0 ന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം തുല്യമാണ്. ലോഗരിതം

എന്താണ് ലോഗരിതം?

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയൽ.
ശക്തമായി "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്കായി
"വളരെയധികം ..." ഉള്ളവർക്കായി)

എന്താണ് ലോഗരിതം? ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പല ബിരുദധാരികളെയും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. പരമ്പരാഗതമായി, ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതും ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രത്യേകിച്ച് - ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

ഇത് തികച്ചും സത്യമല്ല. തികച്ചും! വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? നന്നായി. ഇപ്പോൾ, ഏകദേശം 10-20 മിനിറ്റ് നിങ്ങൾ:

1. മനസ്സിലാക്കുക എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം.

2. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ക്ലാസ് പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുക. നിങ്ങൾ അവരെക്കുറിച്ച് കേട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ പോലും.

3. ലളിതമായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക.

മാത്രമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾ ഗുണന പട്ടിക അറിയേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഒരു സംഖ്യ എങ്ങനെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു ...

നിങ്ങൾക്ക് സംശയം തോന്നുന്നു ... ശരി, സമയം സൂക്ഷിക്കുക! പോകൂ!

ആദ്യം, നിങ്ങളുടെ മനസ്സിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും പരിചയപ്പെടാം.

b എന്ന സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനം a എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ആണ് b എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ നിങ്ങൾ a എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം.

എങ്കിൽ .

ലോഗരിതം അങ്ങേയറ്റം പ്രധാനപ്പെട്ട ഗണിത അളവ്, ലോഗരിഥമിക് കാൽക്കുലസ് പരിഹരിക്കാൻ മാത്രമല്ല അനുവദിക്കുന്നതിനാൽ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, മാത്രമല്ല സൂചകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുകയും, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വേർതിരിക്കുകയും അവയെ സംയോജിപ്പിക്കുകയും കൂടുതൽ സ്വീകാര്യമായ രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

എന്നിവരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടു

ലോഗരിതങ്ങളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഗുണങ്ങളുമായി നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, വസ്തുത അർത്ഥമാക്കുന്നത്:

നിർദ്ദിഷ്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അധികാരങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളേക്കാൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ കൂടുതൽ പ്രധാനവും ഉപയോഗപ്രദവുമാകുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

ചില ഐഡന്റിറ്റികൾ ഇതാ:

പ്രധാന ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഇതാ:

;

.

ശ്രദ്ധ! x>0, x≠1, y>0 എന്നിവയ്ക്ക് മാത്രമേ നിലനിൽക്കാൻ കഴിയൂ.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം എന്താണെന്ന ചോദ്യം മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രത്യേക താൽപ്പര്യം രണ്ട് തരം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു- ആദ്യത്തേതിന് അടിയിൽ "10" എന്ന സംഖ്യയുണ്ട്, അതിനെ "" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ദശാംശ ലോഗരിതം". രണ്ടാമത്തേതിനെ പ്രകൃതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം e എന്ന സംഖ്യയാണ്. ഈ ലേഖനത്തിൽ നാം വിശദമായി സംസാരിക്കുന്നത് അവനെക്കുറിച്ചാണ്.

പദവികൾ:

• lg x - ദശാംശം;
• ln x - സ്വാഭാവികം.

ഐഡന്റിറ്റി ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ln e = 1, അതുപോലെ തന്നെ lg 10=1 എന്ന് കാണാം.

സ്വാഭാവിക ലോഗ് ഗ്രാഫ്

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് ഞങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ക്ലാസിക്കൽ രീതിയിൽ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് വേണമെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ശരിയായി നിർമ്മിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ലോഗരിതം എങ്ങനെ ശരിയായി കണക്കാക്കാമെന്ന് അറിയുന്നതിന് ഇത് "സ്വമേധയാ" എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നു.

പ്രവർത്തനം: y = ലോഗ് x. ഗ്രാഫ് കടന്നുപോകുന്ന പോയിന്റുകളുടെ ഒരു പട്ടിക എഴുതാം:

x എന്ന വാദത്തിന്റെ അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. ഇതെല്ലാം ഐഡന്റിറ്റിയെക്കുറിച്ചാണ്: ഒരു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്, ഈ ഐഡന്റിറ്റി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

സൗകര്യാർത്ഥം, നമുക്ക് അഞ്ച് റഫറൻസ് പോയിന്റുകൾ എടുക്കാം:

;

;

.

;

.

അതിനാൽ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമായ ഒരു ജോലിയാണ്, കൂടാതെ, ഇത് ശക്തികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ലളിതമാക്കുകയും അവയെ മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു. സാധാരണ ഗുണനം.

പോയിന്റുകൾ പ്രകാരം ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഏകദേശ ഗ്രാഫ് ലഭിക്കും:

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം (അതായത്, X ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ എല്ലാ സാധുതയുള്ള മൂല്യങ്ങളും) ഡൊമെയ്‌ൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്.

ശ്രദ്ധ!സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ മാത്രം ഉൾപ്പെടുന്നു പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ! സ്കോപ്പിൽ x=0 ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. ലോഗരിതം നിലനിൽക്കുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇത് അസാധ്യമാണ്.

മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി (അതായത്, y = ln x ഫംഗ്‌ഷന്റെ എല്ലാ സാധുവായ മൂല്യങ്ങളും) ഇടവേളയിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും ആണ്.

സ്വാഭാവിക ലോഗ് പരിധി

ഗ്രാഫ് പഠിക്കുമ്പോൾ, ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു - y ആയിരിക്കുമ്പോൾ പ്രവർത്തനം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കും<0.

വ്യക്തമായും, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് y-അക്ഷം കടക്കാൻ പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, പക്ഷേ x ന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആയതിനാൽ ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.<0 не существует.

സ്വാഭാവിക പരിധി ലോഗ്ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഒരു ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

ഒരു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് അനിയന്ത്രിതമായ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനേക്കാൾ വളരെ എളുപ്പമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് ഏതെങ്കിലും ലോഗരിതം സ്വാഭാവികമായ ഒന്നിലേക്ക് എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം വഴി അനിയന്ത്രിതമായ അടിത്തറയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് പഠിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റിയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

അപ്പോൾ ഏത് സംഖ്യയും വേരിയബിളും y ഇതുപോലെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഇവിടെ x എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ് (ലോഗരിതം ഗുണങ്ങൾ അനുസരിച്ച് പോസിറ്റീവ്).

ഈ പദപ്രയോഗം ഇരുവശത്തും ലോഗരിതം ചെയ്യാം. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ബേസ് z ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാം:

നമുക്ക് പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കാം ("കൂടെ" എന്നതിനുപകരം നമുക്ക് ഒരു പദപ്രയോഗമുണ്ട്):

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് സാർവത്രിക ഫോർമുല ലഭിക്കും:

.

പ്രത്യേകിച്ചും, z=e ആണെങ്കിൽ:

.

രണ്ട് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിലൂടെ ലോഗരിതം ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ അടിത്തറയിലേക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു.

ഞങ്ങൾ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളിൽ മികച്ച രീതിയിൽ നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യുന്നതിന്, നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ടാസ്ക് 1. ln x = 3 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം:ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്: എങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ടാസ്ക് 2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

പരിഹാരം: ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്: എങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഒരിക്കൽ കൂടി, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു:

.

അങ്ങനെ:

.

നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ഏകദേശം കണക്കാക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് അത് ഈ ഫോമിൽ നൽകാം.

ടാസ്ക് 3.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം: t = ln x. അപ്പോൾ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കും:

.

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമുണ്ട്. നമുക്ക് അതിന്റെ വിവേചനം കണ്ടെത്താം:

സമവാക്യത്തിന്റെ ആദ്യ റൂട്ട്:

.

സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട്:

.

ഞങ്ങൾ പകരം t = ln x ഉണ്ടാക്കിയ കാര്യം ഓർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലും പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലും, ലോഗരിഥമിക് അളവുകൾ വളരെ സാധാരണമാണ്. ഇത് ആശ്ചര്യകരമല്ല, കാരണം നമ്പർ ഇ - പലപ്പോഴും എക്സ്പോണൻഷ്യൽ മൂല്യങ്ങളുടെ വളർച്ചാ നിരക്ക് പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്, പ്രോഗ്രാമിംഗ്, കമ്പ്യൂട്ടർ സിദ്ധാന്തം എന്നിവയിൽ, ലോഗരിതം വളരെ സാധാരണമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, മെമ്മറിയിൽ N ബിറ്റുകൾ സംഭരിക്കുന്നതിന്.

ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെയും അളവുകളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ, ലോഗരിതം നിരന്തരം ഉപയോഗിക്കുന്നു, കാരണം ഫ്രാക്റ്റലുകളുടെ അളവുകൾ അവയുടെ സഹായത്തോടെ മാത്രമേ നിർണ്ണയിക്കൂ.

മെക്കാനിക്സിലും ഫിസിക്സിലുംലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കാത്ത ഒരു വിഭാഗവുമില്ല. ബാരോമെട്രിക് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ തെർമോഡൈനാമിക്സിന്റെ എല്ലാ തത്വങ്ങളും, സിയോൾകോവ്സ്കി സമവാക്യവും മറ്റും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം വിവരിക്കാൻ കഴിയുന്ന പ്രക്രിയകളാണ്.

രസതന്ത്രത്തിൽ, റെഡോക്സ് പ്രക്രിയകളുടെ വിവരണങ്ങളായ നേൺസ്റ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, സംഗീതത്തിൽ പോലും, ഒക്ടേവിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പ്രവർത്തനം y=ln x അതിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ പ്രധാന സ്വഭാവത്തിന്റെ തെളിവ്

പലപ്പോഴും ഒരു നമ്പർ എടുക്കുക ഇ = 2,718281828 . ഈ അടിത്തറയിലെ ലോഗരിതങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവികം. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ, അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് സാധാരണമാണ് എൽഎൻ, പക്ഷേ അല്ല ലോഗ്; നമ്പർ സമയത്ത് 2,718281828 , അടിസ്ഥാനം നിർവചിക്കുന്നു, സൂചിപ്പിക്കരുത്.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വാചകം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംസംഖ്യകൾ എക്സ്സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം ഇ, ലഭിക്കാൻ x.

അതിനാൽ, ln(7,389...)= 2 കാരണം ഇ 2 =7,389... . സംഖ്യയുടെ തന്നെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഇ= 1 കാരണം ഇ 1 =ഇ, ഒപ്പം ഐക്യത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് ഇ 0 = 1.

നമ്പർ തന്നെ ഇഒരു മോണോടോൺ ബൗണ്ടഡ് സീക്വൻസിൻറെ പരിധി നിർവചിക്കുന്നു

എന്ന് കണക്കുകൂട്ടി ഇ = 2,7182818284... .

പലപ്പോഴും, മെമ്മറിയിൽ ഒരു നമ്പർ ഉറപ്പിക്കുന്നതിനായി, ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങൾ ചില കുടിശ്ശിക തീയതികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ ആദ്യത്തെ ഒമ്പത് അക്കങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുന്ന വേഗത ഇ 1828 ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ ദശാംശത്തിന് ശേഷം വർദ്ധിക്കും!

ഇന്നുവരെ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ പട്ടികകൾ ഉണ്ട്.

സ്വാഭാവിക ലോഗ് ഗ്രാഫ്(പ്രവർത്തനങ്ങൾ y=ln x) നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു മിറർ ഇമേജായി എക്സ്പോണന്റിന്റെ പ്ലോട്ടിന്റെ അനന്തരഫലമാണ് y = xകൂടാതെ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഓരോ പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കണ്ടെത്താനാകും എവക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രദേശമായി വൈ = 1/xനിന്ന് 1 മുമ്പ് എ.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന മറ്റ് പല സൂത്രവാക്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഈ ഫോർമുലേഷന്റെ പ്രാഥമിക സ്വഭാവമാണ് "സ്വാഭാവികം" എന്ന പേരിന്റെ രൂപീകരണത്തിന് കാരണം.

നമ്മൾ വിശകലനം ചെയ്താൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, ഒരു യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിന്റെ യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന നിലയിൽ, അത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു വിപരീത പ്രവർത്തനംഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക്, അത് ഐഡന്റിറ്റികളിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളുമായും സാമ്യമുള്ളതിനാൽ, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഗുണനത്തെ സങ്കലനത്തിലേക്കും വിഭജനത്തെ വ്യവകലനത്തിലേക്കും പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:

ln(xy) = ln(x) + ln(വൈ)

ln(x/y)= lnx - lny

ഒന്നിന് തുല്യമല്ലാത്ത എല്ലാ പോസിറ്റീവ് ബേസിനും ലോഗരിതം കണ്ടെത്താനാകും, മാത്രമല്ല ഇ, എന്നാൽ മറ്റ് ബേസുകൾക്കുള്ള ലോഗരിതം സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സ്ഥിരമായ ഘടകം കൊണ്ട് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അവ സാധാരണയായി സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം അനുസരിച്ച് നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.

വിശകലനം ചെയ്തു സ്വാഭാവിക ലോഗ് ഗ്രാഫ്,വേരിയബിളിന്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഇത് നിലവിലുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും x. ഇത് അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

ചെയ്തത് x → 0 സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ പരിധി മൈനസ് അനന്തമാണ് ( -∞ ).അത് x → +∞ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ പരിധി പ്ലസ് അനന്തമാണ് ( + ∞ ). വലിയ അളവിൽ xലോഗരിതം സാവധാനത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും പവർ ഫംഗ്ഷൻ x എഒരു പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റിനൊപ്പം എലോഗരിതത്തേക്കാൾ വേഗത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഒരു ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്, അതിനാൽ ഇതിന് തീവ്രതയില്ല.

ഉപയോഗം സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം കടന്നുപോകുന്നതിൽ വളരെ യുക്തിസഹമാണ്. അതിനാൽ, അജ്ഞാതർ ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റായി ദൃശ്യമാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത് ധാരാളം ഗണിതശാസ്ത്ര സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വളരെയധികം സുഗമമാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. അടിസ്ഥാന ലോഗരിതം ഇ ഗണ്യമായ എണ്ണം ശാരീരിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഉണ്ട്, കൂടാതെ വ്യക്തിഗത രാസ, ജൈവ, മറ്റ് പ്രക്രിയകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിവരണത്തിൽ സ്വാഭാവികമായും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെ, അറിയപ്പെടുന്ന അർദ്ധായുസ്സിനുള്ള ശോഷണ സ്ഥിരാങ്കം കണക്കാക്കുന്നതിനോ റേഡിയോ ആക്ടിവിറ്റിയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ക്ഷയ സമയം കണക്കാക്കുന്നതിനോ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെയും പ്രായോഗിക ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും പല വിഭാഗങ്ങളിലും അവർ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, കൂട്ടുപലിശയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഉൾപ്പെടെ ധാരാളം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അവർ ധനകാര്യ മേഖലയിൽ അവലംബിക്കുന്നു.

വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം. ഒരു സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും ഫീഡ്‌ബാക്കും നിർദ്ദേശങ്ങളും നൽകാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആന്റിവൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിക്കുന്നു.

ഗ്രേഡ് 11-ന് "ഇന്റഗ്രൽ" എന്ന ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ ടീച്ചിംഗ് എയ്ഡുകളും സിമുലേറ്ററുകളും
9-11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ഇന്ററാക്ടീവ് മാനുവൽ "ത്രികോണമിതി"
10-11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ഇന്ററാക്ടീവ് മാനുവൽ "ലോഗരിതംസ്"

എന്താണ് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

സുഹൃത്തുക്കളേ, അവസാന പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ പ്രത്യേക നമ്പർ പഠിച്ചു - ഇ. ഇന്ന് ഞങ്ങൾ ഈ നമ്പറിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നത് തുടരും.
ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം പഠിച്ചു, ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം 0-നേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളാകാമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. ഇന്ന് നമ്മൾ ലോഗരിതം പരിഗണിക്കും, അത് സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. . ഇതിന് അതിന്റേതായ നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട്: $\ln(n)$ എന്നത് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആണ്. ഈ നൊട്ടേഷൻ ഇതിന് തുല്യമാണ്: $\log_e(n)=\ln(n)$.
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വിപരീതമാണ്, പിന്നെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഫംഗ്‌ഷന്റെ വിപരീതമാണ്: $y=e^x$.
$y=x$ എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ സമമിതിയാണ്.
$y=x$ എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്‌ത് നമുക്ക് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം.

പോയിന്റിൽ (0;1) $y=e^x$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റിന്റെ ചരിവ് 45° ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അപ്പോൾ പോയിന്റിലെ (1; 0) സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റിന്റെ ചരിവും 45 ° ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഈ രണ്ട് സ്പർശനങ്ങളും $y=x$ എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കും. നമുക്ക് സ്പർശനങ്ങൾ വരയ്ക്കാം:

$y=\ln(x)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.
3. നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും വർദ്ധനവ്.
4. മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.
5. പരമാവധി മൂല്യമില്ല, കുറഞ്ഞ മൂല്യമില്ല.
6. തുടർച്ചയായി.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. കുത്തനെ മുകളിലേക്ക്.
9. എല്ലായിടത്തും വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അത് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു ഒരു വിപരീത ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പരസ്പരമാണ്.
തെളിവിലേക്ക് ആഴ്ന്നിറങ്ങുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല, നമുക്ക് ഫോർമുല എഴുതാം: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

ഉദാഹരണം.
ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക: $x=4$ എന്ന പോയിന്റിൽ $y=\ln(2x-7)$.
പരിഹാരം.
പൊതുവേ, ഞങ്ങളുടെ ഫംഗ്‌ഷനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് $y=f(kx+m)$ ആണ്, അത്തരം ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
ആവശ്യമായ പോയിന്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
ഉത്തരം: 2.

ഉദാഹരണം.
$x=e$ എന്ന പോയിന്റിൽ $y=ln(x)$ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കുക.
പരിഹാരം.
$x=a$ എന്ന പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റിന്റെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നന്നായി ഓർക്കുന്നു.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് ക്രമമായി കണക്കാക്കാം.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെന്റ് സമവാക്യം $y=\frac(x)(e)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷനാണ്.
നമുക്ക് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, ടാൻജെന്റ് എന്നിവ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം.

ഉദാഹരണം.
ഏകതാനതയ്ക്കും തീവ്രതയ്ക്കും വേണ്ടിയുള്ള പ്രവർത്തനം അന്വേഷിക്കുക: $y=x^6-6*ln(x)$.
പരിഹാരം.
ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌ൻ $D(y)=(0;+∞)$.
നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് എല്ലാ x-നും ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്, തുടർന്ന് നിർണ്ണായക പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല. നമുക്ക് സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
പോയിന്റ് $х=-1$ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റ് $х=1$ ഉണ്ട്. വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക:

പോയിന്റ് $x=1$ ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്, തുടർന്ന് $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
ഉത്തരം: സെഗ്‌മെന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു (0;1], $ റേയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു)