Eksponentinė lygtis lygi nuliui. eksponentinės lygtys
Lygtys vadinamos eksponentinėmis, jei eksponente yra nežinomasis. Paprasčiausia eksponentinė lygtis turi tokią formą: a x \u003d a b, kur a> 0 ir 1, x yra nežinomas.
Pagrindinės laipsnių savybės, kurių pagalba transformuojamos eksponentinės lygtys: a>0, b>0.
Sprendžiant eksponentinės lygtys taip pat mėgaukitės šiomis savybėmis eksponentinė funkcija: y = a x , a > 0, a1:
Norėdami pateikti skaičių kaip laipsnį, naudokite bazę logaritminė tapatybė: b = , a > 0, a1, b > 0.
Užduotys ir testai tema "Eksponentinės lygtys"
- eksponentinės lygtys
Pamokos: 4 Užduotys: 21 Testas: 1
- eksponentinės lygtys - Svarbios temos kartojant matematikos egzaminą
Užduotys: 14
- Eksponentinių ir logaritminių lygčių sistemos - Eksponentinės ir logaritminės funkcijos 11 klasė
Pamokos: 1 Užduotys: 15 Testai: 1
- §2.1. Eksponentinių lygčių sprendimas
Pamokos: 1 Užduotys: 27
- §7 Eksponentinės ir logaritminės lygtys ir nelygybės - 5 skyrius. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos 10 klasė
Pamokos: 1 Užduotys: 17
Dėl sėkmingas sprendimas eksponentinės lygtys Turite žinoti pagrindines laipsnių savybes, eksponentinės funkcijos savybes, pagrindinę logaritminę tapatybę.
Sprendžiant eksponentines lygtis, naudojami du pagrindiniai metodai:
- perėjimas iš lygties a f(x) = a g(x) į lygtį f(x) = g(x);
- naujų linijų įvedimas.
Pavyzdžiai.
1. Lygtys redukuojant į paprasčiausią. Jie išsprendžiami pridedant abi lygties puses į laipsnį su ta pačia baze.
3x \u003d 9x - 2.
Sprendimas:
3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.
Atsakymas: 4.
2. Lygtys, išspręstos skliausteliuose bendrąjį koeficientą.
Sprendimas:
3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.
Atsakymas: 3.
3. Lygtys, išspręstos keičiant kintamąjį.
Sprendimas:
2 2x + 2 x - 12 = 0
Mes žymime 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = -4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Lygtis neturi sprendinių, nes 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.
Atsakymas:žurnalas 2 3.
4. Lygtys, turinčios laipsnius su dviem skirtingomis (viena į kitą neredukuojamomis) bazėmis.
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.
3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x–2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.
Atsakymas: 2.
5. Lygtys, kurios yra vienalytės a x ir b x atžvilgiu.
Bendra forma: .
9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .
Sprendimas:
3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Pažymėkite (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 m + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½. 
Atsakymas: log 3/2 2; - žurnalas 3/2 2.
Eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.
Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)
Kas nutiko eksponentinė lygtis? Tai lygtis, kurioje yra nežinomieji (x) ir išraiškos su jais rodikliai kai kurie laipsniai. Ir tik ten! Svarbu.
Štai kur tu eksponentinių lygčių pavyzdžiai:
3 x 2 x = 8 x + 3
Pastaba! Laipsnių pagrindu (žemiau) - tik skaičiai. IN rodikliai laipsniai (aukščiau) - daugybė išraiškų su x. Jei staiga lygtyje x atsiranda kur nors kitur nei indikatorius, pavyzdžiui:
tai bus lygtis mišrus tipas. Tokios lygtys neturi aiškių sprendimo taisyklių. Kol kas jų nesvarstysime. Čia mes susidorosime su eksponentinių lygčių sprendimas gryniausia forma.
Tiesą sakant, net grynos eksponentinės lygtys ne visada yra aiškiai išspręstos. Tačiau yra tam tikrų tipų eksponentinių lygčių, kurias galima ir reikia išspręsti. Tai yra rūšys, kurias mes apžvelgsime.
Paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimas.
Pradėkime nuo kažko labai paprasto. Pavyzdžiui:
Net ir be jokios teorijos, paprastu pasirinkimu aišku, kad x = 2. Nieko daugiau, tiesa!? Jokių kitų x vertės ritinių. O dabar pažvelkime į šios sudėtingos eksponentinės lygties sprendimą:
Ką mes padarėme? Mes, tiesą sakant, tiesiog išmetėme tas pačias apatines (trigubas). Visiškai išmestas. Ir, kas patinka, pataikykite!
Iš tiesų, jei eksponentinės lygties kairėje ir dešinėje yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu, šie skaičiai gali būti pašalinti ir lygūs eksponentams. Matematika leidžia. Belieka išspręsti daug paprastesnę lygtį. Tai gerai, tiesa?)
Tačiau prisiminkime ironiškai: pagrindus galite nuimti tik tada, kai baziniai numeriai kairėje ir dešinėje yra puikiai atskirti! Be jokių kaimynų ir koeficientų. Tarkime lygtyse:
2 x +2 x + 1 = 2 3 arba
Jūs negalite pašalinti dvigubų!
Na, mes įvaldėme svarbiausią dalyką. Kaip pereiti nuo piktų eksponentinių išraiškų prie paprastesnių lygčių.
– Štai tie laikai! - sakai tu. "Kas duos tokį primityvą ant kontrolinio ir egzaminų!?"
Priverstas sutikti. Niekas to nepadarys. Tačiau dabar žinote, kur kreiptis sprendžiant painius pavyzdžius. Būtina tai atsiminti, kai tas pats bazinis numeris yra kairėje - dešinėje. Tada viskas bus lengviau. Tiesą sakant, tai yra matematikos klasika. Mes paimame originalų pavyzdį ir paverčiame jį norimu mus protas. Žinoma, pagal matematikos taisykles.
Apsvarstykite pavyzdžius, kuriems reikia šiek tiek papildomų pastangų, kad juos būtų galima padaryti paprasčiausius. Paskambinkime jiems paprastos eksponentinės lygtys.
Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.
Sprendžiant eksponentines lygtis, pagrindinės taisyklės yra veiksmai su galiomis. Nežinant apie šiuos veiksmus niekas neveiks.
Prie veiksmų su laipsniais reikia pridėti asmeninį stebėjimą ir išradingumą. Ar mums reikia tų pačių bazinių skaičių? Taigi pavyzdyje jų ieškome aiškia arba užšifruota forma.
Pažiūrėkime, kaip tai daroma praktiškai?
Pateiksime pavyzdį:
2 2x - 8 x+1 = 0
Pirmas žvilgsnis į pagrindu. Jie... Jie skirtingi! Du ir aštuoni. Tačiau dar per anksti nusiminti. Laikas tai prisiminti
Du ir aštuoni yra laipsnio giminės.) Visiškai įmanoma užsirašyti:
8 x+1 = (2 3) x+1
Jei prisiminsime formulę iš veiksmų su galiomis:
(a n) m = a nm ,
paprastai veikia puikiai:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)
Originalus pavyzdys atrodo taip:
2 2x - 2 3 (x+1) = 0
Perkeliame 2 3 (x+1)į dešinę (niekas neatšaukė elementarių matematikos veiksmų!), gauname:
2 2 x \u003d 2 3 (x + 1)
Tai praktiškai viskas. Pagrindo pašalinimas:
Mes išsprendžiame šį monstrą ir gauname
Tai teisingas atsakymas.
Šiame pavyzdyje mums padėjo dviejų galių žinojimas. Mes nustatyta aštuntoje – užšifruotas dvikovas. Ši technika (bendrų bazių kodavimas skirtingais skaičiais) yra labai populiarus eksponentinių lygčių triukas! Taip, net logaritmais. Skaičiuose reikia mokėti atpažinti kitų skaičių galias. Tai labai svarbu sprendžiant eksponenlines lygtis.
Faktas yra tai, kad bet kokį skaičių padidinti iki bet kokios galios nėra problema. Padauginkite, kad ir ant popieriaus lapo, ir viskas. Pavyzdžiui, kiekvienas gali pakelti 3 iki penktos laipsnio. 243 pasirodys, jei žinote daugybos lentelę.) Tačiau eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia kelti ne iki laipsnio, o atvirkščiai ... koks skaičius, kokiu mastu slepiasi už skaičiaus 243, arba, tarkim, 343... Joks skaičiuotuvas čia nepadės.
Kai kurių skaičių galias reikia žinoti iš matymo, taip... Ar pasitreniruosime?
Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Atsakymai (žinoma, netvarkoje!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Atidžiau pažvelgę pamatysite keistą faktą. Atsakymų yra daugiau nei klausimų! Na, būna... Pavyzdžiui, 2 6 , 4 3 , 8 2 yra visi 64.
Tarkime, kad susipažinote su informacija apie pažintį su skaičiais.) Leiskite jums priminti, kad sprendžiant eksponenlines lygtis mes taikome visas matematinių žinių fondą. Įskaitant iš žemesnių ir vidurinių klasių. Tu ne iškart į vidurinę mokyklą, ar ne?
Pavyzdžiui, sprendžiant eksponentines lygtis labai dažnai padeda bendrojo koeficiento dėjimas iš skliaustų (sveiki 7 klasei!). Pažiūrėkime pavyzdį:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Ir vėl pirmas žvilgsnis – aikštelėje! Skirtingi laipsnių pagrindai... Trys ir devyni. Ir mes norime, kad jie būtų vienodi. Na, šiuo atveju noras yra gana įgyvendinamas!) Nes:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Pagal tas pačias taisykles veiksmams su laipsniais:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Puiku, galite parašyti:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Taigi, kas toliau!? Trijų negalima išmesti ... Aklavietė?
Visai ne. Prisimenant universaliausią ir galingiausią sprendimo taisyklę visi matematikos užduotys:
Jei nežinai, ką daryti, daryk, ką gali!
Pažiūrėk, viskas susiformuoja).
Kas yra šioje eksponentinėje lygtyje Gali daryti? Taip, kairėje pusėje tiesiogiai prašoma skliaustų! Bendras koeficientas 3 2x aiškiai tai rodo. Pabandykime, tada pamatysime:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Pavyzdys vis gerėja ir gerėja!
Primename, kad norint pašalinti bazes, reikia gryno laipsnio, be jokių koeficientų. Skaičius 70 mus trikdo. Taigi abi lygties puses padaliname iš 70, gauname:
Op-pa! Viskas buvo gerai!
Tai yra galutinis atsakymas.
Tačiau pasitaiko, kad išvažiuojama tuo pačiu pagrindu, tačiau jų likvidavimas – ne. Tai atsitinka kito tipo eksponentinėse lygtyse. Paimkime šį tipą.
Kintamojo keitimas sprendžiant eksponentines lygtis. Pavyzdžiai.
Išspręskime lygtį:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Pirma – kaip įprasta. Pereikime prie bazės. Į dvikovą.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Gauname lygtį:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Ir čia mes pakabinsime. Ankstesnės gudrybės neveiks, kad ir kaip pasuktumėte. Turėsime gauti iš kito galingo ir universalaus būdo arsenalo. Tai vadinama kintamasis pakeitimas.
Metodo esmė stebėtinai paprasta. Vietoj vienos sudėtingos piktogramos (mūsų atveju 2 x) rašome kitą, paprastesnę (pavyzdžiui, t). Toks, atrodytų, beprasmis pakeitimas veda prie nuostabių rezultatų!) Viskas tiesiog tampa aišku ir suprantama!
Taigi tegul
Tada 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Savo lygtyje visus laipsnius x pakeičiame t:
Na, išaušta?) Dar nepamiršote kvadratinių lygčių? Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:
Čia svarbiausia nesustoti, kaip atsitinka... Tai dar ne atsakymas, mums reikia x, o ne t. Grįžtame prie Xs, t.y. darant pakaitalą. Pirmiausia t 1:
Tai yra,
Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:
Hm... Kairė 2 x, dešinė 1... Kabliukas? Taip, visai ne! Pakanka prisiminti (iš veiksmų su laipsniais, taip ...), kad vienybė yra bet koks skaičių iki nulio. Bet koks. Ko jums reikės, mes įdėsime. Mums reikia dviejų. Priemonės:
Dabar viskas. Turi 2 šaknis:
Tai yra atsakymas.
At sprendžiant eksponentines lygtis pabaigoje kartais gaunama kokia nors nepatogi išraiška. Tipas:
Nuo septyneto dvivietis per paprastą laipsnį neveikia. Jie nėra giminaičiai... Kaip aš galiu čia būti? Kažkas gali būti sumišęs ... Bet asmuo, kuris perskaitė šioje svetainėje temą "Kas yra logaritmas?" , tik taupiai nusišypsok ir tvirta ranka užsirašyk visiškai teisingą atsakymą:
Egzamino „B“ užduotyse tokio atsakymo negali būti. Reikalingas konkretus skaičius. Bet užduotyse „C“ – lengvai.
Šioje pamokoje pateikiami dažniausiai pasitaikančių eksponentinių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Išskirkime pagrindinį.
1. Pirmiausia žiūrime pagrindu laipsnių. Pažiūrėkime, ar jų nepavyks padaryti tas pats. Pabandykime tai padaryti aktyviai naudodami veiksmai su galiomis. Nepamirškite, kad skaičius be x taip pat gali būti paverstas laipsniais!
2. Bandome įvesti eksponentinę lygtį į formą, kai kairė ir dešinė yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu. Mes naudojame veiksmai su galiomis Ir faktorizavimas. Ką galima suskaičiuoti skaičiais – skaičiuojame.
3. Jei antrasis patarimas nepasiteisino, bandome taikyti kintamąjį pakeitimą. Rezultatas gali būti lengvai išsprendžiama lygtis. Dažniausiai – kvadratas. Arba trupmena, kuri taip pat sumažinama iki kvadrato.
4. Norint sėkmingai išspręsti eksponenlines lygtis, reikia žinoti kai kurių skaičių laipsnius „iš akies“.
Kaip įprasta, pamokos pabaigoje kviečiama šiek tiek išspręsti.) Savarankiškai. Nuo paprasto iki sudėtingo.
Išspręskite eksponentines lygtis:
Sunkiau:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Raskite šaknų produktą:
2 3-x + 2 x = 9
Įvyko?
Gerai tada sunkiausias pavyzdys(tačiau nusprendžiau mintyse...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Kas įdomiau? Tada čia jums blogas pavyzdys. Gana traukiant padidintą sunkumą. Užsiminsiu, kad šiame pavyzdyje gelbsti išradingumas ir universaliausia visų matematinių užduočių sprendimo taisyklė.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Paprastesnis pavyzdys, skirtas atsipalaiduoti):
9 2 x - 4 3 x = 0
Ir desertui. Raskite lygties šaknų sumą:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Taip taip! Tai mišraus tipo lygtis! Į ką šioje pamokoje nesvarstėme. Ir ką jas laikyti, jas reikia išspręsti!) Šios pamokos visiškai pakanka lygčiai išspręsti. Na, reikia išradingumo... Ir taip, septinta klasė jums padės (tai užuomina!).
Atsakymai (netvarkingi, atskirti kabliataškiais):
1; 2; 3; 4; nėra sprendimų; 2; -2; -5; 4; 0.
Ar viskas pasisekė? Puiku.
Yra problema? Jokiu problemu! Specialiajame 555 skyriuje visos šios eksponentinės lygtys išspręstos su išsamiais paaiškinimais. Kas, kodėl ir kodėl. Ir, žinoma, yra papildomos vertingos informacijos apie darbą su visomis eksponentinėmis lygtimis. Ne tik su šiais.)
Paskutinis įdomus klausimas, kurį reikia apsvarstyti. Šioje pamokoje dirbome su eksponentinėmis lygtimis. Kodėl aš čia nepasakiau nė žodžio apie ODZ? Beje, lygtyse tai labai svarbus dalykas...
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)
galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Paskaita: „Eksponentinių lygčių sprendimo metodai“.
1 . eksponentinės lygtys.
Lygtys, kurių eksponente yra nežinomųjų, vadinamos eksponentinėmis lygtimis. Paprasčiausia iš jų yra lygtis ax = b, kur a > 0 ir a ≠ 1.
1) b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Jei b > 0, naudojant funkcijos monotoniškumą ir šaknies teoremą, lygtis turi vieną šaknį. Norint jį rasti, b turi būti pavaizduotas kaip b = aс, ax = bс ó x = c arba x = logab.
Eksponentinės lygtys, atlikus algebrines transformacijas, sukuria standartines lygtis, kurios išsprendžiamos šiais metodais:
1) sumažinimo iki vienos bazės būdas;
2) vertinimo metodas;
3) grafinis metodas;
4) naujų kintamųjų įvedimo būdas;
5) faktorizavimo metodas;
6) eksponentinės – galios lygtys;
7) eksponentinis su parametru.
2 . Sumažinimo iki vieno pagrindo metodas.
Metodas remiasi tokia laipsnių savybe: jei du laipsniai lygūs ir jų bazės lygios, tai jų eksponentai yra lygūs, t.y., lygtį reikia pabandyti redukuoti į formą
Pavyzdžiai. Išspręskite lygtį:
1 . 3x=81;
Pavaizduokime dešinę lygties pusę forma 81 = 34 ir parašykite lygtį, lygiavertę pradinei 3 x = 34; x = 4. Atsakymas: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> ir eikite į rodiklių lygtį 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Atsakymas: 0,5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 0,2, 0,04, √5 ir 25 yra 5 laipsniai. Pasinaudokime tuo ir pakeiskime pradinę lygtį taip:
,
iš kur 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, iš kurio randame sprendimą x = -1. Atsakymas: -1.
5. 3x = 5. Pagal logaritmo apibrėžimą x = log35. Atsakymas: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Perrašykime lygtį į 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, t.y..png" width="181" height="49 src="> Taigi x - 4 =0, x = 4. Atsakymas: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Pasinaudodami laipsnių savybėmis, rašome lygtį forma e x+1 = 2, x =1. Atsakymas: 1.
Užduočių bankas Nr.1.
Išspręskite lygtį:
Testo numeris 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) be šaknų |
1) 7;1 2) be šaknų 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
2 testas
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) be šaknų 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Vertinimo metodas.
Šaknies teorema: jei funkcija f (x) didėja (mažėja) intervale I, skaičius a yra bet kokia šio intervalo f reikšmė, tada lygtis f (x) = a intervale I turi vieną šaknį.
Sprendžiant lygtis įvertinimo metodu, naudojama ši teorema ir funkcijos monotoniškumo savybės.
Pavyzdžiai. Išspręskite lygtis: 1. 4x = 5 - x.
Sprendimas. Perrašykime lygtį į 4x + x = 5.
1. jei x \u003d 1, tada 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 yra tiesa, tada 1 yra lygties šaknis.
Funkcija f(x) = 4x didėja R, o g(x) = x didėja R => h(x)= f(x)+g(x) didėja R kaip didėjančių funkcijų suma, taigi x = 1 yra vienintelė lygties 4x = 5 – x šaknis. Atsakymas: 1.
2.
Sprendimas. Perrašome lygtį į formą 
.
1. jei x = -1, tai 
, 3 = 3-tiesa, taigi x = -1 yra lygties šaknis.
2. įrodyti, kad jis yra unikalus.
3. F(x) = - mažėja R, o g(x) = - x - mažėja R => h(x) = f(x) + g(x) - mažėja R, nes suma mažėjančių funkcijų . Taigi pagal šaknies teoremą x = -1 yra vienintelė lygties šaknis. Atsakymas: -1.
Užduočių bankas Nr.2. išspręsti lygtį
a) 4x + 1 = 6 - x;
b) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Naujų kintamųjų įvedimo metodas.
Metodas aprašytas 2.1 skyriuje. Naujo kintamojo įvedimas (pakeitimas) dažniausiai atliekamas po lygties sąlygų transformacijų (supaprastinimo). Apsvarstykite pavyzdžius.
Pavyzdžiai.
R valgymo lygtis: 1.
.
Perrašykime lygtį kitaip: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Sprendimas. Perrašykime lygtį kitaip: 
Pažymėkite https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> – netinka.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> yra neracionali lygtis. Atminkite, kad 
Lygties sprendimas yra x = 2,5 ≤ 4, taigi 2,5 yra lygties šaknis. Atsakymas: 2.5.
Sprendimas. Perrašykime lygtį į formą ir abi puses padalinkime iš 56x+6 ≠ 0. Gauname lygtį
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, taigi..png" width="118" height="56">
Šaknys kvadratinė lygtis– t1 = 1 ir t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Sprendimas . Perrašome lygtį į formą
ir atkreipkite dėmesį, kad tai yra vienalytė antrojo laipsnio lygtis.
Padalinkite lygtį iš 42x, gausime 
Pakeiskite https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Atsakymas: 0; 0.5.
3 užduočių bankas. išspręsti lygtį
b) 
G) 
3 testas su atsakymų pasirinkimu. Minimalus lygis.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) -log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) be šaknų 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) be šaknų 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Testas #4 su atsakymų pasirinkimu. Bendras lygis.
A1 | 1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0 |
А2 2x – (0,5) 2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) be šaknų |
5. Faktorizacijos metodas.
1. Išspręskite lygtį: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solution..png" width="169" height="69"> , iš kur
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Sprendimas. Išimkime 6x kairėje lygties pusėje ir 2x dešinėje. Gauname lygtį 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Kadangi 2x >0 visiems x, mes galime padalyti abi šios lygties puses iš 2x, nebijodami prarasti sprendinių. Gauname 3x = 1 x = 0.
3. 
Sprendimas. Lygtį išsprendžiame faktoringo būdu.
Mes pasirenkame dvinario kvadratą 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 yra lygties šaknis.
Lygtis x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15.x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
6 testas Bendras lygis.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3; 4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponentinės – galios lygtys.
Prie eksponentinių lygčių pridedamos vadinamosios eksponentinės galios lygtys, t. y. (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formos lygtys.
Jei žinoma, kad f(x)>0 ir f(x) ≠ 1, tai lygtis, kaip ir eksponentinė, sprendžiama sulyginant eksponentus g(x) = f(x).
Jei sąlyga neatmeta galimybės, kad f(x)=0 ir f(x)=1, tai sprendžiant eksponentinės galios lygtį turime atsižvelgti į šiuos atvejus.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Sprendimas. x2 +2x-8 - prasminga bet kuriam x, nes daugianomas, todėl lygtis yra lygiavertė aibei
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b) 
7. Eksponentinės lygtys su parametrais.
1. Kokioms parametro p reikšmėms turi lygtis 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) vienintelis sprendimas?
Sprendimas. Įveskime pokytį 2x = t, t > 0, tada (1) lygtis bus t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
(2) lygties diskriminantas yra D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
(1) lygtis turi unikalų sprendimą, jei (2) lygtis turi vieną teigiamą šaknį. Tai įmanoma šiais atvejais.
1. Jei D = 0, tai yra, p = 1, tada (2) lygtis bus t2 – 2t + 1 = 0, taigi t = 1, todėl (1) lygtis turi unikalų sprendimą x = 0.
2. Jei p1, tai 9(p – 1)2 > 0, tai (2) lygtis turi dvi skirtingas šaknis t1 = p, t2 = 4p – 3. Sistemų aibė tenkina uždavinio sąlygą
Sistemose pakeitę t1 ir t2, turime
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Sprendimas. Leisti 
tada (3) lygtis bus t2 – 6t – a = 0. (4)
Raskime parametro a reikšmes, kurioms bent viena (4) lygties šaknis tenkina sąlygą t > 0.
Įveskime funkciją f(t) = t2 – 6t – a. Galimi šie atvejai.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
2 atvejis. (4) lygtis turi unikalų teigiamą sprendimą, jei
D = 0, jei a = – 9, tada (4) lygtis bus tokia: (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
3 atvejis. (4) lygtis turi dvi šaknis, bet viena iš jų netenkina nelygybės t > 0. Tai įmanoma, jei
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Taigi, esant a 0 lygtis (4) turi vieną teigiamą šaknį 
. Tada (3) lygtis turi unikalų sprendimą 
Dėl< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
jeigu< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jei a = – 9, tai x = – 1;
jei a 0, tada
Palyginkime (1) ir (3) lygčių sprendimo būdus. Atkreipkite dėmesį, kad sprendžiant (1) lygtį buvo sumažinta iki kvadratinės lygties, kurios diskriminantas yra visas kvadratas; taigi pagal kvadratinės lygties šaknų formulę buvo iš karto apskaičiuojamos (2) lygties šaknys, o tada dėl šių šaknų padarytos išvados. (3) lygtis buvo sumažinta iki kvadratinės lygties (4), kurios diskriminantas nėra pilna aikštė, todėl sprendžiant (3) lygtį patartina naudoti teoremas apie kvadratinio trinalio ir grafinio modelio šaknų vietą. Atkreipkite dėmesį, kad (4) lygtį galima išspręsti naudojant Vieta teoremą.
Išspręskime sudėtingesnes lygtis.
3 užduotis. Išspręskite lygtį 
Sprendimas. ODZ: x1, x2.
Pristatykime pakaitalą. Tegu 2x = t, t > 0, tada dėl transformacijų lygtis bus t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Raskime a reikšmes, kurioms bent viena šaknis lygtis (*) tenkina sąlygą t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Atsakymas: jei a > - 13, a 11, a 5, tai jei a - 13,
a = 11, a = 5, tada nėra šaknų.
Bibliografija.
1. Guzejevas edukacinių technologijų pagrindai.
2. Guzeev technologija: nuo recepcijos iki filosofijos.
M. „Vadovas“ 1996 Nr.4
3. Guzejevas ir organizacinės formos mokymasis.
4. Guzejevas ir integralios ugdymo technologijos praktika.
M. „Liaudies švietimas“, 2001 m
5. Guzejevas iš pamokos – seminaro formų.
Matematika mokykloje Nr.2, 1987, 9 - 11 p.
6. Selevko edukacinės technologijos.
M. „Liaudies švietimas“, 1998 m
7. Epiševos moksleiviai mokosi matematikos.
M. „Švietimas“, 1990 m
8. Ivanovas rengti pamokas – dirbtuves.
Matematika 6 mokykloje, 1990, p. 37-40.
9. Smirnovo matematikos mokymo modelis.
Matematika 1 mokykloje, 1997, p. 32-36.
10. Tarasenko praktinio darbo organizavimo būdai.
Matematika 1 mokykloje, 1993, p. 27-28.
11. Apie vieną iš individualaus darbo rūšių.
Matematika 2 mokykloje, 1994, 63 - 64 p.
12. Chazankinas Kūrybiniai įgūdžiai moksleiviai.
Matematika 2 mokykloje, 1989, p. 10.
13. Scanavi. Leidykla, 1997 m
14. ir kt.. Algebra ir analizės pradžia. Didaktinė medžiaga Dėl
15. Krivonogovo matematikos užduotys.
M. „Rugsėjo pirmoji“, 2002 m
16. Čerkasovas. Vadovas aukštųjų mokyklų studentams ir
stojant į universitetus. „A S T – spaudos mokykla“, 2002 m
17. Zhevnyak stojantiesiems į universitetus.
Minskas ir RF „Apžvalga“, 1996 m
18. Raštu D. Pasiruošimas matematikos egzaminui. M. Rolfas, 1999 m
19. ir kt.. Mokymasis spręsti lygtis ir nelygybes.
M. „Intelektas – centras“, 2003 m
20. ir kt. Švietimo - mokymo medžiaga pasiruošti E G E.
M. „Intelektas – centras“, 2003 ir 2004 m
21 ir kt. CMM variantai. Rusijos Federacijos gynybos ministerijos bandymų centras, 2002, 2003 m
22. Goldbergo lygtys. „Kvantas“ Nr.3, 1971 m
23. Volovičius M. Kaip sėkmingai dėstyti matematiką.
Matematika, 1997 Nr.3.
24 Okunev už pamoką, vaikai! M. Švietimas, 1988 m
25. Yakimanskaya - orientuotas ugdymas mokykloje.
26. Liimets dirba pamokoje. M. Žinios, 1975 m
Į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad sužinotumėte apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.
Pirmiausia prisiminkime pagrindines laipsnių formules ir jų savybes.
Skaičiaus sandauga a atsitinka n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Galios arba eksponentinės lygtys- tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.
Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:
IN šis pavyzdys skaičius 6 yra pagrindas, jis visada yra apačioje ir kintamasis x laipsnis ar matas.
Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?
Paimkime paprastą lygtį:
2 x = 2 3
Tokį pavyzdį galima išspręsti net mintyse. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip šis sprendimas turėtų būti priimtas:
2 x = 2 3
x = 3
Norėdami išspręsti šią lygtį, pašalinome tuo pačiu pagrindu(tai yra deuces) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.
Dabar apibendrinkime savo sprendimą.
Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygties pagrindai dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nėra vienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai pagrindai yra tokie patys, prilyginti laipsnį ir išspręskite gautą naują lygtį.
Dabar išspręskime keletą pavyzdžių:
Pradėkime nuo paprasto.
Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų laipsnius.
x+2=4 Paaiškėjo paprasčiausia lygtis.
x = 4 - 2
x=2
Atsakymas: x=2
Toliau pateiktame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi, tai yra 3 ir 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Pirmiausia perkeliame devynis į dešinę pusę, gauname:
Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Žinome, kad 9=3 2 . Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Gauname 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 dabar aišku, kad pagrindai kairėje ir dešinėje yra vienodi ir lygūs trims, o tai reiškia, kad galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.
3x=2x+16 gavo paprasčiausią lygtį
3x-2x=16
x=16
Atsakymas: x=16.
Pažvelkime į tokį pavyzdį:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Visų pirma, mes žiūrime į pagrindus, pagrindai yra skirtingi du ir keturi. Ir mes turime būti tokie patys. Keturkampį transformuojame pagal formulę (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Pridėkite prie lygties:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Bet mums trukdo kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus, matosi, kad kairėje pusėje kartojame 2 2x, štai atsakymas – iš skliaustų galime dėti 2 2x:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Visą lygtį padaliname iš 6:
Įsivaizduokite 4 = 2 2:
2 2x \u003d 2 2 bazės yra vienodos, išmeskite jas ir sulyginkite laipsnius.
2x \u003d 2 pasirodė pati paprasčiausia lygtis. Padaliname iš 2, gauname
x = 1
Atsakymas: x = 1.
Išspręskime lygtį:
9 x - 12*3 x +27 = 0
Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Mūsų pagrindai yra vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje aišku, kad pirmasis trigubas turi laipsnį du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite nuspręsti pakeitimo metodas. Skaičius su mažiausiu laipsniu pakeičiamas taip:
Tada 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Lygtyje su t visus laipsnius pakeičiame x:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Gauname kvadratinę lygtį. Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Atgal į kintamąjį x.
Mes priimame t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Tai yra,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Svetainėje galite skiltyje PADĖTI SPRENDIMS užduoti dominančius klausimus, mes tikrai jums atsakysime.
Prisijunkite prie grupės
Daugumos matematinių problemų sprendimas yra kažkaip susijęs su skaitmeninių, algebrinių ar funkcinių išraiškų transformavimu. Tai ypač pasakytina apie sprendimą. Matematikos USE variantuose šio tipo užduotys visų pirma apima C3 užduotį. Išmokti spręsti C3 užduotis svarbu ne tik dėl tikslo sėkmingas pristatymas Vieningas valstybinis egzaminas, bet ir dėl to, kad šis įgūdis naudingas studijuojant matematikos kursą aukštojoje mokykloje.
Atlikdami užduotis C3, turite apsispręsti Skirtingos rūšys lygtys ir nelygybės. Tarp jų yra racionalūs, neracionalūs, eksponentiniai, logaritminiai, trigonometriniai, turintys modulius (absoliučiąsias reikšmes), taip pat kombinuotus. Šiame straipsnyje aptariami pagrindiniai eksponentinių lygčių ir nelygybių tipai bei įvairūs jų sprendimo būdai. Skaitykite apie kitų tipų lygčių ir nelygybių sprendimą antraštėje "" straipsniuose, skirtuose C3 uždavinių sprendimo būdams nuo NAUDOTI parinktis matematika.
Prieš pradedant analizuoti konkrečius eksponentinės lygtys ir nelygybės, kaip matematikos dėstytojas, siūlau kai kuriuos atnaujinti teorinė medžiaga kurios mums prireiks.
Eksponentinė funkcija
Kas yra eksponentinė funkcija?
Žiūrėti funkciją y = a x, Kur a> 0 ir a≠ 1, paskambino eksponentinė funkcija.
Pagrindinis eksponentinės funkcijos savybės y = a x:
Eksponentinės funkcijos grafikas
Eksponentinės funkcijos grafikas yra parodos dalyvis:
Eksponentinių funkcijų grafikai (rodikliai)
Eksponentinių lygčių sprendimas
orientacinis vadinamos lygtimis, kuriose nežinomas kintamasis randamas tik bet kokių laipsnių rodikliuose.
Dėl sprendimų eksponentinės lygtys turite žinoti ir mokėti naudoti šią paprastą teoremą:
1 teorema. eksponentinė lygtis a f(x) = a g(x) (kur a > 0, a≠ 1) atitinka lygtį f(x) = g(x).
Be to, naudinga atsiminti pagrindines formules ir veiksmus su laipsniais:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
1 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas: naudokite aukščiau pateiktas formules ir pakeiskite:
Tada lygtis tampa tokia:
Gautos kvadratinės lygties diskriminantas yra teigiamas:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Tai reiškia, kad ši lygtis turi dvi šaknis. Mes juos randame:
Grįžtant prie pakeitimo, gauname:
Antroji lygtis neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija yra griežtai teigiama visoje apibrėžimo srityje. Išspręskime antrąjį:
Atsižvelgdami į tai, kas buvo pasakyta 1 teoremoje, pereiname prie lygiavertės lygties: x= 3. Tai bus užduoties atsakymas.
Atsakymas: x = 3.
2 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas: lygtis neturi jokių apribojimų leistinų verčių sričiai, nes radikali išraiška turi prasmę bet kuriai vertei x(eksponentinė funkcija y = 9 4 -x teigiamas ir nelygus nuliui).
Lygtį išsprendžiame lygiavertėmis transformacijomis, naudodamiesi galių daugybos ir padalijimo taisyklėmis:
Paskutinis perėjimas buvo atliktas pagal 1 teoremą.
Atsakymas:x= 6.
3 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas: abi pradinės lygties pusės gali būti padalytos iš 0,2 x. Šis perėjimas bus lygiavertis, nes ši išraiška yra didesnė už nulį bet kuriai vertei x(eksponentinė funkcija yra griežtai teigiama savo srityje). Tada lygtis įgauna tokią formą:
Atsakymas: x = 0.
4 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas: lygtį supaprastiname iki elementariosios, lygiavertėmis transformacijomis, naudodamiesi straipsnio pradžioje pateiktomis galių dalybos ir daugybos taisyklėmis:
Abi lygties puses padalijus iš 4 x, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, yra lygiavertė transformacija, nes ši išraiška nėra lygi nuliui jokioms reikšmėms x.
Atsakymas: x = 0.
5 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas: funkcija y = 3x, stovintis kairėje lygties pusėje, didėja. Funkcija y = —x-2/3, stovintis dešinėje lygties pusėje, mažėja. Tai reiškia, kad jei šių funkcijų grafikai susikerta, tai daugiausia viename taške. IN Ši byla nesunku atspėti, kad grafikai susikerta taške x= -1. Kitų šaknų nebus.
Atsakymas: x = -1.
6 pavyzdys Išspręskite lygtį:
Sprendimas: lygtį supaprastiname lygiavertėmis transformacijomis, visur turėdami omenyje, kad eksponentinė funkcija yra griežtai didesnė už nulį bet kuriai reikšmei x ir naudojantis straipsnio pradžioje pateiktomis sandaugos ir dalinių galių apskaičiavimo taisyklėmis:
Atsakymas: x = 2.
Eksponentinių nelygybių sprendimas
orientacinis vadinamos nelygybėmis, kuriose nežinomas kintamasis yra tik kai kurių laipsnių eksponentuose.
Dėl sprendimų eksponentinės nelygybės būtina žinoti šią teoremą:
2 teorema. Jeigu a> 1, tada nelygybė a f(x) > a g(x) yra lygiavertis tos pačios reikšmės nelygybei: f(x) > g(x). Jei 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) yra lygiavertis priešingos reikšmės nelygybei: f(x) < g(x).
7 pavyzdys Išspręskite nelygybę:
Sprendimas: pavaizduokite pradinę nelygybę formoje:
Abi šios nelygybės puses padalinkite iš 3 2 x, ir (dėl funkcijos teigiamo y= 3 2x) nelygybės ženklas nepasikeis:
Naudokime pakaitalą:
Tada nelygybė įgauna tokią formą:
Taigi, nelygybės sprendimas yra intervalas:
pereidami prie atvirkštinio pakeitimo, gauname:
Kairioji nelygybė dėl eksponentinės funkcijos pozityvumo išsipildo automatiškai. Naudodami gerai žinomą logaritmo savybę pereiname prie ekvivalentinės nelygybės:
Kadangi laipsnio pagrindas yra skaičius, didesnis už vieną, ekvivalentas (pagal 2 teoremą) bus perėjimas prie šios nelygybės:
Taigi pagaliau gauname atsakymas:
8 pavyzdys Išspręskite nelygybę:
Sprendimas: naudodamiesi galių daugybos ir padalijimo savybėmis, nelygybę perrašome į formą:
Pristatykime naują kintamąjį:
Šiuo pakeitimu nelygybė įgauna tokią formą:
Padauginkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 7, gausime tokią ekvivalentinę nelygybę:
Taigi, nelygybę tenkina šios kintamojo reikšmės t:
Tada, grįždami prie pakeitimo, gauname:
Kadangi laipsnio bazė čia yra didesnė už vienetą, tai ekvivalentiška (pagal 2 teoremą) pereiti į nelygybę:
Pagaliau gauname atsakymas:
9 pavyzdys Išspręskite nelygybę:
Sprendimas:
Abi nelygybės puses padalijame iš išraiškos:
Jis visada didesnis už nulį (nes eksponentinė funkcija yra teigiama), todėl nelygybės ženklo keisti nereikia. Mes gauname:
t , kurie yra intervale:
Pereidami prie atvirkštinio pakeitimo, matome, kad pradinė nelygybė skyla į du atvejus:
Pirmoji nelygybė neturi sprendinių dėl eksponentinės funkcijos pozityvumo. Išspręskime antrąjį:
10 pavyzdys Išspręskite nelygybę:
Sprendimas:
Parabolės šakos y = 2x+2-x 2 yra nukreipti žemyn, todėl iš viršaus ribojama vertės, kurią pasiekia savo viršūnėje:
Parabolės šakos y = x 2 -2x Rodiklyje esantys +2 yra nukreipti į viršų, o tai reiškia, kad iš apačios jį riboja vertė, kurią jis pasiekia viršuje:
Tuo pačiu metu pasirodo, kad funkcija yra apribota iš apačios y = 3 x 2 -2x+2 dešinėje lygties pusėje. Ji pasiekia ją mažiausia vertė tame pačiame taške kaip parabolė eksponente, o ši reikšmė yra 3 1 = 3. Taigi pradinė nelygybė gali būti teisinga tik tuo atveju, jei funkcija kairėje ir funkcija dešinėje įgauna reikšmę 3 viename taške (pagal kertant šių funkcijų diapazonus yra tik šis skaičius). Ši sąlyga tenkinama vienu tašku x = 1.
Atsakymas: x= 1.
Norėdami išmokti išspręsti eksponentinės lygtys ir nelygybės, jums reikia nuolat mokytis jų sprendimo. Šiuo sudėtingu klausimu įvairios mokymo priemonės, pradinės matematikos probleminės knygos, konkursinių uždavinių rinkiniai, matematikos pamokos mokykloje, taip pat individualūs užsiėmimai su profesionaliu mokytoju. Nuoširdžiai linkiu sėkmės ruošiantis egzaminui ir puikių rezultatų.
Sergejus Valerjevičius
P.S. Mieli svečiai! Prašome komentaruose nerašyti prašymų išspręsti savo lygtis. Deja, aš tam visai neturiu laiko. Tokie pranešimai bus ištrinti. Prašome perskaityti straipsnį. Galbūt jame rasite atsakymus į klausimus, kurie neleido jums savarankiškai išspręsti užduoties.
