Iracionalių skaičių pavyzdžiai. Racionalieji ir neracionalieji skaičiai: aprašymas ir kuo jie skiriasi? Skaičiai nėra neracionalūs

Neracionalus skaičius- Tai tikras numeris, kuris nėra racionalus, tai yra, negali būti pavaizduotas kaip trupmena, kur yra sveikieji skaičiai, . Iracionalųjį skaičių galima pavaizduoti kaip begalinę neperiodinę dešimtainę trupmeną.

Iracionalių skaičių rinkinys paprastai žymimas didžiąja lotyniška raide paryškintomis raidėmis be šešėlių. Taigi: , t.y. yra daug neracionalių skaičių skirtumas tarp realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių.

Apie iracionaliųjų skaičių egzistavimą, tiksliau atkarpas, nesuderinamas su vienetinio ilgio atkarpa, žinojo jau senovės matematikai: jie žinojo, pavyzdžiui, įstrižainės ir kvadrato kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta skaičiaus neracionalumui.

Savybės

• Bet kuris realusis skaičius gali būti parašytas kaip begalinė dešimtainė trupmena, o neracionalūs skaičiai ir tik jie rašomi kaip neperiodinės begalinės dešimtainės trupmenos.
• Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekind pjūvius racionaliųjų skaičių, kurių skaičius nėra didžiausias žemesnėje klasėje, o mažesnis viršutinėje klasėje.
• Kiekvienas tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
• Kiekvienas neracionalus skaičius yra algebrinis arba transcendentinis.
• Iracionaliųjų skaičių aibė yra tanki visur skaičių tiesėje: tarp bet kurių dviejų skaičių yra iracionalusis skaičius.
• Iracionaliųjų skaičių aibės tvarka yra izomorfinė realiųjų transcendentinių skaičių aibės tvarkai.
• Iracionaliųjų skaičių aibė yra nesuskaičiuojama ir yra antrosios kategorijos aibė.

Pavyzdžiai

Neracionalūs yra:

Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

2 šaknis

Tarkime priešingai: jis yra racionalus, tai yra, jis pavaizduotas neredukuojamos trupmenos pavidalu, kur yra sveikasis skaičius ir yra natūralusis skaičius. Pastatykime tariamą lygybę:

Iš to išplaukia, kad net yra lyginis ir . Tegul būna ten, kur yra visuma. Tada

Todėl net reiškia net ir . Mes nustatėme, kad ir yra lygūs, o tai prieštarauja trupmenos nesumažinamumui. Tai reiškia, kad pradinė prielaida buvo neteisinga ir yra neracionalus skaičius.

Dvejetainis skaičiaus 3 logaritmas

Tarkime, priešingai: jis yra racionalus, tai yra, jis vaizduojamas kaip trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai. Nuo , ir galima pasirinkti teigiamas. Tada

Bet lyginis ir nelyginis. Gauname prieštaravimą.

e

Istorija

Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) suprato, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos. .

Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas paprastai priskiriamas Hipasui iš Metaponto (apie 500 m. pr. Kr.), pitagoriečiui, kuris šį įrodymą rado tyrinėdamas pentagramos kraštinių ilgius. Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, kuris į bet kurį segmentą patenka sveikuoju skaičiumi kartų. Tačiau Hipasas teigė, kad nėra vieno ilgio vieneto, nes jo egzistavimo prielaida sukelia prieštaravimą. Jis parodė, kad jei lygiašonio stačiojo trikampio hipotenuzoje yra sveikasis skaičius vienetinių atkarpų, tai šis skaičius turi būti lyginis ir nelyginis. Įrodymas atrodė taip:

• Lygiašonio stačiakampio trikampio hipotenuzės ilgio ir kojos ilgio santykis gali būti išreikštas kaip a:b, Kur a Ir b pasirinktas kaip galimas mažiausias.
• Pagal Pitagoro teoremą: a² = 2 b².
• Nes a- net, a turi būti lyginis (nes nelyginio skaičiaus kvadratas būtų nelyginis).
• Nes a:b nesumažinamas b turi būti nelyginis.
• Nes a netgi, pažymime a = 2y.
• Tada a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², todėl b- net ir tada b net.
• Tačiau buvo įrodyta, kad b nelyginis. Prieštaravimas.

Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), bet, pasak legendų, jie Hipasui nerodė deramos pagarbos. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atradimą padarė kelionėje jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „sukūrę visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio“. Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejamas dalykas.

Iracionaliųjų skaičių aibė dažniausiai žymima didžiąja raide Aš (\displaystyle \mathbb (I) ) paryškinto stiliaus be šešėlių. Taigi: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), tai yra, neracionaliųjų skaičių aibė yra skirtumas tarp realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių.

Iracionaliųjų skaičių, tiksliau atkarpų, nesuderinamų su vienetinio ilgio atkarpa, egzistavimą žinojo jau senovės matematikai: jie žinojo, pavyzdžiui, kvadrato įstrižainės ir kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta iracionalumui. skaičius.

Enciklopedinis „YouTube“.

• 1 / 5

  Neracionalūs yra:

  Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

  2 šaknis

  Tarkime, priešingai: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalus, tai yra, vaizduojamas kaip trupmena m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Kur m (\displaystyle m) yra sveikasis skaičius ir n (\displaystyle n)- natūralusis skaičius.

  Pastatykime tariamą lygybę:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\rodyklė dešinėn 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rodyklė dešinėn m^(2)=2n^(2)).

  Istorija

  Antika

  Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) suprato, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos. [ ] .

  Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas dažniausiai priskiriamas pitagoriečiui Hipasui Metapontui (apie 500 m. pr. Kr.). Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, apimantis sveiką skaičių kartų bet kuriame segmente. ] .

  Nėra tikslių duomenų, kurį skaičių Hipasas įrodė neracionalų. Pasak legendos, jis jį rado tyrinėdamas pentagramos kraštų ilgį. Todėl pagrįsta manyti, kad tai buvo auksinis pjūvis [ ] .

  Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), bet, pasak legendų, jie Hipasui nerodė deramos pagarbos. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atradimą padarė kelionėje jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „sukūrę visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio“. Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejamas dalykas.

  Ir jie kilo iš lotyniško žodžio „ratio“, kuris reiškia „priežastis“. Remiantis pažodiniu vertimu:

  • Racionalus skaičius yra „protingas skaičius“.
  • Atitinkamai neracionalus skaičius yra „neprotingas skaičius“.

  Bendroji racionaliojo skaičiaus samprata

  Racionalusis skaičius yra skaičius, kurį galima parašyti taip:

  1. Įprasta teigiama trupmena.
  2. Neigiama bendroji trupmena.
  3. Kaip skaičius nulis (0).

  

  Kitaip tariant, racionaliajam skaičiui taikomi šie apibrėžimai:

  • Bet kuris natūralusis skaičius iš prigimties yra racionalus, nes bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta trupmena.
  • Bet koks sveikasis skaičius, įskaitant skaičių nulį, nes bet kurį sveikąjį skaičių galima parašyti kaip teigiamą paprastąją trupmeną, kaip neigiamą paprastąją trupmeną arba kaip skaičių nulį.
  • Bet kuri įprasta trupmena, nesvarbu, ar ji teigiama, ar neigiama, taip pat tiesiogiai priartėja prie racionalaus skaičiaus apibrėžimo.
  • Apibrėžimas taip pat gali apimti mišrų skaičių, baigtinę dešimtainę trupmeną arba begalinę periodinę trupmeną.

  Racionalių skaičių pavyzdžiai

  Pažvelkime į racionalių skaičių pavyzdžius:

  • Natūralūs skaičiai - „4“, „202“, „200“.
  • Sveikieji skaičiai – „-36“, „0“, „42“.
  • Paprastosios trupmenos.

  Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių visiškai akivaizdu, kad racionalieji skaičiai gali būti teigiami ir neigiami. Natūralu, kad skaičius 0 (nulis), kuris savo ruožtu taip pat yra racionalus skaičius, tuo pačiu nepriklauso nei teigiamo, nei neigiamo skaičiaus kategorijai.

  Todėl norėčiau priminti bendrojo lavinimo programą naudojant tokį apibrėžimą: „Racionalieji skaičiai“ yra tie skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip trupmeną x/y, kur x (skaitiklis) yra sveikas skaičius, o y (vardiklis) yra natūralusis skaičius.

  Bendroji iracionaliojo skaičiaus samprata ir apibrėžimas

  Be „racionalių skaičių“, mes taip pat žinome vadinamuosius „neracionalius skaičius“. Pabandykime trumpai apibrėžti šiuos skaičius.

  Net senovės matematikai, norėdami apskaičiuoti kvadrato įstrižainę išilgai jo kraštų, sužinojo apie neracionalų skaičių.
  Remdamiesi racionaliųjų skaičių apibrėžimu, galite sukurti loginę grandinę ir pateikti neracionaliojo skaičiaus apibrėžimą.
  Taigi iš esmės tie realieji skaičiai, kurie nėra racionalūs, yra tiesiog neracionalūs skaičiai.
  Dešimtainės trupmenos, išreiškiančios neracionalius skaičius, nėra periodinės ir begalinės.
  
  

  Iracionaliojo skaičiaus pavyzdžiai

  Aiškumo dėlei panagrinėkime nedidelį neracionaliojo skaičiaus pavyzdį. Kaip jau supratome, begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos vadinamos neracionaliomis, pavyzdžiui:

  • Skaičius „-5.020020002... (aiškiai matosi, kad du skiria vienas, du, trys ir pan. nuliai)
  • Skaičius „7.040044000444... (čia aišku, kad ketvertų skaičius ir nulių skaičius grandinėje kaskart didėja vienu).
  • Visi žino skaičių Pi (3,1415...). Taip, taip – ​​tai irgi neracionalu.

  Apskritai visi realieji skaičiai yra ir racionalūs, ir neracionalūs. Paprastais žodžiais tariant, neracionalus skaičius negali būti pavaizduotas kaip bendroji trupmena x/y.

  Bendra išvada ir trumpas skaičių palyginimas

  Mes žiūrėjome į kiekvieną skaičių atskirai, tačiau skirtumas tarp racionalaus ir neracionalaus skaičiaus išlieka:

  1. Neracionalus skaičius atsiranda išimant kvadratinę šaknį, dalijant apskritimą iš jo skersmens ir pan.
  2. Racionalusis skaičius reiškia bendrąją trupmeną.

  Užbaikime savo straipsnį keliais apibrėžimais:

  • Aritmetinė operacija, atlikta su racionaliuoju skaičiumi, išskyrus dalijimą iš 0 (nulio), galiausiai lems racionalųjį skaičių.
  • Galutinis rezultatas, atliekant aritmetinį veiksmą su neracionaliuoju skaičiumi, gali lemti ir racionaliąją, ir neracionaliąją reikšmę.
  • Jei aritmetinėje operacijoje dalyvauja abu skaičiai (išskyrus padalijimą arba daugybą iš nulio), rezultatas bus neracionalus skaičius.

  Pavyzdys:
  \(4\) yra racionalus skaičius, nes jį galima parašyti kaip \(\frac(4)(1)\) ;
  \(0,0157304\) taip pat yra racionalus, nes jis gali būti parašytas forma \(\frac(157304)(10000000)\) ;
  \(0,333(3)...\) - ir tai yra racionalus skaičius: gali būti pavaizduotas kaip \(\frac(1)(3)\) ;
  \(\sqrt(\frac(3)(12))\) yra racionalus, nes jį galima pavaizduoti kaip \(\frac(1)(2)\) . Iš tiesų, galime atlikti transformacijų grandinę \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

  
  

  Neracionalus skaičius yra skaičius, kurio negalima parašyti kaip trupmeną su sveikuoju skaitikliu ir vardikliu.

  Tai neįmanoma, nes taip yra begalinis trupmenomis ir net neperiodinėmis. Todėl nėra sveikųjų skaičių, kuriuos padalijus vienas iš kito, gautų neracionalųjį skaičių.

  Pavyzdys:
  \(\sqrt(2)≈1,414213562…\) yra neracionalusis skaičius;
  \(π≈3.1415926… \) yra neracionalusis skaičius;
  \(\log_(2)(5)≈2,321928…\) yra neracionalus skaičius.

  
  

  Pavyzdys (Užduotis iš OGE). Kurio iš posakių reikšmė yra racionalusis skaičius?
  1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
  2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

  Sprendimas:

  1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – negalima paimti \(14\) šaknies, o tai reiškia, kad skaičių pateikti sveikaisiais skaičiais trupmena taip pat neįmanoma, todėl skaičius yra neracionalus.

  2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – nelieka šaknų, skaičių galima nesunkiai pavaizduoti trupmena, pavyzdžiui \(\frac(-5)(1)\), vadinasi, racionalu.

  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – šaknies negalima išskirti – skaičius neracionalus.

  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) taip pat yra neracionalus.

  Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas

  Neracionalieji skaičiai yra tie skaičiai, kurie dešimtainėje žymėjime reiškia begalę neperiodinių dešimtainių trupmenų.

  
  
  

  Taigi, pavyzdžiui, skaičiai, gauti paėmus natūraliųjų skaičių kvadratinę šaknį, yra neracionalūs ir nėra natūraliųjų skaičių kvadratai. Tačiau ne visi neracionalieji skaičiai gaunami paėmus kvadratines šaknis, nes skaičius pi, gautas dalijant, taip pat yra neracionalus, ir vargu ar jį gausite bandydami išgauti natūraliojo skaičiaus kvadratinę šaknį.

  Iracionaliųjų skaičių savybės

  Skirtingai nei skaičiai, parašyti kaip begaliniai dešimtainiai, tik neracionalūs skaičiai rašomi kaip neperiodiniai begaliniai dešimtainiai.
  Dviejų neneigiamų neracionalių skaičių suma gali būti racionalusis skaičius.
  Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekindo pjūvius racionaliųjų skaičių aibėje, kurios žemesnėje klasėje nėra didžiausio skaičiaus, o aukštesniojoje klasėje nėra mažesnio.
  Bet koks tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
  Visi neracionalūs skaičiai yra algebriniai arba transcendentiniai.
  Iracionaliųjų skaičių rinkinys tiesėje yra tankiai išdėstytas, o tarp bet kurių dviejų jos skaičių tikrai yra neracionalusis skaičius.
  Iracionaliųjų skaičių aibė yra begalinė, neskaičiuojama ir yra 2 kategorijos aibė.
  Atliekant bet kokią aritmetinę operaciją su racionaliaisiais skaičiais, išskyrus dalijimą iš 0, rezultatas bus racionalus skaičius.
  Pridedant racionalųjį skaičių prie neracionaliojo skaičiaus, rezultatas visada yra iracionalusis skaičius.
  Sudėjus neracionalius skaičius, galime gauti racionalųjį skaičių.
  Iracionaliųjų skaičių aibė nėra lyginė.
  

  Skaičiai nėra neracionalūs

  Kartais gana sunku atsakyti į klausimą, ar skaičius yra neracionalus, ypač tais atvejais, kai skaičius yra dešimtainės trupmenos arba skaitinės išraiškos, šaknies ar logaritmo pavidalu.

  Todėl nebus nereikalinga žinoti, kurie skaičiai nėra neracionalūs. Jei vadovausimės iracionaliųjų skaičių apibrėžimu, tai jau žinome, kad racionalieji skaičiai negali būti neracionalūs.

  Neracionalūs skaičiai nėra:

  Pirma, visi natūralieji skaičiai;
  Antra, sveikieji skaičiai;
  Trečia, paprastosios trupmenos;
  Ketvirta, įvairūs mišrūs skaičiai;
  Penkta, tai yra begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.
  

  Be to, kas išdėstyta aukščiau, neracionalusis skaičius negali būti bet koks racionaliųjų skaičių derinys, kurį atlieka aritmetinių operacijų ženklai, pvz., +, -, , :, nes tokiu atveju taip pat bus dviejų racionaliųjų skaičių rezultatas. racionalus skaičius.

  Dabar pažiūrėkime, kurie skaičiai yra neracionalūs:

  
  
  

  Ar žinote, kad egzistuoja fanų klubas, kuriame šio paslaptingo matematinio reiškinio gerbėjai ieško vis daugiau informacijos apie Pi, bandydami įminti jo paslaptį? Šio klubo nariu gali tapti bet kuris asmuo, mintinai žinantis tam tikrą Pi skaičių po kablelio;

  Ar žinojote, kad Vokietijoje, saugomoje UNESCO, yra Castadel Monte rūmai, kurių proporcijų dėka galite apskaičiuoti Pi. Šiam numeriui karalius Frederikas II paskyrė visus rūmus.

  Pasirodo, Babelio bokšto statyboje jie bandė panaudoti skaičių Pi. Deja, tai lėmė projekto žlugimą, nes tuo metu tikslus Pi vertės apskaičiavimas nebuvo pakankamai ištirtas.

  Dainininkė Kate Bush savo naujajame diske įrašė dainą „Pi“, kurioje skambėjo šimtas dvidešimt keturi numeriai iš garsiosios skaičių serijos 3, 141….