ഡെറിവേറ്റീവ് 5x 4. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് e യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം (x to the power of a). x-ൽ നിന്നുള്ള വേരുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. ഉയർന്ന ഓർഡർ പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.
x ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് a യുടെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് ഒരു തവണ x ഒരു മൈനസ് ഒന്നിന്റെ ശക്തിയാണ്:
(1)
.
x ന്റെ nth റൂട്ട് മുതൽ mth പവർ വരെയുള്ളതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതാണ്:
(2)
.
ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം
കേസ് x > 0
എക്‌സ്‌പോണന്റ് a ഉള്ള വേരിയബിൾ x ന്റെ ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:
(3)
.
ഇവിടെ a എന്നത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. ആദ്യം കേസ് പരിഗണിക്കാം.
ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് (3), ഞങ്ങൾ പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയും അതിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു:
.
പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.
ഇവിടെ .
ഫോർമുല (1) തെളിയിച്ചു.
x ന്റെ ഡിഗ്രി n മുതൽ ഡിഗ്രി m വരെയുള്ള റൂട്ടിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം
ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ റൂട്ടായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക:
(4)
.
ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ റൂട്ടിനെ ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:
.
ഫോർമുല (3) മായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് അത് കാണാം
.
പിന്നെ
.
ഫോർമുല (1) പ്രകാരം ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
(1)
;
;
(2)
.
പ്രായോഗികമായി, ഫോർമുല (2) ഓർമ്മിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ആദ്യം റൂട്ടുകളെ പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, തുടർന്ന് ഫോർമുല (1) ഉപയോഗിച്ച് അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക (പേജിന്റെ അവസാനം ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണുക).
കേസ് x = 0
എങ്കിൽ, x = വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യത്തിനും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു 0
. x = എന്നതിനുള്ള ഫംഗ്ഷൻ (3) ന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം 0
. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
.
പകരക്കാരൻ x = 0
:
.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നതുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് വലത് വശത്തെ പരിധിയാണ് .
അതിനാൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി:
.
ഇതിൽ നിന്നും മനസ്സിലാക്കാം.
, .
, .
ഈ ഫലം ഫോർമുല (1) വഴിയും ലഭിക്കും:
(1)
.
അതിനാൽ, ഫോർമുല (1) x = എന്നതിനും സാധുതയുള്ളതാണ് 0
.
കേസ് x< 0
പ്രവർത്തനം (3) വീണ്ടും പരിഗണിക്കുക:
(3)
.
സ്ഥിരമായ a യുടെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്ക്, x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കും ഇത് നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. അതായത്, ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ അതിനെ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
,
ഇവിടെ m ഉം n ഉം പൊതു വിഭജനമില്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്.
n ഒറ്റയടി ആണെങ്കിൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, n = എന്നതിന് 3
കൂടാതെ m = 1
നമുക്ക് x ന്റെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ഉണ്ട്:
.
x ന്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കും ഇത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.
a എന്ന സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ യുക്തിസഹമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ (3) ഡെറിവേറ്റീവ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, അതിനായി അത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ x-നെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:
.
പിന്നെ,
.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം എടുത്ത് സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമം പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
.
ഇവിടെ . പക്ഷേ
.
കാരണം, അപ്പോൾ
.
പിന്നെ
.
അതായത്, ഫോർമുല (1) ഇതിനും സാധുതയുള്ളതാണ്:
(1)
.
ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു
(3)
.
ആദ്യ ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തി:
.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ a എടുത്താൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
.
അതുപോലെ, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.
ഇവിടെ നിന്ന് അത് വ്യക്തമാണ് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ nth ഓർഡറിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ട്:
.
ശ്രദ്ധിക്കുക, അത് a സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ nth ഡെറിവേറ്റീവ് സ്ഥിരമാണ്:
.
തുടർന്നുള്ള എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:
,
യിൽ.
ഡെറിവേറ്റീവ് ഉദാഹരണങ്ങൾ
ഉദാഹരണം
ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
.
പരിഹാരം
നമുക്ക് വേരുകളെ ശക്തികളാക്കി മാറ്റാം:
;
.
അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനം ഫോം എടുക്കുന്നു:
.
ഡിഗ്രികളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.
സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്:
.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു അസൈൻമെന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുക. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലകളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഈ പേജിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
വ്യത്യാസ നിയമങ്ങൾ
- (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. y=F(u)ഉം u=u(x)ഉം ആണെങ്കിൽ y=f(x)=F(u(x)) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ x ന്റെ കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. y′(x)=Fu′⋅ ux′ ന് തുല്യമാണ്.
- ഒരു അവ്യക്തമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ F(x,f(x))≡0 ആണെങ്കിൽ F(x,y)=0 എന്ന ബന്ധം നൽകുന്ന ഇൻപ്ലിസിറ്റ് ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
- വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. g(f(x))=x ആണെങ്കിൽ, g(x) ഫംഗ്‌ഷനെ y=f(x) ഫംഗ്ഷന്റെ വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
- പാരാമെട്രിക് ആയി നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. x, y എന്നിവ t എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളായി നൽകട്ടെ: x=x(t), y=y(t). ഈ ഇടവേളയിൽ x=x(t) എന്ന സമവാക്യം t=t(x) ആയും ഫംഗ്‌ഷനായും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, x∈ (a;b) ഇടവേളയിൽ y=y(x) ഒരു പാരാമീറ്റർ നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. y=y(t(x))=y(x).
- എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തട്ടിലേക്ക് ലോഗരിതം എടുത്താണ് ഇത് കണ്ടെത്തുന്നത്.
ആദ്യ നില
ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ്. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)
ഒരു കുന്നിൻ പ്രദേശത്തുകൂടി ഒരു നേരായ പാത കടന്നുപോകുന്നതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. അതായത്, അത് മുകളിലേക്കും താഴേക്കും പോകുന്നു, പക്ഷേ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ തിരിയുന്നില്ല. അച്ചുതണ്ട് റോഡിലൂടെ തിരശ്ചീനമായും ലംബമായും നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, റോഡ് ലൈൻ ചില തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതായിരിക്കും:
അക്ഷം പൂജ്യം ഉയരത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത തലമാണ്, ജീവിതത്തിൽ നമ്മൾ സമുദ്രനിരപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.
അത്തരമൊരു പാതയിലൂടെ മുന്നോട്ട് നീങ്ങുമ്പോൾ, ഞങ്ങളും മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ നീങ്ങുന്നു. നമുക്ക് ഇങ്ങനെയും പറയാം: ആർഗ്യുമെന്റ് മാറുമ്പോൾ (അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ), ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം മാറുന്നു (ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിലൂടെ നീങ്ങുന്നു). നമ്മുടെ റോഡിന്റെ "കുത്തനെ" എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം? ഈ മൂല്യം എന്തായിരിക്കാം? വളരെ ലളിതമാണ്: ഒരു നിശ്ചിത ദൂരം മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ ഉയരം എത്രമാത്രം മാറും. തീർച്ചയായും, റോഡിന്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളിൽ, ഒരു കിലോമീറ്റർ മുന്നോട്ട് (അബ്‌സിസ്സയിലൂടെ) നീങ്ങുമ്പോൾ, സമുദ്രനിരപ്പുമായി (ഓർഡിനേറ്റിനൊപ്പം) ആപേക്ഷികമായി ഞങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത മീറ്ററുകൾ ഉയരുകയോ താഴുകയോ ചെയ്യും.
മുന്നോട്ടുള്ള പുരോഗതിയെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ("ഡെൽറ്റ x" വായിക്കുക).
ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം (ഡെൽറ്റ) സാധാരണയായി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ "മാറ്റം" എന്നർത്ഥമുള്ള ഒരു ഉപസർഗ്ഗമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതായത് - ഇത് വ്യാപ്തിയിലെ മാറ്റമാണ്, - ഒരു മാറ്റം; അപ്പോൾ അതെന്താണ്? ശരിയാണ്, വലിപ്പത്തിൽ ഒരു മാറ്റം.
പ്രധാനം: എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു ഏക അസ്തിത്വമാണ്, ഒരു വേരിയബിൾ. "x" ൽ നിന്നോ മറ്റേതെങ്കിലും അക്ഷരത്തിൽ നിന്നോ നിങ്ങൾ ഒരിക്കലും "ഡെൽറ്റ" കീറരുത്! അതായത്, ഉദാഹരണത്തിന്, .
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട്, തിരശ്ചീനമായി, മുന്നോട്ട് പോയി. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫുമായി നമ്മൾ റോഡിന്റെ വരി താരതമ്യം ചെയ്താൽ, പിന്നെ എങ്ങനെയാണ് ഉയർച്ചയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്? തീർച്ചയായും, . അതായത്, മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ നമ്മൾ ഉയരത്തിൽ ഉയരുന്നു.
മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: തുടക്കത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഉയരത്തിലായിരുന്നുവെങ്കിൽ, നീങ്ങിയ ശേഷം ഞങ്ങൾ ഉയരത്തിലായിരുന്നു. അവസാന പോയിന്റ് ആരംഭ പോയിന്റിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, അത് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും - ഇതിനർത്ഥം നമ്മൾ ആരോഹണമല്ല, ഇറങ്ങുകയാണെന്നാണ്.
"കുത്തനെ" എന്നതിലേക്ക് മടങ്ങുക: ഒരു യൂണിറ്റ് ദൂരത്തിൽ മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ ഉയരം എത്രത്തോളം (കുത്തനെ) വർദ്ധിക്കുന്നുവെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു മൂല്യമാണിത്:
പാതയുടെ ഏതെങ്കിലുമൊരു ഭാഗത്ത്, കിലോമീറ്ററുകൾ മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ, റോഡ് കിലോമീറ്ററുകളോളം ഉയരുന്നു എന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ ഈ സ്ഥലത്തെ കുത്തനെ തുല്യമാണ്. മീറ്റർ മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ റോഡ് കിലോമീറ്ററോളം മുങ്ങിയാലോ? അപ്പോൾ ചരിവ് തുല്യമാണ്.
ഇപ്പോൾ ഒരു കുന്നിൻ മുകളിൽ പരിഗണിക്കുക. വിഭാഗത്തിന്റെ ആരംഭം അര കിലോമീറ്റർ മുകളിലേക്ക് എടുത്താൽ, അവസാനം - അര കിലോമീറ്റർ കഴിഞ്ഞ്, ഉയരം ഏതാണ്ട് തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.
അതായത്, ഞങ്ങളുടെ യുക്തി അനുസരിച്ച്, ഇവിടെ ചരിവ് ഏതാണ്ട് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് മാറുന്നു, അത് വ്യക്തമായി ശരിയല്ല. ഏതാനും മൈലുകൾ അകലെയുള്ള പലതും മാറാം. കുത്തനെയുള്ള കൂടുതൽ പര്യാപ്തവും കൃത്യവുമായ വിലയിരുത്തലിനായി ചെറിയ പ്രദേശങ്ങൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മീറ്റർ ചലിക്കുമ്പോൾ ഉയരത്തിലെ മാറ്റം നിങ്ങൾ അളക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം കൂടുതൽ കൃത്യമായിരിക്കും. എന്നാൽ ഈ കൃത്യത പോലും നമുക്ക് മതിയാകില്ല - എല്ലാത്തിനുമുപരി, റോഡിന്റെ മധ്യത്തിൽ ഒരു തൂണുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് അതിലൂടെ തെന്നിമാറാം. അപ്പോൾ ഏത് ദൂരം തിരഞ്ഞെടുക്കണം? സെന്റീമീറ്റർ? മില്ലിമീറ്റർ? കുറവ് നല്ലത്!
IN യഥാർത്ഥ ജീവിതംഅടുത്തുള്ള മില്ലിമീറ്ററിലേക്കുള്ള ദൂരം അളക്കുന്നത് ആവശ്യത്തിലധികം. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ എല്ലായ്പ്പോഴും പൂർണതയ്ക്കായി പരിശ്രമിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആശയം ആയിരുന്നു അനന്തമായ, അതായത്, മൊഡ്യൂളോ മൂല്യം നമുക്ക് പേരുനൽകാൻ കഴിയുന്ന ഏതൊരു സംഖ്യയേക്കാളും കുറവാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ പറയുന്നു: ഒരു ട്രില്യൺ! എത്ര കുറവ്? നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യയെ ഹരിച്ചാൽ - അത് ഇതിലും കുറവായിരിക്കും. ഇത്യാദി. മൂല്യം അനന്തമായി ചെറുതാണെന്ന് എഴുതണമെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഇങ്ങനെ എഴുതുന്നു: (ഞങ്ങൾ "x പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത" എന്ന് വായിക്കുന്നു). മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ് ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന്!എന്നാൽ അതിനോട് വളരെ അടുത്താണ്. ഇതിനെ വിഭജിക്കാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
അനന്തമായ ചെറുത് എന്നതിന് വിപരീതമായ ആശയം അനന്തമായി വലുതാണ് (). നിങ്ങൾ അസമത്വങ്ങളിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ ഇത് നേരിട്ടിട്ടുണ്ടാകാം: നിങ്ങൾക്ക് ചിന്തിക്കാൻ കഴിയുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളേക്കാളും ഈ സംഖ്യ മോഡുലസിൽ കൂടുതലാണ്. സാധ്യമായ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയാണ് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതെങ്കിൽ, അതിനെ രണ്ടായി ഗുണിച്ചാൽ കൂടുതൽ ലഭിക്കും. അനന്തത സംഭവിക്കുന്നതിലും കൂടുതലാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, അനന്തമായി വലുതും അനന്തമായി ചെറുതും പരസ്പരം വിപരീതമാണ്, അതായത്, at, തിരിച്ചും: at.
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ വഴിയിലേക്ക് മടങ്ങുക. പാതയുടെ അനന്തമായ ചെറിയ വിഭാഗത്തിനായി കണക്കാക്കിയ ചരിവാണ് അനുയോജ്യമായി കണക്കാക്കിയ ചരിവ്, അതായത്:
അനന്തമായ ചെറിയ സ്ഥാനചലനം കൊണ്ട്, ഉയരത്തിലെ മാറ്റവും അനന്തമായി ചെറുതായിരിക്കുമെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. എന്നാൽ അനന്തമായ ചെറുത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. നിങ്ങൾ അനന്തമായ സംഖ്യകളെ പരസ്പരം വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സാധാരണ സംഖ്യ ലഭിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്. അതായത്, ഒരു ചെറിയ മൂല്യം മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ ഇരട്ടി വലുതായിരിക്കും.
എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇതെല്ലാം? റോഡ്, കുത്തനെയുള്ള ... ഞങ്ങൾ ഒരു റാലിക്ക് പോകുന്നില്ല, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുകയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എല്ലാം ഒരേപോലെയാണ്, വ്യത്യസ്തമായി മാത്രമേ വിളിക്കൂ.
ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അനന്തമായ ഇൻക്രിമെന്റിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും അനുപാതമാണ്.
ഇൻക്രിമെന്റുംഗണിതത്തിൽ മാറ്റം എന്ന് പറയുന്നു. അച്ചുതണ്ടിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ വാദം () എത്രമാത്രം മാറിയെന്ന് വിളിക്കുന്നു വാദം വർദ്ധനവ്അച്ചുതണ്ടിലൂടെ ഒരു ദൂരത്തിലൂടെ മുന്നോട്ട് പോകുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ (ഉയരം) എത്രമാത്രം മാറിയിരിക്കുന്നു എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ്അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എപ്പോഴാണെന്നുള്ള ബന്ധമാണ്. ഫംഗ്ഷന്റെ അതേ അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, മുകളിൽ വലത് നിന്ന് ഒരു സ്ട്രോക്ക് ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം: അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി. അതിനാൽ, ഈ നൊട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുല എഴുതാം:
റോഡുമായുള്ള സാമ്യം പോലെ, ഇവിടെ, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അത് കുറയുമ്പോൾ അത് നെഗറ്റീവ് ആണ്.
എന്നാൽ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണോ? തീർച്ചയായും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പരന്ന തിരശ്ചീന റോഡിലൂടെയാണ് വാഹനമോടിക്കുന്നതെങ്കിൽ, കുത്തനെയുള്ളത് പൂജ്യമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഉയരം മാറില്ല. അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവിനൊപ്പം: ഒരു സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ (സ്ഥിരമായ) ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:
എന്തെന്നാൽ അത്തരം ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് പൂജ്യമാണ്.
മലമുകളിലെ ഉദാഹരണം എടുക്കാം. സെഗ്മെന്റിന്റെ അറ്റങ്ങൾ ശീർഷത്തിന്റെ എതിർ വശങ്ങളിലായി ക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് കണ്ടെത്തി, അറ്റത്തെ ഉയരം തുല്യമായി മാറും, അതായത്, സെഗ്‌മെന്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്:
എന്നാൽ വലിയ ഭാഗങ്ങൾ കൃത്യമല്ലാത്ത അളവെടുപ്പിന്റെ അടയാളമാണ്. നമ്മുടെ സെഗ്‌മെന്റ് സമാന്തരമായി ഉയർത്തും, തുടർന്ന് അതിന്റെ നീളം കുറയും.
അവസാനം, നമ്മൾ മുകളിലേക്ക് അനന്തമായി അടുക്കുമ്പോൾ, സെഗ്മെന്റിന്റെ നീളം അനന്തമായി ചെറുതായിത്തീരും. എന്നാൽ അതേ സമയം, അത് അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി തുടർന്നു, അതായത്, അതിന്റെ അറ്റത്തുള്ള ഉയരം വ്യത്യാസം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് ( പ്രവണത കാണിക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ തുല്യമാണ്). അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മനസ്സിലാക്കാം: നമ്മൾ ഏറ്റവും മുകളിൽ നിൽക്കുമ്പോൾ, ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ ഒരു ചെറിയ ഷിഫ്റ്റ് നമ്മുടെ ഉയരം നിസ്സാരമായി മാറ്റുന്നു.
പൂർണ്ണമായും ബീജഗണിത വിശദീകരണവും ഉണ്ട്: മുകളിലെ ഇടതുവശത്ത്, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, വലതുവശത്ത് അത് കുറയുന്നു. നമ്മൾ നേരത്തെ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അത് കുറയുമ്പോൾ അത് നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്നാൽ അത് സുഗമമായി മാറുന്നു, ജമ്പുകൾ ഇല്ലാതെ (കാരണം റോഡ് അതിന്റെ ചരിവ് എവിടെയും കുത്തനെ മാറ്റുന്നില്ല). അതിനാൽ, നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കിടയിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഫംഗ്ഷൻ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യാത്തിടത്ത് ആയിരിക്കും - ശീർഷ ബിന്ദുവിൽ.
താഴ്‌വരയ്ക്കും ഇതുതന്നെ സത്യമാണ് (ഇടതുവശത്ത് പ്രവർത്തനം കുറയുകയും വലതുവശത്ത് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന പ്രദേശം):
ഇൻക്രിമെന്റുകളെക്കുറിച്ച് കുറച്ചുകൂടി.
അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെന്റിനെ ഒരു മൂല്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. ഏത് മൂല്യത്തിൽ നിന്നാണ് നമ്മൾ മാറുന്നത്? അവൻ (വാദം) ഇപ്പോൾ എന്തായിത്തീർന്നു? നമുക്ക് ഏത് പോയിന്റും തിരഞ്ഞെടുക്കാം, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് നൃത്തം ചെയ്യും.
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ഉള്ള ഒരു പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക. അതിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം തുല്യമാണ്. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അതേ ഇൻക്രിമെന്റ് ചെയ്യുന്നു: കോർഡിനേറ്റ് വർദ്ധിപ്പിക്കുക. ഇപ്പോൾ എന്താണ് വാദം? വളരെ എളുപ്പം: . ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മൂല്യം എന്താണ്? വാദം എവിടെ പോകുന്നു, ഫംഗ്ഷൻ അവിടെ പോകുന്നു: . ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റിനെക്കുറിച്ച്? പുതിയതായി ഒന്നുമില്ല: ഇത് ഇപ്പോഴും ഫംഗ്ഷൻ മാറിയ തുകയാണ്:
ഇൻക്രിമെന്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ പരിശീലിക്കുക:
- തുല്യമായ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റ് കണ്ടെത്തുക.
- ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ കാര്യത്തിലും ഇതുതന്നെ.
പരിഹാരങ്ങൾ:
IN വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകൾആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അതേ ഇൻക്രിമെന്റ് ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഇതിനർത്ഥം ഓരോ പോയിന്റിലെയും ഡെറിവേറ്റീവിന് അതിന്റേതായ ഉണ്ടെന്നാണ് (ഞങ്ങൾ ഇത് തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ചർച്ച ചെയ്തു - വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിലെ റോഡിന്റെ കുത്തനെ വ്യത്യസ്തമാണ്). അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എഴുതുമ്പോൾ, ഏത് ഘട്ടത്തിലാണ് നമ്മൾ സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത്:
പവർ ഫംഗ്ഷൻ.
ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവിടെ ആർഗ്യുമെന്റ് ഒരു പരിധി വരെ (ലോജിക്കൽ, ശരിയല്ലേ?).
കൂടാതെ - ഒരു പരിധി വരെ: .
ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ്എക്‌സ്‌പോണന്റ് എപ്പോഴാണ്:
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം. ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഓർക്കുക:
അതിനാൽ വാദം മാറുന്നു. പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ് എന്താണ്?
ഇൻക്രിമെന്റ് ആണ്. എന്നാൽ ഏത് ഘട്ടത്തിലെയും പ്രവർത്തനം അതിന്റെ വാദത്തിന് തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്:
ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതാണ്:
ഇതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതാണ്:
ബി) ഇപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക (): .
ഇനി അത് ഓർക്കാം. ഇതിനർത്ഥം, ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ മൂല്യം അവഗണിക്കപ്പെടാം, കാരണം അത് അനന്തമായി ചെറുതാണ്, അതിനാൽ മറ്റൊരു പദത്തിന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ അത് നിസ്സാരമാണ്:
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു നിയമമുണ്ട്:
സി) ഞങ്ങൾ ലോജിക്കൽ സീരീസ് തുടരുന്നു:
ഈ പദപ്രയോഗം വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ ലളിതമാക്കാം: തുകയുടെ ക്യൂബിന്റെ സംക്ഷിപ്ത ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റ് തുറക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ ക്യൂബുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക. നിർദ്ദേശിച്ച ഏതെങ്കിലും വഴികളിൽ ഇത് സ്വയം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുക.
അതിനാൽ, എനിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിച്ചു:
അത് ഒന്നുകൂടി ഓർക്കട്ടെ. ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന എല്ലാ നിബന്ധനകളും നമുക്ക് അവഗണിക്കാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: .
d) വലിയ അധികാരങ്ങൾക്ക് സമാനമായ നിയമങ്ങൾ ലഭിക്കും:
e) ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷന് വേണ്ടി ഈ നിയമം സാമാന്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ പോലുമില്ല:
| (2) |
നിങ്ങൾക്ക് വാക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിയമം രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും: "ഡിഗ്രി ഒരു ഗുണകമായി മുന്നോട്ട് കൊണ്ടുവരുന്നു, തുടർന്ന് കുറയുന്നു".
ഞങ്ങൾ ഈ നിയമം പിന്നീട് തെളിയിക്കും (ഏതാണ്ട് അവസാനം). ഇനി ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
- (രണ്ട് തരത്തിൽ: ഫോർമുല വഴിയും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ചും - ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ);
- . വിശ്വസിച്ചാലും ഇല്ലെങ്കിലും ഇതൊരു പവർ ഫങ്ഷനാണ്. നിങ്ങൾക്ക് “എങ്ങനെയുണ്ട്? പിന്നെ ഡിഗ്രി എവിടെയാണ്? ”, വിഷയം“ ” ഓർക്കുക!
അതെ, അതെ, റൂട്ടും ഒരു ഡിഗ്രിയാണ്, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഒന്ന് മാത്രം :.
അങ്ങനെ നമ്മുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഒരു ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം മാത്രമാണ്:
.
അടുത്തിടെ പഠിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിനായി തിരയുകയാണ്:ഈ സമയത്ത് അത് വീണ്ടും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, "" വിഷയം ആവർത്തിക്കുക !!! (ഒരു നെഗറ്റീവ് സൂചകത്തോടുകൂടിയ ഒരു ഡിഗ്രി)
- . ഇപ്പോൾ ഘാതം:
ഇപ്പോൾ നിർവചനത്തിലൂടെ (നിങ്ങൾ ഇതുവരെ മറന്നോ?):
;
.
ഇപ്പോൾ, പതിവുപോലെ, അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദത്തെ ഞങ്ങൾ അവഗണിക്കുന്നു:
. - . മുമ്പത്തെ കേസുകളുടെ സംയോജനം: .
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കും:
പ്രകടിപ്പിക്കുമ്പോൾ.
ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിന്റെ ആദ്യ വർഷത്തിൽ നിങ്ങൾ തെളിവ് പഠിക്കും (അവിടെയെത്താൻ, നിങ്ങൾ പരീക്ഷ നന്നായി വിജയിക്കേണ്ടതുണ്ട്). ഇപ്പോൾ ഞാൻ അത് ഗ്രാഫിക്കായി കാണിക്കും:
ഫംഗ്ഷൻ നിലവിലില്ലാത്തപ്പോൾ - ഗ്രാഫിലെ പോയിന്റ് പഞ്ചർ ചെയ്തതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. എന്നാൽ മൂല്യത്തോട് അടുക്കുന്തോറും പ്രവർത്തനം കൂടുതൽ അടുക്കുന്നു, ഇതാണ് "പ്രയത്നം".
കൂടാതെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഈ നിയമം പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. അതെ, അതെ, ലജ്ജിക്കരുത്, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ എടുക്കുക, ഞങ്ങൾ ഇതുവരെ പരീക്ഷയിൽ എത്തിയിട്ടില്ല.
അതിനാൽ നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം: ;
കാൽക്കുലേറ്റർ റേഡിയൻസ് മോഡിലേക്ക് മാറ്റാൻ മറക്കരുത്!
തുടങ്ങിയവ. ചെറുതായത് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു അടുത്ത അർത്ഥംബന്ധം.
a) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക. പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ അതിന്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
നമുക്ക് സൈനുകളുടെ വ്യത്യാസം ഒരു ഉൽപ്പന്നമാക്കി മാറ്റാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു ("" വിഷയം ഓർക്കുക):.
ഇപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ്:
നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം: . പിന്നെ, അനന്തമായ ചെറിയതിന്, അത് അനന്തമായി ചെറുതാണ്: . എന്നതിന്റെ പദപ്രയോഗം രൂപമെടുക്കുന്നു:
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് പ്രയോഗത്തോടെ ഓർക്കുന്നു. കൂടാതെ, തുകയിൽ (അതായത്, at) അനന്തമായ ചെറിയ മൂല്യം അവഗണിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും.
അതിനാൽ നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ലഭിക്കും: സൈനിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈന് തുല്യമാണ്:
ഇവ അടിസ്ഥാന ("പട്ടിക") ഡെറിവേറ്റീവുകളാണ്. ഇവിടെ അവർ ഒരു പട്ടികയിൽ ഉണ്ട്:
പിന്നീട് ഞങ്ങൾ അവയിലേക്ക് കുറച്ച് കൂടി ചേർക്കും, എന്നാൽ ഇവ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതാണ്, കാരണം അവ മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.
പരിശീലിക്കുക:
- ഒരു പോയിന്റിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക;
- ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരങ്ങൾ:
- ആദ്യം നമ്മൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു പൊതുവായ കാഴ്ച, തുടർന്ന് അതിന്റെ മൂല്യം പകരം വയ്ക്കുക:
;
. - ഇവിടെ നമുക്ക് ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷന് സമാനമായ ഒന്ന് ഉണ്ട്. നമുക്ക് അവളെ കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിക്കാം
സാധാരണ കാഴ്ച:
.
ശരി, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:
.
. - . Eeeeeee..... അതെന്താ????
ശരി, നിങ്ങൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്, അത്തരം ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്തണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അറിയില്ല. ഇവിടെ നമുക്ക് നിരവധി തരം ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സംയോജനമുണ്ട്. അവരോടൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കാൻ, നിങ്ങൾ കുറച്ച് നിയമങ്ങൾ കൂടി പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
എക്‌സ്‌പോണന്റ്, നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, അതിന്റെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇതിനെ "എക്‌സ്‌പോണന്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനാണ്
ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ അടിസ്ഥാനം - ഒരു സ്ഥിരാങ്കം - ഒരു അനന്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, അതായത്, ഒരു അവിവേക സംഖ്യ (ഉദാഹരണത്തിന്). ഇതിനെ "യൂലർ നമ്പർ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനാലാണ് ഇത് ഒരു അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.
അതിനാൽ നിയമം ഇതാണ്:
ഓർക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്.
ശരി, ഞങ്ങൾ അധികം പോകില്ല, ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ വിപരീത പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കും. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ വിപരീതം എന്താണ്? ലോഗരിതം:
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനം ഒരു സംഖ്യയാണ്:
അത്തരമൊരു ലോഗരിതം (അതായത്, അടിത്തറയുള്ള ഒരു ലോഗരിതം) "സ്വാഭാവികം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനായി ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു: പകരം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.
എന്താണ് തുല്യം? തീർച്ചയായും, .
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും വളരെ ലളിതമാണ്:
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
- ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?
ഉത്തരങ്ങൾ: എക്സിബിറ്റർ ഒപ്പം സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം- ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഫംഗ്ഷനുകൾ അദ്വിതീയമായി ലളിതമാണ്. മറ്റേതെങ്കിലും അടിത്തറയുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് മറ്റൊരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കും, അത് ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോയ ശേഷം പിന്നീട് വിശകലനം ചെയ്യും.
വ്യത്യാസ നിയമങ്ങൾ
എന്ത് നിയമങ്ങൾ? വീണ്ടുമൊരു പുതിയ പദം, വീണ്ടും?!...
വ്യത്യാസംഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയാണ്.
മാത്രം എല്ലാം. ഈ പ്രക്രിയയുടെ മറ്റൊരു വാക്ക് എന്താണ്? proizvodnovanie അല്ല... ഗണിതത്തിന്റെ ഡിഫറൻഷ്യലിനെ ഫംഗ്ഷന്റെ വെരി ഇൻക്രിമെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പദം ലാറ്റിൻ വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്നാണ് വന്നത് - വ്യത്യാസം. ഇവിടെ.
ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം ഉരുത്തിരിയുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, കൂടാതെ. അവരുടെ ഇൻക്രിമെന്റുകൾക്കായി ഞങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകളും ആവശ്യമാണ്:
ആകെ 5 നിയമങ്ങളുണ്ട്.
സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു.
എങ്കിൽ - ചില സ്ഥിരമായ സംഖ്യ (സ്ഥിരമായത്), പിന്നെ.
വ്യക്തമായും, ഈ നിയമം വ്യത്യാസത്തിനും പ്രവർത്തിക്കുന്നു: .
നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. അനുവദിക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ എളുപ്പം.
ഉദാഹരണങ്ങൾ.
ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:
- പോയിന്റിൽ;
- പോയിന്റിൽ;
- പോയിന്റിൽ;
- പോയിന്റിൽ.
പരിഹാരങ്ങൾ:
- (ഡെറിവേറ്റീവ് എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും ഒന്നുതന്നെയാണ്, കാരണം അത് രേഖീയ പ്രവർത്തനം, ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?);
ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഇവിടെ എല്ലാം സമാനമാണ്: ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ അവതരിപ്പിക്കുകയും അതിന്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:
ഡെറിവേറ്റീവ്:
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
- ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക കൂടാതെ;
- ഒരു പോയിന്റിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരങ്ങൾ:
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ മാത്രമല്ല, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ അറിവ് മതിയാകും (അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ ഇതുവരെ മറന്നോ?).
അപ്പോൾ കുറച്ച് നമ്പർ എവിടെ.
ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം, അതിനാൽ നമ്മുടെ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിക്കാം:
ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു ലളിതമായ നിയമം: . അപ്പോൾ:
നന്നായി, അത് പ്രവർത്തിച്ചു. ഇപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക, ഈ ഫംഗ്ഷൻ സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് മറക്കരുത്.
സംഭവിച്ചത്?
ഇവിടെ, സ്വയം പരിശോധിക്കുക:
ഫോർമുല എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനോട് വളരെ സാമ്യമുള്ളതായി മാറി: അത് പോലെ, അത് അവശേഷിക്കുന്നു, ഒരു ഘടകം മാത്രമേ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂ, അത് ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്, പക്ഷേ ഒരു വേരിയബിളല്ല.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:
ഉത്തരങ്ങൾ:
ഇത് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, ഇത് കൂടുതൽ എഴുതാൻ മാർഗമില്ല. ലളിതമായ രൂപം. അതിനാൽ, ഉത്തരത്തിൽ ഇത് ഈ രൂപത്തിൽ അവശേഷിക്കുന്നു.
ഒരു ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഇവിടെ ഇത് സമാനമാണ്: സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം:
അതിനാൽ, മറ്റൊരു അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് അനിയന്ത്രിതമായ ഒരു കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഉദാഹരണത്തിന്:
നമ്മൾ ഈ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം എങ്ങനെ മാറ്റാം? ഈ ഫോർമുല നിങ്ങൾ ഓർക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു:
പകരം ഇപ്പോൾ മാത്രം ഞങ്ങൾ എഴുതും:
ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു സ്ഥിരാങ്കം മാത്രമായി മാറി (ഒരു സ്ഥിരമായ സംഖ്യ, ഒരു വേരിയബിൾ ഇല്ലാതെ). ഡെറിവേറ്റീവ് വളരെ ലളിതമാണ്:
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പരീക്ഷയിൽ ഒരിക്കലും കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല, പക്ഷേ അവ അറിയുന്നത് അമിതമായിരിക്കില്ല.
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
എന്താണ് "സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം"? ഇല്ല, ഇതൊരു ലോഗരിതം അല്ല, ഒരു ആർക്ക് ടാൻജെന്റ് അല്ല. ഈ ഫംഗ്ഷനുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ് (ലോഗരിതം നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും, "ലോഗരിതം" എന്ന വിഷയം വായിക്കുക, എല്ലാം പ്രവർത്തിക്കും), എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, "സങ്കീർണ്ണം" എന്ന വാക്കിന് "ബുദ്ധിമുട്ട്" എന്നല്ല അർത്ഥമാക്കുന്നത്.
ഒരു ചെറിയ കൺവെയർ സങ്കൽപ്പിക്കുക: രണ്ട് ആളുകൾ ഇരുന്ന് ചില വസ്തുക്കൾ ഉപയോഗിച്ച് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേത് ഒരു ചോക്കലേറ്റ് ബാർ ഒരു റാപ്പറിൽ പൊതിയുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് ഒരു റിബൺ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു സംയോജിത വസ്തുവായി ഇത് മാറുന്നു: ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ബാർ പൊതിഞ്ഞ് ഒരു റിബൺ കെട്ടിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ബാർ കഴിക്കാൻ, നിങ്ങൾ വിപരീത ക്രമത്തിൽ വിപരീത ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.
നമുക്ക് സമാനമായ ഒരു ഗണിത പൈപ്പ്ലൈൻ സൃഷ്ടിക്കാം: ആദ്യം നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യയുടെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തും, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയെ വർഗ്ഗീകരിക്കും. അതിനാൽ, അവർ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു നമ്പർ നൽകുന്നു (ചോക്കലേറ്റ്), ഞാൻ അതിന്റെ കോസൈൻ (റാപ്പർ) കണ്ടെത്തുന്നു, എന്നിട്ട് എനിക്ക് കിട്ടിയത് നിങ്ങൾ സ്ക്വയർ ചെയ്യുക (അത് ഒരു റിബൺ ഉപയോഗിച്ച് കെട്ടുക). എന്ത് സംഭവിച്ചു? ഫംഗ്ഷൻ. ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്: അതിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, വേരിയബിളുമായി ഞങ്ങൾ ആദ്യ പ്രവർത്തനം നേരിട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ, ആദ്യത്തേതിന്റെ ഫലമായി സംഭവിച്ചത് ഉപയോഗിച്ച് മറ്റൊരു രണ്ടാമത്തെ പ്രവർത്തനം.
ഞങ്ങൾ റിവേഴ്സ് ഓർഡറിൽ സമാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്തേക്കാം: ആദ്യം നിങ്ങൾ സ്ക്വയർ ചെയ്യുക, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയുടെ കോസൈൻ ഞാൻ നോക്കുന്നു:. ഫലം മിക്കവാറും എപ്പോഴും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും എന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. പ്രധാന സവിശേഷതസങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ: നിങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം മാറ്റുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം മാറുന്നു.
മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷൻ എന്നത് മറ്റൊരു ഫംഗ്ഷനാണ്: .
ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിന്, .
രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം: (അതേ). .
ഞങ്ങൾ ചെയ്യുന്ന അവസാന പ്രവർത്തനം വിളിക്കപ്പെടും "ബാഹ്യ" പ്രവർത്തനം, കൂടാതെ ആദ്യം നടത്തിയ പ്രവർത്തനം - യഥാക്രമം "ആന്തരിക" പ്രവർത്തനം(ഇവ അനൗപചാരിക പേരുകളാണ്, ലളിതമായ ഭാഷയിൽ മെറ്റീരിയൽ വിശദീകരിക്കാൻ മാത്രമാണ് ഞാൻ അവ ഉപയോഗിക്കുന്നത്).
ഏത് ഫംഗ്ഷൻ ബാഹ്യമാണെന്നും ഏതാണ് ആന്തരികമാണെന്നും സ്വയം നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:
ഉത്തരങ്ങൾ:ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വേർതിരിവ് വേരിയബിളുകൾ മാറ്റുന്നതിന് സമാനമാണ്: ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്ഷനിൽ
- ഞങ്ങൾ ആദ്യം എന്ത് നടപടി സ്വീകരിക്കും? ആദ്യം ഞങ്ങൾ സൈൻ കണക്കാക്കുന്നു, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു ക്യൂബിലേക്ക് ഉയർത്തുകയുള്ളൂ. അതിനാൽ ഇത് ഒരു ആന്തരിക പ്രവർത്തനമാണ്, ബാഹ്യമായ ഒന്നല്ല.
യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനം അവയുടെ ഘടനയാണ്: . - ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
പരീക്ഷ: . - ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
പരീക്ഷ: . - ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
പരീക്ഷ: . - ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
പരീക്ഷ: .
ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ മാറ്റി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നേടുന്നു.
ശരി, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ചോക്ലേറ്റ് വേർതിരിച്ചെടുക്കും - ഡെറിവേറ്റീവിനായി നോക്കുക. നടപടിക്രമം എല്ലായ്പ്പോഴും വിപരീതമാണ്: ആദ്യം നമ്മൾ ബാഹ്യ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി തിരയുന്നു, തുടർന്ന് ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഫലത്തെ ഗുണിക്കുക. യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണത്തിനായി, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം:
അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒടുവിൽ ഔദ്യോഗിക നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം:
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:
എല്ലാം ലളിതമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, അല്ലേ?
ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാം:
പരിഹാരങ്ങൾ:
1) ആന്തരിക:;
ബാഹ്യ:;
2) ആന്തരിക:;
(ഇപ്പോൾ കുറയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കരുത്! കോസൈനിന്റെ അടിയിൽ നിന്ന് ഒന്നും പുറത്തെടുത്തിട്ടില്ല, ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?)
3) ആന്തരിക:;
ബാഹ്യ:;
ഇവിടെ ഒരു മൂന്ന്-ലെവൽ കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെന്ന് ഉടനടി വ്യക്തമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഇതിനകം തന്നെ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനമാണ്, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു (ഒരു റാപ്പറിൽ ചോക്ലേറ്റ് ഇടുക. ഒരു ബ്രീഫ്കേസിൽ ഒരു റിബണിനൊപ്പം). എന്നാൽ ഭയപ്പെടാൻ ഒരു കാരണവുമില്ല: എന്തായാലും, ഞങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷൻ പതിവുപോലെ അതേ ക്രമത്തിൽ "അൺപാക്ക്" ചെയ്യും: അവസാനം മുതൽ.
അതായത്, ആദ്യം നമ്മൾ റൂട്ട്, പിന്നെ കോസൈൻ, പിന്നെ ബ്രാക്കറ്റിലെ എക്സ്പ്രഷൻ എന്നിവയെ വേർതിരിക്കുന്നു. എന്നിട്ട് ഞങ്ങൾ അതെല്ലാം ഗുണിക്കുന്നു.
അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ എണ്ണുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതായത്, നമുക്ക് അറിയാവുന്നത് സങ്കൽപ്പിക്കാം. ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഏത് ക്രമത്തിലാണ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത്? നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:
പ്രവർത്തനം പിന്നീട് നടത്തുമ്പോൾ, അനുബന്ധ പ്രവർത്തനം കൂടുതൽ "ബാഹ്യ" ആയിരിക്കും. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം - മുമ്പത്തെപ്പോലെ:
ഇവിടെ നെസ്റ്റിംഗ് സാധാരണയായി 4-ലെവൽ ആണ്. നമുക്ക് പ്രവർത്തന ഗതി നിർണ്ണയിക്കാം.
1. റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ. .
2. റൂട്ട്. .
3. സൈനസ്. .
4. ചതുരം. .
5. എല്ലാം ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുന്നു:
ഡെറിവേറ്റീവ്. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചുരുക്കത്തിൽ
ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ്- ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ അനന്തമായ ഇൻക്രിമെന്റിനൊപ്പം ഫംഗ്ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും അനുപാതം:
അടിസ്ഥാന ഡെറിവേറ്റീവുകൾ:
വ്യത്യാസ നിയമങ്ങൾ:
സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു:
തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
ഡെറിവേറ്റീവ് ഉൽപ്പന്നം:
ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:
- ഞങ്ങൾ "ആന്തരിക" ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
- ഞങ്ങൾ "ബാഹ്യ" ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
- ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും പോയിന്റുകളുടെ ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു.
തീയതി: 11/20/2014
ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?
ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടിക.
ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്. ഈ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ ആശയം അവതരിപ്പിക്കും. കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ഫോർമുലേഷനുകളും തെളിവുകളും ഇല്ലാതെ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാം.
ഈ ആമുഖം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും:
ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ ജോലികളുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കുക;
ഇവ മിക്കതും വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുക ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾ;
കൂടുതൽ ഗുരുതരമായ ഡെറിവേറ്റീവ് പാഠങ്ങൾക്കായി തയ്യാറെടുക്കുക.
ആദ്യം, ഒരു സന്തോഷകരമായ ആശ്ചര്യം.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ കർശനമായ നിർവചനം പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, കാര്യം വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ഇത് അസ്വസ്ഥമാണ്. എന്നാൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തിന്, ചട്ടം പോലെ, അത്തരം വിപുലവും ആഴത്തിലുള്ളതുമായ അറിവ് ആവശ്യമില്ല!
സ്കൂളിലെയും യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെയും മിക്ക ജോലികളും വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ, അറിഞ്ഞാൽ മതി കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ മാത്രം- ചുമതല മനസ്സിലാക്കാൻ, ഒപ്പം കുറച്ച് നിയമങ്ങൾ മാത്രം- അത് പരിഹരിക്കാൻ. അതും കഴിഞ്ഞു. ഇത് എന്നെ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നു.
നമുക്ക് പരസ്പരം പരിചയപ്പെടാമോ?)
നിബന്ധനകളും പദവികളും.
പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൽ നിരവധി ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ, ലോഗരിതം മുതലായവ. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് ഒരു പ്രവർത്തനം കൂടി ചേർത്താൽ, പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഉയർന്നതാകുന്നു. ഈ പുതിയ പ്രവർത്തനംവിളിച്ചു വ്യത്യാസം.ഈ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർവചനവും അർത്ഥവും പ്രത്യേക പാഠങ്ങളിൽ ചർച്ചചെയ്യും.
ഇവിടെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്നത് ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനം മാത്രമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഞങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കുകയും ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് അത് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഫലം ആയിരിക്കും പുതിയ സവിശേഷത. ഈ പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ വിളിക്കുന്നു: ഡെറിവേറ്റീവ്.
വ്യത്യാസം- ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ പ്രവർത്തനം.
ഡെറിവേറ്റീവ്ഈ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലമാണ്.
അതുപോലെ, ഉദാഹരണത്തിന്, തുകകൂട്ടിച്ചേർക്കലിന്റെ ഫലമാണ്. അഥവാ സ്വകാര്യംവിഭജനത്തിന്റെ ഫലമാണ്.
നിബന്ധനകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ജോലികളെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും.) വാക്കുകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക; ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുക; പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കുക; ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുകഇത്യാദി. ഇതാണ് എല്ലാം അതേ.തീർച്ചയായും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾ ഉണ്ട്, അവിടെ ഡെറിവേറ്റീവ് (വ്യത്യാസം) കണ്ടെത്തുന്നത് ടാസ്ക് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഘട്ടം മാത്രമായിരിക്കും.
ഫംഗ്ഷന്റെ മുകളിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഒരു ഡാഷ് ഉപയോഗിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇതുപോലെ: y"അഥവാ f"(x)അഥവാ എസ്"(ടി)ഇത്യാദി.
വായിച്ചു y സ്ട്രോക്ക്, ef സ്ട്രോക്ക് x, es സ്ട്രോക്ക് te,നിനക്ക് മനസ്സിലായി...)
ഒരു പ്രൈമിന് ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെയും സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്: (2x+3)", (x 3 )" , (സിൻക്സ്)"തുടങ്ങിയവ. പലപ്പോഴും ഡെറിവേറ്റീവ് ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, എന്നാൽ ഈ പാഠത്തിൽ അത്തരമൊരു നൊട്ടേഷൻ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കില്ല.
ജോലികൾ മനസ്സിലാക്കാൻ നമ്മൾ പഠിച്ചുവെന്ന് കരുതുക. ഒന്നും അവശേഷിക്കുന്നില്ല - അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ.) ഞാൻ നിങ്ങളെ വീണ്ടും ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരിവർത്തനം.ഈ നിയമങ്ങൾ അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ.
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ മൂന്ന് കാര്യങ്ങൾ മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതി. എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളും നിലകൊള്ളുന്ന മൂന്ന് തൂണുകൾ. മൂന്ന് തിമിംഗലങ്ങൾ ഇതാ:
1. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക (ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകൾ).
3. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
നമുക്ക് ക്രമത്തിൽ ആരംഭിക്കാം. ഈ പാഠത്തിൽ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.
ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടിക.
ലോകത്തിന് അനന്തമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുണ്ട്. ഈ സെറ്റിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട് പ്രായോഗിക ഉപയോഗം. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രകൃതിയുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളിലും ഇരിക്കുന്നു. ഈ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന്, ഇഷ്ടികകളിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെല്ലാം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഈ ക്ലാസ് ഫംഗ്ഷനുകളെ വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് സ്കൂളിൽ പഠിക്കുന്നത് - ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ഹൈപ്പർബോള മുതലായവ.
ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസം "ആദ്യം മുതൽ", അതായത്. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനത്തെയും പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി - തികച്ചും സമയമെടുക്കുന്ന കാര്യം. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ആളുകളാണ്, അതെ, അതെ!) അതിനാൽ അവർ അവരുടെ ജീവിതം ലളിതമാക്കി (ഞങ്ങളും). അവർ നമുക്ക് മുന്നിൽ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കി. ഫലം ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു പട്ടികയാണ്, അവിടെ എല്ലാം തയ്യാറാണ്.)
ഇതാ, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള ഈ പ്ലേറ്റ്. ഇടത് - പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനം, വലത് - അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
| ഫംഗ്ഷൻ വൈ |
y എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് y" |
|
| 1 | സി (സ്ഥിരമായ) | സി" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | പാപം x | (sinx)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | ആർക്‌സിൻ x |  |
| ആർക്കോസ് x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | എ x |  |
| ഇ x | ||
| 5 | ലോഗ് എ x |  |
| ln x ( a = ഇ) |
ഈ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിലെ മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും സാധാരണമായത്! സൂചന വ്യക്തമാണോ?) അതെ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക ഹൃദയത്തിൽ അറിയുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്. വഴിയിൽ, ഇത് തോന്നിയേക്കാവുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, പട്ടിക തന്നെ ഓർമ്മിക്കപ്പെടും!)
നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പട്ടിക മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നത് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. അതിനാൽ, പലപ്പോഴും അത്തരം ജോലികളിൽ അധിക ചിപ്പുകൾ ഉണ്ട്. ഒന്നുകിൽ ടാസ്‌ക്കിന്റെ രൂപീകരണത്തിലോ അല്ലെങ്കിൽ ടേബിളിൽ ഉള്ളതായി തോന്നാത്ത യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷനിലോ ...
നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:
1. y = x എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക 3
പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല. എന്നാൽ പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ (മൂന്നാം ഗ്രൂപ്പ്) ഒരു പൊതു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, n=3. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ n-ന് പകരം ട്രിപ്പിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ഫലം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:
(x 3) "= 3 x 3-1 = 3x 2
അത്രയേ ഉള്ളൂ.
ഉത്തരം: y" = 3x 2
2. x = 0 എന്ന പോയിന്റിൽ y = sinx എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
ഈ ടാസ്ക് അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ആദ്യം സൈനിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തണം, തുടർന്ന് മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കണം എന്നാണ് x = 0ഇതേ ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക്. അത് ആ ക്രമത്തിലാണ്!അല്ലാത്തപക്ഷം, അവർ ഉടൻ തന്നെ യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പൂജ്യത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ... യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യമല്ല, മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.ഡെറിവേറ്റീവ്, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, ഇതിനകം ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ ആണ്.
പ്ലേറ്റിൽ ഞങ്ങൾ സൈനും അനുബന്ധ ഡെറിവേറ്റീവും കണ്ടെത്തുന്നു:
y" = (sinx)" = cosx
ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് പൂജ്യം പകരം വയ്ക്കുക:
y"(0) = cos 0 = 1
ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം.
3. പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കുക:
എന്താണ് പ്രചോദിപ്പിക്കുന്നത്?) ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ അടയ്ക്കുക പോലുമില്ല.
ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ വേർതിരിക്കുന്നത് ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക ത്രികോണമിതി മറന്നാൽ, ഞങ്ങളുടെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ പ്രശ്‌നകരമാണ്. മേശ സഹായിക്കില്ല ...
എന്നാൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം എന്ന് കണ്ടാൽ ഇരട്ട കോണിന്റെ കോസൈൻ, അപ്പോൾ എല്ലാം ഉടനടി മെച്ചപ്പെടും!
അതെ അതെ! ഒറിജിനൽ ഫംഗ്ഷന്റെ പരിവർത്തനം ഓർക്കുക വ്യത്യാസത്തിന് മുമ്പ്തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്! മാത്രമല്ല ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കാൻ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. ഇരട്ട കോണിന്റെ കോസൈനിനായുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:
ആ. ഞങ്ങളുടെ തന്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനം മറ്റൊന്നുമല്ല y = cox. ഇത് ഒരു ടേബിൾ ഫംഗ്ഷനാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് ഉടനടി ലഭിക്കുന്നു:
ഉത്തരം: y" = - sin x.
ഉന്നത ബിരുദധാരികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഉദാഹരണം:
4. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല, തീർച്ചയായും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ശക്തികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ... അപ്പോൾ ഈ ഫംഗ്ഷൻ ലളിതമാക്കുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്. ഇതുപോലെ:
പത്തിലൊന്നിന്റെ പവറിലേക്കുള്ള x ഇതിനകം ഒരു ടേബിൾ ഫംഗ്ഷനാണ്! മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ്, n=1/10. സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് നേരിട്ട് എഴുതുക:
അത്രയേയുള്ളൂ. ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം.
വ്യത്യാസത്തിന്റെ ആദ്യ തിമിംഗലം - ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക - എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് തിമിംഗലങ്ങളെ നേരിടാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. അടുത്ത പാഠത്തിൽ, വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ നമ്മൾ പഠിക്കും.
