namai › elektros įranga › Trupmenų daugybos taisyklė ir pavyzdžiai. Paprastųjų ir mišrių trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas

Trupmenų daugybos taisyklė ir pavyzdžiai. Paprastųjų ir mišrių trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas

JAU APREIKŠK ŠIUS GRĖBLIUS! 🙂

Trupmenų daugyba ir dalyba.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stiprūs „nelabai. »
Ir tiems, kurie „labai tolygiai. "")

Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primenu: norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:

Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia čia...

Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:

Jei pagaunama daugyba arba dalyba su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienetas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:

Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:

Kaip šią trupmeną padaryti tinkamą formą? Taip, labai lengva! Naudokite padalijimą iš dviejų taškų:

Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų frakcijoje lengva suklysti. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:

Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):

Antroje (išraiška dešinėje):

Jausti skirtumą? 4 ir 1/9!

Kokia yra padalijimo tvarka? Arba skliausteliuose, arba (kaip čia) horizontalių brūkšnių ilgis. Ugdykite akį. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:

tada dalyti-dauginti tvarka, iš kairės į dešinę!

Ir dar vienas labai paprastas ir svarbus triukas. Veiksmuose su laipsniais tai jums pravers! Padalinkime vienetą iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:

Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.

Tai visi veiksmai su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau klaidų yra daugiau nei pakankamai. Pastaba praktinių patarimų, ir jų (klaidų) bus mažiau!

1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Tai nėra įprasti žodžiai, ne geri norai! Tai didžiulis poreikis! Atlikite visus egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, susikaupę ir aiškiai. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei suktis skaičiuojant mintyse.

2. Pavyzdžiuose su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastas trupmenas.

3. Sumažiname visas trupmenas iki galo.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).

Štai užduotys, kurias turite atlikti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šios temos medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių galėtumėte teisingai išspręsti. Pirmasis kartas! Be skaičiuoklės! Ir padaryti teisingas išvadas.

Prisiminkite teisingą atsakymą gautas iš antro (ypač trečio) karto – nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.

Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, yra pasiruošimas egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame šiuos dalykus. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Bet tik Tada pažiūrėk atsakymus.

Ieškote atsakymų, atitinkančių jūsų. Sąmoningai surašiau juos netvarkoje, taip sakant, atokiau nuo pagundų. Štai jie, atsakymai, atskirti kabliataškiu.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

O dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko - džiaugiuosi už jus! Elementarūs skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne.

Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet. Tai išsprendžiamas Problemos.

Specialiame 555 skyriuje „Trupmenos“ analizuojami visi šie (ir ne tik!) pavyzdžiai. Su išsamiais paaiškinimais, kas, kodėl ir kaip. Tokia analizė labai padeda, kai trūksta žinių ir įgūdžių!

Taip, ir dėl antrosios problemos yra kažkas.) Gana praktiški patarimai, kaip tapti dėmesingesniu. Taip taip! Patarimas, kurį galima pritaikyti kas.

Be žinių ir dėmesingumo, sėkmei reikalingas ir tam tikras automatizmas. Kur gauti? Išgirstu sunkų atodūsį... Taip, tik praktiškai, niekur kitur.

Treniruotėms galite apsilankyti svetainėje 321start.ru. Ten, parinktyje „Išbandyti“, yra 10 pavyzdžių, kuriuos gali naudoti visi. Su momentiniu patvirtinimu. Registruotiems vartotojams – 34 pavyzdžiai nuo paprastų iki sunkių. Tai tik trupmenoms.

Jei jums patinka ši svetainė.

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Čia galite praktikuotis sprendžiant pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykitės su susidomėjimu!

O čia galima susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

1 taisyklė

Norėdami padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padauginti jo skaitiklį iš šio skaičiaus, o vardiklį palikti nepakeistą.

2 taisyklė

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos:

1. raskite šių trupmenų skaitiklių sandaugą ir vardikų sandaugą

2. Pirmąjį sandaugą parašykite kaip skaitiklį, o antrąjį - kaip vardiklį.

3 taisyklė

Norėdami padauginti mišrius skaičius, turite juos parašyti kaip netinkamas trupmenas, o tada naudoti trupmenų dauginimo taisyklę.

4 taisyklė

Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės.

1 pavyzdys

Apskaičiuoti

2 pavyzdys

Apskaičiuoti

3 pavyzdys

Apskaičiuoti

4 pavyzdys

Apskaičiuoti

Matematika. Kitos medžiagos

Skaičiaus padidinimas iki racionalios laipsnio. (

Skaičiaus pakėlimas iki natūralios galios. (

Apibendrintas intervalų metodas algebrinėms nelygybėms spręsti (Autorius Kolchanovas A.V.)

Veiksnių pakeitimo metodas sprendžiant algebrines nelygybes (Autorius Kolchanovas A.V.)

Dalyvavimo ženklai (Lungu Alena)

Išbandykite save temoje „Paprastųjų trupmenų daugyba ir dalyba“

Trupmenų daugyba

Apsvarstysime paprastųjų trupmenų dauginimą keliais galimais būdais.

Trupmenos padauginimas iš trupmenos

Tai yra paprasčiausias atvejis, kai reikia naudoti šiuos dalykus trupmenų daugybos taisyklės.

Į trupmeną padauginti iš trupmenos, būtina:

padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio ir įrašykite jų sandaugą į naujos trupmenos skaitiklį;

padauginkite pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio ir įrašykite jų sandaugą į naujos trupmenos vardiklį;

Prieš daugindami skaitiklius ir vardiklius, patikrinkite, ar trupmenas galima sumažinti. Skaičiavimų skaičių sumažinimas labai palengvins jūsų skaičiavimus.

Trupmenos padauginimas iš natūraliojo skaičiaus

Į trupmeną padauginti iš natūraliojo skaičiaus trupmenos skaitiklį reikia padauginti iš šio skaičiaus, o trupmenos vardiklį palikti nepakeistą.

Jei daugybos rezultatas yra neteisinga trupmena, nepamirškite jos paversti mišriu skaičiumi, tai yra, pasirinkite visą dalį.

Mišriųjų skaičių daugyba

Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos konvertuoti į netinkamas trupmenas, o tada padauginti pagal paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę.

Kitas būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus

Kartais skaičiavimuose patogiau naudoti kitą paprastą trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.

Norėdami padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padalyti trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus, o skaitiklį palikti tą patį.

Kaip matyti iš pavyzdžio, patogiau naudoti šią taisyklės versiją, jei trupmenos vardiklis be liekanos dalijasi iš natūraliojo skaičiaus.

Trupmenos dalyba iš skaičiaus

Koks yra greičiausias būdas padalyti trupmeną iš skaičiaus? Išanalizuokime teoriją, padarykime išvadą ir pasitelkę pavyzdžius pamatysime, kaip pagal naują trumpąją taisyklę galima atlikti trupmenos padalijimą iš skaičiaus.

Dažniausiai trupmenos dalijimas iš skaičiaus atliekamas pagal trupmenų dalybos taisyklę. Pirmasis skaičius (trupmena) padauginamas iš antrojo atvirkštinio skaičiaus. Kadangi antrasis skaičius yra sveikasis skaičius, jo atvirkštinė vertė yra trupmena, kurios skaitiklis yra lygus vienetui, o vardiklis yra duotas numeris. Schematiškai trupmenos padalijimas iš natūraliojo skaičiaus atrodo taip:

Iš to darome išvadą:

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, vardiklį padauginkite iš šio skaičiaus ir palikite skaitiklį tą patį. Taisyklę galima suformuluoti dar trumpiau:

Padalijus trupmeną iš skaičiaus, skaičius eina į vardiklį.

Padalinkite trupmeną iš skaičiaus:

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, skaitiklį perrašome nepakitusią, o vardiklį padauginame iš šio skaičiaus. 6 ir 3 sumažiname 3.

Dalindami trupmeną iš skaičiaus, skaitiklį perrašome ir vardiklį padauginame iš to skaičiaus. 16 ir 24 sumažiname 8.

Dalijant trupmeną iš skaičiaus, skaičius eina į vardiklį, todėl skaitiklį paliekame tą patį, o vardiklį dauginame iš daliklio. 21 ir 35 sumažiname 7.

Trupmenų daugyba ir dalyba

Praėjusį kartą mokėmės sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausias momentas tuose veiksmuose buvo trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį.

Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar lengvesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Norėdami pradėti, apsvarstykite paprasčiausias atvejis, kai yra dvi teigiamos trupmenos be skiriamosios sveikosios dalies.

Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.

Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ sekundės.

Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas sumažinamas iki daugybos. Norėdami apversti trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl visą pamoką daugiausia svarstysime daugyba.

Dėl dauginimo gali atsirasti (ir dažnai atsiranda) sumažinta trupmena – žinoma, ją reikia sumažinti. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, joje reikia atskirti visą dalį. Tačiau tai, ko tiksliai neatsitiks su daugyba, yra sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių koeficientų ir mažiausiųjų bendrų kartotinių.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Pagal apibrėžimą turime:

Trupmenų su sveikąja dalimi ir neigiamomis trupmenomis dauginimas

Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.

Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje ar prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos ribų arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:

Plius kartus minusas duoda minusą;
Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Produkto atveju jie gali būti apibendrinti, kad iš karto „sudegintų“ kelis minusus:

Minusus braukiame poromis, kol jie visiškai išnyksta. Kraštutiniu atveju gali išlikti vienas minusas – tas, kuris nerado atitikmens;
Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nėra perbrauktas, nes jis nerado poros, išimame jį iš daugybos ribų. Gaunate neigiamą trupmeną.

Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada minusus išimame už daugybos ribų. Tai, kas liko, padauginama iš įprastos taisyklės. Mes gauname:

Leiskite dar kartą priminti, kad minusas, esantis prieš trupmeną su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi, konkrečiai reiškia visą trupmeną, o ne tik jos sveikąją dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).

Taip pat atkreipkite dėmesį į neigiamus skaičius: padauginus jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.

Dalių mažinimas skrydžio metu

Daugyba yra labai varginanti operacija. Skaičiai čia yra gana dideli, o norėdami supaprastinti užduotį, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:

Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.

Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vienetai liko savo vietose, kurių, paprastai kalbant, galima ir praleisti. Antrame pavyzdyje visiškas sumažinimas nepavyko pasiekti, bet bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.

Tačiau jokiu būdu nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:

Jūs negalite to padaryti!

Klaida atsiranda dėl to, kad pridedant trupmeną, trupmenos skaitiklyje atsiranda suma, o ne skaičių sandauga. Todėl neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes šioje savybėje Mes kalbame Kalbama apie skaičių dauginimą.

Tiesiog nėra jokios kitos priežasties mažinti trupmenas, todėl teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip:

Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.

Trupmenų padalijimas.

Trupmenos dalyba iš natūraliojo skaičiaus.

Trupmenos padalijimo iš natūraliojo skaičiaus pavyzdžiai

Natūralaus skaičiaus dalyba iš trupmenos.

Natūralaus skaičiaus dalijimo iš trupmenos pavyzdžiai

Paprastųjų trupmenų padalijimas.

Paprastųjų trupmenų padalijimo pavyzdžiai

Mišrių skaičių padalijimas.

mišrias frakcijas paversti netinkamomis;
padauginkite pirmąją trupmeną iš antrosios atvirkštinės vertės;
sumažinti gautą frakciją;
Jei gaunate netinkamą trupmeną, pakeiskite netinkamą trupmeną į mišrią.

Mišrių skaičių padalijimo pavyzdžiai

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Visi nepadorūs komentarai bus pašalinti, o jų autoriai įtraukiami į juodąjį sąrašą!

Sveiki atvykę į OnlineMSchool.
Mano vardas Dovžikas Michailas Viktorovičius. Aš esu šios svetainės savininkas ir autorius, parašiau visą teorinė medžiaga, taip pat internetiniai pratimai ir skaičiuotuvai, kuriuos galite naudoti studijuodami matematiką.

Trupmenos. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Trupmenos padauginimas iš trupmenos.

Norint padauginti paprastąsias trupmenas, reikia padauginti skaitiklį iš skaitiklio (gauname sandaugos skaitiklį), o vardiklį iš vardiklio (gauname sandaugos vardiklį).

Trupmenų daugybos formulė:

Prieš pradedant dauginti skaitiklius ir vardiklius, būtina patikrinti trupmenos sumažinimo galimybę. Jei jums pavyks sumažinti trupmeną, jums bus lengviau toliau atlikti skaičiavimus.

Pastaba! Nereikia ieškoti bendro vardiklio!!

Paprastosios trupmenos padalijimas iš trupmenos.

Paprastosios trupmenos dalijimas iš trupmenos vyksta taip: apverčiame antrąją trupmeną (t.y. skaitiklį ir vardiklį pakeičiame vietomis) ir po to trupmenos dauginamos.

Paprastųjų trupmenų padalijimo formulė:

Trupmenos padauginimas iš natūraliojo skaičiaus.

Pastaba! Dauginant trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, trupmenos skaitiklis dauginamas iš mūsų natūraliojo skaičiaus, o trupmenos vardiklis lieka toks pat. Jei gaminio rezultatas yra netinkama frakcija, būtinai pasirinkite visą dalį, netinkamą frakciją paversdami mišria dalimi.

Trupmenų, kuriuose dalyvauja natūralusis skaičius, padalijimas.

Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienetas. Pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų dauginimas.

Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:

mišrias frakcijas paversti netinkamomis;
padauginkite trupmenų skaitiklius ir vardiklius;
sumažiname trupmeną;
jei gauname netinkamą trupmeną, tai netinkamąją trupmeną paverčiame mišriąja.

Pastaba! Norėdami padauginti mišrią trupmeną iš kitos mišrios frakcijos, pirmiausia turite jas paversti netinkamomis trupmenomis, o tada padauginti pagal įprastų trupmenų dauginimo taisyklę.

Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Patogiau naudoti antrąjį paprastos trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.

Pastaba! Norint padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, trupmenos vardiklį reikia padalyti iš šio skaičiaus, o skaitiklį palikti nepakeistą.

Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.

Daugiapakopės trupmenos.

Vidurinėje mokykloje dažnai randamos triaukštės (ar daugiau) trupmenos. Pavyzdys:

Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudojamas padalijimas į 2 taškus:

Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.

Pastaba, Pavyzdžiui:

Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:

Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:

1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau juodraštyje užsirašyti kelias papildomas eilutes, nei susipainioti galvoje atliekant skaičiavimus.

2. Užduotyse su skirtingų tipų trupmenomis pereikite prie paprastųjų trupmenų tipo.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas perkeliame į įprastas, naudodamiesi padalijimu per 2 taškus.

Under-and not up- Perdirbta daina „Pavasario tango“ (Ateina laikas – atkeliauja paukščiai iš pietų) – muzika. Valerijus Miliajevas neteisingai išgirdau, nesupratau, nespėjau, ta prasme, kad neatspėjau, visus veiksmažodžius parašiau ne atskirai, nežinojau apie priešdėlį nedo-. Būna, […]
Puslapis nerastas Trečiajame galutiniame svarstyme buvo priimtas Vyriausybės dokumentų paketas, numatantis specialiųjų administracinių regionų (SAR) kūrimą. Dėl išstojimo iš Europos Sąjungos JK nebus įtraukta į Europos PVM erdvę ir […]
Jungtinis tyrimo komitetas atsiras rudenį
Algoritmo patentas Kaip atrodo algoritmo patentas Kaip ruošiamas algoritmo patentas techninius aprašymus signalų ir (arba) duomenų saugojimo, apdorojimo ir perdavimo būdai specialiai patentavimo tikslais paprastai nesukelia jokių ypatingų sunkumų, o […]
KĄ SVARBU ŽINOTI APIE NAUJĄ PENSIJŲ PROJEKTĄ 1993 m. gruodžio 12 d. RUSIJOS FEDERACIJOS KONSTITUCIJA (atsižvelgiant į Rusijos Federacijos įstatymų dėl Rusijos Federacijos Konstitucijos pakeitimų pakeitimus, 2008 m. gruodžio 30 d. FKZ, 2008 m. gruodžio 30 d. N 7-FKZ, […]
Moterų pasakojimai apie išėjimą į pensiją yra šaunūs vyro dienos herojui dienos herojui - dienos moters herojės chore - dedikacija į pensiją išėjusioms moterims yra komiška. Konkursai pensininkams bus įdomūs Mieli draugai! Akimirka dėmesio! Sensacija! Tik […]

Vykstant vidutiniam ir vidurinė mokykla Mokiniai perėjo temą „Trupmenos“. Tačiau ši sąvoka yra daug platesnė, nei pateikiama mokymosi procese. Šiandien su trupmenos sąvoka susiduriama gana dažnai, ir ne kiekvienas gali apskaičiuoti kokią nors išraišką, pavyzdžiui, padauginti trupmenas.

Kas yra trupmena?

Taip istoriškai susiklostė, kad trupmeniniai skaičiai atsirado dėl būtinybės matuoti. Kaip rodo praktika, dažnai yra pavyzdžių, kaip nustatyti segmento ilgį, stačiakampio stačiakampio tūrį.

Iš pradžių studentai supažindinami su tokia sąvoka kaip akcija. Pavyzdžiui, jei padalysite arbūzą į 8 dalis, tada kiekvienas gaus vieną aštuntąją arbūzo dalį. Ši viena aštuonių dalis vadinama akcija.

Dalis, lygi ½ bet kurios vertės, vadinama puse; ⅓ - trečia; ¼ - ketvirtadalis. Įrašai, tokie kaip 5/8, 4/5, 2/4, vadinami paprastosiomis trupmenomis. Paprastoji trupmena skirstoma į skaitiklį ir vardiklį. Tarp jų yra trupmeninė linija arba trupmeninė linija. Dalinė juosta gali būti nubrėžta kaip horizontali arba pasvirusi linija. IN Ši byla jis reiškia padalijimo ženklą.

Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalinta vertė, objektas; o skaitiklis – kiek paimama lygių dalių. Skaitiklis rašomas virš trupmeninės juostos, vardiklis po ja.

Patogiausia paprastąsias trupmenas rodyti koordinačių spindulyje. Jei vienas segmentas yra padalintas į 4 lygias dalis, nurodykite kiekvieną dalį Lotyniška raidė, tada jūs galite gauti puikų vaizdinė medžiaga. Taigi taškas A rodo dalį, lygią 1/4 viso vieneto segmento, o taškas B žymi 2/8 šio segmento.

Frakcijų veislės

Trupmenos yra bendrieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai. Be to, trupmenas galima suskirstyti į tinkamas ir netinkamas. Ši klasifikacija labiau tinka paprastosioms frakcijoms.

Tinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Atitinkamai, netinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Antroji rūšis paprastai rašoma kaip mišrus skaičius. Tokią išraišką sudaro sveikoji dalis ir trupmeninė dalis. Pavyzdžiui, 1½. 1 - sveikoji dalis, ½ - trupmena. Tačiau jei reikia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiška (dalyti ar dauginti trupmenas, jas sumažinti ar konvertuoti), mišrus skaičius paverčiamas netinkama trupmena.

Teisinga trupmeninė išraiška visada yra mažesnė už vieną, o neteisinga visada yra didesnė nei 1 arba lygi 1.

Kalbant apie šią išraišką, jie supranta įrašą, kuriame pavaizduotas bet koks skaičius, kurio trupmeninės išraiškos vardiklis gali būti išreikštas vienu su keliais nuliais. Jei trupmena teisinga, sveikoji dalis dešimtainėje žymėjime bus lygi nuliui.

Norėdami parašyti dešimtainį skaičių, pirmiausia turite parašyti sveikojo skaičiaus dalį, atskirti ją nuo trupmenos kableliu ir tada parašyti trupmeninę išraišką. Reikia atsiminti, kad po kablelio skaitiklyje turi būti tiek skaitmenų, kiek vardiklyje yra nulių.

Pavyzdys. Pateikite trupmeną 7 21/1000 dešimtainiu būdu.

Netinkamos trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių ir atvirkščiai algoritmas

Neteisinga užduoties atsakyme užrašyti netinkamą trupmeną, todėl ją reikia konvertuoti į mišrų skaičių:

padalykite skaitiklį iš esamo vardiklio;
V konkretus pavyzdys nepilnas koeficientas – visuma;
o likusi dalis yra trupmeninės dalies skaitiklis, o vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Netinkamą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių: 47/5 .

Sprendimas. 47: 5. Nebaigtas koeficientas yra 9, o likusioji dalis = 2. Vadinasi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Kartais mišrų skaičių reikia pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną. Tada turite naudoti šį algoritmą:

sveikoji dalis dauginama iš trupmeninės išraiškos vardiklio;
gautas produktas pridedamas prie skaitiklio;
rezultatas rašomas skaitiklyje, vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Išreikškite skaičių mišria forma kaip netinkamą trupmeną: 9 8 / 10 .

Sprendimas. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 yra skaitiklis.

Atsakymas: 98 / 10.

Paprastųjų trupmenų daugyba

Su paprastosiomis trupmenomis galite atlikti įvairias algebrines operacijas. Norėdami padauginti du skaičius, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio. Be to, trupmenų dauginimas su skirtingus vardiklius nesiskiria nuo trupmeninių skaičių su tais pačiais vardikliais sandaugos.

Taip atsitinka, kad radus rezultatą reikia sumažinti frakciją. Būtina kiek įmanoma supaprastinti gautą išraišką. Žinoma, negalima teigti, kad neteisinga trupmena atsakyme yra klaida, tačiau taip pat sunku ją pavadinti teisingu atsakymu.

Pavyzdys. Raskite dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą: ½ ir 20/18.

Kaip matyti iš pavyzdžio, radus sandaugą gaunamas redukuojamas trupmeninis žymėjimas. Tiek skaitiklis, tiek vardiklis šiuo atveju dalijasi iš 4, o rezultatas yra atsakymas 5/9.

Dešimtainių trupmenų dauginimas

Dešimtainių trupmenų sandauga savo principu gerokai skiriasi nuo paprastųjų trupmenų sandaugos. Taigi, trupmenų dauginimas yra toks:

dvi dešimtainės trupmenos turi būti rašomos viena po kita, kad dešinieji skaitmenys būtų vienas po kito;
reikia padauginti užrašytus skaičius, nepaisant kablelių, tai yra, kaip natūraliuosius skaičius;
suskaičiuokite skaitmenų skaičių po kablelio kiekviename iš skaičių;
rezultate, gautame po daugybos, dešinėje turite suskaičiuoti tiek skaitmeninių simbolių, kiek yra abiejų koeficientų sumoje po kablelio, ir įdėti skiriamąjį ženklą;
jei sandaugoje yra mažiau skaitmenų, prieš juos reikia parašyti tiek nulių, kad šis skaičius būtų padengtas, dėti kablelį ir priskirti sveikąją dalį, lygią nuliui.

Pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų skaičių po kablelio sandaugą: 2,25 ir 3,6.

Sprendimas.

Mišrių trupmenų dauginimas

Norėdami apskaičiuoti dviejų mišrių frakcijų sandaugą, turite naudoti trupmenų dauginimo taisyklę:

konvertuoti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas;
rasti skaitiklių sandaugą;
rasti vardiklių sandaugą;
užrašykite rezultatą;
kiek įmanoma supaprastinti išraišką.

Pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4½ ir 6 2/5.

Skaičiaus padauginimas iš trupmenos (trupmenos iš skaičiaus)

Be dviejų trupmenų sandaugos, mišriųjų skaičių, yra užduočių, kuriose reikia padauginti iš trupmenos.

Taigi, norint rasti dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus sandaugą, jums reikia:

parašykite skaičių po trupmena taip, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas virš kito;
rasti darbą, nepaisant kablelio;
gautame rezultate kableliais atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami į dešinę simbolių skaičių, kuris yra po trupmenos kablelio.

Padauginti bendroji trupmena pagal skaičių turėtumėte rasti skaitiklio ir natūraliojo koeficiento sandaugą. Jei atsakymas yra redukuojama trupmena, ją reikia konvertuoti.

Pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą iš 5/8 ir 12.

Sprendimas. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atsakymas: 7 1 / 2.

Kaip matote iš ankstesnio pavyzdžio, gautą rezultatą reikėjo sumažinti ir neteisingą trupmeninę išraišką paversti mišriu skaičiumi.

Be to, trupmenų dauginimas taip pat taikomas ieškant mišrios formos skaičiaus ir natūralaus koeficiento sandaugos. Norėdami padauginti šiuos du skaičius, sveikąją mišraus koeficiento dalį turėtumėte padauginti iš skaičiaus, skaitiklį padauginti iš tos pačios vertės, o vardiklį palikti nepakeistą. Jei reikia, turite kiek įmanoma supaprastinti rezultatą.

Pavyzdys. Raskite 9 5/6 ir 9 sandaugą.

Sprendimas. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Atsakymas: 88 1 / 2.

Daugyba iš koeficientų 10, 100, 1000 arba 0,1; 0,01; 0,001

Ši taisyklė išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, 10 000 ir kt., kablelį reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų simbolių, kiek daugiklyje po vieneto yra nulių.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 0,065 ir 1000.

Sprendimas. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atsakymas: 65.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 3,9 ir 1000.

Sprendimas. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Atsakymas: 3900.

Jei reikia padauginti natūralųjį skaičių ir 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ir tt, gautame sandaugoje kablelį turėtumėte perkelti į kairę tiek skaitmenų simbolių, kiek nulių yra prieš vieną. Jei reikia, prieš natūralųjį skaičių rašomas pakankamas nulių skaičius.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 56 ir 0,01.

Sprendimas. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atsakymas: 0,56.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4 ir 0,001.

Sprendimas. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atsakymas: 0,004.

Taigi, ieškant įvairių trupmenų sandaugos neturėtų kilti sunkumų, išskyrus galbūt rezultato apskaičiavimą; Tokiu atveju jūs tiesiog negalite išsiversti be skaičiuoklės.

Pamokos turinys

Sudėjus trupmenas su tais pačiais vardikliais

Trupmenų pridėjimas yra dviejų tipų:

Sudėjus trupmenas su tais pačiais vardikliais
Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Pradėkime nuo trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius, o vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Sudedame skaitiklius, o vardiklį paliekame nepakeistą:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:

2 pavyzdys Pridėkite trupmenas ir .

Atsakymas yra neteisinga trupmena. Jei užduotis baigiasi, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą joje esančią dalį. Mūsų atveju sveikoji dalis paskirstoma lengvai - du padalinti iš dviejų yra lygūs vienetui:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picų, gausite vieną visą picą:

3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .

Dar kartą pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picų, gausite picas:

4 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei pridėsite picų į picą ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.

Kaip matote, sudėti trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra sunku. Pakanka suprasti šias taisykles:

Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius, o vardiklį palikti nepakeistą;

Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais

Dabar sužinosime, kaip pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas tų trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.

Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.

Tačiau trupmenų negalima sudėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien mes apsvarstysime tik vieną iš jų, nes likusieji metodai pradedančiajam gali atrodyti sudėtingi.

Šio metodo esmė slypi tame, kad ieškomas pirmasis (LCM) iš abiejų trupmenų vardikų. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antrasis papildomas koeficientas.

Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.

1 pavyzdys. Sudėkite frakcijas ir

Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6

LCM (2 ir 3) = 6

Dabar grįžkite į trupmenas ir . Pirmiausia LCM padalijame iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gauname pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.

Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas veiksnys. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, virš trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir virš jos užrašome rastą papildomą koeficientą:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.

Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas veiksnys. Rašome į antrąją trupmeną. Vėlgi, virš antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir virš jos užrašome rastą papildomą koeficientą:

Dabar esame pasiruošę pridėti. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:

Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį iki galo:

Taip pavyzdys baigiasi. Pridėti pasirodo.

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei į picą dedate picas, gausite vieną visą picą ir dar šeštadalį picos:

Trupmenų sumažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Suvedę trupmenas ir į bendrą vardiklį, gauname trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tomis pačiomis picos riekelėmis. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš šešių). Sudėjus šias dalis gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena neteisinga, todėl joje paryškinome sveikąją dalį. Rezultatas buvo (viena visa pica ir kita šešta pica).

Atkreipkite dėmesį, kad mes dažėme pateiktas pavyzdys per daug detaliai. IN švietimo įstaigų nėra įprasta rašyti taip išsamiai. Turite sugebėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų jų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti papildomus veiksnius, rastus pagal jūsų skaitiklius ir vardiklius. Būdami mokykloje turėtume parašyti šį pavyzdį taip:

Bet taip pat yra nugaros pusė medaliais. Jei pirmuose matematikos studijų etapuose išsamios pastabos nepadaromos, tada yra tokie klausimai „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.

Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:

Raskite trupmenų vardiklių LCM;
Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą daugiklį kiekvienai trupmenai;
Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
Jei atsakymas pasirodė netinkama trupmena, pasirinkite visą jo dalį;

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę .

Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.

1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM

Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4

2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą daugiklį kiekvienai trupmenai

Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį užrašome ant pirmosios trupmenos:

Dabar LCM padaliname iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gavome antrą papildomą koeficientą 4. Užrašome ant antrosios trupmenos:

Dabar LCM padaliname iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Gavome trečią papildomą koeficientą 3. Užrašome ant trečiosios trupmenos:

3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš papildomų koeficientų

Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš papildomų faktorių:

4 veiksmas. Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias frakcijas. Pridėti:

Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.

5 veiksmas. Jei atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena, tada jame pasirinkite visą dalį

Mūsų atsakymas yra netinkama trupmena. Turime išskirti visą jos dalį. Mes pabrėžiame:

Gavau atsakymą

Trupmenų su tais pačiais vardikliais atėmimas

Yra du trupmenos atimties tipai:

Trupmenų su tais pačiais vardikliais atėmimas
Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pirma, išmokime atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti tą patį.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti nepakeistą. Padarykime tai:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę.

Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:

Šį pavyzdį galima lengvai suprasti, jei galvojame apie picą, padalytą į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:

3 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:

Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:

Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
Jei atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena, tuomet turite pasirinkti visą dalį.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas

Pavyzdžiui, trupmeną galima atimti iš trupmenos, nes šios trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Tačiau trupmenos negalima atimti iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.

Bendras vardiklis randamas pagal tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas ant pirmosios trupmenos. Panašiai LCM padalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas ant antrosios trupmenos.

Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.

1 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę:

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį.

Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12

LCM (3 ir 4) = 12

Dabar grįžkime prie trupmenų ir

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalijame LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Ant pirmosios trupmenos užrašome keturis:

Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trigubą:

Dabar mes visi pasiruošę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį iki galo:

Gavau atsakymą

Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami paveikslėlį. Jei iš picos pjaustysite picas, gausite picas.

Tai yra išsami sprendimo versija. Būdami mokykloje šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:

Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Suvedę šias trupmenas į bendrą vardiklį, gauname trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į tas pačias trupmenas (sumažintos iki to paties vardiklio):

Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių nupjaudami tris gabalus, iš dvylikos gauname penkis gabalus. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia turite jas suvesti į tą patį (bendrą) vardiklį.

Raskite šių trupmenų vardiklių LCM.

Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalijame LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.

Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. Padalinkite 30 iš 10, gausime pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome ant pirmosios trupmenos:

Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 30 iš 3, gausime antrą papildomą koeficientą 10. Jį užrašome ant antrosios trupmenos:

Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Užrašome ant trečiosios trupmenos:

Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:

Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.

Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:

Atsakymas pasirodė teisinga trupmena, ir atrodo, kad viskas mums tinka, bet tai per sudėtinga ir negražu. Turėtume tai palengvinti. Ką galima padaryti? Galite sumažinti šią dalį.

Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (gcd) skaičių 20 ir 30.

Taigi, randame skaičių 20 ir 30 GCD:

Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš rasto GCD, tai yra iš 10

Gavau atsakymą

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus

Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, reikia padauginti nurodytos trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus, o vardiklį palikti tą patį.

1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1

Įrašas gali būti suprantamas kaip trunkantis pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei valgysite picą 1 kartą, gausite picą

Iš daugybos dėsnių žinome, kad jei daugiklis ir daugiklis bus sukeisti vietomis, sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:

Šį įrašą galima suprasti kaip pusę vieneto. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4

Atsakymas yra neteisinga trupmena. Paimkime visą jo dalį:

Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei valgysite picas 4 kartus, gausite dvi visas picas.

Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį vietomis, gausime išraišką. Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:

Trupmenų daugyba

Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, turite pasirinkti visą dalį.

1 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę.

Gavau atsakymą. Pageidautina šią dalį sumažinti. Frakcija gali būti sumažinta 2. Tada galutinis tirpalas bus tokios formos:

Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:

Kaip iš šios pusės paimti du trečdalius? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:

Ir paimkite du iš šių trijų dalių:

Gausime picos. Prisiminkite, kaip atrodo pica, padalinta į tris dalis:

Vienas gabalas iš šios picos ir dvi griežinėliai, kuriuos paėmėme, bus vienodo dydžio:

Kitaip tariant, mes kalbame apie tą patį picos dydį. Todėl išraiškos reikšmė yra

2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas yra neteisinga trupmena. Paimkime visą jo dalį:

3 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę

Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:

Atsakymas pasirodė teisinga trupmena, bet bus gerai, jei ji bus sumažinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausios bendras daliklis(gcd) skaičiai 105 ir 450.

Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 GCD:

Dabar rasto atsakymo į GCD skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 15

Sveikojo skaičiaus atvaizdavimas kaip trupmena

Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Iš to penki nepakeis savo reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinote, yra lygi penkiems:

Atvirkštiniai skaičiai

Dabar mes susipažinsime su įdomi tema matematikoje. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.

Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša suteikia vienetą.

Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a numerį 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:

Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 suteikia vienetą.

Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, gali. Pavaizduokime penkis kaip trupmeną:

Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš savęs, tik apverstą:

Koks bus to rezultatas? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:

Tai reiškia, kad skaičius 5 yra atvirkštinis skaičius, nes 5 padauginus iš vieneto, gaunamas vienas.

Abipusį skaičių taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.

Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, pakanka jį apversti.

Trupmenos dalyba iš skaičiaus

Tarkime, kad turime pusę picos:

Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picų gaus kiekvienas?

Matyti, kad padalinus pusę picos gavosi du vienodi gabalėliai, kurių kiekvienas sudaro po picą. Taigi visi gauna picą.

Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant reciprokines vertes. Atvirkštiniai skaičiai leidžia dalybas pakeisti daugyba.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti šią trupmeną iš daliklio atvirkštinės vertės.

Pagal šią taisyklę užrašysime savo pusės picos padalijimą į dvi dalis.

Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dividendas yra trupmena, o daliklis yra 2.

Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Daliklio 2 atvirkštinė vertė yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš

Trupmenų daugyba ir dalyba.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Pavyzdžiui:

Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia čia...

Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:

Pavyzdžiui:

Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:

Kaip šią trupmeną padaryti tinkamą formą? Taip, labai lengva! Naudokite padalijimą iš dviejų taškų:

Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):

Antroje (išraiška dešinėje):

Jausti skirtumą? 4 ir 1/9!

Kokia yra padalijimo tvarka? Arba skliausteliuose, arba (kaip čia) horizontalių brūkšnių ilgis. Ugdykite akį. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:

tada dalyti-dauginti tvarka, iš kairės į dešinę!

Ir dar vienas labai paprastas ir svarbus triukas. Veiksmuose su laipsniais tai jums pravers! Padalinkime vienetą iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:

Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.

Tai visi veiksmai su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau klaidų yra daugiau nei pakankamai. Įsidėmėkite praktinius patarimus, ir jų (klaidų) bus mažiau!

Praktiniai patarimai:

2. Pavyzdžiuose su skirtingų tipų trupmenomis – pereikite prie paprastųjų trupmenų.

3. Sumažiname visas trupmenas iki galo.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).

5. Vienetą mintyse padalijame į trupmeną, tiesiog trupmeną apversdami.

Prisiminkite teisingą atsakymą gautas iš antro (ypač trečio) karto – nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.

Apskaičiuoti:

Ar nusprendei?

Ieškote atsakymų, atitinkančių jūsų. Specialiai juos surašiau netvarkoje, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, užrašyti kabliataškiu.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

O dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko - džiaugiuosi už jus! Elementarūs skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...

Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet tai išsprendžiamas Problemos.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Praėjusį kartą mokėmės sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausias momentas tuose veiksmuose buvo trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį.

Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar lengvesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirmiausia apsvarstykite paprasčiausią atvejį, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskiros sveikojo skaičiaus dalies.

Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.

Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ sekundės.

Pavadinimas:

Pagal apibrėžimą turime:

Trupmenų su sveikąja dalimi ir neigiamomis trupmenomis dauginimas

Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.

Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje ar prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos ribų arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:

Plius kartus minusas duoda minusą;
Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Minusus braukiame poromis, kol jie visiškai išnyksta. Kraštutiniu atveju gali išlikti vienas minusas – tas, kuris nerado atitikmens;
Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nėra perbrauktas, nes jis nerado poros, išimame jį iš daugybos ribų. Gaunate neigiamą trupmeną.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada minusus išimame už daugybos ribų. Tai, kas lieka, dauginama pagal įprastas taisykles. Mes gauname:

Taip pat atkreipkite dėmesį į neigiamus skaičius: padauginus jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.

Dalių mažinimas skrydžio metu

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Pagal apibrėžimą turime:

Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.

Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vienetai liko savo vietose, kurių, paprastai kalbant, galima ir praleisti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.

Tačiau jokiu būdu nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:

Jūs negalite to padaryti!

Klaida atsiranda dėl to, kad pridedant trupmeną, trupmenos skaitiklyje atsiranda suma, o ne skaičių sandauga. Todėl neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes ši savybė konkrečiai susijusi su skaičių daugyba.

Tiesiog nėra jokios kitos priežasties mažinti trupmenas, todėl teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip: