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내접각과 중심각의 각도 측정. 원과 내각

각도 ABC는 내각입니다. 그것은 측면 사이에 둘러싸인 호 AC에 있습니다 (그림 330).

정리. 내접각은 가로채는 호의 절반으로 측정됩니다.

이것은 다음과 같이 이해되어야 합니다: 내접각은 그것이 놓여 있는 호의 절반에 포함된 호도, 분 및 초만큼 많은 각도, 분 및 초를 포함합니다.

이 정리를 증명하려면 세 가지 경우를 고려해야 합니다.

첫 번째 경우. 원의 중심은 내접각 측면에 있습니다(그림 331).

∠ABC를 내각이라고 하고 원 O의 중심은 변 BC에 있습니다. 아크 AC의 절반으로 측정되었음을 증명해야 합니다.

점 A를 원의 중심에 연결합니다. 같은 원의 반지름으로 AO = OB인 이등변 $\Delta$AOB를 얻습니다. 따라서 ∠A = ∠B입니다.

∠AOC는 삼각형 AOB의 외부에 있으므로 ∠AOC = ∠A + ∠B이고 각도 A와 B가 같으므로 ∠B는 1/2 ∠AOC입니다.

그러나 ∠AOC는 아크 AC로 측정되므로 ∠B는 아크 AC의 절반으로 측정됩니다.

예를 들어 $\breve(AC)$에 60°18'가 포함되어 있으면 ∠B에는 30°9'가 포함됩니다.

두 번째 경우. 원의 중심은 내접각의 측면 사이에 있습니다(그림 332).

∠ABD를 내접각이라고 하자. 원 O의 중심은 두 변 사이에 있습니다. ∠ABD가 아크 AD의 절반으로 측정됨을 증명해야 합니다.

이를 증명하기 위해 지름 BC를 그려봅시다. 각도 ABD는 ∠1과 ∠2의 두 각도로 나뉩니다.

∠1은 호 AC의 절반으로 측정되고 ∠2는 호 CD의 절반으로 측정되므로 전체 ∠ABD는 1/2 $\breve(AC)$ + 1/2 $ \breve(CD)$, 즉 원호 AD의 절반.

예를 들어 $\breve(AD)$에 124°가 포함된 경우 ∠B에는 62°가 포함됩니다.

세 번째 경우. 원의 중심은 내접각 밖에 있습니다(그림 333).

∠MAD를 내접각이라고 하자. 원 O의 중심은 코너 밖에 있습니다. ∠MAD가 호 MD의 절반으로 측정된다는 것을 증명해야 합니다.

이를 증명하기 위해 직경 AB를 그려봅시다. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. 그러나 ∠MAB은 1/2 $\breve(MB)$이고 ∠DAB는 1/2 $\breve(DB)$입니다.

따라서 ∠MAD는 1/2($\breve(MB) - \breve(DB))$, 즉 1/2 $\breve(MD)$를 측정합니다.

예를 들어 $\breve(MD)$에 48° 38"가 포함된 경우 ∠MAD에는 24° 19' 8"가 포함됩니다.

결과
1. 같은 호를 기준으로 하는 모든 내접각은 같은 호의 절반으로 측정되므로 서로 동일합니다. (그림 334, a).

2. 지름을 기준으로 한 내각은 반원을 기준으로 하므로 직각입니다. 원의 절반은 180각도를 포함하는데, 이는 직경을 기준으로 한 각도가 90각도를 포함함을 의미합니다(그림 334, b).

내접각과 중심각의 개념

먼저 중심각의 개념을 소개하겠습니다.

비고 1

참고 중심각의 각도 측정은 가로채는 호의 각도 측정과 같습니다..

이제 내접각의 개념을 소개합니다.

정의 2

정점이 원 위에 있고 변이 같은 원과 교차하는 각도를 내접각이라고 합니다(그림 2).

그림 2. 내접각

내접각 정리

정리 1

내접각의 척도는 가로채는 호의 척도의 절반입니다.

증거.

점 $O$를 중심으로 하는 원이 주어집니다. 내접각 $ACB$를 표시합니다(그림 2). 다음 세 가지 경우가 가능합니다.

광선 $CO$는 각도의 일부 측면과 일치합니다. 이것이 $CB$ 쪽이 되도록 합니다(그림 3).

그림 3

이 경우 호 $AB$는 $(180)^(()^\circ )$보다 작으므로 중심각 $AOB$는 호 $AB$와 같습니다. $AO=OC=r$이므로 삼각형 $AOC$는 이등변입니다. 따라서 기본 각도 $CAO$와 $ACO$는 같습니다. 삼각형의 외각 정리에 따르면 다음과 같습니다.

Ray $CO$는 내각을 두 각으로 나눕니다. $D$ 지점에서 원과 교차하도록 합니다(그림 4).

그림 4

우리는 얻는다

광선 $CO$는 내각을 두 각으로 나누지 않으며 어떤 변과도 일치하지 않습니다(그림 5).

그림 5

각도 $ACD$ 및 $DCB$를 별도로 고려하십시오. 항목 1에서 증명한 바에 따르면,

우리는 얻는다

정리가 입증되었습니다.

가져오자 결과이 정리에서.

결론 1:같은 호와 교차하는 내접각은 같습니다.

결과 2:지름을 가로지르는 내접각은 직각입니다.

내접각과 중심각의 개념

먼저 중심각의 개념을 소개하겠습니다.

비고 1

참고 중심각의 각도 측정은 가로채는 호의 각도 측정과 같습니다..

이제 내접각의 개념을 소개합니다.

정의 2

정점이 원 위에 있고 변이 같은 원과 교차하는 각도를 내접각이라고 합니다(그림 2).

그림 2. 내접각

내접각 정리

정리 1

내접각의 척도는 가로채는 호의 척도의 절반입니다.

증거.

점 $O$를 중심으로 하는 원이 주어집니다. 내접각 $ACB$를 표시합니다(그림 2). 다음 세 가지 경우가 가능합니다.

광선 $CO$는 각도의 일부 측면과 일치합니다. 이것이 $CB$ 쪽이 되도록 합니다(그림 3).

그림 3

Ray $CO$는 내각을 두 각으로 나눕니다. $D$ 지점에서 원과 교차하도록 합니다(그림 4).

그림 4

우리는 얻는다

광선 $CO$는 내각을 두 각으로 나누지 않으며 어떤 변과도 일치하지 않습니다(그림 5).

그림 5

각도 $ACD$ 및 $DCB$를 별도로 고려하십시오. 항목 1에서 증명한 바에 따르면,

우리는 얻는다

정리가 입증되었습니다.

가져오자 결과이 정리에서.

결론 1:같은 호와 교차하는 내접각은 같습니다.

결과 2:지름을 가로지르는 내접각은 직각입니다.

내접각, 문제론. 친구! 이 기사에서는 내접각의 속성을 알아야 하는 솔루션에 대한 작업에 대해 설명합니다. 이것은 전체 작업 그룹이며 시험에 포함됩니다. 대부분은 한 번에 매우 간단하게 해결됩니다.

더 어려운 작업이 있지만 그다지 어렵지는 않으므로 내각의 속성을 알아야합니다. 점차적으로 작업의 모든 프로토 타입을 분석하고 블로그에 초대합니다!

지금 필요한 이론. 이러한 각도가 의존하는 중앙 및 내접 각도, 현, 호를 기억하십시오.

원의 중심각을 평면각이라고 합니다.그 중심에 있는 절정.
평평한 모서리 안에 있는 원의 일부원의 호라고 합니다.
원호의 각도 측정은 각도 측정입니다.해당 중심각.
각의 꼭지점이 있으면 각을 원에 내접한 각이라고 합니다.원에 있고 각도의 측면이 이 원과 교차합니다.

원 위의 두 점을 연결한 선분을 선분이라고 합니다.현. 가장 긴 코드는 원의 중심을 통과하며 호출됩니다.지름.

원에 내접하는 각도에 대한 문제를 풀려면,다음 속성을 알아야 합니다.

1. 내접각은 같은 호를 기준으로 중심각의 절반과 같다.

2. 같은 호를 기준으로 하는 내접각은 모두 같다.

3. 같은 현을 기준으로 하는 모든 내접각의 정점이 이 현의 같은 쪽에 있는 각도는 동일합니다.

4. 정점이 현의 반대쪽에 있는 동일한 현을 기반으로 하는 모든 각도 쌍은 최대 180°가 됩니다.

결론: 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 180도입니다.

5. 직경을 기준으로 한 모든 내접각은 직선입니다.

일반적으로 이 속성은 속성 (1)의 결과입니다. 특별한 경우. 보세요-중심 각도는 180도입니다 (이 전개 각도는 직경에 불과합니다). 즉, 첫 번째 속성에 따르면 내접 각도 C는 절반, 즉 90도입니다.

이 속성에 대한 지식은 많은 문제를 해결하는 데 도움이 되며 종종 불필요한 계산을 피할 수 있습니다. 그것을 잘 마스터하면 이러한 유형의 문제의 절반 이상을 구두로 해결할 수 있습니다. 발생할 수 있는 두 가지 결과:

추론 1: 삼각형이 원에 내접하고 그 변 중 하나가 이 원의 지름과 일치하면 삼각형은 직각입니다(직각의 꼭지점이 원 위에 놓임).

결론 2: 서술된 about의 중심 정삼각형원은 빗변의 중심점과 일치합니다.

입체 측정 문제의 많은 프로토타입도 이 속성과 이러한 추론을 사용하여 해결됩니다. 사실 자체를 기억하십시오. 원의 지름이 내접 삼각형의 한 변이면 이 삼각형은 직각입니다(지름 반대 각도는 90도). 다른 모든 결론과 결과는 스스로 도출할 수 있으며 가르칠 필요가 없습니다.

일반적으로 내접각에 대한 문제의 절반은 스케치로 제공되지만 표기는 없습니다. 문제를 해결할 때 추론 과정을 이해하기 위해 (기사 아래) 꼭지점 (모서리) 지정이 도입되었습니다. 시험에서 당신은 이것을 할 수 없습니다.작업을 고려하십시오.

원의 반지름과 같은 현을 가로채는 예각은 무엇입니까? 답을 도 단위로 제공하십시오.

주어진 내각에 대한 중심각을 만들고 꼭지점을 나타냅니다.

원에 내접하는 각도의 성질에 따르면,

각도 AOB는 삼각형 AOB가 정삼각형이고 정삼각형에서 모든 각도가 60 0이기 때문에 60 0과 같습니다. 현이 반지름과 같다는 조건이 있으므로 삼각형의 변은 같습니다.

따라서 내접각 DIA는 30 0 입니다.

답: 30

반지름이 3인 원에 내접하는 각도 30 0이 있는 현을 찾으십시오.

이것은 본질적으로 (이전 문제의) 반대 문제입니다. 중앙 코너를 만들자.

그것은 새겨진 것보다 두 배 더 큽니다. 즉, 각도 AOB는 60 0 입니다. 이것으로부터 우리는 삼각형 AOB가 등변이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 현은 반경, 즉 3과 같습니다.

답변: 3

원의 반지름은 1입니다. 2의 근과 같은 현을 기준으로 둔각 내접각의 값을 찾으십시오. 답을 도 단위로 제공하십시오.

중심각을 만들어 봅시다:

반지름과 현을 알면 중심각 DIA를 찾을 수 있습니다. 이것은 코사인 법칙을 사용하여 수행할 수 있습니다. 중심각을 알면 내접각 ACB를 쉽게 찾을 수 있습니다.

코사인 정리: 삼각형의 한 변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같습니다. 단, 각 변의 코사인을 곱한 값은 두 배가 되지 않습니다.

따라서 두 번째 중심각은 360 0 – 90 0 = 270 0 .

내접각의 성질에 따라 각 DIA는 그 절반, 즉 135도이다.

답: 135

반지름의 원 안에 3의 근인 120도의 각도가 새겨진 현을 찾아라.

점 A와 B를 원의 중심에 연결하십시오. 그것을 O라고 하자:

우리는 반지름과 내접각 DIA를 알고 있습니다. 중심각 AOB(180도 이상)를 찾은 다음 삼각형 AOB에서 각 AOB를 찾을 수 있습니다. 그런 다음 코사인 정리를 사용하여 AB를 계산합니다.

내접각의 성질에 의해 중심각 AOB(180도 이상)는 내접각의 2배, 즉 240도가 됩니다. 이것은 삼각형 AOB의 각도 AOB가 360 0 - 240 0 = 120 0임을 의미합니다.

코사인 법칙에 따르면:

답변:3

원의 20%인 호를 기준으로 내각을 구합니다. 답을 도 단위로 제공하십시오.

내접각의 성질에 의해 같은 호를 기준으로 한 중심각의 크기의 절반, 이 경우우리는 호 AB에 대해 이야기하고 있습니다.

호 AB는 원주의 20%라고 합니다. 이는 중심각 AOB도 360°의 20%임을 의미합니다.* 원은 360도 각도입니다. 수단,

따라서 내접각 ACB는 36도이다.

답: 36

원호 교류, 포인트를 포함하지 않음 비, 200도입니다. 그리고 점을 포함하지 않는 원 BC의 호 ㅏ, 80도입니다. 내접각 ACB를 구합니다. 답을 도 단위로 제공하십시오.

명확성을 위해 각도 측정이 주어진 호를 표시하겠습니다. 200도에 해당하는 호 - 파란색, 80도에 해당하는 호는 빨간색이고 나머지 원은 노란색입니다.

따라서 호 AB(노란색)의 각도 측정값과 중심각 AOB는 다음과 같습니다. 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

내접각 DAB는 중심각 AOB의 절반, 즉 40도입니다.

답: 40

원의 지름을 기준으로 한 내접각은 얼마입니까? 답을 도 단위로 제공하십시오.

이것은 두 개가 이루는 각이다. 화음원의 한 지점에서 시작됩니다. 내접각이라고 한다 의지하다측면 사이에 둘러싸인 호에서.

내접각그것이 놓인 호의 절반과 같습니다.

다시 말해서, 내접각다음과 같이 많은 도, 분 및 초를 포함합니다. 아크도, 분과 초는 의존하는 호의 절반으로 둘러싸여 있습니다. 정당화를 위해 세 가지 경우를 분석합니다.

첫 번째 경우:

중앙 O는 측면에 있습니다. 내접각 ABS. 반지름 AO를 그리면 ΔABO를 얻습니다. 여기서 OA = OB(반지름)이므로 ∠ABO = ∠BAO입니다. 이와 관련하여 삼각형, 각도 AOC는 외부입니다. 따라서 각도 ABO와 BAO의 합과 같거나 이중 각도 ABO와 같습니다. 그래서 ∠ABO는 반 중앙 코너 AOC. 그러나이 각도는 호 AC로 측정됩니다. 즉, 내접각 ABC는 호 AC의 절반으로 측정됩니다.

두 번째 경우:

중심 O는 측면 사이에 위치합니다. 내접각 ABC 직경 BD를 그린 후 각도 ABC를 두 개의 각도로 나눌 것입니다. 첫 번째 경우에 설정된 각도에 따라 하나는 절반으로 측정됩니다. 호 AD, 아크 CD의 나머지 절반. 따라서 각도 ABC는 (AD + DC) / 2로 측정됩니다. 1/2 AC.

세 번째 경우:

센터 O는 외부에 있습니다. 내접각 ABS. 지름 BD를 그리면 다음과 같이 됩니다. ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . 그러나 각도 ABD 및 CBD는 이전에 입증된 절반을 기준으로 측정됩니다. 호광고 및 CD. 그리고 ∠ABС는 (AD-CD)/2, 즉 AC 아크의 절반으로 측정되기 때문입니다.

결과 1.동일한 호를 기반으로 하는 모든 은 동일합니다. 즉, 서로 동일합니다. 그들 각각은 같은 반으로 측정되기 때문에 호 .

결과 2. 내접각, 직경 기준 - 직각. 이러한 각 각도는 반원의 절반으로 측정되므로 90 °를 포함합니다.