namai › Šviesa ir stiklas › Funkcijų sandaugos tam tikrame taške išvestinė. Raskite išvestinę: algoritmą ir sprendimų pavyzdžius

Funkcijų sandaugos tam tikrame taške išvestinė. Raskite išvestinę: algoritmą ir sprendimų pavyzdžius

Šioje pamokoje mes toliau nagrinėjame funkcijų išvestines ir pereiname prie sudėtingesnės temos, būtent produktų ir koeficientų išvestinių. Jei žiūrėjote ankstesnę pamoką, tikriausiai supratote, kad mes svarstėme tik paprasčiausias konstrukcijas, būtent laipsnio funkcijos, sumos ir skirtumo išvestinę. Visų pirma sužinojome, kad sumos išvestinė yra lygi jų sumai, o skirtumo išvestinė yra lygi, atitinkamai, jų skirtumui. Deja, koeficiento ir sandaugų išvestinių formulės bus daug sudėtingesnės. Pradėsime nuo funkcijų sandaugos išvestinės formulės.

Trigonometrinių funkcijų dariniai

Pirmiausia leiskite padaryti nedidelį lyrinį nukrypimą. Faktas yra tas, kad be standartinės galios funkcijos - $y=((x)^(n))$, šioje pamokoje susidursime ir su kitomis funkcijomis, būtent $y=\sin x$, taip pat $ y=\ cos x$ ir kita trigonometrija – $y=tgx$ ir, žinoma, $y=ctgx$.

Jei visi puikiai žinome laipsnio funkcijos išvestinę, būtent $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, tai kaip trigonometrinės funkcijos , reikia paminėti atskirai. Užsirašykime:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]

Bet jūs puikiai žinote šias formules, eikime toliau.

Kas yra produkto darinys?

Pirma, svarbiausias dalykas: jei funkcija yra dviejų kitų funkcijų sandauga, pavyzdžiui, $f\cdot g$, tada šios konstrukcijos išvestinė bus lygi tokiai išraiškai:

Kaip matote, ši formulė gerokai skiriasi ir yra sudėtingesnė nei anksčiau nagrinėtos formulės. Pavyzdžiui, sumos išvestinė apskaičiuojama elementariu būdu - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ arba išvestinė iš skirtumas, kuris taip pat apskaičiuojamas elementariai - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Pabandykime pritaikyti pirmąją formulę dviejų funkcijų, kurios mums pateiktos uždavinyje, išvestinėms apskaičiuoti. Pradėkime nuo pirmojo pavyzdžio:

Akivaizdu, kad ši konstrukcija veikia kaip produktas, tiksliau, kaip daugiklis: $((x)^(3))$, galime laikyti ją $f$, o $\left(x-5 \right) $ galime laikyti $g$. Tada jų produktas bus būtent dviejų funkcijų produktas. Mes nusprendžiame:

\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(3)) \dešinė))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) dešinė))^(\pirminis ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(lygiuoti)\].

Dabar atidžiau pažvelkime į kiekvieną iš mūsų terminų. Matome, kad ir pirmasis, ir antrasis nariai turi laipsnį $x$: pirmuoju atveju jis yra $((x)^(2))$, o antruoju - $((x)^(3)) $. Išimkime mažiausią laipsnį iš skliaustų, palikdami skliausteliuose:

\[\begin(lygiuoti)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2)) (4x-15)\\\pabaiga (lygiuoti)\]

Štai ir radome atsakymą.

Grįžkime prie savo problemų ir pabandykime išspręsti:

Taigi, perrašykime:

Vėlgi pažymime, kad kalbame apie dviejų funkcijų sandaugą: $x$, kuri gali būti žymima $f$, ir $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, kuri gali žymimas $g$.

Taigi, mes vėl turime dviejų funkcijų sandaugą. Norėdami rasti funkcijos $f\left(x \right)$ išvestinę, vėl naudosime savo formulę. Mes gauname:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(lygiuoti)\]

Atsakymas rastas.

Kodėl faktorių išvestinės priemonės?

Ką tik panaudojome kelis labai svarbius matematinius faktus, kurie patys savaime nėra susiję su išvestiniais, tačiau be jų žinios, bet koks tolesnis šios temos tyrimas tiesiog neturi prasmės.

Pirma, išsprendę pačią pirmąją problemą ir jau atsikratę visų darinių požymių, kažkodėl pradėjome skaičiuoti šią išraišką.

Antra, spręsdami toliau pateiktą uždavinį, kelis kartus perėjome iš šaknies į laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir atgal, naudojant 8-9 klasės formulę, kurią būtų verta pakartoti atskirai.

Dėl faktorizavimo – kam reikalingos visos šios papildomos pastangos ir transformacijos? Tiesą sakant, jei problema tiesiog sako „rasti funkcijos išvestinę“, tada šie papildomi veiksmai nereikalingi. Tačiau esant tikroms problemoms, kurios jūsų laukia per įvairius egzaminus ir testus, dažnai nepakanka vien rasti išvestinį. Faktas yra tas, kad išvestinė yra tik įrankis, su kuriuo galite sužinoti, pavyzdžiui, funkcijos padidėjimą ar sumažėjimą, o tam reikia išspręsti lygtį ir ją koeficientuoti. Ir čia ši technika bus labai tinkama. Ir apskritai daug patogiau ir maloniau dirbti su faktorine funkcija ateityje, jei prireiks kokių nors transformacijų. Todėl taisyklė Nr. 1: jei išvestinė priemonė gali būti faktorizuota, tai jūs turėtumėte tai padaryti. Ir iš karto taisyklė Nr. 2 (iš esmės tai yra 8-9 klasių medžiaga): jei užduotyje yra šaknis n-asis laipsnis, o šaknis yra aiškiai didesnė už du, tada šią šaknį galima pakeisti įprastu laipsniu su racionaliuoju laipsniu, o laipsnyje atsiras trupmena, kur n― pats laipsnis ― bus šios trupmenos vardiklyje.

Žinoma, jei po šaknimi yra tam tikras laipsnis (mūsų atveju tai yra laipsnis k), tada jis niekur nedingsta, o tiesiog patenka į šio laipsnio skaitiklį.

Dabar, kai visa tai supratote, grįžkime prie produkto išvestinių ir apskaičiuokite dar keletą lygčių.

Tačiau prieš pereidamas tiesiai prie skaičiavimų, norėčiau priminti šiuos modelius:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]

Panagrinėkime pirmąjį pavyzdį:

Vėlgi turime dviejų funkcijų sandaugą: pirmoji yra $f$, antroji yra $g$. Leiskite man priminti jums formulę:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Nuspręskime:

\[\begin(lygiuoti)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(lygiuoti)\]

Pereikime prie antrosios funkcijos:

Vėlgi, $\left(3x-2 \right)$ yra $f$ funkcija, $\cos x$ yra $g$ funkcija. Iš viso dviejų funkcijų sandaugos išvestinė bus lygi:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(lygiuoti)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Užrašykime atskirai:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(lygiuoti)\]

Mes neskaičiuojame šios išraiškos, nes tai dar nėra galutinis atsakymas. Dabar turime išspręsti antrąją dalį. Išrašykime:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(lygiuoti)\]

Dabar grįžkime prie pradinės užduoties ir sudėkite viską į vieną struktūrą:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(lygiuoti)\]

Štai viskas, tai yra galutinis atsakymas.

Pereikime prie paskutinio pavyzdžio – jis bus pats sudėtingiausias ir apimčiausias skaičiavimų požiūriu. Taigi, pavyzdys:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Skaičiuojame kiekvieną dalį atskirai:

\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]

Grįždami prie pradinės funkcijos, apskaičiuokime jos išvestinę visumą:

\[\begin(lygiuoti)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(lygiuoti)\]

Tiesą sakant, tai yra viskas, ką norėjau jums pasakyti apie išvestinius kūrinius. Kaip matote, pagrindinė formulės problema yra ne jos įsiminimas, o tai, kad ji apima gana daug skaičiavimų. Bet tai gerai, nes dabar pereiname prie koeficiento išvestinės, kur turėsime labai sunkiai dirbti.

Kas yra dalinio išvestinė?

Taigi, koeficiento išvestinės formulė. Tai turbūt pati sudėtingiausia formulė mokykliniame kurse apie išvestines priemones. Tarkime, kad turime $\frac(f)(g)$ formos funkciją, kur $f$ ir $g$ taip pat yra funkcijos, iš kurių taip pat galime pašalinti pirminį dydį. Tada jis bus apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Skaitiklis mums šiek tiek primena sandaugos išvestinės formulę, tačiau tarp terminų yra minuso ženklas, o prie vardiklio taip pat buvo pridėtas pradinio vardiklio kvadratas. Pažiūrėkime, kaip tai veikia praktiškai:

Pabandykime išspręsti:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Siūlau kiekvieną dalį parašyti atskirai ir užsirašyti:

\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ dešinė))^(\pirminis ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\pirminis ))=(x)"+(2)"=1 \ \\pabaiga (lygiuoti)\]

Perrašykime savo išraišką:

\[\begin(lygiuoti)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2(x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Mes radome atsakymą. Pereikime prie antrosios funkcijos:

Sprendžiant iš to, kad jo skaitiklis yra tiesiog vienas, skaičiavimai čia bus šiek tiek paprastesni. Taigi, rašykime:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Apskaičiuokime kiekvieną pavyzdžio dalį atskirai:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(lygiuoti)\]

Perrašykime savo išraišką:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Mes radome atsakymą. Kaip ir tikėtasi, skaičiavimo suma buvo žymiai mažesnė nei pirmosios funkcijos atveju.

Kuo skiriasi pavadinimai?

Dėmesingiems studentams tikriausiai jau kyla klausimas: kodėl kai kuriais atvejais funkciją žymime kaip $f\left(x \right)$, o kitais – tiesiog rašome $y$? Tiesą sakant, matematikos požiūriu nėra absoliučiai jokio skirtumo – turite teisę naudoti ir pirmąjį, ir antrąjį, o už egzaminus ar testus nuobaudų nebus. Tiems, kam dar įdomu, paaiškinsiu, kodėl vadovėlių ir uždavinių autoriai vienais atvejais rašo $f\left(x \right)$, o kitais (daug dažniau) - tiesiog $y$. Faktas yra tas, kad rašydami funkciją forma \, mes netiesiogiai užsimename tiems, kurie skaito mūsų skaičiavimus, kad kalbame konkrečiai apie funkcinės priklausomybės algebrinį aiškinimą. Tai yra, yra tam tikras kintamasis $x$, mes atsižvelgiame į priklausomybę nuo šio kintamojo ir pažymime jį $f\left(x \right)$. Tuo pačiu metu, pamatęs tokį žymėjimą, tas, kuris skaito jūsų skaičiavimus, pavyzdžiui, inspektorius, nesąmoningai tikisi, kad ateityje jo lauks tik algebrinės transformacijos - jokių grafikų ir jokios geometrijos.

Kita vertus, naudodami \ formos žymėjimus, t. y., kintamąjį žymėdami viena raide, iš karto aiškiai parodome, kad ateityje mus domina geometrinė funkcijos interpretacija, t. y. mus domina pirmiausia visi, jo diagramoje. Atitinkamai, susidūręs su formos įrašu\, skaitytojas turi teisę tikėtis grafinių skaičiavimų, t. y. grafikų, konstrukcijų ir pan., bet jokiu būdu ne analitinių transformacijų.

Taip pat norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną užduočių, kurias šiandien svarstome, dizaino bruožą. Daugelis studentų mano, kad aš pateikiu pernelyg išsamius skaičiavimus, o daugelis jų gali būti praleisti arba tiesiog išspręsti jų galvoje. Tačiau būtent toks išsamus įrašas leis atsikratyti įžeidžiančių klaidų ir žymiai padidinti teisingai išspręstų problemų procentą, pavyzdžiui, savarankiškai ruošiantis įskaitoms ar egzaminams. Todėl jei vis dar nesate tikri dėl savo sugebėjimų, jei tik pradedate nagrinėti šią temą, neskubėkite – detaliai aprašykite kiekvieną žingsnį, užsirašykite kiekvieną veiksnį, kiekvieną potėpį ir labai greitai išmoksite tokius pavyzdžius išspręsti geriau. nei daugelis mokyklos mokytojų. Tikiuosi, kad tai aišku. Suskaičiuokime dar keletą pavyzdžių.

Keletas įdomių užduočių

Šį kartą, kaip matome, skaičiuojamose išvestinėse yra trigonometrijos. Todėl leiskite jums priminti šiuos dalykus:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(lygiuoti )\]

Žinoma, negalime apsieiti be koeficiento išvestinės, būtent:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Panagrinėkime pirmąją funkciją:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Taigi mes radome šios išraiškos sprendimą.

Pereikime prie antrojo pavyzdžio:

Akivaizdu, kad jo išvestis bus sudėtingesnė, jei tik todėl, kad trigonometrija yra ir šios funkcijos skaitiklyje, ir vardiklyje. Mes nusprendžiame:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Atkreipkite dėmesį, kad turime produkto išvestinį variantą. Šiuo atveju jis bus lygus:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) dešinėje))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(lygiuoti)\]

Grįžkime prie savo skaičiavimų. Užrašome:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Paskaičiavome.

Kaip koeficiento išvestinę sumažinti iki paprastos sandaugos išvestinės formulės?

Ir čia norėčiau padaryti vieną labai svarbią pastabą dėl trigonometrinių funkcijų. Faktas yra tas, kad mūsų pradinėje konstrukcijoje yra $\frac(\sin x)(\cos x)$ formos išraiška, kurią galima lengvai pakeisti tiesiog $tgx$. Taigi dalinio išvestinę sumažiname iki paprastesnės sandaugos išvestinės formulės. Dar kartą apskaičiuokime šį pavyzdį ir palyginkime rezultatus.

Taigi dabar turime atsižvelgti į šiuos dalykus:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Perrašykime savo pradinę funkciją $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ atsižvelgdami į šį faktą. Mes gauname:

Suskaičiuokime:

\[\begin(lygiuoti)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(lygiuoti) \]

Dabar, jei palyginsime gautą rezultatą su tuo, ką gavome anksčiau skaičiuodami kitaip, tada įsitikinsime, kad gavome tą pačią išraišką. Taigi, kad ir kuriuo keliu eitume skaičiuodami išvestinę, jei viskas paskaičiuota teisingai, atsakymas bus toks pat.

Svarbūs niuansai sprendžiant problemas

Baigdamas norėčiau pasakyti dar vieną subtilumą, susijusį su koeficiento išvestinės apskaičiavimu. Tai, ką dabar jums pasakysiu, nebuvo pradiniame vaizdo pamokos scenarijuje. Tačiau likus porai valandų iki filmavimo, mokiausi su vienu savo studentu, o mes kaip tik diskutavome koeficientų išvestinių temą. Ir, kaip paaiškėjo, daugelis studentų to nesupranta. Taigi, tarkime, kad turime apskaičiuoti šios funkcijos pašalinimo eigą:

Iš esmės, iš pirmo žvilgsnio tame nėra nieko antgamtiško. Tačiau skaičiavimo procese galime padaryti daug kvailų ir įžeidžiančių klaidų, kurias dabar norėčiau aptarti.

Taigi, apskaičiuojame šią išvestinę. Pirmiausia pažymime, kad turime terminą $3((x)^(2))$, todėl tikslinga prisiminti tokią formulę:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Be to, turime terminą $\frac(48)(x)$ - su juo nagrinėsime dalinio išvestinę, būtent:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Taigi, nuspręskime:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3(x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Su pirmuoju terminu problemų nėra, žr.

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Tačiau su pirmuoju terminu, $\frac(48)(x)$, reikia dirbti atskirai. Faktas yra tas, kad daugelis studentų painioja situaciją, kai jiems reikia rasti $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ ir kai jiems reikia rasti $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Tai yra, jie susipainioja, kai konstanta yra vardiklyje ir kai konstanta yra skaitiklyje, kai kintamasis yra skaitiklyje arba vardiklyje.

Pradėkime nuo pirmos parinkties:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Kita vertus, jei bandysime tą patį padaryti su antrąja trupmena, gausime:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(lygiuoti)\]

Tačiau tą patį pavyzdį būtų galima apskaičiuoti ir kitaip: etape, kai perėjome prie koeficiento išvestinės, $\frac(1)(x)$ galime laikyti laipsniu su neigiamu rodikliu, t.y. gauname taip. :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(lygiuoti)\]

Ir taip, ir taip gavome tą patį atsakymą.

Taigi mes dar kartą įsitikinome dviem svarbiais faktais. Pirma, tą pačią išvestinę priemonę galima apskaičiuoti visiškai skirtingais būdais. Pavyzdžiui, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ gali būti laikoma ir dalinio išvestine, ir laipsnio funkcijos išvestine. Be to, jei visi skaičiavimai atliekami teisingai, atsakymas visada bus tas pats. Antra, skaičiuojant išvestines, kuriose yra ir kintamasis, ir konstanta, iš esmės svarbu, kur yra kintamasis – skaitiklyje ar vardiklyje. Pirmuoju atveju, kai kintamasis yra skaitiklyje, gauname paprastą tiesinę funkciją, kurią galima nesunkiai apskaičiuoti. Ir jei kintamasis yra vardiklyje, tada gauname sudėtingesnę išraišką su pridedamais skaičiavimais, pateiktais anksčiau.

Šiuo metu pamoka gali būti laikoma baigta, todėl jei nieko nesuprantate apie koeficiento ar sandaugos išvestinius ir apskritai, jei turite klausimų šia tema, nedvejokite - eikite į mano svetainę , rasykite, skambinkite ir tikrai pabandysiu ar galiu jums padeti.

Pačios išvestinės priemonės nėra sudėtinga tema, tačiau jos yra labai plačios ir tai, ką dabar studijuojame, bus panaudota ateityje sprendžiant sudėtingesnes problemas. Todėl visus nesusipratimus, susijusius su dalinio ar sandaugos išvestinių skaičiavimu, geriau nustatyti nedelsiant, dabar. Ne tada, kai jie yra didžiulis nesusipratimų sniego gniūžtė, bet kai tai mažas teniso kamuoliukas, su kuriuo lengva susidoroti.

Jei laikotės apibrėžimo, tada funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y prie argumento prieaugio Δ x:

Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite naudoti šią formulę, kad apskaičiuotumėte, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.

Pirmiausia pažymime, kad iš visos funkcijų įvairovės galime išskirti vadinamąsias elementarias funkcijas. Tai gana paprasti posakiai, kurių išvestinės jau seniai skaičiuojamos ir pateikiamos lentelėse. Tokias funkcijas gana lengva įsiminti – kartu su jų išvestinėmis.

Elementariųjų funkcijų dariniai

Visos toliau išvardytos pagrindinės funkcijos. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos įsiminti visai nesunku – štai kodėl jie elementarūs.

Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:

vardas	Funkcija	Darinys
Pastovus	f(x) = C, C ∈ R	0 (taip, nulis!)
Galia su racionaliuoju rodikliu	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusas	f(x) = nuodėmė x	cos x
Kosinusas	f(x) = cos x	− nuodėmė x(minus sinusas)
Tangentas	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentas	f(x) = ctg x	– 1 / nuodėmė 2 x
Natūralus logaritmas	f(x) = žurnalas x	1/x
Savavališkas logaritmas	f(x) = žurnalas a x	1/(x ln a)
Eksponentinė funkcija	f(x) = e x	e x(Niekas nepasikeitė)

Jei elementari funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:

(C · f)’ = C · f ’.

Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena į kitą, dauginti, padalinti – ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir diferencijuotos pagal tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.

Sumos ir skirtumo išvestinė

Tegul funkcijos pateikiamos f(x) Ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, todėl:

f ’(x) = (x 2 + nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cos x;

Panašiai motyvuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkto darinys

Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti">lygus išvestinių sandaugai. Bet sukiškite! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− nuod x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)

Funkcija g(x) pirmasis daugiklis yra šiek tiek sudėtingesnis, tačiau bendra schema nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos veiksnys g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Mes turime:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai to daryti nereikia, tačiau dauguma išvestinių skaičiuojamos ne pačios, o funkcijai ištirti. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, nustatomi jos ženklai ir pan. Tokiam atvejui išraišką geriau naudoti faktoriais.

Jei yra dvi funkcijos f(x) Ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:

Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai viena iš sudėtingiausių formulių – be butelio to nesuprasi. Todėl geriau jį ištirti konkrečiais pavyzdžiais.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:

Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia koeficiento išvestinės formulės:

Pagal tradiciją, skaitiklį suskaidykime faktoriais – tai labai supaprastins atsakymą:

Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, užtenka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2 + ln x. Tai pavyks f(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x) – tai sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinę, tačiau naudojant aukščiau aptartas taisykles jo rasti nepavyks.

Ką turėčiau daryti? Tokiais atvejais sudėtingos funkcijos išvestinės kintamojo ir formulės pakeitimas padeda:

f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).

Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti naudojant konkrečius pavyzdžius, išsamiai aprašant kiekvieną veiksmą.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x)

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada gauname elementariąją funkciją f(x) = e x. Todėl pakeičiame: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Sudėtinės funkcijos išvestinės ieškome naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

O dabar – dėmesio! Atliekame atvirkštinį keitimą: t = 2x+ 3. Gauname:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad jį reikia pakeisti x 2 + ln x = t. Mes turime:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’

Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2 + ln x. Tada:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki išvestinės sumos apskaičiavimo.

Atsakymas:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Labai dažnai pamokose vietoj termino „išvestinė“ vartoju žodį „pirminis“. Pavyzdžiui, sumos smūgis yra lygus smūgių sumai. Ar taip aiškiau? Na, tai yra gerai.

Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti tų pačių smūgių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinį pavyzdį, grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju eksponentu:

(x n)’ = n · x n − 1

Nedaug žmonių tai žino vaidmenyje n gali būti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0.5. Ką daryti, jei po šaknimi yra kažkas įmantraus? Vėlgi, rezultatas bus sudėtinga funkcija - tokias konstrukcijas jie mėgsta duoti testuose ir egzaminuose.

Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:

Pirmiausia perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Dabar pakeičiame: tegul x 2 + 8x − 7 = t. Išvestinę randame naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Atlikime atvirkštinį pakeitimą: t = x 2 + 8x− 7. Mes turime:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x– 7) –0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Galiausiai grįžkime prie šaknų:

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar vyriausybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra išvestinė, kokia jos fizikinė ir geometrinė reikšmė, kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai pasitaiko spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sunkiausią testą ir suprasti užduotis, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.

Tegul funkcijos u yra apibrėžtos tam tikroje taško kaimynystėje ir turi išvestines taške. Tada jų produktas turi išvestinę tašką, kuris nustatomas pagal formulę:
(1) .

Įrodymas

Įveskime tokį užrašą:
;
.
Čia ir yra kintamųjų ir funkcijos. Tačiau, kad būtų lengviau užrašyti, mes praleisime jų argumentų pavadinimus.

Toliau tai pastebime
;
.
Pagal sąlygą funkcijos ir taške turi išvestines, kurios yra šios ribos:
;
.
Iš išvestinių egzistavimo matyti, kad funkcijos ir yra tolydžios taške. Štai kodėl
;
.

Apsvarstykite kintamojo x funkciją y, kuri yra funkcijų sandauga ir:
.
Panagrinėkime šios funkcijos padidėjimą taške:

.
Dabar randame išvestinę:

.

Taigi,
.
Taisyklė pasitvirtino.

Vietoj kintamojo galite naudoti bet kurį kitą kintamąjį. Pažymėkime jį kaip x. Tada, jei yra išvestinių ir , tada dviejų funkcijų sandaugos išvestinė nustatoma pagal formulę:
.
Arba trumpesnė versija
(1) .