Gli elementi principali del triangolo abc. Cos'è la bisettrice di un triangolo: proprietà relative alle proporzioni

Tra le numerose materie della scuola secondaria c'è la "geometria". Si ritiene tradizionalmente che i fondatori di questa scienza sistematica siano i greci. Oggi la geometria greca è chiamata elementare, poiché è stata lei a iniziare lo studio delle forme più semplici: piani, linee e triangoli. Ci concentreremo su quest'ultimo, o meglio sulla bisettrice di questa figura. Per chi l'avesse già dimenticato, la bisettrice di un triangolo è un segmento della bisettrice di uno degli angoli del triangolo, che lo divide a metà e collega il vertice a un punto situato sul lato opposto.

La bisettrice di un triangolo ha una serie di proprietà che devi conoscere quando risolvi determinati problemi:

• La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati adiacenti all'angolo.
• La bisettrice in un triangolo divide il lato opposto dell'angolo in segmenti proporzionali ai lati adiacenti. Ad esempio, dato il triangolo MKB, dove una bisettrice emerge dall'angolo K, collegando il vertice di questo angolo con il punto A sul lato opposto di MB. Dopo aver analizzato questa proprietà e il nostro triangolo, abbiamo MA/AB=MK/KB.
• Il punto in cui si intersecano le bisettrici di tutti e tre gli angoli di un triangolo è il centro di un cerchio inscritto nello stesso triangolo.
• Le basi delle bisettrici di un angolo esterno e di due angoli interni sono sulla stessa retta, a condizione che la bisettrice dell'angolo esterno non sia parallela al lato opposto del triangolo.
• Se due bisettrici di uno allora questo

Va notato che se vengono fornite tre bisettrici, è impossibile costruire un triangolo usandole, anche con l'aiuto di un compasso.

Molto spesso, quando si risolvono problemi, la bisettrice di un triangolo è sconosciuta, ma è necessario determinarne la lunghezza. Per risolvere un problema del genere, è necessario conoscere l'angolo diviso a metà dalla bisettrice e i lati adiacenti a questo angolo. In questo caso, la lunghezza desiderata è definita come il rapporto tra il doppio prodotto dei lati adiacenti all'angolo e il coseno dell'angolo diviso a metà per la somma dei lati adiacenti all'angolo. Ad esempio, dato lo stesso triangolo MKB. La bisettrice lascia l'angolo K e interseca il lato opposto di MB nel punto A. L'angolo da cui parte la bisettrice è indicato con y. Ora annotiamo tutto ciò che viene detto a parole sotto forma di formula: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Se il valore dell'angolo da cui esce la bisettrice del triangolo è sconosciuto, ma tutti i suoi lati sono noti, allora per calcolare la lunghezza della bisettrice utilizzeremo una variabile aggiuntiva, che chiameremo semiperimetro e indicheremo dalla lettera P: P=1/2*(MK+KB+MB). Successivamente, apporteremo alcune modifiche alla formula precedente, secondo la quale è stata determinata la lunghezza della bisettrice, ovvero, nel numeratore della frazione mettiamo il doppio del prodotto delle lunghezze dei lati adiacenti all'angolo per il semiperimetro e il quoziente, dove la lunghezza del terzo lato viene sottratta dal semiperimetro. Lasciamo invariato il denominatore. Sotto forma di formula, sarà simile a questo: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

La bisettrice di un triangolo isoscele, insieme a proprietà comuni, ne ha molte proprie. Ricordiamo cos'è un triangolo. In un tale triangolo, due lati sono uguali e gli angoli adiacenti alla base sono uguali. Ne consegue che le bisettrici che scendono ai lati di un triangolo isoscele sono uguali tra loro. Inoltre la bisettrice abbassata alla base è contemporaneamente altezza e mediana.

Gli angoli interni di un triangolo si chiamano bisettrice del triangolo.
La bisettrice di un triangolo è anche intesa come il segmento compreso tra il suo vertice e il punto di intersezione della bisettrice con il lato opposto del triangolo.
Teorema 8. Le tre bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto.
In effetti, considera prima il punto Р dell'intersezione di due bisettrici, ad esempio AK 1 e VC 2. Questo punto è ugualmente distante dai lati AB e AC, poiché giace sulla bisettrice dell'angolo A, ed è ugualmente distante dai lati AB e BC, in quanto appartenente alla bisettrice dell'angolo B. Pertanto, è ugualmente distante dal lati AC e BC e quindi appartiene alla terza bisettrice SK 3 , cioè nel punto P tutte e tre le bisettrici si intersecano.
Proprietà delle bisettrici degli angoli interni ed esterni di un triangolo
Teorema 9. La bisettrice dell'angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali ai lati adiacenti.
Prova. Consideriamo il triangolo ABC e la bisettrice del suo angolo B. Tracciamo una retta CM passante per il vertice C, parallela alla bisettrice BK, fino ad intersecarsi nel punto M come prolungamento del lato AB. Poiché VC è la bisettrice dell'angolo ABC, allora ∠ ABK=∠ KBC. Inoltre, ∠ ABK=∠ VMS, come gli angoli corrispondenti alle rette parallele, e ∠ KBC=∠ VCM, come gli angoli trasversali alle rette parallele. Quindi ∠ VCM=∠ VMS, e quindi il triangolo VMS è isoscele, quindi BC=VM. Secondo il teorema sulle rette parallele che intersecano i lati di un angolo, abbiamo AK:K C=AB:VM=AB:BC, che doveva essere dimostrato.
Teorema 10 La bisettrice dell'angolo esterno B del triangolo ABC ha una proprietà simile: i segmenti AL e CL dai vertici A e C al punto L dell'intersezione della bisettrice con il prolungamento del lato AC sono proporzionali ai lati di il triangolo: AL: CL=AB :BC.
Questa proprietà si dimostra allo stesso modo della precedente: nella figura si traccia una retta ausiliaria CM, parallela alla bisettrice BL . Gli angoli BMC e BCM sono uguali, il che significa che i lati BM e BC del triangolo BMC sono uguali. Da cui arriviamo alla conclusione AL:CL=AB:BC.

Teorema d4. (la prima formula per la bisettrice): Se nel triangolo ABC il segmento AL è la bisettrice dell'angolo A, allora AL? = AB AC - LB LC.

Prova: Sia M il punto di intersezione della retta AL con il cerchio circoscritto al triangolo ABC (fig. 41). L'angolo BAM è uguale all'angolo MAC per convenzione. Gli angoli BMA e BCA sono uguali come angoli inscritti basati sulla stessa corda. Quindi, i triangoli BAM e LAC sono simili in due angoli. Pertanto, AL: AC = AB: AM. Quindi AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Che è ciò che doveva essere dimostrato. Nota: per il teorema sui segmenti di corde intersecantisi in una circonferenza e sugli angoli inscritti, vedi l'argomento cerchio e cerchio.

Teorema d5. (seconda formula per la bisettrice): Nel triangolo ABC di lati AB=a, AC=b e angolo A uguale a 2? e la bisettrice l, l'uguaglianza avviene:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Prova: Sia ABC un triangolo dato, AL la sua bisettrice (Fig. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Allora S ABC = S ALB + S ALC . Quindi absin2? = alsino? +blsin?<=>2assenzio? cos? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Il teorema è stato dimostrato.

Qual è la bisettrice di un triangolo? A questa domanda, alcune persone hanno il famigerato topo che corre dietro gli angoli e divide l'angolo a metà. "Se la risposta deve essere "con umorismo", allora forse è corretta. Ma da un punto di vista scientifico, la risposta a questa domanda avrebbe dovuto suonare più o meno così: iniziando dalla parte superiore dell'angolo e dividendo quest'ultimo in due parti uguali. In geometria, questa figura è anche percepita come un segmento della bisettrice finché non si interseca con il lato opposto del triangolo. Questo non è opinione errata. E cos'altro si sa della bisettrice dell'angolo, oltre alla sua definizione?

Come ogni luogo dei punti, ha le sue caratteristiche. Il primo piuttosto non è nemmeno un segno, ma un teorema che può essere brevemente espresso come segue: "Se il lato opposto è diviso in due parti da una bisettrice, allora il loro rapporto corrisponderà al rapporto tra i lati di un grande triangolo."

La seconda proprietà che ha: il punto di intersezione delle bisettrici di tutti gli angoli si chiama incentro.

Il terzo segno: le bisettrici di un angolo interno e due angoli esterni di un triangolo si intersecano al centro di uno dei tre cerchi in esso inscritti.

La quarta proprietà della bisettrice di un triangolo è che se ciascuna di esse è uguale, l'ultima è isoscele.

Il quinto segno riguarda anche un triangolo isoscele ed è la linea guida principale per il suo riconoscimento nel disegno da parte delle bisettrici, ovvero: in un triangolo isoscele funge contemporaneamente da mediana e altezza.

Una bisettrice angolare può essere costruita utilizzando una riga e un compasso:

La sesta regola dice che è impossibile costruire un triangolo utilizzando quest'ultimo solo con le bisettrici a disposizione, così come è impossibile costruire in questo modo un raddoppio di un cubo, un quadrato di un cerchio e una trisezione di un angolo. A rigor di termini, queste sono tutte le proprietà della bisettrice dell'angolo di un triangolo.

Se leggi attentamente il paragrafo precedente, forse eri interessato a una frase. "Qual è la trisezione di un angolo?" - lo chiederai sicuramente. La trisettrice è un po 'simile alla bisettrice, ma se disegni quest'ultima, l'angolo sarà diviso in due parti uguali e, quando costruisci una trisezione, in tre. Naturalmente, la bisettrice di un angolo è più facile da ricordare, perché la trisezione non viene insegnata a scuola. Ma per completezza ve ne parlerò.

Il trisettore, come dicevo, non si costruisce solo con compasso e righello, ma si può creare usando le regole di Fujita e alcune curve: chiocciole di Pascal, quadratiche, concoidi di Nicomedes, sezioni coniche,

I problemi sulla trisezione di un angolo sono risolti semplicemente con l'aiuto di nevsis.

In geometria esiste un teorema sulle trisettrici di un angolo. Si chiama teorema di Morley (Morley). Afferma che i punti di intersezione dei trisettori al centro di ciascun angolo saranno i vertici

Un piccolo triangolo nero all'interno di uno grande sarà sempre equilatero. Questo teorema fu scoperto dallo scienziato britannico Frank Morley nel 1904.

Ecco quanto puoi imparare sulla divisione di un angolo: la trisettrice e la bisettrice di un angolo richiedono sempre spiegazioni dettagliate. Ma qui sono state date molte definizioni che non sono state ancora rivelate da me: lumaca di Pascal, conchoide di Nicomedes, ecc. Senza dubbio, si può scrivere di più su di loro.

PROPRIETÀ DELLA BISSETTORE

Proprietà della bisettrice: in un triangolo, la bisettrice divide il lato opposto in segmenti proporzionali ai lati adiacenti.

Bisettrice di un angolo esterno La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo interseca l'estensione del suo lato in un punto, le cui distanze dalle estremità di questo lato sono proporzionali, rispettivamente, ai lati adiacenti del triangolo. C B A D

Formule di lunghezza della bisettrice:

La formula per trovare le lunghezze dei segmenti in cui la bisettrice divide il lato opposto del triangolo

La formula per trovare il rapporto tra le lunghezze dei segmenti in cui è divisa la bisettrice per il punto di intersezione delle bisettrici

Problema 1. Una delle bisettrici di un triangolo è divisa per il punto di intersezione delle bisettrici in un rapporto di 3:2, contando dal vertice. Trova il perimetro di un triangolo se la lunghezza del lato del triangolo a cui è disegnata questa bisettrice è di 12 cm.

Soluzione Usiamo la formula per trovare il rapporto tra le lunghezze dei segmenti in cui è divisa la bisettrice per il punto di intersezione delle bisettrici nel triangolo: 30. Risposta: P = 30cm.

Compito 2 . Le bisettrici BD e CE ∆ ABC si intersecano nel punto O. AB=14, BC=6, AC=10. Trova OD.

Soluzione. Usiamo la formula per trovare la lunghezza della bisettrice: Abbiamo: BD = BD = = Secondo la formula per il rapporto dei segmenti in cui è divisa la bisettrice per il punto di intersezione delle bisettrici: l = . 2 + 1 = 3 parti di tutto.

questa è la parte 1  OD = Risposta: OD =

Problemi In ∆ ABC si disegnano le bisettrici AL e BK. Trova la lunghezza del segmento KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. In ∆ ABC, viene disegnata la bisettrice AD ​​e attraverso il punto D c'è una linea retta parallela ad AC e che interseca AB nel punto E. Trova il rapporto tra le aree ∆ ABC e ∆ BDE , se AB = 5, AC = 7. Trova le bisettrici degli angoli acuti di un triangolo rettangolo con cateti di 24 cm e 18 cm. Bisettrice in un triangolo rettangolo angolo acuto divide la gamba opposta in segmenti lunghi 4 e 5 cm Determina l'area del triangolo.

5. In un triangolo isoscele, la base e il lato misurano rispettivamente 5 e 20 cm Trova la bisettrice dell'angolo alla base del triangolo. 6. Trova la bisettrice dell'angolo retto di un triangolo le cui gambe sono uguali a e b. 7. Calcola la lunghezza della bisettrice dell'angolo A del triangolo ABC con lati di lunghezza a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Trova il rapporto in cui le bisettrici degli angoli interni si dividono nel punto della loro intersezione.

Risposte: Risposta: Risposta: Risposta: Risposta: Risposta: Risposta: Risposta: Risposta: AP = 6 AP = 10 vedi KL = CP =

La bisettrice di un triangolo è un concetto geometrico comune che non causa molte difficoltà nell'apprendimento. Conoscendo le sue proprietà, molti problemi possono essere risolti senza troppe difficoltà. Cos'è una bisettrice? Cercheremo di far conoscere al lettore tutti i segreti di questa linea matematica.

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L'essenza del concetto

Il nome del concetto deriva dall'uso di parole in latino, il cui significato è "bi" - due, "sectio" - tagliato. Indicano specificamente il significato geometrico del concetto: rompere lo spazio tra i raggi in due parti uguali.

La bisettrice di un triangolo è un segmento che ha origine dalla parte superiore della figura, e l'altra estremità è posta sul lato opposto, dividendo lo spazio in due parti identiche.

Molti insegnanti per una rapida memorizzazione associativa di concetti matematici da parte degli studenti usano una terminologia diversa, che viene visualizzata in versi o associazioni. Naturalmente, questa definizione è consigliata per i bambini più grandi.

Come è segnata questa linea? Qui ci affidiamo alle regole per designare segmenti o raggi. Se noi stiamo parlando sulla designazione della bisettrice dell'angolo di una figura triangolare, di solito è scritto come un segmento, le cui estremità sono vertice e il punto di intersezione con il lato opposto del vertice. Inoltre, l'inizio della designazione è scritto esattamente dall'alto.

Attenzione! Quante bisettrici ha un triangolo? La risposta è ovvia: tanti quanti sono i vertici - tre.

Proprietà

Oltre alla definizione, libro di testo scolastico non si possono trovare molte proprietà di questo concetto geometrico. La prima proprietà della bisettrice di un triangolo, a cui vengono introdotti gli scolari, è il centro inscritto, e la seconda, direttamente correlata ad esso, è la proporzionalità dei segmenti. La linea di fondo è questa:

1. Qualunque sia la linea di demarcazione, ci sono dei punti su di essa che lo sono alla stessa distanza dai lati, che costituiscono lo spazio tra i raggi.
2. Per inscrivere un cerchio in una figura triangolare, è necessario determinare il punto in cui questi segmenti si intersecheranno. Questo è il punto centrale del cerchio.
3. Parti di un lato triangolare figura geometrica, in cui si divide la sua linea di demarcazione, sono in proporzione ai lati che formano l'angolo.

Cercheremo di portare il resto delle caratteristiche in un sistema e presenteremo fatti aggiuntivi che aiuteranno a comprendere meglio i meriti di questo concetto geometrico.

Lunghezza

Uno dei tipi di compiti che causano difficoltà agli scolari è trovare la lunghezza della bisettrice dell'angolo di un triangolo. La prima opzione, in cui si trova la sua lunghezza, contiene i seguenti dati:

• la dimensione dello spazio tra i raggi, dalla sommità del quale emerge il dato segmento;
• le lunghezze dei lati che formano questo angolo.

Per risolvere il problema la formula è usata, il cui significato è trovare il rapporto tra il prodotto raddoppiato dei valori dei lati che compongono l'angolo, per il coseno della sua metà, e la somma dei lati.

Diamo un'occhiata a un esempio specifico. Supponiamo che ci venga data una figura ABC, in cui il segmento è disegnato dall'angolo A e interseca il lato BC nel punto K. Indichiamo il valore di A con Y. Sulla base di ciò, AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

La seconda versione del problema, in cui viene determinata la lunghezza della bisettrice di un triangolo, contiene i seguenti dati:

• sono noti i valori di tutti i lati della figura.

Quando si risolve un problema di questo tipo, inizialmente determinare il semiperimetro. Per fare ciò, aggiungi i valori di tutti i lati e dividi a metà: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Successivamente, applichiamo la formula di calcolo, che è stata utilizzata per determinare la lunghezza di questo segmento nel problema precedente. È solo necessario apportare alcune modifiche all'essenza della formula in conformità con i nuovi parametri. Quindi, è necessario trovare il rapporto tra la doppia radice di secondo grado dal prodotto delle lunghezze dei lati che sono adiacenti alla sommità, al semiperimetro e la differenza tra il semiperimetro e la lunghezza di il lato opposto alla somma dei lati che compongono l'angolo. Cioè, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Attenzione! Per facilitare la padronanza del materiale, puoi fare riferimento a quello disponibile su Internet racconti comici, raccontando le "avventure" di questa linea.