namai › kūnas › Diofanto projektas ir jo atradimai. Santrauka: Diofantas

Diofanto projektas ir jo atradimai. Santrauka: Diofantas

Koeficientai, kurių sprendiniai turi būti rasti tarp sveikųjų skaičių.

Diofantas Aleksandrietis
Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς

Gimimo data	ne anksčiau ir ne vėliau arba
Gimimo vieta	Aleksandrija, Egiptas
Mirties data	ne anksčiau ir ne vėliau
Šalis	Senovės Roma
Mokslo sritis	skaičių teorija
Žinomas kaip	"algebros tėvas"
Diofantas Aleksandrietis Wikimedia Commons

Biografija

Apie jo gyvenimo detales beveik nieko nežinoma. Viena vertus, Diofantas cituoja Hypsicles (II a. pr. Kr.); kita vertus, Teonas Aleksandrietis (apie 350 m. po Kr.) rašo apie Diofantą, iš ko galime daryti išvadą, kad jo gyvenimas vyko šio laikotarpio ribose. Galimas Diofanto gyvenimo trukmės paaiškinimas grindžiamas tuo, kad jis Aritmetika skirta „garbingiausiam Dionisijui“. Manoma, kad šis Dionisijus yra ne kas kitas, o Aleksandrijos vyskupas Dionisijus, gyvenęs III amžiaus viduryje. n. e.

Tai prilygsta šios lygties sprendimui:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 (\displaystyle x=(\frac (x)(6))+(\frac (x)(12))+(\frac (x) (7))+5+(\frac (x)(2))+4)

Ši lygtis suteikia x = 84 (\displaystyle x = 84), tai yra, Diofanto amžius lygus 84 metams. Tačiau informacijos tikslumo patvirtinti negalima.

Aritmetika Diofanta

Pagrindinis Diofanto darbas - Aritmetika 13 knygų. Deja, iš pirmųjų 13 knygų išliko tik 6 (arba 10, žr. žemiau).

Prieš pirmąją knygą pateikiamas platus įvadas, kuriame aprašomas Diofanto vartojamas užrašas. Diofantas skambina nežinomu „skaičiumi“ ( ἀριθμός ) ir žymimas raide ς , kvadratas nežinomas – simbolis Δ Υ (trumpai δύναμις - „laipsnis“), nežinomo simbolio kubas Κ Υ (trumpai κύβος - "kubas"). Specialūs ženklai numatyti tolesniems nežinomybės laipsniams iki šeštojo, vadinamo kubu-kubu, ir priešingiems jų laipsniams iki minuso šeštojo.

Diofantas neturi pridėtinio ženklo: jis tiesiog rašo teigiamus terminus vienas šalia kito laipsnio mažėjimo tvarka, o kiekviename termine pirmiausia rašomas nežinomybės laipsnis, o po to skaitinis koeficientas. Atimtieji terminai taip pat rašomi greta, o prieš visą jų grupę dedamas specialus ženklas apverstos raidės Ψ pavidalu. Lygybės ženklas pavaizduotas dviem raidėmis ἴσ (trumpai ἴσος - „lygus“).

Buvo suformuluota panašių terminų pateikimo taisyklė ir to paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimo arba atėmimo iš abiejų lygties pusių taisyklė: tai, ką al-Khorezmi vėliau pradėjo vadinti „algebra ir almukabala“. Įvesta ženklų taisyklė: „minusas prie pliuso duoda minusą“, „minusas prie minuso duoda pliusą“; Ši taisyklė naudojama dauginant dvi išraiškas su atimtais terminais. Visa tai suformuluota bendrais bruožais, neatsižvelgiant į geometrines interpretacijas.

Didžioji kūrinio dalis – problemų su sprendimais rinkinys (šešiose išlikusiose knygose iš viso yra 189, kartu su keturiomis iš arabiškos dalies – 290), meistriškai atrinktų bendriesiems metodams iliustruoti. Pagrindiniai klausimai Aritmetika- rasti teigiamų racionalių neapibrėžtų lygčių sprendimų. Racionalius skaičius Diofantas traktuoja taip pat, kaip ir natūraliuosius skaičius, o tai nebūdinga senovės matematikams.

Pirma, Diofantas tiria antros eilės lygčių sistemas dviejuose nežinomuose; jame nurodomas būdas rasti kitus sprendimus, jei toks jau žinomas. Tada jis taiko panašius metodus aukštesnio laipsnio lygtims. VI knygoje nagrinėjamos problemos, susijusios su stačiakampiais trikampiais su racionaliomis kraštinėmis.

Įtaka Aritmetika matematikos ugdymui

10 amžiuje Aritmetika buvo išverstas į arabų kalbą (žr. Kusta ibn Luka), po to islamo šalių matematikai (Abu Kamilas ir kiti) tęsė kai kuriuos Diofanto tyrimus. Europoje susidomėjimas Aritmetika išaugo po to, kai Raphaelis Bombelli išvertė ir paskelbė šį veikalą į lotynų kalbą, o savo knygoje paskelbė 143 problemas. Algebra(1572). 1621 m. pasirodė klasikinis, nuodugniai komentuotas lotyniškas vertimas Aritmetika, įvykdė Bachet de Meziriac.

Diofanto metodai padarė didelę įtaką François Viète'ui ir Pierre'ui Fermat'ui; tačiau šiais laikais neapibrėžtos lygtys dažniausiai sprendžiamos sveikaisiais skaičiais, o ne racionaliais skaičiais, kaip tai padarė Diofantas. Kai Pierre'as Fermatas perskaitė Diofanto aritmetiką, kurią redagavo Bachet de Mezyriac, jis padarė išvadą, kad vienoje iš lygčių, panašių į tas, kurias svarstė Diofantas, nėra sveikųjų skaičių sprendinių, ir paraštėje pažymėjo, kad rado „tikrai nuostabų įrodymą, ši teorema... tačiau knygos paraštės per siauros, kad ją būtų galima įtraukti“. Šis teiginys dabar žinomas kaip paskutinė Ferma teorema.

XX amžiuje Diofanto vardu buvo aptiktas dar keturių knygų arabiškas tekstas. Aritmetika. I. G. Bashmakova ir E. I. Slavutinas, išanalizavę šį tekstą, iškėlė hipotezę, kad jo autorius buvo ne Diofantas, o Diofanto metodus gerai išmanantis komentatorius, greičiausiai Hipatija. Tačiau reikšmingą spragą problemų sprendimo metodikoje pirmosiose trijose ir paskutinėse trijose knygose puikiai užpildo keturios arabiško vertimo knygos. Tai verčia mus persvarstyti ankstesnių tyrimų rezultatus. . [ ]

Kiti Diofanto darbai

Diofanto traktatas Apie daugiakampius skaičius (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) nevisiškai išsaugotas; išsaugotoje dalyje geometrinės algebros metodais išvesta nemažai pagalbinių teoremų.

Iš Diofanto darbų Apie paviršių matavimą (ἐπιπεδομετρικά ) Ir Apie dauginimą (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) taip pat išliko tik fragmentai.

Diofanto knyga Porizmaižinoma tik iš kelių teoremų, naudotų Aritmetika.

taip pat žr

Kolekcija Budé“ (išleisti 2 tomai: 4 - 7 knygos).

Tyrimas:

Bashmakova I. G., Slavutin E. I., Rosenfeld B. A. Diofanto „Aritmetikos“ arabiška versija // Istorijos ir matematikos studijos. - M., 1978. - Laida. XXIII. - P. 192 - 225.
Bashmakova I. G. Algebrinių kreivių aritmetika: (Nuo Diofanto iki Puankarės) // Istorijos ir matematinės studijos. - 1975. - Laida. 20. - 104 - 124 p.
Bashmakova I. G. Diofanto ir Diofanto lygtys. - M.: Nauka, 1972 (Reprint: M.: LKI, 2007). Per. Ant jo. kalba: Diophant und diophantische Gleichungen. - Bazelis; Stuttgart: Birkhauser, 1974. Trans. angliškai. kalba: Diofanto ir Diofanto lygtys/ Vertimas A. Shenitzeris, padedamas H. Granto ir atnaujino J. Silvermanas // The Dolciani Mathematical Expositions. - Nr. 20. - Vašingtonas, DC: Amerikos matematikų asociacija, 1997 m.
Bashmakova I. G. Diophantus and Fermat: (Apie liestinių ir ekstremalių metodo istoriją) // Istorijos ir matematinės studijos. - M., 1967. - Laida. VII. - P. 185 - 204.
Bashmakova I. G., Slavutinas E. I. Diofanto analizės istorija nuo Diofanto iki Fermato. - M.: Nauka, 1984 m.
Matematikos istorija nuo seniausių laikų iki XIX amžiaus pradžios. - T. I: Nuo pačių seniausių. kartų iki Naujųjų laikų pradžios. laikas / Red. A. P. Juškevičius. - M., Nauka, 1970 m.
Slavutinas E.I. Diofanto algebra ir jos ištakos // Istorijos ir matematinės studijos. - M., 1975. - Laida. 20. - 63 - 103 p.
Ščetnikovas A.I. Ar Diofanto Aleksandriečio knygą „Apie daugiakampius skaičius“ galima pavadinti grynai algebrine? // Istoriniai ir matematiniai tyrimai. - M., 2003. - Laida. 8 (43). - 267 - 277 p.
Heath Th. L. Diofantas Aleksandrietis, Graikijos algebros istorijos studija. - Kembridžas, 1910 (Repr.: NY, 1964).
Knorras W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: apie Diofantą ir Aleksandrijos didvyrį // Historia Mathematica. - 20. - 1993. - P. 180 - 192.
Christianidis J. Diofanto kelias: kai kurie Diofanto sprendimo metodo paaiškinimai // Historia Mathematica. - 34. - 2007. - P. 289 - 305.
Rashedas R., Houzelis C. Les Arithmétiques de Diophante. Istorijos ir matematikos paskaita . - De Gruyter, 2013 m.

Savivaldybės švietimo įstaiga

„Licėjus Nr. 10“ Permė

Diofantas. Diofantinės lygtys

Atliko darbą

Iljina Yana,

11 klasės mokinys

Prižiūrėtojas

Zolotuchina L. V.

matematikos mokytojas

Permė, 2010 m

Įvadas……………………………………………………………………………….3

1. Diofantas………………………………………………………………………………..…4

2. Skaičiai ir simboliai……………………………………………………………6

3. Diofantino lygtis……………………………………………………..8

4. Sprendimai…………………………………………………………..12

Išvada…………………………………………………………………………………15

Literatūra…………………………………………………………16

Įvadas

Šiuolaikiniai moksleiviai sprendžia įvairias lygtis. Vieningo valstybinio egzamino užduočių C dalyje yra įdomi lygtis, vadinama Diofanto lygtimi. Savo darbuose Diofantas ne tik iškėlė neapibrėžtinių lygčių racionaliaisiais skaičiais sprendimo problemą, bet ir pateikė keletą bendrų jų sprendimo būdų. Šie metodai labai pravers šiandieniniams vienuoliktokams, kurie tuoj laikys matematikos egzaminą.

Diofantas taip pat prisidėjo prie matematikos vystymosi kaip Archimedas. Taip padarė, pavyzdžiui, Archimedas: nustatydamas elipsės plotus, parabolės atkarpą, rutulio paviršių, rutulio ir kitų kūnų tūrius, naudojo integralinių sumų metodą ir perėjimo metodą. iki ribos, tačiau jis niekur nepateikė bendro abstraktaus šių metodų aprašymo. XVI–XVII amžių mokslininkai turėjo atidžiai išstudijuoti ir naujai pertvarkyti jo darbus, kad iš ten būtų atskirti Archimedo metodai. Panaši situacija ir su Diofantu. Jo metodus suprato ir naujoms problemoms pritaikė Viethe ir Fermat, t.y. tuo pačiu metu, kai buvo išspręstas Archimedas.

1. Diofantas

Diofantas pateikia vieną sunkiausių paslapčių mokslo istorijoje. Nežinome nei laiko, kada jis gyveno, nei jo pirmtakų, kurie būtų dirbę toje pačioje srityje. Jo darbai yra tarsi putojanti ugnis visiškoje nepraeinamoje tamsoje. Laikotarpis, kai Diofantas galėjo gyventi, yra pusė tūkstantmečio! Apatinė šio intervalo riba nustatoma be vargo: savo knygoje apie daugiakampius skaičius Diofantas ne kartą mini matematiką Hipsiklį iš Aleksandrijos, gyvenusį II amžiaus prieš Kristų viduryje. e. Kita vertus, Teono Aleksandriečio komentaruose garsaus astronomo Ptolemėjo „Almagestui“ patalpinta ištrauka iš Diofanto darbo. Teonas gyveno IV mūsų eros amžiaus viduryje. e. Tai nustato viršutinę šio intervalo ribą. Taigi, 500 metų!

Tačiau Diofanto gyvenamoji vieta gerai žinoma – tai garsioji Aleksandrija, helenistinio pasaulio mokslinės minties centras.

Norėdami išnaudoti viską, kas žinoma apie Diofanto asmenybę, pateikiame mums atėjusią mįslių eilėraštį:

Diofanto pelenai ilsisi kape; stebisi ja – ir akmuo
Per jo išmintingą meną prabils mirusiojo amžius.
Dievų valia, būdamas vaikas, gyveno šeštadalį savo gyvenimo.
Ir aš sutikau pusę šešių su pūkais ant skruostų.
Tai buvo tik septinta diena, kai jis susižadėjo su savo mergina.
Praleidęs su ja penkerius metus, išminčius laukė sūnaus;
Tėvo mylimas sūnus nugyveno tik pusę savo gyvenimo.
Jį iš tėvo paėmė ankstyvas kapas.
Du kartus dvejus metus tėvas apraudojo sunkų sielvartą,
Čia pamačiau savo liūdno gyvenimo ribą.

Iš čia nesunku apskaičiuoti, kad Diofantas gyveno 84 metus. Tačiau tam nereikia įvaldyti Diofanto meno! Pakanka, kad būtų galima išspręsti 1-ojo laipsnio lygtį su vienu nežinomu, o Egipto raštininkai tai sugebėjo padaryti 2 tūkstančius metų prieš Kristų. e.

Tačiau paslaptingiausias yra Diofanto darbas. Mus pasiekė šešios knygos iš 13, kurios buvo sujungtos į „Aritmetiką“. Šių knygų stilius ir turinys smarkiai skiriasi nuo klasikinių senovinių skaičių teorijos ir algebros veikalų, kurių pavyzdžius žinome iš Euklido elementų, jo duomenų ir lemų iš Archimedo ir Apolonijaus darbų. „Aritmetika“ neabejotinai buvo daugelio tyrimų, kurie mums liko visiškai nežinomi, rezultatas. Galime tik spėlioti apie jos šaknis ir stebėtis jos metodų bei rezultatų turtingumu ir grožiu.

Diofanto „Aritmetika“ – tai uždavinių rinkinys (iš viso jų yra 189), kurių kiekvienas turi sprendimą (arba kelis sprendimo būdus) ir reikiamus paaiškinimus. Todėl iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tai ne teorinis darbas. Tačiau atidus skaitymas rodo, kad problemos yra kruopščiai atrinktos ir iliustruoja labai specifinius, griežtai apgalvotus metodus. Kaip buvo įprasta senovėje, metodai nėra formuluojami bendra forma, o kartojami sprendžiant panašias problemas.

2. Skaičiai ir simboliai

Diofantas pradeda nuo pagrindinių apibrėžimų ir raidžių simbolių, kuriuos jis naudos, aprašymu.

Klasikinėje graikų matematikoje, kuri buvo užbaigta Euklido elementuose, numeriu άριJμός - “ aritmas"arba" aritmosas"; todėl skaičių mokslo pavadinimas „aritmetika“) buvo suprantamas kaip vienetų rinkinys, t.y. sveikasis skaičius. Nei trupmenos, nei neracionalumas nebuvo vadinami skaičiais. Griežtai tariant, Principijoje nėra trupmenų. Vienetas laikomas nedalomu ir vietoj vieneto trupmenų laikomi sveikųjų skaičių santykiai; neracionalumai pasirodo kaip nesuderinamų atkarpų santykiai, pavyzdžiui, skaičius, kurį dabar žymime √2, klasikiniams graikams buvo kvadrato įstrižainės ir jo kraštinės santykis. Apie neigiamus skaičius nebuvo kalbos. Jiems net nebuvo atitikmenų. Visiškai kitokį vaizdą randame Diofante.

Diofantas pateikia tradicinį skaičiaus apibrėžimą kaip vienetų rinkinį, bet vėliau ieško savo problemų teigiamas racionalus sprendimus ir kiekvieną tokį sprendimą vadina skaičiumi (άριJμός - “ aritmas »).

Tačiau reikalas tuo nesibaigia. Diofantas įveda neigiamus skaičius: jis vadina juos specialiu terminu λει̃ψις - “ leipsis" - kilęs iš veiksmažodžio λει̃πω - " leipo“, o tai reiškia, kad trūksta, trūksta, kad pats terminas būtų verčiamas žodžiu „trūksta“. Beje, taip daro garsus Rusijos mokslo istorikas I. Timčenko. Diofantas teigiamą skaičių vadina žodžiu ΰπαρξις - “ iparxis“, kuris reiškia buvimą, būtį, o daugiskaitoje šis žodis gali reikšti nuosavybę arba nuosavybę. Taigi Diofanto vartojama santykinių skaičių terminija yra artima viduramžiais vartotai Rytų ir Europos šalių terminologijai. Greičiausiai tai buvo tiesiog vertimas iš graikų į arabų, sanskrito, lotynų, o vėliau į įvairias Europos kalbas.

Atkreipkite dėmesį, kad terminas λει̃ψις yra „ leipsis" - negali būti išverstas kaip "atimtas", kaip daro daugelis Diofanto vertėjų, nes atimties operacijai Diophantas vartoja visiškai skirtingus terminus, būtent άφελει̃ν - " afeleinas"arba άφαιρει̃ν -" ugnies lietus", kurie yra kilę iš veiksmažodžio άφαιρεω - " afireo"- Atimti. Transformuodamas lygtis, pats Diofantas dažnai naudoja standartinę išraišką „pridėkite λει̃ψις prie abiejų pusių“.

Taip nuodugniai apsistojome ties filologine Diofanto teksto analize, norėdami įtikinti skaitytoją, jog nenukrypsime nuo tiesos, jei Diofanto terminus verssime kaip „teigiamas“ ir „neigiamas“.

Diofantas suformuluoja santykinių skaičių ženklų taisyklę:

„neigiamas, padaugintas iš neigiamo, suteikia teigiamą, o neigiamas, padaugintas iš teigiamo, suteikia neigiamą, o neigiamo skiriamasis ženklas yra apversta ir sutrumpinta (raidė) ψ.

„Kai paaiškinau jums daugybą, aiškėja ir siūlomų terminų skirstymas; Dabar bus gerai pradėti praktikuoti tokių terminų sudėtį, atimtį ir daugybą. Pridėkite teigiamus ir neigiamus terminus su skirtingais koeficientais prie kitų teigiamų arba vienodai teigiamų ir neigiamų terminų, o iš teigiamų ir kitų neigiamų terminų atimkite kitus teigiamus ir vienodai teigiamus bei neigiamus terminus.

Atkreipkite dėmesį, kad nors Diofantas ieško tik racionalių teigiamų sprendimų, tarpiniuose skaičiavimuose jis noriai naudoja neigiamus skaičius.

Taigi galime pastebėti, kad Diofantas išplėtė skaičių lauką į racionaliųjų skaičių lauką, kuriame galima be kliūčių atlikti visas keturias aritmetikos operacijas.

3. Diofanto lygtis

Apibrėžimas – algebrinės lygtys arba algebrinių lygčių sistemos su sveikaisiais koeficientais, turinčios nežinomųjų skaičių, viršijantį lygčių skaičių, ir kuriems ieškoma sveikųjų arba racionalių sprendinių.

kirvis + pateikė = 1

Kur A Ir b- pirmieji sveikieji skaičiai

Kopirminiai skaičiai keli sveikieji skaičiai, kad bendrieji visų šių skaičių dalikliai būtų tik + 1 ir - 1. Mažiausias pirminių skaičių poros kartotinis yra lygus jų sandaugai.

turi be galo daug sprendimų:

Jeigu x0 Ir y0- vienas sprendimas, tada skaičiai

X = x0 + mlrd

adresu = y0 -an

(n- bet koks sveikasis skaičius) taip pat bus sprendimai.

Kitas pavyzdys D. u.

x2 + y2 = z2

Šios lygties teigiami sveikieji sprendiniai parodo kojų ilgį X , adresu ir hipotenuzė z stačiakampiai trikampiai, kurių kraštinių ilgis yra sveiki, vadinami Pitagoro skaičiais.

natūraliųjų skaičių trikampiai, kad trikampis, kurio kraštinių ilgis yra proporcingas (arba lygus) šiems skaičiams, būtų stačiakampis.

Visus pirminio Pitagoro skaičių tripletus galima gauti naudojant formules

X = m2 - n2

adresu = 2mn

z = m2 + n2

Kur m Ir n- Sveiki skaičiai ( m > n > 0).

Ši lygtis apibrėžiama plokštumoje R 2 algebrinė kreivėΓ. Vadinsime racionalų sprendimą (2) racionalus taškas kreivė Γ. Toliau dažnai pasitelksime geometrijos kalbą, nors pats Diofantas jos niekur nevartoja. Tačiau geometrinė kalba dabar tapo tokia neatsiejama matematinio mąstymo dalimi, kad jos pagalba bus lengviau suprasti ir paaiškinti daugelį faktų.

Visų pirma, reikia pateikti tam tikrą lygčių (2) klasifikaciją arba, kas yra ta pati, algebrines kreives. Natūraliausias ir anksčiausiai atsirandantis yra jų klasifikavimas pagal užsakymą.

Prisiminkime tai tvarka kreivė (2) yra didžiausia daugianario narių tvarka f (x , y), kur termino eilė suprantama kaip galių suma ties x Ir y. Geometrinė šios sąvokos prasmė ta, kad tiesi linija kerta eilės kreivę n tiksliai ties n taškų. Skaičiuojant taškus, žinoma, reikia atsižvelgti į susikirtimo taškų skaičių, taip pat į sudėtingus ir „be galo nutolusius“ taškus. Taigi, pavyzdžiui, apskritimas x 2 + y 2 = 1 ir tiesus x + y= 2 susikerta dviejuose kompleksiniuose taškuose ir hiperbolė x 2 – y 2 = 1 ir tiesus y =x- dviejuose taškuose begalybėje ta pati hiperbolė su tiesia linija x=1 turi vieną bendrą daugybos tašką 2.

Tačiau tikslams Diofantino analizė(toks pavadinimas buvo suteiktas matematikos sričiai, išaugusiai iš neapibrėžtų lygčių sprendimo problemų, tačiau dabar ji dažniau vadinama diofantine geometrija) klasifikavimas pagal eiliškumą pasirodė per grubus.

Ryžiai. 1.

Paaiškinkime tai pavyzdžiu. Tegu duotas apskritimas C : x 2 + y 2 = 1 ir bet kuri tiesi linija su racionaliais koeficientais, pavyzdžiui, L : y=0. Parodykime, kad šio apskritimo ir tiesės racionalūs taškai gali būti suderinti vienas su vienu. Tai galima padaryti, pavyzdžiui, taip: pataisykite tašką A(0,–1) apskritimus ir priskirkite kiekvieną racionalų tašką B tiesiai L tašką B" ratas C, guli sankryžoje C ir tiesiai AB(1 pav.). Kad taško koordinatės B" bus racionalus, leisime skaitytojui įrodyti pačiam arba perskaitys panašų įrodymą iš Diofanto (jis bus pateiktas kitoje pastraipoje). Akivaizdu, kad tą patį atitikmenį galima nustatyti tarp bet kurios kūgio pjūvio racionalių taškų, jei jame yra bent vienas racionalus taškas, ir racionalios linijos. Matome, kad Diofantinės analizės požiūriu apskritimas C ir tiesiai L yra neatskiriami: jų racionalių sprendimų aibės yra lygiavertės. Ir tai nepaisant to, kad abiejų kreivių eilės skiriasi.

Subtilesnis yra algebrinių kreivių klasifikavimas pagal gentis, kurį tik XIX amžiuje įvedė Abelis ir Riemannas. Šioje klasifikacijoje atsižvelgiama į kreivės vienaskaitos taškų skaičių Γ.

Darome prielaidą, kad kreivės (2) lygtyje Γ daugianomas f (x , y) yra neredukuojamas per racionaliųjų skaičių lauką, t.y. jis neišsiplečia į daugianario sandaugą su racionaliais koeficientais. Kaip žinoma, kreivės Γ liestinės taške lygtis P (x 0 , y 0) valia

y – y 0 = k (x – x 0),

k = –

fx" (x 0 , y 0)

gerai" (x 0 , y 0)

Jei taške P išvestinė fx" arba gerai" skiriasi nuo nulio, tada nuolydis k tangentas turi labai apibrėžtą reikšmę (jei gerai" (x 0 , y 0) = 0, a fx" (x 0 , y 0) ≠ 0, tada k=∞ ir liestinė ties P bus vertikalus).

Jei taške P išnyksta abu daliniai dariniai,

fx" (x 0 , y 0) = 0 ir gerai" (x 0 , y 0) = 0,

tada taškas P paskambino ypatingas .

Pavyzdžiui, ties kreive y 2 = x 2 + x 3 taškai (0, 0) bus ypatingi, nes jame fx" = –2x – 3x 2 ir gerai" = 2y eiti į nulį.

Ryžiai. 2.

Paprasčiausi vienaskaitos taškai yra dvigubi, kuriuose yra bent viena iš išvestinių f xx "" , f xy "" Ir f yy "" skiriasi nuo nulio. Fig. 2 paveiksle parodytas dvigubas taškas, kuriame kreivė turi dvi skirtingas liestinės. Kiti sudėtingesni vienaskaitos taškai parodyti Fig. 3.

Ryžiai. 3.

4. Sprendimai

1 taisyklė. Jei c nesidalija iš d, tai lygtis ax + vy = c neturi sveikųjų skaičių sprendinių. N.O.D.(a,b) = d.

Taisyklė 2. Norėdami rasti lygties ax + vy = c sprendimą su koprime a ir b, pirmiausia turite rasti lygties ax + y = 1 sprendimą (X o; y o); skaičiai CX o, Su o sudaro lygties ax + vy = c sprendinį.

Išspręskite lygtį sveikaisiais skaičiais (x, y)

5x - 8m = 19 ... (1)

Pirmas būdas. Konkretaus sprendimo suradimas naudojant atrankos metodą ir bendro sprendimo įrašymas.

Žinome, kad jei N.O.D.(a;b) =1, t.y. a ir b yra pirminiai skaičiai, tada (1) lygtis

turi sveikųjų skaičių x ir y sprendinį. N.O.D.(5;8) =1. Naudodami atrankos metodą randame tam tikrą sprendimą: X o = 7; y o =2.

Taigi skaičių pora (7;2) yra ypatingas (1) lygties sprendimas.

Tai reiškia, kad galioja lygybė: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 ... (2)

Klausimas: Kaip, atsižvelgiant į vieną sprendimą, užrašyti visus kitus sprendimus?

Iš (1) lygties atimkime lygybę (2) ir gausime: 5(x -7) – 8(y - 2) =0.

Taigi x – 7 = . Iš gautos lygybės aišku, kad skaičius (x – 7) bus sveikasis skaičius tada ir tik tada, kai (y – 2) dalijasi iš 5, t.y. y – 2 = 5n, kur n yra koks nors sveikas skaičius. Taigi, y = 2 + 5n, x = 7 + 8n, kur n Z.

Taigi visi pirminės lygties sveikieji sprendiniai gali būti parašyti tokia forma:

Antras būdas . Nežinomo lygties sprendimas.

Šią lygtį išsprendžiame atsižvelgiant į nežinomąjį, kuris turi mažiausią (modulio) koeficientą. 5x - 8m = 19 x = .

Likučiai dalijant iš 5: 0,1,2,3,4. Pakeiskime šiuos skaičius y.

Jei y = 0, tai x = =.

Jei y = 1, tai x = =.

Jei y = 2, tai x = = = 7 Z.

Jei y = 3, tai x = =.

Jei y = 4, tada x = =.) Išvada

Tuo tarpu dauguma mokslo istorikų, priešingai nei matematikai, iki šiol neįvertino Diofanto darbų. Daugelis jų manė, kad Diofantas apsiribojo tik vieno sprendimo radimu ir tam naudojo dirbtines technikas, skirtingas skirtingoms problemoms spręsti. Tačiau iš tikrųjų daugumoje diofantinių lygčių mes stebime panašius sprendimo algoritmus.

Šiandien, kaip matome, yra keletas skirtingų sprendimų, kurių algoritmus lengva įsiminti. Kaip minėta anksčiau, ši lygtis paprastai randama vieningo valstybinio egzamino C6 užduotyje. Diofantinių lygčių sprendimo algoritmų studijavimas gali padėti išspręsti šią užduotį, kuri verta daug taškų.

Bibliografija

1. Diofantas Aleksandrietis. Aritmetika ir knyga apie daugiakampius skaičius (iš senovės graikų kalbos vertė I. N. Veselovskis; redagavo ir komentavo I. G. Bašmakova). M., „Mokslas“, 1974 m.

2. B. L. Van der Waerden, Pabudimo mokslas (I. N. Veselovskio vertimas). M., Fizmatgiz, 1959 m.

3. G. G. Tseyten, Matematikos istorija antikoje ir viduramžiais (vertė P. Juškevičius). M.–L., Gostekhizdat, 1932 m

4. A. V. Vasiljevas, sveikas skaičius. Sankt Peterburgas, 1919 m

5. I. V. Jaščenka, S. A. Šestakovas, P. I. Zacharovas, matematika, vieningas valstybinis egzaminas, MTsNMO, 2010 m.

Diofantas Aleksandrietis(senovės graikai Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; lat. Diofantas) – senovės graikų matematikas, tariamai gyvenęs III amžiuje po Kristaus. e. Dažnai vadinamas „algebros tėvu“. Autorius "Aritmetika" - knyga, skirta rasti teigiamus racionalius neapibrėžtų lygčių sprendimus. Šiais laikais „Diofantino lygtys“ dažniausiai reiškia lygtis su sveikųjų skaičių koeficientais, kurių sprendinius reikia rasti tarp sveikųjų skaičių.

Biografija [ | ]

Lotynų kalbos vertimas Aritmetika (1621)

Tai prilygsta šios lygties sprendimui:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 (\displaystyle x=(\frac (x)(6))+(\frac (x)(12))+(\frac (x) (7))+5+(\frac (x)(2))+4)

Ši lygtis suteikia x = 84 (\displaystyle x = 84), tai yra, Diofanto amžius lygus 84 metams. Tačiau informacijos tikslumo patvirtinti negalima.

Aritmetika Diofanta[ | ]

Pagrindinis Diofanto darbas - Aritmetika 13 knygų. Deja, iš pirmųjų 13 knygų išliko tik 6 (arba 10, žr. žemiau).

Įtaka Aritmetika matematikos ugdymui[ | ]

10 amžiuje Aritmetika buvo išverstas į arabų kalbą, po to islamo šalių matematikai (Abu Kamilas ir kiti) tęsė kai kuriuos Diofanto tyrimus. Europoje susidomėjimas Aritmetika išaugo po to, kai Raphaelis Bombelli išvertė ir paskelbė šį veikalą į lotynų kalbą, o savo knygoje paskelbė 143 problemas. Algebra(1572). 1621 m. pasirodė klasikinis, nuodugniai komentuotas lotyniškas vertimas Aritmetika, įvykdė Bachet de Meziriac.

Kiti Diofanto darbai[ | ]

Iš Diofanto darbų Apie paviršių matavimą (ἐπιπεδομετρικά ) Ir Apie dauginimą (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) taip pat išliko tik fragmentai.

Diofanto knyga Porizmaižinoma tik iš kelių teoremų, naudotų Aritmetika.

Skiltyje apie klausimą, kur gyveno Diofantas, uždavė autorius Lera... geriausias atsakymas yra Diofantas – (III a. po Kr. pabaiga) – garsus senovės graikų matematikas.
Apie jo gyvenimą beveik nėra informacijos; net jo gimimo ir mirties datos nėra visiškai patikimos.
Gyveno Egipto mieste Aleksandrijoje.
Diofanto veikla sutapo su Graikijos nuosmukiu, kurią užkariavo – kaip žinoma – Roma.
Graikų mokslininkai rado prieglobstį Egipte, daugiausia Aleksandrijoje, kuri tuo metu buvo tapusi pasaulio kultūros centru.
Aleksandrijoje buvo sukurta nuostabi biblioteka, kuri Diofanto laikais tapo pasaulio kultūros ir humanitarinių mokslų centru. Museion (mūzų šventykla arba šventovė), kurioje telkėsi iškiliausių gamtos ir matematikos mokslų atstovų veikla.
Tarp šių mokslininkų buvo ir Diofantas – matematikas, kuris dėl pažinties su Sirijos ir Indijos matematikais babiloniečių pasiekimus algebros srityje perkėlė į graikų mokslą.

Atsakymas iš Aleksandras[guru]
visi matematikai iš Graikijos

Atsakymas iš prisidėti[naujokas]
Sprendžiant iš to, kad jis yra Diofantas Aleksandrietis, jis gyveno Aleksandrijoje (šiuolaikinio Egipto teritorijoje) III a. Manoma, kad jo gyvenimo datos: gimė - 325 m., mirė - 409 m

Atsakymas iš Grąžtas[naujokas]
Diofantas Aleksandrietis?
Senovės Romos matematikas
Senovės graikų matematikas, tariamai gyvenęs III mūsų eros amžiuje. e. Dažnai vadinamas „algebros tėvu“. Autorius "Aritmetika" - knyga, skirta rasti teigiamus racionalius neapibrėžtų lygčių sprendimus. Šiais laikais „Diofantino lygtys“ dažniausiai reiškia lygtis su sveikųjų skaičių koeficientais, kurių sprendinius reikia rasti tarp sveikųjų skaičių.

Aštuonkojai turi 8 kojas, jūrų žvaigždės – 5.

Kiek jūrų gyvūnų yra akvariume, jei iš viso yra 39 galūnės?

Diofantas iš Aleksandrijos yra senovės graikų matematikas, kuris, kaip manoma, gyveno III mūsų eros amžiuje.

Apie jo gyvenimo detales beveik nieko nežinoma. Viena vertus, Diofantas cituoja Hypsicles (II a. pr. Kr.); kita vertus, Teonas Aleksandrietis (apie 350 m. po Kr.) rašo apie Diofantą, iš ko galime daryti išvadą, kad jo gyvenimas vyko šio laikotarpio ribose. Galimas Diofanto gyvenimo laiko paaiškinimas grindžiamas tuo, kad jo „Aritmetika“ skirta „garbingiausiam Dionisijui“. Manoma, kad šis Dionisijus yra ne kas kitas, o Aleksandrijos vyskupas Dionisijus, gyvenęs III amžiaus viduryje. n. e.

Palatino antologijoje yra epigrama-užduotis, iš kurios galime daryti išvadą, kad Diofantas gyveno 84 metus:

Diofanto pelenai ilsisi kape; stebėtis ja ir akmeniu

Per jo išmintingą meną prabils mirusiojo amžius.

Dievų valia, būdamas vaikas, gyveno šeštadalį savo gyvenimo.

Ir aš sutikau pusę šešių su pūkais ant skruostų.

Praėjus vos septintai dienai, jis susižadėjo su savo mergina.

Su ja praleidęs penkerius metus, išminčius susilaukė sūnaus;

Tėvo mylimas sūnus nugyveno tik pusę savo gyvenimo.

Jį iš tėvo paėmė ankstyvas kapas.

Du kartus dvejus metus tėvas apraudojo sunkų sielvartą,

Čia pamačiau savo liūdno gyvenimo ribą.

Naudojant šiuolaikinius lygčių sprendimo būdus, galima apskaičiuoti, kiek metų gyveno Diofantas. Sukurkime ir išspręskime lygtį:

Šios lygties sprendimas yra skaičius 84. Taigi Diofantas gyveno 84 metus.

Pagrindinis Diofanto kūrinys yra 13 knygų „Aritmetika“. Deja, iš 13 knygų išliko tik pirmosios 6.

Prieš pirmąją knygą pateikiamas platus įvadas, kuriame aprašomas Diofanto vartojamas užrašas. Diofantas nežinomą vadina „skaičiumi“ (?ριθμ?ς) ir žymi jį raide ς, nežinomybės kvadratą – simboliu (sutrumpinimas iš δ?ναμις – „laipsnis“). Specialūs ženklai numatyti tolesniems nežinomybės laipsniams iki šeštojo, vadinamo kubu-kubu, ir jiems priešingiems laipsniams. Diofantas neturi pridėtinio ženklo: jis tiesiog rašo teigiamus terminus vienas šalia kito, o kiekviename termine pirmiausia įrašomas nežinomybės laipsnis, o tada skaitinis koeficientas. Atimtieji terminai taip pat rašomi greta, o prieš visą jų grupę dedamas specialus ženklas apverstos raidės Ψ pavidalu. Lygybės ženklas žymimas dviem raidėmis ?σ (sutrumpinimas iš ?σος – „lygus“). Buvo suformuluota panašių terminų įvedimo taisyklė ir to paties skaičiaus arba išraiškos pridėjimo arba atėmimo iš abiejų lygties pusių taisyklė: tai, ką al-Khwarizmi vėliau pradėjo vadinti „al-jabru ir al-muqabala“. Įvesta ženklų taisyklė: minusas kartus minusas suteikia pliusą; Ši taisyklė naudojama dauginant dvi išraiškas su atimtais terminais. Visa tai suformuluota bendrais bruožais, neatsižvelgiant į geometrines interpretacijas.

Didžioji kūrinio dalis – problemų su sprendimais rinkinys (šešiose išlikusiose knygose iš viso jų yra 189), sumaniai atrinktos bendriesiems metodams iliustruoti. Pagrindinė „Aritmetikos“ problema yra teigiamų racionalių neapibrėžtų lygčių sprendimų paieška. Racionalius skaičius Diofanto interpretuoja taip pat, kaip ir natūraliuosius skaičius, o tai nebūdinga senovės matematikams.

Pirma, Diofantas nagrinėja 2-osios eilės lygčių sistemas 2 nežinomiesiems; jame nurodomas būdas rasti kitus sprendimus, jei toks jau žinomas. Tada jis taiko panašius metodus aukštesnio laipsnio lygtims.

10 amžiuje „Aritmetika“ buvo išversta į arabų kalbą, o po to islamo šalių matematikai (Abu Kamilas ir kiti) tęsė kai kuriuos Diofanto tyrimus. Europoje susidomėjimas aritmetika išaugo po to, kai Raphaelis Bombelli atrado šį darbą Vatikano bibliotekoje ir paskelbė 143 jo uždavinius savo „Algebroje“ (1572 m.). 1621 m. pasirodė klasikinis, nuodugniai komentuotas lotyniškas „Aritmetikos“ vertimas, kurį atliko Bachet de Meziriak. Diofanto metodai padarė didžiulę įtaką François Viète'ui ir Pierre'ui Fermat'ui; buvo Gauso ir Eulerio studijų atskaitos taškas. Tačiau šiais laikais neapibrėžtos lygtys dažniausiai sprendžiamos sveikais skaičiais, o ne racionaliais skaičiais, kaip tai padarė Diofantas.

XX amžiuje Diofanto vardu buvo aptiktas dar 4 aritmetikos knygų arabiškas tekstas. Kai kurie matematikos istorikai, išanalizavę šį tekstą, iškėlė hipotezę, kad jų autorius buvo ne Diofantas, o Diofanto metodus gerai išmanantis komentatorius, greičiausiai Hipatija.

Diofanto traktatas „Apie daugiakampius skaičius“ (Περ? πολυγ?νων ?ριθμ?ν) iki galo neišsaugotas; išsaugotoje dalyje geometrinės algebros metodais išvesta nemažai pagalbinių teoremų.

Iš Diofanto darbų „Apie paviršių matavimą“ (?πιπεδομετρικ?) ir „Apie dauginimą“ (Περ? πολλαπλασιασμο?) taip pat išlikę tik fragmentai.

Diofanto knyga „Porizmai“ žinoma tik iš kelių aritmetikoje naudojamų teoremų.

Šiandien lygtis yra tokios formos

Kur P- sveikojo skaičiaus funkcija (pavyzdžiui, daugianomas su sveikųjų skaičių koeficientais), o kintamieji įgauna sveikųjų skaičių reikšmes, pavadintas senovės graikų matematiko - Diofantino garbei.

Turbūt pati garsiausia Diofanto lygtis

Jo sprendimai yra Pitagoro trynukai: (3; 4; 5), (6; 8; 10), (5; 12; 13), (12; 35; 37)…

Diofanto lygties neišsprendžiamumo sveikaisiais skaičiais įrodymas

adresu (Paskutinė Fermato teorema) užbaigė anglų matematikas Andrew Wilesas 1994 m.

Kitas Diofanto lygties pavyzdys yra Pell lygtis

kur yra parametras n nėra tikslus kvadratas.

Dešimtoji Hilberto problema yra viena iš 23 problemų, kurias Davidas Hilbertas pasiūlė 1900 m. rugpjūčio 8 d. Antrajame tarptautiniame matematikų kongrese. Hilberto pranešime dešimtosios problemos formuluotė yra trumpiausia iš visų:

Pateikiame Diofanto lygtį su savavališkais nežinomaisiais ir sveikaisiais racionaliais skaitiniais koeficientais. Nurodykite metodą, kuriuo, atlikus baigtinį skaičių operacijų, galima nustatyti, ar ši lygtis gali būti išspręsta racionaliais sveikaisiais skaičiais.

Šios problemos algoritminio neišsprendžiamumo įrodinėjimas užtruko apie dvidešimt metų, o Jurijus Matiyasevičius jį užbaigė 1970 m.

Daugiausia Aleksandrijos Pappo veiklos (III a.) dėka mus pasiekė informacija apie senovės mokslininkus ir jų darbus. Po Apolonijaus (nuo II a. pr. Kr.) prasidėjo senovės mokslo nuosmukis. Naujų gilių idėjų neatsiranda. 146 m.pr.Kr. e. Roma užėmė Graikiją, o 31 m.pr.Kr. e. - Aleksandrija. Bendro sąstingio ir nuosmukio fone ryškiai išsiskiria milžiniška Diofanto Aleksandriečio, paskutiniojo iš didžiųjų senovės matematikų, „algebros tėvo“, figūra.

Diofanto vardu pavadinti šie matematiniai objektai: