Palyginkite dvi trupmenas su skirtingais vardikliais. Paprastųjų trupmenų palyginimas

Pamokos tikslai:

1. Pamokos: išmokite lyginti trupmenas Įvairios rūšys naudojant įvairius metodus;
2. Kuriama: pagrindinių protinės veiklos metodų kūrimas, palyginimo apibendrinimai, išryškinant pagrindinį dalyką; atminties, kalbos vystymas.
3. Švietimas: išmokti išklausyti vienas kitą, puoselėti savitarpio pagalbą, bendravimo ir elgesio kultūrą.

Pamokos žingsniai:

1. Organizacinis.

Pamoką pradėkime prancūzų rašytojo A. France žodžiais: „Mokytis gali būti smagu.... Norint suvirškinti žinias, reikia jas įsisavinti su apetitu“.

Laikykimės šio patarimo, stenkimės būti dėmesingi, įsisavinkime žinias su dideliu noru, nes. jie mums pravers ateityje.

2. Studentų žinių aktualizavimas.

1.) Frontalinis žodinis studentų darbas.

Tikslas: pakartoti išnagrinėtą medžiagą, kuri reikalinga mokantis naujos:

A) taisyklingosios ir netinkamosios trupmenos;
B) trupmenų perkėlimas į naują vardiklį;
C) rasti mažiausią bendrą vardiklį;

(Prie failų dirbama. Mokiniai juos turi kiekvienoje pamokoje. Ant jų užrašomi atsakymai žymekliu, o tada nereikalinga informacija ištrinama.)

Užduotys darbui žodžiu.

1. Pavadinkite papildomą grandinės trupmeną:

A) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
B) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Perkelkite trupmenas į naują vardiklį 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį:

1/5 ir 2/7; 3/4 ir 1/6; 2/9 ir 1/2.

2.) Žaidimo situacija.

Vaikinai, mūsų pažįstamas klounas (mokiniai su juo susipažino mokslo metų pradžioje) paprašė manęs padėti išspręsti problemą. Bet aš manau, kad jūs, vaikinai, galite padėti mūsų draugui be manęs. Ir kita užduotis.

Palyginkite trupmenas:

a) 1/2 ir 1/6;
b) 3/5 ir 1/3;
c) 5/6 ir 1/6;
d) 12/7 ir 4/7;
e) 3 1/7 ir 3 1/5;
f) 7 5/6 ir 3 1/2;
g) 1/10 ir 1;
h) 10/3 ir 1;
i) 7/7 ir 1.

Vaikinai, norėdami padėti klounui, ko turėtume išmokti?

Pamokos tikslas, užduotys (mokiniai formuluoja savarankiškai).

Mokytojas jiems padeda užduodamas klausimus:

a) kurią iš trupmenų porų jau galime palyginti?

b) kokio įrankio mums reikia trupmenoms palyginti?

3. Vaikinai grupėse (nuolatiniame daugiapakopyje).

Kiekvienai grupei suteikiama užduotis ir jos įgyvendinimo instrukcijos.

Pirmoji grupė : Palyginkite mišrias frakcijas:

a) 1 1/2 ir 2 5/6;
b) 3 1/2 ir 3 4/5

ir išveskite lygties taisyklę mišrios frakcijos su tomis pačiomis ir su skirtingomis sveikųjų skaičių dalimis.

Instrukcija: mišrių trupmenų palyginimas (naudojant skaičių pluoštą)

1. palyginti visas trupmenų dalis ir padaryti išvadą;
2. palyginti trupmenines dalis (nerodykite trupmeninių dalių palyginimo taisyklės);
3. sudaryti taisyklę – algoritmą:

Antroji grupė: Palyginkite trupmenas su skirtingais vardikliais ir skirtingais skaitikliais. (naudokite skaičių spindulį)

a) 6/7 ir 9/14;
b) 5/11 ir 1/22

Instrukcija

1. Palyginkite vardiklius
2. Pagalvokite, ar galima trupmenas sumažinti iki bendro vardiklio
3. Pradėkite taisyklę žodžiais: „Norėdami palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais, turite ...“

Trečioji grupė: trupmenų palyginimas su viena.

a) 2/3 ir 1;
b) 8/7 ir 1;
c) 10/10 ir 1 ir suformuluokite taisyklę.

Instrukcija

Apsvarstykite visus atvejus: (naudokite skaičių spindulį)

a) Jei trupmenos skaitiklis yra lygus vardikliui, ………;
b) Jei trupmenos skaitiklis yra mažesnis už vardiklį,………;
c) Jei trupmenos skaitiklis yra didesnis už vardiklį,………. .

Suformuluokite taisyklę.

Ketvirta grupė: Palyginkite trupmenas:

a) 5/8 ir 3/8;
b) 1/7 ir 4/7 ir suformuluokite trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, palyginimo taisyklę.

Instrukcija

Naudokite skaičių spindulį.

Palyginkite skaitiklius ir padarykite išvadą, pradedant žodžiais: „Iš dviejų trupmenų su tais pačiais vardikliais...“.

Penktoji grupė: Palyginkite trupmenas:

a) 1/6 ir 1/3;
b) 4/9 ir 4/3 naudojant skaičių eilutę:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Suformuluokite taisyklę, kaip lyginti trupmenas su tais pačiais skaitikliais.

Instrukcija

Palyginkite vardiklius ir padarykite išvadą, pradedant žodžiais:

„Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais………..“.

Šešta grupė: Palyginkite trupmenas:

a) 4/3 ir 5/6; b) 7/2 ir 1/2 naudojant skaičių eilutę

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Suformuluokite teisingų ir netinkamų trupmenų palyginimo taisyklę.

Instrukcija.

Pagalvokite, kuri trupmena visada didesnė, teisinga ar neteisinga.

4. Padarytų išvadų aptarimas grupėse.

Žodis kiekvienai grupei. Mokinių taisyklių formulavimas ir palyginimas su atitinkamų taisyklių standartais. Toliau išleidžiami skirtingų tipų palyginimo taisyklių spaudiniai. paprastosios trupmenos kiekvienam mokiniui.

5. Grįžtame prie pamokos pradžioje iškeltos užduoties. (Klouno problemą sprendžiame kartu).

6. Darbas sąsiuviniuose. Naudodamiesi trupmenų palyginimo taisyklėmis, mokiniai, vadovaujami mokytojo, lygina trupmenas:

a) 8/13 ir 8/25;
b) 11/42 ir 3/42;
c) 7/5 ir 1/5;
d) 18/21 ir 7/3;
e) 2 1/2 ir 3 1/5;
f) 5 1/2 ir 5 4/3;

(galima pakviesti studentą prie lentos).

7. Studentai kviečiami atlikti dviejų variantų trupmenų palyginimo testą.

1 variantas.

1) palyginkite trupmenas: 1/8 ir 1/12

a) 1/8 > 1/12;
b) 1/8<1/12;
c) 1/8 = 1/12

2) Kuris didesnis: 5/13 ar 7/13?

a) 5/13;
b) 7/13;
c) yra lygūs

3) Kuris mažesnis: 2/3 ar 4/6?

a) 2/3;
b) 4/6;
c) yra lygūs

4) Kuri iš trupmenų yra mažesnė už 1: 3/5; 17/9; 7/7?

a) 3/5;
b) 17/9;
c) 7/7

5) Kuri iš trupmenų yra didesnė už 1: ?; 7/8; 4/3?

a) 1/2;
b) 7/8;
c) 4/3

6) Palyginkite trupmenas: 2 1/5 ir 1 7/9

a) 2 1/5<1 7/9;
b) 2 1/5 = 1 7/9;
c) 2 1/5 > 1 7/9

2 variantas.

1) palyginkite trupmenas: 3/5 ir 3/10

a) 3/5 > 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5 = 3/10

2) Kuris didesnis: 10/12 ar 1/12?

a) yra lygūs;
b) 10/12;
c) 1/12

3) Kuris mažesnis: 3/5 ar 1/10?

a) 3/5;
b) 1/10;
c) yra lygūs

4) Kuri iš trupmenų yra mažesnė nei 1: 4/3; 1/15; 16/16?

a) 4/3;
b) 1/15;
c) 16/16

5) Kuri iš trupmenų yra didesnė nei 1: 2/5; 9/8; 11/12?

a) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) Palyginkite trupmenas: 3 1/4 ir 3 2/3

a) 3 1/4 = 3 2/3;
b) 3 1/4 > 3 2/3;
c) 3 1/4< 3 2/3

Atsakymai į testą:

1 parinktis: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

2 parinktis: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. Dar kartą grįžtame prie pamokos tikslo.

Patikriname palyginimo taisykles ir pateikiame diferencijuotus namų darbus:

1,2,3 grupės – kiekvienai taisyklei sugalvokite po du pavyzdžius ir juos išspręskite.

4,5,6 grupės - Nr.83a,b,c,Nr.84a,b,c (iš vadovėlio).

Šiame straipsnyje aptariamas trupmenų palyginimas. Čia išsiaiškinsime, kuri trupmena didesnė ar mažesnė, pritaikysime taisyklę ir analizuosime sprendimo pavyzdžius. Palyginkite trupmenas su tuo pačiu ir skirtingu vardikliu. Palyginkime paprastąją trupmeną su natūraliuoju skaičiumi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais, dirbame tik su skaitikliu, o tai reiškia, kad lyginame skaičiaus trupmenas. Jei yra trupmena 3 7 , tai ji turi 3 dalis 1 7 , tai trupmena 8 7 turi 8 tokias dalis. Kitaip tariant, jei vardiklis yra tas pats, šių trupmenų skaitikliai lyginami, tai yra, 3 7 ir 8 7 lyginami skaičiai 3 ir 8.

Tai reiškia trupmenų su tais pačiais vardikliais lyginimo taisyklę: iš turimų trupmenų su tais pačiais rodikliais didesnė laikoma ta, kurios skaitiklis yra didesnis ir atvirkščiai.

Tai rodo, kad turėtumėte atkreipti dėmesį į skaitiklius. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite pavyzdį.

1 pavyzdys

Palyginkite pateiktas trupmenas 65 126 ir 87 126 .

Sprendimas

Kadangi trupmenų vardikliai yra vienodi, pereikime prie skaitiklių. Iš skaičių 87 ir 65 matyti, kad 65 yra mažiau. Remiantis taisykle, kaip lyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais, gauname, kad 87126 yra didesnis nei 65126.

Atsakymas: 87 126 > 65 126 .

Skirtingais vardikliais turinčių trupmenų palyginimas

Tokių trupmenų palyginimas gali būti lyginamas su trupmenų su tais pačiais rodikliais palyginimu, tačiau yra skirtumas. Dabar turime sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio.

Jei yra trupmenų su skirtingais vardikliais, norėdami juos palyginti, jums reikia:

• rasti bendrą vardiklį;
• palyginti trupmenas.

Pažvelkime į šiuos veiksmus su pavyzdžiu.

2 pavyzdys

Palyginkite trupmenas 5 12 ir 9 16 .

Sprendimas

Pirmas žingsnis yra suvesti trupmenas į bendrą vardiklį. Tai daroma tokiu būdu: randamas LCM, tai yra, mažiausias bendras daliklis, 12 ir 16 d. Šis skaičius yra 48. Į pirmąją trupmeną 5 12 būtina įrašyti papildomus koeficientus, šis skaičius randamas iš koeficiento 48: 12 = 4, antrajai trupmenai 9 16 - 48: 16 = 3. Užrašykime taip: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 ir 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Palyginę trupmenas, gauname 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Atsakymas: 5 12 < 9 16 .

Yra dar vienas būdas palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais. Jis atliekamas nesumažinant iki bendro vardiklio. Pažiūrėkime į pavyzdį. Norėdami palyginti trupmenas a b ir c d, sumažiname iki bendro vardiklio, tada b · d, tai yra šių vardklių sandauga. Tada papildomi trupmenų veiksniai bus gretimos trupmenos vardikliai. Tai parašyta kaip a · d b · d ir c · b d · b . Naudojant taisyklę su tais pačiais vardikliais, gauname, kad trupmenų palyginimas buvo sumažintas iki sandaugų a · d ir c · b palyginimų. Iš čia gauname taisyklę, kaip lyginti trupmenas su skirtingais vardikliais: jei a d > b c, tai a b > c d, bet jei a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

3 pavyzdys

Palyginkite trupmenas 5 18 ir 23 86.

Sprendimas

Šiame pavyzdyje a = 5, b = 18, c = 23 ir d = 86. Tada reikia apskaičiuoti a · d ir b · c . Iš to išplaukia, kad a d = 5 86 = 430 ir b c = 18 23 = 414 . Bet 430 > 414 , tada duotoji trupmena 5 18 yra didesnė už 23 86 .

Atsakymas: 5 18 > 23 86 .

Lyginant trupmenas su tuo pačiu skaitikliu

Jei trupmenos turi tuos pačius skaitiklius ir skirtingus vardiklius, palyginimą galite atlikti pagal ankstesnę pastraipą. Lyginimo rezultatas galimas lyginant jų vardiklius.

Yra taisyklė, kaip lyginti trupmenas su tais pačiais skaitikliais : Iš dviejų trupmenų su tuo pačiu skaitikliu didesnė trupmena yra ta, kurios vardiklis yra mažesnis, ir atvirkščiai.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

4 pavyzdys

Palyginkite trupmenas 54 19 ir 54 31.

Sprendimas

Turime, kad skaitikliai yra vienodi, o tai reiškia, kad trupmena, kurios vardiklis yra 19, yra didesnė nei trupmena, kurios vardiklis yra 31. Tai aišku iš taisyklės.

Atsakymas: 54 19 > 54 31 .

Priešingu atveju galite apsvarstyti pavyzdį. Yra dvi lėkštės, ant kurių 1 2 pyragėliai, anna dar 1 16 . Jei suvalgysite 1 2 pyragus, pasisotinsite greičiau nei tik 1 16. Iš čia daroma išvada, kad lyginant trupmenas didžiausias vardiklis su tais pačiais skaitikliais yra mažiausias.

Trupmenos palyginimas su natūraliuoju skaičiumi

Paprastosios trupmenos palyginimas su natūraliuoju skaičiumi yra tas pats, kas dviejų trupmenų palyginimas su vardikliais, įrašytais 1 forma. Norėdami gauti daugiau informacijos, pažvelkime į toliau pateiktą pavyzdį.

4 pavyzdys

Būtina atlikti palyginimą 63 8 ir 9 .

Sprendimas

Skaičius 9 reikia pavaizduoti kaip trupmeną 9 1 . Tada turime palyginti trupmenas 63 8 ir 9 1 . Po to seka sumažinimas iki bendro vardiklio ieškant papildomų faktorių. Po to matome, kad reikia palyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais 63 8 ir 72 8 . Remiantis palyginimo taisykle, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Atsakymas: 63 8 < 9 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Mes ir toliau tiriame trupmenas. Šiandien kalbėsime apie jų palyginimą. Tema įdomi ir naudinga. Tai leis pradedančiajam pasijusti mokslininku baltu chalatu.

Trupmenų palyginimo esmė yra išsiaiškinti, kuri iš dviejų trupmenų yra didesnė ar mažesnė.

Norėdami atsakyti į klausimą, kuri iš dviejų trupmenų yra didesnė ar mažesnė, naudokite, pvz., daugiau (>) arba mažiau (<).

Matematikai jau pasirūpino paruoštomis taisyklėmis, kurios leidžia iš karto atsakyti į klausimą, kuri trupmena didesnė, o kuri mažesnė. Šios taisyklės gali būti saugiai taikomos.

Išnagrinėsime visas šias taisykles ir pabandysime išsiaiškinti, kodėl taip nutinka.

Pamokos turinys

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais

Palygintinos trupmenos yra skirtingos. Sėkmingiausias atvejis, kai trupmenos vardikliai yra vienodi, bet skirtingi skaitikliai. Šiuo atveju galioja ši taisyklė:

Iš dviejų trupmenų su tuo pačiu vardikliu didesnė trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis. Ir atitinkamai bus mažesnė trupmena, kurioje skaitiklis yra mažesnis.

Pavyzdžiui, palyginkime trupmenas ir atsakykime, kuri iš šių trupmenų yra didesnė. Čia vardikliai yra vienodi, bet skaitikliai skiriasi. Trupmena turi didesnį skaitiklį nei trupmena. Taigi trupmena yra didesnė nei . Taigi atsakome. Atsakykite naudodami daugiau piktogramą (>)

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei galvojame apie picas, kurios yra padalintos į keturias dalis. daugiau picų nei picų:

Visi sutiks, kad pirmoji pica didesnė už antrąją.

Lyginant trupmenas su tuo pačiu skaitikliu

Kitas atvejis, į kurį galime patekti, yra tada, kai trupmenų skaitikliai yra vienodi, bet vardikliai skiriasi. Tokiais atvejais numatyta ši taisyklė:

Iš dviejų trupmenų su tuo pačiu skaitikliu trupmena su mažesniu vardikliu yra didesnė. Todėl trupmena su didesniu vardikliu yra mažesnė.

Pavyzdžiui, palyginkime trupmenas ir . Šios trupmenos turi tą patį skaitiklį. Trupmena turi mažesnį vardiklį nei trupmena. Taigi trupmena didesnė už trupmeną. Taigi atsakome:

Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei galvojame apie picas, kurios yra padalintos į tris ir keturias dalis. daugiau picų nei picų:

Visi sutinka, kad pirmoji pica didesnė už antrąją.

Palyginti trupmenas su skirtingais skaitikliais ir skirtingais vardikliais

Dažnai atsitinka taip, kad tenka lyginti trupmenas su skirtingais skaitikliais ir skirtingais vardikliais.

Pavyzdžiui, palyginkite trupmenas ir . Norėdami atsakyti į klausimą, kuri iš šių trupmenų yra didesnė ar mažesnė, turite jas suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį. Tada bus nesunku nustatyti, kuri trupmena didesnė ar mažesnė.

Suveskime trupmenas į tą patį (bendrą) vardiklį. Raskite (LCM) abiejų trupmenų vardiklius. Trupmenų vardiklių LCM ir šis skaičius yra 6.

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalijus 6 iš 2, gauname papildomą koeficientą 3. Jį užrašome ant pirmosios trupmenos:

Dabar suraskime antrą papildomą veiksnį. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalijus 6 iš 3, gauname papildomą koeficientą 2. Jį užrašome ant antrosios trupmenos:

Padauginkite trupmenas iš jų papildomų koeficientų:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip palyginti tokias trupmenas. Iš dviejų trupmenų su tais pačiais vardikliais didesnė trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis:

Taisyklė yra taisyklė, ir mes pabandysime išsiaiškinti, kodėl daugiau nei . Norėdami tai padaryti, trupmenoje pasirinkite sveikąjį skaičių. Trupmenoje nieko pasirinkti nereikia, nes ši trupmena jau teisinga.

Pasirinkę sveikojo skaičiaus dalį trupmenoje, gauname tokią išraišką:

Dabar galite lengvai suprasti, kodėl daugiau nei . Nubrėžkime šias frakcijas picų pavidalu:

2 visos picos ir picos, daugiau nei picos.

Mišrių skaičių atėmimas. Sunkūs atvejai.

Atimdami mišrius skaičius kartais pastebite, kad viskas vyksta ne taip sklandžiai, kaip norėtumėte. Dažnai nutinka taip, kad sprendžiant pavyzdį atsakoma ne taip, kaip turėtų būti.

Atimant skaičius, minuend turi būti didesnis už atimtį. Tik tokiu atveju bus gautas normalus atsakymas.

Pavyzdžiui, 10−8=2

10 – sumažintas

8 - atimta

2 - skirtumas

Minus 10 yra didesnis nei atimtas 8, todėl gavome įprastą atsakymą 2.

Dabar pažiūrėkime, kas atsitiks, jei minuend yra mažesnė už subtrahendą. 5 pavyzdys−7=−2

5 – sumažintas

7 - atimta

−2 yra skirtumas

Tokiu atveju peržengiame įprastus skaičius ir atsiduriame neigiamų skaičių pasaulyje, kur mums dar anksti vaikščioti ir netgi pavojinga. Norint dirbti su neigiamais skaičiais, reikia atitinkamo matematinio pagrindo, kurio dar negavome.

Jei spręsdami atimties pavyzdžius pastebėsite, kad minuend yra mažesnė už atimtį, kol kas tokį pavyzdį galite praleisti. Su neigiamais skaičiais dirbti leidžiama tik juos ištyrus.

Ta pati situacija ir su trupmenomis. Minuend turi būti didesnis už subtrahendą. Tik tokiu atveju bus galima gauti normalų atsakymą. Ir norint suprasti, ar sumažinta trupmena didesnė už atimtąją, reikia mokėti palyginti šias trupmenas.

Pavyzdžiui, išspręskime pavyzdį.

Tai atimties pavyzdys. Norėdami tai išspręsti, turite patikrinti, ar sumažinta trupmena yra didesnė už atimtąją. daugiau nei

kad galėtume saugiai grįžti prie pavyzdžio ir jį išspręsti:

Dabar išspręskime šį pavyzdį

Patikrinkite, ar sumažinta trupmena didesnė už atimtąją. Pastebime, kad jis yra mažesnis:

Tokiu atveju protingiau sustoti ir nebetęsti tolesnio skaičiavimo. Grįšime prie šio pavyzdžio, kai tyrinėsime neigiamus skaičius.

Taip pat prieš atimant pageidautina patikrinti mišrius skaičius. Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę.

Pirmiausia patikrinkite, ar sumažintas mišrus skaičius yra didesnis nei atimtasis. Norėdami tai padaryti, mišrius skaičius verčiame į netinkamas trupmenas:

Gavome trupmenas su skirtingais skaitikliais ir skirtingais vardikliais. Norėdami palyginti tokias trupmenas, turite jas suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį. Mes išsamiai neaprašysime, kaip tai padaryti. Jei kyla problemų, būtinai pakartokite.

Sumažinus trupmenas iki to paties vardiklio, gauname tokią išraišką:

Dabar turime palyginti trupmenas ir . Tai trupmenos su tais pačiais vardikliais. Iš dviejų trupmenų su tuo pačiu vardikliu didesnė trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis.

Trupmena turi didesnį skaitiklį nei trupmena. Taigi trupmena didesnė už trupmeną.

Tai reiškia, kad minuend yra didesnis nei subtrahend.

Taigi galime grįžti prie mūsų pavyzdžio ir drąsiai jį išspręsti:

3 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Patikrinkite, ar minuend yra didesnis nei pogrupis.

Konvertuoti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:

Gavome trupmenas su skirtingais skaitikliais ir skirtingais vardikliais. Šias trupmenas sujungiame į tą patį (bendrą) vardiklį.

Dvi nelygios trupmenos toliau lyginamos, siekiant išsiaiškinti, kuri trupmena didesnė, o kuri mažesnė. Dviejų trupmenų palyginimui yra trupmenų lyginimo taisyklė, kurią suformuluosime toliau, taip pat analizuosime šios taisyklės taikymo pavyzdžius lyginant trupmenas su tuo pačiu ir skirtingu vardikliu. Pabaigoje parodysime, kaip palyginti trupmenas su tais pačiais skaitikliais, nesumažinant jų iki bendro vardiklio, taip pat apsvarstysime, kaip palyginti paprastąją trupmeną su natūraliuoju skaičiumi.

Puslapio naršymas.

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais iš esmės yra lygių dalių skaičiaus palyginimas. Pavyzdžiui, bendroji trupmena 3/7 lemia 3 dalis 1/7, o trupmena 8/7 atitinka 8 dalis 1/7, todėl lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais 3/7 ir 8/7, reikia lyginti skaičius. 3 ir 8, tai yra skaitiklių palyginimui.

Iš šių samprotavimų išplaukia Taisyklė lyginant trupmenas su tuo pačiu vardikliu: iš dviejų trupmenų su tuo pačiu vardikliu didesnė trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra didesnis, o mažesnė yra trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis.

Nurodytoje taisyklėje paaiškinama, kaip palyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais. Apsvarstykite pavyzdį, kaip taikyti taisyklę lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Pavyzdys.

Kuri trupmena didesnė: 65/126 ar 87/126?

Sprendimas.

Palyginamų paprastųjų trupmenų vardikliai yra lygūs, o trupmenos 87/126 skaitiklis 87 yra didesnis nei trupmenos 65/126 skaitiklis 65 (jei reikia, žr. natūraliųjų skaičių palyginimą). Todėl pagal trupmenų su tais pačiais vardikliais palyginimo taisyklę trupmena 87/126 yra didesnė už trupmeną 65/126.

Atsakymas:

Skirtingais vardikliais turinčių trupmenų palyginimas

Skirtingais vardikliais turinčių trupmenų palyginimas gali būti sumažintas iki trupmenų su tais pačiais vardikliais palyginimo. Norėdami tai padaryti, jums tereikia suvesti palygintas paprastas trupmenas į bendrą vardiklį.

Taigi, norint palyginti dvi trupmenas su skirtingais vardikliais, jums reikia

• suvesti trupmenas į bendrą vardiklį;
• gautas trupmenas palyginkite su tais pačiais vardikliais.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Palyginkite trupmeną 5/12 su trupmena 9/16.

Sprendimas.

Pirmiausia šias trupmenas su skirtingais vardikliais suvedame į bendrą vardiklį (žr. taisyklę ir trupmenų sumažinimo į bendrą vardiklį pavyzdžius). Kaip bendrą vardiklį paimkite mažiausią bendrą vardiklį, lygų LCM(12, 16)=48 . Tada trupmenos 5/12 papildomas koeficientas bus skaičius 48:12=4 , o papildomas trupmenos 9/16 koeficientas bus skaičius 48:16=3 . Mes gauname Ir .

Palyginę gautas trupmenas, turime . Todėl trupmena 5/12 yra mažesnė nei trupmena 9/16. Tai užbaigia trupmenų su skirtingais vardikliais palyginimą.

Atsakymas:

Paimkime dar vieną būdą palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais, kuri leis palyginti trupmenas nesumažinant jų iki bendro vardiklio ir visų su šiuo procesu susijusių sunkumų.

Norint palyginti trupmenas a / b ir c / d, jas galima sumažinti iki bendro vardiklio b d, lygaus palyginamų trupmenų vardikų sandaugai. Šiuo atveju papildomi trupmenų a/b ir c/d faktoriai yra atitinkamai skaičiai d ir b, o pradinės trupmenos redukuojamos į trupmenas ir su bendru vardikliu b d . Prisimindami taisyklę, kaip lyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais, darome išvadą, kad pradinių trupmenų a/b ir c/d palyginimas sumažintas iki a d ir c b sandaugų palyginimo.

Iš to seka toliau Taisyklė lyginant trupmenas su skirtingais vardikliais: jei a d>b c , tai , o jei a d

Apsvarstykite galimybę tokiu būdu palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais.

Pavyzdys.

Palyginkite bendrąsias trupmenas 5/18 ir 23/86.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a=5, b=18, c=23 ir d=86. Apskaičiuokime sandaugas a d ir b c . Turime a d=5 86=430 ir b c=18 23=414 . Kadangi 430>414, trupmena 5/18 yra didesnė už trupmeną 23/86.

Atsakymas:

Lyginant trupmenas su tuo pačiu skaitikliu

Trupmenas su tais pačiais skaitikliais ir skirtingais vardikliais tikrai galima palyginti, taikant ankstesnėje pastraipoje aptartas taisykles. Tačiau tokių trupmenų palyginimo rezultatą lengva gauti palyginus šių trupmenų vardiklius.

Yra toks Taisyklė lyginant trupmenas su tuo pačiu skaitikliu: Iš dviejų trupmenų su tuo pačiu skaitikliu ta, kurios vardiklis mažesnis, yra didesnis, o su didesniu vardikliu – mažesnė.

Panagrinėkime sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Palyginkite trupmenas 54/19 ir 54/31.

Sprendimas.

Kadangi lyginamų trupmenų skaitikliai yra lygūs, o trupmenos 54/19 vardiklis 19 yra mažesnis už trupmenos 54/31 vardiklį 31, tai 54/19 yra didesnis nei 54/31.

Galima lyginti ne tik pirminius skaičius, bet ir trupmenas. Juk trupmena yra toks pat skaičius kaip, pavyzdžiui, natūralieji skaičiai. Jums tereikia žinoti taisykles, pagal kurias lyginami trupmenos.

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais.

Jei dvi trupmenos turi tuos pačius vardiklius, tada tokias trupmenas palyginti lengva.

Norėdami palyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite palyginti jų skaitiklius. Didesnė trupmena turi didesnį skaitiklį.

Apsvarstykite pavyzdį:

Palyginkite trupmenas \(\frac(7)(26)\) ir \(\frac(13)(26)\).

Abiejų trupmenų vardikliai yra vienodi, lygūs 26, todėl lyginame skaitiklius. Skaičius 13 yra didesnis nei 7. Gauname:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Trupmenų su lygiais skaitikliais palyginimas.

Jei trupmenos skaitiklis yra toks pat, tada didesnė trupmena yra ta, kurios vardiklis yra mažesnis.

Galite suprasti šią taisyklę, jei pateiksite pavyzdį iš gyvenimo. Turime tortą. Pas mus gali atvykti 5 arba 11 svečių. Jei ateis 5 svečiai, tai tortą supjaustysime į 5 lygias dalis, o jei ateis 11 svečių – padalinsime į 11 lygių dalių. Dabar pagalvokite, kokiu atveju vienas svečias turės didesnį pyrago gabalą? Žinoma, atėjus 5 svečiams, torto gabalas bus didesnis.

Arba kitas pavyzdys. Turime 20 saldainių. Saldainius galime tolygiai paskirstyti 4 draugams arba tolygiai paskirstyti 10 draugų. Kuriuo atveju kiekvienas draugas turės daugiau saldainių? Žinoma, kai dalinsime tik iš 4 draugų, saldainių kiekvienas draugas turės daugiau. Patikrinkime šią problemą matematiškai.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Jei išspręsime šias trupmenas iki, gausime skaičius \(\frac(20)(4) = 5\) ir \(\frac(20)(10) = 2\). Gauname 5 > 2

Tai yra taisyklė lyginant trupmenas su tais pačiais skaitikliais.

Panagrinėkime kitą pavyzdį.

Palyginkite trupmenas su tuo pačiu skaitikliu \(\frac(1)(17)\) ir \(\frac(1)(15)\) .

Kadangi skaitikliai yra vienodi, tuo didesnė trupmena, kurioje vardiklis yra mažesnis.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Trupmenų su skirtingais vardikliais ir skaitikliais palyginimas.

Norėdami palyginti trupmenas su skirtingais vardikliais, turite sumažinti trupmenas iki ir palyginti skaitiklius.

Palyginkite trupmenas \(\frac(2)(3)\) ir \(\frac(5)(7)\).

Pirmiausia suraskite bendrą trupmenų vardiklį. Jis bus lygus skaičiui 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3) (7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(lygiuoti)\)

Tada pereiname prie skaitiklių palyginimo. Taisyklė lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais.

\(\begin(lygiuoti)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Palyginimas.

Netinkama trupmena visada yra didesnė už tinkamą. Nes netinkama trupmena yra didesnė už 1, o tinkama trupmena mažesnė už 1.

Pavyzdys:
Palyginkite trupmenas \(\frac(11)(13)\) ir \(\frac(8)(7)\).

Trupmena \(\frac(8)(7)\) yra neteisinga ir yra didesnė nei 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Trupmena \(\frac(11)(13)\) yra teisinga ir mažesnė už 1. Palyginkite:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Gauname \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Susiję klausimai:
Kaip palyginate trupmenas su skirtingais vardikliais?
Atsakymas: reikia suvesti trupmenas į bendrą vardiklį ir tada palyginti jų skaitiklius.

Kaip palyginti trupmenas?
Atsakymas: pirmiausia reikia nuspręsti, kuriai kategorijai priklauso trupmenos: jos turi bendrą vardiklį, turi bendrą skaitiklį, neturi bendro vardiklio ir skaitiklio, ar turite tinkamą ir netinkamą trupmeną. Klasifikavę trupmenas, taikykite atitinkamą palyginimo taisyklę.

Koks yra trupmenų su tais pačiais skaitikliais palyginimas?
Atsakymas: Jei trupmenų skaitikliai yra vienodi, didesnė trupmena yra ta, kurios vardiklis yra mažesnis.

1 pavyzdys:
Palyginkite trupmenas \(\frac(11)(12)\) ir \(\frac(13)(16)\).

Sprendimas:
Kadangi nėra vienodų skaitiklių ar vardiklių, taikome palyginimo taisyklę su skirtingais vardikliais. Turime rasti bendrą vardiklį. Bendrasis vardiklis bus lygus 96. Suveskime trupmenas į bendrą vardiklį. Padauginkite pirmąją trupmeną \(\frac(11)(12)\) iš papildomo koeficiento 8, o antrąją trupmeną \(\frac(13)(16)\) padauginkite iš 6.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(lygiuoti)\)

Mes lyginame trupmenas pagal skaitiklius, ta trupmena yra didesnė, kurioje skaitiklis yra didesnis.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \ \pabaiga (lygiuoti)\)

2 pavyzdys:
Palyginti tinkamą trupmeną su vienetu?

Sprendimas:
Bet kuri tinkama trupmena visada yra mažesnė už 1.

1 užduotis:
Tėtis ir sūnus žaidė futbolą. 10 priėjimų sūnus į vartus pataikė 5 kartus. O tėtis į vartus pataikė 3 kartus iš 5 priėjimų. Kieno rezultatas geresnis?

Sprendimas:
Sūnus iš 10 galimų priėjimų pataikė 5 kartus. Rašome kaip trupmeną \(\frac(5)(10) \).
Tėtis pataikė iš 5 galimų priėjimų 3 kartus. Rašome kaip trupmeną \(\frac(3)(5) \).

Palyginkite trupmenas. Mes turime skirtingus skaitiklius ir vardiklius, sukelkime jį į tą patį vardiklį. Bendras vardiklis bus 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Atsakymas: tėčio rezultatas geresnis.