2 yra neracionalus skaičius. Iracionalieji skaičiai, apibrėžimas, pavyzdžiai

Visų natūraliųjų skaičių aibė žymima raide N. Natūralūs skaičiai – tai skaičiai, kuriuos naudojame objektams skaičiuoti: 1,2,3,4, ... Kai kuriuose šaltiniuose skaičius 0 taip pat laikomas natūraliuoju skaičiumi.

Visų sveikųjų skaičių aibė žymima raide Z. Sveikieji skaičiai yra visi natūralūs skaičiai, nulis ir neigiami skaičiai:

1,-2,-3, -4, …

Dabar prie visų sveikųjų skaičių aibės pridėkime visų paprastųjų trupmenų aibę: 2/3, 18/17, -4/5 ir pan. Tada gauname visų racionaliųjų skaičių aibę.

Racionaliųjų skaičių rinkinys

Visų racionaliųjų skaičių aibė žymima raide Q. Visų racionaliųjų skaičių aibė (Q) yra aibė, susidedanti iš m/n, -m/n formų skaičių ir skaičiaus 0. Bet kuris natūralusis skaičius gali veikti kaip n,m. Reikėtų pažymėti, kad visi racionalieji skaičiai gali būti pavaizduoti kaip baigtinė arba begalinė PERIODINĖ dešimtainė trupmena. Taip pat tiesa, kad bet kuri baigtinė arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena gali būti užrašoma kaip racionalus skaičius.

Bet kaip, pavyzdžiui, su numeriu 2.0100100010...? Tai be galo NEPERIODINĖ dešimtainė trupmena. Ir tai netaikoma racionaliems skaičiams.

Mokyklos algebros kurse tiriami tik realieji (arba realieji) skaičiai. Visų realiųjų skaičių aibė žymima raide R. Aibė R susideda iš visų racionaliųjų ir visų neracionalių skaičių.

Iracionaliųjų skaičių samprata

Iracionalieji skaičiai yra begalinės dešimtainės neperiodinės trupmenos. Iracionalūs skaičiai neturi specialaus pavadinimo.

Pavyzdžiui, visi skaičiai, gauti ištraukus natūraliųjų skaičių kvadratinę šaknį, kurie nėra natūraliųjų skaičių kvadratai, bus neracionalūs. (√2, √3, √5, √6 ir kt.).

Tačiau nemanykite, kad neracionalūs skaičiai gaunami tik ištraukus kvadratines šaknis. Pavyzdžiui, skaičius „pi“ taip pat yra neracionalus ir gaunamas dalijant. Ir kad ir kaip stengtumėtės, to negalite gauti paėmę bet kurio natūraliojo skaičiaus kvadratinę šaknį.

Ir jie kilo iš lotyniško žodžio „ratio“, kuris reiškia „priežastis“. Remiantis pažodiniu vertimu:

• Racionalus skaičius yra „protingas skaičius“.
• Atitinkamai neracionalus skaičius yra „neprotingas skaičius“.

Bendroji racionaliojo skaičiaus samprata

Racionalusis skaičius yra skaičius, kurį galima parašyti taip:

1. Įprasta teigiama trupmena.
2. Neigiama bendroji trupmena.
3. Kaip skaičius nulis (0).

Kitaip tariant, racionaliajam skaičiui taikomi šie apibrėžimai:

• Bet kuris natūralusis skaičius iš prigimties yra racionalus, nes bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta trupmena.
• Bet koks sveikasis skaičius, įskaitant skaičių nulį, nes bet kurį sveikąjį skaičių galima parašyti kaip teigiamą paprastąją trupmeną, kaip neigiamą paprastąją trupmeną arba kaip skaičių nulį.
• Bet kuri įprasta trupmena, nesvarbu, ar ji teigiama, ar neigiama, taip pat tiesiogiai priartėja prie racionalaus skaičiaus apibrėžimo.
• Apibrėžimas taip pat gali apimti mišrų skaičių, baigtinę dešimtainę trupmeną arba begalinę periodinę trupmeną.

Racionalių skaičių pavyzdžiai

Pažvelkime į racionalių skaičių pavyzdžius:

• Natūralūs skaičiai - „4“, „202“, „200“.
• Sveikieji skaičiai – „-36“, „0“, „42“.
• Paprastosios trupmenos.

Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių visiškai akivaizdu, kad racionalieji skaičiai gali būti teigiami ir neigiami. Natūralu, kad skaičius 0 (nulis), kuris savo ruožtu taip pat yra racionalus skaičius, tuo pačiu nepriklauso nei teigiamo, nei neigiamo skaičiaus kategorijai.

Todėl norėčiau priminti bendrojo lavinimo programą naudojant tokį apibrėžimą: „Racionalieji skaičiai“ yra tie skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip trupmeną x/y, kur x (skaitiklis) yra sveikas skaičius, o y (vardiklis) yra natūralusis skaičius.

Bendroji iracionaliojo skaičiaus samprata ir apibrėžimas

Be „racionalių skaičių“, mes taip pat žinome vadinamuosius „neracionalius skaičius“. Pabandykime trumpai apibrėžti šiuos skaičius.

Net senovės matematikai, norėdami apskaičiuoti kvadrato įstrižainę išilgai jo kraštų, sužinojo apie neracionalų skaičių.
Remdamiesi racionaliųjų skaičių apibrėžimu, galite sukurti loginę grandinę ir pateikti neracionaliojo skaičiaus apibrėžimą.
Taigi iš esmės tie realieji skaičiai, kurie nėra racionalūs, yra tiesiog neracionalūs skaičiai.
Dešimtainės trupmenos, išreiškiančios neracionalius skaičius, nėra periodinės ir begalinės.

Iracionaliojo skaičiaus pavyzdžiai

Aiškumo dėlei panagrinėkime nedidelį neracionaliojo skaičiaus pavyzdį. Kaip jau supratome, begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos vadinamos neracionaliomis, pavyzdžiui:

• Skaičius „-5.020020002... (aiškiai matosi, kad du skiria vienas, du, trys ir pan. nuliai)
• Skaičius „7.040044000444... (čia aišku, kad ketvertų skaičius ir nulių skaičius grandinėje kaskart didėja vienu).
• Visi žino skaičių Pi (3,1415...). Taip, taip – ​​tai irgi neracionalu.

Apskritai visi realieji skaičiai yra ir racionalūs, ir neracionalūs. Paprastais žodžiais tariant, neracionalus skaičius negali būti pavaizduotas kaip bendroji trupmena x/y.

Bendra išvada ir trumpas skaičių palyginimas

Mes žiūrėjome į kiekvieną skaičių atskirai, tačiau skirtumas tarp racionalaus ir neracionalaus skaičiaus išlieka:

1. Neracionalus skaičius atsiranda išimant kvadratinę šaknį, dalijant apskritimą iš jo skersmens ir pan.
2. Racionalusis skaičius reiškia bendrąją trupmeną.

Užbaikime savo straipsnį keliais apibrėžimais:

• Aritmetinė operacija, atlikta su racionaliuoju skaičiumi, išskyrus dalijimą iš 0 (nulio), galiausiai lems racionalųjį skaičių.
• Galutinis rezultatas, atliekant aritmetinį veiksmą su neracionaliuoju skaičiumi, gali lemti ir racionaliąją, ir neracionaliąją reikšmę.
• Jei aritmetinėje operacijoje dalyvauja abu skaičiai (išskyrus padalijimą arba daugybą iš nulio), rezultatas bus neracionalus skaičius.

Visi racionalūs skaičiai gali būti pavaizduoti kaip bendroji trupmena. Tai taikoma sveikiesiems skaičiams (pavyzdžiui, 12, –6, 0) ir baigtinėms dešimtainėms trupmenoms (pavyzdžiui, 0,5; –3,8921) ir begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms (pvz., 0,11(23); –3 , (87) )).

Tačiau begalinis neperiodinis dešimtainis skaičius negali būti vaizduojamos kaip paprastosios trupmenos. Tai jie tokie neracionalūs skaičiai(tai yra neracionalu). Tokio skaičiaus pavyzdys yra skaičius π, kuris yra maždaug lygus 3,14. Tačiau, kam jis tiksliai lygus, neįmanoma nustatyti, nes po skaičiaus 4 yra begalė kitų skaičių, kuriuose negalima atskirti pasikartojančių laikotarpių. Be to, nors skaičius π negali būti tiksliai išreikštas, jis turi specifinę geometrinę reikšmę. Skaičius π yra bet kurio apskritimo ilgio ir jo skersmens ilgio santykis. Taigi neracionalūs skaičiai iš tikrųjų egzistuoja gamtoje, kaip ir racionalieji skaičiai.

Kitas neracionaliųjų skaičių pavyzdys yra teigiamų skaičių kvadratinės šaknys. Iš vienų skaičių ištraukus šaknis, gaunamos racionalios reikšmės, iš kitų – neracionalios. Pavyzdžiui, √4 = 2, ty 4 šaknis yra racionalus skaičius. Tačiau √2, √5, √7 ir daugelis kitų lemia neracionalius skaičius, tai yra, juos galima išskirti tik apytiksliai, apvalinant iki tam tikros dešimtainės dalies. Šiuo atveju trupmena tampa neperiodinė. Tai yra, neįmanoma tiksliai ir neabejotinai pasakyti, kokia yra šių skaičių šaknis.

Taigi √5 yra skaičius, esantis tarp skaičių 2 ir 3, nes √4 = 2, o √9 = 3. Taip pat galime daryti išvadą, kad √5 yra arčiau 2 nei 3, nes √4 yra arčiau √5 nei √9 iki √5. Iš tiesų, √5 ≈ 2,23 arba √5 ≈ 2,24.

Iracionalūs skaičiai taip pat gaunami atliekant kitus skaičiavimus (ir ne tik išgaunant šaknis) ir gali būti neigiami.

Kalbant apie neracionalius skaičius, galime teigti, kad nesvarbu, kokį vienetinį segmentą imtume išmatuoti tokiu skaičiumi išreikštą ilgį, mes jo tikrai negalėsime išmatuoti.

Aritmetinėse operacijose neracionalieji skaičiai gali dalyvauti kartu su racionaliais. Tuo pačiu metu yra keletas dėsningumų. Pavyzdžiui, jei aritmetinėje operacijoje dalyvauja tik racionalieji skaičiai, tada rezultatas visada yra racionalus skaičius. Jei operacijoje dalyvauja tik neracionalieji, tai vienareikšmiškai pasakyti, ar rezultatas bus racionalus ar neracionalus skaičius, neįmanoma.

Pavyzdžiui, jei padauginate du neracionalius skaičius √2 * √2, gausite 2 - tai yra racionalus skaičius. Kita vertus, √2 * √3 = √6 yra neracionalus skaičius.

Jei aritmetinė operacija apima racionalius ir neracionalius skaičius, tada rezultatas bus neracionalus. Pavyzdžiui, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Kodėl √17 – 4 yra neracionalus skaičius? Įsivaizduokime, kad gauname racionalųjį skaičių x. Tada √17 = x + 4. Bet x + 4 yra racionalus skaičius, nes manėme, kad x yra racionalus. Skaičius 4 taip pat yra racionalus, taigi x + 4 yra racionalus. Tačiau racionalusis skaičius negali būti lygus iracionaliajam skaičiui √17. Todėl prielaida, kad √17 – 4 duoda racionalų rezultatą, yra neteisinga. Aritmetinės operacijos rezultatas bus neracionalus.

Tačiau yra šios taisyklės išimtis. Jei neracionalųjį skaičių padauginsime iš 0, gausime racionalųjį skaičių 0.

Ir π

Taigi neracionaliųjų skaičių aibė yra skirtumas I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibės.

Iracionaliųjų skaičių, tiksliau atkarpų, nesuderinamų su vienetinio ilgio atkarpa, egzistavimą žinojo jau senovės matematikai: jie žinojo, pavyzdžiui, įstrižainės ir kvadrato kraštinės nesuderinamumą, kuris yra lygiavertis skaičiaus neracionalumas 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Savybės

• Dviejų teigiamų neracionaliųjų skaičių suma gali būti racionalusis skaičius.
• Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekind skyrius racionaliųjų skaičių aibėje, kurių skaičius nėra didžiausias žemesnėje klasėje ir neturi mažiausio skaičiaus viršutinėje klasėje.
• Iracionaliųjų skaičių aibė yra tanki visur skaičių tiesėje: tarp bet kurių dviejų skirtingų skaičių yra iracionalusis skaičius.
• Iracionaliųjų skaičių aibės tvarka yra izomorfinė realiųjų transcendentinių skaičių aibės tvarkai. [ ]

Algebriniai ir transcendentiniai skaičiai

Kiekvienas neracionalus skaičius yra algebrinis arba transcendentinis. Algebrinių skaičių aibė yra skaičiuojama aibė. Kadangi realiųjų skaičių aibė yra neskaičiuojama, neracionaliųjų skaičių aibė yra neskaičiuojama.

Iracionaliųjų skaičių aibė yra antrosios kategorijos aibė.

Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:

Istorija

Antika

Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750–690 m. pr. Kr.) suprato, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos [ ] .

Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas, o tiksliau – nesuderinamų atkarpų egzistavimas, dažniausiai priskiriamas Pitagoro Hipasui iš Metaponto (maždaug 470 m. pr. Kr.). Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, apimantis sveiką skaičių kartų bet kuriame segmente. ] .

Nėra tikslių duomenų, kurį skaičių Hipasas įrodė neracionalų. Pasak legendos, jis ją rado ištyręs pentagramos kraštų ilgį. Todėl pagrįsta manyti, kad tai buvo auksinis pjūvis, nes tai įstrižainės ir kraštinės santykis taisyklingame penkiakampyje.

Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), bet, pasak legendų, jie Hipasui nerodė deramos pagarbos. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atradimą padarė kelionėje jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „sukūrę visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio“. Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejamas dalykas.

Vėliau Eudoksas Knidas (410 arba 408 m. pr. Kr. – 355 arba 347 m. pr. Kr.) sukūrė proporcijų teoriją, kurioje buvo atsižvelgta ir į racionalius, ir į neracionalius santykius. Tai buvo pagrindas suprasti pagrindinę neracionaliųjų skaičių esmę. Kiekis pradėtas vertinti ne kaip skaičius, o kaip esybių, tokių kaip linijos atkarpos, kampai, plotai, tūriai, laiko intervalai, žymėjimas – esybės, kurios gali nuolat keistis (šiuolaikine šio žodžio prasme). Dydžiai buvo kontrastuojami su skaičiais, kurie gali keistis tik „šuoliuojant“ nuo vieno skaičiaus prie kito, pavyzdžiui, nuo 4 iki 5. Skaičiai susideda iš mažiausio nedalomo dydžio, o dydžius galima mažinti neribotą laiką.

Kadangi jokia kiekybinė vertė nebuvo koreliuojama su dydžiu, Eudoxus sugebėjo aprėpti ir proporcingus, ir nesuderinamus kiekius, kai trupmeną apibrėžė kaip dviejų dydžių santykį, o proporciją - kaip dviejų trupmenų lygybę. Iš lygčių pašalindamas kiekybines reikšmes (skaičius), jis išvengė spąstų, kai neracionalų dydį tektų vadinti skaičiumi. Eudokso teorija leido graikų matematikams pasiekti neįtikėtiną pažangą geometrijoje, suteikdama jiems būtiną loginį pagrindą darbui su nepalyginamais dydžiais. Dešimtoji Euklido elementų knyga skirta neracionalių dydžių klasifikacijai.

Viduramžiai

Viduramžiai pasižymėjo sąvokų, tokių kaip nulis, neigiami skaičiai, sveikieji skaičiai ir trupmenos, priėmimu, pirmiausia Indijos, o paskui Kinijos matematikai. Vėliau prisijungė arabų matematikai ir pirmieji neigiamus skaičius laikė algebriniais objektais (kartu su teigiamais skaičiais), o tai leido sukurti discipliną, kuri dabar vadinama algebra.

Arabų matematikai sujungė senovės graikų „skaičiaus“ ir „dydžio“ sąvokas į vieną bendresnę realiųjų skaičių idėją. Jie kritiškai vertino Euklido idėjas apie ryšius; priešingai, jie sukūrė savavališkų dydžių santykių teoriją ir išplėtė skaičiaus sąvoką iki nuolatinių dydžių santykių. Savo komentare apie Euklido knygą 10 elementų persų matematikas Al Makhani (apie 800 m. e. m. e. m.) ištyrė ir klasifikavo kvadratinius iracionaliuosius skaičius (formos skaičius) ir bendresnius kubinius iracionaliuosius skaičius. Jis apibrėžė racionalius ir neracionalius dydžius, kuriuos pavadino neracionaliais skaičiais. Jis lengvai valdė šiuos objektus, bet kalbėjo apie juos kaip apie atskirus objektus, pavyzdžiui:

Priešingai nei Euklido samprata, kad dydžiai pirmiausia yra linijos atkarpos, Al Makhani sveikuosius skaičius ir trupmenas laikė racionaliais dydžiais, o kvadratines ir kubines šaknis – neracionaliais. Jis taip pat pristatė aritmetinį požiūrį į neracionaliųjų skaičių rinkinį, nes būtent jis parodė šių dydžių neracionalumą:

Egipto matematikas Abu Kamilas (apie 850 m. e. m. e. m. – apie 930 m. e. m.) pirmasis manė, kad yra priimtina pripažinti iracionaliuosius skaičius kaip kvadratinių lygčių sprendinius arba lygčių koeficientus – paprastai kvadratinės arba kubinės formos šaknimis, taip pat šaknimis. ketvirto laipsnio. 10-ajame amžiuje Irako matematikas Al Hashimi pateikė bendrus sandaugos, koeficiento ir kitų matematinių transformacijų, palyginti su neracionaliais ir racionaliais skaičiais, neracionalumo įrodymus (o ne vaizdinius geometrinius demonstravimus). Al Khazin (900 AD – 971 AD) pateikia tokį racionalaus ir neracionalaus kiekio apibrėžimą:

Daugelį šių idėjų vėliau perėmė Europos matematikai, išvertę arabiškus tekstus į lotynų kalbą XII amžiuje. Al Hassaras, arabų matematikas iš Magrebo, besispecializuojantis islamo paveldėjimo įstatymuose, XII amžiuje įvedė šiuolaikinį simbolinį matematinį trupmenų žymėjimą, padalydamas skaitiklį ir vardiklį iš horizontalios juostos. Tada tas pats užrašas pasirodė Fibonačio darbuose XIII amžiuje. Per XIV-XVI a. Madhava iš Sangamagramos ir Keralos astronomijos ir matematikos mokyklos atstovai ištyrė begalines eilutes, konverguojančias į tam tikrus neracionalius skaičius, pvz., π, ir taip pat parodė tam tikrų trigonometrinių funkcijų neracionalumą. Šiuos rezultatus Jestadeva pristatė knygoje Juktibhaza. (tuo pačiu metu įrodantis transcendentinių skaičių egzistavimą), taip permąstant Euklido darbą apie iracionaliųjų skaičių klasifikaciją. Darbai šia tema buvo paskelbti 1872 m

Tęsiamąsias trupmenas, glaudžiai susijusias su neracionaliais skaičiais (tęstinė trupmena, nurodanti tam tikrą skaičių, yra begalinė tada ir tik tada, kai skaičius yra neracionalus), pirmą kartą ištyrė Cataldi 1613 m., tada vėl atkreipė dėmesį į Eulerio darbą. pradžios XIX a. – Lagranžo darbuose. Dirichlet taip pat labai prisidėjo prie tęstinių trupmenų teorijos kūrimo. 1761 m. Lambertas naudojo tęstines trupmenas, kad parodytų tai π (\displaystyle \pi ) nėra racionalus skaičius, ir tai e x (\displaystyle e^(x)) Ir tg ⁡ x (\displaystyle \operatoriaus pavadinimas (tg) x) yra neracionalūs bet kokiam nuliui nepriklausančiam racionaliajam x (\displaystyle x). Nors Lamberto įrodymą galima pavadinti neišsamiu, jis paprastai laikomas gana griežtu, ypač atsižvelgiant į jo parašymo laiką. Legendre 1794 m., įdiegęs Bessel-Clifford funkciją, parodė, kad π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) neracionalu, iš kur atsiranda neracionalumas? π (\displaystyle \pi ) seka trivialiai (racionalus skaičius kvadratu duotų racionalųjį).

Transcendentinių skaičių egzistavimą įrodė Liouville 1844–1851 m. Vėliau Georgas Cantoras (1873) įrodė jų egzistavimą naudodamas kitą metodą ir teigė, kad bet kuriame tikrosios serijos intervale yra begalinis transcendentinių skaičių skaičius. Charlesas Hermite'as tai įrodė 1873 m e transcendentinis, o Ferdinandas Lindemannas 1882 m., remdamasis šiuo rezultatu, parodė transcendenciją π (\displaystyle \pi ) Literatūra

Iracionaliųjų skaičių aibė dažniausiai žymima didžiąja raide Aš (\displaystyle \mathbb (I) ) paryškinto stiliaus be šešėlių. Taigi: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), tai yra, neracionaliųjų skaičių aibė yra skirtumas tarp realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių.

Iracionaliųjų skaičių, tiksliau atkarpų, nesuderinamų su vienetinio ilgio atkarpa, egzistavimą žinojo jau senovės matematikai: jie žinojo, pavyzdžiui, kvadrato įstrižainės ir kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta iracionalumui. skaičius.

Enciklopedinis „YouTube“.

• 1 / 5

  Neracionalios yra:

  Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

  2 šaknis

  Tarkime, priešingai: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalus, tai yra, vaizduojamas kaip trupmena m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Kur m (\displaystyle m) yra sveikasis skaičius ir n (\displaystyle n)- natūralusis skaičius.

  Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\rodyklė dešinėn 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rodyklė dešinėn m^(2)=2n^(2)).

  Istorija

  Antika

  Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) suprato, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos. [ ] .

  Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas dažniausiai priskiriamas pitagoriečiui Hipasui Metapontui (apie 500 m. pr. Kr.). Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, apimantis sveiką skaičių kartų bet kuriame segmente. ] .

  Nėra tikslių duomenų, kurį skaičių Hipasas įrodė neracionalų. Pasak legendos, jis jį rado tyrinėdamas pentagramos kraštų ilgį. Todėl pagrįsta manyti, kad tai buvo auksinis pjūvis [ ] .

  Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), bet, pasak legendų, jie Hipasui nerodė deramos pagarbos. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atradimą padarė kelionėje jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „sukūrę visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio“. Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejamas dalykas.