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삼각형의 고도가 교차하는 곳은 어디입니까? 삼각형에 대해 알아야 할 모든 것

직각삼각형 고도 정리

직각의 꼭지점에서 그려진 길이의 직각삼각형 ABC의 고도가 길이의 빗변을 세그먼트로 나누고 다리와 대응하는 경우 다음과 같은 등식이 성립합니다.

삼각형 고도의 밑변 속성

· 근거높이는 자체 속성을 갖는 소위 직교삼각형을 형성합니다.

· 직교삼각형에 외접하는 원은 오일러 원입니다. 이 원에는 또한 삼각형 변의 중간점 세 개와 직교 중심과 삼각형의 꼭지점을 연결하는 세 세그먼트의 중간점 세 개가 포함되어 있습니다.

마지막 속성의 또 다른 공식:

· 9점원에 대한 오일러의 정리.

근거삼 높이임의의 삼각형, 세 변의 중간점( 내부의 기초중앙값)과 정점을 직교중심과 연결하는 세 세그먼트의 중간점은 모두 동일한 원(위)에 있습니다. 9점 원).

· 정리. 임의의 삼각형에서 연결하는 세그먼트 근거둘 높이삼각형은 주어진 것과 유사한 삼각형을 잘라냅니다.

· 정리. 삼각형에서 연결하는 세그먼트 근거둘 높이양면에 누워있는 삼각형 역평행그와 공통점이 없는 제3자에게. 원은 항상 두 끝을 통과하고 세 번째 변의 두 꼭지점을 통과하여 그려질 수 있습니다.

삼각형 고도의 다른 속성

· 삼각형의 경우 변하기 쉬운 (부등변 삼각형) 그럼 그렇지 내부임의의 꼭지점에서 그려진 이등분선은 다음 사이에 위치합니다. 내부동일한 꼭지점에서 가져온 중앙값과 높이입니다.

삼각형의 높이는 지름(반지름)과 등각 공액입니다. 외접원, 동일한 꼭지점에서 그려집니다.

· 예각 삼각형에는 두 개의 삼각형이 있습니다. 높이그것에서 비슷한 삼각형을 잘라냅니다.

· 직각삼각형에서 키직각의 꼭지점에서 그려져 원래 삼각형과 비슷한 두 개의 삼각형으로 분할됩니다.

삼각형의 최소 고도 속성

삼각형의 최소 고도에는 많은 극단적인 특성이 있습니다. 예를 들어:

· 삼각형의 평면에 있는 선에 대한 삼각형의 최소 직교 투영의 길이는 가장 작은 높이와 같습니다.

· 단단한 삼각형 판을 당길 수 있는 평면의 최소 직선 절단 길이는 이 판의 가장 작은 높이와 같아야 합니다.

· 두 점이 서로를 향해 삼각형의 둘레를 따라 연속적으로 이동할 때 첫 번째 만남에서 두 번째 만남까지 이동하는 동안 두 점 사이의 최대 거리는 삼각형의 가장 작은 높이의 길이보다 작을 수 없습니다.

· 삼각형의 최소 높이는 항상 해당 삼각형 내부에 있습니다.

기본 관계

· 삼각형의 면적은 어디이며 높이가 낮아진 삼각형의 변의 길이입니다.

· 변의 곱, 외접원의 반지름은 어디에 있습니까?

· ,

내접원의 반경은 어디에 있습니까?

삼각형의 면적은 어디에 있습니까?

높이가 내려가는 삼각형의 변은 어디입니까?

· 밑변까지 낮아진 이등변삼각형의 높이:

기지는 어디에 있습니까?

· - 정삼각형의 높이.

정삼각형의 중앙값과 고도

삼각형의 중앙선은 한 점에서 교차하며 꼭지점을 기준으로 2:1의 비율로 각각을 나눕니다. 이 지점은 무게중심삼각형. 그리고 정삼각형에서는 중앙값과 고도가 동일합니다.

임의의 삼각형 ABC를 생각해 보세요. 중앙값 AA1과 BB1의 교차점을 문자 O로 표시하고 이 삼각형의 중앙선 A1B1을 그립니다. 삼각형의 중앙선은 한 지점에서 교차합니다. 선분 A1B1은 변 AB와 평행하므로 각도 1과 2 , 각도 3과 4는 평행선 AB와 A1B1의 교차점에서 시컨트 AA1과 BB1에 의한 교차 각도와 동일합니다. 따라서 삼각형 AOB와 A1OB1은 두 각도가 유사하므로 그 변은 비례합니다: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. 그러나 AB=2⋅A1B1이므로 AO=2⋅A1O 및 BO=2⋅B1O입니다. 따라서 중앙값 AA1과 BB1의 교차점 O는 정점을 기준으로 중앙값을 2:1의 비율로 나눕니다. 마찬가지로 중위수 BB1과 CC1의 교점은 정점을 기준으로 각각 2:1의 비율로 나누어 점 O와 일치함을 증명합니다. 따라서 삼각형 ABC의 세 중위수는 모두 에서 교차합니다. 점 O를 위에서부터 세어 2:1의 비율로 나눕니다.

정리가 입증되었습니다.

각도 m₁=1의 정점에서, 그리고 변의 중간점인 점 A₁,B₁,C₁, m²=2에서 상상해 봅시다. 그리고 여기에서 한 지점에서 교차하는 세그먼트 AA₁,BB₁,CC₁가 AO-l₁ 및 OA₁-l²(어깨)인 지점 O가 있는 지레와 유사하다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 물리 공식 F₁/F²=l₁/l²(여기서 F=m*g, 여기서 g-const)에 따르면 m₁/m²=l₁/l² 즉, g-const가 됩니다. ½=1/2.

정리가 입증되었습니다.

직교삼각형

속성:

· 삼각형의 세 고도가 한 지점에서 교차하는 지점을 수심(orthocenter)이라고 합니다.

· 직교 삼각형의 인접한 두 변은 원래 삼각형의 대응 변과 동일한 각도를 형성합니다.

삼각형의 고도는 직교삼각형의 이등분선입니다

· 직교삼각형은 주어진 삼각형 내에 내접할 수 있는 가장 작은 둘레를 갖는 삼각형입니다(Fagnano 문제).

· 직교삼각형의 둘레는 삼각형 높이와 삼각형이 시작된 각도의 사인값을 곱한 값의 두 배와 같습니다.

· 예각삼각형 ABC의 변 BC, AC, AB에 있는 점 A 1 , B 1 및 C 1 이 각각 다음과 같을 경우

그러면 삼각형 ABC의 직교삼각형이 됩니다.

직교삼각형은 이와 유사한 삼각형을 잘라냅니다.

직교삼각형의 이등분선의 성질에 관한 정리

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-이등분선 ∟B₁C₁A

AA₁-이등분선 ∟B₁A₁C₁

BB₁-이등분선 ∟A₁B₁C₁

삼각형은 3개의 변을 가진 다각형, 3개의 링크로 구성된 닫힌 파선, 또는 동일한 직선 위에 있지 않은 3개의 점을 연결하는 3개의 선분으로 구성된 도형입니다(그림 1 참조).

삼각형 ABC의 기본 요소

봉우리 – 지점 A, B, C

당사자 – 세그먼트 a = BC, b = AC 및 c = AB 정점을 연결합니다.

각도 – α, β, γ는 세 쌍의 변으로 구성됩니다. 각도는 종종 정점과 같은 방식으로 문자 A, B, C로 지정됩니다.

삼각형의 변이 이루는 각과 그 내부 영역에 있는 각도를 내각이라고 하며, 이에 인접한 각이 삼각형의 인접각입니다(2, p. 534).

삼각형의 높이, 중앙값, 이등분선 및 정중선

삼각형의 주요 요소 외에도 높이, 중앙값, 이등분선 및 중간선과 같은 흥미로운 속성을 가진 다른 세그먼트도 고려됩니다.

키

삼각형 높이- 이는 삼각형의 꼭지점에서 반대쪽 변으로 떨어지는 수직선입니다.

높이를 플롯하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1) 삼각형의 변 중 하나를 포함하는 직선을 그립니다(둔각 삼각형의 예각 꼭지점에서 높이를 그리는 경우).

2) 그려진 선 반대편에 있는 꼭지점에서 점에서 이 선까지 선분을 그려서 90도 각도를 만듭니다.

고도가 삼각형의 측면과 교차하는 지점을 호출합니다. 높이 베이스 (그림 2 참조).

삼각형 고도의 속성

직각 삼각형에서는 직각의 꼭지점에서 가져온 고도가 원래 삼각형과 유사한 두 개의 삼각형으로 분할됩니다.

예각 삼각형에서는 두 개의 고도가 유사한 삼각형을 차단합니다.

삼각형이 예각인 경우 고도의 모든 밑변은 삼각형의 변에 속하고 둔각삼각형에서는 두 개의 고도가 변의 연속에 속합니다.

예각 삼각형의 세 고도가 한 지점에서 교차하며 이 지점을 호출합니다. 수심 삼각형.

중앙값

중앙값(라틴어 mediana – "중간") - 삼각형의 꼭지점과 반대편의 중간점을 연결하는 세그먼트입니다(그림 3 참조).

중앙값을 구성하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1) 측면의 중앙을 찾으십시오.

2) 삼각형의 변의 중심점과 반대쪽 꼭지점을 선분으로 연결합니다.

삼각형 중앙값의 속성

중앙값은 삼각형을 면적이 같은 두 개의 삼각형으로 나눕니다.

삼각형의 중앙선은 한 점에서 교차하며 꼭지점을 기준으로 2:1의 비율로 각각을 나눕니다. 이 지점은 무게중심 삼각형.

전체 삼각형은 중앙값에 따라 6개의 동일한 삼각형으로 나뉩니다.

이등분

이등분선(라틴어 bis - 두 번 및 seko - 컷에서 유래)는 각을 이등분하는 삼각형 내부에 둘러싸인 직선 세그먼트입니다(그림 4 참조).

이등분선을 구성하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1) 각도의 꼭지점에서 나오는 광선을 구성하고 이를 두 개의 동일한 부분(각의 이등분선)으로 나눕니다.

2) 삼각형 각도의 이등분선과 반대쪽 변의 교차점을 찾습니다.

3) 삼각형의 꼭지점과 반대편 교점을 연결하는 선분을 선택합니다.

삼각형 이등분선의 속성

삼각형 각도의 이등분선은 인접한 두 변의 비율과 동일한 비율로 반대쪽을 나눕니다.

삼각형 내각의 이등분선은 한 점에서 교차합니다. 이 점을 내접원의 중심이라고 합니다.

내부 각도와 외부 각도의 이등분선은 수직입니다.

삼각형의 외각의 이등분선이 반대쪽 연장선과 교차하면 ADBD=ACBC입니다.

삼각형의 한 내각과 두 외각의 이등분선은 한 점에서 교차합니다. 이 점은 이 삼각형의 세 외원 중 하나의 중심입니다.

삼각형의 두 내각과 하나의 외각의 이등분선의 밑변은 외각의 이등분선이 삼각형의 반대쪽 변과 평행하지 않은 경우 동일한 직선 위에 있습니다.

삼각형의 외각의 이등분선이 반대쪽 변과 평행하지 않으면 그 밑변은 동일한 직선 위에 있습니다.

순전히 수학적 문제와 응용 문제(특히 건축 문제)의 다양한 종류의 문제를 해결할 때 특정 기하학적 도형의 높이 값을 결정해야 하는 경우가 종종 있습니다. 삼각형에서 이 값(높이)을 계산하는 방법은 무엇입니까?

한 줄에 있지 않은 세 점을 쌍으로 결합하면 결과 그림은 삼각형이 됩니다. 높이는 도형의 꼭지점에서 나온 직선의 일부로, 반대편과 교차할 때 90°의 각도를 이룹니다.

부등변삼각형의 높이 구하기

그림에 임의의 각도와 변이 있는 경우 삼각형의 높이 값을 결정해 보겠습니다.

헤론의 공식

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, 여기서

p - 그림 둘레의 절반, h(a) - 측면 a의 세그먼트, 직각으로 그려짐,

p=(a+b+c)/2 – 반 둘레 계산.

그림의 영역이 있는 경우 h(a)=2S/a 관계식을 사용하여 높이를 결정할 수 있습니다.

삼각함수

변 a와 교차할 때 직각을 이루는 선분의 길이를 결정하려면 다음 관계식을 사용할 수 있습니다. 변 b와 각도 γ 또는 변 c와 각도 β가 알려진 경우 h(a)=b*sinγ 또는 h(a)=c *sinβ.
어디:
γ – 측면 b와 a 사이의 각도,
β는 변 c와 a 사이의 각도입니다.

반경과의 관계

원래 삼각형이 원에 내접되어 있는 경우 해당 원의 반지름을 사용하여 높이를 결정할 수 있습니다. 중심은 3개의 높이가 모두 교차하는 지점(각 꼭지점에서)에 위치합니다. 직교 중심이고, 그 중심에서 꼭지점(임의)까지의 거리가 반경입니다.

그러면 h(a)=bc/2R입니다. 여기서:
b, c – 삼각형의 다른 두 변,
R은 삼각형을 둘러싸는 원의 반지름입니다.

직각삼각형의 높이 구하기

이 유형의 기하학적 도형에서는 두 변이 교차할 때 직각(90°)을 형성합니다. 따라서 높이 값을 결정하려면 다리 중 하나의 크기 또는 빗변과 90°를 이루는 세그먼트의 크기를 계산해야 합니다. 지정할 때:
a, b – 다리,
c - 빗변,
h(c) – 빗변에 수직입니다.
다음 관계를 사용하여 필요한 계산을 수행할 수 있습니다.

피타고라스의 정리:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, 왜냐하면 S=ab/2이면 h(c)=ab/c입니다.

삼각 함수:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

이등변삼각형의 높이 구하기

이 기하학적 모양은 동일한 크기의 두 변과 세 번째 변인 밑면이 있다는 점에서 구별됩니다. 세 번째 뚜렷한 면에 그려진 높이를 결정하려면 피타고라스 정리가 도움이 됩니다. 표기법 포함
a – 쪽,
c - 베이스,
h(c)는 c에 대한 90° 각도의 세그먼트이므로 h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2)입니다.

이 수업에는 삼각형의 높이를 찾는 속성과 공식에 대한 설명과 문제 해결의 예가 포함되어 있습니다. 적절한 문제에 대한 해결책을 찾지 못한 경우 - 포럼에 그것에 대해 써주세요. 당연히 강좌가 보충될 것입니다.

삼각형 높이

삼각형 높이- 삼각형의 꼭지점에서 떨어진 수직선으로, 꼭지점 반대쪽 또는 그 연속선에 그려집니다.

속성삼각형 높이:

삼각형의 두 고도가 동일하면 삼각형은 이등변삼각형입니다.
모든 삼각형에서 삼각형의 두 고도의 밑변을 연결하는 선분은 주어진 삼각형과 유사한 삼각형을 잘라냅니다.
삼각형에서 두 변에 있는 삼각형의 두 고도의 밑변을 연결하는 선분은 세 번째 변과 평행하지 않으며 공통점이 없습니다. 양쪽 끝과 이쪽의 두 꼭지점을 통해 언제든지 원을 그릴 수 있습니다.
예각 삼각형에서는 두 개의 고도가 비슷한 삼각형을 잘라냅니다.
삼각형의 최소 높이는 항상 해당 삼각형 내부에 있습니다.

삼각형의 직교중심

세 꼭지점에서 그린 삼각형의 세 고도는 모두 한 지점에서 교차합니다. 직교중심이라고 함. 높이의 교차점을 찾으려면 두 개의 높이를 그리는 것으로 충분합니다(두 개의 선은 한 지점에서만 교차합니다).

직교중심(점 O)의 위치는 삼각형의 종류에 따라 결정됩니다.

예각 삼각형의 경우 고도의 교차점은 삼각형의 평면에 있습니다. (그림 1).

직각삼각형에서는 높이의 교차점이 직각의 꼭지점과 일치합니다(그림 2).

둔각삼각형의 경우 높이의 교차점은 삼각형 평면 뒤에 위치합니다(그림 3).

이등변삼각형의 경우 삼각형 밑변에 그려진 중앙값, 이등분선 및 고도는 동일합니다.

정삼각형에서는 세 개의 "주목할 만한" 선(고도, 이등분선, 중앙값)이 모두 일치하고 세 개의 "주목할 만한" 점(수심점, 무게 중심, 내접원과 외접원의 중심)이 정삼각형에 위치합니다. "놀라운" 선의 동일한 교차점, 즉 또한 일치합니다.

하이 트리쿠트니카

세입방의 높이는 세입방의 꼭대기에서 수직으로 내려오며, 앞부분 정점이나 그 연장선을 따라 그려집니다.

세 개의 꼭지점에서 그리는 세입방체의 세 높이는 모두 한 지점에서 교차하는데, 이를 직교중심이라고 합니다. 교차 높이 지점을 찾으려면 두 개의 높이를 그려야 합니다(두 개의 직선은 한 지점에서만 교차합니다).

직교중심(점 O)의 위치는 트리쿠티드의 유형에 따라 결정됩니다.

gostrokutny trikutnik에서 높이 교차점은 trikutnik 평면에 위치합니다. (말 1).

직선 절단 트리컷에서는 십자가 높이의 지점이 직선 절단의 정점과 만납니다(Mal. 2).

둔각의 트리쿠트닉에서는 높이의 교차선 지점이 트리쿠트니크의 평탄도 뒤에 위치합니다(Mal.3).

등대퇴 삼각근에서는 삼각근 바닥에 그려진 중앙값, 이등분선 및 높이가 동일합니다.

정삼각형에서는 세 개의 "표시된" 선(높이, 이등분선 및 중앙값)이 모두 방지되고 세 개의 "표시된" 점(수직 중심점, 선의 중심, 내접 및 설명된 용골의 중심)이 한 지점에 위치합니다. "더러운" 라인의 진흙을 옮겨서 피할 수도 있습니다.

삼각형의 높이를 구하는 공식

삼각형의 높이를 구하는 공식을 더 쉽게 이해할 수 있도록 그림을 보여줍니다. 일반적인 규칙은 변의 길이가 해당 각도 반대편에 있는 작은 문자로 표시된다는 것입니다. 즉, 변 a는 각도 A와 반대쪽에 놓여 있습니다.
공식의 높이는 문자 h로 표시되며, 아래 첨자는 낮아진 측면에 해당합니다.

기타 명칭:
알파벳- 삼각형의 변의 길이
시간 ㅏ- 반대 각도에서 변 a를 향해 그려진 삼각형의 높이
시간 비- 측면 b에 그려진 높이
시간 씨- 측면 c에 그려진 높이
아르 자형- 외접원의 반경
아르 자형- 내접원의 반경

수식에 대한 설명입니다.
삼각형의 고도는 이 높이가 생략된 각도에 인접한 변의 길이와 이 변과 이 높이가 생략된 변 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다(수식 1).
삼각형의 높이는 삼각형 면적의 두 배를 이 높이가 낮아진 변의 길이로 나눈 몫과 같습니다(수식 2).
삼각형의 높이는 이 높이가 생략된 각도에 인접한 변의 곱을 그 주위에 설명된 원의 반지름의 두 배로 나눈 몫과 같습니다(공식 4).
같은 삼각형의 변 길이의 반비례가 서로 관련되어 있는 것처럼 삼각형의 변의 높이는 서로 같은 비율로 관련되어 있으며, 또한 다음을 갖는 삼각형 변의 쌍의 곱입니다. 공통 각도는 동일한 비율로 서로 관련됩니다(공식 5).
삼각형 높이의 역수 합은 그러한 삼각형에 내접하는 원의 반경의 역수 값과 같습니다 (수식 6)
삼각형의 넓이는 이 삼각형의 고도의 길이를 통해 구할 수 있다(수식 7).
삼각형의 높이가 낮아지는 변의 길이는 식 7과 2를 적용하여 구할 수 있다.

에 대한 작업입니다.

직각 삼각형 ABC(각 C = 90 0)에는 고도 CD가 그려집니다. AD = 9cm, BD = 16cm인 경우 CD 결정

해결책.

삼각형 ABC, ACD 및 CBD는 서로 유사합니다. 이는 두 번째 유사성 기준에서 바로 이어집니다(이 삼각형의 각도가 동일하다는 것은 명백합니다).

직각삼각형은 원래 삼각형과 서로 비슷한 두 개의 삼각형으로 잘라낼 수 있는 유일한 유형의 삼각형입니다.

ABC, ACD, CBD의 꼭지점 순서로 세 개의 삼각형을 지정합니다. 따라서 우리는 정점의 대응성을 동시에 보여줍니다. (삼각형 ABC의 꼭지점 A는 삼각형 ACD의 꼭지점 A, 삼각형 CBD의 꼭지점 C에도 대응됩니다.)

삼각형 ABC와 CBD는 비슷합니다. 수단:

AD/DC = DC/BD, 즉

피타고라스의 정리를 적용하는 데 문제가 있습니다.

삼각형 ABC는 직각삼각형입니다. 이 경우 C는 직각이다. 그것으로부터 높이 CD = 6cm가 그려집니다. 세그먼트 BD-AD=5cm 간의 차이.

찾기: 삼각형 ABC의 변.

해결책.

1. 피타고라스의 정리에 따라 방정식 시스템을 만들어 봅시다

CD 2 +BD 2 =BC 2

CD 2 +AD 2 =AC 2

CD=6부터

BD-AD=5이므로

BD = AD+5이면 연립방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

36+(AD+5) 2 =BC 2

첫 번째와 두 번째 방정식을 추가해 보겠습니다. 왼쪽에 왼쪽이 추가되고 오른쪽에 오른쪽이 추가되므로 평등이 위반되지 않습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. 이제 동일한 피타고라스 정리에 따라 삼각형의 원래 그림을 살펴보면 동등성이 충족되어야 합니다.

AC 2 +BC 2 =AB 2

AB=BD+AD이므로 방정식은 다음과 같습니다.

AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2

BD-AD=5이므로 BD = AD+5, 그러면

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

3. 이제 솔루션의 첫 번째 부분과 두 번째 부분을 해결할 때 얻은 결과를 살펴보겠습니다. 즉:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

그들은 공통 부분 AC 2 +BC 2를 가지고 있습니다. 따라서 그것들을 서로 동일시합시다.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

결과 이차 방정식에서 판별식은 각각 D=676과 같고 방정식의 근은 같습니다.

세그먼트의 길이는 음수가 될 수 없으므로 첫 번째 루트를 삭제합니다.

각기

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

피타고라스 정리를 사용하여 삼각형의 나머지 변을 찾습니다.

AC = (52)의 근

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