Il significato dell'equazione quadratica. Soluzione di equazioni di secondo grado, formula delle radici, esempi

Formule per le radici di un'equazione quadratica. Vengono considerati i casi di radici reali, multiple e complesse. Fattorizzazione di un trinomio quadrato. Interpretazione geometrica. Esempi di determinazione delle radici e fattorizzazione.

Formule di base

Considera l'equazione quadratica:
(1) .
Le radici di un'equazione quadratica(1) sono determinate dalle formule:
; .
Queste formule possono essere combinate in questo modo:
.
Quando le radici dell'equazione quadratica sono note, il polinomio di secondo grado può essere rappresentato come un prodotto di fattori (fattorizzato):
.

Inoltre, assumiamo che siano numeri reali.
Prendere in considerazione discriminante di un'equazione quadratica:
.
Se il discriminante è positivo, allora l'equazione quadratica (1) ha due diverse radici reali:
; .
Allora la fattorizzazione del trinomio quadrato ha la forma:
.
Se il discriminante è zero, allora l'equazione quadratica (1) ha due radici reali multiple (uguali):
.
Fattorizzazione:
.
Se il discriminante è negativo, l'equazione quadratica (1) ha due radici coniugate complesse:
;
.
Ecco l'unità immaginaria, ;
e sono le parti reali e immaginarie delle radici:
; .
Poi

.

Interpretazione grafica

Se costruire grafico delle funzioni
,
che è una parabola, allora i punti di intersezione del grafico con l'asse saranno le radici dell'equazione
.
Quando , il grafico interseca l'asse delle ascisse (asse) in due punti.
Quando , il grafico tocca l'asse x in un punto.
Quando , il grafico non attraversa l'asse x.

Di seguito sono riportati esempi di tali grafici.

Formule utili relative all'equazione quadratica

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivazione della formula per le radici di un'equazione quadratica

Eseguiamo trasformazioni e applichiamo le formule (f.1) e (f.3):




,
Dove
; .

Quindi, abbiamo ottenuto la formula per il polinomio di secondo grado nella forma:
.
Da ciò si può vedere che l'equazione

eseguita a
E .
Cioè, e sono le radici dell'equazione quadratica
.

Esempi di determinazione delle radici di un'equazione quadratica

Esempio 1

(1.1) .

Soluzione

.
Confrontando con la nostra equazione (1.1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Poiché il discriminante è positivo, l'equazione ha due radici reali:
;
;
.

Da qui otteniamo la scomposizione del trinomio quadrato in fattori:

.

Grafico della funzione y = 2 x 2 + 7 x + 3 attraversa l'asse x in due punti.

Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Attraversa l'asse x (asse) in due punti:
E .
Questi punti sono le radici dell'equazione originale (1.1).

Risposta

;
;
.

Esempio 2

Trova le radici di un'equazione quadratica:
(2.1) .

Soluzione

Scriviamo l'equazione quadratica in vista generale:
.
Confrontando con l'equazione originale (2.1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Poiché il discriminante è zero, l'equazione ha due radici multiple (uguali):
;
.

Allora la fattorizzazione del trinomio ha la forma:
.

Grafico della funzione y = x 2-4x + 4 tocca l'asse x in un punto.

Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Tocca l'asse x (asse) in un punto:
.
Questo punto è la radice dell'equazione originale (2.1). Poiché questa radice è fattorizzata due volte:
,
allora tale radice si chiama multiplo. Cioè, considerano che ci sono due radici uguali:
.

Risposta

;
.

Esempio 3

Trova le radici di un'equazione quadratica:
(3.1) .

Soluzione

Scriviamo l'equazione quadratica in forma generale:
(1) .
Riscriviamo l'equazione originale (3.1):
.
Confrontando con (1), troviamo i valori dei coefficienti:
.
Trovare il discriminante:
.
Il discriminante è negativo, . Pertanto, non ci sono radici reali.

Puoi trovare radici complesse:
;
;
.

Poi


.

Il grafico della funzione non attraversa l'asse x. Non ci sono radici reali.

Tracciamo la funzione
.
Il grafico di questa funzione è una parabola. Non attraversa l'ascissa (asse). Pertanto, non ci sono radici reali.

Risposta

Non ci sono radici reali. Radici complesse:
;
;
.

Video lezione 2: Risoluzione di equazioni di secondo grado

Conferenza: Equazioni quadratiche

L'equazione

L'equazione- questa è una sorta di uguaglianza, nelle cui espressioni c'è una variabile.

risolvere l'equazione- significa trovare un tale numero invece di una variabile che lo porterà alla corretta uguaglianza.

Un'equazione può avere una o più soluzioni o nessuna soluzione.

Per risolvere qualsiasi equazione, dovrebbe essere semplificata il più possibile nella forma:

Lineare: a*x = b;

Piazza: a*x 2 + b*x + c = 0.

Cioè, qualsiasi equazione prima di risolverla deve essere convertita in una forma standard.

Qualsiasi equazione può essere risolta in due modi: analitico e grafico.

Sul grafico, la soluzione dell'equazione è considerata i punti in cui il grafico interseca l'asse x.

Equazioni quadratiche

Un'equazione può essere chiamata quadratica se, semplificata, assume la forma:

a*x 2 + b*x + c = 0.

In cui a, b, c sono coefficienti dell'equazione che differiscono da zero. UN "X"- radice dell'equazione. Si ritiene che un'equazione quadratica abbia due radici o possa non avere alcuna soluzione. Le radici risultanti possono essere le stesse.

"UN"- il coefficiente che sta davanti alla radice nel quadrato.

"B"- sta davanti all'ignoto in primo grado.

"Con"- termine libero dell'equazione.

Se, ad esempio, abbiamo un'equazione della forma:

2x2-5x+3=0

In esso, "2" è il coefficiente al termine più alto dell'equazione, "-5" è il secondo coefficiente e "3" è il termine libero.

Risoluzione di un'equazione quadratica

Ci sono molti modi per risolvere un'equazione quadratica. Tuttavia, nel corso di matematica scolastica, la soluzione viene studiata utilizzando il teorema di Vieta, oltre che utilizzando il discriminante.

Soluzione discriminante:

Quando si risolve con questo metodoè necessario calcolare il discriminante secondo la formula:

Se durante i calcoli hai ottenuto che il discriminante è minore di zero, significa che questa equazione non ha soluzioni.

Se il discriminante è zero, allora l'equazione ha due soluzioni identiche. In questo caso, il polinomio può essere compresso secondo la formula di moltiplicazione abbreviata nel quadrato della somma o della differenza. Quindi risolvilo come un'equazione lineare. Oppure usa la formula:

Se il discriminante è maggiore di zero, è necessario utilizzare il seguente metodo:

Il teorema di Vieta

Se l'equazione è ridotta, cioè il coefficiente al termine più alto è uguale a uno, allora puoi usare Il teorema di Vieta.

Quindi diciamo che l'equazione è:

Le radici dell'equazione si trovano come segue:

Equazione quadratica incompleta

Esistono diverse opzioni per ottenere un'equazione quadratica incompleta, la cui forma dipende dalla presenza di coefficienti.

1. Se il secondo e il terzo coefficiente sono uguali a zero (b=0, c=0), quindi l'equazione quadratica sarà simile a:

Questa equazione avrà unica decisione. L'uguaglianza sarà vera solo se la soluzione dell'equazione è zero.

In continuazione dell'argomento "Risoluzione di equazioni", il materiale in questo articolo ti introdurrà alle equazioni quadratiche.

Consideriamo tutto in dettaglio: l'essenza e la notazione di un'equazione quadratica, stabiliamo termini correlati, analizziamo lo schema per risolvere equazioni incomplete e complete, familiarizziamo con la formula delle radici e del discriminante, stabiliamo connessioni tra radici e coefficienti e, naturalmente, daremo una soluzione visiva di esempi pratici.

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Equazione quadratica, suoi tipi

Definizione 1

Equazione quadrataè l'equazione scritta come a x 2 + b x + c = 0, Dove X– variabile, a , b e C sono alcuni numeri, mentre UN non è zero.

Spesso le equazioni quadratiche sono anche chiamate equazioni di secondo grado, poiché in realtà un'equazione quadratica è un'equazione algebrica di secondo grado.

Facciamo un esempio per illustrare la definizione data: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ecc. sono equazioni quadratiche.

Definizione 2

Numeri a , b e C sono i coefficienti dell'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, mentre il coefficiente UNè chiamato il primo, o senior, o coefficiente a x 2, b - il secondo coefficiente o coefficiente a X, UN C chiamato un membro gratuito.

Ad esempio, nell'equazione quadratica 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 il coefficiente più alto è 6 , il secondo coefficiente è − 2 , e il termine libero è uguale a − 11 . Prestiamo attenzione al fatto che quando i coefficienti B e/o c sono negativi, allora forma breve registrazioni del modulo 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ma no 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Chiariamo anche questo aspetto: se i coefficienti UN e/o B pari 1 O − 1 , allora potrebbero non prendere parte esplicita alla scrittura dell'equazione quadratica, che è spiegata dalle peculiarità della scrittura dei coefficienti numerici indicati. Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 - y + 7 = 0 il coefficiente senior è 1 e il secondo coefficiente è − 1 .

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

In base al valore del primo coefficiente, le equazioni quadratiche sono divise in ridotte e non ridotte.

Definizione 3

Equazione quadratica ridottaè un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 . Per altri valori del coefficiente principale, l'equazione quadratica non è ridotta.

Ecco alcuni esempi: equazioni quadratiche x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sono ridotte, in ciascuna delle quali il coefficiente principale è 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- equazione quadratica non ridotta, in cui il primo coefficiente è diverso da 1 .

Qualsiasi equazione quadratica non ridotta può essere convertita in un'equazione ridotta dividendo entrambe le sue parti per il primo coefficiente (trasformazione equivalente). L'equazione trasformata avrà le stesse radici dell'equazione non ridotta o non avrà radici.

Considerazione argomento di studio ci permetterà di dimostrare visivamente la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio 1

Data l'equazione 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . È necessario convertire l'equazione originale nella forma ridotta.

Soluzione

Secondo lo schema sopra, dividiamo entrambe le parti dell'equazione originale per il coefficiente principale 6 . Quindi otteniamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, e questo è lo stesso di: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 e inoltre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Da qui: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Si ottiene così un'equazione equivalente a quella data.

Risposta: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Equazioni di secondo grado complete e incomplete

Passiamo alla definizione di equazione quadratica. In esso, lo abbiamo specificato un ≠ 0. Una condizione simile è necessaria per l'equazione a x 2 + b x + c = 0 era esattamente quadrato, poiché un = 0 si trasforma essenzialmente in un'equazione lineare b x + c = 0.

Nel caso in cui i coefficienti B E C sono uguali a zero (il che è possibile, sia individualmente che congiuntamente), l'equazione quadratica è chiamata incompleta.

Definizione 4

Equazione quadratica incompletaè un'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, dove almeno uno dei coefficienti B E C(o entrambi) è zero.

Equazione quadratica completaè un'equazione quadratica in cui tutti i coefficienti numerici non sono uguali a zero.

Discutiamo perché ai tipi di equazioni quadratiche vengono dati esattamente tali nomi.

Per b = 0, l'equazione quadratica assume la forma a x 2 + 0 x + c = 0, che è uguale a a x 2 + c = 0. A c = 0 l'equazione quadratica è scritta come a x 2 + b x + 0 = 0, che è equivalente a x 2 + b x = 0. A b = 0 E c = 0 l'equazione assumerà la forma a x 2 = 0. Le equazioni che abbiamo ottenuto differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro membri di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, né entrambi contemporaneamente. In realtà, questo fatto ha dato il nome a questo tipo di equazioni: incomplete.

Ad esempio, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sono equazioni quadratiche complete; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni di secondo grado incomplete

La definizione data sopra permette di distinguere i seguenti tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• a x 2 = 0, i coefficienti corrispondono a tale equazione b = 0 e c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 per b \u003d 0;
• un x 2 + b x = 0 per c = 0 .

Considera successivamente la soluzione di ogni tipo di equazione quadratica incompleta.

Soluzione dell'equazione a x 2 \u003d 0

Come già accennato in precedenza, tale equazione corrisponde ai coefficienti B E C, uguale a zero. L'equazione a x 2 = 0 può essere convertito in un'equazione equivalente x2 = 0, che otteniamo dividendo entrambi i membri dell'equazione originale per il numero UN, non uguale a zero. Il fatto ovvio è che la radice dell'equazione x2 = 0è zero perché 0 2 = 0 . Questa equazione non ha altre radici, il che è spiegato dalle proprietà del grado: per qualsiasi numero P , diverso da zero, la disuguaglianza è vera p2 > 0, da cui segue che quando p ≠ 0 uguaglianza p2 = 0 non sarà mai raggiunto.

Definizione 5

Pertanto, per l'equazione quadratica incompleta a x 2 = 0, esiste un'unica radice x=0.

Esempio 2

Ad esempio, risolviamo un'equazione quadratica incompleta -3 x 2 = 0. È equivalente all'equazione x2 = 0, la sua unica radice è x=0, allora l'equazione originale ha un'unica radice - zero.

La soluzione è così riassunta:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Soluzione dell'equazione a x 2 + c \u003d 0

La prossima riga è la soluzione di equazioni quadratiche incomplete, dove b \u003d 0, c ≠ 0, cioè equazioni della forma a x 2 + c = 0. Trasformiamo questa equazione trasferendo il termine da un lato all'altro dell'equazione, cambiando il segno nell'opposto e dividendo entrambi i lati dell'equazione per un numero diverso da zero:

• sopportare C a destra, che fornisce l'equazione un x 2 = - c;
• dividere entrambi i membri dell'equazione per UN, otteniamo come risultato x = - c a .

Le nostre trasformazioni sono equivalenti, rispettivamente, anche l'equazione risultante è equivalente a quella originale e questo fatto consente di trarre una conclusione sulle radici dell'equazione. Da quali sono i valori UN E C dipende dal valore dell'espressione - c a: può avere il segno meno (ad esempio if un = 1 E c = 2, quindi - c a = - 2 1 = - 2) o un segno più (ad esempio, if un = -2 E c=6, quindi - c a = - 6 - 2 = 3); non è uguale a zero perché c ≠ 0. Soffermiamoci più in dettaglio sulle situazioni in cui - c a< 0 и - c a > 0 .

Nel caso in cui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P l'uguaglianza p 2 = - c a non può essere vera.

Tutto è diverso quando - c a > 0: ricorda la radice quadrata e diventerà ovvio che la radice dell'equazione x 2 \u003d - c a sarà il numero - c a, poiché - c a 2 \u003d - c a. È facile capire che il numero - - c a - è anche la radice dell'equazione x 2 = - c a: infatti, - - c a 2 = - c a .

L'equazione non avrà altre radici. Possiamo dimostrarlo usando il metodo opposto. Per prima cosa, impostiamo la notazione delle radici trovate sopra come x 1 E − x 1. Supponiamo che anche l'equazione x 2 = - c a abbia una radice x2, che è diverso dalle radici x 1 E − x 1. Lo sappiamo sostituendo nell'equazione invece di X le sue radici, trasformiamo l'equazione in una giusta uguaglianza numerica.

Per x 1 E − x 1 scrivi: x 1 2 = - c a , e for x2- x 2 2 \u003d - c a. Sulla base delle proprietà delle uguaglianze numeriche, sottraiamo un'uguaglianza vera da un altro termine per termine, che ci darà: x 1 2 − x 2 2 = 0. Utilizzare le proprietà delle operazioni sui numeri per riscrivere l'ultima uguaglianza come (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. È noto che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei numeri è zero. Da quanto detto ne consegue x1 − x2 = 0 e/o x1 + x2 = 0, che è lo stesso x2 = x1 e/o x 2 = - x 1. Sorse un'ovvia contraddizione, perché all'inizio fu concordato che la radice dell'equazione x2 si differenzia da x 1 E − x 1. Quindi, abbiamo dimostrato che l'equazione non ha altre radici che x = - c a e x = - - c a .

Riassumiamo tutti gli argomenti di cui sopra.

Definizione 6

Equazione quadratica incompleta a x 2 + c = 0è equivalente all'equazione x 2 = - c a , che:

• non avrà radici in - c a< 0 ;
• avrà due radici x = - c a e x = - - c a quando - c a > 0 .

Diamo esempi di risoluzione di equazioni a x 2 + c = 0.

Esempio 3

Data un'equazione quadratica 9 x 2 + 7 = 0 .È necessario trovare la sua soluzione.

Soluzione

Trasferiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione, quindi l'equazione assumerà la forma 9 x 2 \u003d - 7.
Dividiamo entrambi i lati dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a x 2 = - 7 9 . Sul lato destro vediamo un numero con un segno meno, che significa: l'equazione data non ha radici. Quindi l'equazione quadratica originale incompleta 9 x 2 + 7 = 0 non avrà radici.

Risposta: l'equazione 9 x 2 + 7 = 0 non ha radici.

Esempio 4

È necessario risolvere l'equazione − x2 + 36 = 0.

Soluzione

Spostiamo 36 sul lato destro: − x 2 = − 36.
Dividiamo entrambe le parti in − 1 , noi abbiamo x2 = 36. Dal lato giusto - numero positivo, quindi si può concludere che x = 36 o x = - 36 .
Estraiamo la radice e scriviamo il risultato finale: un'equazione quadratica incompleta − x2 + 36 = 0 ha due radici x=6 O x = -6.

Risposta: x=6 O x = -6.

Soluzione dell'equazione a x 2 +b x=0

Analizziamo il terzo tipo di equazioni quadratiche incomplete, quando c = 0. Per trovare una soluzione a un'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0, usiamo il metodo di fattorizzazione. Fattorizziamo il polinomio, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, togliendo il fattore comune tra parentesi X. Questo passaggio consentirà di trasformare l'equazione quadratica incompleta originale nel suo equivalente x (a x + b) = 0. E questa equazione, a sua volta, è equivalente all'insieme delle equazioni x=0 E un x + b = 0. L'equazione un x + b = 0 lineare e la sua radice: x = - b un.

Definizione 7

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0 avrà due radici x=0 E x = - b un.

Consolidiamo il materiale con un esempio.

Esempio 5

È necessario trovare la soluzione dell'equazione 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Soluzione

Portiamo fuori X fuori dalle parentesi e ottieni l'equazione x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Questa equazione è equivalente alle equazioni x=0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Ora dovresti risolvere l'equazione lineare risultante: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

In breve, scriviamo la soluzione dell'equazione come segue:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Risposta: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminante, formula delle radici di un'equazione quadratica

Per trovare una soluzione alle equazioni quadratiche, esiste una formula radice:

Definizione 8

x = - b ± D 2 a, dove D = b 2 - 4 un cè la cosiddetta discriminante di un'equazione quadratica.

Scrivere x \u003d - b ± D 2 a significa essenzialmente che x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Sarà utile capire come è stata derivata la formula indicata e come applicarla.

Derivazione della formula delle radici di un'equazione quadratica

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0. Eseguiamo una serie di trasformazioni equivalenti:

• dividere entrambi i lati dell'equazione per il numero UN, diverso da zero, otteniamo l'equazione quadratica ridotta: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• isolare quadrato pieno sul lato sinistro dell'equazione risultante:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Successivamente, l'equazione assumerà la forma: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• ora è possibile trasferire gli ultimi due termini a destra, cambiando il segno al contrario, dopodiché si ottiene: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• infine, trasformiamo l'espressione scritta a destra dell'ultima uguaglianza:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Quindi, siamo arrivati ​​all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , che è equivalente all'equazione originale a x 2 + b x + c = 0.

Abbiamo discusso la soluzione di tali equazioni nei paragrafi precedenti (la soluzione di equazioni quadratiche incomplete). L'esperienza già acquisita consente di trarre una conclusione riguardo alle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• per b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• per b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, l'equazione ha la forma x + b 2 · a 2 = 0, quindi x + b 2 · a = 0.

Da qui, la sola radice x = - b 2 · a è ovvia;

• per b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, quella corretta è: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oppure x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , che è la uguale a x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 o x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , cioè l'equazione ha due radici.

È possibile concludere che la presenza o l'assenza delle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (e quindi l'equazione originaria) dipende dal segno dell'espressione b 2 - 4 a c 4 · a 2 scritto sul lato destro. E il segno di questa espressione è dato dal segno del numeratore, (il denominatore 4 un 2 sarà sempre positivo), cioè il segno dell'espressione b 2 − 4 un c. Questa espressione b 2 − 4 un c viene dato un nome: il discriminante di un'equazione quadratica e la lettera D è definita come la sua designazione. Qui puoi annotare l'essenza del discriminante: in base al suo valore e segno, concludono se l'equazione quadratica avrà radici reali e, in tal caso, quante radici - una o due.

Torniamo all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Riscriviamolo usando la notazione discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ricapitoliamo le conclusioni:

Definizione 9

• A D< 0 l'equazione non ha radici reali;
• A D=0 l'equazione ha un'unica radice x = - b 2 · a ;
• A RE > 0 l'equazione ha due radici: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Sulla base delle proprietà dei radicali, queste radici possono essere scritte come: x \u003d - b 2 a + D 2 a o - b 2 a - D 2 a. E quando apriamo i moduli e riduciamo le frazioni a un comune denominatore, otteniamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Quindi, il risultato del nostro ragionamento è stata la derivazione della formula per le radici dell'equazione quadratica:

x = - b + D 2 un , x = - b - D 2 un , discriminante D calcolato dalla formula D = b 2 - 4 un c.

Queste formule permettono, quando il discriminante è maggiore di zero, di determinare entrambe le radici reali. Quando il discriminante è zero, l'applicazione di entrambe le formule darà la stessa radice dell'unica soluzione all'equazione quadratica. Nel caso in cui il discriminante sia negativo, provando ad utilizzare la formula della radice quadratica, ci troveremo di fronte alla necessità di estrarre Radice quadrata da un numero negativo, che ci porterà oltre i numeri reali. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non avrà radici reali, ma è possibile una coppia di radici coniugate complesse, determinate dalle stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando formule di radice

È possibile risolvere un'equazione quadratica utilizzando immediatamente la formula della radice, ma fondamentalmente ciò viene fatto quando è necessario trovare radici complesse.

Nella maggior parte dei casi, la ricerca non è solitamente intesa per radici complesse, ma reali di un'equazione quadratica. Quindi è ottimale, prima di utilizzare le formule per le radici dell'equazione quadratica, determinare prima il discriminante e assicurarsi che non sia negativo (altrimenti concluderemo che l'equazione non ha radici reali), quindi procedere al calcolo del valore delle radici.

Il ragionamento di cui sopra rende possibile formulare un algoritmo per risolvere un'equazione quadratica.

Definizione 10

Per risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, necessario:

• secondo la formula D = b 2 - 4 un c trovare il valore del discriminante;
• a d< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• per D = 0 trova l'unica radice dell'equazione con la formula x = - b 2 · a ;
• per D > 0, determinare due radici reali dell'equazione quadratica con la formula x = - b ± D 2 · a.

Nota che quando il discriminante è zero, puoi usare la formula x = - b ± D 2 · a , darà lo stesso risultato della formula x = - b 2 · a .

Considera esempi.

Esempi di risoluzione di equazioni di secondo grado

Facciamo un esempio di soluzione per valori diversi discriminante.

Esempio 6

È necessario trovare le radici dell'equazione x 2 + 2 x - 6 = 0.

Soluzione

Scriviamo i coefficienti numerici dell'equazione quadratica: a \u003d 1, b \u003d 2 e c = - 6. Successivamente, agiamo secondo l'algoritmo, ad es. Iniziamo a calcolare il discriminante, al quale sostituiamo i coefficienti a , b E C nella formula discriminante: D = b 2 - 4 un c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Quindi, abbiamo D > 0, il che significa che l'equazione originale avrà due radici reali.
Per trovarli usiamo la formula radice x \u003d - b ± D 2 · a e, sostituendo i valori appropriati, otteniamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Semplifichiamo l'espressione risultante estraendo il fattore dal segno della radice, seguito dalla riduzione della frazione:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7

Risposta: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Esempio 7

È necessario risolvere un'equazione quadratica − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluzione

Definiamo il discriminante: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Con questo valore del discriminante, l'equazione originaria avrà una sola radice, determinata dalla formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Risposta: x = 3,5.

Esempio 8

È necessario risolvere l'equazione 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Soluzione

I coefficienti numerici di questa equazione saranno: a = 5 , b = 6 e c = 2 . Usiamo questi valori per trovare il discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Il discriminante calcolato è negativo, quindi l'equazione quadratica originale non ha radici reali.

Nel caso in cui il compito sia indicare radici complesse, applichiamo la formula della radice eseguendo operazioni con numeri complessi:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 io 10 o x \u003d - 6 - 2 io 10,

x = - 3 5 + 1 5 io o x = - 3 5 - 1 5 io .

Risposta: non ci sono radici reali; le radici complesse sono: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN curriculum scolastico per impostazione predefinita, non è necessario cercare radici complesse, pertanto, se il discriminante viene determinato come negativo durante la soluzione, viene immediatamente registrata la risposta che non esistono radici reali.

Formula radice per coefficienti pari secondi

La formula radice x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) consente di ottenere un'altra formula, più compatta, che consente di trovare soluzioni a equazioni quadratiche con un coefficiente pari in x (o con un coefficiente della forma 2 an, ad esempio 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Vediamo come deriva questa formula.

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di trovare una soluzione all'equazione quadratica a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Agiamo secondo l'algoritmo: determiniamo il discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , quindi usiamo la formula radice:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · circa .

Lascia che l'espressione n 2 − a c sia indicata come D 1 (a volte è indicata con D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica considerata con il secondo coefficiente 2 n assumerà la forma:

x \u003d - n ± D 1 a, dove D 1 \u003d n 2 - a c.

È facile vedere che D = 4 · D 1 , o D 1 = D 4 . In altre parole, D 1 è un quarto del discriminante. Ovviamente, il segno di D 1 è lo stesso del segno di D, il che significa che il segno di D 1 può anche servire come indicatore della presenza o dell'assenza delle radici di un'equazione quadratica.

Definizione 11

Pertanto, per trovare una soluzione a un'equazione quadratica con un secondo coefficiente di 2 n, è necessario:

• trova D 1 = n 2 - un c ;
• in re 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• per D 1 = 0, determinare l'unica radice dell'equazione con la formula x = - n a ;
• per D 1 > 0, determinare due radici reali utilizzando la formula x = - n ± D 1 a.

Esempio 9

È necessario risolvere l'equazione quadratica 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Soluzione

Il secondo coefficiente dell'equazione data può essere rappresentato come 2 · (− 3) . Quindi riscriviamo l'equazione quadratica data come 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , dove a = 5 , n = − 3 e c = − 32 .

Calcoliamo la quarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Il valore risultante è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali. Li definiamo con la corrispondente formula delle radici:

x = - n ± D 1 un , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 o x = - 2

Sarebbe possibile eseguire calcoli utilizzando la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso la soluzione sarebbe più macchinosa.

Risposta: x = 3 1 5 o x = - 2 .

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte è possibile ottimizzare la forma dell'equazione originale, che semplificherà il processo di calcolo delle radici.

Ad esempio, l'equazione quadratica 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 è chiaramente più conveniente per la risoluzione di 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Più spesso, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica viene eseguita moltiplicando o dividendo entrambe le sue parti per un certo numero. Ad esempio, sopra abbiamo mostrato una rappresentazione semplificata dell'equazione 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, ottenuta dividendo entrambe le sue parti per 100.

Tale trasformazione è possibile quando i coefficienti dell'equazione quadratica non sono reciprocamente numeri primi. Quindi è comune dividere entrambi i lati dell'equazione per il più grande divisore comune valori assoluti dei suoi coefficienti.

Come esempio, usiamo l'equazione quadratica 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definiamo il MCD dei valori assoluti dei suoi coefficienti: MCD (12 , 42 , 48) = MCD(MCD (12 , 42) , 48) = MCD (6 , 48) = 6 . Dividiamo entrambe le parti dell'equazione quadratica originale per 6 e otteniamo l'equazione quadratica equivalente 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Moltiplicando entrambi i lati dell'equazione quadratica, i coefficienti frazionari vengono solitamente eliminati. In questo caso, moltiplicare per il minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se ogni parte dell'equazione quadratica 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 viene moltiplicata con LCM (6, 3, 1) \u003d 6, verrà scritta in più forma semplice x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Infine, notiamo che quasi sempre ci si sbarazza del meno al primo coefficiente dell'equazione quadratica, cambiando i segni di ciascun termine dell'equazione, che si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambe le parti per − 1. Ad esempio, dall'equazione quadratica - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, puoi andare alla sua versione semplificata 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relazione tra radici e coefficienti

La già nota formula per le radici delle equazioni quadratiche x = - b ± D 2 · a esprime le radici dell'equazione in termini di coefficienti numerici. Sulla base di questa formula, abbiamo l'opportunità di impostare altre dipendenze tra radici e coefficienti.

Le più famose e applicabili sono le formule del teorema di Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a e x 2 \u003d c a.

In particolare, per l'equazione quadratica data, la somma delle radici è il secondo coefficiente di segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, dalla forma dell'equazione quadratica 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, è possibile determinare immediatamente che la somma delle sue radici è 7 3 e il prodotto delle radici è 22 3.

Puoi anche trovare una serie di altre relazioni tra le radici e i coefficienti di un'equazione quadratica. Ad esempio, la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica può essere espressa in termini di coefficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Questo argomento può sembrare difficile all'inizio a causa dei molti formule semplici. Non solo le stesse equazioni quadratiche hanno voci lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. Ci sono tre nuove formule in totale. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule saranno ricordate da sole.

Vista generale dell'equazione quadratica

Qui viene proposta la loro notazione esplicita, quando viene scritto prima il grado più grande, e poi - in ordine decrescente. Spesso ci sono situazioni in cui i termini si distinguono. Quindi è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente del grado della variabile.

Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella sottostante.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche sono ridotte alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Lascia che questa formula sia indicata con il numero uno.

Quando viene data l'equazione, non è chiaro quante radici saranno nella risposta. Perché una delle tre opzioni è sempre possibile:

• la soluzione avrà due radici;
• la risposta sarà un numero;
• L'equazione non ha radici.

E mentre la decisione non viene portata a termine, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.

Tipi di record di equazioni quadratiche

Le attività possono avere voci diverse. Non sembreranno sempre la formula generale di un'equazione quadratica. A volte mancheranno alcuni termini. Quanto scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcosa di diverso. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre, possono scomparire solo i termini per i quali i coefficienti "b" e "c". Il numero "a" non può in nessun caso essere uguale a zero. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli completi, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Lascia che la prima formula sia il numero due e la seconda il numero tre.

Il discriminante e la dipendenza del numero di radici dal suo valore

Questo numero deve essere noto per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per calcolare il discriminante, devi usare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, la risposta all'equazione sarà due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Se è uguale a zero, la risposta sarà uno.

Come si risolve un'equazione quadratica completa?

In effetti, la considerazione di questo problema è già iniziata. Perché prima devi trovare il discriminante. Dopo aver chiarito che ci sono radici dell'equazione quadratica e il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, allora devi applicare una tale formula.

Poiché contiene il segno "±", ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto, la formula può essere riscritta in modo diverso.

Formula cinque. Dallo stesso record si può vedere che se il discriminante è zero, allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la soluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora elaborata, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma all'inizio c'è confusione.

Come si risolve un'equazione quadratica incompleta?

Tutto è molto più semplice qui. Anche non c'è bisogno di formule aggiuntive. E non avrai bisogno di quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto.

Innanzitutto, considera l'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza, si suppone che estragga il valore sconosciuto dalla parentesi e risolva l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché c'è un fattore costituito dalla variabile stessa. Il secondo si ottiene risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta al numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'equazione a destra. Quindi devi dividere per il coefficiente davanti all'ignoto. Resta solo da estrarre la radice quadrata e non dimenticare di scriverla due volte con segni opposti.

Di seguito sono riportate alcune azioni che ti aiutano a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti alla disattenzione. Queste carenze sono la causa di voti bassi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadriche (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere eseguite costantemente. Perché ci sarà un'abitudine stabile.

• Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, e poi - senza il grado e l'ultimo - solo un numero.

• Se un segno meno appare prima del coefficiente "a", allora può complicare il lavoro per un principiante studiare le equazioni quadratiche. È meglio sbarazzarsene. A tale scopo, ogni uguaglianza deve essere moltiplicata per "-1". Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno al contrario.

• Allo stesso modo, si consiglia di eliminare le frazioni. Basta moltiplicare l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 - 7x \u003d 0. È incompleta, quindi è risolta come descritto per la formula numero due.

Dopo il bracketing, risulta: x (x - 7) \u003d 0.

La prima radice assume il valore: x 1 = 0. La seconda verrà trovata da equazione lineare: x - 7 = 0. È facile vedere che x 2 = 7.

Seconda equazione: 5x2 + 30 = 0. Di nuovo incompleta. Solo è risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno numeri: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Terza equazione: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Qui e sotto, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole in vista standard: - x 2 - 2x + 15 = 0. Ora è il momento di usare il secondo consiglio utile e moltiplica tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Secondo la quarta formula, è necessario calcolare il discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. È un numero positivo. Da quanto detto sopra risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati secondo la quinta formula. Secondo esso, risulta che x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x \u003d 0 viene convertita in questo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questo compito sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 dovrebbe essere riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula per il discriminante, si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, ovvero: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede delle trasformazioni, che consistono nel fatto che bisogna portare i termini uguali, prima di aprire le parentesi. Al posto del primo ci sarà una tale espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 - x \u003d 0. È diventato incompleto . Simile ad esso è già stato considerato un po 'più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.

Con questo programma di matematica puoi risolvere equazioni di secondo grado.

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo di soluzione in due modi:
- usando il discriminante
- utilizzando il teorema di Vieta (se possibile).

Inoltre, la risposta viene visualizzata esatta, non approssimativa.
Ad esempio, per l'equazione \(81x^2-16x-1=0\), la risposta viene visualizzata in questo formato:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ invece di questo: \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Questo programma può essere utile per gli studenti delle scuole superiori scuole di istruzione generale in preparazione per lavoro di controllo e gli esami, quando si verifica la conoscenza prima dell'esame, i genitori controllano la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente farlo il prima possibile? compiti a casa matematica o algebra? In questo caso, puoi anche utilizzare i nostri programmi con una soluzione dettagliata.

Quindi, puoi eseguire il tuo propria formazione e/o formazione dei loro fratelli o sorelle minori, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo dei compiti da risolvere.

Se non hai familiarità con le regole per inserire un polinomio quadrato, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per l'inserimento di un polinomio quadrato

Qualsiasi lettera latina può fungere da variabile.
Ad esempio: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ecc.

I numeri possono essere inseriti come numeri interi o frazioni.
Inoltre, i numeri frazionari possono essere inseriti non solo sotto forma di decimale, ma anche sotto forma di frazione ordinaria.

Regole per l'inserimento delle frazioni decimali.
Nelle frazioni decimali, la parte frazionaria dall'intero può essere separata da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi inserire i decimali in questo modo: 2,5x - 3,5x^2

Regole per l'inserimento delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo.

Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
La parte intera è separata dalla frazione da una e commerciale: &
Ingresso: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Risultato: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Quando si inserisce un'espressione puoi usare le parentesi graffe. In questo caso, quando si risolve un'equazione quadratica, l'espressione introdotta viene prima semplificata.
Ad esempio: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

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Equazione quadratica e sue radici. Equazioni quadratiche incomplete

Ciascuna delle equazioni
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ha la forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
dove x è una variabile, a, b e c sono numeri.
Nella prima equazione a = -1, b = 6 e c = 1,4, nella seconda a = 8, b = -7 e c = 0, nella terza a = 1, b = 0 e c = 4/9. Tali equazioni sono chiamate equazioni quadratiche.

Definizione.
equazione quadrata viene chiamata un'equazione della forma ax 2 +bx+c=0, dove x è una variabile, a, b e c sono alcuni numeri e \(a \neq 0 \).

I numeri a, b e c sono i coefficienti dell'equazione quadratica. Il numero a è chiamato il primo coefficiente, il numero b è il secondo coefficiente e il numero c è l'intercetta.

In ciascuna delle equazioni della forma ax 2 +bx+c=0, dove \(a \neq 0 \), la massima potenza della variabile x è un quadrato. Da qui il nome: equazione quadratica.

Si noti che un'equazione quadratica è anche chiamata equazione di secondo grado, poiché il suo lato sinistro è un polinomio di secondo grado.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente in x 2 è 1 equazione quadratica ridotta. Ad esempio, le equazioni quadratiche date sono le equazioni
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Se nell'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0 almeno uno dei coefficienti b o c è uguale a zero, allora tale equazione è chiamata equazione quadratica incompleta. Quindi, le equazioni -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sono equazioni quadratiche incomplete. Nella prima b=0, nella seconda c=0, nella terza b=0 ec=0.

Le equazioni quadratiche incomplete sono di tre tipi:
1) ax 2 +c=0, dove \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, dove \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Considera la soluzione delle equazioni di ciascuno di questi tipi.

Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +c=0 per \(c \neq 0 \), il suo termine libero viene trasferito a destra ed entrambe le parti dell'equazione sono divise per a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Poiché \(c \neq 0 \), allora \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Se \(-\frac(c)(a)>0 \), allora l'equazione ha due radici.

Se \(-\frac(c)(a) Per risolvere un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0 per \(b \neq 0 \) fattorizza il suo lato sinistro e ottieni l'equazione
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Quindi, un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0 per \(b \neq 0 \) ha sempre due radici.

Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 \u003d 0 è equivalente all'equazione x 2 \u003d 0 e quindi ha una singola radice 0.

La formula per le radici di un'equazione quadratica

Consideriamo ora come si risolvono equazioni quadratiche in cui sia i coefficienti delle incognite che il termine libero sono diversi da zero.

Risolviamo l'equazione quadratica in forma generale e come risultato otteniamo la formula delle radici. Quindi questa formula può essere applicata per risolvere qualsiasi equazione quadratica.

Risolvi l'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0

Dividendo entrambe le sue parti per a, otteniamo l'equivalente equazione quadratica ridotta
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Trasformiamo questa equazione evidenziando il quadrato del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\sinistra(\frac(b)(2a)\destra)^2- \sinistra(\frac(b)(2a)\destra)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\sinistra(\frac(b)(2a)\destra)^2 = \sinistra(\frac(b)(2a)\destra)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Viene chiamata l'espressione radice discriminante di un'equazione quadratica ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” in latino - distinguitore). È indicato dalla lettera D, ad es.
\(Re = b^2-4ac\)

Ora, usando la notazione del discriminante, riscriviamo la formula per le radici dell'equazione quadratica:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), dove \(D= b^2-4ac \)

È ovvio che:
1) Se D>0, allora l'equazione quadratica ha due radici.
2) Se D=0, allora l'equazione quadratica ha una radice \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Quindi, a seconda del valore del discriminante, l'equazione quadratica può avere due radici (per D > 0), una radice (per D = 0) o nessuna radice (per D Quando si risolve un'equazione quadratica utilizzando questa formula , si consiglia di procedere nel seguente modo:
1) calcolare il discriminante e confrontarlo con zero;
2) se il discriminante è positivo o uguale a zero, usa la formula della radice, se il discriminante è negativo, allora scrivi che non ci sono radici.

Il teorema di Vieta

La data equazione quadratica ax 2 -7x+10=0 ha radici 2 e 5. La somma delle radici è 7 e il prodotto è 10. Vediamo che la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente, preso con il segno opposto e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Qualsiasi equazione quadratica ridotta che ha radici ha questa proprietà.

La somma delle radici dell'equazione quadratica data è uguale al secondo coefficiente, preso con il segno opposto, e il prodotto delle radici è uguale al termine libero.

Quelli. Il teorema di Vieta afferma che le radici x 1 e x 2 dell'equazione quadratica ridotta x 2 +px+q=0 hanno la proprietà:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)