Trikampio formulės plotas, pagrįstas dviem kraštinėmis. Trikampio plotas

Norėdami nustatyti trikampio plotą, galite naudoti skirtingas formules. Iš visų metodų lengviausias ir dažniausiai naudojamas aukštį padauginti iš pagrindo ilgio ir padalyti rezultatą iš dviejų. Tačiau šis metodas toli gražu nėra vienintelis. Žemiau galite perskaityti, kaip rasti trikampio plotą naudojant skirtingas formules.

Atskirai apžvelgsime būdus, kaip apskaičiuoti konkrečių tipų trikampių - stačiakampių, lygiašonių ir lygiašonių - plotą. Prie kiekvienos formulės pateikiame trumpą paaiškinimą, kuris padės suprasti jos esmę.

Universalūs trikampio ploto nustatymo metodai

Toliau pateiktose formulėse naudojamas specialus žymėjimas. Mes iššifruosime kiekvieną iš jų:

• a, b, c – mūsų nagrinėjamos figūros trijų kraštinių ilgiai;
• r yra apskritimo, kurį galima įrašyti į mūsų trikampį, spindulys;
• R yra apskritimo, kurį galima apibūdinti aplink jį, spindulys;
• α – kampo, sudaryto iš kraštinių b ir c, dydis;
• β – kampo tarp a ir c dydis;
• γ – kampo, sudaryto iš kraštinių a ir b, dydis;
• h yra mūsų trikampio aukštis, nuleistas nuo kampo α į kraštinę a;
• p – pusė kraštinių a, b ir c sumos.

Logiškai aišku, kodėl tokiu būdu galite rasti trikampio plotą. Trikampis gali būti lengvai sudarytas į lygiagretainį, kuriame viena trikampio kraštinė veiks kaip įstrižainė. Lygiagretainio plotas randamas vienos iš jo kraštinių ilgį padauginus iš į ją nubrėžto aukščio vertės. Įstrižainė padalija šį sąlyginį lygiagretainį į 2 vienodus trikampius. Todėl visiškai akivaizdu, kad mūsų pradinio trikampio plotas turi būti lygus pusei šio pagalbinio lygiagretainio ploto.

S=½ a b sin γ

Pagal šią formulę trikampio plotas randamas padauginus jo dviejų kraštinių, tai yra a ir b, ilgius iš jų suformuoto kampo sinuso. Ši formulė logiškai išvesta iš ankstesnės. Jei aukštį nuo kampo β sumažiname į kraštinę b, tai pagal stačiojo trikampio savybes, kraštinės a ilgį padauginus iš kampo γ sinuso, gauname trikampio aukštį, tai yra h. .

Nagrinėjamos figūros plotas randamas padauginus pusę apskritimo, kurį galima įrašyti į jį, spindulio iš jo perimetro. Kitaip tariant, randame minėto apskritimo pusperimetro ir spindulio sandaugą.

S= a b c/4R

Pagal šią formulę mums reikiamą reikšmę galime rasti figūros kraštinių sandaugą padalijus iš 4 aplink ją aprašyto apskritimo spindulių.

Šios formulės yra universalios, nes leidžia nustatyti bet kurio trikampio plotą (skalė, lygiašonis, lygiakraštis, stačiakampis). Tai galima padaryti naudojant sudėtingesnius skaičiavimus, kurių mes išsamiai nenagrinėsime.

Tam tikrų savybių turinčių trikampių plotai

Kaip rasti stačiojo trikampio plotą? Šios figūros ypatumas yra tas, kad dvi jos pusės yra vienu metu jos aukščiai. Jei a ir b yra kojos, o c tampa hipotenuze, tada randame tokią sritį:

Kaip rasti lygiašonio trikampio plotą? Jis turi dvi puses, kurių ilgis a, ir vieną kraštą, kurio ilgis b. Vadinasi, jo plotą galima nustatyti kraštinės a kvadrato sandaugą padalijus iš 2 iš kampo γ sinuso.

Kaip rasti lygiakraščio trikampio plotą? Joje visų kraštinių ilgis lygus a, o visų kampų dydis lygus α. Jos aukštis lygus pusei kraštinės a ilgio ir kvadratinės šaknies iš 3 sandaugos. Norėdami rasti taisyklingo trikampio plotą, turite padauginti kraštinės a kvadratą iš kvadratinės šaknies iš 3 ir padalyti iš 4.

Kartais gyvenime pasitaiko situacijų, kai ieškant seniai pamirštų mokyklinių žinių tenka gilintis į savo atmintį. Pavyzdžiui, reikia nustatyti trikampio formos sklypo plotą arba atėjo laikas kitai renovacijai bute ar privačiame name ir reikia apskaičiuoti, kiek medžiagos reikės paviršiui su trikampio formos. Buvo laikas, kai tokią problemą galėjote išspręsti per porą minučių, bet dabar desperatiškai bandote prisiminti, kaip nustatyti trikampio plotą?

Nesijaudink dėl to! Juk visai normalu, kai žmogaus smegenys nusprendžia ilgai nenaudotas žinias perkelti kur nors į atokų kampelį, iš kurio kartais ne taip paprasta jas ištraukti. Kad jums nereikėtų ieškoti pamirštų mokyklinių žinių, kad išspręstumėte tokią problemą, šiame straipsnyje pateikiami įvairūs metodai, padedantys lengvai rasti reikiamą trikampio plotą.

Gerai žinoma, kad trikampis yra daugiakampio tipas, apribotas iki minimalaus galimo kraštinių skaičiaus. Iš esmės bet kurį daugiakampį galima padalyti į kelis trikampius, jo viršūnes sujungiant atkarpomis, kurios nesikerta jo kraštinių. Todėl, žinodami trikampį, galite apskaičiuoti beveik bet kurios figūros plotą.

Tarp visų galimų gyvenime pasitaikančių trikampių galima išskirti šiuos konkrečius tipus: ir stačiakampius.

Lengviausias būdas apskaičiuoti trikampio plotą yra tada, kai vienas iš jo kampų yra stačiakampis, tai yra, stačiakampio trikampio atveju. Nesunku pastebėti, kad tai pusė stačiakampio. Todėl jo plotas yra lygus pusei kraštinių, kurie sudaro stačiu kampu vienas su kitu, sandaugos.

Jei žinome trikampio, nuleisto nuo vienos jo viršūnės į priešingą kraštinę, aukštį ir šios kraštinės, vadinamos pagrindu, ilgį, tai plotas skaičiuojamas kaip pusė aukščio ir pagrindo sandaugos. Tai parašyta naudojant šią formulę:

S = 1/2*b*h, kuriame

S yra reikalingas trikampio plotas;

b, h - atitinkamai trikampio aukštis ir pagrindas.

Taip lengva apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą, nes aukštis bus padalintas į priešingą pusę ir gali būti lengvai išmatuotas. Jei plotas yra nustatytas, tada kaip aukštį patogu paimti vienos iš kraštinių, sudarančių stačią kampą, ilgį.

Visa tai, žinoma, gerai, bet kaip nustatyti, ar vienas iš trikampio kampų yra teisingas, ar ne? Jei mūsų figūros dydis mažas, tuomet galime naudoti konstrukcinį kampą, piešimo trikampį, atviruką ar kitą stačiakampio formos daiktą.

Bet ką daryti, jei turime trikampį žemės sklypą? Tokiu atveju elkitės taip: nuo tariamo stačiojo kampo viršaus vienoje pusėje suskaičiuokite atstumo kartotinį 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), o kitoje pusėje išmatuokite atstumo kartotinį iš 4 proporcija (40 cm, 160 cm, 4 m). Dabar reikia išmatuoti atstumą tarp šių dviejų segmentų galinių taškų. Jei rezultatas yra 5 kartotinis (50 cm, 250 cm, 5 m), tada galime sakyti, kad kampas yra teisingas.

Jei žinomas kiekvienos iš trijų mūsų figūros kraštinių ilgis, tada trikampio plotą galima nustatyti naudojant Herono formulę. Kad ji būtų paprastesnė, naudojama nauja reikšmė, kuri vadinama pusiau perimetru. Tai yra visų mūsų trikampio kraštinių suma, padalinta per pusę. Apskaičiavę pusperimetrą, galite pradėti nustatyti plotą naudodami formulę:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kur

sqrt - kvadratinė šaknis;

p - pusiau perimetro reikšmė (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - trikampio briaunos (kraštinės).

Bet ką daryti, jei trikampis yra netaisyklingos formos? Čia yra du galimi būdai. Pirmasis iš jų – pabandyti tokią figūrą padalinti į du stačiuosius trikampius, kurių plotų suma apskaičiuojama atskirai, o po to pridedama. Arba, jei kampas tarp dviejų kraštinių ir šių kraštinių dydis yra žinomi, taikykite formulę:

S = 0,5 * ab * sinC, kur

a,b - trikampio kraštinės;

c yra kampo tarp šių kraštinių dydis.

Pastarasis atvejis praktikoje yra retas, tačiau nepaisant to, gyvenime viskas įmanoma, todėl aukščiau pateikta formulė nebus nereikalinga. Sėkmės atliekant skaičiavimus!

taip:

S = ½ * a * h,

Kur:
S – trikampio plotas,
a yra jos kraštinės ilgis,
h yra aukštis, nuleistas į šią pusę.

Šonų ilgis ir aukštis turi būti pateikti tais pačiais matavimo vienetais. Tokiu atveju trikampio plotas bus gautas atitinkamais " " vienetais.

Pavyzdys.
Vienoje 20 cm ilgio skaleninio trikampio pusėje nuleidžiamas 10 cm ilgio statmenas iš priešingos viršūnės.
Reikalingas trikampio plotas.
Sprendimas.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jei žinomi bet kurių dviejų skalinio trikampio kraštinių ilgiai ir kampas tarp jų, naudokite formulę:

S = ½ * a * b * sinγ,

čia: a, b yra dviejų savavališkų kraštinių ilgiai, o γ yra kampo tarp jų reikšmė.

Praktikoje, pavyzdžiui, matuojant žemės plotą, aukščiau išvardytų formulių naudojimas kartais yra sudėtingas, nes tam reikia papildomos konstrukcijos ir kampų matavimo.

Jei žinote visų trijų skalės trikampio kraštinių ilgius, naudokite Herono formulę:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – trikampio kraštinių ilgiai,
p – pusperimetras: p = (a+b+c)/2.

Jei, be visų kraštinių ilgių, žinomas ir į trikampį įrašyto apskritimo spindulys, naudokite šią kompaktinę formulę:

čia: r – įbrėžto apskritimo spindulys (р – pusperimetras).

Norėdami apskaičiuoti skalės trikampio plotą, naudodami apskritimo spindulį ir jo kraštinių ilgį, naudokite formulę:

čia: R – apibrėžtojo apskritimo spindulys.

Jei yra žinomas vienos iš trikampio kraštinių ilgis ir trijų kampų reikšmės (iš esmės pakanka dviejų - trečiosios vertė apskaičiuojama iš trijų trikampio kampų sumos lygybės - 180º), tada naudokite formulę:

S = (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

čia α yra kampo, priešingo a kraštinei, reikšmė;
β, γ – likusių dviejų trikampio kampų reikšmės.

Taisyklingas trikampis yra trikampis su trimis lygiomis kraštinėmis. Jis turi tokias savybes: visos taisyklingo trikampio kraštinės yra lygios viena kitai, o visi kampai lygūs 60 laipsnių. Taisyklingas trikampis yra lygiašonis.

Jums reikės

• Geometrijos išmanymas.

Instrukcijos

Tegu yra taisyklingo trikampio, kurio ilgis a=7, kraštinė. Žinodami tokio trikampio kraštinę, galite lengvai apskaičiuoti jo plotą. Tam naudojama: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Pakeiskime reikšmę a=7 į šią formulę ir gaukime taip: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Taigi mes nustatėme, kad lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė a = 7, plotas yra lygus S = 20,82.

Jei nurodytas apskritimo spindulys, jis atrodys taip:
S = 3*3^(1/2)*r^2, kur r yra įbrėžto apskritimo spindulys. Tegul įbrėžto apskritimo spindulys yra r=4. Pakeiskime jį į anksčiau parašytą formulę ir gaukime tokią išraišką: S = 3*1.7*4*4 = 81.6. Tai yra, jei įbrėžto apskritimo spindulys yra lygus 4, lygiakraščio trikampio plotas bus lygus 81,6.

Esant žinomam apibrėžto apskritimo spinduliui, trikampio ploto formulė atrodo taip: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, kur R yra apibrėžto apskritimo spindulys . Tarkime, kad R=5, šią reikšmę pakeiskite formule: S = 3*1.7*25/4 = 31.9. Pasirodo, kai apibrėžtojo apskritimo spindulys lygus 5, trikampio plotas yra 31,9.

pastaba

Trikampio plotas visada yra teigiamas, kaip ir trikampio kraštinės ilgis ir įbrėžtųjų bei apibrėžtųjų apskritimų spindulys.

Naudingas patarimas

Įbrėžto ir apibrėžto apskritimo spindulys lygiakraštyje trikampyje skiriasi du kartus, tai žinodami, galite prisiminti tik vieną formulę, pavyzdžiui, per įbrėžto apskritimo spindulį, o žinodami šį teiginį išvesti antrąją.

Jei yra žinomas vienos iš trikampio kraštinių ilgis ir gretimų kampų reikšmės, jo plotą galima apskaičiuoti keliais būdais. Kiekviena skaičiavimo formulė apima trigonometrinių funkcijų naudojimą, tačiau tai neturėtų bauginti - norint jas apskaičiuoti, pakanka turėti prieigą prie interneto, jau nekalbant apie įmontuotą skaičiuotuvą operacinėje sistemoje.

Instrukcijos

Pirmasis ploto (S) apskaičiavimo iš žinomo vienos iš kraštinių ilgio (A) ir gretimų kampų verčių (α ir β) variantas apima šių kampų apskaičiavimą. Plotas šiuo atveju bus žinomos kraštinės ilgio kvadratas, padalintas iš dviejų žinomų kampų kotangentų: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Pavyzdžiui, jei žinomos kraštinės ilgis yra 15 cm, o gretimi kampai yra 40° ir 60°, tada ploto skaičiavimas atrodys taip: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 kvadratinių centimetrų.

Antrasis ploto skaičiavimo variantas naudoja žinomų kampų sinusus, o ne kotangentus. Šioje versijoje plotas lygus žinomos kraštinės ilgio kvadratui, padaugintam iš kiekvieno kampo sinusų ir padalijus iš dvigubo šių kampų sumos sinuso: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Pavyzdžiui, to paties trikampio, kurio žinoma kraštinė yra 15 cm, o gretimi 40° ir 60° kampai, ploto apskaičiavimas atrodys taip: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* nuodėm

Trečiasis trikampio ploto skaičiavimo variantas naudoja kampų liestinę. Plotas bus lygus žinomos kraštinės ilgio kvadratui, padaugintam iš kiekvieno kampo liestinių ir padalijus iš dvigubos šių kampų liestinių sumos: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Pavyzdžiui, ankstesniuose žingsniuose naudotam trikampiui, kurio kraštinė yra 15 cm, o gretimi kampai 40° ir 60°, ploto apskaičiavimas atrodys taip: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.44940389)) = -80.44940389)) = -80.44940389)) = -80.44940389)) = -80.449.40 s.

Praktinius skaičiavimus galima atlikti, pavyzdžiui, naudojant Google paieškos sistemos skaičiuotuvą. Norėdami tai padaryti, tiesiog pakeiskite skaitines reikšmes į formules ir įveskite jas paieškos užklausos lauke.

4 patarimas: kaip rasti trikampio ir stačiakampio plotą

Trikampis ir stačiakampis yra dvi paprasčiausios plokštumos geometrinės figūros Euklido geometrijoje. Perimetrų, sudarytų iš šių daugiakampių kraštų, viduje yra tam tikra plokštumos atkarpa, kurios plotą galima nustatyti įvairiais būdais. Metodo pasirinkimas kiekvienu konkrečiu atveju priklausys nuo žinomų figūrų parametrų.

Geometrinės figūros plotas- geometrinės figūros skaitinė charakteristika, rodanti šios figūros dydį (paviršiaus dalis, kurią riboja uždaras šios figūros kontūras). Ploto dydis išreiškiamas jame esančių kvadratinių vienetų skaičiumi.

Trikampio ploto formulės

1. Trikampio ploto pagal kraštą ir aukštį formulė
   Trikampio plotas lygi pusei trikampio kraštinės ilgio ir aukščio, nubrėžto į šią kraštinę, sandaugos
   
2. Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir apskritimo spinduliu
   
3. Trikampio ploto formulė, pagrįsta trimis kraštinėmis ir įbrėžto apskritimo spinduliu
   Trikampio plotas lygi trikampio pusperimetro ir įbrėžto apskritimo spindulio sandaugai.
   
kur S yra trikampio plotas,
- trikampio kraštinių ilgiai,
- trikampio aukštis,
- kampas tarp šonų ir
- įbrėžto apskritimo spindulys,
R - apibrėžto apskritimo spindulys,

Kvadratinės ploto formulės

1. Kvadrato ploto pagal kraštinių ilgį formulė
   Kvadrato plotas lygus jo kraštinės ilgio kvadratui.
2. Kvadrato ploto išilgai įstrižainės formulė
   Kvadrato plotas lygus pusei jo įstrižainės ilgio kvadrato.
   

   S =	1	2
   	2

kur S yra kvadrato plotas,
- kvadrato kraštinės ilgis,
- kvadrato įstrižainės ilgis.

Stačiakampio ploto formulė

Stačiakampio plotas lygus dviejų gretimų jo kraštinių ilgių sandaugai

kur S yra stačiakampio plotas,
- stačiakampio kraštinių ilgiai.

Lygiagretainio ploto formulės

1. Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta kraštinės ilgiu ir aukščiu
   Lygiagretainio plotas
2. Lygiagretainio ploto formulė, pagrįsta dviem kraštinėmis ir kampu tarp jų
   Lygiagretainio plotas yra lygus jo kraštinių ilgių sandaugai, padaugintam iš kampo tarp jų sinuso.
   

   a b sin α

kur S yra lygiagretainio plotas,
- lygiagretainio kraštinių ilgiai,
- lygiagretainio aukščio ilgis,
- kampas tarp lygiagretainio kraštinių.

Rombo ploto formulės

1. Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir aukštį
   Rombo plotas lygus jos kraštinės ilgio ir į šią pusę nuleisto aukščio ilgio sandaugai.
2. Rombo ploto formulė pagal kraštinės ilgį ir kampą
   Rombo plotas yra lygus jo kraštinės ilgio kvadrato ir kampo tarp rombo kraštinių sinuso sandaugai.
3. Rombo ploto formulė, pagrįsta jo įstrižainių ilgiais
   Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių ilgių sandaugos.
kur S yra rombo plotas,
- rombo kraštinės ilgis,
- rombo aukščio ilgis,
- kampas tarp rombo kraštų,
1, 2 - įstrižainių ilgiai.

Trapecijos plotų formulės

1. Garnio trapecijos formulė

   kur S yra trapecijos plotas,
   - trapecijos pagrindų ilgiai,
   - trapecijos kraštinių ilgiai,
   

Ploto samprata

Bet kurios geometrinės figūros, ypač trikampio, ploto sąvoka bus susieta su tokia figūra kaip kvadratas. Bet kurios geometrinės figūros ploto vienetui imsime kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotą. Norėdami išsamumo, prisiminkime dvi pagrindines geometrinių figūrų plotų sąvokos savybes.

1 nuosavybė: Jei geometrinės figūros lygios, tai jų plotai taip pat lygūs.

2 nuosavybė: Bet kurią figūrą galima suskirstyti į kelias figūras. Be to, pradinės figūros plotas yra lygus visų ją sudarančių figūrų plotų sumai.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad viena iš trikampio kraštinių yra stačiakampio įstrižainė, kurios vienos kraštinės ilgis yra $5$ (kadangi yra $5$ langelių), o kitos - $6$ (kadangi yra $6$ langelių). Todėl šio trikampio plotas bus lygus pusei tokio stačiakampio. Stačiakampio plotas yra

Tada trikampio plotas lygus

Atsakymas: 15 USD.

Toliau apsvarstysime kelis trikampių plotų radimo būdus, būtent naudojant aukštį ir pagrindą, naudojant Herono formulę ir lygiakraščio trikampio plotą.

Kaip rasti trikampio plotą naudojant jo aukštį ir pagrindą

1 teorema

Trikampio plotą galima rasti kaip pusę kraštinės ilgio ir aukščio iki tos pusės sandaugos.

Matematiškai tai atrodo taip

$S=\frac(1)(2)αh$

kur $a$ yra kraštinės ilgis, $h$ yra jos aukštis.

Įrodymas.

Apsvarstykite trikampį $ABC$, kuriame $AC=α$. Į šią pusę nubrėžtas aukštis $BH$, kuris lygus $h$. Pastatykime jį iki kvadrato $AXYC$, kaip parodyta 2 paveiksle.

Stačiakampio $AXBH$ plotas yra $h\cdot AH$, o stačiakampio $HBYC$ plotas yra $h\cdot HC$. Tada

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Todėl reikalingas trikampio plotas pagal savybę 2 yra lygus

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema įrodyta.

2 pavyzdys

Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite trikampio plotą, jei langelio plotas lygus vienetui

Šio trikampio pagrindas lygus $9$ (nes $9$ yra $9$ kvadratai). Aukštis taip pat yra 9 USD. Tada pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Atsakymas: 40,5 USD.

Garnio formulė

2 teorema

Jei mums pateikiamos trys trikampio kraštinės $α$, $β$ ir $γ$, tai jo plotą galima rasti taip

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

čia $ρ$ reiškia šio trikampio pusperimetrą.

Įrodymas.

Apsvarstykite šį paveikslą:

Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio $ABH$ gauname

Iš trikampio $CBH$ pagal Pitagoro teoremą turime

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iš šių dviejų santykių gauname lygybę

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kadangi $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tada $α+β+γ=2ρ$, o tai reiškia

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$