Natūralusis 0 logaritmas yra lygus. Logaritmas

Kas yra logaritmas?

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač – lygtys su logaritmais.

Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netiki? gerai. Dabar kokias 10–20 minučių jūs:

1. Suprask kas yra logaritmas.

2. Išmokite išspręsti visą eksponentinių lygčių klasę. Net jei apie juos negirdėjote.

3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.

Be to, tam jums reikės tik žinoti daugybos lentelę ir tai, kaip skaičius pakeliamas iki laipsnio ...

Jaučiu, kad abejoji... Na, laikykis! Pirmyn!

Pirmiausia mintyse išspręskite šią lygtį:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte skaičių b.

Jei tada .

Logaritmas yra labai didelis svarbus matematinis dydis, kadangi logaritminis skaičiavimas leidžia ne tik išspręsti eksponentinės lygtys, bet ir operuoti su rodikliais, diferencijuoti eksponencines ir logaritmines funkcijas, jas integruoti ir sudaryti priimtinesnę skaičiuoti formą.

Susisiekus su

Visos logaritmų savybės yra tiesiogiai susijusios su savybėmis eksponentinės funkcijos. Pavyzdžiui, tai, kad reiškia kad:

Pažymėtina, kad sprendžiant konkrečias problemas logaritmų savybės gali būti svarbesnės ir naudingesnės nei darbo su galiomis taisyklės.

Štai keletas tapatybių:

Čia yra pagrindinės algebrinės išraiškos:

;

.

Dėmesio! gali egzistuoti tik esant x>0, x≠1, y>0.

Pabandykime suprasti klausimą, kas yra natūralūs logaritmai. Atskiras domėjimasis matematika atstovauja du tipus- pirmasis turi skaičių "10" prie pagrindo ir vadinamas " dešimtainis logaritmas“. Antrasis vadinamas natūraliu. Natūralaus logaritmo pagrindas yra skaičius e. Šiame straipsnyje mes išsamiai kalbėsime apie jį.

Pavadinimai:

• lg x - dešimtainis;
• ln x - natūralus.

Naudodami tapatybę matome, kad ln e = 1, taip pat kad lg 10 = 1.

natūralaus žurnalo grafikas

Natūralaus logaritmo grafiką sudarome standartiniu klasikiniu taškais. Jei norite, galite patikrinti, ar mes teisingai sukuriame funkciją, išnagrinėję funkciją. Tačiau prasminga išmokti jį sukurti „rankiniu būdu“, kad žinotumėte, kaip teisingai apskaičiuoti logaritmą.

Funkcija: y = log x. Parašykime taškų, per kuriuos eis grafikas, lentelę:

Paaiškinkime, kodėl pasirinkome tokias argumento x reikšmes. Viskas priklauso nuo tapatybės: Natūralaus logaritmo atveju ši tapatybė atrodys taip:

Patogumui galime paimti penkis atskaitos taškus:

;

;

.

;

.

Taigi natūralių logaritmų skaičiavimas yra gana paprasta užduotis, be to, supaprastina operacijų su laipsniais skaičiavimą, paverčiant juos į normalus dauginimas.

Sukūrę grafiką taškais, gauname apytikslį grafiką:

Natūralaus logaritmo sritis (ty visos galiojančios X argumento reikšmės) yra visi skaičiai, didesni už nulį.

Dėmesio! Natūralaus logaritmo apibrėžimo sritis apima tik teigiami skaičiai! Apimtis neapima x=0. Tai neįmanoma remiantis logaritmo egzistavimo sąlygomis.

Reikšmių diapazonas (ty visos galiojančios funkcijos y = ln x reikšmės) yra visi skaičiai intervale .

natūralaus žurnalo limitas

Studijuojant grafiką kyla klausimas – kaip elgiasi funkcija, kai y<0.

Akivaizdu, kad funkcijos grafikas linkęs kirsti y ašį, bet negalės to padaryti, nes x natūralusis logaritmas<0 не существует.

Natūrali riba žurnalas galima parašyti taip:

Logaritmo pagrindo keitimo formulė

Susitvarkyti su natūraliu logaritmu yra daug lengviau nei su logaritmu, kurio pagrindas yra savavališkas. Štai kodėl mes stengsimės išmokti bet kurį logaritmą sumažinti iki natūraliojo arba išreikšti jį savavališkai natūraliais logaritmais.

Pradėkime nuo logaritminės tapatybės:

Tada bet koks skaičius arba kintamasis y gali būti pavaizduotas kaip:

kur x yra bet koks skaičius (teigiamas pagal logaritmo savybes).

Ši išraiška gali būti logaritmizuota iš abiejų pusių. Padarykime tai su savavališka baze z:

Panaudokime savybę (tik vietoj "su" turime posakį):

Iš čia gauname universalią formulę:

.

Visų pirma, jei z = e, tada:

.

Mums pavyko pavaizduoti logaritmą į savavališką bazę per dviejų natūralių logaritmų santykį.

Mes sprendžiame problemas

Norėdami geriau naršyti natūraliuose logaritmuose, apsvarstykite kelių problemų pavyzdžius.

1 užduotis. Būtina išspręsti lygtį ln x = 3.

Sprendimas: Naudodami logaritmo apibrėžimą: jei , tada , gauname:

2 užduotis. Išspręskite lygtį (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Sprendimas: Naudodami logaritmo apibrėžimą: jei , tada , gauname:

.

Dar kartą taikome logaritmo apibrėžimą:

.

Taigi:

.

Galite apytiksliai apskaičiuoti atsakymą arba palikti jį šioje formoje.

3 užduotis. Išspręskite lygtį.

Sprendimas: Pakeiskime: t = ln x. Tada lygtis bus tokia:

.

Turime kvadratinę lygtį. Raskime jo diskriminatorių:

Pirmoji lygties šaknis:

.

Antroji lygties šaknis:

.

Prisimindami, kad atlikome pakeitimą t = ln x, gauname:

Statistikoje ir tikimybių teorijoje logaritminiai dydžiai yra labai dažni. Tai nenuostabu, nes skaičius e – dažnai atspindi eksponentinių reikšmių augimo tempą.

Informatikos moksle, programavime ir kompiuterių teorijoje logaritmai yra gana dažni, pavyzdžiui, norint atmintyje saugoti N bitų.

Fraktalų ir matmenų teorijose logaritmai naudojami nuolat, nes tik jų pagalba nustatomi fraktalų matmenys.

Mechanikoje ir fizikoje nėra skyriaus, kuriame nebūtų naudojami logaritmai. Barometrinis skirstinys, visi statistinės termodinamikos principai, Ciolkovskio lygtis ir panašiai yra procesai, kuriuos galima aprašyti tik matematiškai naudojant logaritmus.

Chemijoje logaritmas naudojamas Nernsto lygtyse, redokso procesų aprašymuose.

Nuostabu, kad net muzikoje, norint sužinoti oktavos dalių skaičių, naudojami logaritmai.

Natūralusis logaritmas Funkcija y=ln x jos savybės

Natūralaus logaritmo pagrindinės savybės įrodymas

dažnai paimkite skaičių e = 2,718281828 . Logaritmai šioje bazėje vadinami natūralus. Atliekant skaičiavimus natūraliais logaritmais, įprasta operuoti su ženklu ln, bet ne žurnalas; o skaičius 2,718281828 , apibrėžiantys pagrindą, nenurodyti.

Kitaip tariant, formuluotė atrodys taip: natūralusis logaritmas numeriai X yra eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas e, Gauti x.

Taigi, ln(7 389...)= 2, nes e 2 =7,389... . Paties skaičiaus natūralusis logaritmas e= 1, nes e 1 =e, o vienybės natūralusis logaritmas lygus nuliui, nes e 0 = 1.

Pats skaičius e apibrėžia monotoninės sekos ribą

tai paskaičiavo e = 2,7182818284... .

Gana dažnai, norint užfiksuoti numerį atmintyje, reikiamo skaičiaus skaitmenys susiejami su kokia nors neįvykusia data. Pirmųjų devynių skaičiaus skaitmenų įsiminimo greitis e po kablelio padidės, jei pastebėsite, kad 1828 m. yra Levo Tolstojaus gimimo metai!

Iki šiol yra gana išsamios natūralių logaritmų lentelės.

natūralaus žurnalo grafikas(funkcijos y=ln x) yra rodiklio, kaip veidrodinio atvaizdo tiesės atžvilgiu, brėžinio pasekmė y = x ir atrodo taip:

Natūralųjį logaritmą galima rasti kiekvienam teigiamam realiajam skaičiui a kaip plotas po kreive y = 1/x iš 1 prieš a.

Šios formuluotės elementarumas, kuris dera su daugeliu kitų formulių, kuriose dalyvauja natūralusis logaritmas, ir buvo pavadinimo „natūralus“ susidarymo priežastis.

Jei analizuosime natūralusis logaritmas, kaip tikroji tikrojo kintamojo funkcija, tada jis veikia atvirkštinė funkcijaį eksponentinę funkciją, kuri redukuoja iki tapatybių:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Analogiškai su visais logaritmais natūralusis logaritmas paverčia daugybą į sudėjimą, o padalijimą į atimtį:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmą galima rasti kiekvienai teigiamai bazei, kuri nėra lygi vienetui, ne tik už e, tačiau kitų bazių logaritmai nuo natūraliojo logaritmo skiriasi tik pastoviu koeficientu ir paprastai apibrėžiami natūraliojo logaritmo požiūriu.

Išanalizavęs natūralaus žurnalo grafikas, gauname, kad jis egzistuoja teigiamoms kintamojo reikšmėms x. Jis monotoniškai didėja savo apibrėžimo srityje.

At x → 0 natūraliojo logaritmo riba yra minus begalybė ( -∞ ).At x → +∞ natūralaus logaritmo riba yra plius begalybė ( + ∞ ). Laisvėje x logaritmas didėja gana lėtai. Bet kokia galios funkcija x a su teigiamu eksponentu a didėja greičiau nei logaritmas. Natūralusis logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl jis neturi ekstremalių.

Naudojimas natūralūs logaritmai labai racionalus aukštosios matematikos ištraukoje. Taigi logaritmo naudojimas yra patogus ieškant atsakymo į lygtis, kuriose nežinomieji rodomi kaip eksponentas. Natūralių logaritmų naudojimas skaičiavimuose leidžia labai palengvinti daugybę matematinių formulių. baziniai logaritmai e dalyvauja sprendžiant daug fizinių problemų ir natūraliai įtraukiami į atskirų cheminių, biologinių ir kitų procesų matematinį aprašymą. Taigi logaritmai naudojami skilimo konstantai apskaičiuoti žinomam pusinės eliminacijos laikui arba skilimo laikui apskaičiuoti sprendžiant radioaktyvumo problemas. Jie vaidina pagrindinį vaidmenį daugelyje matematikos ir praktinių mokslų skyrių, jie naudojami finansų srityje sprendžiant daugybę problemų, įskaitant sudėtinių palūkanų skaičiavimą.

Pamoka ir pristatymas temomis: "Natūralūs logaritmai. Natūralaus logaritmo pagrindas. Natūralaus skaičiaus logaritmas"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 11 klasei
Interaktyvus vadovas 9-11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvus vadovas 10-11 klasėms „Logaritmai“

Kas yra natūralusis logaritmas

Vaikinai, praėjusioje pamokoje išmokome naują, ypatingą numerį - e. Šiandien mes ir toliau dirbsime su šiuo numeriu.
Mes studijavome logaritmus ir žinome, kad logaritmo bazė gali būti skaičių, didesnių už 0, aibė. Šiandien taip pat nagrinėsime logaritmą, kuris remiasi skaičiumi e. Toks logaritmas paprastai vadinamas natūraliuoju logaritmu. . Jis turi savo žymėjimą: $\ln(n)$ yra natūralusis logaritmas. Šis žymėjimas atitinka: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentinės ir logaritminės funkcijos yra atvirkštinės, tada natūralusis logaritmas yra atvirkštinė funkcijai: $y=e^x$.
Atvirkštinės funkcijos yra simetriškos tiesės $y=x$ atžvilgiu.
Nubraižykime natūralųjį logaritmą brėždami eksponentinę funkciją tiesės $y=x$ atžvilgiu.

Verta pažymėti, kad funkcijos $y=e^x$ grafiko liestinės nuolydis taške (0;1) yra 45°. Tada natūraliojo logaritmo grafiko liestinės nuolydis taške (1; 0) taip pat bus lygus 45°. Abi šios liestinės bus lygiagrečios tiesei $y=x$. Nubraižykime liestinės:

Funkcijos $y=\ln(x)$ savybės

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nėra nei lyginis, nei nelyginis.
3. Padidėja visoje apibrėžimo srityje.
4. Neribojama iš viršaus, neribojama iš apačios.
5. Nėra didžiausios vertės, nėra minimalios vertės.
6. Nepertraukiamas.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Išgaubtas aukštyn.
9. Visur skiriasi.

Aukštosios matematikos kurse įrodyta, kad atvirkštinės funkcijos išvestinė yra duotosios funkcijos išvestinės atvirkštinė vertė.
Nelabai prasminga gilintis į įrodymą, tiesiog parašykime formulę: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Pavyzdys.
Apskaičiuokite funkcijos išvestinės reikšmę: $y=\ln(2x-7)$ taške $x=4$.
Sprendimas.
Apskritai mūsų funkcija vaizduojama funkcija $y=f(kx+m)$, galime skaičiuoti tokių funkcijų išvestines.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Apskaičiuokime išvestinės reikšmę reikiamame taške: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Atsakymas: 2.

Pavyzdys.
Nubrėžkite funkcijos $y=ln(x)$ grafiko liestinę taške $x=e$.
Sprendimas.
Gerai prisimename funkcijos grafiko liestinės lygtį taške $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Paeiliui apskaičiuokime reikiamas vertes.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Liestinės lygtis taške $x=e$ yra funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Nubraižykime natūralųjį logaritmą ir liestinę.

Pavyzdys.
Ištirkite monotoniškumo ir ekstremalumo funkciją: $y=x^6-6*ln(x)$.
Sprendimas.
Funkcijos $D(y)=(0;+∞)$ sritis.
Raskite pateiktos funkcijos išvestinę:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Išvestinė egzistuoja visiems x iš apibrėžimo srities, tada nėra kritinių taškų. Raskime stacionarius taškus:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6 = 1$.
$x=±1$.
Taškas $х=-1$ nepriklauso apibrėžimo sričiai. Tada turime vieną stacionarų tašką $х=1$. Raskite didėjimo ir mažėjimo intervalus:

Taškas $x=1$ yra mažiausias taškas, tada $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Atsakymas: Funkcija mažėja atkarpoje (0;1], funkcija didėja spindulyje $)