दिया। इस उत्तर के बावजूद (या शायद इसके कारण), समस्या "मोंटी हॉल समस्या" के नाम से लोकप्रिय हो गई।

परेड पत्रिका में 1990 में प्रकाशित इस समस्या का सबसे आम सूत्रीकरण इस प्रकार है:

"कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आपको तीन दरवाजों में से एक को चुनना है। एक दरवाजे के पीछे एक कार है, अन्य दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं। आप दरवाजों में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, उसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे एक बकरी है। उसके बाद, वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी पसंद बदलना चाहते हैं और दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहते हैं। क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद बदलते हैं?

प्रकाशन के बाद, यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि समस्या गलत तरीके से तैयार की गई थी: सभी शर्तें निर्धारित नहीं की गई थीं। उदाहरण के लिए, सूत्रधार "नारकीय मोंटी" रणनीति का पालन कर सकता है: पसंद को बदलने की पेशकश करें यदि और केवल अगर खिलाड़ी ने पहली चाल पर कार चुनी है। जाहिर है, शुरुआती पसंद बदलने से ऐसी स्थिति में नुकसान की गारंटी होगी।

कार के 3 दरवाजों में से किसी के पीछे रखे जाने की समान संभावना है;
किसी भी स्थिति में, मेजबान को बकरी के साथ दरवाजा खोलने के लिए बाध्य किया जाता है (लेकिन वह नहीं जिसे खिलाड़ी ने चुना है) और खिलाड़ी को पसंद बदलने की पेशकश करता है;
यदि नेता के पास दोनों में से कौन सा दरवाजा खोलने का विकल्प है, तो वह समान संभावना के साथ उनमें से किसी एक को चुनता है।

संकेत

उन लोगों पर विचार करने की कोशिश करें जिन्होंने एक ही मामले में अलग-अलग दरवाजे चुने (यानी, जब पुरस्कार, उदाहरण के लिए, दरवाजा नंबर 1 के पीछे हो)। अपनी पसंद बदलने से किसे फायदा होगा और किसे नहीं?

समाधान

जैसा कि टूलटिप में सुझाया गया है, उन लोगों पर विचार करें जिन्होंने अलग-अलग विकल्प चुने। मान लेते हैं कि पुरस्कार #1 दरवाजे के पीछे है, और दरवाजे #2 और #3 के पीछे बकरियां हैं। मान लीजिए कि हमारे पास छह लोग हैं, और प्रत्येक दरवाजे को दो लोगों द्वारा चुना गया था, और प्रत्येक जोड़ी में से एक ने बाद में निर्णय बदल दिया, और दूसरे ने नहीं किया।

ध्यान दें कि मेजबान जो दरवाजा नंबर 1 चुनता है, वह अपने स्वाद के लिए दो दरवाजों में से एक को खोलेगा, जबकि इस पर ध्यान दिए बिना, कार उसी को प्राप्त होगी जो अपनी पसंद नहीं बदलता है, लेकिन जिसने अपनी प्रारंभिक पसंद बदल दी है पुरस्कार के बिना रहेगा। अब उन लोगों पर नजर डालते हैं जिन्होंने नंबर 2 और नंबर 3 के दरवाजे चुने। चूंकि दरवाजे नंबर 1 के पीछे एक कार है, मेजबान इसे नहीं खोल सकता है, जो उसे कोई विकल्प नहीं छोड़ता है - वह क्रमशः उनके लिए दरवाजे नंबर 3 और नंबर 2 खोलता है। उसी समय, प्रत्येक जोड़ी में निर्णय बदलने वाले को पुरस्कार के रूप में चुना जाएगा, और जो नहीं बदला वह कुछ भी नहीं छोड़ेगा। इस प्रकार, अपना मन बदलने वाले तीन लोगों में से दो को पुरस्कार मिलेगा, और एक को बकरी मिलेगी, जबकि अपनी मूल पसंद को अपरिवर्तित छोड़ने वाले तीन में से केवल एक को पुरस्कार मिलेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि कार #2 या #3 दरवाजे के पीछे थी, तो परिणाम समान होगा, केवल विशिष्ट विजेता बदलेंगे। इस प्रकार, यह मानते हुए कि शुरू में प्रत्येक दरवाजे को समान संभावना के साथ चुना जाता है, हम पाते हैं कि जो लोग अपनी पसंद बदलते हैं वे दो बार पुरस्कार जीतते हैं, यानी इस मामले में जीतने की संभावना अधिक होती है।

आइए इस समस्या को संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत के दृष्टिकोण से देखें। हम मान लेंगे कि प्रत्येक दरवाजे की प्रारंभिक पसंद की संभावना समान है, साथ ही कार के प्रत्येक दरवाजे के पीछे होने की संभावना भी है। इसके अलावा, यह आरक्षण करना उपयोगी है कि नेता, जब वह दो दरवाजे खोल सकता है, उनमें से प्रत्येक को समान संभावना के साथ चुनता है। फिर यह पता चलता है कि पहले निर्णय के बाद, संभावना है कि पुरस्कार चयनित दरवाजे के पीछे 1/3 है, जबकि संभावना है कि यह अन्य दो दरवाजों में से एक के पीछे 2/3 है। उसी समय, मेजबान द्वारा दो "अचयनित" दरवाजों में से एक को खोलने के बाद, 2/3 की पूरी संभावना शेष दरवाजों में से केवल एक पर पड़ती है, जिससे निर्णय बदलने का आधार बनता है, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है 2 बार से। जो, निश्चित रूप से, एक विशिष्ट मामले में किसी भी तरह से इसकी गारंटी नहीं देता है, लेकिन प्रयोग को बार-बार दोहराने के मामले में अधिक सफल परिणाम देगा।

अंतभाषण

मोंटी हॉल समस्या इस समस्या का पहला ज्ञात सूत्रीकरण नहीं है। विशेष रूप से, 1959 में, मार्टिन गार्डनर ने साइंटिफिक अमेरिकन में "तीन कैदियों के बारे में" (तीन कैदियों की समस्या) के समान समस्या को निम्नलिखित शब्दों के साथ प्रकाशित किया: "तीन कैदियों में से एक को क्षमा किया जाना चाहिए, और दो को मृत्युदंड दिया जाना चाहिए। कैदी ए ने गार्ड को अन्य दो में से एक का नाम बताने के लिए राजी किया, जिसे निष्पादित किया जाएगा (या तो यदि दोनों को निष्पादित किया जाता है), जिसके बाद, बी नाम प्राप्त करने के बाद, वह मानता है कि उसके स्वयं के उद्धार की संभावना नहीं बन गई है 1/3, लेकिन 1/2। वहीं, कैदी सी का दावा है कि उसके बचने की संभावना 2/3 हो गई है, जबकि ए के लिए कुछ भी नहीं बदला है। कौन सा सही है?"

हालांकि, गार्डनर पहले नहीं थे, 1889 के बाद से, उनकी प्रायिकता की गणना में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ बर्ट्रेंड (अंग्रेज बर्ट्रेंड रसेल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!) एक समान समस्या पेश करते हैं (देखें बर्ट्रेंड का बॉक्स विरोधाभास): "वहाँ हैं तीन बक्से, जिनमें से प्रत्येक में दो सिक्के हैं: पहले में दो सोने के सिक्के, दूसरे में दो चांदी के सिक्के और तीसरे में दो अलग-अलग सिक्के।

यदि आप तीनों समस्याओं के समाधान को समझते हैं, तो उनके विचारों की समानता को नोटिस करना आसान है; गणितीय रूप से, वे सभी सशर्त संभाव्यता की अवधारणा से एकजुट हैं, अर्थात घटना A की संभावना, यदि यह ज्ञात है कि घटना B हुई है। सबसे सरल उदाहरण: संभावना है कि एक इकाई एक नियमित पासा पर गिरती है 1/6 है; हालाँकि, यदि लुढ़का हुआ नंबर विषम के रूप में जाना जाता है, तो संभावना है कि यह पहले से ही 1/3 है। द मॉन्टी हॉल समस्या, उद्धृत अन्य दो समस्याओं की तरह, यह दर्शाती है कि सशर्त संभावनाओं को सावधानी से संभाला जाना चाहिए।

इन समस्याओं को अक्सर विरोधाभास भी कहा जाता है: मोंटी हॉल का विरोधाभास, बर्ट्रेंड का बॉक्स विरोधाभास (उत्तरार्द्ध को उसी पुस्तक में दिए गए वास्तविक बर्ट्रेंड के विरोधाभास के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो उस समय मौजूद संभाव्यता की अवधारणा की अस्पष्टता को साबित करता है) - जो कुछ विरोधाभास का अर्थ है (उदाहरण के लिए, "झूठे का विरोधाभास" वाक्यांश "यह कथन झूठा है" बहिष्कृत मध्य के कानून का खंडन करता है)। इस मामले में, हालांकि, कठोर दावों के साथ कोई विरोधाभास नहीं है। लेकिन "जनमत" या समस्या के "स्पष्ट समाधान" के साथ एक स्पष्ट विरोधाभास है। वास्तव में, अधिकांश लोग, समस्या को देखते हुए, मानते हैं कि किसी एक दरवाजे को खोलने के बाद, शेष दो में से किसी एक के पीछे पुरस्कार खोजने की संभावना 1/2 है। ऐसा करके, वे दावा करते हैं कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे अपना मन बदलने के लिए सहमत हैं या असहमत हैं। इसके अलावा, बहुत से लोगों को विस्तृत समाधान बताए जाने के बाद भी इसके अलावा कोई अन्य उत्तर समझने में कठिनाई होती है।

स्टीव सेल्विन को मोंटी हॉल की प्रतिक्रिया

श्री स्टीव सेल्विन,
बायोस्टैटिस्टिक्स के सहायक प्रोफेसर,
यूनिवर्सिटी ऑफ कैलिफोर्निया, बर्केले।

प्रिय स्टीव,

मुझे अमेरिकी सांख्यिकी से समस्या भेजने के लिए धन्यवाद।

हालांकि मैंने विश्वविद्यालय में आंकड़ों का अध्ययन नहीं किया, लेकिन मुझे पता है कि अगर मैं उन्हें हेरफेर करना चाहता हूं तो संख्याओं का हमेशा मेरे लाभ के लिए उपयोग किया जा सकता है। आपका तर्क एक आवश्यक परिस्थिति को ध्यान में नहीं रखता है: पहला बॉक्स खाली होने के बाद, प्रतिभागी अब अपनी पसंद नहीं बदल सकता है। तो संभावनाएँ समान रहती हैं: तीन में से एक, है ना? और, ज़ाहिर है, एक बॉक्स के खाली होने के बाद, संभावना 50/50 नहीं बनती है, लेकिन वही रहती है - तीन में से एक। प्रतिभागी को केवल यह लगता है कि एक बॉक्स से छुटकारा पाने से उसे अधिक मौके मिलते हैं। बिल्कुल नहीं। उसके खिलाफ दो से एक, जैसा कि था, और रहता है। और अगर आप अचानक मेरे शो पर आ जाते हैं, तो आपके लिए नियम वही रहेंगे: चयन के बाद कोई चेंजिंग बॉक्स नहीं।

कल्पना कीजिए कि एक निश्चित बैंकर आपको तीन बंद बक्से में से एक चुनने की पेशकश करता है। उनमें से एक में 50 सेंट, दूसरे में - एक डॉलर, तीसरे में - 10 हजार डॉलर। आप जो भी चुनेंगे, वह आपको पुरस्कार के रूप में मिलेगा।

आप यादृच्छिक रूप से चुनते हैं, बॉक्स नंबर 1 कहें। और फिर बैंकर (जो निश्चित रूप से जानता है कि सब कुछ कहां है) आपकी आंखों के सामने एक डॉलर के साथ एक बॉक्स खोलता है (मान लें कि यह नंबर 2 है), जिसके बाद वह आपको शुरू में चयनित बॉक्स नंबर को बदलने की पेशकश करता है। 1 से बॉक्स नंबर 3 तक।

क्या आपको अपना मन बदलना चाहिए? क्या इससे आपके 10 हजार मिलने की संभावना बढ़ जाएगी?

यह मोंटी हॉल का विरोधाभास है - संभाव्यता सिद्धांत की समस्या, जिसका समाधान, पहली नज़र में, सामान्य ज्ञान के विपरीत है। लोग 1975 से इस समस्या पर अपना सिर खुजला रहे हैं।

विरोधाभास का नाम लोकप्रिय अमेरिकी टीवी शो लेट्स मेक ए डील के मेजबान के नाम पर रखा गया था। इस टीवी शो के समान नियम थे, केवल प्रतिभागियों ने दरवाजे चुने, जिनमें से दो बकरियां छिपा रही थीं, और तीसरा एक कैडिलैक था।

अधिकांश खिलाड़ियों ने तर्क दिया कि जब दो बंद दरवाजे थे और उनमें से एक के पीछे एक कैडिलैक था, तो उसके मिलने की संभावना 50-50 थी।जाहिर है, जब मेजबान एक दरवाजा खोलता है और आपको अपना मन बदलने के लिए आमंत्रित करता है, तो वह एक नया खेल शुरू करता है। आप अपना विचार बदलें या नहीं, फिर भी आपकी संभावना 50 प्रतिशत रहेगी। बहुत सही?

यह पता चला है कि ऐसा नहीं है। वास्तव में, अपना मन बदलने से, आप अपनी सफलता की संभावना को दोगुना कर देते हैं। क्यों?

इस उत्तर के लिए सबसे सरल व्याख्या निम्नलिखित विचार है। पसंद बदले बिना कार जीतने के लिए, खिलाड़ी को तुरंत उस दरवाजे का अनुमान लगाना चाहिए जिसके पीछे कार खड़ी है। इसकी संभावना 1/3 है। यदि खिलाड़ी शुरू में उसके पीछे एक बकरी के साथ दरवाजा मारता है (और इस घटना की संभावना 2/3 है, क्योंकि दो बकरियां हैं और केवल एक कार है), तो वह निश्चित रूप से अपना मन बदलकर कार जीत सकता है, क्योंकि कार और एक बकरी बची है, और मेज़बान बकरी के साथ द्वार खोल चुका है।

इस प्रकार, पसंद को बदले बिना, खिलाड़ी 1/3 जीतने की अपनी प्रारंभिक संभावना के साथ बना रहता है, और प्रारंभिक पसंद को बदलते समय, खिलाड़ी शेष संभावना से दो बार अपने लाभ में बदल जाता है कि उसने शुरुआत में सही ढंग से अनुमान नहीं लगाया था।

साथ ही, दो घटनाओं की अदला-बदली करके एक सहज व्याख्या की जा सकती है। पहली घटना दरवाजे को बदलने का खिलाड़ी का निर्णय है, दूसरी घटना एक अतिरिक्त द्वार खोलने की है। यह स्वीकार्य है, क्योंकि एक अतिरिक्त दरवाजा खोलने से खिलाड़ी को कोई नई जानकारी नहीं मिलती है (प्रमाण के लिए यह लेख देखें)। तब समस्या को निम्न सूत्रीकरण में कम किया जा सकता है। समय के पहले क्षण में, खिलाड़ी दरवाजों को दो समूहों में विभाजित करता है: पहले समूह में एक द्वार होता है (जिसे उसने चुना है), दूसरे समूह में दो शेष द्वार होते हैं। समय के अगले क्षण में, खिलाड़ी समूहों के बीच चुनाव करता है। यह स्पष्ट है कि पहले समूह के जीतने की संभावना 1/3 है, दूसरे समूह के लिए 2/3। खिलाड़ी दूसरे समूह को चुनता है। दूसरे समूह में वह दोनों दरवाजे खोल सकता है। एक मेजबान द्वारा खोला जाता है, और दूसरा खुद खिलाड़ी द्वारा।

आइए "सबसे अधिक समझने योग्य" स्पष्टीकरण देने का प्रयास करें। समस्या को सुधारें: एक ईमानदार मेजबान खिलाड़ी को घोषणा करता है कि तीन दरवाजों में से एक के पीछे एक कार है, और सुझाव देता है कि वह पहले दरवाजों में से एक की ओर इशारा करता है, और फिर दो क्रियाओं में से एक का चयन करता है: संकेतित दरवाजा खोलें (में) पुराने फॉर्मूलेशन, इसे "अपनी पसंद न बदलें" कहा जाता है) या अन्य दो को खोलें (पुराने शब्दों में, यह सिर्फ "पसंद बदलें" होगा। इसके बारे में सोचें, यह समझने की कुंजी है!)। यह स्पष्ट है कि खिलाड़ी दो कार्यों में से दूसरे का चयन करेगा, क्योंकि इस मामले में कार प्राप्त करने की संभावना दोगुनी है। और छोटी सी बात यह है कि मेजबान कार्रवाई को चुनने से पहले "बकरी दिखाया" मदद नहीं करता है और पसंद में हस्तक्षेप नहीं करता है, क्योंकि दो दरवाजों में से एक के पीछे हमेशा एक बकरी होती है और मेजबान इसे किसी भी समय निश्चित रूप से दिखाएगा खेल के दौरान, तो खिलाड़ी इस बकरी पर और नहीं देख सकते हैं। खिलाड़ी का व्यवसाय, यदि उसने दूसरी कार्रवाई को चुना है, तो उसे दो दरवाजों में से एक को खोलने की परेशानी से बचाने के लिए मेजबान को "धन्यवाद" कहना है, और दूसरे को खोलना है। अच्छा, या और भी आसान। आइए इस स्थिति की कल्पना मेजबान के दृष्टिकोण से करें, जो दर्जनों खिलाड़ियों के साथ इसी तरह की प्रक्रिया कर रहा है। चूंकि वह अच्छी तरह से जानता है कि दरवाजों के पीछे क्या है, औसतन, तीन में से दो मामलों में, वह पहले से देखता है कि खिलाड़ी ने "गलत" दरवाजा चुना है। इसलिए, उसके लिए निश्चित रूप से कोई विरोधाभास नहीं है कि पहला दरवाजा खोलने के बाद पसंद को बदलने के लिए सही रणनीति है: आखिरकार, तीन में से दो मामलों में, खिलाड़ी एक नई कार में स्टूडियो छोड़ देगा।

अंत में, सबसे "भोला" प्रमाण। जो अपनी पसंद से खड़ा होता है उसे "जिद्दी" कहा जाता है, और जो नेता के निर्देशों का पालन करता है उसे "चौकस" कहा जाता है। फिर जिद्दी जीतता है अगर उसने शुरू में कार (1/3) का अनुमान लगाया, और चौकस - अगर वह पहली बार चूक गया और बकरी (2/3) को मारा। आखिरकार, केवल इस मामले में वह कार के साथ दरवाजे की ओर इशारा करेगा।

मोंटी हॉल, शो के निर्माता और होस्ट चलो एक सौदा करते हैं 1963 से 1991 तक।

1990 में यह समस्या और इसका समाधान अमेरिकी पत्रिका परेड में प्रकाशित हुआ था। प्रकाशन ने पाठकों की क्रोधित समीक्षाओं की झड़ी लगा दी, जिनमें से कई के पास वैज्ञानिक डिग्री थी।

मुख्य शिकायत यह थी कि समस्या की सभी स्थितियों को निर्दिष्ट नहीं किया गया था, और कोई भी अति सूक्ष्म अंतर परिणाम को प्रभावित कर सकता था। उदाहरण के लिए, मेजबान निर्णय को बदलने की पेशकश तभी कर सकता है जब खिलाड़ी ने पहली चाल में कार चुनी हो। जाहिर है, ऐसी स्थिति में शुरुआती पसंद बदलने से नुकसान की गारंटी होगी।

हालाँकि, मोंटी हॉल टीवी शो के पूरे अस्तित्व में, जिन लोगों ने अपना मन बदल लिया, वे अक्सर दो बार जीते:

अपना मन बदलने वाले 30 खिलाड़ियों में से कैडिलैक ने 18 जीते - यानी 60%

30 खिलाड़ियों में से जो अपनी पसंद के साथ बचे थे, कैडिलैक ने 11 जीते - यानी लगभग 36%

इसलिए निर्णय में दिए गए तर्क, चाहे वे कितने भी अतार्किक क्यों न लगें, अभ्यास द्वारा पुष्टि की जाती है।

दरवाजों की संख्या में वृद्धि

क्या हो रहा है इसका सार समझना आसान बनाने के लिए, हम उस मामले पर विचार कर सकते हैं जब खिलाड़ी उसके सामने तीन दरवाजे नहीं देखता, लेकिन, उदाहरण के लिए, सौ। उसी समय, दरवाजों में से एक के पीछे एक कार है, और अन्य 99 के पीछे बकरियाँ हैं। खिलाड़ी दरवाजों में से एक को चुनता है, जबकि 99% मामलों में वह एक बकरी के साथ दरवाजा चुनता है, और तुरंत कार के साथ दरवाजा चुनने की संभावना बहुत कम होती है - वे 1% होती हैं। उसके बाद, मेजबान बकरियों के साथ 98 दरवाजे खोलता है और खिलाड़ी को शेष दरवाजे को चुनने के लिए कहता है। इस मामले में, 99% मामलों में, कार इस शेष दरवाजे के पीछे होगी, क्योंकि खिलाड़ी द्वारा तुरंत सही दरवाजा चुने जाने की संभावना बहुत कम है। यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में एक तार्किक सोच वाले खिलाड़ी को हमेशा नेता के प्रस्ताव को स्वीकार करना चाहिए।

दरवाजों की बढ़ी हुई संख्या पर विचार करते समय, अक्सर यह सवाल उठता है: यदि मूल समस्या में नेता तीन में से एक दरवाजा खोलता है (यानी, दरवाजों की कुल संख्या का 1/3), तो हमें यह क्यों मान लेना चाहिए कि इस मामले में नेता 100 दरवाजों में से 98 दरवाजे बकरियों के साथ खोलेगा, न कि 33? यह विचार आमतौर पर महत्वपूर्ण कारणों में से एक है कि क्यों मोंटी हॉल का विरोधाभास स्थिति की सहज धारणा के साथ संघर्ष करता है। 98 दरवाजों के खुलने का अनुमान लगाना सही होगा, क्योंकि समस्या की अनिवार्य शर्त यह है कि खिलाड़ी के लिए केवल एक वैकल्पिक विकल्प होता है, जो मेजबान द्वारा पेश किया जाता है। इसलिए, कार्य समान होने के लिए, 4 दरवाजों के मामले में, नेता को 2 दरवाजे खोलने चाहिए, 5 दरवाजों के मामले में - 3, और इसी तरह, ताकि एक के अलावा हमेशा एक बंद दरवाजा हो जिसे खिलाड़ी ने शुरू में चुना था। यदि सूत्रधार कम दरवाजे खोलता है, तो कार्य अब मूल मोंटी हॉल कार्य के समान नहीं होगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई दरवाजों के मामले में, भले ही मेजबान एक दरवाजे को बंद नहीं करता है, लेकिन कई, और खिलाड़ी को उनमें से एक को चुनने की पेशकश करता है, फिर प्रारंभिक पसंद को बदलते समय, खिलाड़ी की कार जीतने की संभावना होगी अभी भी वृद्धि हुई है, यद्यपि इतनी अधिक नहीं है। उदाहरण के लिए, एक ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां एक खिलाड़ी सौ में से एक दरवाजा चुनता है, और फिर सूत्रधार शेष दरवाजों में से केवल एक को खोलता है, खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने के लिए आमंत्रित करता है। उसी समय, संभावना है कि कार मूल रूप से खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे है - 1/100, और शेष दरवाजों के लिए संभावनाएं बदल जाती हैं: कुल संभावना है कि कार शेष दरवाजों में से एक के पीछे है ( 99/100) अब 99 दरवाजों पर नहीं, बल्कि 98 पर वितरित किया जाता है। इसलिए, इनमें से प्रत्येक दरवाजे के पीछे एक कार मिलने की संभावना 1/100 नहीं, बल्कि 99/9800 होगी। संभाव्यता में वृद्धि लगभग 1% होगी।

खिलाड़ी और मेजबान का संभावित निर्णय वृक्ष प्रत्येक परिणाम की संभाव्यता दिखा रहा है अधिक औपचारिक रूप से, एक निर्णय वृक्ष का उपयोग करके एक खेल परिदृश्य का वर्णन किया जा सकता है। पहले दो मामलों में, जब खिलाड़ी पहले उस दरवाजे को चुनता है जिसके पीछे बकरी होती है, पसंद बदलने से जीत होती है। पिछले दो मामलों में, जब खिलाड़ी ने पहली बार कार के साथ दरवाजा चुना, पसंद बदलने से नुकसान हुआ।

फिर भी न समझे तो सूत्रों पर थूकिये और बससांख्यिकीय रूप से सब कुछ जांचें। एक अन्य संभावित व्याख्या:

एक खिलाड़ी जिसकी रणनीति हर बार चयनित दरवाजे को बदलने की होगी, वह तभी हारेगा जब वह शुरू में उस दरवाजे को चुनता है जिसके पीछे कार स्थित है।
चूंकि पहली कोशिश में कार चुनने का मौका तीन (या 33%) में से एक है, खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद बदलने पर कार न चुनने की संभावना भी तीन (या 33%) में से एक है।
इसका मतलब यह है कि जिस खिलाड़ी ने दरवाजा बदलने के लिए रणनीति का इस्तेमाल किया वह 66% या दो से तीन की संभावना के साथ जीत जाएगा।
यह उस खिलाड़ी के जीतने की संभावना को दोगुना कर देगा जिसकी रणनीति हर बार अपनी पसंद बदलने की नहीं है।

अभी भी विश्वास नहीं हो रहा है? मान लीजिए कि आप दरवाजा #1 चुनते हैं। इस मामले में क्या हो सकता है इसके लिए यहां सभी संभावित विकल्प दिए गए हैं।

उसे मोंटी हॉल पैराडॉक्स कहा जाता है, और वाह इसे अलग तरह से हल किया, अर्थात्: साबित किया कि यह एक छद्म विरोधाभास है.

दोस्तों, मुझे इस विरोधाभास (छद्म-विरोधाभास, अगर मैं सही हूं) के अपने खंडन की आलोचना सुनकर खुशी होगी। और फिर मैं अपनी आंखों से देखूंगा कि मेरा तर्क लंगड़ा है, मैं खुद को एक विचारक के रूप में सोचना बंद कर दूंगा और गतिविधि के प्रकार को और अधिक गीतात्मक में बदलने के बारे में सोचूंगा: ओ)। तो, यहाँ कार्य की सामग्री है। प्रस्तावित समाधान और मेरा खंडन नीचे हैं।

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आप तीन दरवाजों के सामने हैं। मेज़बान, जिसे ईमानदार माना जाता है, ने एक दरवाज़े के पीछे एक कार और दूसरे दो दरवाज़ों के पीछे एक बकरी रख दी। किस दरवाजे के पीछे क्या है इसकी जानकारी आपको नहीं है।

सूत्रधार आपको बताता है: “पहले आपको दरवाजों में से एक को चुनना होगा। उसके बाद, मैं शेष दरवाजों में से एक खोलूंगा, जिसके पीछे एक बकरी है। फिर मैं सुझाव दूंगा कि आप अपनी मूल पसंद को बदल दें और शुरुआत में आपने जो चुना था, उसके बजाय शेष बंद दरवाजे को चुनें। आप मेरी सलाह का पालन कर सकते हैं और दूसरा दरवाजा चुन सकते हैं, या आप अपनी मूल पसंद की पुष्टि कर सकते हैं। उसके बाद, मैं आपके द्वारा चुने गए द्वार को खोलूंगा और आप उस द्वार के पीछे जो है उसे जीत लेंगे।"

आप दरवाजा संख्या 3 चुनें। सूत्रधार दरवाजा संख्या 1 खोलता है और दिखाता है कि उसके पीछे एक बकरी है। इसके बाद मेज़बान आपसे द्वार संख्या 2 चुनने के लिए कहता है।

अगर आप उसकी सलाह मानेंगे तो क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी?
मोंटी हॉल विरोधाभास संभाव्यता सिद्धांत की प्रसिद्ध समस्याओं में से एक है, जिसका समाधान, पहली नज़र में, सामान्य ज्ञान के विपरीत है।
इस समस्या को हल करते समय, वे आमतौर पर कुछ इस तरह का तर्क देते हैं: मेजबान द्वारा उस दरवाजे को खोलने के बाद जिसके पीछे बकरी स्थित है, कार केवल दो शेष दरवाजों में से एक के पीछे हो सकती है। चूंकि खिलाड़ी को कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं मिल सकती है कि कार किस दरवाजे के पीछे है, प्रत्येक दरवाजे के पीछे एक कार मिलने की संभावना समान है, और दरवाजे की प्रारंभिक पसंद को बदलने से खिलाड़ी को कोई फायदा नहीं होता है। हालाँकि, तर्क की यह पंक्ति गलत है।
यदि मेजबान हमेशा जानता है कि कौन सा दरवाजा पीछे है, हमेशा शेष दरवाजा खोलता है जिसमें बकरी होती है, और हमेशा खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने के लिए संकेत देता है, तो संभावना है कि कार खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे 1/3 है, और तदनुसार, संभावना है कि कार शेष दरवाजे के पीछे है 2/3 है। इस प्रकार, प्रारंभिक पसंद बदलने से खिलाड़ी के कार जीतने की संभावना दोगुनी हो जाती है। यह निष्कर्ष ज्यादातर लोगों द्वारा स्थिति की सहज धारणा का खंडन करता है, यही वजह है कि वर्णित समस्या को मोंटी हॉल विरोधाभास कहा जाता है।

मुझे ऐसा लगता है कि संभावना नहीं बदलेगी; कोई विरोधाभास नहीं है।

और यहाँ क्यों है: पहले और दूसरे दरवाजे के विकल्प हैं स्वतंत्रआयोजन। यह एक सिक्के को 2 बार उछालने जैसा है: जो दूसरी बार गिरता है वह किसी भी तरह से इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि पहली बार में क्या गिरा।

तो यहाँ: एक बकरी के साथ दरवाजा खोलने के बाद, खिलाड़ी खुद को अंदर पाता है नई स्थितिजब उसके पास 2 दरवाजे हों और कार या बकरी चुनने की प्रायिकता 1/2 हो।

एक बार फिर: तीन में से एक दरवाजा खोलने के बाद, कार के शेष दरवाजे के पीछे होने की प्रायिकता, 2/3 के बराबर नहीं, क्योंकि 2/3 संभावना है कि कार किन्हीं 2 दरवाजों के पीछे है। इस संभावना को एक खुले दरवाजे और एक खुले दरवाजे के लिए जिम्मेदार ठहराना गलत है। पहलेदरवाजों का खुलना संभावनाओं का ऐसा संरेखण था, लेकिन बादएक दरवाजा खोलना, ये सभी संभावनाएं बन जाती हैं शून्य, क्योंकि स्थिति बदल गई है, और इसलिए एक नई संभाव्यता गणना की आवश्यकता है, जिसे सामान्य लोग सही ढंग से पूरा करते हैं, जवाब देते हैं कि पसंद बदलने से कुछ भी नहीं बदलेगा।

परिशिष्ट: 1) तर्क है कि:

ए) चुने हुए दरवाजे के पीछे एक कार मिलने की संभावना 1/3 है,

बी) संभावना है कि कार दो अन्य अचयनित दरवाजों के पीछे है, 2/3,

ग) क्योंकि मेजबान ने बकरी के साथ दरवाजा खोला, तो 2/3 की संभावना पूरी तरह से एक अचयनित (और बिना खुले) दरवाजे पर जाती है,

और इसलिए पसंद को दूसरे दरवाजे में बदलना जरूरी है, ताकि 1/3 से संभावना 2/3 हो जाए, सत्य नहीं, बल्कि असत्य, अर्थात्: पैराग्राफ "सी" में, क्योंकि शुरू में प्रायिकता 2/3 किसी भी दो दरवाजों से संबंधित है, जिसमें 2 खुले नहीं हैं, और चूंकि एक दरवाजा खोला गया था, तो यह संभावना 2 के बीच समान रूप से विभाजित की जाएगी जो खुली नहीं है, अर्थात। संभावना बराबर होगी, और दूसरा दरवाजा चुनने से यह नहीं बढ़ेगा।

2) सशर्त संभावनाओं की गणना की जाती है यदि 2 या अधिक यादृच्छिक घटनाएँ होती हैं, और प्रत्येक घटना के लिए अलग से संभावना की गणना की जाती है, और उसके बाद ही 2 या अधिक घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना की गणना की जाती है। यहां, पहले, अनुमान लगाने की संभावना 1/3 थी, लेकिन इस संभावना की गणना करने के लिए कि कार उस दरवाजे के पीछे नहीं है जिसे चुना गया था, लेकिन दूसरे के पीछे जो खुला नहीं है, आपको गणना करने की आवश्यकता नहीं है सशर्त संभाव्यता, लेकिन आपको साधारण संभावना की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि 2 में से 1 है। 1/2।

3) इस प्रकार, यह एक विरोधाभास नहीं है, बल्कि एक भ्रम है! (19.11.2009)

परिशिष्ट 2: कल मैं सबसे सरल व्याख्या के साथ आया था फिर से चुनाव रणनीति अभी भी अधिक लाभप्रद है(विरोधाभास सत्य है!): पहली पसंद के साथ, एक कार की तुलना में बकरी में प्रवेश करने की संभावना 2 गुना अधिक है, क्योंकि दो बकरियां हैं, और इसलिए, दूसरी पसंद के साथ, आपको पसंद बदलने की आवश्यकता है। यह इतना स्पष्ट है : ओ)

या दूसरे शब्दों में: कार में चिह्नित करना जरूरी नहीं है, लेकिन बकरियों को अस्वीकार करने के लिए, और यहां तक कि प्रस्तुतकर्ता बकरी को खोलने में भी मदद करता है। और खेल की शुरुआत में, 3 में से 2 की संभावना के साथ, खिलाड़ी भी सफल होगा, इसलिए, बकरियों को अस्वीकार करने के बाद, आपको विकल्प बदलने की आवश्यकता है। और यह भी अचानक बहुत स्पष्ट हो गया: ओ)

इसलिए मैंने अब तक जो कुछ भी लिखा है वह छद्म खंडन है। ठीक है, यहाँ इस तथ्य का एक और दृष्टांत है कि आपको अधिक विनम्र होने की आवश्यकता है, किसी और के दृष्टिकोण का सम्मान करें और अपने तर्क के आश्वासनों पर भरोसा न करें कि इसके निर्णय क्रिस्टल तार्किक हैं।

मोंटी हॉल विरोधाभास संभाव्यता सिद्धांत की प्रसिद्ध समस्याओं में से एक है, जिसका समाधान, पहली नज़र में, सामान्य ज्ञान के विपरीत है। समस्या को अमेरिकी टीवी शो लेट्स मेक ए डील पर आधारित एक काल्पनिक खेल के विवरण के रूप में तैयार किया गया है और इस शो के मेजबान के नाम पर रखा गया है। परेड पत्रिका में 1990 में प्रकाशित इस समस्या का सबसे आम सूत्रीकरण इस प्रकार है:

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आपको तीन दरवाजों में से एक को चुनना है। एक दरवाजे के पीछे एक कार है, अन्य दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं। आप दरवाजों में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, उसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे एक बकरी है। उसके बाद, वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी पसंद बदलना चाहते हैं और दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहते हैं। क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद बदलते हैं?

हालांकि समस्या का यह सूत्रीकरण सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है, यह कुछ हद तक समस्याग्रस्त है क्योंकि यह समस्या की कुछ महत्वपूर्ण स्थितियों को अपरिभाषित छोड़ देता है। निम्नलिखित एक अधिक संपूर्ण कथन है।

इस समस्या को हल करते समय, वे आमतौर पर कुछ इस तरह का तर्क देते हैं: मेजबान द्वारा उस दरवाजे को खोलने के बाद जिसके पीछे बकरी स्थित है, कार केवल दो शेष दरवाजों में से एक के पीछे हो सकती है। चूंकि खिलाड़ी को कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं मिल सकती है कि कार किस दरवाजे के पीछे है, प्रत्येक दरवाजे के पीछे एक कार मिलने की संभावना समान है, और दरवाजे की प्रारंभिक पसंद को बदलने से खिलाड़ी को कोई फायदा नहीं होता है। हालाँकि, तर्क की यह पंक्ति गलत है। यदि मेजबान हमेशा जानता है कि कौन सा दरवाजा पीछे है, हमेशा शेष दरवाजा खोलता है जिसमें बकरी होती है, और हमेशा खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने के लिए संकेत देता है, तो संभावना है कि कार खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे 1/3 है, और तदनुसार, संभावना है कि कार शेष दरवाजे के पीछे है 2/3 है। इस प्रकार, प्रारंभिक पसंद बदलने से खिलाड़ी के कार जीतने की संभावना दोगुनी हो जाती है। यह निष्कर्ष ज्यादातर लोगों द्वारा स्थिति की सहज धारणा का खंडन करता है, यही वजह है कि वर्णित समस्या को मोंटी हॉल विरोधाभास कहा जाता है।

मौखिक निर्णय

इस समस्या का सही उत्तर निम्नलिखित है: हां, यदि खिलाड़ी मेजबान की सलाह का पालन करता है और अपनी प्रारंभिक पसंद बदलता है तो कार जीतने की संभावना दोगुनी हो जाती है।

तब समस्या को निम्न सूत्रीकरण में कम किया जा सकता है। समय के पहले क्षण में, खिलाड़ी दरवाजों को दो समूहों में विभाजित करता है: पहले समूह में एक द्वार होता है (जिसे उसने चुना है), दूसरे समूह में दो शेष द्वार होते हैं। समय के अगले क्षण में, खिलाड़ी समूहों के बीच चुनाव करता है। यह स्पष्ट है कि पहले समूह के जीतने की संभावना 1/3 है, दूसरे समूह के लिए 2/3। खिलाड़ी दूसरे समूह को चुनता है। दूसरे समूह में वह दोनों दरवाजे खोल सकता है। एक मेजबान द्वारा खोला जाता है, और दूसरा खुद खिलाड़ी द्वारा।

आइए "सबसे अधिक समझने योग्य" स्पष्टीकरण देने का प्रयास करें। समस्या को सुधारें: एक ईमानदार मेजबान खिलाड़ी को घोषणा करता है कि तीन दरवाजों में से एक के पीछे एक कार है, और उसे पहले दरवाजों में से एक को इंगित करने के लिए आमंत्रित करता है, और फिर दो क्रियाओं में से एक का चयन करता है: निर्दिष्ट दरवाजा खोलें (में) पुराने फॉर्मूलेशन, इसे "अपनी पसंद न बदलें" कहा जाता है) या अन्य दो को खोलें (पुराने फॉर्मूलेशन में, यह सिर्फ "पसंद बदलें" होगा। सोचें, यह समझने की कुंजी है!) यह स्पष्ट है कि खिलाड़ी दो कार्यों में से दूसरे का चयन करेगा, क्योंकि इस मामले में कार प्राप्त करने की संभावना दोगुनी है। और छोटी सी बात यह है कि कार्रवाई चुनने से पहले भी नेता ने "बकरी दिखाई" मदद नहीं करता है और पसंद में हस्तक्षेप नहीं करता है, क्योंकि दो दरवाजों में से एक के पीछे हमेशा एक बकरी होती है और नेता इसे किसी भी पाठ्यक्रम में निश्चित रूप से दिखाएगा खेल का, तो खिलाड़ी इस बकरी पर कर सकते हैं और नहीं देखते हैं। खिलाड़ी का व्यवसाय, यदि उसने दूसरी कार्रवाई को चुना है, तो उसे दो दरवाजों में से एक को खोलने की परेशानी से बचाने के लिए मेजबान को "धन्यवाद" कहना है, और दूसरे को खोलना है। अच्छा, या और भी आसान। आइए इस स्थिति की कल्पना मेजबान के दृष्टिकोण से करें, जो दर्जनों खिलाड़ियों के साथ इसी तरह की प्रक्रिया कर रहा है। चूंकि वह पूरी तरह से जानता है कि दरवाजों के पीछे क्या है, औसतन, तीन में से दो मामलों में, वह पहले से देखता है कि खिलाड़ी ने "गलत" दरवाजा चुना है। इसलिए, उसके लिए निश्चित रूप से कोई विरोधाभास नहीं है कि पहला दरवाजा खोलने के बाद पसंद को बदलने के लिए सही रणनीति है: आखिरकार, तीन में से दो मामलों में, खिलाड़ी एक नई कार में स्टूडियो छोड़ देगा।

समझने की कुंजी

इस घटना की व्याख्या करने की सरलता के बावजूद, बहुत से लोग सहज रूप से मानते हैं कि जब खिलाड़ी अपनी पसंद बदलता है तो जीतने की संभावना नहीं बदलती है। आमतौर पर, जीतने की संभावना को बदलने की असंभवता इस तथ्य से प्रेरित होती है कि संभावना की गणना करते समय, अतीत में घटित होने वाली घटनाएं कोई मायने नहीं रखती हैं, जैसा कि होता है, उदाहरण के लिए, जब एक सिक्का उछाला जाता है - तो हेड या टेल आने की संभावना होती है यह इस बात पर निर्भर नहीं है कि पहले कितनी बार सिर या पूंछ गिरे। इसलिए, कई लोग मानते हैं कि जिस समय खिलाड़ी दो में से एक दरवाजा चुनता है, यह अब मायने नहीं रखता है कि अतीत में तीन में से एक दरवाजे का विकल्प था, और पसंद बदलने पर कार जीतने की संभावना समान होती है , और मूल पसंद को छोड़कर।

हालाँकि, जबकि इस तरह के विचार एक सिक्के के टॉस के मामले में सही हैं, वे सभी खेलों के लिए सही नहीं हैं। ऐसे में गुरु द्वारा द्वार खोलने पर ध्यान नहीं देना चाहिए। खिलाड़ी अनिवार्य रूप से पहले चुने गए एक दरवाजे और अन्य दो के बीच चयन करता है - उनमें से एक को खोलने से केवल खिलाड़ी को विचलित करने में मदद मिलती है। पता चला है कि एक कार और दो बकरियां हैं। दरवाजे में से एक के लिए खिलाड़ी की प्रारंभिक पसंद खेल के संभावित परिणामों को दो समूहों में विभाजित करती है: या तो कार खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे है (इसकी संभावना 1/3 है), या अन्य दो में से एक के पीछे (संभावना) इसका 2/3 है)। उसी समय, यह पहले से ही ज्ञात है कि किसी भी मामले में शेष दो दरवाजों में से एक के पीछे एक बकरी है, और इस दरवाजे को खोलकर, मेजबान खिलाड़ी को इस बारे में कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं देता है कि उसके द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे क्या है। खिलाड़ी। इस प्रकार, नेता द्वारा बकरी के साथ दरवाजा खोलने से प्रायिकता (2/3) नहीं बदलती है कि कार शेष दरवाजों में से एक के पीछे है। और चूंकि खिलाड़ी पहले से ही खुला दरवाजा नहीं चुनता है, तो यह सारी संभावना इस घटना में केंद्रित होती है कि कार शेष बंद दरवाजे के पीछे है।

अधिक सहज तर्क: खिलाड़ी को "चयन बदलें" रणनीति पर कार्य करने दें। तब वह तभी हारेगा जब वह शुरू में कार चुनता है। और इसकी संभावना एक तिहाई है। इसलिए, जीतने की संभावना: 1-1/3=2/3। यदि खिलाड़ी "पसंद न बदलें" रणनीति के अनुसार कार्य करता है, तो वह तभी जीतेगा जब उसने शुरुआत में कार को चुना हो। और इसकी संभावना एक तिहाई है।

आइए इस स्थिति की कल्पना मेजबान के दृष्टिकोण से करें, जो दर्जनों खिलाड़ियों के साथ इसी तरह की प्रक्रिया कर रहा है। चूंकि वह पूरी तरह से जानता है कि दरवाजों के पीछे क्या है, औसतन, तीन में से दो मामलों में, वह पहले से देखता है कि खिलाड़ी ने "गलत" दरवाजा चुना है। इसलिए, उसके लिए निश्चित रूप से कोई विरोधाभास नहीं है कि पहला दरवाजा खोलने के बाद पसंद को बदलने के लिए सही रणनीति है: आखिरकार, तीन में से दो मामलों में, खिलाड़ी एक नई कार में स्टूडियो छोड़ देगा।

इस समस्या के समाधान को समझने में कठिनाई का एक अन्य सामान्य कारण यह है कि अक्सर लोग थोड़े अलग खेल की कल्पना करते हैं - जहां यह पहले से ज्ञात नहीं होता है कि मेजबान बकरी के साथ दरवाजा खोलेगा और खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने का सुझाव देगा। इस मामले में, खिलाड़ी नेता की रणनीति नहीं जानता (यानी, वास्तव में, खेल के सभी नियमों को नहीं जानता) और इष्टतम विकल्प नहीं बना सकता। उदाहरण के लिए, यदि सुविधाकर्ता केवल विकल्प में बदलाव की पेशकश करेगा यदि खिलाड़ी ने शुरू में कार के साथ दरवाजा चुना था, तो स्पष्ट रूप से खिलाड़ी को हमेशा मूल निर्णय को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। इसलिए मोंटी हॉल समस्या के सटीक सूत्रीकरण को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है। (इस विकल्प के साथ, विभिन्न रणनीतियों वाला नेता दरवाजे के बीच किसी भी संभावना को प्राप्त कर सकता है, सामान्य (औसत) मामले में यह 1/2 1/2 होगा)।

दरवाजों की संख्या में वृद्धि

निर्णय वृक्ष

खिलाड़ी और मेजबान का संभावित निर्णय वृक्ष, प्रत्येक परिणाम की संभावना दर्शाता है

अधिक औपचारिक रूप से, एक निर्णय वृक्ष का उपयोग करके एक खेल परिदृश्य का वर्णन किया जा सकता है।

पहले दो मामलों में, जब खिलाड़ी पहले उस दरवाजे को चुनता है जिसके पीछे बकरी होती है, पसंद बदलने से जीत होती है। पिछले दो मामलों में, जब खिलाड़ी ने पहली बार कार के साथ दरवाजा चुना, पसंद बदलने से नुकसान हुआ।

कुल संभावना है कि पसंद में बदलाव से जीत होगी, पहले दो परिणामों की संभावनाओं के योग के बराबर है, अर्थात

तदनुसार, संभावना है कि पसंद को बदलने से इनकार करने से जीत होगी बराबर है

इसी तरह का एक प्रयोग करते हुए

यह सुनिश्चित करने का एक आसान तरीका है कि मूल पसंद को बदलने से औसतन तीन में से दो बार जीत होती है। ऐसा करने के लिए, आप प्लेइंग कार्ड्स का उपयोग करके मोंटी हॉल समस्या में वर्णित गेम का अनुकरण कर सकते हैं। एक व्यक्ति (कार्ड बांटने वाला) अग्रणी मोंटी हॉल की भूमिका निभाता है, और दूसरा - खिलाड़ी की भूमिका। खेल के लिए तीन कार्ड लिए जाते हैं, जिनमें से एक कार के साथ एक दरवाजे को दर्शाता है (उदाहरण के लिए, हुकुम का इक्का), और दो अन्य जो समान हैं (उदाहरण के लिए, दो लाल ड्यूस) बकरियों के साथ दरवाजे हैं।

मेजबान तीन कार्ड नीचे की ओर रखता है, खिलाड़ी को एक कार्ड लेने के लिए आमंत्रित करता है। खिलाड़ी द्वारा एक कार्ड चुनने के बाद, लीडर बाकी बचे दो कार्डों को देखता है और लाल ड्यूस दिखाता है। उसके बाद, खिलाड़ी और नेता द्वारा छोड़े गए कार्ड खोले जाते हैं, और यदि खिलाड़ी द्वारा चुना गया कार्ड हुकुम का इक्का है, तो विकल्प के पक्ष में एक बिंदु दर्ज किया जाता है जब खिलाड़ी अपनी पसंद नहीं बदलता है, और यदि खिलाड़ी के पास एक लाल ड्यूस होता है, और नेता के पास हुकुम का इक्का होता है, फिर खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद बदलने पर विकल्प के पक्ष में एक बिंदु बनाया जाता है। यदि हम खेल के ऐसे कई दौर खेलते हैं, तो दो विकल्पों के पक्ष में अंकों के बीच का अनुपात इन विकल्पों की संभावनाओं के अनुपात को अच्छी तरह से दर्शाता है। इस मामले में, यह पता चला है कि प्रारंभिक पसंद को बदलने के पक्ष में अंकों की संख्या लगभग दोगुनी है।

ऐसा प्रयोग न केवल यह सुनिश्चित करता है कि पसंद बदलने पर जीतने की संभावना दोगुनी हो, बल्कि यह भी अच्छी तरह से दिखाता है कि ऐसा क्यों होता है। उस समय जब खिलाड़ी ने अपने लिए एक कार्ड चुना है, यह पहले से ही निर्धारित है कि हुकुम का इक्का उसके हाथ में है या नहीं। नेता द्वारा कार्डों में से किसी एक को आगे खोलने से स्थिति में बदलाव नहीं होता है - खिलाड़ी पहले से ही अपने हाथ में कार्ड रखता है, और नेता के कार्यों की परवाह किए बिना यह वहीं रहता है। खिलाड़ी के लिए तीन कार्डों में से हुकुम का इक्का चुनने की संभावना स्पष्ट रूप से 1/3 है, और इस प्रकार इसे न चुनने की संभावना (और फिर खिलाड़ी जीत जाएगा यदि वह प्रारंभिक पसंद बदलता है) 2/3 है।

उल्लेख

फिल्म इक्कीस में, शिक्षक, मिकी रोजा, मुख्य पात्र बेन को एक पहेली हल करने की चुनौती देता है: तीन दरवाजों के पीछे दो स्कूटर और एक कार है; कार जीतने के लिए आपको दरवाजे का अनुमान लगाना होगा। पहली पसंद के बाद, मिकी पसंद बदलने की पेशकश करता है। बेन सहमत है और गणितीय रूप से अपने फैसले को सही ठहराता है। इसलिए वह अनजाने में मिक्की की टीम के लिए परीक्षा पास कर लेता है।

सर्गेई लुक्यानेंको के उपन्यास "नेडोटेपा" में, मुख्य पात्र, इस तकनीक का उपयोग करते हुए, एक गाड़ी और अपनी यात्रा जारी रखने का अवसर जीतते हैं।

टेलीविज़न श्रृंखला 4isla (मैन हंट के सीज़न 1 का एपिसोड 13) में, मुख्य पात्रों में से एक, चार्ली एप्स, गणित पर एक लोकप्रिय व्याख्यान में मोंटी हॉल विरोधाभास की व्याख्या करता है, स्पष्ट रूप से इसे बकरियों के साथ मार्कर बोर्ड और एक कार पर चित्रित करके दिखाता है। विपरीत पक्ष। चार्ली चयन बदलकर कार ढूंढता है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वह केवल एक प्रयोग चलाता है, जबकि बदलाव की रणनीति का लाभ सांख्यिकीय है, और प्रयोगों की एक श्रृंखला को सही ढंग से प्रदर्शित करने के लिए चलाया जाना चाहिए।

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

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