എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പൂജ്യമാണ്. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

അജ്ഞാതമായത് എക്‌സ്‌പോണന്റിൽ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്: a x \u003d a b, ഇവിടെ a> 0, 1, x എന്നത് അജ്ഞാതമാണ്.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുന്നതിന്റെ സഹായത്തോടെ ഡിഗ്രികളുടെ പ്രധാന ഗുണങ്ങൾ: a>0, b>0.

തീരുമാനിക്കുമ്പോൾ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളും ആസ്വദിക്കുക എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ: y = a x , a > 0, a1:

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ, അടിസ്ഥാനം ഉപയോഗിക്കുക ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി: b = , a > 0, a1, b > 0.

"എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിലെ ടാസ്‌ക്കുകളും പരിശോധനകളും

• എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

  പാഠങ്ങൾ: 4 അസൈൻമെന്റുകൾ: 21 ടെസ്റ്റുകൾ: 1

• എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ - ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പരീക്ഷ ആവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന വിഷയങ്ങൾ

  ചുമതലകൾ: 14

• എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ - എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഗ്രേഡ് 11

  പാഠങ്ങൾ: 1 അസൈൻമെന്റുകൾ: 15 ടെസ്റ്റുകൾ: 1

• §2.1. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം

  പാഠങ്ങൾ: 1 നിയമനങ്ങൾ: 27

• §7 എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും - വിഭാഗം 5. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഗ്രേഡ് 10

  പാഠങ്ങൾ: 1 നിയമനങ്ങൾ: 17

വേണ്ടി വിജയകരമായ പരിഹാരംഎക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ശക്തികളുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗുണങ്ങൾ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി എന്നിവ അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് പ്രധാന രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

1. a f(x) = a g(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് f(x) = g(x) എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം;
2. പുതിയ ലൈനുകളുടെ ആമുഖം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1. ഏറ്റവും ലളിതമായി കുറയ്ക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതിലൂടെ അവ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

3x \u003d 9x - 2.

പരിഹാരം:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

ഉത്തരം: 4.

2. പൊതുവായ ഘടകം ബ്രാക്കറ്റിംഗിലൂടെ പരിഹരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ.

പരിഹാരം:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

ഉത്തരം: 3.

3. വേരിയബിളിന്റെ മാറ്റം വഴി പരിഹരിക്കപ്പെട്ട സമവാക്യങ്ങൾ.

പരിഹാരം:

2 2x + 2 x - 12 = 0
ഞങ്ങൾ 2 x \u003d y സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല, കാരണം 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 ലോഗ് 2 3 ; x = ലോഗ് 2 3.

ഉത്തരം:ലോഗ് 2 3.

4. രണ്ട് വ്യത്യസ്ത (പരസ്പരം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയാത്ത) ബേസുകളുള്ള ശക്തികൾ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

ഉത്തരം: 2.

5. a x, b x എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ.

പൊതുവായ രൂപം: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x .

പരിഹാരം:

3 2x – 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
സൂചിപ്പിക്കുക (3/2) x = y.
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

ഉത്തരം:ലോഗ് 3/2 2; - ലോഗ് 3/2 2.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയൽ.
ശക്തമായി "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്കായി
"വളരെയധികം ..." ഉള്ളവർക്കായി)

എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം? അജ്ഞാതരും (x) അവയ്‌ക്കൊപ്പമുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളും ഉള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത് സൂചകങ്ങൾചില ഡിഗ്രികൾ. അവിടെ മാത്രം! അതു പ്രധാനമാണ്.

നിങ്ങൾ അവിടെയുണ്ട് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

3 x 2 x = 8 x + 3

കുറിപ്പ്! ഡിഗ്രികളുടെ അടിത്തറയിൽ (ചുവടെ) - അക്കങ്ങൾ മാത്രം. IN സൂചകങ്ങൾഡിഗ്രികൾ (മുകളിൽ) - x ഉള്ള വൈവിധ്യമാർന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ. സൂചകം അല്ലാതെ മറ്റെവിടെയെങ്കിലും സമവാക്യത്തിൽ ഒരു x പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇതായിരിക്കും സമവാക്യം മിശ്രിത തരം. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹരിക്കുന്നതിന് വ്യക്തമായ നിയമങ്ങളില്ല. ഞങ്ങൾ അവരെ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കില്ല. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരംഅതിന്റെ ശുദ്ധമായ രൂപത്തിൽ.

വാസ്തവത്തിൽ, ശുദ്ധമായ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പോലും എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നില്ല. എന്നാൽ പരിഹരിക്കാവുന്നതും പരിഹരിക്കേണ്ടതുമായ ചില തരം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. ഇവയാണ് ഞങ്ങൾ നോക്കാൻ പോകുന്ന തരങ്ങൾ.

ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

വളരെ അടിസ്ഥാനപരമായ എന്തെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഒരു സിദ്ധാന്തവുമില്ലാതെ പോലും, ലളിതമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പിലൂടെ x = 2 എന്ന് വ്യക്തമാണ്. കൂടുതൽ ഒന്നുമില്ല, അല്ലേ!? മറ്റ് x മൂല്യ റോളുകളൊന്നുമില്ല. ഇപ്പോൾ ഈ ട്രിക്കി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം നോക്കാം:

നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ, വാസ്തവത്തിൽ, അതേ അടിഭാഗങ്ങൾ (ട്രിപ്പിൾസ്) പുറത്തെടുത്തു. പൂർണ്ണമായും പുറത്താക്കി. ഒപ്പം, എന്താണ് സന്തോഷം, അടയാളം അടിക്കുക!

തീർച്ചയായും, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും ഉണ്ടെങ്കിൽ അതുതന്നെഏത് ഡിഗ്രിയിലെയും സംഖ്യകൾ, ഈ സംഖ്യകൾ നീക്കം ചെയ്യാനും തുല്യമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളാക്കാനും കഴിയും. ഗണിതശാസ്ത്രം അനുവദിക്കുന്നു. വളരെ ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. ഇത് നല്ലതാണ്, അല്ലേ?)

എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് വിരോധാഭാസമായി ഓർക്കാം: ഇടതും വലതും ഉള്ള അടിസ്ഥാന സംഖ്യകൾ ഗംഭീരമായ ഒറ്റപ്പെടലിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യാൻ കഴിയൂ!അയൽക്കാരും ഗുണകങ്ങളും ഇല്ലാതെ. സമവാക്യങ്ങളിൽ നമുക്ക് പറയാം:

2 x +2 x + 1 = 2 3, അല്ലെങ്കിൽ

നിങ്ങൾക്ക് ഡബിൾസ് നീക്കംചെയ്യാൻ കഴിയില്ല!

ശരി, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം മാസ്റ്റർ ചെയ്തു. ദുഷിച്ച എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എക്‌സ്‌പ്രെഷനുകളിൽ നിന്ന് ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് എങ്ങനെ നീങ്ങാം.

"ഇതാ ആ സമയങ്ങൾ!" - നീ പറയു. "നിയന്ത്രണത്തിലും പരീക്ഷയിലും ഇത്തരമൊരു പ്രാകൃതം ആരു തരും!?"

സമ്മതിക്കാൻ നിർബന്ധിച്ചു. ആരും ചെയ്യില്ല. എന്നാൽ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എവിടെ പോകണമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. അതേ അടിസ്ഥാന നമ്പർ ഇടതുവശത്ത് - വലതുവശത്ത് ആയിരിക്കുമ്പോൾ അത് മനസ്സിൽ കൊണ്ടുവരേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അപ്പോൾ എല്ലാം എളുപ്പമാകും. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ക്ലാസിക്കാണ്. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണം എടുത്ത് അത് ആവശ്യമുള്ളതിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു ഞങ്ങളെമനസ്സ്. ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, തീർച്ചയായും.

അവയെ ഏറ്റവും ലളിതമായി കൊണ്ടുവരാൻ ചില അധിക പരിശ്രമം ആവശ്യമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് അവരെ വിളിക്കാം ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പ്രധാന നിയമങ്ങൾ ഇവയാണ് അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിവില്ലാതെ, ഒന്നും പ്രവർത്തിക്കില്ല.

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്, ഒരാൾ വ്യക്തിപരമായ നിരീക്ഷണവും ചാതുര്യവും ചേർക്കണം. നമുക്ക് ഒരേ അടിസ്ഥാന സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണോ? അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അവ ഉദാഹരണത്തിൽ വ്യക്തമായതോ എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്തതോ ആയ രൂപത്തിൽ തിരയുകയാണ്.

ഇത് പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് നോക്കാം?

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം:

2 2x - 8 x+1 = 0

ആദ്യ നോട്ടം മൈതാനങ്ങൾ.അവർ... അവർ വ്യത്യസ്തരാണ്! രണ്ടും എട്ടും. എന്നാൽ നിരുത്സാഹപ്പെടുത്താൻ വളരെ നേരത്തെ തന്നെ. അത് ഓർക്കാൻ സമയമായി

രണ്ടും എട്ടും ഡിഗ്രിയിൽ ബന്ധുക്കളാണ്.) എഴുതുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്:

8 x+1 = (2 3) x+1

അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ:

(a n) m = a nm,

ഇത് സാധാരണയായി നന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

ഞങ്ങൾ കൈമാറുന്നു 2 3 (x+1)വലതുവശത്ത് (ഗണിതത്തിന്റെ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആരും റദ്ദാക്കിയില്ല!), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

പ്രായോഗികമായി അത്രമാത്രം. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നീക്കംചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ ഈ രാക്ഷസനെ പരിഹരിച്ച് നേടുന്നു

ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, രണ്ടിന്റെ ശക്തികൾ അറിയുന്നത് ഞങ്ങളെ സഹായിച്ചു. ഞങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞുഎട്ടിൽ, എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്ത ഡ്യൂസ്. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിലെ വളരെ ജനപ്രിയമായ ഒരു തന്ത്രമാണ് ഈ സാങ്കേതികത (വ്യത്യസ്‌ത സംഖ്യകൾക്ക് കീഴിലുള്ള പൊതുവായ ബേസുകൾ എൻകോഡിംഗ് ചെയ്യുക). അതെ, ലോഗരിതങ്ങളിൽ പോലും. സംഖ്യകളിലെ മറ്റ് സംഖ്യകളുടെ ശക്തി തിരിച്ചറിയാൻ ഒരാൾക്ക് കഴിയണം. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

ഏത് സംഖ്യയും ഏതെങ്കിലും ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് ഒരു പ്രശ്നമല്ല എന്നതാണ് വസ്തുത. ഒരു കടലാസിൽ പോലും ഗുണിക്കുക, അത്രമാത്രം. ഉദാഹരണത്തിന്, എല്ലാവർക്കും 3-നെ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താം. നിങ്ങൾക്ക് ഗുണന പട്ടിക അറിയാമെങ്കിൽ 243 മാറും.) എന്നാൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ, പലപ്പോഴും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതില്ല, മറിച്ച് തിരിച്ചും ... ഏത് സംഖ്യ എത്രത്തോളം 243 എന്ന നമ്പറിന് പിന്നിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, പറയുക, 343... ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററും നിങ്ങളെ ഇവിടെ സഹായിക്കില്ല.

ചില സംഖ്യകളുടെ ശക്തി നിങ്ങൾ കണ്ടറിയണം, അതെ... നമ്മൾ പരിശീലിച്ചാലോ?

സംഖ്യകൾ എന്താണെന്നും ഏത് സംഖ്യകളാണെന്നും നിർണ്ണയിക്കുക:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

ഉത്തരങ്ങൾ (ഒരു കുഴപ്പത്തിൽ, തീർച്ചയായും!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാൽ വിചിത്രമായ ഒരു വസ്തുത കാണാം. ചോദ്യങ്ങളേക്കാൾ കൂടുതൽ ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്! ശരി, അത് സംഭവിക്കുന്നു... ഉദാഹരണത്തിന്, 2 6 , 4 3 , 8 2 എല്ലാം 64 ആണ്.

അക്കങ്ങളുമായുള്ള പരിചയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക.) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ മുഴുവൻഗണിതശാസ്ത്ര അറിവിന്റെ ശേഖരം. ലോവർ-മിഡിൽ ക്ലാസുകളിൽ നിന്നുള്ളവർ ഉൾപ്പെടെ. നിങ്ങൾ നേരെ ഹൈസ്കൂളിൽ പോയില്ല, അല്ലേ?

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം ഇടുന്നത് പലപ്പോഴും സഹായിക്കുന്നു (ഗ്രേഡ് 7-ലേക്ക് ഹലോ!). നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

3 2x+4 -11 9 x = 210

വീണ്ടും, ഫസ്റ്റ് ലുക്ക് - ഗ്രൗണ്ടിൽ! ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ് ... മൂന്ന്, ഒമ്പത്. അവരും അങ്ങനെ തന്നെ ആയിരിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ശരി, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആഗ്രഹം തികച്ചും പ്രായോഗികമാണ്!) കാരണം:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള അതേ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

കൊള്ളാം, നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

അതേ കാരണങ്ങളാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി. അപ്പോൾ, അടുത്തത് എന്താണ്!? ത്രീകളെ പുറത്താക്കാൻ കഴിയില്ല ... ഡെഡ് എൻഡ്?

ഒരിക്കലുമില്ല. ഏറ്റവും സാർവത്രികവും ശക്തവുമായ തീരുമാന നിയമം ഓർക്കുന്നു എല്ലാംഗണിത ജോലികൾ:

എന്തുചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുന്നത് ചെയ്യുക!

നിങ്ങൾ നോക്കൂ, എല്ലാം രൂപപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു).

ഈ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ എന്താണ് ഉള്ളത് കഴിയുംചെയ്യണോ? അതെ, ഇടത് വശം നേരിട്ട് പരാൻതീസിസുകൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു! 3 2x എന്ന പൊതു ഘടകം ഇതിനെ വ്യക്തമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് കാണാം:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ഉദാഹരണം മെച്ചപ്പെടുകയും മെച്ചപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു!

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന്, ഗുണകങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ശുദ്ധമായ ബിരുദം ആവശ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. 70 എന്ന സംഖ്യ നമ്മെ അലട്ടുന്നു. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 70 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഓപ്-പാ! എല്ലാം ശരിയായി!

ഇതാണ് അന്തിമ ഉത്തരം.

എന്നിരുന്നാലും, അതേ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ടാക്‌സി ചെയ്യുന്നത് ലഭിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവയുടെ ലിക്വിഡേഷൻ അങ്ങനെയല്ല. മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിലാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നത്. നമുക്ക് ഈ തരം എടുക്കാം.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ വേരിയബിളിന്റെ മാറ്റം. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ആദ്യം - പതിവുപോലെ. നമുക്ക് അടിത്തറയിലേക്ക് പോകാം. ഡ്യൂസിലേക്ക്.

4 x = (2 2) x = 2 2x

നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ തൂക്കിയിടും. നിങ്ങൾ അത് എങ്ങനെ തിരിയാലും മുമ്പത്തെ തന്ത്രങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല. ശക്തവും ബഹുമുഖവുമായ മറ്റൊരു വഴിയുടെ ആയുധപ്പുരയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനെ വിളിക്കുന്നു വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ.

രീതിയുടെ സാരാംശം അതിശയകരമാംവിധം ലളിതമാണ്. ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഐക്കണിന് പകരം (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, 2 x), ഞങ്ങൾ മറ്റൊന്ന് എഴുതുന്നു, ലളിതമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, t). അത്തരം അർത്ഥശൂന്യമായ ഒരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ അതിശയകരമായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു!) എല്ലാം വ്യക്തവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായിത്തീരുന്നു!

അതിനാൽ അനുവദിക്കുക

തുടർന്ന് 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ ശക്തികളെയും x-ന്റെ t ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ശരി, നേരം വെളുത്തോ?) ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഇതുവരെ മറന്നില്ലേ? വിവേചനത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഇവിടെ, പ്രധാന കാര്യം അത് സംഭവിക്കുന്നത് പോലെ നിർത്തരുത് എന്നതാണ് ... ഇത് ഇതുവരെ ഉത്തരം അല്ല, ഞങ്ങൾക്ക് x ആവശ്യമാണ്, ടി അല്ല. ഞങ്ങൾ Xs-ലേക്ക് മടങ്ങുന്നു, അതായത്. ഒരു പകരക്കാരനെ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ടി 1-ന് ആദ്യം:

അതാണ്,

ഒരു റൂട്ട് കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിന് വേണ്ടി തിരയുകയാണ്, t 2 മുതൽ:

ഉം... ഇടത് 2 x, വലത് 1... ഒരു തടസ്സം? അതെ, ഇല്ല! (ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന്, അതെ ...) ഒരു ഐക്യമാണെന്ന് ഓർത്താൽ മതി ഏതെങ്കിലുംസംഖ്യ പൂജ്യത്തിലേക്ക്. ഏതെങ്കിലും. നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിലും ഞങ്ങൾ അത് ഇടും. നമുക്ക് രണ്ടെണ്ണം വേണം. അർത്ഥം:

ഇപ്പോൾ അത്രമാത്രം. 2 വേരുകൾ ലഭിച്ചു:

ഇതാണ് ഉത്തരം.

ചെയ്തത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുഅവസാനം, ചില വിചിത്രമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ചിലപ്പോൾ ലഭിക്കും. തരം:

ഏഴ് മുതൽ, ഒരു ലളിതമായ ബിരുദം വഴി ഒരു ഡ്യൂസ് പ്രവർത്തിക്കില്ല. അവർ ബന്ധുക്കളല്ല ... ഞാൻ എങ്ങനെ ഇവിടെ ഉണ്ടാകും? ആരെങ്കിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായേക്കാം ... എന്നാൽ ഈ സൈറ്റിൽ "ലോഗരിതം എന്താണ്?" എന്ന വിഷയം വായിച്ച വ്യക്തി. , മിതമായി പുഞ്ചിരിക്കുക, ഉറച്ച കൈകൊണ്ട് തികച്ചും ശരിയായ ഉത്തരം എഴുതുക:

പരീക്ഷയിലെ "ബി" ടാസ്ക്കുകളിൽ അത്തരം ഉത്തരം ഉണ്ടാകില്ല. ഒരു പ്രത്യേക നമ്പർ ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ ടാസ്ക്കുകളിൽ "സി" - എളുപ്പത്തിൽ.

ഈ പാഠം ഏറ്റവും സാധാരണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു. പ്രധാനം നമുക്ക് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം.

പ്രായോഗിക നുറുങ്ങുകൾ:

1. ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു മൈതാനങ്ങൾഡിഗ്രികൾ. അവ ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ നമുക്ക് നോക്കാം അതുതന്നെ.സജീവമായി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കാം അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ. x ഇല്ലാത്ത സംഖ്യകളും ഡിഗ്രികളാക്കി മാറ്റാമെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്!

2. ഇടതും വലതും ഉള്ളപ്പോൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു അതുതന്നെസംഖ്യകൾ ഏത് അളവിലും. ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾഒപ്പം ഘടകവൽക്കരണം.അക്കങ്ങളിൽ എന്ത് കണക്കാക്കാം - ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.

3. രണ്ടാമത്തെ ഉപദേശം പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ പ്രയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു. ഫലം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സമവാക്യം ആകാം. മിക്കപ്പോഴും - ചതുരം. അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ, അത് ഒരു ചതുരമായി കുറയുന്നു.

4. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, "കാഴ്ചയിലൂടെ" ചില സംഖ്യകളുടെ ഡിഗ്രികൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

പതിവുപോലെ, പാഠത്തിന്റെ അവസാനം അൽപ്പം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു.) സ്വന്തമായി. ലളിതം മുതൽ സങ്കീർണ്ണത വരെ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

കൂടുതൽ പ്രയാസമാണ്:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

2 3-x + 2 x = 9

സംഭവിച്ചത്?

എങ്കിൽ ശരി ഏറ്റവും കഠിനമായ ഉദാഹരണം(തീരുമാനിച്ചു, എന്നിരുന്നാലും, മനസ്സിൽ ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

എന്താണ് കൂടുതൽ രസകരമായത്? എങ്കിൽ ഇതാ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മോശം ഉദാഹരണം. വർധിച്ച ബുദ്ധിമുട്ട് വളരെ വലിക്കുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര ജോലികളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചാതുര്യവും ഏറ്റവും സാർവത്രിക നിയമവും സംരക്ഷിക്കുമെന്ന് ഞാൻ സൂചന നൽകും.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ഒരു ഉദാഹരണം ലളിതമാണ്, വിശ്രമത്തിനായി):

9 2 x - 4 3 x = 0

പിന്നെ ഡെസേർട്ടിനും. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

അതെ അതെ! ഇതൊരു മിക്സഡ് ടൈപ്പ് സമവാക്യമാണ്! ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തത്. അവ എന്താണ് പരിഗണിക്കേണ്ടത്, അവ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്!) ഈ പാഠം സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ പര്യാപ്തമാണ്. ശരി, ചാതുര്യം ആവശ്യമാണ് ... അതെ, ഏഴാം ക്ലാസ് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും (ഇതൊരു സൂചനയാണ്!).

ഉത്തരങ്ങൾ (അക്രമത്തിൽ, അർദ്ധവിരാമങ്ങളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു):

1; 2; 3; 4; പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല; 2; -2; -5; 4; 0.

എല്ലാം വിജയകരമാണോ? കൊള്ളാം.

ഒരു കുഴപ്പമുണ്ട്? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! സ്പെഷ്യൽ സെക്ഷൻ 555 ൽ, ഈ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെല്ലാം വിശദമായ വിശദീകരണങ്ങളോടെ പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. എന്ത്, എന്തുകൊണ്ട്, എന്തുകൊണ്ട്. കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, എല്ലാത്തരം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ വിലപ്പെട്ട വിവരങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഇവയിൽ മാത്രമല്ല.)

പരിഗണിക്കേണ്ട അവസാനത്തെ രസകരമായ ചോദ്യം. ഈ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിച്ചു. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞാൻ ഇവിടെ ODZ നെ കുറിച്ച് ഒരക്ഷരം പറയാത്തത്?സമവാക്യങ്ങളിൽ, ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു കാര്യമാണ്, വഴി ...

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും പരിചയപ്പെടാം.

പ്രഭാഷണം: "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ."

1 . എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

എക്‌സ്‌പോണന്റിലുള്ള അജ്ഞാതങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ax = b എന്ന സമവാക്യമാണ്, ഇവിടെ a > 0 ഉം a ≠ 1 ഉം ആണ്.

1) ബി< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 ന്, ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനതയും റൂട്ട് സിദ്ധാന്തവും ഉപയോഗിച്ച്, സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്. അത് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, b എന്നത് b = aс, ax = bс ó x = c അല്ലെങ്കിൽ x = logab എന്നിങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കണം.

ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അവ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു:

1) ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള രീതി;

2) മൂല്യനിർണ്ണയ രീതി;

3) ഗ്രാഫിക് രീതി;

4) പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതി;

5) ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതി;

6) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ - പവർ സമവാക്യങ്ങൾ;

7) ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ.

2 . ഒരു അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള രീതി.

ഈ രീതി ഡിഗ്രികളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: രണ്ട് ഡിഗ്രികൾ തുല്യവും അവയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യവുമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഘാതകങ്ങൾ തുല്യമാണ്, അതായത്, സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ ശ്രമിക്കണം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

1 . 3x=81;

സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗത്തെ 81 = 34 എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയും യഥാർത്ഥ 3 x = 34 ന് തുല്യമായ സമവാക്യം എഴുതുകയും ചെയ്യാം; x = 4. ഉത്തരം: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> കൂടാതെ 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 ഉത്തരം: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

0.2, 0.04, √5, 25 എന്നീ സംഖ്യകൾ 5 ന്റെ ശക്തികളാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് ഇത് പ്രയോജനപ്പെടുത്തി യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

, എവിടെ നിന്ന് 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, അതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ പരിഹാരം x = -1 കണ്ടെത്തുന്നു. ഉത്തരം: -1.

5. 3x = 5. ലോഗരിതം നിർവചിച്ചാൽ, x = log35. ഉത്തരം: ലോഗ് 35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

നമുക്ക് സമവാക്യം 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാം, അതായത്..png" width="181" height="49 src="> അതിനാൽ x - 4 =0, x = 4. ഉത്തരം: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. ശക്തികളുടെ ഗുണഗണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ സമവാക്യം e. x+1 = 2, x =1 എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു. ഉത്തരം: 1.

ബാങ്ക് ഓഫ് ടാസ്‌ക് നമ്പർ 1.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) വേരുകളില്ല
	1) 7;1 2) വേരുകളില്ല 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

ടെസ്റ്റ് #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) വേരുകളില്ല 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 വിലയിരുത്തൽ രീതി.

റൂട്ട് സിദ്ധാന്തം: ഇടവേള I-ൽ f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ കൂടുന്നു (കുറയുന്നു) എങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയിൽ f എടുക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും മൂല്യമാണ് a നമ്പർ, അപ്പോൾ f (x) = a എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഇടവേള I-ൽ ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്.

എസ്റ്റിമേറ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ സിദ്ധാന്തവും ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനത ഗുണങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: 1. 4x = 5 - x.

പരിഹാരം. നമുക്ക് സമവാക്യം 4x + x = 5 ആയി മാറ്റിയെഴുതാം.

1. x \u003d 1, 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 ശരിയാണെങ്കിൽ, 1 എന്നത് സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലമാണ്.

F(x) = 4x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ R-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നു, g(x) = x R => h(x)= f(x)+g(x) R-ൽ വർദ്ധിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അതിനാൽ x = 1 എന്നത് 4x = 5 – x എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഏക മൂലമാണ്. ഉത്തരം: 1.

2.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതുന്നു .

1. x = -1 ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ , 3 = 3-ശരി, അതിനാൽ x = -1 ആണ് സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട്.

2. അത് അദ്വിതീയമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

3. ഫംഗ്ഷൻ f(x) = - R-ൽ കുറയുന്നു, g(x) = - x - R => h(x) = f(x) + g(x) - R-ൽ കുറയുന്നു, തുകയായി കുറയുന്നു കുറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ. അതിനാൽ റൂട്ട് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, x = -1 ആണ് സമവാക്യത്തിന്റെ ഏക റൂട്ട്. ഉത്തരം: -1.

ബാങ്ക് ഓഫ് ടാസ്‌ക് നമ്പർ 2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

സി) 2x - 2 =1 - x;

4. പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി.

രീതി വിഭാഗം 2.1 ൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു പുതിയ വേരിയബിളിന്റെ ആമുഖം (പകരം സ്ഥാപിക്കൽ) സാധാരണയായി സമവാക്യത്തിന്റെ നിബന്ധനകളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് (ലളിതമാക്കൽ) ശേഷമാണ് നടത്തുന്നത്. ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ആർസമവാക്യം കഴിക്കുക: 1. .

നമുക്ക് സമവാക്യം വ്യത്യസ്തമായി മാറ്റിയെഴുതാം: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

പരിഹാരം. നമുക്ക് സമവാക്യം വ്യത്യസ്തമായി മാറ്റിയെഴുതാം:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> സൂചിപ്പിക്കുക - അനുയോജ്യമല്ല.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യമാണ്. ശ്രദ്ധിക്കുക

സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം x = 2.5 ≤ 4 ആണ്, അതിനാൽ 2.5 ആണ് സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട്. ഉത്തരം: 2.5.

പരിഹാരം. ഫോമിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതി ഇരുവശങ്ങളെയും 56x+6 ≠ 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, അങ്ങനെ..png" width="118" height="56">

വേരുകൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം– t1 = 1, t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

പരിഹാരം . ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതുന്നു

ഇത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യമാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക.

സമവാക്യത്തെ 42x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

ഉത്തരം: 0; 0.5

ടാസ്ക് ബാങ്ക് #3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

b)

ജി)

ടെസ്റ്റ് #3 ഉത്തരങ്ങളുടെ ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം. കുറഞ്ഞ നില.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) വേരുകളില്ല 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) വേരുകളില്ല 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

ടെസ്റ്റ് #4 ഉത്തരങ്ങളുടെ ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം. പൊതു നില.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) വേരുകളില്ല

5. ഫാക്റ്ററൈസേഷന്റെ രീതി.

1. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 5x+1 - 5x-1 = 24.

പരിഹാരം..png" width="169" height="69"> , എവിടെ നിന്ന്

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

പരിഹാരം. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് 6x, വലതുവശത്ത് 2x എന്നിവ എടുക്കാം. നമുക്ക് 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും.

എല്ലാ x-നും 2x >0 ആയതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടുമെന്ന ഭയമില്ലാതെ നമുക്ക് ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 2x കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. നമുക്ക് 3x = 1ó x = 0 ലഭിക്കും.

3.

പരിഹാരം. ഫാക്ടറിംഗ് വഴി ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ബൈനോമിയലിന്റെ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ആണ് സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട്.

സമവാക്യം x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

ടെസ്റ്റ് #6 പൊതു നില.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) ലോഗ്43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ - പവർ സമവാക്യങ്ങൾ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ-പവർ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ്, അതായത് (f(x))g(x) = (f(x))h(x) എന്ന രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

f(x)>0 ഉം f(x) ≠ 1 ഉം ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ പോലെയുള്ള സമവാക്യം, g(x) = f(x) എന്ന എക്‌സ്‌പോണന്റുകളെ സമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടും.

വ്യവസ്ഥ f(x)=0, f(x)=1 എന്നിവയുടെ സാധ്യതയെ ഒഴിവാക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ പവർ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ ഈ കേസുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

1..png" വീതി="182" ഉയരം="116 src=">

2.

പരിഹാരം. x2 +2x-8 - ഏത് x-നും അർത്ഥമുണ്ട്, കാരണം ഒരു ബഹുപദമായതിനാൽ സമവാക്യം ഗണത്തിന് തുല്യമാണ്

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. പരാമീറ്ററുകളുള്ള എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

1. p എന്ന പരാമീറ്ററിന്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് 4 (5 - 3) 2 +4p2-3p = 0 (1) എന്ന സമവാക്യം തീരുമാനം മാത്രം?

പരിഹാരം. നമുക്ക് 2x = t, t > 0 എന്ന മാറ്റം പരിചയപ്പെടുത്താം, തുടർന്ന് (1) സമവാക്യം t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

സമവാക്യത്തിന്റെ (2) വിവേചനം D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2 ആണ്.

(2) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് (1) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് സാധ്യമാണ്.

1. D = 0, അതായത്, p = 1 എങ്കിൽ, സമവാക്യം (2) t2 – 2t + 1 = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും, അതിനാൽ t = 1, അതിനാൽ, (1) സമവാക്യത്തിന് x = 0 എന്ന അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

2. p1 ആണെങ്കിൽ, 9(p – 1)2 > 0, പിന്നെ സമവാക്യം (2) ന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട് t1 = p, t2 = 4p – 3. സിസ്റ്റങ്ങളുടെ കൂട്ടം പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

സിസ്റ്റങ്ങളിൽ t1, t2 എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

പരിഹാരം. അനുവദിക്കുക അപ്പോൾ സമവാക്യം (3) t2 – 6t – a = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും. (4)

എ പാരാമീറ്ററിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, അതിനായി സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും (4) t > 0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

നമുക്ക് f(t) = t2 – 6t – a എന്ന ഫംഗ്ഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം. ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ സാധ്യമാണ്.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

കേസ് 2. സമവാക്യത്തിന് (4) ഒരു അദ്വിതീയ പോസിറ്റീവ് പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ

D = 0, a = – 9 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (4) ഫോം (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 എടുക്കും.

കേസ് 3. സമവാക്യം (4) രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, എന്നാൽ അവയിലൊന്നിന് അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല t > 0. ഇത് സാധ്യമാണെങ്കിൽ

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

അങ്ങനെ, a 0 സമവാക്യത്തിൽ (4) ഒരൊറ്റ പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് ഉണ്ട് . അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് (3) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്

എ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ആണെങ്കിൽ, x = – 1;

ഒരു  0 ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ

സമവാക്യങ്ങൾ (1), (3) പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നമുക്ക് താരതമ്യം ചെയ്യാം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ (1) ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി ചുരുക്കി, അതിന്റെ വിവേചനം ഒരു പൂർണ്ണ ചതുരമാണ്; അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ (2) വേരുകൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഉടൻ കണക്കാക്കി, തുടർന്ന് ഈ വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേർന്നു. സമവാക്യം (3) ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം (4) ആയി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ വിവേചനം അല്ല പൂർണ്ണ ചതുരം, അതിനാൽ, സമവാക്യം (3) പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന്റെയും ഗ്രാഫിക്കൽ മോഡലിന്റെയും വേരുകളുടെ സ്ഥാനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം (4) പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം.

ടാസ്ക് 3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം. ODZ: x1, x2.

പകരക്കാരനെ പരിചയപ്പെടുത്താം. 2x = t, t > 0 എന്ന് അനുവദിക്കുക, തുടർന്ന് പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി സമവാക്യം t2 + 2t – 13 – a = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും. (*) കുറഞ്ഞത് ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉള്ള a യുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. (*) എന്ന സമവാക്യം t > 0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

ഉത്തരം: a > - 13, a  11, a  5, എങ്കിൽ a - 13,

a = 11, a = 5, അപ്പോൾ വേരുകൾ ഇല്ല.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

1. വിദ്യാഭ്യാസ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ Guzeev അടിത്തറ.

2. Guzeev സാങ്കേതികവിദ്യ: സ്വീകരണം മുതൽ തത്വശാസ്ത്രം വരെ.

എം. "ഹെഡ്മാസ്റ്റർ" നമ്പർ 4, 1996

3. Guzeev ഒപ്പം സംഘടനാ രൂപങ്ങൾപഠിക്കുന്നു.

4. ഗുസീവും സമഗ്രമായ വിദ്യാഭ്യാസ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ പരിശീലനവും.

എം. "പീപ്പിൾസ് എഡ്യൂക്കേഷൻ", 2001

5. പാഠത്തിന്റെ രൂപങ്ങളിൽ നിന്ന് Guzeev - സെമിനാർ.

സ്കൂൾ നമ്പർ 2, 1987, പേജ് 9 - 11 ലെ ഗണിതം.

6. സെലെവ്കോ വിദ്യാഭ്യാസ സാങ്കേതികവിദ്യകൾ.

എം. "പീപ്പിൾസ് എഡ്യൂക്കേഷൻ", 1998

7. എപ്പിഷെവ സ്കൂൾ കുട്ടികൾ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നു.

എം. "ജ്ഞാനോദയം", 1990

8. പാഠങ്ങൾ തയ്യാറാക്കാൻ ഇവാനോവ് - വർക്ക്ഷോപ്പുകൾ.

സ്കൂൾ നമ്പർ 6, 1990 ലെ ഗണിതം, പേ. 37-40.

9. ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സ്മിർനോവ് മാതൃക.

സ്കൂൾ നമ്പർ 1, 1997 ലെ ഗണിതം, പേ. 32-36.

10. പ്രായോഗിക ജോലി സംഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള തരാസെങ്കോ വഴികൾ.

സ്കൂൾ നമ്പർ 1, 1993 ലെ ഗണിതം, പേ. 27 - 28.

11. വ്യക്തിഗത ജോലിയുടെ തരങ്ങളിലൊന്നിനെക്കുറിച്ച്.

സ്കൂൾ നമ്പർ 2, 1994, പേജ് 63 - 64 ലെ ഗണിതം.

12. ഖസാങ്കിൻ സൃഷ്ടിപരമായ കഴിവുകൾസ്കൂൾ കുട്ടികൾ.

സ്കൂൾ നമ്പർ 2, 1989 ലെ ഗണിതം, പേ. 10.

13. സ്കാനവി. പ്രസാധകർ, 1997

14. മറ്റുള്ളവരും ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിന്റെ തുടക്കങ്ങളും. ഉപദേശപരമായ വസ്തുക്കൾവേണ്ടി

15. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ക്രിവോനോഗോവ് ജോലികൾ.

എം. "സെപ്റ്റംബർ ആദ്യം", 2002

16. ചെർകാസോവ്. ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള കൈപ്പുസ്തകവും

സർവകലാശാലകളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നു. "എ എസ് ടി - പ്രസ് സ്കൂൾ", 2002

17. യൂണിവേഴ്സിറ്റികളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്ക് Zhevnyak.

മിൻസ്ക്, ആർഎഫ് "റിവ്യൂ", 1996

18. എഴുതിയ ഡി. ഗണിതത്തിൽ പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്നു. എം. റോൾഫ്, 1999

19. കൂടാതെ മറ്റുള്ളവ. സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുന്നു.

എം. "ഇന്റലക്റ്റ് - സെന്റർ", 2003

20. കൂടാതെ മറ്റുള്ളവ. വിദ്യാഭ്യാസം - പരിശീലന സാമഗ്രികൾ E G E-ക്ക് തയ്യാറെടുക്കാൻ.

എം. "ഇന്റലക്റ്റ് - സെന്റർ", 2003, 2004

21 ഉം മറ്റുള്ളവയും. CMM-ന്റെ വകഭേദങ്ങൾ. റഷ്യൻ ഫെഡറേഷന്റെ പ്രതിരോധ മന്ത്രാലയത്തിന്റെ ടെസ്റ്റിംഗ് സെന്റർ, 2002, 2003

22. ഗോൾഡ്ബെർഗ് സമവാക്യങ്ങൾ. "ക്വാണ്ടം" നമ്പർ 3, 1971

23. Volovich M. ഗണിതശാസ്ത്രം എങ്ങനെ വിജയകരമായി പഠിപ്പിക്കാം.

ഗണിതം, 1997 നമ്പർ 3.

24 പാഠത്തിനായി ഒകുനെവ്, കുട്ടികളേ! എം. ജ്ഞാനോദയം, 1988

25. യാകിമാൻസ്കയ - സ്കൂളിൽ അധിഷ്ഠിത വിദ്യാഭ്യാസം.

26. ലൈമെറ്റുകൾ പാഠത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. എം. നോളജ്, 1975

എല്ലാ പുതിയ വീഡിയോ പാഠങ്ങളെയും കുറിച്ച് അറിഞ്ഞിരിക്കാൻ ഞങ്ങളുടെ സൈറ്റ് സൈറ്റിന്റെ യൂട്യൂബ് ചാനലിലേക്ക്.

ആദ്യം, ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഉൽപ്പന്നം എ n പ്രാവശ്യം സ്വയം സംഭവിക്കുന്നു, നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം a ... a=a n ആയി എഴുതാം

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

പവർ അല്ലെങ്കിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ- വേരിയബിളുകൾ പവറുകളിലുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിൽ) ഉള്ള സമവാക്യങ്ങളാണിവ, അടിസ്ഥാനം ഒരു സംഖ്യയാണ്.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

IN ഈ ഉദാഹരണംനമ്പർ 6 ആണ് അടിസ്ഥാനം, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും താഴെയാണ്, വേരിയബിൾ xബിരുദം അല്ലെങ്കിൽ അളവ്.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നോക്കാം?

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ സമവാക്യം എടുക്കാം:

2 x = 2 3

അത്തരമൊരു ഉദാഹരണം മനസ്സിൽ പോലും പരിഹരിക്കാനാകും. x=3 എന്ന് കാണാം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ തുല്യമാകുന്നതിന്, നിങ്ങൾ x ന് പകരം 3 നമ്പർ ഇടേണ്ടതുണ്ട്.
ഇനി എങ്ങനെ ഈ തീരുമാനം എടുക്കണം എന്ന് നോക്കാം.

2 x = 2 3
x = 3

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്തു ഒരേ മൈതാനങ്ങൾ(അതായത്, deuces) ബാക്കിയുള്ളത് എഴുതി, ഇവ ഡിഗ്രികളാണ്. ഞങ്ങൾ അന്വേഷിച്ച ഉത്തരം കിട്ടി.

ഇനി നമുക്ക് നമ്മുടെ പരിഹാരം സംഗ്രഹിക്കാം.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:
1. പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് അതുതന്നെസമവാക്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ സമാനമല്ലെങ്കിൽ, ഈ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ ഞങ്ങൾ തിരയുകയാണ്.
2. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായ ശേഷം, തുല്യമാക്കുകബിരുദം നേടുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പുതിയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഇനി നമുക്ക് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം:

ലളിതമായി തുടങ്ങാം.

ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ സംഖ്യ 2 ന് തുല്യമാണ്, അതായത് നമുക്ക് അടിസ്ഥാനം നിരസിക്കുകയും അവയുടെ ഡിഗ്രികൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യാം.

x+2=4 ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം തെളിഞ്ഞു.
x=4 - 2
x=2
ഉത്തരം: x=2

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, ഇവ 3 ഉം 9 ഉം ആണ്.

3 3x - 9 x + 8 = 0

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒമ്പത് വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരേ അടിത്തറ ഉണ്ടാക്കേണ്ടതുണ്ട്. 9=3 2 എന്ന് നമുക്കറിയാം. നമുക്ക് പവർ ഫോർമുല (a n) m = a nm ഉപയോഗിക്കാം.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

നമുക്ക് 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 ലഭിക്കും

3 3x \u003d 3 2x + 16 ഇപ്പോൾ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യവും മൂന്നിന് തുല്യവുമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത് നമുക്ക് അവ ഉപേക്ഷിച്ച് ഡിഗ്രികൾ തുല്യമാക്കാം.

3x=2x+16 എന്നതിന് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം ലഭിച്ചു
3x-2x=16
x=16
ഉത്തരം: x=16.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നോക്കാം:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നോക്കുന്നു, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ രണ്ടും നാലും വ്യത്യസ്തമാണ്. നമ്മൾ അതുപോലെ തന്നെ ആയിരിക്കണം. ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (a n) m = a nm അനുസരിച്ച് ക്വാഡ്രപ്പിൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു.

4 x = (2 2) x = 2 2x

ഞങ്ങൾ a n a m = a n + m എന്ന ഒരു ഫോർമുലയും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

അതേ കാരണങ്ങളാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി. എന്നാൽ മറ്റ് സംഖ്യകൾ 10 ഉം 24 ഉം നമ്മെ തടസ്സപ്പെടുത്തുന്നു, അവയുമായി എന്തുചെയ്യണം? നിങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ 2 2x ആവർത്തിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാം, ഉത്തരം ഇതാ - നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് 2 2x ഇടാം:

2 2x (2 4 - 10) = 24

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാം:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ സമവാക്യവും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു:

4=2 2 സങ്കൽപ്പിക്കുക:

2 2x \u003d 2 2 ബേസുകൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അവ ഉപേക്ഷിച്ച് ഡിഗ്രികൾ തുല്യമാക്കുക.
2x \u003d 2 ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യമായി മാറി. ഞങ്ങൾ അതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും
x = 1
ഉത്തരം: x = 1.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

9 x - 12*3 x +27= 0

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടാം:
9 x = (3 2) x = 3 2x

നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ഞങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, മൂന്നിന് തുല്യമാണ്. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ആദ്യത്തെ ട്രിപ്പിളിന് രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ (വെറും x) രണ്ടുതവണ (2x) ഡിഗ്രി ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് തീരുമാനിക്കാം പകരംവയ്ക്കൽ രീതി. ഏറ്റവും ചെറിയ ഡിഗ്രി ഉള്ള സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

തുടർന്ന് 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ ഡിഗ്രികളും x ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. വിവേചനത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുക x.

ഞങ്ങൾ t 1 എടുക്കുന്നു:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

അതാണ്,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ഒരു റൂട്ട് കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിന് വേണ്ടി തിരയുകയാണ്, t 2 മുതൽ:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
ഉത്തരം: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

സൈറ്റിൽ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാൻ സഹായിക്കുക എന്ന വിഭാഗത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും, ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകും.

ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ ചേരുക

മിക്ക ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം എങ്ങനെയെങ്കിലും സംഖ്യാ, ബീജഗണിത അല്ലെങ്കിൽ പ്രവർത്തനപരമായ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇത് പ്രത്യേകിച്ച് പരിഹാരത്തിന് ബാധകമാണ്. ഗണിതത്തിലെ USE വേരിയന്റുകളിൽ, ഇത്തരത്തിലുള്ള ടാസ്‌ക്കിൽ, പ്രത്യേകിച്ച്, ടാസ്‌ക് C3 ഉൾപ്പെടുന്നു. C3 ടാസ്‌ക്കുകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കുന്നത് ഉദ്ദേശ്യത്തിന് മാത്രമല്ല പ്രധാനമാണ് വിജയകരമായ ഡെലിവറിഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ, മാത്രമല്ല ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സ് പഠിക്കുമ്പോൾ ഈ വൈദഗ്ദ്ധ്യം ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ടാസ്‌ക്കുകൾ C3 നിർവഹിക്കുന്നത്, നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കേണ്ടതുണ്ട് പല തരംസമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും. അവയിൽ യുക്തിസഹമായ, യുക്തിരഹിതമായ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി, അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന മൊഡ്യൂളുകൾ (കേവല മൂല്യങ്ങൾ), അതുപോലെ സംയോജിതവ എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും പ്രധാന തരങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ രീതികളെക്കുറിച്ചും ഈ ലേഖനം ചർച്ച ചെയ്യുന്നു. "" എന്ന തലക്കെട്ടിന് കീഴിലുള്ള മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് C3 പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾക്കായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്ന ലേഖനങ്ങളിൽ വായിക്കുക ഓപ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുകഗണിതശാസ്ത്രം.

നിർദ്ദിഷ്ട വിശകലനത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിന് മുമ്പ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും, ഒരു ഗണിത അദ്ധ്യാപകൻ എന്ന നിലയിൽ, ചിലത് മനസ്സിലാക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽനമുക്ക് ആവശ്യമുള്ളത്.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ

എന്താണ് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ?

പ്രവർത്തനം കാണുക വൈ = ഒരു x, എവിടെ എ> 0 ഒപ്പം എ≠ 1, വിളിച്ചു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ.

പ്രധാന എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ പ്രോപ്പർട്ടികൾ വൈ = ഒരു x:

ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ്

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ആണ് പ്രദർശകൻ:

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ (എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ)

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം

സൂചകമായഏതെങ്കിലും ശക്തികളുടെ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിൽ മാത്രം അജ്ഞാത വേരിയബിൾ കാണപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു.

പരിഹാരങ്ങൾക്കായി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾഇനിപ്പറയുന്ന ലളിതമായ സിദ്ധാന്തം നിങ്ങൾ അറിയുകയും ഉപയോഗിക്കുകയും വേണം:

സിദ്ധാന്തം 1.എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം എ എഫ്(x) = എ ജി(x) (എവിടെ എ > 0, എ≠ 1) സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് എഫ്(x) = ജി(x).

കൂടാതെ, ഡിഗ്രികളുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

Title=" QuickLaTeX.com റെൻഡർ ചെയ്തത്">!}

ഉദാഹരണം 1സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും പകരവും ഉപയോഗിക്കുക:

അപ്പോൾ സമവാക്യം മാറുന്നു:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്:

Title=" QuickLaTeX.com റെൻഡർ ചെയ്തത്">!}

ഇതിനർത്ഥം ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട് എന്നാണ്. ഞങ്ങൾ അവരെ കണ്ടെത്തുന്നു:

പകരംവയ്ക്കലിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. നമുക്ക് രണ്ടാമത്തേത് പരിഹരിക്കാം:

സിദ്ധാന്തം 1 ൽ പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത്, ഞങ്ങൾ തുല്യമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് കടക്കുന്നു: x= 3. ഇത് ചുമതലയുടെ ഉത്തരമായിരിക്കും.

ഉത്തരം: x = 3.

ഉദാഹരണം 2സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ മേഖലയിൽ സമവാക്യത്തിന് നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല, കാരണം സമൂലമായ പദപ്രയോഗം ഏത് മൂല്യത്തിനും അർത്ഥമാക്കുന്നു x(എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ വൈ = 9 4 -xപോസിറ്റീവ്, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല).

ഗുണനത്തിന്റെയും അധികാര വിഭജനത്തിന്റെയും നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച് അവസാന പരിവർത്തനം നടത്തി.

ഉത്തരം:x= 6.

ഉദാഹരണം 3സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും 0.2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം x. ഏത് മൂല്യത്തിനും ഈ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായതിനാൽ ഈ പരിവർത്തനം തുല്യമായിരിക്കും x(എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ അതിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആണ്). അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു:

ഉത്തരം: x = 0.

ഉദാഹരണം 4സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:ലേഖനത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന അധികാരങ്ങളുടെ വിഭജനത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന്റെയും നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ പ്രാഥമിക ഒന്നിലേക്ക് ലളിതമാക്കുന്നു:

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക x, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ, ഒരു തത്തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്, കാരണം ഈ പദപ്രയോഗം ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല x.

ഉത്തരം: x = 0.

ഉദാഹരണം 5സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:പ്രവർത്തനം വൈ = 3x, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് നിൽക്കുന്നു, വർദ്ധിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ വൈ = —x-2/3, സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് നിൽക്കുന്നത് കുറയുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരമാവധി ഒരു ഘട്ടത്തിൽ. IN ഈ കാര്യംഗ്രാഫുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് x= -1. മറ്റ് വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

ഉത്തരം: x = -1.

ഉദാഹരണം 6സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:ഏത് മൂല്യത്തിനും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെന്ന് എല്ലായിടത്തും മനസ്സിൽ വെച്ചുകൊണ്ട് തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ സമവാക്യം ലളിതമാക്കുന്നു. xലേഖനത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നവും ഭാഗിക അധികാരങ്ങളും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഉത്തരം: x = 2.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

സൂചകമായചില ശക്തികളുടെ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിൽ മാത്രം അജ്ഞാത വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന അസമത്വങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു.

പരിഹാരങ്ങൾക്കായി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അസമത്വങ്ങൾഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്:

സിദ്ധാന്തം 2.എങ്കിൽ എ> 1, പിന്നെ അസമത്വം എ എഫ്(x) > എ ജി(x) ഒരേ അർത്ഥത്തിലുള്ള അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണ്: എഫ്(x) > ജി(x). 0 ആണെങ്കിൽ< എ < 1, то показательное неравенство എ എഫ്(x) > എ ജി(x) വിപരീത അർത്ഥത്തിന്റെ അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണ്: എഫ്(x) < ജി(x).

ഉദാഹരണം 7അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:രൂപത്തിൽ യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

ഈ അസമത്വത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും 3 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക x, കൂടാതെ (ഫംഗ്ഷന്റെ പോസിറ്റീവ് കാരണം വൈ= 3 2x) അസമത്വ ചിഹ്നം മാറില്ല:

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം:

അപ്പോൾ അസമത്വം രൂപമെടുക്കുന്നു:

അതിനാൽ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേളയാണ്:

റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷനിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പോസിറ്റീവ് കാരണം ഇടത് അസമത്വം യാന്ത്രികമായി പൂർത്തീകരിക്കപ്പെടുന്നു. ലോഗരിതത്തിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ തുല്യമായ അസമത്വത്തിലേക്ക് കടക്കുന്നു:

ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യയായതിനാൽ, തുല്യമായ (സിദ്ധാന്തം 2 പ്രകാരം) ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വത്തിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനമായിരിക്കും:

അങ്ങനെ അവസാനം നമുക്ക് കിട്ടും ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 8അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:ശക്തികളുടെ ഗുണനത്തിന്റെയും വിഭജനത്തിന്റെയും സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ അസമത്വത്തെ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

നമുക്ക് ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാം:

ഈ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, അസമത്വം ഒരു രൂപമെടുക്കുന്നു:

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 7 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യ അസമത്വം ലഭിക്കും:

അതിനാൽ, വേരിയബിളിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങളാൽ അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു ടി:

തുടർന്ന്, പകരംവയ്ക്കലിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇവിടെ ബിരുദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലായതിനാൽ, അസമത്വത്തിലേക്ക് കടക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് (സിദ്ധാന്തം 2 പ്രകാരം):

ഒടുവിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 9അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:

ഞങ്ങൾ അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പദപ്രയോഗത്താൽ വിഭജിക്കുന്നു:

ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് (കാരണം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പോസിറ്റീവ് ആണ്), അതിനാൽ അസമത്വ ചിഹ്നം മാറ്റേണ്ടതില്ല. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

t , ഇടവേളയിൽ ഉള്ളത്:

റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷനിലേക്ക് കടന്നുപോകുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ അസമത്വം രണ്ട് കേസുകളായി വിഭജിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു:

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ പോസിറ്റിവിറ്റി കാരണം ആദ്യത്തെ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല. നമുക്ക് രണ്ടാമത്തേത് പരിഹരിക്കാം:

ഉദാഹരണം 10അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:

പരവലയ ശാഖകൾ വൈ = 2x+2-x 2 താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ അത് മുകളിൽ നിന്ന് അതിന്റെ അഗ്രത്തിൽ എത്തുന്ന മൂല്യത്താൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു:

പരവലയ ശാഖകൾ വൈ = x 2 -2xസൂചകത്തിലുള്ള +2, മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനർത്ഥം അത് മുകളിൽ എത്തുന്ന മൂല്യത്താൽ താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു എന്നാണ്:

അതേ സമയം, ഫംഗ്ഷൻ താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു വൈ = 3 x 2 -2xസമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് +2. അവൾ അവളിലേക്ക് എത്തുന്നു ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യംഎക്‌സ്‌പോണന്റിലെ പരാബോളയുടെ അതേ പോയിന്റിൽ, ഈ മൂല്യം 3 1 = 3 ആണ്. അതിനാൽ, ഇടതുവശത്തുള്ള ഫംഗ്‌ഷനും വലതുവശത്തുള്ള ഫംഗ്‌ഷനും ഒരു ബിന്ദുവിൽ മൂല്യം 3 എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ യഥാർത്ഥ അസമത്വം ശരിയാകൂ. ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പരിധികൾ കടക്കുന്നത് ഈ സംഖ്യ മാത്രമാണ്). ഈ അവസ്ഥ ഒരൊറ്റ പോയിന്റിൽ തൃപ്തികരമാണ് x = 1.

ഉത്തരം: x= 1.

എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കാൻ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും,അവയുടെ പരിഹാരത്തിൽ നിങ്ങൾ നിരന്തരം പരിശീലിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യത്തിൽ, വിവിധ അധ്യാപന സഹായങ്ങൾ, പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിലെ പ്രശ്ന പുസ്തകങ്ങൾ, മത്സര പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരം, സ്കൂളിലെ ഗണിത ക്ലാസുകൾ, അതുപോലെ വ്യക്തിഗത സെഷനുകൾഒരു പ്രൊഫഷണൽ അദ്ധ്യാപകനോടൊപ്പം. നിങ്ങളുടെ തയ്യാറെടുപ്പിലും പരീക്ഷയിലെ മികച്ച ഫലങ്ങളിലും വിജയിക്കണമെന്ന് ഞാൻ ആത്മാർത്ഥമായി ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

സെർജി വലേരിവിച്ച്

P.S. പ്രിയ അതിഥികളേ! അഭിപ്രായങ്ങളിൽ നിങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അഭ്യർത്ഥനകൾ എഴുതരുത്. നിർഭാഗ്യവശാൽ, എനിക്ക് ഇതിനൊന്നും സമയമില്ല. അത്തരം സന്ദേശങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കപ്പെടും. ദയവായി ലേഖനം വായിക്കുക. നിങ്ങളുടെ ചുമതല സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കാത്ത ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരം ഒരുപക്ഷേ അതിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.