casa › Sistema di alimentazione carburante › Come trovare il valore più piccolo di una funzione da un'equazione. I valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in una regione chiusa

Come trovare il valore più piccolo di una funzione da un'equazione. I valori più grandi e più piccoli di una funzione di due variabili in una regione chiusa

Un compito in miniatura e piuttosto semplice del tipo che funge da ancora di salvezza per uno studente fluttuante. In natura, il sonnolento regno di metà luglio, quindi è ora di sistemarsi con un laptop sulla spiaggia. Giocato la mattina presto raggio di sole teoria per concentrarsi presto sulla pratica, che, nonostante la sua pretesa leggerezza, contiene frammenti di vetro nella sabbia. A questo proposito, consiglio di considerare coscienziosamente alcuni esempi di questa pagina. Per risolvere compiti pratici, devi essere in grado di farlo trovare derivati e comprendere il materiale dell'articolo Intervalli di monotonia ed estremi di una funzione.

Innanzitutto, brevemente sulla cosa principale. In una lezione su continuità di funzione Ho dato la definizione di continuità in un punto e di continuità in un intervallo. Viene formulato il comportamento esemplare di una funzione su un segmento allo stesso modo. Una funzione è continua su un segmento se:

1) è continua sull'intervallo;
2) continuo in un punto sulla destra e al punto Sinistra.

Il secondo paragrafo tratta del cd continuità unilaterale funzioni in un punto. Esistono diversi approcci alla sua definizione, ma mi atterrò alla linea iniziata in precedenza:

La funzione è continua in un punto sulla destra, se è definito in un dato punto e il suo limite destro coincide con il valore della funzione in un dato punto: . È continuo nel punto Sinistra, se definito in un dato punto e il suo limite sinistro è uguale al valore in quel punto:

Immagina che i punti verdi siano i chiodi su cui è attaccato l'elastico magico:

Prendi mentalmente la linea rossa tra le mani. Ovviamente, non importa quanto allunghiamo il grafico su e giù (lungo l'asse), la funzione rimarrà comunque limitato- una siepe sopra, una siepe sotto e il nostro prodotto pascola in un paddock. Così, una funzione continua su un segmento è limitata su di esso. Nel corso dell'analisi matematica, questo fatto apparentemente semplice viene affermato e rigorosamente dimostrato Primo teorema di Weierstrass.... Molte persone sono infastidite dal fatto che le affermazioni elementari siano noiosamente fondate in matematica, ma c'è significato importante. Supponiamo che un certo abitante del medioevo terry abbia tirato il grafico nel cielo oltre i limiti della visibilità, questo è stato inserito. Prima dell'invenzione del telescopio, la funzione limitata nello spazio non era affatto scontata! In effetti, come fai a sapere cosa ci aspetta oltre l'orizzonte? Dopotutto, una volta che la Terra era considerata piatta, quindi oggi anche il normale teletrasporto richiede prove =)

Secondo secondo teorema di Weierstrass, continuo sul segmentola funzione raggiunge il suo bordo superiore esatto e il suo bordo inferiore esatto .

Il numero è anche chiamato il valore massimo della funzione sul segmento e denotato da , e il numero - il valore minimo della funzione sul segmento contrassegnato.

Nel nostro caso:

Nota : in teoria, i record sono comuni .

In parole povere, valore più alto si trova dove il punto alto grafica e il più piccolo - dov'è il punto più basso.

Importante! Come già sottolineato nell'articolo su estremi della funzione, il valore massimo della funzione E valore minimo della funzione – NON LO STESSO, Che cosa funzione massima E funzione minima. Quindi, in questo esempio, il numero è il minimo della funzione, ma non il valore minimo.

A proposito, cosa succede al di fuori del segmento? Sì, anche l'alluvione, nell'ambito del problema in esame, questo non ci interessa affatto. L'attività consiste nel trovare solo due numeri e basta!

Inoltre, la soluzione è puramente analitica, quindi, non c'è bisogno di disegnare!

L'algoritmo giace in superficie e suggerisce se stesso dalla figura sopra:

1) Trova i valori della funzione in punti critici, che appartengono a questo segmento.

Cattura un'altra chicca: non è necessario verificare una condizione sufficiente per un estremo, poiché, come appena mostrato, la presenza di un minimo o di un massimo non ancora garantito qual è il valore minimo o massimo. La funzione di dimostrazione raggiunge il suo massimo e, per volontà del destino, lo stesso numero è il valore più grande della funzione sull'intervallo . Ma, naturalmente, una tale coincidenza non sempre avviene.

Quindi, al primo passaggio, è più veloce e più facile calcolare i valori della funzione nei punti critici appartenenti al segmento, senza preoccuparsi se hanno estremi o meno.

2) Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento.

3) Tra i valori della funzione trovati nel 1° e 2° paragrafo, selezioniamo il più piccolo e il più grande numero, scrivi la risposta.

Ci sediamo sulla riva del mare blu e colpiamo i talloni in acque poco profonde:

Esempio 1

Trova il più grande e valore più piccolo funzioni sull'intervallo

Soluzione:
1) Calcola i valori della funzione nei punti critici appartenenti a questo segmento:

Calcoliamo il valore della funzione nel secondo punto critico:

2) Calcola i valori della funzione agli estremi del segmento:

3) Sono stati ottenuti risultati "audaci" con esponenziali e logaritmi, il che complica notevolmente il loro confronto. Per questo motivo ci armeremo di calcolatrice o Excel e calcoleremo i valori approssimativi, non dimenticando che:

Adesso è tutto chiaro.

Risposta:

Istanza frazionaria-razionale per soluzione indipendente:

Esempio 6

Trova i valori massimo e minimo di una funzione su un segmento

Il valore più grande (più piccolo) della funzione è il valore più grande (più piccolo) accettato dell'ordinata nell'intervallo considerato.

Per trovare il valore più grande o più piccolo di una funzione, devi:

Controlla quali punti stazionari sono inclusi nel segmento dato.
Calcola il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti stazionari del passaggio 3
Scegli tra i risultati ottenuti il valore più grande o più piccolo.

Per trovare i punti massimi o minimi, è necessario:

Trova la derivata della funzione $f"(x)$
Trova punti stazionari risolvendo l'equazione $f"(x)=0$
Fattorizzare la derivata di una funzione.
Disegna una linea di coordinate, posiziona punti stazionari su di essa e determina i segni della derivata negli intervalli ottenuti, usando la notazione della clausola 3.
Trova i punti massimo o minimo secondo la regola: se in un punto la derivata cambia segno da più a meno, allora questo sarà il punto massimo (se da meno a più, allora questo sarà il punto minimo). In pratica è conveniente utilizzare l'immagine delle frecce sugli intervalli: sull'intervallo in cui la derivata è positiva, la freccia è disegnata verso l'alto e viceversa.

Tabella delle derivate di alcune funzioni elementari:

Funzione	Derivato
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$peccato^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Regole fondamentali di differenziazione

1. La derivata della somma e della differenza è uguale alla derivata di ciascun termine

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Trova la derivata della funzione $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

La derivata della somma e della differenza è uguale alla derivata di ciascun termine

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivata di un prodotto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Trova la derivata $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivata del quoziente

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Trova la derivata $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna e della derivata della funzione interna

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Trova il punto di minimo della funzione $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Trova l'ODZ della funzione: $x+11>0; x>-11$

2. Trova la derivata della funzione $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Trova punti stazionari eguagliando la derivata a zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

Una frazione è zero se il numeratore è zero e il denominatore non è zero

$2x+21=0; x≠-11$

4. Disegna una linea di coordinate, posiziona punti fissi su di essa e determina i segni della derivata negli intervalli ottenuti. Per fare ciò, sostituiamo nella derivata qualsiasi numero dall'estrema destra, ad esempio zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Nel punto minimo, la derivata cambia segno da meno a più, quindi il punto $-10,5$ è il punto minimo.

Risposta: $-10,5$

Trova il valore massimo della funzione $y=6x^5-90x^3-5$ sul segmento $[-5;1]$

1. Trova la derivata della funzione $y′=30x^4-270x^2$

2. Uguaglia la derivata a zero e trova i punti stazionari

$30x^4-270x^2=0$

Prendiamo il fattore comune $30x^2$ tra parentesi

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Imposta ogni fattore uguale a zero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Scegli i punti stazionari che appartengono al dato segmento $[-5;1]$

I punti stazionari $x=0$ e $x=-3$ sono adatti a noi

4. Calcola il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti stazionari dal punto 3

Cos'è un estremo di una funzione e qual è la condizione necessaria per un estremo?

L'estremo di una funzione è il massimo e il minimo della funzione.

La condizione necessaria per il massimo e il minimo (estremo) della funzione è la seguente: se la funzione f(x) ha un estremo nel punto x = a, allora in questo punto la derivata è zero, o infinita, oppure non non esiste.

Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. La derivata nel punto x = a può svanire, andare all'infinito o non esistere senza che la funzione abbia un estremo in questo punto.

Qual è una condizione sufficiente per l'estremo di una funzione (massimo o minimo)?

Prima condizione:

Se, in prossimità sufficiente del punto x = a, la derivata f?(x) è positiva a sinistra di a e negativa a destra di a, allora nel punto x = a stesso la funzione f(x) ha massimo

Se, in prossimità sufficiente del punto x = a, la derivata f?(x) è negativa a sinistra di a e positiva a destra di a, allora nel punto x = a stesso la funzione f(x) ha minimo a condizione che la funzione f(x) sia qui continua.

Invece, puoi usare la seconda condizione sufficiente per l'estremo della funzione:

Sia nel punto x = e la derivata prima f? (x) si annulla; se la derivata seconda f??(а) è negativa, allora la funzione f(x) ha un massimo nel punto x = a, se è positiva, allora un minimo.

Qual è il punto critico di una funzione e come trovarlo?

Questo è il valore dell'argomento della funzione in cui la funzione ha un estremo (cioè massimo o minimo). Per trovarlo, è necessario trova la derivata funzione f?(x) e, eguagliandola a zero, risolvere l'equazione f?(x) = 0. Le radici di questa equazione, così come quei punti in cui non esiste la derivata di questa funzione, sono punti critici, cioè i valori dell'argomento in cui può esserci un estremo . Possono essere facilmente identificati guardando grafico derivato: siamo interessati a quei valori dell'argomento in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse Ox) e quelli in cui il grafico subisce interruzioni.

Ad esempio, troviamo estremo della parabola.

Funzione y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivata della funzione: y?(x) = 6x + 2

Risolviamo l'equazione: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN questo caso il punto critico è x0=-1/3. È per questo valore dell'argomento che ha la funzione estremo. Capirlo Trovare, sostituiamo il numero trovato nell'espressione per la funzione invece di "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Come determinare il massimo e il minimo di una funzione, ad es. i suoi valori più grandi e più piccoli?

Se il segno della derivata cambia da “più” a “meno” passando per il punto critico x0, allora x0 è punto massimo; se il segno della derivata cambia da meno a più, allora x0 è punto minimo; se il segno non cambia, allora nel punto x0 non c'è né massimo né minimo.

Per l'esempio considerato:

Prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a sinistra di punto critico: x = -1

Quando x = -1, il valore della derivata sarà y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (cioè il segno meno).

Ora prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a destra del punto critico: x = 1

Per x = 1, il valore della derivata sarà y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (cioè il segno più).

Come puoi vedere, passando per il punto critico, la derivata ha cambiato segno da meno a più. Ciò significa che al valore critico di x0 abbiamo un punto di minimo.

Il valore massimo e minimo della funzione sull'intervallo(sul segmento) si trovano con la stessa procedura, solo tenendo conto del fatto che, forse, non tutti i punti critici rientreranno nell'intervallo specificato. Quei punti critici che sono al di fuori dell'intervallo devono essere esclusi dalla considerazione. Se c'è un solo punto critico all'interno dell'intervallo, avrà un massimo o un minimo. In questo caso, per determinare i valori massimo e minimo della funzione, teniamo conto anche dei valori della funzione agli estremi dell'intervallo.

Ad esempio, troviamo i valori più grandi e più piccoli della funzione

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

ad intervalli:

Quindi la derivata della funzione è

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Risolviamo l'equazione 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Troviamo punti critici sull'intervallo [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (non incluso nell'intervallo)

x \u003d -archi (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d archi (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arcos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d archi (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arcos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d archi (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (non incluso nell'intervallo)

Troviamo i valori della funzione ai valori critici dell'argomento:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Si può vedere che sull'intervallo [-9; 9] la funzione ha il massimo valore in x = -4.88:

x = -4,88, y = 5,398,

e il più piccolo - in x = 4.88:

x = 4,88, y = -5,398.

Sull'intervallo [-6; -3] abbiamo un solo punto critico: x = -4.88. Il valore della funzione in x = -4,88 è y = 5,398.

Troviamo il valore della funzione alle estremità dell'intervallo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Sull'intervallo [-6; -3] abbiamo il valore più grande della funzione

y = 5,398 in x = -4,88

il valore più piccolo è

y = 1,077 in x = -3

Come trovare i punti di flesso di un grafico di funzione e determinare i lati di convessità e concavità?

Per trovare tutti i punti di flesso della linea y \u003d f (x), è necessario trovare la seconda derivata, equipararla a zero (risolvere l'equazione) e testare tutti quei valori di x per i quali la seconda derivata è zero , infinito o non esiste. Se, passando per uno di questi valori, la derivata seconda cambia segno, allora il grafico della funzione ha un'inflessione in questo punto. Se non cambia, allora non c'è flessione.

Le radici dell'equazione f ? (x) = 0, nonché eventuali punti di discontinuità della funzione e la derivata seconda, dividono il dominio della funzione in più intervalli. La convessità a ciascuno dei loro intervalli è determinata dal segno della derivata seconda. Se la derivata seconda in un punto dell'intervallo in esame è positiva, allora la retta y = f(x) è qui concava verso l'alto, e se è negativa, allora verso il basso.

Come trovare gli estremi di una funzione di due variabili?

Per trovare gli estremi della funzione f(x, y), differenziabili nell'area della sua assegnazione, occorre:

1) trova i punti critici e, per questo, risolvi il sistema di equazioni

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) per ogni punto critico P0(a;b), verificare se il segno della differenza rimane invariato

per tutti i punti (x; y) sufficientemente vicini a P0. Se la differenza mantiene un segno positivo, allora nel punto P0 abbiamo un minimo, se negativo, poi un massimo. Se la differenza non mantiene il suo segno, allora non c'è estremo nel punto Р0.

Allo stesso modo, gli estremi della funzione sono determinati per un numero maggiore di argomenti.

Di cosa parla Shrek per sempre dopo?
Cartone animato: Shrek Forever After Anno di uscita: 2010 Prima (Russia): 20 maggio 2010 Paese: USA Regia: Michael Pitchel Sceneggiatura: Josh Klausner, Darren Lemke Genere: commedia per famiglie, fantasy, avventura Sito ufficiale: www.shrekforeverafter.com trama mulo

Posso donare il sangue durante il ciclo?
I medici non raccomandano di donare il sangue durante le mestruazioni, perché. la perdita di sangue, sebbene non in quantità significativa, è irta di una diminuzione dei livelli di emoglobina e di un deterioramento del benessere della donna. Durante la procedura di donazione del sangue, la situazione di benessere può peggiorare fino alla scoperta di sanguinamento. Pertanto, le donne dovrebbero astenersi dal donare il sangue durante le mestruazioni. E già il 5 ° giorno dopo aver finito

Quante kcal/ora vengono consumate durante il lavaggio dei pavimenti
Tipi attività fisica Consumo energetico, kcal/h Cucinare 80 Vestirsi 30 Guidare 50 Spolverare 80 Mangiare 30 Giardinaggio 135 Stirare 45 Rifare il letto 130 Fare la spesa 80 Lavoro sedentario 75 Tagliare la legna 300 Lavare pavimenti 130 Sesso 100-150 Danza aerobica a bassa intensità

Cosa significa la parola "canaglia"?
Un truffatore è un ladro impegnato in piccoli furti o una persona canaglia incline a trucchi fraudolenti. La conferma di questa definizione è contenuta nel dizionario etimologico di Krylov, secondo il quale la parola "truffatore" è formata dalla parola "truffatore" (ladro, truffatore), simile al verbo &la

Qual è il nome dell'ultima storia pubblicata dei fratelli Strugatsky
Una piccola storia Arkady e Boris Strugatsky "On the issue of cyclotation" è stato pubblicato per la prima volta nell'aprile 2008 nell'antologia di fantascienza "Noon. XXI century" (supplemento alla rivista "Vokrug sveta", pubblicata sotto la direzione di Boris Strugatsky). La pubblicazione è stata dedicata al 75 ° anniversario di Boris Strugatsky.

Dove posso leggere le storie dei partecipanti al programma Work And Travel USA
Work and Travel USA (lavora e viaggia negli Stati Uniti) è un popolare programma di scambio di studenti in cui puoi trascorrere l'estate in America, lavorando legalmente nel settore dei servizi e viaggiando. Il programma History of the Work & Travel fa parte del programma Cultural Exchange Pro di scambi intergovernativi

Orecchio. Riferimenti culinari e storici Per più di due secoli e mezzo, la parola “ukha” è stata usata per designare zuppe o un decotto di pesce fresco. Ma c'è stato un tempo in cui questa parola è stata interpretata in modo più ampio. Denotavano zuppa - non solo pesce, ma anche carne, piselli e persino dolce. Quindi nel documento storico - "

Portali di informazione e reclutamento Superjob.ru - portale di reclutamento su cui lavora Superjob.ru mercato russo reclutamento online dal 2000 ed è leader tra le risorse che offrono ricerca di lavoro e personale. Ogni giorno vengono aggiunti al database del sito più di 80.000 curriculum di specialisti e più di 10.000 posti vacanti.

Cos'è la motivazione
Definizione di motivazione Motivazione (dal lat. moveo - mi muovo) - un impulso all'azione; un processo dinamico di un piano fisiologico e psicologico che controlla il comportamento umano, ne determina la direzione, l'organizzazione, l'attività e la stabilità; la capacità dell'uomo di soddisfare i propri bisogni attraverso il lavoro. Motivac

Chi è Bob Dylan
Bob Dylan (ing. Bob Dylan, vero nome - Robert Allen Zimmerman ing. Robert Allen Zimmerman; nato il 24 maggio 1941) è un cantautore americano che - secondo un sondaggio della rivista Rolling Stone - è il secondo (

Come trasportare piante d'appartamento
Dopo l'acquisto piante d'appartamento, il giardiniere si trova di fronte al compito di consegnare incolumi i fiori esotici acquistati. Conoscere le regole di base per l'imballaggio e il trasporto delle piante d'appartamento aiuterà a risolvere questo problema. Le piante devono essere imballate per essere trasportate o trasportate. Non importa quanto breve sia la distanza percorsa dalle piante, possono essere danneggiate, possono seccarsi e in inverno &m

Cos'è un estremo di una funzione e qual è la condizione necessaria per un estremo?

L'estremo di una funzione è il massimo e il minimo della funzione.

Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. La derivata nel punto x = a può svanire, andare all'infinito o non esistere senza che la funzione abbia un estremo in questo punto.

Qual è una condizione sufficiente per l'estremo di una funzione (massimo o minimo)?

Prima condizione:

Se, in prossimità sufficiente del punto x = a, la derivata f?(x) è positiva a sinistra di a e negativa a destra di a, allora nel punto x = a stesso la funzione f(x) ha massimo

Invece, puoi usare la seconda condizione sufficiente per l'estremo della funzione:

Sia nel punto x = e la derivata prima f? (x) si annulla; se la derivata seconda f??(а) è negativa, allora la funzione f(x) ha un massimo nel punto x = a, se è positiva, allora un minimo.

Qual è il punto critico di una funzione e come trovarlo?

Ad esempio, troviamo estremo della parabola.

Funzione y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivata della funzione: y?(x) = 6x + 2

Risolviamo l'equazione: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In questo caso, il punto critico è x0=-1/3. È per questo valore dell'argomento che ha la funzione estremo. Capirlo Trovare, sostituiamo il numero trovato nell'espressione per la funzione invece di "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Come determinare il massimo e il minimo di una funzione, ad es. i suoi valori più grandi e più piccoli?

Per l'esempio considerato:

Prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a sinistra del punto critico: x = -1

Quando x = -1, il valore della derivata sarà y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (cioè il segno meno).

Ora prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a destra del punto critico: x = 1

Per x = 1, il valore della derivata sarà y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (cioè il segno più).

Come puoi vedere, passando per il punto critico, la derivata ha cambiato segno da meno a più. Ciò significa che al valore critico di x0 abbiamo un punto di minimo.

Ad esempio, troviamo i valori più grandi e più piccoli della funzione

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

ad intervalli:

Quindi la derivata della funzione è

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Risolviamo l'equazione 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Troviamo punti critici sull'intervallo [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (non incluso nell'intervallo)

x \u003d -archi (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d archi (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arcos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d archi (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arcos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d archi (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (non incluso nell'intervallo)

Troviamo i valori della funzione ai valori critici dell'argomento:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Si può vedere che sull'intervallo [-9; 9] la funzione ha il massimo valore in x = -4.88:

x = -4,88, y = 5,398,

e il più piccolo - in x = 4.88:

x = 4,88, y = -5,398.

Sull'intervallo [-6; -3] abbiamo un solo punto critico: x = -4.88. Il valore della funzione in x = -4,88 è y = 5,398.

Troviamo il valore della funzione alle estremità dell'intervallo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Sull'intervallo [-6; -3] abbiamo il valore più grande della funzione

y = 5,398 in x = -4,88

il valore più piccolo è

y = 1,077 in x = -3

Come trovare i punti di flesso di un grafico di funzione e determinare i lati di convessità e concavità?

Come trovare gli estremi di una funzione di due variabili?

Per trovare gli estremi della funzione f(x, y), differenziabili nell'area della sua assegnazione, occorre:

1) trova i punti critici e, per questo, risolvi il sistema di equazioni

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) per ogni punto critico P0(a;b), verificare se il segno della differenza rimane invariato

Allo stesso modo, gli estremi della funzione sono determinati per un numero maggiore di argomenti.

Come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento?

Per questo seguiamo il noto algoritmo:

1 . Troviamo le funzioni ODZ.

2 . Trovare la derivata di una funzione

3 . Uguaglia la derivata a zero

4 . Troviamo gli intervalli in cui la derivata mantiene il suo segno e da essi determiniamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione:

Se sull'intervallo I la derivata della funzione 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta in questo intervallo.

Se sull'intervallo I la derivata della funzione , allora la funzione diminuisce in questo intervallo.

5 . Noi troviamo punti di massimo e minimo della funzione.

IN la funzione punto massimo, la derivata cambia segno da "+" a "-".

IN punto di minimo della funzionela derivata cambia segno da "-" a "+".

6 . Troviamo il valore della funzione alle estremità del segmento,

quindi confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti massimi, e scegli il più grande di essi se devi trovare il valore più grande della funzione
oppure confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti di minimo, e scegli il più piccolo se devi trovare il valore più piccolo della funzione

Tuttavia, a seconda di come si comporta la funzione sull'intervallo, questo algoritmo può essere notevolmente ridotto.

Considera la funzione . Il grafico di questa funzione si presenta così:

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di risoluzione dei problemi da banca aperta incarichi per

1 . Compito B15 (#26695)

Sul taglio.

1. La funzione è definita per tutti i valori reali di x

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni e la derivata è positiva per tutti i valori di x. Pertanto, la funzione aumenta e assume il valore più grande all'estremità destra dell'intervallo, ovvero in x=0.

Risposta: 5.

2 . Attività B15 (n. 26702)

Trova il valore più grande di una funzione sul segmento.

Funzione 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La derivata è nulla in , tuttavia in questi punti non cambia segno:

Pertanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, a .

Per chiarire perché la derivata non cambia segno, trasformiamo l'espressione per la derivata come segue:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Risposta: 5.

3 . Compito B15 (#26708)

Trova il valore più piccolo della funzione sull'intervallo .

1. Funzioni ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Poniamo le radici di questa equazione su un cerchio trigonometrico.

L'intervallo contiene due numeri: e

Mettiamo i cartelli. Per fare ciò, determiniamo il segno della derivata nel punto x=0: . Passando per i punti e la derivata cambia segno.

Rappresentiamo il cambio di segno della derivata della funzione sulla linea delle coordinate:

Ovviamente il punto è un punto di minimo (dove la derivata cambia segno da "-" a "+"), e per trovare il valore più piccolo della funzione sull'intervallo, bisogna confrontare i valori della funzione nel punto di minimo e all'estremità sinistra del segmento, .

Popolare nella categoria: