ആലേഖനം ചെയ്തതും കേന്ദ്ര കോണുകളുടെ ഡിഗ്രി അളവ്. വൃത്തവും ആലേഖനം ചെയ്ത കോണും

ആംഗിൾ എബിസി ഒരു ലിഖിത കോണാണ്. ഇത് ആർക്ക് എസിയിൽ നിലകൊള്ളുന്നു, അതിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിൽ അടച്ചിരിക്കുന്നു (ചിത്രം 330).

സിദ്ധാന്തം. ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിനെ അളക്കുന്നത് അത് കീഴ്‌പ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ആർക്കിന്റെ പകുതി കൊണ്ടാണ്.

ഇത് ഈ രീതിയിൽ മനസ്സിലാക്കണം: ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിൽ എത്ര കോണീയ ഡിഗ്രികളും മിനിറ്റുകളും സെക്കൻഡുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അത് ഏത് ആർക്കിന്റെ പകുതിയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവോ അത്രയും ആർക്ക് ഡിഗ്രികളും മിനിറ്റുകളും സെക്കൻഡും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുമ്പോൾ, മൂന്ന് കേസുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ആദ്യ കേസ്. സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ വശത്താണ് (ചിത്രം 331).

∠ABC ഒരു ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണായിരിക്കട്ടെ, O വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം BC യുടെ വശത്ത് കിടക്കുന്നു. ഹാഫ് ആർക്ക് എസി ഉപയോഗിച്ചാണ് അളക്കുന്നതെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് പോയിന്റ് എയെ സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കാം. ഒരേ സർക്കിളിന്റെ ആരങ്ങളായി നമുക്ക് ഒരു ഐസോസിലിസ് \(\Delta\)AOB ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ AO = OB. അതിനാൽ, ∠A = ∠B.

∠AOC ത്രികോണം AOB യുടെ ബാഹ്യമാണ്, അതിനാൽ ∠AOC = ∠A + ∠B, കൂടാതെ A, B കോണുകൾ തുല്യമായതിനാൽ, ∠B 1/2 ∠AOC ആണ്.

എന്നാൽ ∠AOC അളക്കുന്നത് ആർക്ക് AC ആണ്, അതിനാൽ ∠B അളക്കുന്നത് ആർക്ക് AC യുടെ പകുതിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, \(\breve(AC)\) 60°18' ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, ∠B യിൽ 30°9' അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ കേസ്. സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിലാണ് (ചിത്രം 332).

∠ABD ഒരു ലിഖിത കോണായിരിക്കട്ടെ. O വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം അതിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിലാണ്. ∠ABD അളക്കുന്നത് എഡിയുടെ പകുതി ആർക്ക് കൊണ്ടാണ് എന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇത് തെളിയിക്കാൻ, നമുക്ക് ബിസി വ്യാസം വരയ്ക്കാം. ABD ആംഗിൾ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിച്ചു: ∠1, ∠2.

∠1 എന്നത് ആർക്ക് AC യുടെ പകുതിയും, ∠2 എന്നത് ആർക്ക് CD യുടെ പകുതിയും കൊണ്ട് അളക്കുന്നു, അതിനാൽ, മുഴുവൻ ∠ABD യും 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), അതായത് ഹാഫ് ആർക്ക് AD.

ഉദാഹരണത്തിന്, \(\breve(AD)\) 124° ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, ∠B യിൽ 62° അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

മൂന്നാമത്തെ കേസ്. സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗം ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന് പുറത്താണ് (ചിത്രം 333).

∠MAD ഒരു ലിഖിത കോണായിരിക്കട്ടെ. O വൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം മൂലയ്ക്ക് പുറത്താണ്. ആർക്ക് MD യുടെ പകുതിയാണ് ∠MAD അളക്കുന്നത് എന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇത് തെളിയിക്കാൻ, നമുക്ക് AB വ്യാസം വരയ്ക്കാം. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. എന്നാൽ ∠MAB അളക്കുന്നത് 1/2 \(\breve(MB)\), ∠DAB അളക്കുന്നത് 1/2 \(\breve(DB)\).

അതിനാൽ, ∠MAD അളക്കുന്നത് 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), അതായത് 1 / 2 \(\breve(MD)\).

ഉദാഹരണത്തിന്, \(\breve(MD)\) 48° 38" ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, ∠MAD-ൽ 24° 19' 8" അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അനന്തരഫലങ്ങൾ
1. ഒരേ ആർക്കിന്റെ പകുതി കൊണ്ടാണ് അവയെ അളക്കുന്നത് (ചിത്രം 334, എ).

2. ഒരു വ്യാസം കൊണ്ട് ആലേഖനം ചെയ്ത ഒരു കോണിനെ വലത് കോണാണ്, കാരണം അത് പകുതി വൃത്തത്തിന് കീഴ്പെടുത്തുന്നു. പകുതി വൃത്തത്തിൽ 180 ആർക്ക് ഡിഗ്രി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത് വ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള കോണിൽ 90 ആർക്ക് ഡിഗ്രി (ചിത്രം 334, ബി) അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ആലേഖനം ചെയ്തതും കേന്ദ്ര കോണും എന്ന ആശയം

ആദ്യം നമുക്ക് ഒരു സെൻട്രൽ ആംഗിൾ എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കാം.

കുറിപ്പ് 1

അതല്ല ഒരു സെൻട്രൽ ആംഗിളിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ്, അത് നിലകൊള്ളുന്ന ആർക്ക് ഡിഗ്രി അളവിന് തുല്യമാണ്.

ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2

ഒരു വൃത്തത്തിൽ ശീർഷം കിടക്കുന്നതും അതേ വൃത്തത്തെ വശങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നതുമായ ഒരു കോണിനെ ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 2).

ചിത്രം 2. ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ

ആംഗിൾ സിദ്ധാന്തം ആലേഖനം ചെയ്തു

സിദ്ധാന്തം 1

ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് അത് നിലകൊള്ളുന്ന ആർക്കിന്റെ പകുതി ഡിഗ്രി അളവിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്.

$O$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ച് നമുക്ക് ഒരു വൃത്തം നൽകാം. ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ $ACB$ സൂചിപ്പിക്കുക (ചിത്രം 2). ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

• റേ $CO$ കോണിന്റെ ചില വശങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഇത് $CB$ സൈഡ് ആയിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 3).

ചിത്രം 3.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, $AB$ എന്ന ആർക്ക് $(180)^(()^\circ )$ എന്നതിനേക്കാൾ കുറവാണ്, അതിനാൽ $AOB$ എന്ന കേന്ദ്ര ആംഗിൾ $AB$ എന്ന ആർക്കിന് തുല്യമാണ്. $AO=OC=r$ എന്നതിനാൽ, $AOC$ ത്രികോണം ഐസോസിലിസ് ആണ്. അതിനാൽ, അടിസ്ഥാന കോണുകൾ $CAO$, $ACO$ എന്നിവ തുല്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണിലെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:

• റേ $CO$ ഒരു ഇന്റീരിയർ കോണിനെ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിക്കുന്നു. $D$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ സർക്കിളിനെ വിഭജിക്കട്ടെ (ചിത്രം 4).

ചിത്രം 4

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

• റേ $CO$ ഇന്റീരിയർ കോണിനെ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിക്കുന്നില്ല, മാത്രമല്ല അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും വശങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല (ചിത്രം 5).

ചിത്രം 5.

$ACD$, $DCB$ എന്നീ കോണുകൾ നമുക്ക് പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം. പോയിന്റ് 1 ൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടതനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

കൊടുക്കാം അനന്തരഫലങ്ങൾഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്.

അനന്തരഫലം 1:ഒരേ ആർക്കിൽ കിടക്കുന്ന ആലേഖനം ചെയ്ത കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

ഫലം 2:ഒരു വ്യാസത്തെ കീഴ്‌പ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോൺ ഒരു വലത് കോണാണ്.

ആലേഖനം ചെയ്തതും കേന്ദ്ര കോണും എന്ന ആശയം

ആദ്യം നമുക്ക് ഒരു സെൻട്രൽ ആംഗിൾ എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കാം.

കുറിപ്പ് 1

അതല്ല ഒരു സെൻട്രൽ ആംഗിളിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ്, അത് നിലകൊള്ളുന്ന ആർക്ക് ഡിഗ്രി അളവിന് തുല്യമാണ്.

ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2

ഒരു വൃത്തത്തിൽ ശീർഷം കിടക്കുന്നതും അതേ വൃത്തത്തെ വശങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നതുമായ ഒരു കോണിനെ ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 2).

ചിത്രം 2. ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ

ആംഗിൾ സിദ്ധാന്തം ആലേഖനം ചെയ്തു

സിദ്ധാന്തം 1

ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് അത് നിലകൊള്ളുന്ന ആർക്കിന്റെ പകുതി ഡിഗ്രി അളവിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്.

$O$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ച് നമുക്ക് ഒരു വൃത്തം നൽകാം. ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ $ACB$ സൂചിപ്പിക്കുക (ചിത്രം 2). ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

• റേ $CO$ കോണിന്റെ ചില വശങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഇത് $CB$ സൈഡ് ആയിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 3).

ചിത്രം 3.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, $AB$ എന്ന ആർക്ക് $(180)^(()^\circ )$ എന്നതിനേക്കാൾ കുറവാണ്, അതിനാൽ $AOB$ എന്ന കേന്ദ്ര ആംഗിൾ $AB$ എന്ന ആർക്കിന് തുല്യമാണ്. $AO=OC=r$ എന്നതിനാൽ, $AOC$ ത്രികോണം ഐസോസിലിസ് ആണ്. അതിനാൽ, അടിസ്ഥാന കോണുകൾ $CAO$, $ACO$ എന്നിവ തുല്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണിലെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:

• റേ $CO$ ഒരു ഇന്റീരിയർ കോണിനെ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിക്കുന്നു. $D$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ സർക്കിളിനെ വിഭജിക്കട്ടെ (ചിത്രം 4).

ചിത്രം 4

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

• റേ $CO$ ഇന്റീരിയർ കോണിനെ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിക്കുന്നില്ല, മാത്രമല്ല അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും വശങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല (ചിത്രം 5).

ചിത്രം 5.

$ACD$, $DCB$ എന്നീ കോണുകൾ നമുക്ക് പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം. പോയിന്റ് 1 ൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടതനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

കൊടുക്കാം അനന്തരഫലങ്ങൾഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്.

അനന്തരഫലം 1:ഒരേ ആർക്കിൽ കിടക്കുന്ന ആലേഖനം ചെയ്ത കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

ഫലം 2:ഒരു വ്യാസത്തെ കീഴ്‌പ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോൺ ഒരു വലത് കോണാണ്.

ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ, പ്രശ്നത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തം. സുഹൃത്തുക്കൾ! ഈ ലേഖനത്തിൽ, ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ സവിശേഷതകൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ട ജോലികളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കും. ഇത് ഒരു കൂട്ടം ജോലികളാണ്, അവ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അവയിൽ മിക്കതും വളരെ ലളിതമായി, ഒരു പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ അവ നിങ്ങൾക്ക് വലിയ ബുദ്ധിമുട്ട് നൽകില്ല; ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ സവിശേഷതകൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ക്രമേണ ഞങ്ങൾ ടാസ്ക്കുകളുടെ എല്ലാ പ്രോട്ടോടൈപ്പുകളും വിശകലനം ചെയ്യും, ഞാൻ നിങ്ങളെ ബ്ലോഗിലേക്ക് ക്ഷണിക്കുന്നു!

ഇപ്പോൾ ആവശ്യമായ സിദ്ധാന്തം. ഈ കോണുകൾ വിശ്രമിക്കുന്ന ഒരു കേന്ദ്രവും ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ, ഒരു കോർഡ്, ഒരു ആർക്ക് എന്നിവ എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം:

ഒരു വൃത്തത്തിലെ കേന്ദ്രകോണ് ഒരു തലം കോണാണ്അതിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് അഗ്രം.

ഒരു തലം കോണിനുള്ളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഭാഗംഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്കിന്റെ അളവിനെ ഡിഗ്രി അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നുഅനുബന്ധ കേന്ദ്ര കോൺ.

കോണിന്റെ ശീർഷകം കിടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു കോണിനെ ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തതായി പറയപ്പെടുന്നുഒരു വൃത്തത്തിൽ, കോണിന്റെ വശങ്ങൾ ഈ വൃത്തത്തെ വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു സർക്കിളിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്മെന്റിനെ വിളിക്കുന്നുകോർഡ്. ഏറ്റവും വലിയ കോർഡ് സർക്കിളിന്റെ മധ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, അതിനെ വിളിക്കുന്നുവ്യാസം.

ഒരു സർക്കിളിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന കോണുകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്,ഇനിപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്:

1. ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ, അതേ ആർക്ക് അടിസ്ഥാനമാക്കി, പകുതി സെൻട്രൽ കോണിന് തുല്യമാണ്.

2. ഒരേ ചാപത്തിന് വിധേയമായ എല്ലാ ലിഖിത കോണുകളും തുല്യമാണ്.

3. ഒരേ കോർഡിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള എല്ലാ ആലേഖനം ചെയ്ത കോണുകളും ഈ കോണിന്റെ ഒരേ വശത്ത് കിടക്കുന്ന ലംബങ്ങളും തുല്യമാണ്.

4. ഒരേ കോർഡിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഏതെങ്കിലും ജോഡി കോണുകൾ, കോർഡിന്റെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്ന ലംബങ്ങൾ, 180° വരെ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.

അനന്തരഫലം: ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിപരീത കോണുകൾ 180 ഡിഗ്രി വരെ ചേർക്കുന്നു.

5. ഒരു വ്യാസം കൊണ്ട് ആലേഖനം ചെയ്ത എല്ലാ കോണുകളും വലത് കോണുകളാണ്.

പൊതുവേ, ഈ സ്വത്ത് സ്വത്തിന്റെ അനന്തരഫലമാണ് (1), ഇതാണ് പ്രത്യേക കേസ്. നോക്കൂ - സെൻട്രൽ ആംഗിൾ 180 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ് (ഈ തുറന്ന ആംഗിൾ ഒരു വ്യാസമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല), അതായത്, ആദ്യത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച്, ലിഖിത ആംഗിൾ സി അതിന്റെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് 90 ഡിഗ്രി.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി അറിയുന്നത് നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, കൂടാതെ അനാവശ്യ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ പലപ്പോഴും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഇത് നന്നായി പഠിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഇത്തരത്തിലുള്ള പകുതിയിലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ വാമൊഴിയായി പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. വരയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന രണ്ട് നിഗമനങ്ങൾ:

ഫലം 1: ഒരു ത്രികോണം ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യുകയും അതിന്റെ ഒരു വശം ഈ വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ത്രികോണം വലത് കോണാണ് (വലത് കോണിന്റെ ശീർഷകം വൃത്തത്തിൽ കിടക്കുന്നു).

ഫലം 2: വിവരിച്ചതിന്റെ കേന്ദ്രം മട്ട ത്രികോണംവൃത്തം അതിന്റെ ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ മധ്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

സ്റ്റീരിയോമെട്രിക് പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ പല പ്രോട്ടോടൈപ്പുകളും ഈ ഗുണവും ഈ അനന്തരഫലങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. വസ്തുത ഓർക്കുക: ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം ആലേഖനം ചെയ്ത ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശമാണെങ്കിൽ, ഈ ത്രികോണം വലത് കോണാണ് (വ്യാസത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോൺ 90 ഡിഗ്രിയാണ്). മറ്റെല്ലാ നിഗമനങ്ങളും അനന്തരഫലങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം വരയ്ക്കാം; നിങ്ങൾ അവരെ പഠിപ്പിക്കേണ്ടതില്ല.

ചട്ടം പോലെ, ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിലെ പകുതി പ്രശ്നങ്ങളും ഒരു സ്കെച്ച് ഉപയോഗിച്ചാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്, പക്ഷേ ചിഹ്നങ്ങളില്ലാതെ. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ (ലേഖനത്തിൽ താഴെ) ന്യായവാദ പ്രക്രിയ മനസിലാക്കാൻ, വെർട്ടിസുകൾക്കുള്ള (കോണുകൾ) നൊട്ടേഷനുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല.നമുക്ക് ചുമതലകൾ പരിഗണിക്കാം:

വൃത്തത്തിന്റെ ദൂരത്തിന് തുല്യമായ ഒരു കോർഡ് ഉപയോഗിച്ച് ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു നിശിത ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ മൂല്യം എന്താണ്? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിനായി നമുക്ക് ഒരു സെൻട്രൽ ആംഗിൾ നിർമ്മിക്കുകയും ലംബങ്ങൾ നിശ്ചയിക്കുകയും ചെയ്യാം:

ഒരു സർക്കിളിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന കോണിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്:

AOB ത്രികോണം 60 0 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം AOB ത്രികോണം സമഭുജമാണ്, കൂടാതെ ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൽ എല്ലാ കോണുകളും 60 0 ന് തുല്യമാണ്. ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്, കാരണം കോർഡ് ആരത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വ്യവസ്ഥ പറയുന്നു.

അങ്ങനെ, ലിഖിത ആംഗിൾ ACB 30 0 ന് തുല്യമാണ്.

ഉത്തരം: 30

ആരം 3 ഉള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന 30 0 കോണിന്റെ പിന്തുണയുള്ള കോർഡ് കണ്ടെത്തുക.

ഇത് പ്രധാനമായും വിപരീത പ്രശ്നമാണ് (മുമ്പത്തെ ഒന്നിന്റെ). നമുക്ക് സെൻട്രൽ ആംഗിൾ നിർമ്മിക്കാം.

ഇത് ആലേഖനം ചെയ്തതിനേക്കാൾ ഇരട്ടി വലുതാണ്, അതായത്, AOB ആംഗിൾ 60 0 ന് തുല്യമാണ്. ഇതിൽ നിന്ന് AOB ത്രികോണം സമഭുജമാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. അങ്ങനെ, കോർഡ് ആരത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് മൂന്ന്.

ഉത്തരം: 3

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 1 ആണ്. രണ്ടിന്റെ മൂലത്തിന് തുല്യമായ കോർഡ് ഉപയോഗിച്ച് ഘടിപ്പിച്ച ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

നമുക്ക് കേന്ദ്ര ആംഗിൾ നിർമ്മിക്കാം:

ആരവും കോർഡും അറിയുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് സെൻട്രൽ ആംഗിൾ ASV കണ്ടെത്താം. കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാം. സെൻട്രൽ ആംഗിൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എസിബി നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം: ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും വശത്തിന്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഈ വശങ്ങളുടെ ഇരട്ടി ഗുണമില്ല.

അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര കോൺ 360 0 ആണ് – 90 0 = 270 0 .

ആംഗിൾ എസിബി, ഒരു ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, അതിന്റെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് 135 ഡിഗ്രി.

ഉത്തരം: 135

മൂന്നിന്റെ റേഡിയസ് റൂട്ടിന്റെ ഒരു സർക്കിളിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന 120 ഡിഗ്രി കോണിൽ ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോർഡ് കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് എ, ബി പോയിന്റുകൾ സർക്കിളിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് അതിനെ O എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം:

ASV ആരവും ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിളും നമുക്കറിയാം. നമുക്ക് AOB സെൻട്രൽ ആംഗിൾ (180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതൽ) കണ്ടെത്താം, തുടർന്ന് AOB ത്രികോണത്തിൽ AOB ആംഗിൾ കണ്ടെത്താം. തുടർന്ന്, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, AB കണക്കാക്കുക.

ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച്, AOB സെൻട്രൽ ആംഗിൾ (അത് 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലാണ്) ആലേഖനം ചെയ്ത കോണിന്റെ ഇരട്ടി കോണിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത് 240 ഡിഗ്രി. ഇതിനർത്ഥം AOB ത്രികോണത്തിലെ AOB ആംഗിൾ 360 0 – 240 0 = 120 0 ആണ്.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:3

സർക്കിളിന്റെ 20% ഉള്ള ഒരു ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ച് ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

ആലേഖനം ചെയ്‌ത കോണിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, അതേ ആർക്ക് അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള കേന്ദ്ര കോണിന്റെ പകുതി വലുപ്പമാണ് ഇത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽനമ്മൾ ആർക്ക് എബിയെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്.

ആർക്ക് എബി ചുറ്റളവിന്റെ 20 ശതമാനമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അതായത് സെൻട്രൽ ആംഗിൾ AOB 360 0 ന്റെ 20 ശതമാനവും ആണ്.*ഒരു ​​വൃത്തം 360 ഡിഗ്രി കോണാണ്. അർത്ഥം,

അങ്ങനെ, എഴുതിയിരിക്കുന്ന ആംഗിൾ എസിബി 36 ഡിഗ്രിയാണ്.

ഉത്തരം: 36

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്ക് എ.സി., ഒരു പോയിന്റ് അടങ്ങിയിട്ടില്ല ബി, 200 ഡിഗ്രി ആണ്. ബിസി വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്ക്, ഒരു പോയിന്റ് അടങ്ങിയിട്ടില്ല എ, 80 ഡിഗ്രി ആണ്. ലിഖിത ആംഗിൾ എസിബി കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, കോണീയ അളവുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ആർക്കുകളെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. 200 ഡിഗ്രിക്ക് അനുയോജ്യമായ ആർക്ക് - നീല നിറം, 80 ഡിഗ്രിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആർക്ക് ചുവപ്പാണ്, വൃത്തത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം മഞ്ഞയാണ്.

അങ്ങനെ, ആർക്ക് AB (മഞ്ഞ) യുടെ ഡിഗ്രി അളവ്, അതിനാൽ AOB കേന്ദ്ര ആംഗിൾ: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എസിബി സെൻട്രൽ ആംഗിൾ എഒബിയുടെ പകുതി വലുപ്പമാണ്, അതായത് 40 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്.

ഉത്തരം: 40

വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം കൊണ്ട് ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ എന്താണ്? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഡിഗ്രിയിൽ നൽകുക.

ഇത് രണ്ടിനാൽ രൂപപ്പെട്ട കോണാണ് കോർഡുകൾ, സർക്കിളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്നു. ആലേഖനം ചെയ്ത കോണാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു വിശ്രമിക്കുന്നുഅതിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിൽ അടച്ചിരിക്കുന്ന കമാനത്തിൽ.

ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾഅത് കിടക്കുന്ന ആർക്ക് പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്.

മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾഅത്രയും കോണീയ ഡിഗ്രികളും മിനിറ്റുകളും സെക്കൻഡുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു ആർക്ക് ഡിഗ്രികൾ, മിനിറ്റുകളും സെക്കൻഡുകളും അത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ആർക്കിന്റെ പകുതിയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ന്യായീകരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് മൂന്ന് കേസുകൾ വിശകലനം ചെയ്യാം:

ആദ്യ കേസ്:

സെന്റർ O വശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾഎബിസി. AO ആരം വരയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ΔABO ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ OA = OB (റേഡിയായി) കൂടാതെ, അതനുസരിച്ച്, ∠ABO = ∠BAO. ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ത്രികോണം, ആംഗിൾ AOC - ബാഹ്യ. അതിനർത്ഥം ഇത് ABO, BAO എന്നീ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ഇരട്ട ആംഗിൾ ABO യ്ക്ക് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ ∠ABO പകുതിക്ക് തുല്യമാണ് കേന്ദ്ര കോൺഎഒസി. എന്നാൽ ഈ ആംഗിൾ അളക്കുന്നത് ആർക്ക് എസി ആണ്. അതായത്, ആംഗിൾ എബിസി അളക്കുന്നത് ആർക്ക് എസിയുടെ പകുതിയാണ്.

രണ്ടാമത്തെ കേസ്:

സെന്റർ O വശങ്ങൾക്കിടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾഎബിസി. ബിഡി വ്യാസം വരച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ എബിസി കോണിനെ രണ്ട് കോണുകളായി വിഭജിക്കുന്നു, അതിൽ ആദ്യ കേസ് അനുസരിച്ച് ഒരെണ്ണം പകുതിയായി അളക്കുന്നു. കമാനങ്ങൾഎഡി, ആർക്ക് സിഡിയുടെ മറ്റേ പകുതിയും. അതനുസരിച്ച്, ആംഗിൾ ABC അളക്കുന്നു (AD+DC) /2, അതായത്. 1/2 എ.സി.

മൂന്നാമത്തെ കേസ്:

സെന്റർ ഒ പുറത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾഎബിസി. വ്യാസം BD വരയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . എന്നാൽ ABD, CBD എന്നീ കോണുകൾ മുമ്പ് ന്യായീകരിക്കപ്പെട്ട പകുതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് അളക്കുന്നത് ആർക്ക്എഡിയും സിഡിയും. കൂടാതെ ∠ABC അളക്കുന്നത് (AD-CD)/2 ആണ്, അതായത് ആർക്ക് AC യുടെ പകുതി.

അനന്തരഫലം 1.ഒരേ ആർക്ക് അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഏതൊരുവയും ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതായത് പരസ്പരം തുല്യമാണ്. കാരണം അവ ഓരോന്നും അതിന്റെ പകുതി കൊണ്ടാണ് അളക്കുന്നത് കമാനങ്ങൾ .

അനന്തരഫലം 2. ആലേഖനം ചെയ്ത ആംഗിൾ, വ്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി - വലത് കോൺ. അത്തരത്തിലുള്ള ഓരോ കോണും പകുതി അർദ്ധവൃത്തം കൊണ്ട് അളക്കുന്നതിനാൽ, അതനുസരിച്ച്, 90 ° അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.