namai › Vėsinimo sistema › Logaritminis skaičiaus vaizdavimas. Logaritmas

Logaritminis skaičiaus vaizdavimas. Logaritmas

b (b > 0) logaritmas iki a bazės (a > 0, a ≠ 1) yra eksponentas, iki kurio reikia padidinti skaičių a, kad gautumėte b.

10 bazinis b logaritmas gali būti parašytas kaip log(b), o logaritmas iki pagrindo e (natūralus logaritmas) - ln(b).

Dažnai naudojamas sprendžiant logaritmų problemas:

Logaritmų savybės

Yra keturi pagrindiniai logaritmų savybės.

Tegul a > 0, a ≠ 1, x > 0 ir y > 0.

Savybė 1. Produkto logaritmas

Produkto logaritmas yra lygus logaritmų sumai:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Savybė 2. Dalinio logaritmas

Dalinio logaritmas yra lygus logaritmų skirtumui:

log a (x / y) = log a x – log a y

Savybė 3. Laipsnio logaritmas

Laipsnio logaritmas yra lygus laipsnio ir logaritmo sandaugai:

Jei logaritmo bazė yra eksponente, taikoma kita formulė:

Savybė 4. Šaknies logaritmas

Šią savybę galima gauti iš laipsnio logaritmo savybės, nes n-ojo laipsnio šaknis yra lygi 1/n laipsniui:

Formulė, kaip pereiti nuo logaritmo vienoje bazėje prie logaritmo kitoje bazėje

Ši formulė taip pat dažnai naudojama sprendžiant įvairias logaritmų užduotis:

Ypatinga byla:

Logaritmų (nelygybių) palyginimas

Tarkime, kad turime 2 funkcijas f(x) ir g(x) pagal logaritmus su tais pačiais pagrindais ir tarp jų yra nelygybės ženklas:

Norėdami juos palyginti, pirmiausia turite pažvelgti į logaritmų bazę a:

Jei a > 0, tada f(x) > g(x) > 0
Jei 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kaip spręsti uždavinius naudojant logaritmus: pavyzdžiai

Užduotys su logaritmaisįtrauktas į NAUDOJIMĄ matematikoje 11 klasei 5 ir 7 užduotyje, užduotis su sprendimais galite rasti mūsų svetainės atitinkamuose skyriuose. Taip pat matematikos užduočių banke yra užduotys su logaritmais. Visus pavyzdžius rasite ieškodami svetainėje.

Kas yra logaritmas

Logaritmai visada buvo svarstomi sunki tema mokyklinėje matematikoje. Yra daug skirtingų logaritmo apibrėžimų, tačiau dėl tam tikrų priežasčių daugumoje vadovėlių naudojami patys sudėtingiausi ir apgailėtiniausi.

Logaritmą apibrėžsime paprastai ir aiškiai. Sukurkime tam lentelę:

Taigi, mes turime dviejų galių.

Logaritmai – savybės, formulės, kaip išspręsti

Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du į ketvirtą laipsnį. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.

Ir dabar - iš tikrųjų logaritmo apibrėžimas:

argumento x bazė a yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių x.

Žymėjimas: log a x \u003d b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b iš tikrųjų yra logaritmas.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Taip pat galėtų log 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.

Skaičiaus logaritmo pagal duotąją bazę radimo operacija vadinama. Taigi į savo lentelę įtraukime naują eilutę:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apmąstomi. Pavyzdžiui, pabandykite rasti log 2 5. Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika nurodo, kad logaritmas bus kažkur atkarpoje. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi neribotą laiką ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau palikti jį taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Iš pradžių daugelis žmonių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Kad išvengtumėte erzinančių nesusipratimų, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Prisiminti: logaritmas yra galia, kuriai reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Šią nuostabią taisyklę pasakoju savo mokiniams jau pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Kaip skaičiuoti logaritmus

Išsiaiškinom apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia pažymime, kad iš apibrėžimo išplaukia du svarbūs faktai:

Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionaliuoju rodikliu, iki kurio logaritmo apibrėžimas sumažinamas.
Pagrindas turi skirtis nuo vienybės, nes bet kurios galios vienetas vis tiek yra vienetas. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią reikia pakelti, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!

Tokie apribojimai vadinami galiojantis diapazonas(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiui b (logaritmo reikšmė) nėra jokių apribojimų. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 = −1, nes 0,5 = 2 -1 .

Tačiau dabar mes svarstome tik skaitines išraiškas, kur nereikia žinoti logaritmo ODZ. Į visus apribojimus problemų rengėjai jau atsižvelgė. Tačiau kai įsigalios logaritminės lygtys ir nelygybės, DHS reikalavimai taps privalomi. Iš tiesų, pagrinde ir argumente gali būti labai stiprios konstrukcijos, kurios nebūtinai atitinka aukščiau nurodytus apribojimus.

Dabar apsvarstykite bendra schema logaritminiai skaičiavimai. Jį sudaro trys žingsniai:

Išreikškite bazę a ir argumentą x kaip laipsnį, kurio mažiausia bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsikratyti dešimtainių trupmenų;
Išspręskite kintamojo b lygtį: x = a b ;
Gautas skaičius b bus atsakymas.

Tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matyti jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai aktualus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Panašiai ir su dešimtainėmis trupmenomis: jei iš karto jas konvertuosite į paprastas, klaidų bus daug kartų mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Gavo atsakymą: 2.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Gavau atsakymą: 3.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Gautas atsakymas: 0.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14

Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 nevaizduojamas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad į logaritmą neatsižvelgiama;
Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.

Maža pastaba paskutinis pavyzdys. Kaip įsitikinti, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Labai paprasta – tiesiog išskaidykite jį į pirminius veiksnius. Jei yra bent du skirtingi plėtimosi veiksniai, skaičius nėra tiksli galia.

Užduotis. Išsiaiškinkite, ar tikslios skaičiaus laipsniai yra: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 5 - vėlgi ne tikslus laipsnis;
14 \u003d 7 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad patys pirminiai skaičiai visada yra tikslios jų galios.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialų pavadinimą ir pavadinimą.

argumento x yra 10 bazinis logaritmas, t.y. galia, iki kurios reikia padidinti 10, kad gautume x. Pavadinimas: lgx.

Pavyzdžiui, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo šiol vadovėlyje pasirodžius tokiai frazei kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite, kad tai nėra rašybos klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau jei nesate įpratę prie tokio pavadinimo, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainėms dalims.

natūralusis logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo žymėjimą. Tam tikra prasme tai net svarbesnė nei dešimtainė. Tai apie apie natūralųjį logaritmą.

argumento x yra logaritmas į bazę e, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių e, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: lnx.

Daugelis paklaus: koks yra skaičius e? Tai neracionalus skaičius tiksli vertė neįmanoma rasti ir įrašyti. Štai tik pirmieji skaičiai:
e = 2,718281828459…

Mes nesigilinsime, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tiesiog atminkite, kad e yra pagrindas natūralusis logaritmas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai bet kurio racionalaus skaičiaus natūralusis logaritmas yra neracionalus. Žinoma, išskyrus vienybę: ln 1 = 0.

Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.

Taip pat žiūrėkite:

Logaritmas. Logaritmo savybės (logaritmo galia).

Kaip pavaizduoti skaičių kaip logaritmą?

Mes naudojame logaritmo apibrėžimą.

Logaritmas yra galios rodiklis, iki kurio reikia pakelti bazę, kad būtų gautas skaičius po logaritmo ženklu.

Taigi, norėdami pavaizduoti tam tikrą skaičių c kaip logaritmą bazei a, po logaritmo ženklu turite įdėti laipsnį su ta pačia baze kaip ir logaritmo pagrindas ir įrašyti šį skaičių c į eksponentą:

Logaritmo forma galite pavaizduoti absoliučiai bet kokį skaičių - teigiamą, neigiamą, sveikąjį, trupmeninį, racionalų, neracionalų:

Kad nepainiotumėte a ir c įtemptomis testo ar egzamino sąlygomis, galite prisiminti šią taisyklę:

tai, kas yra apačioje, nusileidžia, o kas aukščiau, kyla aukštyn.

Pavyzdžiui, skaičių 2 norite pateikti kaip logaritmą su 3 baze.

Turime du skaičius – 2 ir 3. Šie skaičiai yra bazė ir rodiklis, kuriuos rašysime po logaritmo ženklu. Belieka nustatyti, kuris iš šių skaičių turi būti užrašomas laipsnio pagrindu, o kuris - aukštyn, eksponente.

Bazė 3 logaritmo įraše yra apačioje, o tai reiškia, kad pavaizduodami dvikovą kaip logaritmą su 3 pagrindu, 3 taip pat įrašysime į bazę.

2 yra didesnis nei 3. Ir laipsnio žymėjime rašome du virš trijų, tai yra, eksponente:

Logaritmai. Pirmas lygis.

Logaritmai

logaritmas teigiamas skaičius b dėl priežasties a, Kur a > 0, a ≠ 1, yra eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas. a, Gauti b.

Logaritmo apibrėžimas trumpai galima parašyti taip:

Ši lygybė galioja b > 0, a > 0, a ≠ 1. Paprastai jis vadinamas logaritminė tapatybė.
Skaičiaus logaritmo radimo veiksmas vadinamas logaritmas.

Logaritmų savybės:

Produkto logaritmas:

Dalinio logaritmas iš dalybos:

Logaritmo pagrindo pakeitimas:

Laipsnio logaritmas:

šaknies logaritmas:

Logaritmas su galios baze:

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai.

Dešimtainis logaritmas skaičiai vadina to skaičiaus bazinį 10 logaritmą ir rašo lg b
natūralusis logaritmas skaičiai vadina šio skaičiaus logaritmą baze e, Kur e yra neracionalus skaičius, maždaug lygus 2,7. Tuo pat metu jie rašo ln b.

Kitos pastabos apie algebrą ir geometriją

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: log a x ir log a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės jums apskaičiuoti logaritminė išraiška net kai neatsižvelgiama į atskiras jo dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Remiantis šiuo faktu, daugelis bandomieji darbai. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Tai nesunku pastebėti paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mes turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Tegu pateiktas logaritmas log a x. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei.

Šiuo atveju formulės mums padės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad šio laipsnio skaičius b suteiktų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.

Kaip ir persikėlimo į naują bazę formulės, pagrindinės logaritminė tapatybė kartais tai yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra Vieningo valstybinio egzamino užduotis 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

log a a = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a iš tos bazės yra lygus vienetui.
log a 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Logaritminės išraiškos, pavyzdžių sprendimas. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime problemas, susijusias su logaritmų sprendimu. Užduotys kelia klausimą, kaip rasti išraiškos vertę. Pažymėtina, kad logaritmo sąvoka naudojama daugelyje užduočių ir labai svarbu suprasti jos reikšmę. Kalbant apie USE, logaritmas naudojamas sprendžiant lygtis, atliekant taikomąsias problemas, taip pat atliekant užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu.

Štai pavyzdžiai, kaip suprasti pačią logaritmo reikšmę:

Pagrindinė logaritminė tapatybė:

Logaritmų savybės, kurias visada turite atsiminti:

*Darbos logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.

* * *

* Dalinio (trupmens) logaritmas lygus faktorių logaritmų skirtumui.

* * *

* Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui.

* * *

*Perėjimas prie naujos bazės

* * *

Daugiau savybių:

* * *

Logaritmų skaičiavimas yra glaudžiai susijęs su eksponentų savybių naudojimu.

Mes išvardijame kai kuriuos iš jų:

Šios savybės esmė ta, kad perkeliant skaitiklį į vardiklį ir atvirkščiai, rodiklio ženklas pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui:

Šios savybės pasekmė:

* * *

Didinant laipsnį į laipsnį, bazė išlieka ta pati, tačiau rodikliai dauginami.

* * *

Kaip matote, pati logaritmo sąvoka yra paprasta. Svarbiausia, kad reikia geros praktikos, kuri suteikia tam tikrų įgūdžių. Žinoma, formulių išmanymas yra privalomas. Jei įgūdis konvertuoti elementarius logaritmus nesusiformuoja, tai sprendžiant paprastas užduotis galima nesunkiai suklysti.

Praktikuokite, pirmiausia išspręskite paprasčiausius matematikos kurso pavyzdžius, tada pereikite prie sudėtingesnių. Ateityje būtinai parodysiu, kaip sprendžiami „bražūs“ logaritmai, egzamine tokių nebus, bet jie įdomūs, nepraleiskite!

Tai viskas! Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Mes ir toliau studijuojame logaritmus. Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie logaritmų skaičiavimas, šis procesas vadinamas logaritmas. Pirma, mes nagrinėsime logaritmų skaičiavimą pagal apibrėžimą. Tada apsvarstykite, kaip logaritmų reikšmės randamos naudojant jų savybes. Po to mes apsistosime ties logaritmų skaičiavimu per iš pradžių pateiktas kitų logaritmų vertes. Galiausiai, išmokime naudotis logaritmų lentelėmis. Visa teorija pateikiama su pavyzdžiais su išsamiais sprendimais.

Puslapio naršymas.

Logaritmų skaičiavimas pagal apibrėžimą

Paprasčiausiais atvejais galima atlikti greitai ir nesunkiai logaritmo radimas pagal apibrėžimą. Pažvelkime atidžiau, kaip vyksta šis procesas.

Jo esmė yra pavaizduoti skaičių b forma a c , iš kur pagal logaritmo apibrėžimą skaičius c yra logaritmo reikšmė. Tai yra, pagal apibrėžimą logaritmo radimas atitinka tokią lygybių grandinę: log a b=log a a c =c .

Taigi, apskaičiuojant logaritmą pagal apibrėžimą, reikia rasti tokį skaičių c, kad a c \u003d b, o pats skaičius c yra norima logaritmo reikšmė.

Atsižvelgiant į ankstesnių pastraipų informaciją, kai skaičius po logaritmo ženklu yra pateiktas tam tikru logaritmo pagrindo laipsniu, tada galite iš karto nurodyti, kam logaritmas yra lygus - jis lygus eksponentui. Parodykime pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite log 2 2 −3 ir taip pat apskaičiuokite e 5,3 natūralųjį logaritmą.

Sprendimas.

Logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto pasakyti, kad log 2 2 −3 = −3 . Iš tiesų, skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei 2 iki –3 laipsnio.

Panašiai randame ir antrą logaritmą: lne 5.3 =5.3.

Atsakymas:

log 2 2 −3 = −3 ir lne 5,3 =5,3 .

Jei skaičius b, esantis po logaritmo ženklu, nenurodytas kaip logaritmo pagrindo galia, turite atidžiai apsvarstyti, ar įmanoma pateikti skaičių b a c forma. Dažnai šis vaizdavimas yra gana akivaizdus, ypač kai skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei iki 1, 2, arba 3, ...

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmus log 5 25 , ir .

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad 25=5 2 , tai leidžia apskaičiuoti pirmąjį logaritmą: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Mes pereiname prie antrojo logaritmo skaičiavimo. Skaičius gali būti pavaizduotas kaip 7 laipsnis: (jei reikia, žiūrėkite). Vadinasi, .

Trečiąjį logaritmą perrašykime tokia forma. Dabar jūs galite tai pamatyti , iš kur darome tokią išvadą . Todėl pagal logaritmo apibrėžimą .

Trumpai tariant, sprendimas gali būti parašytas taip:

Atsakymas:

log 5 25 = 2 , Ir .

Kai pakankamai didelis natūralusis skaičius yra po logaritmo ženklu, nepakenks jį išskaidyti į pirminius veiksnius. Dažnai padeda tokį skaičių pavaizduoti kaip tam tikrą logaritmo pagrindo laipsnį, taigi ir apskaičiuoti šį logaritmą pagal apibrėžimą.

Pavyzdys.

Raskite logaritmo reikšmę.

Sprendimas.

Kai kurios logaritmų savybės leidžia iš karto nurodyti logaritmų reikšmę. Šios savybės apima vieneto logaritmo savybę ir skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybę: log 1 1=log a a 0 =0 ir log a a=log a a 1 =1 . Tai yra, kai skaičius 1 arba skaičius a yra po logaritmo ženklu, lygus logaritmo pagrindui, tada šiais atvejais logaritmai yra atitinkamai 0 ir 1.

Pavyzdys.

Kokie yra logaritmai ir lg10?

Sprendimas.

Kadangi , tai išplaukia iš logaritmo apibrėžimo .

Antrajame pavyzdyje skaičius 10 po logaritmo ženklu sutampa su jo pagrindu, todėl dešimtainis dešimtainis logaritmas yra lygus vienetui, tai yra lg10=lg10 1 =1 .

Atsakymas:

IR lg10=1 .

Atkreipkite dėmesį, kad logaritmų skaičiavimas pagal apibrėžimą (kurį aptarėme ankstesnėje pastraipoje) reiškia, kad reikia naudoti lygybę log a a p =p , kuri yra viena iš logaritmų savybių.

Praktikoje, kai skaičius po logaritmo ženklu ir logaritmo pagrindas lengvai vaizduojami kaip kurio nors skaičiaus laipsnis, labai patogu naudoti formulę , kuris atitinka vieną iš logaritmų savybių. Apsvarstykite logaritmo radimo pavyzdį, iliustruojantį šios formulės naudojimą.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą .

Sprendimas.

Atsakymas:

Skaičiuojant taip pat naudojamos ir aukščiau nepaminėtos logaritmų savybės, tačiau apie tai kalbėsime tolesnėse pastraipose.

Rasti logaritmus pagal kitus žinomus logaritmus

Šioje pastraipoje pateikta informacija tęsia logaritmų savybių panaudojimo skaičiuojant temą. Tačiau čia pagrindinis skirtumas yra tas, kad logaritmų savybės naudojamos pirminiam logaritmui išreikšti kitu logaritmu, kurio reikšmė yra žinoma. Paimkime aiškumo pavyzdį. Tarkime, žinome, kad log 2 3≈1.584963 , tada galime rasti, pavyzdžiui, log 2 6, atlikdami nedidelę transformaciją naudodami logaritmo savybes: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Aukščiau pateiktame pavyzdyje mums pakako panaudoti sandaugos logaritmo savybę. Tačiau kur kas dažniau tenka naudoti platesnį logaritmų savybių arsenalą, norint apskaičiuoti pradinį logaritmą pagal duotus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą nuo 27 iki bazės 60, jei žinoma, kad log 60 2=a ir log 60 5=b .

Sprendimas.

Taigi turime rasti žurnalą 60 27 . Nesunku pastebėti, kad 27=3 3 , o pradinis logaritmas dėl laipsnio logaritmo savybės gali būti perrašytas kaip 3·log 60 3 .

Dabar pažiūrėkime, kaip log 60 3 gali būti išreikštas žinomais logaritmais. Skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybė leidžia parašyti lygybės log 60 60=1 . Kita vertus, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Taigi, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vadinasi, log 60 3=1–2 log 60 2–log 60 5=1–2 a–b.

Galiausiai apskaičiuojame pradinį logaritmą: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Atsakymas:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Atskirai verta paminėti perėjimo prie naujos formos logaritmo bazės formulės reikšmę . Tai leidžia pereiti nuo logaritmų su bet kuria baze prie logaritmų su konkrečia baze, kurių reikšmės yra žinomos arba jas galima rasti. Paprastai iš pradinio logaritmo, pagal perėjimo formulę, jie pereina prie logaritmų vienoje iš 2, e arba 10 bazių, nes šioms bazėms yra logaritmų lentelės, leidžiančios jas apskaičiuoti tam tikru tikslumu. Kitame skyriuje parodysime, kaip tai daroma.

Logaritmų lentelės, jų naudojimas

Norėdami apytiksliai apskaičiuoti logaritmų reikšmes, galite naudoti logaritmų lentelės. Dažniausiai naudojama 2 bazinių logaritmų lentelė, natūraliųjų logaritmų lentelė ir dešimtainė logaritmų lentelė. Dirbant dešimtainių skaičių sistema, patogu naudoti logaritmų lentelę, kad pagrįstų dešimtį. Su jo pagalba išmoksime rasti logaritmų reikšmes.

Pateikta lentelė leidžia dešimties tūkstantosios dalies tikslumu rasti skaičių dešimtainių logaritmų reikšmes nuo 1 000 iki 9 999 (su trimis skaitmenimis po kablelio). Bus analizuojamas logaritmo reikšmės radimo principas naudojant dešimtainių logaritmų lentelę konkretus pavyzdys- taip aiškiau. Raskime lg1,256 .

Dešimtainių logaritmų lentelės kairiajame stulpelyje randame pirmuosius du skaičiaus 1,256 skaitmenis, tai yra, randame 1,2 (šis skaičius aiškumo dėlei apvestas mėlynai). Trečiasis skaičiaus 1,256 skaitmuo (skaičius 5) randamas pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje kairėje nuo dvigubos eilutės (šis skaičius apibrėžiamas raudonai). Ketvirtasis pradinio skaičiaus 1,256 skaitmuo (skaičius 6) randamas pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje dešinėje nuo dvigubos eilutės (šis skaičius apibrėžiamas žaliai). Dabar skaičius randame logaritmų lentelės langeliuose pažymėtos eilutės ir pažymėtų stulpelių sankirtoje (šie skaičiai yra paryškinti oranžinė). Pažymėtų skaičių suma suteikia pageidaujamą dešimtainio logaritmo reikšmę iki ketvirtos dešimtosios dalies, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ar galima naudojant aukščiau pateiktą lentelę rasti skaičių, turinčių daugiau nei tris skaitmenis po kablelio, dešimtainių logaritmų reikšmes, taip pat viršijančias ribas nuo 1 iki 9,999? Taip tu gali. Parodykime, kaip tai daroma pavyzdžiu.

Apskaičiuokime lg102.76332 . Pirmiausia reikia parašyti numeris in Standartinė forma : 102.76332=1.0276332 10 2 . Po to mantisa turėtų būti suapvalinta iki trečio skaičiaus po kablelio 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, o pradinis dešimtainis logaritmas yra maždaug lygus gauto skaičiaus logaritmui, tai yra, imame lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Dabar pritaikykite logaritmo savybes: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028 + 2. Galiausiai pagal dešimtainių logaritmų lentelę randame logaritmo reikšmę lg1,028 lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Dėl to visas logaritmo skaičiavimo procesas atrodo taip: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Apibendrinant verta paminėti, kad naudodamiesi dešimtainių logaritmų lentele galite apskaičiuoti apytikslę bet kurio logaritmo vertę. Norėdami tai padaryti, pakanka naudoti perėjimo formulę, kad pereitumėte prie dešimtainių logaritmų, suraskite jų reikšmes lentelėje ir atlikite likusius skaičiavimus.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime log 2 3 . Pagal perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulę turime . Iš dešimtainių logaritmų lentelės randame lg3≈0,4771 ir lg2≈0,3010. Taigi, .

Bibliografija.

Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės užuomazgos: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigų 10-11 klasei.
Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).

Šiandien kalbėsime apie logaritminės formulės ir parodyk sprendimų pavyzdžiai.

Jie patys savaime reiškia sprendimų modelius pagal pagrindines logaritmų savybes. Prieš taikydami logaritmo formules sprendimui, pirmiausia primename visas savybes:

Dabar, remdamiesi šiomis formulėmis (savybėmis), parodome logaritmų sprendimo pavyzdžiai.

Logaritmų sprendimo pagal formules pavyzdžiai.

Logaritmas teigiamas skaičius b bazėje a (žymimas log a b) yra eksponentas, iki kurio a turi būti padidintas, kad būtų gautas b, kai b > 0, a > 0 ir 1.

Pagal apibrėžimą log a b = x, kuris yra ekvivalentas a x = b, taigi log a a x = x.

Logaritmai, pavyzdžiai:

log 2 8 = 3, nes 2 3 = 8

žurnalas 7 49 = 2, nes 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, nes 5 -1 = 1/5

Dešimtainis logaritmas yra paprastasis logaritmas, kurio pagrindas yra 10. Žymima lg.

log 10 100 = 2, nes 10 2 = 100

natūralusis logaritmas- taip pat įprastas logaritmo logaritmas, bet su baze e (e \u003d 2,71828 ... - neracionalus skaičius). Vadinamas kaip ln.

Pageidautina atsiminti logaritmų formules ar savybes, nes jų prireiks vėliau sprendžiant logaritmus, logaritmines lygtis ir nelygybes. Dar kartą panagrinėkime kiekvieną formulę su pavyzdžiais.

Pagrindinė logaritminė tapatybė
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Produkto logaritmas lygus logaritmų sumai
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Dalinio logaritmas lygus logaritmų skirtumui
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Logaritminio skaičiaus laipsnio ir logaritmo pagrindo savybės
Logaritmo skaičiaus eksponentas log a b m = mlog a b

Bazinis eksponentas logaritmo žurnalas a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

jei m = n, gauname log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Perėjimas prie naujo pagrindo
log a b = log c b / log c a,
jei c = b, gauname log b b = 1

tada log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kaip matote, logaritmų formulės nėra tokios sudėtingos, kaip atrodo. Dabar, apsvarstę logaritmų sprendimo pavyzdžius, galime pereiti prie logaritminių lygčių. Išsamiau apsvarstysime logaritminių lygčių sprendimo pavyzdžius straipsnyje: "". Nepraleisk!

Jei vis dar turite klausimų apie sprendimą, parašykite juos straipsnio komentaruose.

Pastaba: nusprendė įgyti kitos klasės išsilavinimą studijuoti užsienyje.

Šio straipsnio akcentas yra logaritmas. Čia pateiksime logaritmo apibrėžimą, parodysime priimtą žymėjimą, pateiksime logaritmų pavyzdžių, pakalbėsime apie natūraliuosius ir dešimtainius logaritmus. Po to apsvarstykite pagrindinę logaritminę tapatybę.

Puslapio naršymas.

Logaritmo apibrėžimas

Logaritmo sąvoka atsiranda sprendžiant uždavinį tam tikra prasme atvirkštinis, kai reikia rasti eksponentą iš žinomos laipsnio reikšmės ir žinomos bazės.

Bet užtenka preambulės, laikas atsakyti į klausimą „kas yra logaritmas“? Pateiksime tinkamą apibrėžimą.

Apibrėžimas.

B logaritmas iki a bazės, kur a>0, a≠1 ir b>0 yra rodiklis, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautumėte b.

Šiame etape pastebime, kad ištartas žodis „logaritmas“ turėtų iš karto iškelti du klausimus: „koks skaičius“ ir „kokiu pagrindu“. Kitaip tariant, logaritmo tiesiog nėra, o yra tik skaičiaus logaritmas tam tikroje bazėje.

Iš karto pristatysime logaritmo žymėjimas: skaičiaus b logaritmas bazei a paprastai žymimas log a b . Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo e ir logaritmas iki pagrindo 10 turi savo specialius žymėjimus atitinkamai lnb ir lgb, tai yra, jie rašo ne log e b , o lnb , o ne log 10 b , o lgb .

Dabar galite atsinešti:.
Ir įrašai nėra prasmės, nes pirmajame iš jų yra neigiamas skaičius po logaritmo ženklu, antrajame - neigiamas skaičius bazėje, o trečiajame - ir neigiamas skaičius po logaritmo ženklu, ir vienetas bazėje.

Dabar pakalbėkime apie logaritmų skaitymo taisyklės. Įrašo žurnalas a b skaitomas kaip "logaritmas iš b bazės a". Pavyzdžiui, log 2 3 yra logaritmas nuo trijų iki 2 bazės ir yra dviejų taškų dviejų trečdalių logaritmas iki bazės Kvadratinė šaknis iš penkių. Vadinamas logaritmas iki pagrindo e natūralusis logaritmas, o žymėjimas lnb skaitomas kaip "natūralus b logaritmas". Pavyzdžiui, ln7 yra natūralusis septynių logaritmas, ir mes jį skaitysime kaip natūralųjį pi logaritmą. 10 bazės logaritmas taip pat turi specialų pavadinimą - dešimtainis logaritmas, o žymėjimas lgb skaitomas kaip „dešimtainis logaritmas b“. Pavyzdžiui, lg1 yra dešimtainis vieneto logaritmas, o lg2.75 yra dviejų taškų septyniasdešimt penkių šimtųjų dalių dešimtainis logaritmas.

Atskirai verta pasilikti ties sąlygomis a>0, a≠1 ir b>0, kurioms esant pateikiamas logaritmo apibrėžimas. Paaiškinkime, iš kur atsiranda šie apribojimai. Tai padaryti mums padės formos lygybė, vadinama , kuri tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto logaritmo apibrėžimo.

Pradėkime nuo a≠1 . Kadangi vienas yra lygus vienetui bet kuriai laipsnei, tai lygybė gali būti teisinga tik b=1, bet log 1 1 gali būti bet koks realusis skaičius. Siekiant išvengti šios dviprasmybės, priimamas a≠1.

Pagrįskime sąlygos a>0 tikslingumą. Esant a=0, pagal logaritmo apibrėžimą turėtume lygybę , kuri įmanoma tik esant b=0 . Bet tada log 0 0 gali būti bet koks realusis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, nes nuo nulio iki bet kurios nulinės galios yra nulis. Šio dviprasmiškumo galima išvengti taikant sąlygą a≠0 . Ir už a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Galiausiai sąlyga b>0 išplaukia iš nelygybės a>0 , kadangi , o laipsnio reikšmė su teigiama baze a visada yra teigiama.

Baigdami šią pastraipą sakome, kad įgarsintas logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto nurodyti logaritmo reikšmę, kai skaičius po logaritmo ženklu yra tam tikras bazės laipsnis. Iš tiesų, logaritmo apibrėžimas leidžia teigti, kad jei b=a p , tai skaičiaus b logaritmas iki bazės a yra lygus p . Tai yra, lygybės log a a p =p yra teisinga. Pavyzdžiui, žinome, kad 2 3 = 8 , tada log 2 8 = 3 . Daugiau apie tai kalbėsime straipsnyje.

Populiarus kategorijoje: