രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നു. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം (LCM)

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം

നിർവ്വചനം 2

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ $b$ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, $b$ എന്നത് $a$ ന്റെ ഭാജനം എന്നും $a$ എന്ന സംഖ്യയെ $b$ ന്റെ ഗുണിതം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

$a$, $b$ എന്നിവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളായിരിക്കട്ടെ. $c$ എന്ന സംഖ്യയെ $a$, $b$ എന്നിവയ്‌ക്ക് ഒരു പൊതു വിഭജനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

$a$, $b$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനങ്ങളുടെ ഗണം പരിമിതമാണ്, കാരണം ഈ ഹരിച്ചുകളൊന്നും $a$-നേക്കാൾ വലുതാകാൻ പാടില്ല. ഇതിനർത്ഥം ഈ വിഭജനങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലിയ ഒന്ന് ഉണ്ട്, അതിനെ $a$, $b$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാൻ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

$gcd \ (a;b) \ ​​അല്ലെങ്കിൽ \ D \ (a;b)$

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്താൻ:

1. ഘട്ടം 2-ൽ കാണുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം കണ്ടെത്തുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ ആവശ്യമുള്ള ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 1

$121$, $132.$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ gcd കണ്ടെത്തുക

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ഈ സംഖ്യകളുടെ വികാസത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ഘട്ടം 2-ൽ കാണുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം കണ്ടെത്തുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ ആവശ്യമുള്ള ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനമായിരിക്കും.

$gcd=2\cdot 11=22$

ഉദാഹരണം 2

മോണോമിയലുകളുടെ GCD $63$, $81$ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

അവതരിപ്പിച്ച അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഇതിനായി:

നമുക്ക് സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ഈ സംഖ്യകളുടെ വികാസത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ഘട്ടം 2-ൽ കാണുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ ആവശ്യമുള്ള ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനമായിരിക്കും.

$gcd=3\cdot 3=9$

സംഖ്യകളുടെ വിഭജനങ്ങളുടെ കൂട്ടം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു രീതിയിൽ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ GCD കണ്ടെത്താം.

ഉദാഹരണം 3

$48$, $60$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ gcd കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:

$48$: $\ഇടത്\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\വലത്\)$ എന്നതിന്റെ വിഭജനങ്ങളുടെ കൂട്ടം കണ്ടെത്തുക

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് $60$:$\ \ഇടത്\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\വലത്\)$ എന്നതിന്റെ വിഭജനങ്ങളുടെ കൂട്ടം കണ്ടെത്താം

നമുക്ക് ഈ സെറ്റുകളുടെ കവല കണ്ടെത്താം: $\ഇടത്\((\rm 1,2,3,4,6,12)\വലത്\)$ - $48$, $60 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ പൊതു വിഭജനങ്ങളുടെ സെറ്റ് ഈ സെറ്റ് നിർണ്ണയിക്കും. $. ഈ സെറ്റിലെ ഏറ്റവും വലിയ ഘടകം $12$ ആയിരിക്കും. അതിനാൽ $48$, $60$ എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം $12$ ആണ്.

NOC യുടെ നിർവ്വചനം

നിർവ്വചനം 3

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ പൊതു ഗുണിതം$a$, $b$ എന്നിവ $a$, $b$ എന്നിവയുടെ ഗുണിതമായ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങൾ, ബാക്കിയില്ലാതെ ഒറിജിനൽ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, $25$, $50$ എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക്, പൊതു ഗുണിതങ്ങൾ $50,100,150,200$ എന്നിങ്ങനെയായിരിക്കും.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതത്തെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം എന്ന് വിളിക്കുകയും LCM$(a;b)$ അല്ലെങ്കിൽ K$(a;b).$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

1. സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക
2. ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ഭാഗമായ ഘടകങ്ങൾ എഴുതി രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഭാഗമായ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുകയും ആദ്യ സംഖ്യയിലേക്ക് പോകാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഉദാഹരണം 4

$99$, $77$ എന്നീ സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തുക.

അവതരിപ്പിച്ച അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഇതിനായി

സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക

$99=3\cdot 3\cdot 11$

ആദ്യത്തേതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ എഴുതുക

അവയിൽ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഭാഗമായ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക, ആദ്യത്തേതിലേക്ക് പോകരുത്

ഘട്ടം 2-ൽ കാണുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം കണ്ടെത്തുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ ആവശ്യമുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതമായിരിക്കും

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

സംഖ്യകളുടെ വിഭജനങ്ങളുടെ പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുന്നത് പലപ്പോഴും വളരെ സമയമെടുക്കുന്നതാണ്. GCD കണ്ടുപിടിക്കാൻ Euclid's algorithm എന്നൊരു മാർഗ്ഗമുണ്ട്.

യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗോരിതം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പ്രസ്താവനകൾ:

$a$, $b$ എന്നിവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും $a\vdots b$ ആണെങ്കിൽ $D(a;b)=b$

$a$, $b$ എന്നിവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ ഉപയോഗിച്ച്, അവയിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിനാൽ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു ജോഡി സംഖ്യകളിൽ എത്തുന്നതുവരെ നമുക്ക് പരിഗണനയിലുള്ള സംഖ്യകൾ തുടർച്ചയായി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യകളിൽ ചെറുത് $a$, $b$ എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനമായിരിക്കും.

GCD, LCM എന്നിവയുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ

1. $a$, $b$ എന്നിവയുടെ ഏതൊരു പൊതു ഗുണിതവും K$(a;b)$ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്
2. $a\vdots b$ ആണെങ്കിൽ, K$(a;b)=a$

K$(a;b)=k$ ഉം $m$-പ്രകൃതി സംഖ്യയും ആണെങ്കിൽ, K$(am;bm)=km$

$d$ എന്നത് $a$, $b$ എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള ഒരു പൊതു വിഭജനമാണെങ്കിൽ, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

$a\vdots c$ ഉം $b\vdots c$ ഉം ആണെങ്കിൽ, $\frac(ab)(c)$ എന്നത് $a$, $b$ എന്നിവയുടെ പൊതുവായ ഗുണിതമാണ്.

ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും $a$, $b$ എന്നിവ തുല്യതയാണ്

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$, $b$ എന്നിവയുടെ ഏതൊരു പൊതു വിഭജനവും $D(a;b)$ ന്റെ ഒരു വിഭജനമാണ്

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനവും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതവും അനായാസമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രധാന ഗണിത ആശയങ്ങളാണ് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ. LCM, കൂടാതെ പല ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്താൻ മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ X ന്റെ ഭാജനം മറ്റൊരു പൂർണ്ണസംഖ്യ Y ആണ്, അതിലൂടെ X ഒരു ശേഷിപ്പില്ലാതെ ഹരിക്കാനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, 4 ന്റെ ഹരണം 2 ആണ്, 36 എന്നത് 4, 6, 9 ആണ്. X എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഗുണിതം Y ഒരു സംഖ്യയാണ്, അത് ഒരു ശേഷിക്കാതെ X കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 എന്നത് 15 ന്റെ ഗുണിതമാണ്, 6 എന്നത് 12 ന്റെ ഗുണിതമാണ്.

ഏത് ജോഡി സംഖ്യകൾക്കും, നമുക്ക് അവയുടെ പൊതു വിഭജനങ്ങളും ഗുണിതങ്ങളും കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, 6, 9 എന്നിവയ്‌ക്ക്, പൊതുവായ ഗുണിതം 18 ആണ്, പൊതു വിഭജനം 3 ആണ്. ജോഡികൾക്ക് നിരവധി വിഭജനങ്ങളും ഗുണിതങ്ങളും ഉണ്ടാകാം, അതിനാൽ GCD-യുടെ ഏറ്റവും വലിയ ഡിവൈസറും LCM-ന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഗുണിതവും കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. .

ഏറ്റവും ചെറിയ വിഭജനം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നാണ്. ഏറ്റവും വലിയ ഗുണിതവും അർത്ഥശൂന്യമാണ്, കാരണം ഗുണിതങ്ങളുടെ ക്രമം അനന്തതയിലേക്കാണ്.

GCD കണ്ടെത്തുന്നു

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്, അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത്:

• വിഭജനങ്ങളുടെ ക്രമാനുഗതമായ കണക്കെടുപ്പ്, ഒരു ജോഡിക്കായി പൊതുവായവ തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവയിൽ ഏറ്റവും വലുത് തിരയുക;
• അവിഭാജ്യ ഘടകങ്ങളായി സംഖ്യകളുടെ വിഘടനം;
• യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗോരിതം;
• ബൈനറി അൽഗോരിതം.

ഇന്ന് വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾപ്രൈം ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ രീതികളും യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗോരിതവുമാണ് ഏറ്റവും പ്രചാരമുള്ളത്. രണ്ടാമത്തേത്, ഡയോഫാന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കുന്നു: പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യം പരിശോധിക്കുന്നതിന് GCD-യുടെ തിരയൽ ആവശ്യമാണ്.

എൻഒസി കണ്ടെത്തുന്നു

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതവും കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ആവർത്തന കണക്കെടുപ്പ് അല്ലെങ്കിൽ അവിഭാജ്യ ഘടകങ്ങളായി ഫാക്ടറൈസേഷൻ വഴിയാണ്. കൂടാതെ, ഏറ്റവും വലിയ വിഭജനം ഇതിനകം നിർണ്ണയിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ LCM കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. X, Y സംഖ്യകൾക്ക്, LCM, GCD എന്നിവ ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധത്താൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

ഉദാഹരണത്തിന്, gcd(15,18) = 3 ആണെങ്കിൽ, LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM ന്റെ ഏറ്റവും വ്യക്തമായ ഉപയോഗം, പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്, ഇത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതമാണ്. നൽകിയ ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

കോപ്രൈം നമ്പറുകൾ

ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾക്ക് പൊതുവായ വിഭജനങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, അത്തരം ജോഡിയെ കോപ്രൈം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം ജോഡികൾക്കുള്ള GCM എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വിഭജനങ്ങളുടെയും ഗുണിതങ്ങളുടെയും കണക്ഷനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, കോപ്രൈമിനുള്ള GCM അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 25-ഉം 28-ഉം അക്കങ്ങൾ കോപ്രൈം ആണ്, കാരണം അവയ്ക്ക് പൊതുവായ വിഭജനങ്ങളൊന്നുമില്ല, കൂടാതെ LCM(25, 28) = 700, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും കോപ്രൈം ആയിരിക്കും.

കോമൺ ഡിവൈസറും ഒന്നിലധികം കാൽക്കുലേറ്ററും

ഞങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ എത്ര നമ്പറുകൾക്കും GCD, LCM എന്നിവ കണക്കാക്കാം. 5, 6 ഗ്രേഡുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പൊതുവായ വിഭജനങ്ങളും ഗുണിതങ്ങളും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ടാസ്‌ക്കുകൾ കാണപ്പെടുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, GCD, LCM - പ്രധാന ആശയങ്ങൾഗണിതവും സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തം, പ്ലാനിമെട്രി, ആശയവിനിമയ ബീജഗണിതം എന്നിവയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പൊതുവിഭാഗം

നിരവധി ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പൊതുവിഭാഗം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ഗണിത പ്രശ്നത്തിൽ 5 ഭിന്നസംഖ്യകൾ സംഗ്രഹിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് കരുതുക:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, പദപ്രയോഗം ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കണം, ഇത് LCM കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കാൽക്കുലേറ്ററിൽ 5 നമ്പറുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഉചിതമായ സെല്ലുകളിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുക. പ്രോഗ്രാം LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 കണക്കാക്കും. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കും അധിക ഘടകങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവ എൽസിഎമ്മിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ അനുപാതമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ അധിക ഗുണിതങ്ങൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

അതിനുശേഷം, ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളെയും അനുബന്ധ അധിക ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

നമുക്ക് അത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകൾ എളുപ്പത്തിൽ ചേർക്കാനും 159/360 എന്ന രൂപത്തിൽ ഫലം നേടാനും കഴിയും. ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യ 3 കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുകയും അന്തിമ ഉത്തരം കാണുക - 53/120.

ലീനിയർ ഡയോഫാന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം

ax + by = d എന്ന രൂപത്തിന്റെ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ് ലീനിയർ ഡയോഫാന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ. d / gcd(a, b) അനുപാതം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ പരിഹാരത്തിന്റെ സാധ്യതയ്ക്കായി നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കാം. ആദ്യം, 150x + 8y = 37 എന്ന സമവാക്യം പരിശോധിക്കുക. ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, gcd (150.8) = 2. 37/2 = 18.5 വിഭജിക്കുക. സംഖ്യ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല, അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ വേരുകൾ ഇല്ല.

നമുക്ക് 1320x + 1760y = 10120 എന്ന സമവാക്യം പരിശോധിക്കാം. gcd(1320, 1760) = 440 കണ്ടെത്തുന്നതിന് കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുക. 10120/440 = 23 വിഭജിക്കുക. തൽഫലമായി, നമുക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ലഭിക്കും, അതിനാൽ, ഡയോഫന്റൈൻ എന്ന സമവാക്യത്തിൽ ലയിക്കാവുന്ന സമവാക്യം. .

ഉപസംഹാരം

ജിസിഡിയും എൽസിഎമ്മും സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഈ ആശയങ്ങൾ തന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. എത്ര സംഖ്യകളുടെയും ഏറ്റവും വലിയ വിഭജനങ്ങളും ചെറിയ ഗുണിതങ്ങളും കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുക.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം ആ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനവുമായി നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ GCD-യും NOC-യും തമ്മിലുള്ള ബന്ധംഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം.

a, b എന്നീ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം a, b എന്നിവയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ് a, b എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു ഹരിച്ചാൽ, അതായത്, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

തെളിവ്.

അനുവദിക്കുക M എന്നത് a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ചില ഗുണിതങ്ങളാണ്. അതായത്, M എന്നത് a കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഡിവിസിബിലിറ്റിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, M=a·k എന്ന സമത്വം ശരിയാകുന്ന തരത്തിൽ ചില പൂർണ്ണസംഖ്യ k ഉണ്ട്. എന്നാൽ M നെയും b കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, പിന്നെ ഒരു kയെ b കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

gcd(a, b) എന്നത് d ആയി സൂചിപ്പിക്കുക. അപ്പോൾ നമുക്ക് a=a 1 ·d, b=b 1 ·d എന്നീ തുല്യതകൾ എഴുതാം, a 1 =a:d, b 1 =b:d എന്നിവ കോപ്രൈം നമ്പറുകളായിരിക്കും. അതിനാൽ, മുൻ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച ഒരു k എന്നത് b കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന വ്യവസ്ഥയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കാം: a 1 d k എന്നത് b 1 d കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് വിഭജനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ കാരണം 1 k എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ബി 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന അനുബന്ധങ്ങൾ കൂടി എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങൾ അവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതത്തിന്റെ ഗുണിതങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്.

ഇത് ശരിയാണ്, കാരണം, a, b എന്നീ M സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും പൊതു ഗുണിതം ചില പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾക്കായി M=LCM(a, b) t എന്ന തുല്യതയാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.

കോപ്രൈമിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ a, b എന്നിവ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഈ വസ്തുതയുടെ യുക്തി വളരെ വ്യക്തമാണ്. എയും ബിയും കോപ്രൈം ആയതിനാൽ, gcd(a, b)=1 , അതിനാൽ, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

മൂന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം

മൂന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നത് രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ LCM തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കാം. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യുന്നുവെന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു a 1 , a 2 , ..., a k എന്നത് m k-1, a k എന്നീ സംഖ്യകളുടെ പൊതു ഗുണിതങ്ങളുമായി ഒത്തുപോകുന്നു, അതിനാൽ, m k യുടെ ഗുണിതങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. m k എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോസിറ്റീവ് ഗുണിതം m k എന്ന സംഖ്യയായതിനാൽ, a 1, a 2, ..., a k എന്നത് m k ആണ്.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• വിലെൻകിൻ എൻ.യാ. മുതലായവ. ഗണിതം. ഗ്രേഡ് 6: വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
• വിനോഗ്രഡോവ് I.M. സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ.
• Mikhelovich Sh.Kh. സംഖ്യ സിദ്ധാന്തം.
• കുലിക്കോവ് L.Ya. ബീജഗണിതത്തിലെയും സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിലെയും പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരണം: ട്യൂട്ടോറിയൽഫിസിക്സ്, മാത്തമാറ്റിക്സ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക്. പെഡഗോഗിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടുകളുടെ പ്രത്യേകതകൾ.

LCM എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം "മൾട്ടിപ്പിൾ" എന്ന പദത്തിന്റെ അർത്ഥം നിർണ്ണയിക്കണം.

ശേഷിക്കാതെ A കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് A യുടെ ഗുണിതം. അങ്ങനെ, 15, 20, 25, മുതലായവ 5 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായി കണക്കാക്കാം.

ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയുടെ പരിമിതമായ എണ്ണം ഹരിക്കലുകൾ ഉണ്ടാകാം, എന്നാൽ അനന്തമായ ഗുണിതങ്ങൾ ഉണ്ട്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു പൊതു ഗുണിതം അവകൊണ്ട് അവശിഷ്ടങ്ങളില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്.

സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം (എൽസിഎം) (രണ്ടോ മൂന്നോ അതിലധികമോ) ഈ സംഖ്യകളാൽ തുല്യമായി ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

NOC കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി രീതികൾ ഉപയോഗിക്കാം.

ചെറിയ സംഖ്യകൾക്ക്, ഈ സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ ഗുണിതങ്ങളും ഒരു വരിയിൽ എഴുതുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അവയിൽ പൊതുവായ ഒന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് വരെ. റെക്കോഡിൽ ഗുണിതങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു വലിയ അക്ഷരം TO.

ഉദാഹരണത്തിന്, 4 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ ഇതുപോലെ എഴുതാം:

കെ(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

കെ(6) = (12, 18, 24, ...)

അതിനാൽ, 4, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതം 24 എന്ന സംഖ്യയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഈ എൻട്രി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടപ്പിലാക്കുന്നു:

LCM(4, 6) = 24

സംഖ്യകൾ വലുതാണെങ്കിൽ, മൂന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുക, LCM കണക്കാക്കാൻ മറ്റൊരു മാർഗം ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ചുമതല പൂർത്തിയാക്കാൻ, നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു വരിയിലെ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യകളുടെ വികാസം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്, അതിനു താഴെ - ബാക്കിയുള്ളവ.

ഓരോ സംഖ്യയുടെയും വികാസത്തിൽ, വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 50, 20 എന്നീ സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാം.

ചെറിയ സംഖ്യയുടെ വികാസത്തിൽ, ആദ്യത്തേതിന്റെ വികാസത്തിൽ ഇല്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയേണ്ടതാണ്. ഒരു വലിയ സംഖ്യഎന്നിട്ട് അവരെ അതിൽ ചേർക്കുക. അവതരിപ്പിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു ഡ്യൂസ് കാണുന്നില്ല.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 20, 50 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണക്കാക്കാം.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

അങ്ങനെ, വലിയ സംഖ്യയുടെ വിഘടനത്തിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത വലിയ സംഖ്യയുടെയും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമായിരിക്കും.

മൂന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അവയെല്ലാം മുമ്പത്തെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കണം.

ഉദാഹരണമായി, 16, 24, 36 സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

അങ്ങനെ, പതിനാറിന്റെ വിഘടനത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് ഡ്യൂസുകൾ മാത്രം ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ ഫാക്‌ടറൈസേഷനിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല (ഒന്ന് ഇരുപത്തിനാലിന്റെ വിഘടനത്തിലാണ്).

അതിനാൽ, അവ ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ വിഘടനത്തിലേക്ക് ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക കേസുകളുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകളിൽ വലുത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, പന്ത്രണ്ടിന്റെയും ഇരുപത്തിനാലിന്റെയും എൻ‌ഒ‌സികൾ ഇരുപത്തിനാലായിരിക്കും.

ഒരേ ഡിവൈസറുകൾ ഇല്ലാത്ത കോപ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ LCM അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, LCM(10, 11) = 110.

LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples എന്ന വിഭാഗത്തിൽ നമ്മൾ ആരംഭിച്ച ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചർച്ച തുടരാം. ഈ വിഷയത്തിൽ, മൂന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകൾക്കായി LCM കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വഴികൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ LCM എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ജിസിഡി വഴി ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതത്തിന്റെ (എൽസിഎം) കണക്കുകൂട്ടൽ

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതവും ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇനി ജിസിഡി വഴി LCM എങ്ങനെ നിർവചിക്കാമെന്ന് പഠിക്കാം. ആദ്യം, പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾക്കായി ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.

നിർവ്വചനം 1

LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനത്തിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം കണ്ടെത്താനാകും.

ഉദാഹരണം 1

126, 70 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് a = 126, b = 70 എടുക്കാം. ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) വഴി ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയിലെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

70, 126 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ GCD കണ്ടെത്തുന്നു. ഇതിനായി നമുക്ക് യൂക്ലിഡ് അൽഗോരിതം ആവശ്യമാണ്: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, അതിനാൽ ജിസിഡി (126 , 70) = 14 .

നമുക്ക് LCM കണക്കാക്കാം: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

ഉത്തരം: LCM (126, 70) = 630.

ഉദാഹരണം 2

68, 34 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ജി.സി.ഡി ഈ കാര്യം 68 നെ 34 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതിനാൽ ഇത് കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം കണക്കാക്കുക: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

ഉത്തരം: LCM(68, 34) = 68.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, a, b എന്നീ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ നിയമം ഉപയോഗിച്ചു: ആദ്യ സംഖ്യ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകളുടെ LCM ആദ്യ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.

അക്കങ്ങളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഫാക്‌ടറിംഗ് ചെയ്‌ത് LCM കണ്ടെത്തുന്നു

ഇനി നമുക്ക് LCM കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു വഴി നോക്കാം, അത് അക്കങ്ങളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

നിർവ്വചനം 2

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ നിരവധി ലളിതമായ ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

• LCM കണ്ടെത്തേണ്ട സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു;
• ലഭിച്ച ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ നിന്ന് എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളും ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു;
• പൊതുവായ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കിയ ശേഷം ലഭിക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നം നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ LCM ന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഈ രീതി തുല്യത LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. നിങ്ങൾ സൂത്രവാക്യം നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് വ്യക്തമാകും: a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വികാസത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ GCD ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഫാക്‌ടറൈസേഷനിൽ ഒരേസമയം കാണപ്പെടുന്ന എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 3

ഞങ്ങൾക്ക് 75, 210 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവയെ ഇതുപോലെ തരം തിരിക്കാം: 75 = 3 5 5ഒപ്പം 210 = 2 3 5 7. രണ്ട് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നം നിങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 2 3 3 5 5 5 7.

3-ഉം 5-ഉം അക്കങ്ങൾക്കുള്ള പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നം നമുക്ക് ലഭിക്കും: 2 3 5 5 7 = 1050. ഈ ഉൽപ്പന്നം 75, 210 എന്നീ നമ്പറുകൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ LCM ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 4

സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തുക 441 ഒപ്പം 700 , രണ്ട് സംഖ്യകളെയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

നമുക്ക് രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ലഭിക്കും: 441 = 3 3 7 7, 700 = 2 2 5 5 7 .

ഈ സംഖ്യകളുടെ വികാസത്തിൽ പങ്കെടുത്ത എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. പൊതുവായ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്താം. ഈ സംഖ്യ 7 ആണ്. അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാം സാധാരണ ഉൽപ്പന്നം: 2 2 3 3 5 5 7 7. എൻ.ഒ.സി (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

ഉത്തരം: LCM (441 , 700) = 44 100 .

സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി വിഘടിപ്പിച്ച് LCM കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതിയുടെ ഒരു ഫോർമുലേഷൻ കൂടി നൽകാം.

നിർവ്വചനം 3

മുമ്പ്, രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കും പൊതുവായുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കി. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇത് വ്യത്യസ്തമായി ചെയ്യും:

• നമുക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകളെയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം:
• ആദ്യ സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിലേക്ക് രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ കാണാതായ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക;
• ഞങ്ങൾക്ക് ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കുന്നു, അത് രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആവശ്യമുള്ള LCM ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 5

നമുക്ക് 75, 210 എന്നീ സംഖ്യകളിലേക്ക് മടങ്ങാം, അതിനായി മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങളിലൊന്നിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം LCM-നായി തിരഞ്ഞു. നമുക്ക് അവയെ ലളിതമായ ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം: 75 = 3 5 5ഒപ്പം 210 = 2 3 5 7. 3, 5 എന്നീ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് 5 നമ്പർ 75 നഷ്‌ടമായ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക 2 ഒപ്പം 7 സംഖ്യകൾ 210 നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 2 3 5 5 7 .ഇത് 75, 210 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ LCM ആണ്.

ഉദാഹരണം 6

84, 648 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ LCM കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പ്രധാന ഘടകങ്ങളിലേക്ക് സംഖ്യകളെ വിഘടിപ്പിക്കാം: 84 = 2 2 3 7ഒപ്പം 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 2, 2, 3 എന്നീ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക 7 സംഖ്യകൾ 84 വിട്ടുപോയ ഘടകങ്ങൾ 2, 3, 3 കൂടാതെ
3 നമ്പറുകൾ 648. ഞങ്ങൾക്ക് ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കും 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .ഇത് 84, 648 എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതമാണ്.

ഉത്തരം: LCM (84, 648) = 4536.

മൂന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തുന്നു

ഞങ്ങൾ എത്ര സംഖ്യകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു എന്നത് പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമായിരിക്കും: രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ LCM ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി കണ്ടെത്തും. ഈ കേസിന് ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്.

സിദ്ധാന്തം 1

നമുക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക a 1 , a 2 , ... , a k. എൻ.ഒ.സി m kഈ സംഖ്യകളിൽ m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , ... , m k = LCM (m k - 1 , a k) എന്ന ക്രമത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിൽ കാണാം.

ഇനി നമുക്ക് പ്രത്യേക പ്രശ്നങ്ങളിൽ സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 7

140, 9, 54 എന്നീ നാല് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് 250 .

പരിഹാരം

നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കാം: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) കണക്കാക്കി നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. 140, 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ GCD കണക്കാക്കാൻ നമുക്ക് യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. അതിനാൽ, m 2 = 1 260 .

ഇപ്പോൾ അതേ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കാം m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് m 3 = 3 780 ലഭിക്കും.

m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) കണക്കാക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് ശേഷിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഒരേ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് m 4 \u003d 94 500 ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള നാല് അക്കങ്ങളുടെ LCM 94500 ആണ്.

ഉത്തരം: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാണ്, പക്ഷേ തികച്ചും അധ്വാനമാണ്. സമയം ലാഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു വഴിക്ക് പോകാം.

നിർവ്വചനം 4

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു:

• എല്ലാ സംഖ്യകളെയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക;
• ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിലേക്ക്, രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് കാണാതായ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക;
• മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയുടെ കാണാതായ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക.
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 8

84, 6, 48, 7, 143 എന്നീ അഞ്ച് നമ്പറുകളുടെ LCM കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് അഞ്ച് സംഖ്യകളെയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . പ്രധാന സംഖ്യകൾ 7 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല. അത്തരം സംഖ്യകൾ അവയുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിക്കുന്നതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് 84 എന്ന സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായ 2, 2, 3, 7 എന്നിവയുടെ ഗുണനഫലം എടുത്ത് അവയിൽ രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ കാണാതായ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക. ഞങ്ങൾ 6 എന്ന സംഖ്യയെ 2, 3 എന്നിങ്ങനെ വിഘടിപ്പിച്ചു. ഈ ഘടകങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിലാണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ അവരെ ഒഴിവാക്കുന്നു.

കാണാതായ മൾട്ടിപ്ലയറുകൾ ഞങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് തുടരുന്നു. നമ്മൾ 2 ഉം 2 ഉം എടുക്കുന്ന പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് 48 എന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് തിരിയുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ നാലാമത്തെ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 7 ന്റെ ഒരു ലളിതമായ ഘടകവും അഞ്ചാമത്തെ 11, 13 ഘടകങ്ങളും ചേർക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. അഞ്ച് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമാണിത്.

ഉത്തരം: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഒന്നിലധികം കണ്ടെത്തൽ

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഈ സംഖ്യകൾ ആദ്യം വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള സംഖ്യകളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് മുകളിലുള്ള അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തണം.

ഉദാഹരണം 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34), LCM(-622,−46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

അത് അംഗീകരിച്ചാൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ അനുവദനീയമാണ് എഒപ്പം − എ- വിപരീത സംഖ്യകൾ
പിന്നെ ഗുണിതങ്ങളുടെ കൂട്ടം എഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണിതങ്ങളുടെ കൂട്ടവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു − എ.

ഉദാഹരണം 10

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ LCM കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് − 145 ഒപ്പം − 45 .

പരിഹാരം

നമുക്ക് അക്കങ്ങൾ മാറ്റാം − 145 ഒപ്പം − 45 അവയുടെ വിപരീത സംഖ്യകളിലേക്ക് 145 ഒപ്പം 45 . ഇപ്പോൾ, അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 കണക്കാക്കുന്നു, മുമ്പ് യൂക്ലിഡ് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് GCD നിർണ്ണയിച്ചു.

നമുക്ക് സംഖ്യകളുടെ LCM ലഭിക്കുന്നു - 145 ഒപ്പം − 45 തുല്യമാണ് 1 305 .

ഉത്തരം: LCM (− 145 , - 45) = 1 305 .

വാചകത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക