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함수 그래프 연구. 미분법에 의한 함수의 조사

미분학의 가장 중요한 작업 중 하나는 개발입니다. 일반적인 예기능의 행동에 대한 연구.

함수 y \u003d f (x)가 구간에서 연속적이고 그 도함수가 구간 (a, b)에서 양수이거나 0이면 y \u003d f (x)는 (f "(x) 0). 함수 y \u003d f (x)가 세그먼트에서 연속적이면 , 그 미분은 간격 (a,b)에서 음수이거나 0과 같으면 y=에프(엑스) 감소 (에프"( x)0)

함수가 감소하거나 증가하지 않는 구간을 함수의 단조 구간이라고 합니다. 함수의 단조성 특성은 1차 미분의 부호가 변경되는 정의 영역의 해당 지점에서만 변경될 수 있습니다. 함수의 1차 도함수가 사라지거나 중단되는 지점을 임계점이라고 합니다.

정리 1(극값이 존재하기 위한 첫 번째 충분 조건).

함수 y=f(x)를 점 x 0에서 정의하고 이웃 δ>0이 있게 하여 함수가 구간 에서 연속이고 간격 (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , 그리고 그 도함수는 이러한 각 구간에서 일정한 부호를 유지합니다. 그런 다음 x 0 -δ, x 0) 및 (x 0, x 0 + δ)에서 도함수의 부호가 다른 경우 x 0은 극한점이며 일치하면 x 0은 극한점이 아닙니다. . 또한, 점 x0을 지날 때 미분의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면(x 0의 왼쪽으로 f"(x)> 0이 수행되면 x 0이 최대점, 미분의 부호가 바뀌면 마이너스에서 플러스로 (x 0의 오른쪽은 f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

최대값과 최소값을 함수의 극한값이라고 하고 함수의 최대값과 최소값을 극값이라고 합니다.

정리 2(국소 극값에 필요한 기준).

함수 y=f(x)가 현재 x=x 0에서 극값을 갖는 경우 f'(x 0)=0 또는 f'(x 0)이 존재하지 않습니다.
미분 가능 함수의 극한 지점에서 그래프의 접선은 Ox 축과 평행합니다.

극값에 대한 함수를 연구하기 위한 알고리즘:

1) 함수의 미분을 찾습니다.
2) 임계점 찾기, 즉 함수가 연속이고 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점.
3) 각 점의 이웃을 고려하고 이 점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 도함수의 부호를 조사합니다.
4) 극점의 좌표를 결정하고 이 임계점 값을 이 함수로 대체합니다. 충분한 극한 조건을 사용하여 적절한 결론을 도출합니다.

예 18. 함수 y=x 3 -9x 2 +24x를 조사합니다.

해결책.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) 도함수를 0으로 하면 x 1 =2, x 2 =4가 됩니다. 안에 이 경우도함수는 모든 곳에서 정의됩니다. 따라서 발견된 두 지점 외에 다른 중요한 지점은 없습니다.
3) 미분 y"=3(x-2)(x-4)의 부호는 그림 1과 같이 구간에 따라 변한다. 점 x=2를 지날 때 미분은 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌고, 점을 통과할 때 x=4 - 마이너스에서 플러스로.
4) 포인트 x=2에서 함수는 최대 y max =20이고 포인트 x=4 - 최소 y min =16입니다.

정리 3. (극한값이 존재하기 위한 두 번째 충분 조건).

f "(x 0)과 f ""(x 0)이 점 x 0에 존재한다고 하자. 그러면 f ""(x 0)> 0이면 x 0이 최소점이고 f ""(x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

세그먼트에서 함수 y \u003d f(x)는 간격(a; b)에 있는 함수의 임계점 또는 끝에서 가장 작은(적어도) 또는 가장 큰(최대) 값에 도달할 수 있습니다. 세그먼트의.

세그먼트에서 연속 함수 y=f(x)의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘:

1) f "(x)를 찾으십시오.
2) f "(x) = 0 또는 f"(x)가 존재하지 않는 점을 찾아 세그먼트 내부에 있는 점을 선택합니다.
3) 단락 2)에서 얻은 점과 세그먼트 끝에서 함수 y \u003d f (x)의 값을 계산하고 그 중 가장 큰 것과 가장 작은 것을 선택하십시오. 각각 가장 큰 것입니다 ( 가장 큰 경우) 및 가장 작은 경우(가장 작은 경우) 간격의 함수 값 .

예 19. 세그먼트에서 연속 함수 y=x 3 -3x 2 -45+225의 가장 큰 값을 찾습니다.

1) 세그먼트에 y "=3x 2 -6x-45가 있습니다.
2) 미분 y"는 모든 x에 대해 존재합니다. y"=0인 점을 찾아봅시다. 우리는 얻는다:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
엑스 1 \u003d -3; x2=5
3) 점 x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63에서 함수 값을 계산합니다.
점 x=5만이 세그먼트에 속합니다. 함수에서 찾은 값 중 가장 큰 값은 225이고 가장 작은 값은 숫자 50입니다. 따라서 max = 225에서 max = 50입니다.

볼록성에 대한 함수 조사

그림은 두 함수의 그래프를 보여줍니다. 그 중 첫 번째는 팽창으로, 두 번째는 팽창으로 회전합니다.

함수 y=f(x)는 세그먼트에서 연속적이고 간격(a;b)에서 미분 가능하며, axb에 대한 그래프가 탄젠트보다 높지 않은(낮지 않은) 경우 이 세그먼트에서 볼록 업(아래)이라고 합니다. 임의의 점 M 0 (x 0 ;f(x 0))에 그려집니다. 여기서 axb.

정리 4. 함수 y=f(x)가 세그먼트의 내부 점 x에서 2차 도함수를 가지며 이 세그먼트의 끝에서 연속적이라고 가정합니다. 그런 다음 부등식 f""(x)0이 간격 (a;b)에서 충족되면 함수는 세그먼트에서 아래쪽으로 볼록합니다. 부등식 f""(x)0이 구간 (а;b)에서 충족되면 함수는 위쪽으로 볼록합니다.

정리 5. 함수 y=f(x)가 구간 (a;b)에서 2차 도함수를 가지며 점 x 0을 통과할 때 부호가 변경되면 M(x 0 ;f(x 0))는 변곡점.

변곡점을 찾는 규칙:

1) f""(x)가 존재하지 않거나 사라지는 지점을 찾습니다.
2) 첫 번째 단계에서 찾은 각 지점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 기호 f""(x)를 검사합니다.
3) 정리 4에 근거하여 결론을 도출한다.

예제 20. 함수 그래프 y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12의 극한점과 변곡점 찾기.

우리는 f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2를 가집니다. 분명히, x 1 =0, x 2 =1에 대해 f"(x)=0입니다. 도함수는 x=0점을 통과하면 마이너스에서 플러스로 부호가 바뀌고, x=1점을 통과하면 부호가 바뀌지 않는다. 이는 x=0이 최소점(y min =12)이고 점 x=1에 극값이 없음을 의미합니다. 다음으로 우리는 . 2차 도함수는 점 x 1 =1, x 2 =1/3에서 사라집니다. 2차 미분의 부호는 다음과 같이 변경됩니다. 광선(-∞;)에서 f""(x)>0이고 간격(;1)에서 f""(x)입니다.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. 따라서 x=는 함수 그래프의 변곡점(convexity에서 convexity up으로 전환)이고 x=1도 변곡점(convexity에서 convexity down으로 전환)입니다. x=이면 y= ; 그렇다면 x=1, y=13입니다.

그래프의 점근선을 찾는 알고리즘

I. y=f(x) as x → a 이면 x=a는 수직 점근선입니다.
II. y=f(x) as x → ∞ 또는 x → -∞이면 y=A는 수평 점근선입니다.
III. 경사 점근선을 찾기 위해 다음 알고리즘을 사용합니다.
1) 계산합니다. 극한이 존재하고 b와 같으면 y=b는 수평 점근선입니다. 이면 두 번째 단계로 이동합니다.
2) 계산합니다. 이 극한이 존재하지 않으면 점근선이 없습니다. 존재하고 k와 같으면 세 번째 단계로 이동합니다.
3) 계산합니다. 이 극한이 존재하지 않으면 점근선이 없습니다. 존재하고 b와 같으면 네 번째 단계로 이동합니다.
4) 사선 점근선 y=kx+b의 방정식을 적으십시오.

예제 21: 함수에 대한 점근선 찾기

1)
2)
3)
4) 비스듬한 점근선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

함수 연구 계획 및 그래프 구성

I. 함수의 도메인을 찾습니다.
II. 함수 그래프와 좌표축의 교차점을 찾으십시오.
III. 점근선을 찾습니다.
IV. 가능한 극한 지점을 찾습니다.
V. 중요한 포인트를 찾습니다.
VI. 보조 그림을 사용하여 1차 미분과 2차 미분의 부호를 조사합니다. 함수의 증가 및 감소 영역을 결정하고 그래프의 볼록면 방향, 극한점 및 변곡점을 찾으십시오.
VII. 단락 1-6에서 수행된 연구를 고려하여 그래프를 작성하십시오.

예 22: 위의 구성표에 따라 함수 그래프를 플로팅합니다.

해결책.
I. 함수의 정의역은 x=1을 제외한 모든 실수의 집합입니다.
II. 방정식 x 2 +1=0에는 실근이 없기 때문에 함수의 그래프에는 Ox 축과의 교차점이 없지만 점 (0; -1)에서 Oy 축과 교차합니다.
III. 점근선의 존재에 대한 질문을 명확히 합시다. 불연속점 x=1 근처에서 함수의 동작을 조사합니다. x → -∞에 대해 y → ∞, x → 1+에 대해 y → +∞이므로 선 x=1은 함수 그래프의 수직 점근선입니다.
x → +∞(x → -∞)이면 y → +∞(y → -∞); 따라서 그래프에는 수평 점근선이 없습니다. 또한 한계의 존재로부터

방정식 x 2 -2x-1=0을 풀면 가능한 극한값의 두 지점을 얻습니다.
x 1 =1-√2 및 x 2 =1+√2

V. 임계점을 찾기 위해 2차 미분을 계산합니다.

f""(x)는 사라지지 않으므로 임계점이 없습니다.
VI. 1차 미분과 2차 미분의 부호를 조사합니다. 고려해야 할 가능한 극한점: x 1 =1-√2 및 x 2 =1+√2, 함수의 존재 영역을 간격(-∞;1-√2)으로 나눕니다.(1-√2 ;1+√2) 및 (1+√2;+∞).

이러한 각 간격에서 미분은 부호를 유지합니다. 첫 번째 - 더하기, 두 번째 - 빼기, 세 번째 - 더하기. 1차 미분 기호의 순서는 +, -, +로 작성됩니다.
(-∞;1-√2)에서는 함수가 증가하고, (1-√2;1+√2)에서는 감소하며, (1+√2;+∞)에서는 다시 증가합니다. 극한 지점: x=1-√2에서 최대, 더욱이 x=1+√2에서 최소 f(1-√2)=2-2√2, 더욱이 f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1)에서 그래프는 위로 볼록하고 (1;+∞)에서 - 아래로 볼록합니다.
VII 얻은 값의 표를 만들어 보자

VIII 얻은 데이터를 기반으로 함수 그래프의 스케치를 작성합니다.

함수에 대한 연구는 명확한 계획에 따라 수행되며 학생은 정의 및 값의 영역, 함수의 연속성, 점근선, 극한점, 패리티, 주기성, 등. 학생은 함수를 자유롭게 미분하고 때때로 매우 복잡한 방정식을 풀어야 합니다.

즉, 이 작업은 올바른 솔루션을 얻는 데 장애물이 되는 모든 간격과 상당한 수준의 지식을 테스트합니다. 특히 함수 그래프를 구성할 때 어려움이 자주 발생합니다. 이 실수는 즉시 교사의 눈에 띄고 다른 모든 것이 올바르게 수행되었더라도 성적을 크게 망칠 수 있습니다. 여기에서 찾을 수 있습니다 온라인 기능 연구를 위한 작업: 예제 연구, 솔루션 다운로드, 주문 과제.

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$y= \frac(x^3)(1-x) $ 함수를 살펴보고 그래프를 만들어 봅시다.

1. 정의 영역.
유리 함수(분수)의 정의 영역은 다음과 같습니다. 분모가 0이 아닙니다. $1 -x \n 0 => x \n 1$. 도메인 $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. 함수의 중단점 및 분류.
이 함수에는 하나의 중단점이 있습니다. x = 1
점 x= 1을 검사합니다. 불연속 점의 오른쪽과 왼쪽, 오른쪽 $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ 그리고 점의 왼쪽에 $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ 단측 극한은 $\infty$입니다.

직선 $x = 1$은 수직 점근선입니다.

3. 기능의 균일성.
패리티 확인 $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $ 이 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

4. 함수의 영점(Ox 축과의 교차점). 함수 불변 간격.
함수 0( Ox 축과의 교차점): $y=0$과 같으면 $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $이 됩니다. 곡선에는 좌표가 $(0;0)$인 Ox 축과 교차하는 지점이 하나 있습니다.

함수 불변 간격.
고려된 간격 $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$에서 곡선은 축 Ox와의 교차점이 하나이므로 세 개의 간격에서 정의 영역을 고려할 것입니다.

정의 영역의 간격에서 함수의 부호를 결정합시다.
간격 $(-\infty; 0) $ 임의의 지점에서 함수 값 찾기 $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
간격 $(0; 1) $ 임의의 지점 $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $에서 함수 값을 찾습니다. 이 간격에서 함수는 양수입니다. $f(x) > 0 $, 즉 x축 위에 있습니다.
간격 $(1;+\infty) $ 임의의 지점에서 함수 값 찾기 $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy 축과의 교차점: $x=0 $과 같으면 $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$이 됩니다. Oy 축과 교차점의 좌표 $(0; 0)$

6. 단조로운 간격. 기능 극단.
임계점(정지점)을 찾아봅시다. 이를 위해 첫 번째 도함수를 찾아 0 $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$는 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ 이 지점에서 함수의 값을 찾으십시오 $f (0) = 0$ 및 $f(\frac(3)(2)) = -6.75$. 좌표가 $(0;0)$ 및 $(1.5;-6.75)$인 두 개의 임계점을 얻었습니다.

단조로움의 간격.
이 함수에는 2개의 임계점(가능한 극한점)이 있으므로 4개의 간격에서 단조성을 고려할 것입니다.
간격 $(-\infty; 0) $ 간격 $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
간격 \((0;1)$ 간격 $f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. ) > 0$ , 이 간격에서 함수가 증가합니다.
간격 $(1;1.5)$ 간격 $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2의 임의 지점에서 1차 도함수 값을 찾습니다. ) > 0$ , 이 간격에서 함수가 증가합니다.
간격 $(1.5; +\infty)$ 간격 $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

기능 극단.

함수 연구에서 정의 영역의 간격에서 두 개의 임계(정지) 지점을 얻었습니다. 그들이 극단인지 결정합시다. 임계점을 통과할 때 미분 부호의 변화를 고려하십시오.

점 $x = 0$ 미분은 $\quad +\quad 0 \quad + \quad$에서 부호를 변경합니다. 점은 극값이 아닙니다.
포인트 $x = 1.5$ 미분은 $\quad +\quad 0 \quad - \quad$에서 부호를 변경합니다. 포인트는 최대 포인트입니다.

7. 볼록과 오목의 간격. 변곡점.

볼록과 오목의 간격을 찾기 위해 함수의 2차 도함수를 찾아 0 $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$$$를 0으로 설정 \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ 이 함수는 임계점좌표가 $(0;0)$인 두 번째 종류.
두 번째 종류의 임계점(가능한 변곡점)을 고려하여 정의 영역의 간격에서 볼록성을 정의하겠습니다.

간격 $(-\infty; 0)$ 임의의 점에서 2차 도함수 값 찾기 $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- 엑스)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
간격 $(0; 1)$ 임의의 점에서 2차 도함수 값 찾기 $f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 $, 이 구간에서 함수의 2차 도함수는 양수 $f""(x) > 0 $이고 함수는 아래쪽으로 볼록(볼록)합니다.
구간 $(1; \infty)$ 임의의 점에서 2차 도함수 값 찾기 $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

변곡점.

2종 임계점을 통과할 때 2차 미분 부호의 변화를 고려하십시오.
점 $x =0$에서 2차 도함수는 $\quad - \quad 0 \quad + \quad$에서 부호를 변경하고 함수의 그래프는 볼록성을 변경합니다. 이것은 좌표가 $(0;0)$인 변곡점입니다.

8. 점근선.

수직 점근선. 함수의 그래프에는 하나의 수직 점근선 $x =1$이 있습니다(항목 2 참조).
사선 점근선.
$x \to \infty$에 대한 함수 $y= \frac(x^3)(1-x) $의 그래프가 경사 점근선 $y = kx+b$를 가지려면 , 필요하고 충분하므로 두 가지 제한 $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ $$ \lim_(x \ to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ 및 두 번째 극한 $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, 왜냐하면 $k = \infty$ - 사선 점근선이 없습니다.

수평 점근선:수평 점근선이 존재하기 위해서는 극한 $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$가 존재해야 합니다. $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
수평 점근선이 없습니다.

9. 함수의 그래프.

함수 연구 및 그래프 구성의 기준점은 불연속점, 극한점, 변곡점, 좌표축과의 교차점과 같은 특징적인 점입니다. 미분학의 도움으로 다음을 설정할 수 있습니다. 형질기능 변경: 증가 및 감소, 최대 및 최소, 그래프의 볼록 및 오목 방향, 점근선의 존재.

함수 그래프의 스케치는 점근선과 극한점을 찾은 후 스케치할 수 있으며, 연구 과정에서 함수 연구 요약표를 작성하는 것이 편리합니다.

일반적으로 다음과 같은 기능 연구 방식이 사용됩니다.

1.함수의 영역, 연속성 간격 및 중단점 찾기.

2.짝수 또는 홀수(그래프의 축 또는 중심 대칭)에 대한 함수를 검사합니다.

3.점근선(수직, 수평 또는 사선)을 찾습니다.

4.함수의 증가 및 감소 간격, 극한 지점을 찾아 조사합니다.

5.곡선의 볼록과 오목의 간격, 변곡점을 찾으십시오.

6.존재하는 경우 좌표축과 곡선의 교차점을 찾습니다.

7.연구 요약표를 작성하십시오.

8.위의 사항에 따라 수행되는 기능 연구를 고려하여 그래프를 작성하십시오.