Asimptotiškai optimalus. Asimptotinės simetrijos savybės ir apibūdinimais pagrįsti susitarimo kriterijai Sąlyginis matematinis lūkestis
Kaip minėta ankstesniame skyriuje, klasikinių algoritmų tyrimas daugeliu atvejų gali būti atliekamas naudojant asimptotinius matematinės statistikos metodus, ypač naudojant CLT ir konvergencijos paveldėjimo metodus. Klasikinės matematinės statistikos atskyrimas nuo taikomųjų tyrimų poreikių visų pirma pasireiškia tuo, kad plačiai paplitusiose monografijose trūksta matematinio aparato, reikalingo ypač dviejų imčių statistikai tirti. Esmė ta, kad iki ribos reikia eiti ne vienu parametru, o dviem – dviejų mėginių tūriais. Turėjome sukurti atitinkamą teoriją – konvergencijos paveldėjimo teoriją, išdėstytą mūsų monografijoje.
Tačiau tokio tyrimo rezultatai turės būti taikomi baigtiniams imčių dydžiams. Iškyla daugybė problemų, susijusių su tokiu perėjimu. Kai kurie iš jų buvo aptarti tiriant statistikos, sudarytos iš konkrečių skirstinių imčių, savybių.
Tačiau aptariant nukrypimų nuo pradinių prielaidų įtaką statistinių procedūrų savybėms, iškyla papildomų problemų. Kokie nukrypimai laikomi tipiniais? Ar sutelkti dėmesį į „žalingiausius“ nukrypimus, kurie labiausiai iškreipia algoritmų savybes, ar į „tipinius“ nukrypimus?
Pirmuoju būdu gauname garantuotą rezultatą, tačiau šio rezultato „kaina“ gali būti per didelė. Kaip pavyzdį nurodykime universalią CLT klaidos Berry-Esseen nelygybę. A.A. visiškai teisingai pabrėžia. Borovkovo nuomone, „tikrųjų problemų konvergencijos greitis, kaip taisyklė, yra geresnis“.
Taikant antrąjį metodą, kyla klausimas, kurie nukrypimai laikomi „tipiniais“. Galite pabandyti atsakyti į šį klausimą analizuodami didelius realių duomenų kiekius. Visiškai natūralu, kad skirtingų tyrimo grupių atsakymai skirsis, kaip matyti, pavyzdžiui, nuo straipsnyje pateiktų rezultatų.
Viena iš klaidingų idėjų yra naudoti tik konkrečią parametrų šeimą analizuojant galimus nuokrypius – Weibull-Gnedenko skirstinius, trijų parametrų gama skirstinių šeimą ir tt Dar 1927 m. akad. SSRS mokslų akademija S.N. Bernsteinas aptarė metodinę klaidą redukuojant visus empirinius skirstinius į keturių parametrų Pearsono šeimą. Tačiau parametriniai statistikos metodai vis dar yra labai populiarūs, ypač tarp taikomųjų mokslininkų, ir dėl šios klaidingos nuomonės pirmiausia kalti statistinių metodų mokytojai (žr. toliau, taip pat straipsnį).
15. Vieno iš daugelio kriterijų pasirinkimas konkrečiai hipotezei patikrinti
Daugeliu atvejų yra sukurta daug metodų konkrečiai praktinei problemai spręsti, o matematinių tyrimo metodų specialistas susiduria su problema: kurį reikėtų pasiūlyti taikomajam mokslininkui konkrečių duomenų analizei?
Kaip pavyzdį apsvarstykite dviejų nepriklausomų mėginių homogeniškumo tikrinimo problemą. Kaip žinote, norėdami ją išspręsti, galite pasiūlyti daugybę kriterijų: Studentas, Cramer-Welch, Lord, chi-square, Wilcoxon (Mann-Whitney), Van der Waerden, Savage, N.V. Smirnov, omega-square tipas (Lehman). -Rozenblatt), G.V. Martynovas ir kt. Kurį pasirinkti?
Natūraliai kyla mintis „balsuoti“: patikrinti pagal daugelį kriterijų ir tada priimti sprendimą „balsų dauguma“. Statistinės teorijos požiūriu, tokia procedūra tiesiog veda prie kito kriterijaus, kuris a priori nėra geresnis už ankstesnius, bet sunkiau tiriamas, konstravimo. Kita vertus, jeigu sprendiniai sutampa pagal visus nagrinėjamus statistinius kriterijus, paremtus skirtingais principais, tai pagal stabilumo sampratą tai padidina pasitikėjimą gautu bendruoju sprendimu.
Yra paplitusi, ypač tarp matematikų, klaidinga ir žalinga nuomonė apie būtinybę ieškoti optimalių metodų, sprendimų ir pan. Faktas yra tas, kad optimalumas dažniausiai išnyksta, kai nukrypstama nuo pradinių patalpų. Taigi aritmetinis vidurkis, kaip matematinio lūkesčio įvertis, yra optimalus tik tada, kai pradinis skirstinys yra normalus, tuo tarpu jis visada yra tinkamas įvertinimas, kol egzistuoja matematinis lūkestis. Kita vertus, bet kokiam savavališkai pasirinktam hipotezių vertinimo ar tikrinimo metodui dažniausiai galima suformuluoti optimalumo sąvoką taip, kad nagrinėjamas metodas taptų optimalus – šiuo specialiai pasirinktu požiūriu. Paimkime, pavyzdžiui, imties medianą kaip matematinio lūkesčio įvertinimą. Žinoma, jis yra optimalus, nors ir kitokia prasme nei aritmetinis vidurkis (optimalus normaliajam pasiskirstymui). Būtent Laplaso skirstiniui imties mediana yra maksimalios tikimybės įvertis, taigi ir optimalus (monografijoje nurodyta prasme).
Monografijoje buvo analizuojami homogeniškumo kriterijai. Yra keli natūralūs kriterijų palyginimo būdai – pagrįsti asimptotiniu santykiniu efektyvumu pagal Bahadur, Hodges-Lehman, Pitman. Ir paaiškėjo, kad kiekvienas kriterijus yra optimalus, atsižvelgiant į atitinkamą alternatyvą arba tinkamą pasiskirstymą alternatyvų aibėje. Šiuo atveju matematiniams skaičiavimams dažniausiai naudojama poslinkio alternatyva, kuri realių statistinių duomenų analizės praktikoje yra gana reta (susijusias su Wilcoxon testu, ši alternatyva buvo mūsų aptarta ir kritikuojama). Rezultatas liūdnas – parodyta puiki matematinė technika neleidžia mums pateikti rekomendacijų, kaip pasirinkti homogeniškumo tikrinimo kriterijų analizuojant tikrus duomenis. Kitaip tariant, aplikacijos darbuotojo darbo požiūriu, t.y. konkrečių duomenų analizė, monografija yra nenaudinga. Deja, puikus matematikos įvaldymas ir didžiulis kruopštumas, kurį demonstravo šios monografijos autorius, praktiškai nieko nedavė.
Žinoma, kiekvienas praktiškai dirbantis statistikas vienaip ar kitaip statistinio kriterijaus pasirinkimo problemą išsprendžia pats. Remdamiesi daugeliu metodologinių sumetimų, pasirinkome omega kvadrato (Lehmann-Rosenblatt) kriterijų, kuris atitinka bet kurią alternatyvą. Tačiau lieka nepasitenkinimo jausmas, nes šis pasirinkimas nėra pagrįstas.
Šiuolaikinėmis sąlygomis susidomėjimas duomenų analize nuolat ir intensyviai auga visiškai skirtingose srityse, tokiose kaip biologija, kalbotyra, ekonomika ir, žinoma, IT. Šios analizės pagrindas – statistiniai metodai, kuriuos turi suprasti kiekvienas save gerbiantis duomenų gavybos specialistas.
Deja, tikrai geros literatūros, tokios, kuri gali pateikti ir matematiškai griežtus įrodymus, ir aiškius intuityvius paaiškinimus, nėra labai įprasta. Ir šios paskaitos, mano nuomone, yra neįprastai geros matematikams, kurie tikimybių teoriją supranta būtent dėl šios priežasties. Jie mokomi magistrams Vokietijos Christian-Albrecht universiteto matematikos ir finansinės matematikos programose. O tiems, kurie domisi, kaip šis dalykas dėstomas užsienyje, išverčiau šias paskaitas. Versti užtrukau kelis mėnesius, paskaitas praskiedžiau iliustracijomis, pratimais ir kai kurių teoremų išnašomis. Atkreipiu dėmesį, kad nesu profesionalus vertėjas, o tiesiog altruistas ir šios srities mėgėjas, todėl priimsiu bet kokią kritiką, jei ji konstruktyvi.
Trumpai tariant, apie tai yra paskaitos: 
Sąlyginis matematinis lūkestis
Šis skyrius nėra tiesiogiai susijęs su statistika, tačiau puikiai tinka pradėti ją tyrinėti. Sąlyginis lūkestis yra geriausias pasirinkimas norint numatyti atsitiktinį rezultatą, pagrįstą jau turima informacija. Ir tai taip pat yra atsitiktinis kintamasis. Čia atsižvelgiama į įvairias jo savybes, tokias kaip tiesiškumas, monotoniškumas, monotoniškumas ir kt.Taškų įvertinimo pagrindai
Kaip įvertinti paskirstymo parametrą? Kokį kriterijų turėčiau pasirinkti? Kokius metodus turėčiau naudoti? Šis skyrius padės atsakyti į visus šiuos klausimus. Čia pristatome nešališko įverčio ir vienodai nešališko minimalaus dispersijos įverčio sąvokas. Paaiškina, iš kur atsiranda chi kvadratas ir t skirstiniai ir kodėl jie svarbūs vertinant normaliojo skirstinio parametrus. Paaiškina, kas yra Rao-Kramerio nelygybė ir Fišerio informacija. Taip pat pristatoma eksponentinės šeimos sąvoka, kuri labai palengvina gerą įvertinimą.Bajeso ir minimalaus parametro įvertinimas
Tai apibūdina kitokį filosofinį požiūrį į vertinimą. Šiuo atveju parametras laikomas nežinomu, nes tai yra tam tikro atsitiktinio dydžio realizacija su žinomu (aprioriniu) skirstiniu. Stebėdami eksperimento rezultatą, apskaičiuojame vadinamąjį užpakalinį parametro pasiskirstymą. Remdamiesi tuo, galime gauti Bajeso įvertį, kur kriterijus yra vidutinis minimalus nuostolis, arba minimalią įvertį, kuris sumažina didžiausius galimus nuostolius.
Pakankamumas ir išsamumas
Šis skyrius turi rimtą praktinę reikšmę. Pakankama statistika yra tokia imties funkcija, kad norint įvertinti parametrą, pakanka išsaugoti tik šios funkcijos rezultatą. Tokių funkcijų yra daug, tarp jų yra ir vadinamoji minimali pakankama statistika. Pavyzdžiui, norint įvertinti normalaus skirstinio medianą, pakanka įrašyti tik vieną skaičių – visos imties aritmetinį vidurkį. Ar tai tinka ir kitiems platinimams, pvz., Cauchy paskirstymui? Kaip pakankamai statistikos padeda pasirinkti įvertinimus? Čia galite rasti atsakymus į šiuos klausimus.Asimptotinės įverčių savybės
Bene svarbiausia ir būtiniausia vertinimo savybė yra jo nuoseklumas, tai yra tendencija į tikrąjį parametrą didėjant imties dydžiui. Šiame skyriuje aprašoma, kokias savybes turi mums žinomi įverčiai, gauti ankstesniuose skyriuose aprašytais statistiniais metodais. Pristatomos asimptotinio nešališkumo, asimptotinio efektyvumo ir Kullback-Leibler atstumo sąvokos.Testavimo pagrindai
Be klausimo, kaip įvertinti mums nežinomą parametrą, turime kažkaip patikrinti, ar jis atitinka reikiamas savybes. Pavyzdžiui, atliekamas eksperimentas, skirtas išbandyti naują vaistą. Kaip žinoti, ar su juo tikimybė pasveikti didesnė nei vartojant senus vaistus? Šiame skyriuje paaiškinama, kaip tokie bandymai sudaromi. Sužinosite, kas yra vienodai galingiausias testas, Neyman-Pearson testas, reikšmingumo lygis, pasikliautinasis intervalas ir iš kur atsiranda gerai žinomas Gauso testas ir t testas.Asimptotinės kriterijų savybės
Kaip ir vertinimai, kriterijai turi atitikti tam tikras asimptotines savybes. Kartais gali susiklostyti situacijos, kai neįmanoma sukonstruoti reikiamo kriterijaus, tačiau pasitelkę gerai žinomą centrinę ribinę teoremą sukonstruojame kriterijų, kuris asimptotiškai linksta į būtinąjį. Čia sužinosite, kas yra asimptotinis reikšmingumo lygis, tikimybės santykio metodas ir kaip sudaromas Bartlett testas ir chi kvadrato nepriklausomybės testas.Linijinis modelis
Šis skyrius gali būti laikomas papildymu, būtent statistikos taikymu tiesinės regresijos atveju. Suprasite, kokie pažymiai yra geri ir kokiomis sąlygomis. Sužinosite, iš kur atsirado mažiausiųjų kvadratų metodas, kaip sudaryti testus ir kodėl reikalingas F skirstinys.Tikslūs testai pateikia du papildomus statistikos reikšmingumo lygių skaičiavimo metodus, pasiekiamus naudojant kryžminių ir neparametrinių testų procedūras. Šie metodai, tikslūs ir Monte Karlo metodai, suteikia galimybę gauti tikslius rezultatus, kai jūsų duomenys neatitinka jokių pagrindinių prielaidų, būtinų patikimiems rezultatams gauti naudojant standartinį asimptotinį metodą. Galima tik jei įsigijote tikslių testų parinktis.
Pavyzdys. Asimptotiniai rezultatai, gauti iš mažų duomenų rinkinių arba negausių arba nesubalansuotų lentelių, gali būti klaidinantys. Tikslūs testai leidžia gauti tikslų reikšmingumo lygį, nepasikliaujant prielaidomis, kurių jūsų duomenys gali neatitikti. Pavyzdžiui, stojamojo egzamino 20 ugniagesių mažame miestelyje rezultatai rodo, kad visi penki baltaodžiai kandidatai gavo išlaikytą rezultatą, o juodaodžių, azijiečių ir ispanų kandidatų rezultatai yra skirtingi. Pirsono chi kvadratas, tikrinantis nulinę hipotezę, kad rezultatai nepriklauso nuo rasės, sukuria asimptotinį reikšmingumo lygį 0,07. Šis rezultatas leidžia daryti išvadą, kad egzamino rezultatai nepriklauso nuo egzaminuojamojo rasės. Tačiau kadangi duomenyse yra tik 20 atvejų, o langelių dažnis yra mažesnis nei 5, šis rezultatas nėra patikimas. Tiksli Pirsono chi kvadrato reikšmė yra 0,04, o tai leidžia daryti priešingą išvadą. Pagal tikslią reikšmę darytumėte išvadą, kad egzamino rezultatai ir egzaminuojamojo rasė yra susiję. Tai parodo tikslių rezultatų gavimo svarbą, kai neįmanoma įvykdyti asimptotinio metodo prielaidų. Tiksli reikšmė visada patikima, nepaisant duomenų dydžio, pasiskirstymo, retumo ar balanso.
Statistika. Asimptotinė reikšmė. Monte Karlo aproksimacija su patikimumo lygiu arba tikslia reikšme.
- Asimptotinė. Reikšmingumo lygis, pagrįstas testo statistikos asimptotiniu pasiskirstymu. Paprastai reikšminga laikoma mažesnė nei 0,05 reikšmė. Asimptotinė reikšmė pagrįsta prielaida, kad duomenų rinkinys yra didelis. Jei duomenų rinkinys yra mažas arba prastai paskirstytas, tai gali būti netinkamas reikšmingumo požymis.
- Monte Karlo sąmata. Nešališkas tikslaus reikšmingumo lygio įvertinimas, apskaičiuotas pakartotinai imant atranką iš etaloninių lentelių rinkinio, kurio matmenys ir eilučių bei stulpelių paraštės yra tokie pat kaip ir stebimoje lentelėje. Monte Karlo metodas leidžia tiksliai įvertinti reikšmingumą nesiremiant prielaidomis, reikalingomis asimptotiniam metodui. Šis metodas yra naudingiausias, kai duomenų rinkinys yra per didelis, kad būtų galima apskaičiuoti tikslią reikšmę, tačiau duomenys neatitinka asimptotinio metodo prielaidų.
- Tiksliai. Tiksliai apskaičiuojama stebimo rezultato arba ekstremalesnio rezultato tikimybė. , reikšmingumo lygis, mažesnis nei 0,05, laikomas reikšmingu, o tai rodo, kad paprastai yra tam tikras ryšys tarp eilutės ir stulpelio kintamųjų.
1 Entropija ir informacijos atstumas
1.1 Pagrindiniai apibrėžimai ir žymėjimai.
1.2 Diskrečiųjų skirstinių entropija su ribotais matematiniais lūkesčiais.
1.3 Logaritminė apibendrinta diskrečiųjų skirstinių aibės metrika.
1.4 Funkcijų su skaičiuojamu argumentų rinkiniu kompaktiškumas
1.5 Informacijos atstumo tęstinumas Kullback – Leibler – Sanov
1.6 Išvados.
2 Didelių nukrypimų tikimybės
2.1 Funkcijų didelių nukrypimų nuo ląstelių skaičiaus su duotu užpildymu tikimybės.
2.1.1 Vietinės ribos teorema.
2.1.2 Integralinės ribos teorema.
2.1.3 Informacinis atstumas ir didelių atskiriamos statistikos nukrypimų tikimybės
2.2 Atskiriamos statistikos didelių nuokrypių, neatitinkančių Cramerio sąlygos, tikimybės.
2.3 Išvados.
3 Tinkamumo kriterijų asimptotinės savybės
3.1 Sutikimo kriterijai atrankai be grąžinimo schemos
3.2 Asimptotinis santykinis tinkamumo kriterijų efektyvumas.
3.3 Kriterijai, pagrįsti langelių skaičiumi bendruosiuose išdėstymuose.
3.4 Išvados.
Rekomenduojamas disertacijų sąrašas
Asimptotinis tinkamumo testų efektyvumas, pagrįstas skirstinių charakterizavimo savybėmis 2011 m., fizinių ir matematikos mokslų kandidatė Volkova, Ksenia Jurievna
Dideli nuokrypiai ir ribinės teoremos kai kurioms atsitiktinio ėjimo funkcijoms 2011 m., fizinių ir matematikos mokslų kandidatas Shklyaev, Aleksandras Viktorovičius
Ribinės teoremos ir dideli nuokrypiai atsitiktiniam ėjimo žingsniui 2004 m., fizinių ir matematikos mokslų kandidatas Kozlovas, Andrejus Michailovičius
Dėl tinkamumo testų statistikos konvergencijos greičio su skirtumo chi kvadrato skirstinio galios matais 2010 m., fizinių ir matematikos mokslų kandidatas Zubovas, Vasilijus Nikolajevičius
Asimptotiškai vienalyčių ergodinių Markovo grandinių didelių nukrypimų erdvėje tikimybės 2004 m., fizinių ir matematikos mokslų daktaras Koršunovas, Dmitrijus Aleksejevičius
Disertacijos įvadas (santraukos dalis) tema „Tinkamumo kriterijų asimptotinės savybės tikrinant hipotezes atrankos schemoje negrąžinant, pagrįstos langelių užpildymu apibendrintai išdėstymo schemoje“
Tyrimo objektas ir temos aktualumas. Diskrečių sekų statistinės analizės teorijoje ypatingą vietą užima tinkamumo testai, skirti patikrinti galimai sudėtingą nulinę hipotezę, ty atsitiktinės sekos atveju,
Xi e hi,i = 1, ,n, kur hi = (0,1,. ,M), bet kurio i = 1,.,n ir bet kurio k £ 1m įvykio tikimybė
Xi = k) nepriklauso nuo r Tai reiškia, kad seka tam tikra prasme yra stacionari.
Daugelyje taikomų uždavinių seka (Xr-)™ = 1 yra laikoma rutuliukų spalvų seka, kai pasirenkama negrįžus iki išsekimo iš urnos, kurioje yra n - 1 > 0 k, k spalvos rutuliukų. € 1m Tokių pasirinkimų aibę pažymėsime O(n0 - 1, .,pm - 1). Tegul iš viso urnoje būna n - 1 rutuliukų, m k=0
Pažymėkime r(k) (fc) Jk) rw - Г! , . . . , A spalvos kamuoliukų skaičių seka; pavyzdyje. Apsvarstykite seką, kur k)
Kk-p-GPk1.
Seka h^ apibrėžiama naudojant atstumus tarp gretimų k spalvos rutuliukų vietų taip, kad
Pk Kf = p 1>=1
Visų k £ 1m sekų rinkinys h(fc) viena nuo kitos priklauso. Visų pirma, bet kuris iš jų yra unikaliai nulemtas visų kitų. Jei aibės 1m kardinalumas yra 2, tai rutuliukų spalvų seką vienareikšmiškai lemia atstumų seka tarp gretimų tos pačios fiksuotos spalvos rutuliukų vietų. Tegul urnoje, kurioje yra n - 1 dviejų skirtingų spalvų rutuliukai, yra N - 1 0 spalvos rutuliukai Galime nustatyti aibės ffl(N-l,n - N) ir rinkinio 9 atitikmenį. \n,N vektorių h(n, N ) = (hi,., hjf) su teigiamais sveikųjų skaičių komponentais, kad K = P. (0.1)
Aibė 9РП)дг atitinka visų skirtingų teigiamo sveikojo skaičiaus n skaidinių aibę N eilės tvarka.
Nurodę tam tikrą tikimybių skirstinį vektorių aibėje £Hn,dr, gauname atitinkamą tikimybių skirstinį aibėje Wl(N - 1,n - N). Aibė yra vektorių aibės poaibis, kurio neneigiami sveikieji komponentai atitinka (0,1). Formos skirstiniai disertaciniame darbe bus laikomi tikimybių skirstiniais vektorių aibėje
P(%,N) = (n,.,rN)) = P(£„ = ru,v = l,.,N\jr^ = n), (0,2) kur. ,£dr – nepriklausomi neneigiami sveikieji atsitiktiniai dydžiai.
Formos (0,2) skirstiniai /24/ vadinami apibendrintomis n dalelių talpinimo į N ląstele schemomis. Visų pirma, jei atsitiktiniai dydžiai £b. ,£лг in (0,2) yra pasiskirstę pagal Puasono dėsnius atitinkamai su parametrais Ai,., Лдг, tada vektorius h(n,N) turi daugianario skirstinį su rezultatų tikimybėmis
Ri = . , L" ,V = \,.,N.
L\+. . . + AN
Jei (0-2) atsitiktiniai dydžiai £ь >&v yra vienodai pasiskirstę pagal geometrinį dėsnį, kur p yra bet kuris intervale 0< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.
Kaip pažymėta /14/, /38/, ypatinga vieta tikrinant hipotezes apie dažnio vektorių h(n, N) = (hi,., /gdr) pasiskirstymą apibendrintose n dalelių talpinimo N ląstelėse schemose užima ypatinga vieta. pagal kriterijus, pagrįstus 1 m(N -l,n-N)\ N formos statistika
LN(h(n,N)) = Zfv(hv)
Фн = Ф(-Т7, flQ Hi II-
0,4) kur fu, v = 1,2,. ir φ – kai kurios tikrosios vertės funkcijos, N
Mr = E = r), r = 0,1,. 1/=1
Kiekiai /27/ buvo vadinami ląstelių, kuriose yra tiksliai g dalelių, skaičiumi.
Formos (0,3) statistika /30/ vadinama atskiriama (adityviai atskiriama) statistika. Jei funkcijos /„ in (0.3) nepriklauso nuo u, tai tokia statistika buvo vadinama /31/ simetriška atskiriama statistika.
Bet kurio r statistika /xr yra simetriška atskiriama statistika. Iš lygybės
E DM = E DFg (0,5) iš to išplaukia, kad hv simetrinės atskiriamos statistikos klasė sutampa su fir tiesinių funkcijų klase. Be to, formos (0,4) funkcijų klasė yra platesnė nei simetrinės atskiriamos statistikos klasė.
Bet = (#o(n, N)) yra paprastų nulinių hipotezių seka, kad vektoriaus h(n, N) skirstinys yra (0,2), kur atsitiktiniai dydžiai yra,. (0.2) yra vienodai pasiskirstę ir k) = pk,k = 0,1,2,., parametrai n, N kinta centrinėje srityje.
Apsvarstykite keletą P £ (0,1) ir, paprastai tariant, sudėtingų alternatyvų seką
H = (H(n, N)) toks, kuris egzistuoja – didžiausias skaičius, kuriam galioja bet kurios paprastos hipotezės H\ € H(n, N) nelygybė
РШ > an,N(P)) > Р
Hipotezę Hq(ti,N) atmesime, jei fm > asm((3). Jei yra riba
Шп ~1пР(0н > an,N(P))=u(p,Н), kur kiekvieno N tikimybė apskaičiuojama pagal hipotezę Нк(п, N), tada reikšmė ^(/З, Н) pavadintas /38/ kriterijaus φ indeksu taške (j3, H). Paprastai kalbant, paskutinės ribos gali ir nebūti. Todėl disertaciniame darbe, be kriterinio indekso, atsižvelgiama ir į reikšmę
Ish (~1pP(fm > al(/?)))
JV->oo N-ooo reiškia atitinkamai apatinę ir viršutinę sekos ribas (odg) N -> oo,
Jei yra kriterijaus indeksas, tada kriterijaus indeksas sutampa su juo. Žemesnis kriterijaus indeksas visada egzistuoja. Kuo didesnė kriterijaus indekso reikšmė (kriterijaus indeksas), tuo geresnis statistinis kriterijus šia prasme. /38/, apibendrintų maketų tinkamumo kriterijų konstravimo problema su didžiausia kriterijaus indekso reikšme kriterijų klasėje, atmetančią Ho(n,N) hipotezę esant /MO Ml Mt MS iV" iV """"" ~yv" " buvo išspręsta ^ "kur m > 0 yra koks nors fiksuotas skaičius, pastovios briaunos seka parenkama pagal nurodytą alternatyvų sekos kriterijaus laipsnio reikšmę, ft yra tikrasis m + 1 argumentų funkcija.
Kriteriniai indeksai nustatomi pagal didelių nukrypimų tikimybes. Kaip parodyta /38/, grubią (iki logaritminio ekvivalento) didelių atskiriamos statistikos nuokrypių tikimybių asimptotiką, kai tenkinama atsitiktinio kintamojo /(ξ) Cramerio sąlyga, nustato atitinkamas Kull-Bak-Leibler. -Sanovo informacinis atstumas (atsitiktinis kintamasis rj tenkina sąlygą Cramer, jei kai kuriems R > 0 momentų Metr generavimo funkcija] yra baigtinė intervale \t\< Н /28/).
Klausimas dėl didelių statistikos nukrypimų nuo neriboto skaičiaus eglių tikimybių, taip pat savavališkai atskiriamos statistikos, neatitinkančios Kramerio sąlygos, liko atviras. Tai neleido galutinai išspręsti hipotezių tikrinimo kriterijų konstravimo problemos apibendrintose išdėstymo schemose, kurių pirmos rūšies klaidos tikimybės lygis yra didžiausias iki nulio su nepriartėjusiomis alternatyvomis kriterijų klasėje, pagrįstoje formos statistika (0,4). Disertacijos tyrimo aktualumą lemia poreikis užbaigti nurodytos problemos sprendimą.
Disertacinio darbo tikslas – sukonstruoti tinkamumo kriterijus su didžiausia kriterijaus indekso reikšme (kriterijaus apatinis indeksas) hipotezėms tikrinti atrankos schemoje be grąžos kriterijų klasėje, kuri atmeta hipotezę U(n). , N) už $.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.
Atsižvelgiant į tyrimo tikslą, buvo iškelti šie uždaviniai:
Ištirti entropijos ir informacijos atstumo ypatybes Kull-Bak – Leibler – Sanov diskretiesiems skirstiniams su skaičiuojamu rezultatų skaičiumi;
Ištirti (0,4) formos statistikos didelių nukrypimų tikimybes;
Ištirti simetrinės atskiriamos statistikos didelių nuokrypių (0,3) tikimybes, kurios netenkina Cramerio sąlygos;
Raskite tokią statistiką, kad jos pagrindu sukonstruotas tinkamumo kriterijus hipotezėms tikrinti apibendrintose išdėstymo schemose turėtų didžiausią indekso reikšmę formos kriterijų klasėje (0,7).
Mokslinė naujovė:
Mokslinė ir praktinė vertė. Darbe sprendžiama nemažai klausimų apie didelių nukrypimų tikimybių elgseną apibendrintose išdėstymo schemose. Gauti rezultatai gali būti panaudoti ugdymo procese matematinės statistikos ir informacijos teorijos specialybėse, tiriant statistines diskrečiųjų sekų analizės procedūras ir buvo panaudoti /3/, /21/ pagrįsti vienos saugumui. informacinių sistemų klasė. Gynybos nuostatos:
Sumažinus testavimo problemą, remiantis viena rutuliukų spalvų seka, hipotezė, kad ši seka gaunama pasirinkus negrįžtama, kol rutuliai bus išnaudoti iš urnos, kurioje yra dviejų spalvų rutuliai, ir kiekvienas toks pasirinkimas turi ta pati tikimybe, tinkamumo kriterijų konstravimui hipotezėms tikrinti atitinkamame apibendrintame išdėstyme;
Entropijos ir Kullback-Leibler-Sanovo informacijos atstumo funkcijų tęstinumas begalinėje vienpusėje su įvestąja logaritmine apibendrinta metrika;
Teorema apie grubią (iki logaritminio ekvivalentiškumo) simetrinės atskiriamos statistikos didelių nuokrypių tikimybių asimptotikos, netenkinančių Kramerio sąlygos apibendrintoje išdėstymo schemoje pusiau eksponentiniu atveju;
Teorema apie grubią (iki logaritminio ekvivalento) didelių nuokrypių tikimybių asimptotiką (0,4) formos statistikai;
Tinkamumo kriterijaus konstravimas hipotezėms tikrinti apibendrintuose maketuose, turinčiuose aukščiausią indekso reikšmę formos kriterijų klasėje (0,7).
Darbo aprobavimas. Rezultatai buvo pristatyti vardo Matematikos instituto Diskrečiosios matematikos katedros seminaruose. V. A. Steklov RAS, ITM&VT informacijos saugos skyrius. S. A. Lebedev RAS ir adresu:
Penktasis visos Rusijos taikomosios ir pramoninės matematikos simpoziumas. Pavasario sesija, Kislovodskas, 2004 m. gegužės 2–8 d.;
Šeštoji tarptautinė Petrozavodsko konferencija "Tikimybiniai metodai diskrečiojoje matematikoje" 2004 m. birželio 10 - 16 d.;
Antroji tarptautinė konferencija „Informacinės sistemos ir technologijos (IST“ 2004), Minskas, 2004 m. lapkričio 8-10 d.;
Tarptautinė konferencija "Šiuolaikinės problemos ir naujos tikimybių teorijos tendencijos", Černivciai, Ukraina, 2005 m. birželio 19 - 26 d.
Pagrindiniai darbo rezultatai buvo panaudoti ITMiVT RAS atliktame tiriamajame darbe „Atsiprašymas“. S. A. Lebedevas Rusijos Federacijos federalinės techninės ir eksporto kontrolės tarnybos interesais, ir buvo įtraukti į tyrimo etapo įgyvendinimo ataskaitą /21/. Kai kurie disertacijos rezultatai buvo įtraukti į Rusijos Federacijos Kriptografijos akademijos 2004 metų tyrimo ataskaitą „Kryptografijos matematinių problemų raida“ /22/.
Autorius nuoširdžiai dėkoja moksliniam vadovui fizinių ir matematikos mokslų daktarui A. F. Ronžinui ir moksliniam konsultantui fizinių ir matematikos mokslų daktarui, vyresniajam mokslo darbuotojui A. V. Knyazevui. Autorius dėkoja fizinių ir matematikos mokslų daktarui profesoriui M. Zubkovui. ir fizinių ir matematikos mokslų kandidatui matematikos mokslų kandidatui I. A. Kruglovui už dėmesį darbui ir daugybę vertingų komentarų.
Darbo struktūra ir turinys.
Pirmame skyriuje nagrinėjamos neneigiamų sveikųjų skaičių aibės skirstinių entropijos ir informacijos atstumo savybės.
Pirmo skyriaus pirmoje pastraipoje pateikiami žymėjimai ir pateikiami būtini apibrėžimai. Visų pirma naudojamas toks žymėjimas: x = (xq,x\, . ) - begalinis vektorius su skaičiuojamu komponentų skaičiumi;
H(x) - -Ex^oXvlnx,-, truncm(x) = (x0,x1,.,xm,0,0,.)] f2* = (x, xi > 0, zy = 0,1,. , O “< 1}; Q = {х, х, >0,u = 0,1,., o xv = 1); = (x G O, L0 £ = 7);
Ml = o Ue>1|5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.
Jei y 6E P, tada, kai e > 0, aibė bus pažymėta Oe(y)
Oe(y) – (x^< уие£ для всех v = 0,1,.}.
Pirmo skyriaus antroje pastraipoje įrodyta teorema apie diskrečiųjų skirstinių entropijos ribą su ribotais matematiniais lūkesčiais.
1 teorema. Apie diskrečiųjų skirstinių entropijos ribą su ribota matematine tikėtimi.
Bet kokiam 6 P7
H(x) Jei x € skristi atitinka geometrinį skirstinį, kurio matematinis apibrėžimas yra 7, tai yra, 7 x„ = (1- р)р\ v = 0,1,., kur р = --, 1 + 7, tada galioja lygybė H(x) = F(<7). Teoremos teiginys gali būti vertinamas kaip formalaus sąlyginių daugiklių Lagranžo metodo taikymo rezultatas begalinio skaičiaus kintamųjų atveju. Teorema, kad vienintelis aibės skirstinys (k, k + 1, k + 2,.) su tam tikra matematine lūkečiu ir maksimalia entropija yra geometrinis skirstinys su tam tikra matematine lūkesčiu, pateikta (be įrodymo) /47/. Tačiau autorius pateikė griežtų įrodymų. Trečioje pirmojo skyriaus pastraipoje pateikiamas apibendrintos metrikos apibrėžimas – metrika, leidžianti begalines reikšmes. x,y € Q funkcija p(x,y) apibrėžiama kaip minimali e > O su savybe yie~£<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо. Įrodyta, kad funkcija p(x,y) yra neneigiamų sveikųjų skaičių aibės, taip pat visos aibės Cl* skirstinių šeimos apibendrinta metrika. Vietoj e metrikos p(x,y) apibrėžime galite naudoti bet kurį kitą teigiamą skaičių, išskyrus 1. Gauta metrika skirsis dauginamąja konstanta. Informacinį atstumą pažymėkime J(x, y). 00 £ J(x,y) = E In-. Čia ir toliau daroma prielaida, kad 0 In 0 = 0,0 In jj = 0. Informacinis atstumas yra apibrėžtas tokiam x, y, kad x„ = 0 visiems ir toks, kad y = 0. Jei ši sąlyga neįvykdyta, mes darys prielaidą, kad J(x,ij) = oo. Tegul L SP. Tada pažymėsime J (A Y) = |nf J(x,y). Pirmo skyriaus ketvirtoje pastraipoje pateikiamas aibėje Q* apibrėžtų funkcijų kompaktiškumo apibrėžimas. Funkcijos su skaičiuojamu argumentų skaičiumi kompaktiškumas reiškia, kad bet kokiu tikslumo laipsniu funkcijos reikšmę galima apytiksliai apskaičiuoti pagal šios funkcijos reikšmes taškuose, kuriuose tik baigtinis argumentų skaičius yra ne nulis. Įrodytas entropijos ir informacijos atstumo funkcijų kompaktiškumas. 1. Už bet kurį 0< 7 < оо функция Н(х) компактна на 2. Jei kai kuriems 0< 70 < оо R e tada bet kuriam 0<7<оо,г>0 funkcija x) = J(x,p) yra kompaktiška aibėje Penktoje pirmojo skyriaus pastraipoje aptariamos informacijos atstumo, apibrėžto begalinėje erdvėje, savybės. Palyginti su baigtinių matmenų atveju, situacija su informacijos atstumo funkcijos tęstinumu keičiasi kokybiškai. Parodyta, kad jokioje metrikoje informacijos atstumo funkcija nėra tolydi Pl&V) = E\Xi~Y»\, u=0 E (xv – Ui)2 v=Q Рз(х,у) = 8Up\xu-yv\. v Įrodytas šių nelygybių pagrįstumas entropijos funkcijoms H(x) ir informacijos atstumui J(x,p): 1. Bet kokiam x, x" € fi N(x) – N(x")\< - 1){Н{х) + Н{х")). 2. Jei kurio nors x,p e P yra e > 0, kad x 6 0 £(p), tai bet kuriam x" £ Q J(x,p) - J(x,p)|< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)). Iš šių nelygybių, atsižvelgiant į 1 teoremą, išplaukia, kad entropijos ir informacijos atstumo funkcijos yra tolygiai tolydžios atitinkamuose Q poaibiuose metrikoje p(x,y)t, būtent, 1. Bet kokiems 7 tokiems, kad 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у); 2. Jei už kokius 70, 0< 70 < оо TO už bet kokį 0<7<оои£>0 funkcija L p(x) = J(x,p) yra tolygiai tolydis aibėje Π Oe(p) metrikoje p(x,y). Pateikiamas neekstremalios funkcijos apibrėžimas. Neekstremali sąlyga reiškia, kad funkcija neturi vietinių ekstremalių arba funkcija turi tas pačias reikšmes esant vietiniams minimumams (vietiniams maksimumams). Neekstreminė būklė susilpnina vietinių ekstremalių nebuvimo reikalavimą. Pavyzdžiui, funkcija sin x realiųjų skaičių aibėje turi lokalų ekstremalumą, bet tenkina neekstremalią sąlygą. Tegul kai 7 > 0 sritis A yra nurodyta sąlyga A = (x € VLv4>(x) > a), (0,9) čia φ(x) yra tikrosios vertės funkcija, a yra tam tikra realioji konstanta, inf φ(x)< а < inf ф(х). Buvo tiriamas klausimas, kokiomis sąlygomis funkcija φ keičia parametrus n,N centrinėje srityje, ^ -; 7, visoms pakankamai didelėms reikšmėms yra neneigiami sveikieji skaičiai ko, k\,., kn, kad k0 + ki + . + kn = N, k\ + 2k2. + valdymo pultas - N ir F(ko k\ kp -£,0,0 ,.)>a. Įrodyta, kad tam pakanka reikalauti, kad funkcija φ būtų neekstremalioji, kompaktiška ir tolydi metrikoje p(x,y), o taip pat, kad bent vienam taškui x tenkintų (0,9), kai kuriems e. > 0 egzistuoja baigtinis momento laipsniai 1 + e ir x„ > 0 bet kuriam v = 0,1. Antrame skyriuje nagrinėjame grubią (iki logaritminio ekvivalento) didelių funkcijų nukrypimų nuo D = (^0) tikimybės asimptotiką ■ ) Ts "n, 0, .) - langelių su duotu užpildu skaičius. centrinėje parametrų kaitos srityje N, n Grubus Didelių nuokrypių tikimybių asimptotikos pakanka, kad būtų galima ištirti susitarimo kriterijų indeksus. Tegul atsitiktiniai dydžiai ^ in (0.2) pasiskirsto vienodai ir P(z) – atsitiktinio dydžio generavimo funkcija – konverguoja 1 spindulio apskritime< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что Ml+£ = £ i1+ex„< 00. 0,10) k] = Pk, k = 0,1,. Pažymėkime Jei yra lygties m Z(z) = ъ sprendinys, tai ji yra unikali /38/. Toliau darysime prielaidą, kad pk > O,A; = 0,1,. Antrojo skyriaus pirmos pastraipos pirmoje pastraipoje yra formos tikimybių logaritmų asimptotika 1пР(/x0 = ko,.,tsp = kp). Įrodyta tokia teorema. 2 teorema. Apytikslė lokali teorema apie didelių nuokrypių tikimybes. Tegul n, N -» oo, kad jj ->7,0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N) 1nP(D = k) = JftpK)) + O(^lniV). Teoremos teiginys tiesiogiai išplaukia iš jungtinio skirstinio fii, formulės. fin /26/ ir toks įvertinimas: jei neneigiamos sveikųjų skaičių reikšmės, Нп tenkina sąlygą Hi + 2d2 + + PNn = n, tada nulinių reikšmių skaičius tarp jų yra 0 (l/n). Tai apytikslis įvertinimas ir nepretenduoja į naują. Nenulinių CG skaičius apibendrintose išdėstymo schemose neviršija maksimalaus langelių užpildymo reikšmės, kuri centriniame regione su tikimybe, linkusia į 1, neviršija reikšmės O(lnn) /25/, / 27/. Nepaisant to, gautas įvertinimas 0 (y/n) yra patenkintas 1 tikimybe ir yra pakankamas, kad būtų gauta apytikslė asimptotika. Antrojo skyriaus pirmos pastraipos antroje pastraipoje randama ribos reikšmė, kur adg yra realiųjų skaičių seka, konverguojanti į kokį nors a G R, φ(x) yra tikrosios reikšmės funkcija. Įrodyta tokia teorema. 3 teorema. Apytikslė integralų teorema apie didelių nuokrypių tikimybes. Tegul tenkinamos 2 teoremos sąlygos, kai kurių r > 0, C > 0 tikroji funkcija φ(x) yra kompaktiška ir tolygiai tolydi aibės metrinėje p A = 0r+<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что Ф(ra) > a ir j(( (x) >a,xe P7),p(2;7)) = 7(pa,p(*y)) mo bet kuriai sekai a^, konverguojančiai į a, Jim -vbPW%%,.)>aN) = J(pa,p(2h)). (0,11) Taikant papildomus funkcijos φ(x) apribojimus, informacijos atstumas J(pa,p(z7)) (2.3) gali būti apskaičiuojamas tiksliau. Būtent ši teorema yra teisinga. 4 teorema. Apie informacinį atstumą. Tegul už 0< 7 < оо для некоторвх г >0, C > 0, tikroji funkcija φ(x) ir jos pirmos eilės dalinės išvestinės yra kompaktiškos ir tolygiai tolydžios apibendrintoje metrikoje p(x, y) aibėje p G A = Og(p) P %+c] egzistuoja T > 0, R > 0, kad visiems \t\<Т,0 < z < R,x е А E^exp^-f(x))< оо, 0(a;)exp(t-< со, i/=o oxv 0X1/ для некоторого е >O oo Q pvv1+£zu exp(t-ph(x))< оо, (0.13) и существует единственный вектор x(z,t), удовлетворяющий системе уравнений xv(z, t) = pvzv ехр {Ь-ф(х(г, t))}, v = 0,1,. функция ф(х) удовлетворяет на множестве А условию неэкстремальности, а - некоторая константа, ф(р) < а < sup ф(:x)(z,t), 0 00 vpv(za,ta) = 7, 1/=0 0(p(*aL)) = a, kur Tada p(za, ta) € ir J((x e А,ф(х) = а),р) = J(p(za, ta),p) 00 d 00 d = l\nza + taYl ir- Jei funkcija f(x) yra tiesinė funkcija, o funkcija f(x) apibrėžta naudojant lygybę (0,5), sąlyga (0,12) virsta Kramerio sąlyga atsitiktiniam dydžiui f(£(z)). Sąlyga (0,13) yra sąlygos (0,10) forma ir naudojama įrodyti, kad (x G f(x) > a) formos domenuose yra bent vienas taškas nuo 0 (n, N) visoms pakankamai didelėms. n, N. Tegu ^)(n, N) = (hi,., /gdr) yra dažnio vektorius apibendrintoje išdėstymo schemoje (0.2). Kaip 3 ir 4 teoremų pasekmė, suformuluojama tokia teorema. 5 teorema. Apibendrintos išdėstymo schemoje simetrinės atskiriamos statistikos didelių nuokrypių tikimybių apytikslė integralų teorema. Tegul n, N -» oo, kad ^ - 7, 0< 7 < оо, существует z1 - корень уравнения М£(,г) = 7, с. в. £(27) имеет положительную дисперсию и максимальный шаг распределения 1, а - некоторая константа, f(x) - действительная функция, а < Mf(^(z1)), существуют Т >0,R > 0 taip, kad visiems |t|<Т,0 < z < R, 00 oo, u=0 yra tokių ta\ E vVi/("01 ta) = b kur f(v)p"(za,ta) = a, 1/=0 Tada bet kuriai sekos priedai, susiliejantiems į a, Džimas – – InF»(- £ f(h„) > aN) = J(p(za,ta),p(z7)) 00 7 2a + taa – £ p^/e^M i/=0 Pirmą kartą šią teoremą balno taško metodu įrodė A. F. Ronžinas /38/. Antroje antrojo skyriaus pastraipoje tiriamos didelių atskiriamos statistikos nukrypimų tikimybės apibendrintuose cxj^iax išdėstymuose, jei atsitiktiniam dydžiui f(€(z)) neįvykdoma Cramerio sąlyga. Cramerio sąlyga atsitiktiniam dydžiui f(£(z)) netenkinama, ypač jei £(z) yra Puasono atsitiktinis kintamasis, o f(x) yra x2. Atkreipkite dėmesį, kad Cramerio sąlyga pačiai atskiriamai statistikai apibendrintose paskirstymo schemose visada tenkinama, nes bet kuriai fiksuotai n, N galimų rezultatų skaičius šiose schemose yra baigtinis. Kaip pažymėta /2/, jei Cramerio sąlyga netenkinama, norint rasti vienodai paskirstytų atsitiktinių dydžių sumų didelių nuokrypių tikimybių asimptotiką, reikia papildomų. f V ir. . I teisingo pakeitimo sąlygos dėl termino paskirstymo. Vykdomas j O, 5 laikomas atvejis, atitinkantis sąlygos (3) įvykdymą /2/, tai yra septynių eksponentinių atvejis. Tegul P(£i = k) > 0 visiems k = 0,1. ir funkcija p(k) = -\nP(^ = k), gali būti išplėsta iki nuolatinio argumento funkcijos – reguliariai kintančios funkcijos, kurios eilės p, 0< р < со /45/, то есть положительной функции такой, что при t ->oo p(tx) xr. Tegul funkcija f(x), esant pakankamai didelėms argumento reikšmėms, yra teigiama griežtai didėjanti, reguliariai kintanti eilės funkcija. Apibrėžkime funkciją cp(x), nustatydami pakankamai didelę x φ) = p(Γ\). x)). Likusioje skaitinės ašies dalyje ip(x) gali būti nurodytas savavališkai ribotai išmatuojamu būdu. Tada s. V. /(£i) turi bet kokios eilės momentus ir netenkina Cramerio sąlygos, p(x) = o(x) kaip x -> ω, ir galioja sekanti 6 teorema Tegul funkcija ip(x) yra monotoniška nemažėjant pakankamai dideliam x, fg^ction nedidėja monotoniškai, n, N -> oo, kad jj - A, 0< Л < оо; гд - единственный корень уравнения M^i(^) = Л, тогда для любого с >b(z\), kur b(z) = M/(£i(.z)), yra riba CN) = -(c - b(z\))4. Iš teoremos b išplaukia, kad jei Cramerio sąlyga neįvykdyta, riba lim 1 InP(LN(h(n, N)) > cN) = 0, ^ ^ iv-per iv, kuri įrodo / išreikštos hipotezės pagrįstumą. 39/. Taigi, susitarimo kriterijaus indekso reikšmė apibendrintose talpinimo schemose ir Cramerio sąlygos neįvykdymas visada lygi nuliui. Šiuo atveju kriterijų klasėje, kai tenkinama Cramerio sąlyga, sudaromi kriterijai, kurių indekso reikšmė nėra nulinė. Iš to galime daryti išvadą, kad naudojant kriterijus, kurių statistika neatitinka Cramerio sąlygos, pavyzdžiui, chi kvadrato testą polinominėje schemoje, sukurti tinkamumo testai, skirti patikrinti hipotezes nekonverguojančioms alternatyvoms nurodyta prasme. yra asimptotiškai neveiksmingas. Panaši išvada padaryta /54/ remiantis chi kvadrato ir didžiausios tikimybės santykio statistikos palyginimo polinominėje schemoje rezultatais. Trečiame skyriuje išspręstas tinkamumo kriterijų su didžiausia kriterijaus indekso reikšme (didžiausia kriterijaus indekso reikšme) konstravimo problema, siekiant patikrinti hipotezes apibendrintose išdėstymo schemose. Remiantis pirmojo ir antrojo skyrių rezultatais apie entropijos funkcijų savybes, informacijos atstumą ir didelių nuokrypių tikimybes, trečiajame skyriuje randama formos (0,4) funkcija, kuri sukonstruoja tinkamumo kriterijus. jos pagrindu turi didžiausią tikslaus indekso reikšmę nagrinėjamoje kriterijų klasėje. Įrodyta tokia teorema. 7 teorema. Apie indekso egzistavimą. Tegul tenkinamos 3 teoremos sąlygos: 0< /3 < 1, Н = Hp(i),Hp(2>,. yra alternatyvių skirstinių seka, а,ф((3, N) yra didžiausias skaičius, kuriam pagal hipotezę Нр<ло выполнено неравенство существует предел lim^-оо о>φ(P, N) - a. Tada taške (/3, H) yra kriterijų indeksas φ Zff, H) = 3((φ(x) > a, x £ ^.PW). Drovus)<ШН)>kur w/fo fh h v^l ^ Išvadoje išdėstomi gauti rezultatai, siejant juos su disertaciniame darbe keliamu bendruoju tikslu ir konkrečiomis užduotimis, formuluojamos išvados remiantis disertacijos tyrimo rezultatais, nurodomas mokslinis naujumas, teorinė ir praktinė darbo vertė, taip pat konkretūs. mokslines užduotis, kurias nustatė autorius ir kurių sprendimas atrodo aktualus. Trumpa literatūros tyrimo tema apžvalga. Baigiamajame darbe nagrinėjama susitarimo kriterijų konstravimo problema apibendrintose išdėstymo schemose, turinčiose didžiausią kriterijaus indekso reikšmę formos (0,4) funkcijų klasėje su nekonverguojančiomis alternatyvomis. Apibendrintas išdėstymo schemas pristatė V.F.Kolchinas /24/. Dydžiai daugianario schemoje buvo vadinami ląstelių skaičiumi su g granulėmis ir buvo išsamiai išnagrinėti V. F. Kolchino, B. A. Sevastjanovo, V. P. Čistjakovo /27/ monografijoje. Eglės vertes apibendrintuose maketuose tyrė V.F.Kolchin /25/, /26/. Formos statistiką (0,3) pirmasis apžvelgė Yu I. Medvedevas /30/ ir vadino atskiriama (adityviai atskiriama) statistika. Jei funkcijos /„ in (0.3) nepriklauso nuo u, tokia statistika buvo vadinama /31/ simetriška atskiriama statistika. Atskiriamos statistikos momentų asimptotinę elgseną apibendrintose paskirstymo schemose G. I. Ivčenko gavo /9/. Apibendrintos išdėstymo schemos ribinės teoremos taip pat buvo nagrinėjamos /23/. Ribinių teoremų ir susitarimo kriterijų rezultatų apžvalgos diskrečiose tikimybinėse schemose (0.2) pateikė V. A. Ivanovas, G. I. Ivčenko, Yu I. Medvedevas /8/ ir G. I. Ivčenko, Yu I. Medvedevas, A. F. Ronžinas /14/. Apibendrintų maketų susitarimo kriterijus svarstė A.F.Ronžinas /38/. Šiuose darbuose atliktas statistinių kriterijų savybių palyginimas santykinio asimptotinio efektyvumo požiūriu. Buvo nagrinėjamas konverguojančių (gretutinių) hipotezių atvejis – efektyvumas Pitmano prasme ir nekonverguojančios hipotezės – efektyvumas Bahadur, Hodgeso – Lehmano ir Černovo prasme. Ryšys tarp skirtingų santykinio efektyvumo statistinių testų tipų aptariamas, pavyzdžiui, /49/. Kaip matyti iš 10. I. Medvedevo /31/ dėl atskiriamos statistikos pasiskirstymo polinominėje schemoje rezultatų, didžiausia asimptotinė galia pagal konvergencines hipotezes atskiriamos statistikos klasėje apie rezultatų dažnius polinominėje schemoje turi kriterijus, paremtas chi kvadrato statistika. Šį rezultatą A. F. Ronžinas apibendrino (0,2) tipo grandinėms /38/. I. I. Viktorova ir V. P. Čistjakovas /4/ sukonstravo optimalų polinominės schemos kriterijų /xr tiesinių funkcijų klasėje. A.F. Ronžinas /38/ sukonstravo kriterijų, kuris, atsižvelgiant į alternatyvų seką, kuri nėra artima nulinei hipotezei, sumažina logaritminį greitį, kuriuo pirmos rūšies klaidos tikimybė linkusi į nulį, statistikos klasėje forma (0,6). Chi kvadrato ir didžiausios tikimybės santykio statistikos santykinio efektyvumo palyginimas pagal artėjančias ir neaproksimuojančias hipotezes buvo atliktas /54/. Darbe buvo nagrinėjamas nekonverguojančių hipotezių atvejis. Tiriant kriterijų santykinį statistinį efektyvumą pagal nekonverguojančias hipotezes, reikia ištirti itin didelių nukrypimų tikimybes – 0(i/n) eilės. Pirmą kartą tokią daugianario skirstinio su fiksuotu baigčių skaičiu problemą išsprendė I. N. Sanovas /40/. Tinkamumo testų asimptotinis optimalumas, skirtas tikrinti paprastas ir sudėtingas daugianario skirstinio hipotezes, esant baigtiniam rezultatų skaičiui su nekonverguojančiomis alternatyvomis, buvo nagrinėjamas /48/. Informacinio nuotolio savybes anksčiau nagrinėjo Kullbackas, Leibleris /29/,/53/ ir I. II. Sanovas /40/, taip pat Hoeffdingas /48/. Šiuose darbuose buvo atsižvelgta į informacijos atstumo tęstinumą baigtinių matmenų erdvėse Euklido metrikoje. Nemažai autorių svarstė erdvių seką su didėjančia dimensija, pavyzdžiui, Yu V. Prochorov /37/ arba V. I. Bogačiovo, A. V. Kolesnikovo /1/. Apytiksles (iki logaritminio ekvivalentiškumo) teoremas apie didelių atskiriamos statistikos nukrypimų tikimybes apibendrintose paskirstymo schemose Kramerio sąlygoje A.F.Ronžinas gavo /38/. A. N. Timaševas /42/,/43/ gavo tikslias (iki ekvivalentiškumo) daugiamates integralines ir lokalines ribines teoremas apie vektoriaus fir^n, N),., iir.(n,N) didelių nuokrypių tikimybes, kur s, r\,., rs – fiksuoti sveikieji skaičiai, APIE<П < . Nepriklausomų atsitiktinių dydžių atveju didelių nukrypimų tikimybių tyrimas, kai Kramerio sąlyga neįvykdoma, atliktas A. V. Nagajevo darbuose /35/. Konjuguotų skirstinių metodą aprašo Feleris /45/. Statistines hipotezių tikrinimo ir parametrų įvertinimo atrankos schemoje be grąžos problemas kiek kitokioje formuluotėje nagrinėjo G. I. Ivčenko, V. V. Levinas, E. E. Timonina /10/, /15/, kur buvo išspręstos baigtinės populiacijos įvertinimo problemos, kai jo elementų skaičius yra nežinomas dydis, įrodytas daugiamačio S asimptotinis normalumas - statistika iš s nepriklausomų imčių atrankos schemoje be reversijos. Atsitiktinių dydžių, susijusių su pasikartojimais nepriklausomų bandymų sekose, tyrimo problemą nagrinėjo A. M. Zubkovas, V. G. Mikhailovas, A. M. Shoitovas /6/, /7/, /32/, /33/, /34/. Pagrindinių statistinių hipotezių vertinimo ir tikrinimo problemų analizę pagal bendrą Markovo-Pólya modelį atliko G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev /13/, kurios tikimybinė analizė pateikta /11 /. Nevienodų tikimybių matų patikslinimo kombinatorinių objektų rinkinyje metodas, kuris nėra redukuojamas į apibendrintą išdėstymo schemą (0,2), aprašytas G. I. Ivchenko, Yu I. Medvedev /12/. Nemažai tikimybių teorijos problemų, į kurias atsakymą galima gauti atlikus skaičiavimus naudojant pasikartojančias formules, A. M. Zubkovas nurodė /5/. Diskrečiųjų skirstinių entropijos nelygybės buvo gautos /50/ (cituota iš A. M. Zubkovo santraukos RZhMat). Jei (pn)^Lo yra tikimybių skirstinys, oo Рп = Е Рк, к=тг A = supp^Pn+i< оо (0.14) п>0 ir F(x) = (x + 1) In (x + 1) - x In x, tada šio tikimybių skirstinio entropijai I 00 i = - 5Z Рк^Рк к=0 nelygybės galioja -L 1 00 00 Р I + (In -f-) £ (Arn - Rn+1)< F(А) < Я + £ (АРп - P„+i)(ln L D p=P -t p.4-1 ir nelygybės virsta lygybėmis, jei Рп= (xf1)n+vn>Q. (0,15) Atkreipkite dėmesį, kad ekstremalus skirstinys (0,15) yra geometrinis skirstinys su matematine lūkesčiu A, o parametro (0,14) funkcija F(A) sutampa su matematinio lūkesčio funkcija 1 teoremoje.
Panašios disertacijos specialybėje „Tikimybių teorija ir matematinė statistika“, 01-01-05 kodas VAK
Eksponentinių testų be mastelio parametrų asimptotinis efektyvumas 2005 m., fizinių ir matematikos mokslų kandidatė Chirina, Anna Vladimirovna
Kai kurios tikimybių teorijos ir matematinės statistikos problemos, susijusios su Laplaso skirstiniu 2010 m., fizinių ir matematikos mokslų kandidatas Lyaminas, Olegas Olegovičius
Ribinės teoremos tankaus įterpimo uždaviniuose ir tankios serijos diskrečiose atsitiktinėse sekose 2009 m., fizinių ir matematikos mokslų kandidatė Mežennaja, Natalija Michailovna
Ribinės juostos susikirtimų skaičiaus teoremos atsitiktinėmis ėjimo trajektorijomis 2006, fizinių ir matematikos mokslų kandidatė Orlova, Nina Gennadievna
Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų skirstinių normaliosios aproksimacijos tikslumo momentinių įverčių struktūros optimizavimas 2013 m., fizinių ir matematikos mokslų daktarė Shevtsova, Irina Gennadievna
Disertacijos išvada tema „Tikimybių teorija ir matematinė statistika“, Kolodzei, Aleksandras Vladimirovičius
3.4. išvadas
Šiame skyriuje, remiantis ankstesnių skyrių rezultatais, buvo galima sukurti tinkamumo kriterijų hipotezėms tikrinti apibendrintose išdėstymo schemose, turinčiose didžiausią logaritminį rodiklį, linkusį į nulinę pirmojo tipo klaidų tikimybę. fiksuota pirmos rūšies klaidos tikimybė ir nepriartėjančios alternatyvos. ~"
Išvada
Disertacinio darbo tikslas buvo sukonstruoti tinkamumo kriterijus hipotezėms tikrinti atrankos schemoje negrįžtant iš urnos, kurioje yra 2 spalvų kamuoliukai. Autorius nusprendė ištirti statistiką, pagrįstą atstumų tarp tos pačios spalvos kamuoliukų dažniais. Šioje formuluotėje problema buvo sumažinta iki užduoties patikrinti hipotezes tinkamu apibendrintu išdėstymu.
Į disertacinį darbą įtraukta
Ištirtos diskrečiųjų skirstinių entropijos savybės ir informacijos atstumas su neribotu išeičių skaičiumi ir ribotais matematiniais lūkesčiais;
Gaunamas apytikslis (iki logaritminio ekvivalento) plataus statistikos klasės didelių nukrypimų tikimybių asimptotinis elgesys apibendrintai išdėstymo schemoje;
Remiantis gautais rezultatais, buvo sukonstruota kriterijų funkcija, turinti didžiausią logaritminę pirmojo tipo klaidos tikimybės nulį su fiksuota antrojo tipo klaidos tikimybe ir nepriartėjančiomis alternatyvomis;
Įrodyta, kad statistiniai duomenys, kurie netenkina Cramerio sąlygos, turi mažesnį didelių nukrypimų tikimybių konvergencijos greitį iki nulio, palyginti su statistiniais duomenimis, kurie tenkina šią sąlygą.
Darbo mokslinis naujumas yra toks.
Pateikiama apibendrintos metrikos sąvoka - funkcija, kuri leidžia turėti begalines reikšmes ir tenkina tapatybės, simetrijos ir trikampio nelygybės aksiomas. Surandama apibendrinta metrika ir nurodomos aibės, kuriose entropijos ir informacijos atstumo funkcijos, apibrėžtos diskrečiųjų skirstinių šeimoje su skaičiuojamu rezultatų skaičiumi, yra tolydžios šioje metrikoje;
Apibendrintame išdėstymo schemoje buvo rasta grubi (iki logaritminio ekvivalento) asimptotika formų (0,4), atitinkančių atitinkamą Kramerio sąlygos formą, statistikos didelių nukrypimų tikimybei;
Apibendrintoje išdėstymo schemoje apytikslė (iki logaritminio ekvivalentiškumo) asimptotika randama didelių simetrinės atskiriamos statistikos nuokrypių, neatitinkančių Cramerio sąlygos, tikimybių;
Formos (0,7) kriterijų klasėje sukonstruotas kriterijus, turintis didžiausią kriterijaus indekso reikšmę.
Darbe sprendžiama nemažai klausimų apie didelių nukrypimų tikimybių elgseną apibendrintose išdėstymo schemose. Gauti rezultatai gali būti panaudoti ugdymo procese matematinės statistikos ir informacijos teorijos specialybėse, tiriant statistines diskrečiųjų sekų analizės procedūras ir buvo panaudoti /3/, /21/ pagrįsti vienos saugumui. informacinių sistemų klasė.
Tačiau nemažai klausimų lieka atviri. Autorius apsiribojo apibendrintų n dalelių talpinimo N ląstelėse schemų n, N parametrų pokyčių centrinės zonos svarstymu. Jei atsitiktinių dydžių skirstinio, generuojančio apibendrintą išdėstymo schemą (0.2), nešėjas nėra r, r + 1, r + 2,. formos aibė, tai įrodant informacijos atstumo funkcijos tęstinumą ir tiriant tikimybes didelių nukrypimų, būtina atsižvelgti į tokio nešiklio aritmetinę struktūrą, kuri nebuvo nagrinėjama autoriaus darbe. Norint praktiškai pritaikyti kriterijus, sukurtus remiantis pasiūlyta funkcija su maksimalia indekso reikšme, būtina ištirti jos pasiskirstymą tiek pagal nulinę hipotezę, tiek pagal alternatyvas, įskaitant konverguojančias. Taip pat įdomu perkelti sukurtus metodus ir apibendrinti gautus rezultatus į kitas tikimybines schemas, išskyrus apibendrintas išdėstymo schemas.
Jei - atstumų dažniai tarp rezultatų skaičių 0 dvinarėje schemoje su rezultatų tikimybėmis po> 1 - Po, tai galima parodyti, kad šiuo atveju
Pb = kh.t fin = kn) = I(± iki = n)(kl + --, (3.3) v=\ K\ \ . Kn\ kur
O* = Po~1(1 ~Po),v =
Iš bendro cg reikšmių pasiskirstymo formulės analizės apibendrintoje išdėstymo schemoje, įrodytos /26/, darytina išvada, kad skirstinys (3.3), apskritai kalbant, negali būti vaizduojamas bendru atveju kaip bendras paskirstymas. cg verčių bet kokiame apibendrintame dalelių išdėstyme pagal ląsteles. Šis skirstinys yra ypatingas paskirstymo atvejis kombinatorinių objektų rinkinyje, įvestas /12/. Atrodo neatidėliotinas uždavinys į šią bylą, kuri buvo aptarta /52/, perkelti apibendrintų praktikos schemų disertacinio darbo rezultatus.
Jei pasirinkimo be grąžinimo arba daugianario paskirstymo schemoje rezultatų skaičius yra didesnis nei du, tada bendras atstumų tarp gretimų identiškų rezultatų pasiskirstymas nebegali būti pavaizduotas tokiu paprastu būdu. Kol kas galima apskaičiuoti tik matematinį tikėjimą ir tokių atstumų skaičiaus sklaidą /51/.
Disertacinio tyrimo literatūros sąrašas fizinių ir matematikos mokslų kandidatas Kolodzei, Aleksandras Vladimirovičius, 2006 m.
1. Bogačiovas V.I., Kolesnikovas A.V. Netiesinės išgaubtų matų transformacijos ir Radono-Nikodimo tankių entropija // Mokslų akademijos ataskaitos. - 2004. - T. 207. - 2. - P. 155 - 159.
2. Vidyakin V.V., Kolodzei A.V. Statistinis slaptų kanalų aptikimas duomenų perdavimo tinkluose // Proc. ataskaita II Tarpt. konf. "Informacinės sistemos ir technologijos IST" 2004" (Minskas, 2004 m. spalio 8-10 d.) Minskas: BSU, 2004. - 1 dalis - 116 - 117 p.
3. Viktorova I. I., Chistyakov V. P. Kai kurie tuščio langelio kriterijaus apibendrinimai // Teorija Probab. ir jo taikymai. - 1966. - T. XI. - 2. P. 306-313.
4. Zubkovas A. M. Pasikartojančios formulės diskrečiųjų atsitiktinių dydžių ods funkciniams skaičiavimams // Appl. ir pramonės matematika. 1996. - T. 3. - 4. - P. 567 - 573.
5. G. Zubkovas A. M., Michailovas V. G. Atsitiktinių dydžių, susijusių su ilgais pasikartojimais, ribiniai skirstiniai nepriklausomų testų sekoje // Theory Probab. ir jo taikymai. - 1974. - T. XIX. 1. - 173 - 181 p.
6. Zubkovas A. M., Michailovas V. G. Apie s - grandinių pasikartojimus nepriklausomų dydžių sekoje // Teorija Probab. ir jo taikymas - 1979. T. XXIV. - 2. - P. 267 - 273.
7. Ivanovas V. A., Ivchenko G. I., Medvedev Yu I. Diskretinės tikimybių teorijos problemos // Mokslo ir technologijos rezultatai. Ser. tikimybių teorija, matematika. stat., teor. kibernetinis. T. 23. - M.: VINITI, 1984. P. 3 -60.
8. Ivchenko G. I. Apie atskiriamos statistikos momentus apibendrintai paskirstymo schemoje // Mat. Pastabos. 1986. - T. 39. - 2. - P. 284 - 293.
9. Ivchenko G. I., Levin V. V. Asimptotinis normalumas atrankos schemoje be grąžos // Teorija Tikimybė. ir jis taikomas. - 1978.- T. XXIII. 1. - 97 - 108 p.
10. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I. Apie Markovo-Polyos urnos schemą: nuo 1917 m. iki šių dienų // Taikoma apžvalga. ir pramonės matematika. - 1996.- T. 3. 4. - P. 484-511.
11. Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I. Atsitiktiniai kombinaciniai objektai // Mokslų akademijos ataskaitos. 2004. - T. 396. - 2. - P. 151 - 154.
12. Ivchenko G. I., Medvedev Yu I. Statistinės problemos, susijusios su diskrečiųjų atsitiktinių sekų generavimo procesų valdymo organizavimu // Diskretn. matematika. - 2000. - T. 12. - 2. S. 3 - 24.
13. Ivchenko G. I., Medvedev Yu I., Ronzhin A. F. Atskiriama statistika ir tinkamumo kriterijai polinominiams pavyzdžiams // Matematikos darbai. SSRS mokslų akademijos institutas. 1986. - T. 177. - P. 60 - 74.
14. Ivchenko G. I., Timonina E. E. Apie įvertinimą renkantis iš baigtinės populiacijos // Mat. Pastabos. - 1980. - T. 28. - 4. - P. 623 - 633.
15. Kolodzei A. V. Teorema apie didelių nuokrypių tikimybes atskirti statistinius duomenis, kurie netenkina Cramerio sąlygos // Diskretn. matematika. 2005. - T. 17. - 2. - P. 87 - 94.
16. Kolodzei A. V. Diskrečiųjų skirstinių entropija ir didelių funkcijų nukrypimų nuo užpildymo langelių tikimybė apibendrintuose išdėstymuose // Appl. ir pramonės matematika. - 2005. - T. 12. 2. - P. 248 - 252.
17. Kolodzey A. V. Statistiniai paslėptų kanalų nustatymo kriterijai, pagrįsti pranešimų eilės keitimu // Tyrimo darbas „Atsiprašymas“: ataskaita / Rusijos Federacijos FSTEC, vadovas A. V. Knyazevas. Inv. 7 medžio drožlių plokštės - M., 2004. - P. 96 - 128.
18. Kolodzei A.V., Ronzhin A.F. Apie kai kuriuos statistinius duomenis, susijusius su atsitiktinių diskrečiųjų sekų homogeniškumo tikrinimu // Mokslinis darbas "Matematinių kriptografijos problemų kūrimas" N 4 2004.: Pranešimas / AK RF, - M., 2004.
19. Kolchin A. V. Ribinės teoremos apibendrintai išdėstymo schemai // Diskretn. matematika. 2003. - T. 15. - 4. - P. 148 - 157.
20. Kolchin V.F. Viena sąlyginių skirstinių ribinių teoremų klasė // Lit. matematika. Šešt. - 1968. - T. 8. - 1. - P. 111 - 126.
21. Kolčinas V. F. Atsitiktiniai grafikai. 2-asis leidimas - M.: FIZMATLIT, 2004. - 256 p.
22. Kolchinas V. F. Atsitiktinis kartografavimas. - M.: Nauka, 1984. - 208 p.
23. Kolchin V.F., Sevastyanov B.A., Chistyakov V.P. M.: Nauka, 1976. - 223 p.
24. Kramer G. // Uspekhi Matem. Mokslai. - 1944. - aukštas. 10. - 166 - 178 p.
25. Kulbak S. Informacijos teorija ir statistika. - M.: Nauka, 1967. - 408 p.
26. Medvedevas Yu I. Kai kurios teorijos apie chi kvadrato statistikos asimptotinį pasiskirstymą // Dokl. SSRS mokslų akademija. - 1970. - T. 192. 5. - P. 997 - 989.
27. Medvedev Yu I. Atskiriama statistika daugianario schemoje I. II. // Teorija Prob. ir jo naudojimas. - 1977. - T. 22. - 1. - P. 3 - 17; 1977. T. 22. - 3. - P. 623 - 631.
28. Michailovas V. G. Atsitiktinių dydžių, susijusių su keliais ilgais pasikartojimais nepriklausomų testų sekoje, ribiniai skirstiniai // Teorija Probab. ir jo taikymai. - 1974. T. 19. - 1. - P. 182 - 187.
29. Michailovas V. G. Nepilnų ilgų pakartojimų skaičiaus centrinė ribinė teorema // Teorija Tikimybė. ir jo taikymai. - 1975. - T. 20. 4. - P. 880 - 884.
30. Michailovas V. G., Shoitov A. M. Struktūrinis s - grandinių lygiavertiškumas atsitiktinėse diskrečiose sekose // Diskretinė. matematika. 2003. - T. 15, - 4. - P. 7 - 34.
31. Nagajevas A.V. Integralinės ribos teoremos atsižvelgiant į didelių nuokrypių tikimybes. I. // Teorija Tikėtina. ir jis taikomas. -1969 m. T. 14. 1. - 51 - 63 p.
32. Petrovas V. V. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos. - M.: Nauka, 1972. 416 p.
33. Prokhorov Yu V. Ribinės teoremos atsitiktinių vektorių sumoms, kurių matmenys linkę į begalybę // Teorija Tikimybė. ir jo taikymai. 1990. - T. 35. - 4. - P. 751 - 753.
34. Ronžinas A.F. Apibendrintų dalelių išdėstymo schemų kriterijai // Theory Probab. ir jo taikymai. - 1988. - T. 33. - 1. - P. 94 - 104.
35. Ronžinas A.F. Atskiriamos statistikos didelių nuokrypių tikimybių teorema ir jos statistinis taikymas // Mat. Pastabos. 1984. - T. 36. - 4. - P. 610 - 615.
36. Sanovas I. N. Apie didelių atsitiktinių dydžių nuokrypių tikimybes // Mat. Šešt. 1957. - T. 42. - 1 (84). - S.I - 44.
37. Seneta E. Teisingai keičiamos funkcijos. M.: Nauka, 1985. - 144 p.
38. Timaševas A. N. Daugiamatė integralų teorema apie didelius nukrypimus lygiaverčiai išdėstymo schemoje // Diskret, Mat. - 1992. T. 4. - 4. - P. 74 - 81.
39. Timaševas A. N. Daugiamatė lokali teorema apie didelius nukrypimus lygiavertėje išdėstymo schemoje // Diskretn. matematika. - 1990. T. 2. - 2. - P. 143 - 149.
40. Fedoryuk M.V. Perėjimo metodas. M.: Nauka, 1977. 368 p.
41. Felleris V. Tikimybių teorijos ir jos taikymo įvadas. T. 2. - M.: Mir, 1984. 738 p.
42. Shannon K. Matematinė komunikacijos teorija // Informacijos teorijos ir kibernetikos darbai: Vertimas. iš anglų kalbos / M., IL, 1963, p. 243–332.
43. Conradas K. Tikimybių pasiskirstymas ir maksimali entropija // http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/entropypost.pdf
44. Hoeffding W. Asimptotiškai optimalūs daugianario skirstinio testai // Ann. Matematika. Statist. 1965. - T. 36. - 369 - 408 p.
45. Inglot T,. Rallenberg W. S. M., Ledwina T. Nykstantis trūkumas ir asimptotinis santykinis efektyvumas // Ann. Statist. - 2000. - T. 28. - P. 215 238.
46. Jurdas C., Pecaric J., Roki R., Sarapa N., Apie tikimybių skirstinio entropijos nelygybę // Matematika. Nelygus. ir Appl. - 2001. T. 4. - 2. - P. 209 - 214. (RZhMat. - 2005. - 05.07-13B.16).
47. Kolodzey A. V., Ronzhin A. F., Goodness of Fit Tests for Random Combinatoric Objects // Proc. ataskaita tarpt. konf. Šiuolaikinės problemos ir naujos tikimybių teorijos tendencijos, (Chernivtsi, 2005 m. birželio 19–26 d.) – Kijevas: Matematikos institutas, 2005. 1 dalis. P. 122.
48. Kullback S. ir Leibler R. A. Apie informaciją ir pakankamumą // Ann. Matematika. Statist. 1951. - T. 22. - 79 - 86 p.
49. Quine M.P., Robinson J. Chi-kvadrato efektyvumas ir tikimybių santykis, tinkamumo testų gerumas // Ann. Statist. 1985. - T. 13. - 2. - 727 -742 p.
Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateikti moksliniai tekstai yra paskelbti tik informaciniais tikslais ir buvo gauti naudojant originalų disertacijos teksto atpažinimą (OCR). Todėl juose gali būti klaidų, susijusių su netobulais atpažinimo algoritmais. Mūsų pristatomuose disertacijų ir santraukų PDF failuose tokių klaidų nėra.
