Trovare un multiplo comune di due numeri. Minimo comune multiplo (LCM)
Massimo comun divisore
Definizione 2
Se un numero naturale a è divisibile per un numero naturale $b$, allora $b$ è detto divisore di $a$ e il numero $a$ è detto multiplo di $b$.
Siano $a$ e $b$ numeri naturali. Il numero $c$ è detto divisore comune sia per $a$ che per $b$.
L'insieme dei divisori comuni dei numeri $a$ e $b$ è finito, poiché nessuno di questi divisori può essere maggiore di $a$. Ciò significa che tra questi divisori c'è il più grande, che si chiama massimo comun divisore dei numeri $a$ e $b$, e la notazione è usata per denotarlo:
$mcd \ (a;b) \ o \ D \ (a;b)$
Per trovare il massimo comune divisore di due numeri:
- Trova il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il massimo comune divisore desiderato.
Esempio 1
Trova il MCD dei numeri $121$ e $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Scegli i numeri che sono inclusi nell'espansione di questi numeri
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Trova il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il massimo comune divisore desiderato.
$mcd=2\cdot 11=22$
Esempio 2
Trova il MCD dei monomi $63$ e $81$.
Troveremo secondo l'algoritmo presentato. Per questo:
Scomponiamo i numeri in fattori primi
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Selezioniamo i numeri che sono inclusi nell'espansione di questi numeri
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Troviamo il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il massimo comune divisore desiderato.
$mcd=3\cdot 3=9$
Puoi trovare il MCD di due numeri in un altro modo, usando l'insieme dei divisori di numeri.
Esempio 3
Trova il MCD dei numeri $48$ e $60$.
Soluzione:
Trova l'insieme dei divisori di $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Ora troviamo l'insieme dei divisori di $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Troviamo l'intersezione di questi insiemi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - questo insieme determinerà l'insieme dei divisori comuni dei numeri $48$ e $60 $. L'elemento più grande in questo set sarà il numero $12$. Quindi il massimo comune divisore di $48$ e $60$ è $12$.
Definizione NOC
Definizione 3
multiplo comune di numeri naturali$a$ e $b$ è un numero naturale multiplo sia di $a$ che di $b$.
I multipli comuni di numeri sono numeri divisibili per l'originale senza resto.Ad esempio, per i numeri $25$ e $50$, i multipli comuni saranno i numeri $50,100,150,200$, ecc.
Il minimo comune multiplo sarà chiamato minimo comune multiplo e indicato con MCM$(a;b)$ o K$(a;b).$
Per trovare l'LCM di due numeri, è necessario:
- Scomporre i numeri in fattori primi
- Scrivi i fattori che fanno parte del primo numero e aggiungi ad essi i fattori che fanno parte del secondo e non vanno al primo
Esempio 4
Trova il LCM dei numeri $99$ e $77$.
Troveremo secondo l'algoritmo presentato. Per questo
Scomporre i numeri in fattori primi
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Annota i fattori inclusi nel primo
aggiungi a loro fattori che fanno parte del secondo e non vanno al primo
Trova il prodotto dei numeri trovati nel passaggio 2. Il numero risultante sarà il minimo comune multiplo desiderato
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
La compilazione di elenchi di divisori di numeri richiede spesso molto tempo. C'è un modo per trovare MCD chiamato algoritmo di Euclide.
Dichiarazioni su cui si basa l'algoritmo di Euclide:
Se $a$ e $b$ sono numeri naturali e $a\vpunti b$, allora $D(a;b)=b$
Se $a$ e $b$ sono numeri naturali tali che $b
Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, possiamo diminuire successivamente i numeri in esame fino a raggiungere una coppia di numeri tale che uno di essi sia divisibile per l'altro. Quindi il più piccolo di questi numeri sarà il massimo comune divisore desiderato per i numeri $a$ e $b$.
Proprietà di MCD e MCM
- Qualsiasi multiplo comune di $a$ e $b$ è divisibile per K$(a;b)$
- Se $a\vdots b$ , allora K$(a;b)=a$
Se K$(a;b)=k$ e $m$-numero naturale, allora K$(am;bm)=km$
Se $d$ è un divisore comune per $a$ e $b$, allora K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Se $a\vdots c$ e $b\vdots c$ , allora $\frac(ab)(c)$ è un multiplo comune di $a$ e $b$
Per ogni numero naturale $a$ e $b$ l'uguaglianza
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Qualsiasi divisore comune di $a$ e $b$ è un divisore di $D(a;b)$
Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo sono concetti aritmetici chiave che ti consentono di operare senza sforzo frazioni ordinarie. LCM e sono più spesso usati per trovare il denominatore comune di diverse frazioni.
Concetti basilari
Il divisore di un intero X è un altro intero Y per il quale X è divisibile senza resto. Ad esempio, il divisore di 4 è 2 e 36 è 4, 6, 9. Un multiplo dell'intero X è un numero Y divisibile per X senza resto. Ad esempio, 3 è un multiplo di 15 e 6 è un multiplo di 12.
Per ogni coppia di numeri, possiamo trovare i loro divisori comuni e multipli. Ad esempio, per 6 e 9, il multiplo comune è 18 e il divisore comune è 3. Ovviamente, le coppie possono avere diversi divisori e multipli, quindi nei calcoli vengono utilizzati il divisore più grande del MCD e il multiplo più piccolo del MCM .
Il divisore più piccolo non ha senso, poiché per qualsiasi numero è sempre uno. Anche il multiplo più grande è privo di significato, poiché la sequenza dei multipli tende all'infinito.
Trovare MCD
Esistono molti metodi per trovare il massimo comune divisore, i più famosi dei quali sono:
- enumerazione sequenziale dei divisori, selezione di quelli comuni per una coppia e ricerca del più grande di essi;
- scomposizione dei numeri in fattori indivisibili;
- l'algoritmo di Euclide;
- algoritmo binario.
Oggi alle istituzioni educative i più popolari sono i metodi di scomposizione in fattori primi e l'algoritmo di Euclide. Quest'ultimo, a sua volta, viene utilizzato per risolvere le equazioni diofantee: la ricerca di MCD è necessaria per verificare l'equazione per la possibilità di risolverla in numeri interi.
Trovare il NOC
Il minimo comune multiplo è anche determinato esattamente dall'enumerazione iterativa o dalla fattorizzazione in fattori indivisibili. Inoltre, è facile trovare l'LCM se il divisore più grande è già stato determinato. Per i numeri X e Y, MCM e MCD sono legati dalla seguente relazione:
MCM(X,Y) = X × Y / MCM(X,Y).
Ad esempio, se MCD(15,18) = 3, allora MCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. L'uso più ovvio di MCM è trovare il denominatore comune, che è il minimo comune multiplo del frazioni date.
Numeri coprimi
Se una coppia di numeri non ha divisori comuni, tale coppia si chiama coprimo. Il MCM per tali coppie è sempre uguale a uno e, in base alla connessione di divisori e multipli, il MCM per coprimi è uguale al loro prodotto. Ad esempio, i numeri 25 e 28 sono coprimi, perché non hanno divisori comuni, e MCM(25, 28) = 700, che corrisponde al loro prodotto. Due numeri indivisibili saranno sempre coprimi.
Comune Divisore e Calcolatrice Multipla
Con il nostro calcolatore puoi calcolare MCD e MCM per qualsiasi numero di numeri tra cui scegliere. I compiti per il calcolo di divisori e multipli comuni si trovano nell'aritmetica dei gradi 5, 6, tuttavia, MCD e LCM - concetti chiave matematica e sono usati nella teoria dei numeri, nella planimetria e nell'algebra comunicativa.
Esempi di vita reale
Comune denominatore delle frazioni
Il minimo comune multiplo viene utilizzato per trovare il comune denominatore di più frazioni. Supponiamo che in un problema aritmetico sia necessario sommare 5 frazioni:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Per sommare le frazioni, l'espressione deve essere ridotta a un comune denominatore, il che si riduce al problema di trovare il MCM. Per fare ciò, seleziona 5 numeri nella calcolatrice e inserisci i valori del denominatore nelle celle appropriate. Il programma calcolerà MCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ora devi calcolare ulteriori fattori per ogni frazione, che sono definiti come il rapporto tra MCM e denominatore. Quindi i moltiplicatori extra sarebbero simili a:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Successivamente, moltiplichiamo tutte le frazioni per il fattore aggiuntivo corrispondente e otteniamo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Possiamo facilmente aggiungere tali frazioni e ottenere il risultato sotto forma di 159/360. Riduciamo la frazione di 3 e vediamo la risposta finale - 53/120.
Soluzione di equazioni diofantee lineari
Le equazioni diofantee lineari sono espressioni della forma ax + by = d. Se il rapporto d/mcd(a, b) è un numero intero, allora l'equazione è risolvibile in numeri interi. Controlliamo un paio di equazioni per la possibilità di una soluzione intera. Innanzitutto, controlla l'equazione 150x + 8y = 37. Usando una calcolatrice, troviamo MCD (150,8) = 2. Dividi 37/2 = 18,5. Il numero non è un numero intero, quindi l'equazione non ha radici intere.
Controlliamo l'equazione 1320x + 1760y = 10120. Usa la calcolatrice per trovare MCD(1320, 1760) = 440. Dividi 10120/440 = 23. Di conseguenza, otteniamo un numero intero, quindi l'equazione diofantina è risolvibile in coefficienti interi .
Conclusione
MCD e LCM svolgono un ruolo importante nella teoria dei numeri e i concetti stessi sono ampiamente utilizzati in varie aree della matematica. Usa la nostra calcolatrice per calcolare i divisori più grandi e i multipli più piccoli di qualsiasi numero di numeri.
Il minimo comune multiplo di due numeri è direttamente correlato al massimo comune divisore di quei numeri. Questo collegamento tra GCD e NOCè definito dal seguente teorema.
Teorema.
Il minimo comune multiplo di due numeri interi positivi a e b è uguale al prodotto di a e b diviso per il massimo comune divisore di a e b, ovvero, MCM(a, b)=a b: MCM(a, b).
Prova.
Permettere M è un multiplo dei numeri a e b. Cioè, M è divisibile per a, e per definizione di divisibilità, c'è qualche intero k tale che l'uguaglianza M=a·k è vera. Ma M è anche divisibile per b, quindi ak è divisibile per b.
Indichiamo MCD(a, b) come d . Quindi possiamo scrivere le uguaglianze a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:d e b 1 =b:d saranno numeri coprimi. Pertanto, la condizione ottenuta nel paragrafo precedente che a k sia divisibile per b può essere riformulata come segue: a 1 d k è divisibile per b 1 d , e ciò, per le proprietà di divisibilità, equivale alla condizione che a 1 k è divisibile per b 1 .
Abbiamo anche bisogno di annotare due importanti corollari dal teorema considerato.
I multipli comuni di due numeri sono uguali ai multipli del loro minimo comune multiplo.
Questo è vero, poiché qualsiasi multiplo comune di M numeri a e b è definito dall'uguaglianza M=LCM(a, b) t per un valore intero t .
Minimo comune multiplo di coprimo numeri positivi a e b è uguale al loro prodotto.
La motivazione di questo fatto è abbastanza ovvia. Poiché a e b sono coprimi, allora gcd(a, b)=1 , quindi, MCM(a, b)=a b: MCD(a, b)=a b:1=a b.
Minimo comune multiplo di tre o più numeri
La ricerca del minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere ridotta alla ricerca successiva del MCM di due numeri. Come ciò avvenga è indicato nel seguente teorema: a 1 , a 2 , …, a k coincidono con multipli comuni dei numeri m k-1 e a k , quindi, coincidono con multipli di m k . E poiché il minimo multiplo positivo del numero m k è il numero m k stesso, allora il minimo comune multiplo dei numeri a 1 , a 2 , …, a k è m k .
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. ecc. Matematica. Grado 6: libro di testo per istituzioni educative.
- Vinogradov I.M. Fondamenti di teoria dei numeri.
- Mikhailovich Sh.Kh. Teoria dei numeri.
- Kulikov L.Ya. e altri Raccolta di problemi di algebra e teoria dei numeri: Esercitazione per studenti di fisica e matematica. specialità degli istituti pedagogici.
Per capire come calcolare l'LCM, dovresti prima determinare il significato del termine "multiplo".
Un multiplo di A è un numero naturale divisibile senza resto per A. Pertanto, 15, 20, 25 e così via possono essere considerati multipli di 5.
Può esserci un numero limitato di divisori di un numero particolare, ma esiste un numero infinito di multipli.
Un multiplo comune di numeri naturali è un numero divisibile per essi senza resto.
Come trovare il minimo comune multiplo di numeri
Il minimo comune multiplo (MCM) di numeri (due, tre o più) è il più piccolo numero naturale divisibile uniformemente per tutti questi numeri.
Per trovare il NOC, puoi utilizzare diversi metodi.
Per i numeri piccoli, è conveniente scrivere in una riga tutti i multipli di questi numeri fino a trovarne uno comune. I multipli denotano nel record lettera maiuscola A.
Ad esempio, i multipli di 4 possono essere scritti in questo modo:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Quindi, puoi vedere che il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6 è il numero 24. Questa voce viene eseguita come segue:
MCM(4, 6) = 24
Se i numeri sono grandi, trova il multiplo comune di tre o più numeri, quindi è meglio usare un altro modo per calcolare l'LCM.
Per completare l'attività, è necessario scomporre i numeri proposti in fattori primi.
Per prima cosa devi scrivere l'espansione del più grande dei numeri in una riga, e sotto di essa - il resto.
Nell'espansione di ciascun numero, potrebbe esserci un numero diverso di fattori.
Ad esempio, scomponiamo i numeri 50 e 20 in fattori primi.
Nell'espansione del numero minore vanno sottolineati fattori che sono assenti nell'espansione del primo. un largo numero e poi aggiungerli ad esso. Nell'esempio presentato manca un due.
Ora possiamo calcolare il minimo comune multiplo di 20 e 50.
MCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Pertanto, il prodotto dei fattori primi del numero maggiore e dei fattori del secondo numero, che non sono inclusi nella scomposizione del numero maggiore, sarà il minimo comune multiplo.
Per trovare il mcm di tre o più numeri occorre scomporli tutti in fattori primi, come nel caso precedente.
Ad esempio, puoi trovare il minimo comune multiplo dei numeri 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Pertanto, solo due due dalla scomposizione di sedici non sono stati inclusi nella fattorizzazione di un numero maggiore (uno è nella scomposizione di ventiquattro).
Pertanto, devono essere aggiunti alla decomposizione di un numero maggiore.
MCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Ci sono casi speciali di determinazione del minimo comune multiplo. Quindi, se uno dei numeri può essere diviso senza resto per un altro, allora il più grande di questi numeri sarà il minimo comune multiplo.
Ad esempio, i NOC di dodici e ventiquattro sarebbero ventiquattro.
Se è necessario trovare il minimo comune multiplo di numeri coprimi che non hanno gli stessi divisori, allora il loro MCM sarà uguale al loro prodotto.
Ad esempio, LCM(10, 11) = 110.
Continuiamo la discussione sul minimo comune multiplo che abbiamo iniziato nella sezione LCM - Minimo comune multiplo, definizione, esempi. In questo argomento, esamineremo i modi per trovare l'LCM per tre o più numeri, analizzeremo la domanda su come trovare l'LCM di un numero negativo.
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Calcolo del minimo comune multiplo (MCM) tramite MCD
Abbiamo già stabilito la relazione tra minimo comune multiplo e massimo comun divisore. Ora impariamo come definire l'LCM attraverso il MCD. Per prima cosa, scopriamo come farlo per i numeri positivi.
Definizione 1
Puoi trovare il minimo comune multiplo attraverso il massimo comune divisore usando la formula LCM (a, b) \u003d a b: MCD (a, b) .
Esempio 1
È necessario trovare l'LCM dei numeri 126 e 70.
Soluzione
Prendiamo a = 126 , b = 70 . Sostituisci i valori nella formula per il calcolo del minimo comune multiplo attraverso il massimo comune divisore LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .
Trova il MCD dei numeri 70 e 126. Per questo abbiamo bisogno dell'algoritmo di Euclide: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , quindi MCD (126 , 70) = 14 .
Calcoliamo il MCM: MCM (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Risposta: MC (126, 70) = 630.
Esempio 2
Trova il nok dei numeri 68 e 34.
Soluzione
GCD dentro questo caso Trovarlo è facile, poiché 68 è divisibile per 34. Calcola il minimo comune multiplo utilizzando la formula: MCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Risposta: MCM(68, 34) = 68.
In questo esempio, abbiamo utilizzato la regola per trovare il minimo comune multiplo degli interi positivi aeb: se il primo numero è divisibile per il secondo, allora il MCM di questi numeri sarà uguale al primo numero.
Trovare l'LCM fattorizzando i numeri in fattori primi
Ora diamo un'occhiata a un modo per trovare l'LCM, che si basa sulla scomposizione dei numeri in fattori primi.
Definizione 2
Per trovare il minimo comune multiplo, dobbiamo eseguire una serie di semplici passaggi:
- facciamo il prodotto di tutti i fattori primi di numeri per i quali dobbiamo trovare il MCM;
- escludiamo tutti i fattori primi dai loro prodotti ottenuti;
- il prodotto ottenuto dopo aver eliminato i fattori primi comuni sarà uguale al MCM dei numeri dati.
Questo modo di trovare il minimo comune multiplo si basa sull'uguaglianza MCM (a , b) = a b: MCD (a , b) . Se guardi la formula, diventerà chiaro: il prodotto dei numeri a e b è uguale al prodotto di tutti i fattori coinvolti nell'espansione di questi due numeri. In questo caso, il MCD di due numeri è uguale al prodotto di tutti i fattori primi che sono contemporaneamente presenti nelle fattorizzazioni di questi due numeri.
Esempio 3
Abbiamo due numeri 75 e 210 . Possiamo scomporli in questo modo: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Se fai il prodotto di tutti i divisori dei due numeri originali, ottieni: 2 3 3 5 5 5 7.
Se escludiamo i fattori comuni a entrambi i numeri 3 e 5, otteniamo un prodotto della seguente forma: 2 3 5 5 7 = 1050. Questo prodotto sarà il nostro LCM per i numeri 75 e 210.
Esempio 4
Trova il MCM dei numeri 441 E 700 , scomponendo entrambi i numeri in fattori primi.
Soluzione
Troviamo tutti i fattori primi dei numeri dati nella condizione:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Otteniamo due catene di numeri: 441 = 3 3 7 7 e 700 = 2 2 5 5 7 .
Il prodotto di tutti i fattori che hanno partecipato all'espansione di questi numeri sarà simile a: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Troviamo i fattori comuni. Questo numero è 7 . Escludiamolo da prodotto comune: 2 2 3 3 5 5 7 7. Si scopre che NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Risposta: MCM (441 , 700) = 44 100 .
Diamo un'altra formulazione del metodo per trovare l'LCM scomponendo i numeri in fattori primi.
Definizione 3
In precedenza, abbiamo escluso dal numero totale di fattori comuni a entrambi i numeri. Ora lo faremo in modo diverso:
- Scomponiamo entrambi i numeri in fattori primi:
- sommare al prodotto dei fattori primi del primo numero i fattori mancanti del secondo numero;
- otteniamo il prodotto, che sarà il MCM desiderato di due numeri.
Esempio 5
Torniamo ai numeri 75 e 210 , per i quali abbiamo già cercato l'LCM in uno degli esempi precedenti. Dividiamoli in fattori semplici: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Al prodotto dei fattori 3 , 5 e 5 il numero 75 aggiunge i fattori mancanti 2 E 7 numeri 210 . Noi abbiamo: 2 3 5 5 7 . Questo è il LCM dei numeri 75 e 210.
Esempio 6
È necessario calcolare il MCM dei numeri 84 e 648.
Soluzione
Scomponiamo i numeri dalla condizione in fattori primi: 84 = 2 2 3 7 E 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Aggiungi al prodotto dei fattori 2 , 2 , 3 e 7
numeri 84 fattori mancanti 2 , 3 , 3 e
3
numeri 648 . Otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Questo è il minimo comune multiplo di 84 e 648.
Risposta: MC (84, 648) = 4536.
Trovare il MCM di tre o più numeri
Indipendentemente da quanti numeri abbiamo a che fare, l'algoritmo delle nostre azioni sarà sempre lo stesso: troveremo costantemente l'LCM di due numeri. C'è un teorema per questo caso.
Teorema 1
Supponiamo di avere numeri interi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k di questi numeri si trova nel calcolo sequenziale m 2 = MCM (a 1 , a 2) , m 3 = MCM (m 2 , a 3) , … , m k = MCM (m k − 1 , a k) .
Ora diamo un'occhiata a come il teorema può essere applicato a problemi specifici.
Esempio 7
Devi calcolare il minimo comune multiplo dei quattro numeri 140 , 9 , 54 e 250 .
Soluzione
Introduciamo la notazione: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.
Iniziamo calcolando m 2 = MCM (a 1 , a 2) = MCM (140 , 9) . Usiamo l'algoritmo euclideo per calcolare il MCD dei numeri 140 e 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Otteniamo: MCD(140, 9) = 1, MCM(140, 9) = 140 9: MCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Pertanto, m 2 = 1 260 .
Ora calcoliamo secondo lo stesso algoritmo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Nel corso dei calcoli, otteniamo m 3 = 3 780.
Resta da calcolare m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Agiamo secondo lo stesso algoritmo. Otteniamo m 4 \u003d 94 500.
L'LCM dei quattro numeri della condizione di esempio è 94500 .
Risposta: MCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.
Come puoi vedere, i calcoli sono semplici, ma piuttosto laboriosi. Per risparmiare tempo, puoi andare dall'altra parte.
Definizione 4
Ti offriamo il seguente algoritmo di azioni:
- scomporre tutti i numeri in fattori primi;
- al prodotto dei fattori del primo numero, aggiungi i fattori mancanti dal prodotto del secondo numero;
- sommare i fattori mancanti del terzo numero al prodotto ottenuto nella fase precedente, ecc.;
- il prodotto risultante sarà il minimo comune multiplo di tutti i numeri della condizione.
Esempio 8
È necessario trovare il MCM di cinque numeri 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Soluzione
Scomponiamo tutti e cinque i numeri in fattori primi: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . numeri primi, che è il numero 7 , non può essere scomposto in fattori primi. Tali numeri coincidono con la loro scomposizione in fattori primi.
Ora prendiamo il prodotto dei fattori primi 2, 2, 3 e 7 del numero 84 e aggiungiamo ad essi i fattori mancanti del secondo numero. Abbiamo scomposto il numero 6 in 2 e 3. Questi fattori sono già nel prodotto del primo numero. Pertanto, li omettiamo.
Continuiamo ad aggiungere i moltiplicatori mancanti. Passiamo al numero 48, dal prodotto di fattori primi di cui prendiamo 2 e 2. Quindi aggiungiamo un fattore semplice di 7 dal quarto numero ei fattori di 11 e 13 del quinto. Otteniamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Questo è il minimo comune multiplo dei cinque numeri originali.
Risposta: MCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.
Trovare il minimo comune multiplo di numeri negativi
Per trovare il minimo comune multiplo di numeri negativi, questi numeri devono prima essere sostituiti da numeri con il segno opposto, quindi i calcoli devono essere eseguiti secondo gli algoritmi di cui sopra.
Esempio 9
MCM(54, −34) = MCM(54, 34) e MCM(−622,−46, −54,−888) = MCM(622, 46, 54, 888) .
Tali azioni sono consentite a causa del fatto che se è accettato UN E − un- numeri opposti
quindi l'insieme dei multipli UN coincide con l'insieme dei multipli di un numero − un.
Esempio 10
È necessario calcolare il MCM dei numeri negativi − 145 E − 45 .
Soluzione
Cambiamo i numeri − 145 E − 45 ai loro numeri opposti 145 E 45 . Ora, usando l'algoritmo, calcoliamo il MCM (145 , 45) = 145 45: MCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , avendo precedentemente determinato il MCD usando l'algoritmo di Euclide.
Otteniamo che il MCM dei numeri − 145 e − 45 equivale 1 305 .
Risposta: MCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
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