Confronto della definizione di frazioni. Confronto di frazioni ordinarie

In questa lezione impareremo a confrontare le frazioni tra loro. Questa è un'abilità molto utile che è necessaria per risolvere un'intera classe di problemi più complessi.

Innanzitutto, lascia che ti ricordi la definizione di uguaglianza delle frazioni:

Le frazioni a/b e c/d sono dette uguali se ad = bc.

1. 5/8 = 15/24 perché 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18 perché 3 18 = 2 27 = 54.

In tutti gli altri casi, le frazioni sono disuguali e per esse è vera una delle seguenti affermazioni:

1. La frazione a /b è maggiore della frazione c /d ;
2. La frazione a /b è minore della frazione c /d .

La frazione a/b si dice maggiore della frazione c/d se a/b − c/d > 0.

Una frazione x /y si dice minore di una frazione s /t se x /y − s /t< 0.

Designazione:

Pertanto, il confronto delle frazioni si riduce alla loro sottrazione. Domanda: come non confondersi con la notazione "maggiore di" (>) e "minore di" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. La parte in espansione dell'assegno è sempre diretta verso il numero maggiore;
2. Il naso affilato di una taccola indica sempre un numero inferiore.

Spesso nelle attività in cui si desidera confrontare i numeri, mettono il segno "∨" tra di loro. Questa è una taccola con il naso all'ingiù, che, per così dire, suggerisce: il numero più grande non è stato ancora determinato.

Compito. Confronta i numeri:

Seguendo la definizione, sottraiamo le frazioni l'una dall'altra:

In ogni confronto, dovevamo portare le frazioni a un comune denominatore. In particolare, utilizzando il metodo incrociato e trovando il minimo comune multiplo. Volutamente non mi sono concentrato su questi punti, ma se qualcosa non è chiaro, dai un'occhiata alla lezione " Addizione e sottrazione di frazioni"- è molto semplice.

Confronto decimale

Nel caso delle frazioni decimali, tutto è molto più semplice. Non è necessario sottrarre nulla qui: basta confrontare le cifre. Non sarà superfluo ricordare qual è una parte significativa di un numero. Per coloro che hanno dimenticato, suggerisco di ripetere la lezione " Moltiplicazione e divisione di frazioni decimali"- ci vorranno anche solo un paio di minuti.

Un decimale positivo X è maggiore di un decimale positivo Y se contiene una cifra decimale tale che:

1. La cifra in questa cifra nella frazione X è maggiore della cifra corrispondente nella frazione Y;
2. Tutte le cifre più vecchie di quelle indicate nelle frazioni X e Y sono le stesse.

1. 12.25 > 12.16. Le prime due cifre sono uguali (12 = 12) e la terza è maggiore (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

In altre parole, osserviamo in sequenza le cifre decimali e cerchiamo la differenza. In cui cifra più alta corrisponde anche a una grande frazione.

Tuttavia, questa definizione richiede chiarimenti. Ad esempio, come scrivere e confrontare cifre fino alla virgola decimale? Ricorda: a qualsiasi numero scritto in forma decimale può essere assegnato qualsiasi numero di zeri a sinistra. Ecco un altro paio di esempi:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (noi stiamo parlando circa il livello senior).
2. 2300,5 > 0,0025, perché 0.0025 = 0000.0025 - aggiunti tre zeri a sinistra. Ora puoi vedere che la differenza inizia nel primo bit: 2 > 0.

Naturalmente, negli esempi forniti con zeri c'era un'enumerazione esplicita, ma il significato è esattamente questo: inserisci le cifre mancanti a sinistra e poi confronta.

Compito. Confronta le frazioni:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Per definizione abbiamo:

1. 0,029 > 0,007. Le prime due cifre sono uguali (00 = 00), poi inizia la differenza (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Qui devi contare attentamente gli zeri. Le prime 5 cifre in entrambe le frazioni sono zero, ma più avanti nella prima frazione c'è 3, e nella seconda - 0. Ovviamente, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Riscriviamo la seconda frazione come 0000.99501, aggiungendo 3 zeri a sinistra. Ora tutto è ovvio: 1 > 0 - la differenza si trova nella prima cifra.

Sfortunatamente, lo schema sopra per confrontare le frazioni decimali non è universale. Questo metodo può solo confrontare numeri positivi. Nel caso generale, l'algoritmo di lavoro è il seguente:

1. Una frazione positiva è sempre maggiore di una negativa;
2. Due frazioni positive vengono confrontate secondo l'algoritmo di cui sopra;
3. Due frazioni negative vengono confrontate allo stesso modo, ma alla fine il segno di disuguaglianza viene invertito.

Beh, non è debole? Ora considera esempi concreti- e tutto diventerà chiaro.

Compito. Confronta le frazioni:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0,192 > -0,39. Le frazioni sono negative, 2 cifre sono diverse. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. numero positivo sempre più negativo;
4. 19,032 > 0,091. Basta riscrivere la seconda frazione nella forma 00.091 per vedere che la differenza avviene già in 1 cifra;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. La differenza è nella prima categoria.

Continuiamo a studiare le frazioni. Oggi parleremo del loro confronto. L'argomento è interessante e utile. Permetterà al principiante di sentirsi uno scienziato in camice bianco.

L'essenza del confronto tra frazioni è scoprire quale delle due frazioni è maggiore o minore.

Per rispondere alla domanda quale delle due frazioni è maggiore o minore, usa come più (>) o meno (<).

I matematici si sono già occupati di regole già pronte che consentono di rispondere immediatamente alla domanda su quale frazione è maggiore e quale frazione è minore. Queste regole possono essere tranquillamente applicate.

Esamineremo tutte queste regole e proveremo a capire perché questo accade.

Contenuto della lezione

Confrontare frazioni con gli stessi denominatori

Le frazioni da confrontare risultano diverse. Il caso di maggior successo è quando le frazioni hanno gli stessi denominatori, ma numeratori diversi. In questo caso vale la seguente regola:

Di due frazioni con lo stesso denominatore, la frazione più grande è quella con il numeratore più grande. E di conseguenza, sarà la frazione più piccola, in cui il numeratore è più piccolo.

Ad esempio, confrontiamo le frazioni e rispondiamo a quale di queste frazioni è maggiore. Qui i denominatori sono gli stessi, ma i numeratori sono diversi. Una frazione ha un numeratore più grande di una frazione. Quindi la frazione è maggiore di . Quindi rispondiamo. Rispondi utilizzando l'icona Altro (>)

Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo alle pizze che sono divise in quattro parti. più pizze che pizze:

Tutti saranno d'accordo che la prima pizza è più grande della seconda.

Confrontare frazioni con lo stesso numeratore

Il prossimo caso in cui possiamo entrare è quando i numeratori delle frazioni sono gli stessi, ma i denominatori sono diversi. Per tali casi, è prevista la seguente regola:

Di due frazioni con lo stesso numeratore, la frazione con il denominatore più piccolo è maggiore. La frazione con il denominatore maggiore è quindi minore.

Ad esempio, confrontiamo frazioni e . Queste frazioni hanno lo stesso numeratore. Una frazione ha un denominatore più piccolo di una frazione. Quindi la frazione è maggiore della frazione. Quindi rispondiamo:

Questo esempio è facilmente comprensibile se pensiamo alle pizze che si dividono in tre e quattro parti. più pizze che pizze:

Tutti concordano sul fatto che la prima pizza è più grande della seconda.

Confrontare frazioni con numeratori e denominatori diversi

Capita spesso di dover confrontare frazioni con numeratori e denominatori diversi.

Ad esempio, confronta frazioni e . Per rispondere alla domanda quale di queste frazioni è maggiore o minore, devi portarle allo stesso (comune) denominatore. Quindi sarà facile determinare quale frazione è maggiore o minore.

Portiamo le frazioni allo stesso (comune) denominatore. Trova (MCM) i denominatori di entrambe le frazioni. Il MCM dei denominatori delle frazioni e quel numero è 6.

Ora troviamo ulteriori fattori per ogni frazione. Dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 6, e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividendo 6 per 2, otteniamo un ulteriore fattore 3. Lo scriviamo sopra la prima frazione:

Ora troviamo il secondo fattore aggiuntivo. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 6, e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividendo 6 per 3, otteniamo un ulteriore fattore 2. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:

Moltiplica le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come confrontare tali frazioni. Di due frazioni con gli stessi denominatori, la frazione più grande è quella con il numeratore più grande:

La regola è la regola, e cercheremo di capire perché più di . Per fare ciò, seleziona la parte intera nella frazione. Non è necessario selezionare nulla nella frazione, poiché questa frazione è già regolare.

Dopo aver selezionato la parte intera nella frazione, otteniamo la seguente espressione:

Ora puoi facilmente capire perché più di . Disegniamo queste frazioni sotto forma di pizze:

2 pizze intere e pizze, più che pizze.

Sottrazione di numeri misti. Casi difficili.

Quando sottrai numeri misti, a volte ti accorgi che le cose non vanno come vorresti. Accade spesso che quando si risolve un esempio, la risposta non sia quella che dovrebbe essere.

Quando si sottrae un numero, il minuendo deve essere maggiore del sottraendo. Solo in questo caso si riceverà una normale risposta.

Ad esempio, 10−8=2

10 - ridotto

8 - sottratto

2 - differenza

Il meno 10 è maggiore dell'8 sottratto, quindi abbiamo ottenuto la normale risposta 2.

Ora vediamo cosa succede se il minuendo è minore del sottraendo. Esempio 5−7=−2

5 - ridotto

7 - sottratto

−2 è la differenza

In questo caso andiamo oltre i numeri a cui siamo abituati e ci ritroviamo nel mondo dei numeri negativi, dove è troppo presto per camminare, e anche pericoloso. Per lavorare con i numeri negativi, è necessario il background matematico appropriato, che non abbiamo ancora ricevuto.

Se, quando risolvi esempi per la sottrazione, scopri che il minuendo è minore del sottraendo, allora puoi saltare un esempio del genere per ora. È consentito lavorare con numeri negativi solo dopo averli studiati.

La situazione è la stessa con le frazioni. Il minuendo deve essere maggiore del sottraendo. Solo in questo caso sarà possibile ottenere una risposta normale. E per capire se la frazione ridotta è maggiore di quella sottratta, devi essere in grado di confrontare queste frazioni.

Ad esempio, risolviamo un esempio.

Questo è un esempio di sottrazione. Per risolverlo, devi verificare se la frazione ridotta è maggiore di quella sottratta. più di

quindi possiamo tranquillamente tornare all'esempio e risolverlo:

Ora risolviamo questo esempio

Controlla se la frazione ridotta è maggiore di quella sottratta. Scopriamo che è minore:

In questo caso, è più ragionevole interrompere e non continuare ulteriori calcoli. Torneremo su questo esempio quando studieremo i numeri negativi.

È anche auspicabile controllare i numeri misti prima della sottrazione. Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione .

Innanzitutto, controlla se il numero misto ridotto è maggiore di quello sottratto. Per fare ciò, traduciamo numeri misti in frazioni improprie:

Abbiamo frazioni con numeratori e denominatori diversi. Per confrontare tali frazioni, devi portarle allo stesso denominatore (comune). Non descriveremo in dettaglio come farlo. Se hai problemi, assicurati di ripetere.

Dopo aver ridotto le frazioni allo stesso denominatore, otteniamo la seguente espressione:

Ora dobbiamo confrontare frazioni e . Queste sono frazioni con gli stessi denominatori. Di due frazioni con lo stesso denominatore, la frazione più grande è quella con il numeratore più grande.

Una frazione ha un numeratore più grande di una frazione. Quindi la frazione è maggiore della frazione.

Ciò significa che il minuendo è maggiore del sottraendo.

Quindi possiamo tornare al nostro esempio e risolverlo coraggiosamente:

Esempio 3 Trova il valore di un'espressione

Controlla se il minuendo è maggiore del sottraendo.

Converti numeri misti in frazioni improprie:

Abbiamo frazioni con numeratori e denominatori diversi. Portiamo queste frazioni allo stesso (comune) denominatore.

Di due frazioni con lo stesso denominatore, quella con il numeratore più grande è la più grande e quella con il numeratore più piccolo è la più piccola.. Infatti, dopotutto, il denominatore mostra in quante parti è stato diviso un intero valore, e il numeratore mostra quante di queste parti sono state prese.

Si scopre che ogni intero cerchio è stato diviso per lo stesso numero 5 , ma hanno preso un numero diverso di parti: ne hanno prese di più - una grande frazione e si è scoperto.

Di due frazioni con lo stesso numeratore, quella con il denominatore più piccolo è la più grande e quella con il denominatore più grande è la più piccola. Bene, infatti, se dividiamo un cerchio in 8 parti e l'altro 5 parti e prendi una parte da ciascuno dei cerchi. Quale parte sarà più grande?

Certo, da un cerchio diviso per 5 parti! Ora immagina che non condividessero cerchi, ma torte. Quale brano preferiresti, più precisamente, quale quota: la quinta o l'ottava?

Per confrontare frazioni con numeratori e denominatori diversi, devi ridurre le frazioni al minimo comune denominatore, quindi confrontare le frazioni con gli stessi denominatori.

Esempi. Confronta le frazioni ordinarie:

Portiamo queste frazioni al minimo comune denominatore. NOZ(4 ; 6)=12. Troviamo ulteriori fattori per ciascuna delle frazioni. Per la prima frazione, un ulteriore moltiplicatore 3 (12: 4=3 ). Per la seconda frazione, un ulteriore moltiplicatore 2 (12: 6=2 ). Ora confrontiamo i numeratori delle due frazioni risultanti con gli stessi denominatori. Poiché il numeratore della prima frazione è minore del numeratore della seconda frazione ( 9<10) , allora la prima frazione stessa è minore della seconda frazione.

Questo articolo si occupa del confronto delle frazioni. Qui scopriremo quale delle frazioni è maggiore o minore, applicheremo la regola e analizzeremo esempi della soluzione. Confronta frazioni con denominatori uguali e diversi. Confrontiamo una frazione ordinaria con un numero naturale.

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Confrontare frazioni con gli stessi denominatori

Quando confrontiamo frazioni con gli stessi denominatori, lavoriamo solo con il numeratore, il che significa che confrontiamo frazioni di un numero. Se c'è una frazione 3 7 , allora ha 3 parti 1 7 , allora la frazione 8 7 ha 8 di queste parti. In altre parole, se il denominatore è lo stesso, si confrontano i numeratori di queste frazioni, cioè 3 7 e 8 7 si confrontano i numeri 3 e 8.

Ciò implica la regola per confrontare le frazioni con gli stessi denominatori: delle frazioni disponibili con gli stessi indicatori, quella più grande è considerata quella il cui numeratore è più grande e viceversa.

Questo suggerisce che dovresti prestare attenzione ai numeratori. Per fare ciò, considera un esempio.

Esempio 1

Confronta le frazioni date 65 126 e 87 126 .

Soluzione

Poiché i denominatori delle frazioni sono gli stessi, passiamo ai numeratori. Dai numeri 87 e 65 è ovvio che 65 è meno. In base alla regola per confrontare le frazioni con gli stessi denominatori, abbiamo che 87126 è maggiore di 65126.

Risposta: 87 126 > 65 126 .

Confrontare frazioni con denominatori diversi

Il confronto di tali frazioni può essere confrontato con il confronto di frazioni con gli stessi esponenti, ma c'è una differenza. Ora dobbiamo ridurre le frazioni a un comune denominatore.

Se ci sono frazioni con denominatori diversi, per confrontarle è necessario:

• trovare un comune denominatore;
• confrontare le frazioni.

Diamo un'occhiata a questi passaggi con un esempio.

Esempio 2

Confronta le frazioni 5 12 e 9 16 .

Soluzione

Il primo passo è portare le frazioni a un comune denominatore. Questo viene fatto in questo modo: viene trovato l'LCM, cioè il più piccolo divisore comune, 12 e 16 . Questo numero è 48. È necessario inscrivere ulteriori fattori alla prima frazione 5 12, questo numero si trova dal quoziente 48: 12 = 4, per la seconda frazione 9 16 - 48: 16 = 3. Scriviamolo così: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 e 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Dopo aver confrontato le frazioni, otteniamo 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Risposta: 5 12 < 9 16 .

C'è un altro modo per confrontare le frazioni con denominatori diversi. Viene eseguito senza riduzione a un comune denominatore. Diamo un'occhiata a un esempio. Per confrontare le frazioni a b e c d, riduciamo a un denominatore comune, quindi b · d, cioè il prodotto di questi denominatori. Quindi i fattori aggiuntivi per le frazioni saranno i denominatori della frazione vicina. Questo è scritto come a · d b · d e c · b d · b . Usando la regola con gli stessi denominatori, abbiamo che il confronto delle frazioni è stato ridotto ai confronti dei prodotti a·d ec·b. Da qui otteniamo la regola per confrontare frazioni con denominatori diversi: se a d > b c, allora a b > c d, ma se a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Esempio 3

Confronta le frazioni 5 18 e 23 86.

Soluzione

Questo esempio ha a = 5 , b = 18 , c = 23 e d = 86 . Allora è necessario calcolare a · d e b · c . Ne consegue che a d = 5 86 = 430 e b c = 18 23 = 414 . Ma 430 > 414 , allora la data frazione 5 18 è maggiore di 23 86 .

Risposta: 5 18 > 23 86 .

Confrontare frazioni con lo stesso numeratore

Se le frazioni hanno gli stessi numeratori e denominatori diversi, puoi eseguire il confronto secondo il paragrafo precedente. Il risultato del confronto è possibile quando si confrontano i loro denominatori.

C'è una regola per confrontare le frazioni con gli stessi numeratori : Di due frazioni con lo stesso numeratore, la frazione più grande è quella con il denominatore più piccolo e viceversa.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 4

Confronta le frazioni 54 19 e 54 31.

Soluzione

Abbiamo che i numeratori sono gli stessi, il che significa che una frazione con denominatore 19 è maggiore di una frazione con denominatore 31. Questo è chiaro dalla regola.

Risposta: 54 19 > 54 31 .

Altrimenti, puoi considerare un esempio. Ci sono due piatti su cui 1 2 torte, anna un altro 1 16 . Se mangi 1 2 torte, ti sazierai più velocemente di solo 1 16. Da qui la conclusione che il più grande denominatore con gli stessi numeratori è il più piccolo quando si confrontano le frazioni.

Confrontare una frazione con un numero naturale

Un confronto di una frazione ordinaria con un numero naturale è lo stesso di un confronto di due frazioni con i denominatori scritti nella forma 1. Diamo un'occhiata a un esempio qui sotto per maggiori dettagli.

Esempio 4

È necessario eseguire un confronto 63 8 e 9 .

Soluzione

È necessario rappresentare il numero 9 come frazione 9 1 . Quindi abbiamo la necessità di confrontare le frazioni 63 8 e 9 1 . Questo è seguito dalla riduzione a un denominatore comune trovando fattori aggiuntivi. Successivamente, vediamo che dobbiamo confrontare le frazioni con gli stessi denominatori 63 8 e 72 8 . Sulla base della regola di confronto, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Risposta: 63 8 < 9 .

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IN Vita di ogni giorno spesso dobbiamo confrontare valori frazionari. Il più delle volte questo non causa alcun problema. In effetti, tutti capiscono che mezza mela è più grande di un quarto. Ma quando è necessario scriverlo come espressione matematica, può essere difficile. Applicando le seguenti regole matematiche, puoi facilmente risolvere questo problema.

Come confrontare le frazioni con lo stesso denominatore

Queste frazioni sono le più facili da confrontare. In questo caso, usa la regola:

Di due frazioni con lo stesso denominatore ma diverso numeratore, la maggiore è quella il cui numeratore è maggiore, e la minore è quella il cui numeratore è minore.

Ad esempio, confronta le frazioni 3/8 e 5/8. I denominatori in questo esempio sono uguali, quindi applichiamo questa regola. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Infatti, se tagli due pizze in 8 fette, allora 3/8 fette sono sempre meno di 5/8.

Confrontare frazioni con lo stesso numeratore e denominatori diversi

In questo caso, vengono confrontate le dimensioni delle quote del denominatore. La regola da applicare è:

Se due frazioni hanno lo stesso numeratore, allora la frazione più grande è quella con il denominatore più piccolo.

Ad esempio, confronta le frazioni 3/4 e 3/8. In questo esempio, i numeratori sono uguali, quindi usiamo la seconda regola. La frazione 3/4 ha un denominatore più piccolo della frazione 3/8. Quindi 3/4>3/8

Infatti, se mangi 3 fette di pizza divise in 4 parti, sarai più sazio che se mangiassi 3 fette di pizza divise in 8 parti.

Confrontare frazioni con numeratori e denominatori diversi

Applichiamo la terza regola:

Il confronto di frazioni con denominatori diversi deve essere confrontato con frazioni con gli stessi denominatori. Per fare ciò, devi portare le frazioni a un denominatore comune e utilizzare la prima regola.

Ad esempio, è necessario confrontare frazioni e . Per determinare la frazione più grande, portiamo queste due frazioni a un comune denominatore:

• Ora troviamo il secondo fattore aggiuntivo: 6:3=2. Lo scriviamo sopra la seconda frazione: