വീട് › വെളിച്ചവും ഗ്ലാസും › ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: അൽഗോരിതം, പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: അൽഗോരിതം, പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഈ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പഠിക്കുന്നത് തുടരുകയും കൂടുതൽ വിപുലമായ വിഷയത്തിലേക്ക് നീങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു, അതായത് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും ഘടകങ്ങളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. നിങ്ങൾ മുമ്പത്തെ പാഠം കണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഗണിച്ചിട്ടുള്ളൂവെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയിരിക്കാം, അതായത്, ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ, തുക, വ്യത്യാസം എന്നിവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് അവയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്നും ഒരു വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് യഥാക്രമം അവയുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി. നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഘടകത്തിന്റെയും ഉൽപ്പന്ന ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും കാര്യത്തിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കും. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കും.

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഞാൻ ഒരു ചെറിയ ലിറിക്കൽ ഡൈഗ്രഷൻ നടത്തട്ടെ. സ്റ്റാൻഡേർഡ് പവർ ഫംഗ്‌ഷനുപുറമെ - $y=(((x)^(n))$, ഈ പാഠത്തിൽ നമുക്ക് മറ്റ് ഫംഗ്ഷനുകളും കാണാം, അതായത്, $y=\sin x$, അതുപോലെ $ y=\ cos x$ ഉം മറ്റ് ത്രികോണമിതിയും - $y=tgx$ കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, $y=ctgx$.

$\left((((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$ എന്ന പവർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നമുക്കെല്ലാവർക്കും നന്നായി അറിയാമെങ്കിൽ, അതിനായി ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ , പ്രത്യേകം പരാമർശിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് അത് എഴുതാം:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\ഇടത്(\ഇടത്) ctgx \right))^(\പ്രൈം ))=\frac(1)((\cos )^(2))x) \\\ end(align)\]

എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നന്നായി അറിയാം, നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം.

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?

ആദ്യം, ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം: ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മറ്റ് രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, $f\cdot g$, ഈ നിർമ്മാണത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ ഫോർമുല ഞങ്ങൾ നേരത്തെ നോക്കിയ സൂത്രവാക്യങ്ങളേക്കാൾ വളരെ വ്യത്യസ്തവും സങ്കീർണ്ണവുമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു പ്രാഥമിക രീതിയിലാണ് കണക്കാക്കുന്നത് - $(\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, അല്ലെങ്കിൽ ഇതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു വ്യത്യാസം, അത് പ്രാഥമിക രീതിയിലും കണക്കാക്കുന്നു - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

പ്രശ്‌നത്തിൽ നമുക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കാൻ ആദ്യത്തെ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം:

വ്യക്തമായും, ഇനിപ്പറയുന്ന നിർമ്മാണം ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ കൃത്യമായി, ഒരു ഗുണിതമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു: $((x)^(3))$, നമുക്ക് ഇത് $f$ ആയും $\ഇടത്(x-5 \വലത്) ആയി കണക്കാക്കാം. $ നമുക്ക് $g$ ആയി കണക്കാക്കാം. അപ്പോൾ അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം കൃത്യമായി രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമായിരിക്കും. ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുന്നു:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left((\ഇടത്) (x)^(3)) \വലത്))^(\പ്രൈം ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\ഇടത്(x-5 \\ വലത്))^(\പ്രൈം ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

ഇനി നമുക്ക് നമ്മുടെ ഓരോ നിബന്ധനകളും സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം. ഒന്നും രണ്ടും പദങ്ങളിൽ $x$ ഡിഗ്രി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു: ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ ഇത് $((x)^(2))$ ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ ഇത് $((x)^(3)) $. ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും ചെറിയ ബിരുദം എടുക്കാം:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\ഇടത്(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\ end(align)\]

അത്രയേയുള്ളൂ, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തി.

നമുക്ക് നമ്മുടെ പ്രശ്നങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങാം, പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

അതിനാൽ, നമുക്ക് വീണ്ടും എഴുതാം:

വീണ്ടും, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: $x$, $f$, ഒപ്പം $\left(\sqrt(x)-1 \right)$ എന്നിവ സൂചിപ്പിക്കാം. $g$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും.

അങ്ങനെ, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം വീണ്ടും നമ്മുടെ മുമ്പിലുണ്ട്. $f\left(x \right)$ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \വലത്))^(\പ്രൈം ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\ end(align)\]

ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയിരിക്കുന്നു.

എന്തുകൊണ്ട് ഫാക്ടർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ?

ഡെറിവേറ്റീവുകളുമായി ബന്ധമില്ലാത്ത വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുതകൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഉപയോഗിച്ചു, എന്നാൽ അവരുടെ അറിവില്ലാതെ, ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ പഠനങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

ഒന്നാമതായി, ആദ്യത്തെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുകയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും ഇതിനകം ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്തു, ചില കാരണങ്ങളാൽ ഞങ്ങൾ ഈ പദപ്രയോഗം ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ തുടങ്ങി.

രണ്ടാമതായി, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, 8-9 ഗ്രേഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ റൂട്ടിൽ നിന്ന് പവറിലേക്കും പിന്നിലേക്കും ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുമായി നിരവധി തവണ കടന്നുപോയി, അത് പ്രത്യേകം ആവർത്തിക്കേണ്ടതാണ്.

ഫാക്‌ടറൈസേഷനെ സംബന്ധിച്ച് - ഈ അധിക പരിശ്രമങ്ങളും പരിവർത്തനങ്ങളും ആവശ്യമായിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? വാസ്തവത്തിൽ, പ്രശ്നം "ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക" എന്ന് പറഞ്ഞാൽ, ഈ അധിക ഘട്ടങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാത്തരം പരീക്ഷകളിലും ടെസ്റ്റുകളിലും നിങ്ങളെ കാത്തിരിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് പലപ്പോഴും പര്യാപ്തമല്ല. വസ്തുത, ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകുന്ന ഒരു ഉപകരണം മാത്രമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവോ കുറവോ, ഇതിനായി നിങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും അതിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുകയും വേണം. ഇവിടെയാണ് ഈ സാങ്കേതികത വളരെ ഉചിതമായത്. പൊതുവേ, എന്തെങ്കിലും പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിൽ ഭാവിയിൽ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്‌ത ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദവും മനോഹരവുമാണ്. അതിനാൽ, റൂൾ നമ്പർ 1: ഡെറിവേറ്റീവ് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അതാണ് നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്. ഉടൻ തന്നെ നമ്പർ 2 റൂൾ ചെയ്യുക (അടിസ്ഥാനപരമായി, ഇത് 8-9 ഗ്രേഡ് മെറ്റീരിയലാണ്): പ്രശ്നത്തിൽ ഒരു റൂട്ട് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ എൻ-th ഡിഗ്രി, കൂടാതെ റൂട്ട് വ്യക്തമായി രണ്ടിനേക്കാൾ വലുതാണ്, അപ്പോൾ ഈ റൂട്ട് ഒരു സാധാരണ ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, കൂടാതെ ഘാതകത്തിൽ ഒരു അംശം ദൃശ്യമാകും. എൻ- ആ ബിരുദം തന്നെ - ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ആയിരിക്കും.

തീർച്ചയായും, റൂട്ടിന് കീഴിൽ കുറച്ച് ഡിഗ്രി ഉണ്ടെങ്കിൽ (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇത് ഡിഗ്രിയാണ് കെ), അപ്പോൾ അത് എവിടെയും പോകുന്നില്ല, പക്ഷേ ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ അവസാനിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതെല്ലാം മനസ്സിലായി, നമുക്ക് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളിലേക്ക് തിരികെ പോയി കുറച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ കൂടി കണക്കാക്കാം.

എന്നാൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് നേരിട്ട് നീങ്ങുന്നതിന് മുമ്പ്, ഇനിപ്പറയുന്ന പാറ്റേണുകൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\പ്രൈം ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\ end(align)\]

നമുക്ക് ആദ്യ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാം:

ഞങ്ങൾക്ക് വീണ്ടും രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമുണ്ട്: ആദ്യത്തേത് $f$, രണ്ടാമത്തേത് $g$. ഫോർമുല ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

\[(\ഇടത്(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാം:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\ഇടത്(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\ഇടത്(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\ end(align)\]

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് പോകാം:

വീണ്ടും, $\left(3x-2 \right)$ എന്നത് $f$ ന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, $\cos x$ എന്നത് $g$ ന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്. മൊത്തത്തിൽ, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ ഇടത്(\cos x \right))^(\പ്രൈം ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+(\ഇടത്(4x\sin x \right)) ^(\പ്രൈം ))\]

നമുക്ക് അത് പ്രത്യേകം എഴുതാം:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\ഇടത്(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\ഇടത്(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\ end(align)\]

ഞങ്ങൾ ഈ പദപ്രയോഗത്തെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുന്നില്ല, കാരണം ഇത് ഇതുവരെ അന്തിമ ഉത്തരമല്ല. ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാം ഭാഗം പരിഹരിക്കണം. നമുക്ക് അത് എഴുതാം:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\ end(align)\]

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കിലേക്ക് മടങ്ങാം, എല്ലാം ഒരുമിച്ച് ഒരൊറ്റ ഘടനയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുക:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

അത്രയേയുള്ളൂ, ഇതാണ് അന്തിമ ഉത്തരം.

നമുക്ക് അവസാന ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് പോകാം - കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇത് ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണവും ഏറ്റവും വലുതും ആയിരിക്കും. അതിനാൽ, ഒരു ഉദാഹരണം:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

ഞങ്ങൾ ഓരോ ഭാഗവും പ്രത്യേകം കണക്കാക്കുന്നു:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\ഇടത്(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)((\cos )^(2))x) \\\ end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)((\sin )^(2))x) \\\ end(align)\]

യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് മൊത്തത്തിൽ കണക്കാക്കാം:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)((\sin )^(2))x) \\\ end(align)\]

യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് വർക്കുകളെ കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയാൻ ആഗ്രഹിച്ചത് അതാണ്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഫോർമുലയുടെ പ്രധാന പ്രശ്നം അത് മനഃപാഠമാക്കുന്നതിലല്ല, മറിച്ച് അത് വളരെ വലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്നതാണ്. പക്ഷേ അത് കുഴപ്പമില്ല, കാരണം ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ക്വട്ടേഷൻ ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് നീങ്ങുകയാണ്, അവിടെ നമ്മൾ കഠിനാധ്വാനം ചെയ്യേണ്ടി വരും.

ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?

അതിനാൽ, ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല. ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള സ്കൂൾ കോഴ്സിലെ ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യമാണിത്. നമുക്ക് $\frac(f)(g)$ എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം, ഇവിടെ $f$, $g$ എന്നിവയും ഫംഗ്‌ഷനുകളാണ്, അതിൽ നിന്നും നമുക്ക് പ്രൈം നീക്കം ചെയ്യാം. അതിനുശേഷം, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഇത് കണക്കാക്കും:

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയെ ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു പരിധിവരെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ നിബന്ധനകൾക്കും യഥാർത്ഥ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ചതുരത്തിനും ഇടയിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്. ഇത് പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

\[(f)"=((\ഇടത്(\frac(((x)^2))-1)(x+2) \വലത്))^(\പ്രൈം ))=\frac(((\ഇടത്) (((x)^(2))-1 \വലത്))^(\പ്രൈം ))\cdot \ഇടത്(x+2 \വലത്)-\ഇടത്(((x)^(2))-1 \വലത് )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))((\left(x+2 \right))^(2)))\]

ഓരോ ഭാഗവും വെവ്വേറെ എഴുതാനും എഴുതാനും ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

\[\ആരംഭിക്കുക(അലൈന് ചെയ്യുക)& ((\ഇടത്(((x)^(2))-1 \വലത്))^(\പ്രൈം ))=(\ഇടത്(((x)^(2)) \\ വലത്))^(\പ്രൈം ))-(1)"=2x \\& ((\ഇടത്(x+2 \വലത്))^(\പ്രൈം ))=(x)"+(2)"=1 \ \\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

നമുക്ക് നമ്മുടെ പദപ്രയോഗം മാറ്റിയെഴുതാം:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\ഇടത്(x+2 \വലത്))^(2))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)((\ഇടത്(x+2 \വലത്))^(2))=\frac(((x)^(2))+4x+1)((\ഇടത്(x+2 \വലത്) ))^(2))) \\\ end(align)\]

ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തി. നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് പോകാം:

അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കേവലം ഒന്നാണെന്ന വസ്തുത വിലയിരുത്തിയാൽ, ഇവിടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കുറച്ചുകൂടി ലളിതമായിരിക്കും. അതിനാൽ, നമുക്ക് എഴുതാം:

\[(y)"=((\left(\frac(1)((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \ഇടത്(((x)^(2))+4 \വലത്)-1\cdot ((\ഇടത്(((x)^(2))+4 \വലത്))^(\പ്രൈം )))(( (\ഇടത്(((x)^(2))+4 \വലത്))^(2)))\]

ഉദാഹരണത്തിന്റെ ഓരോ ഭാഗവും വെവ്വേറെ കണക്കാക്കാം:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=(\ഇടത്(( (x)^(2)) \right))^(\പ്രൈം ))+(4)"=2x \\\ end(align)\]

നമുക്ക് നമ്മുടെ പദപ്രയോഗം മാറ്റിയെഴുതാം:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)((\ഇടത്(((x))^2) )+4 \വലത്))^(2)))=-\frac(2x)((\ഇടത്(((x)^(2))+4 \വലത്))^(2)))\]

ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തി. പ്രതീക്ഷിച്ചതുപോലെ, കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ അളവ് ആദ്യ പ്രവർത്തനത്തേക്കാൾ വളരെ കുറവായിരുന്നു.

പദവികൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?

ശ്രദ്ധയുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഇതിനകം ഒരു ചോദ്യം ഉണ്ടായിരിക്കാം: എന്തുകൊണ്ടാണ് ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷനെ $f\left(x \right)$ എന്നും മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ $y$ എന്നും എഴുതുന്നത്? വാസ്തവത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, തികച്ചും വ്യത്യാസമില്ല - ആദ്യ പദവിയും രണ്ടാമത്തേതും ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്, കൂടാതെ പരീക്ഷകളിലോ ടെസ്റ്റുകളിലോ പിഴകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. ഇപ്പോഴും താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്കായി, പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെയും പ്രശ്‌നങ്ങളുടെയും രചയിതാക്കൾ $f\left(x \right)$, മറ്റുള്ളവയിൽ (കൂടുതൽ പതിവ്) - $y$ എഴുതുന്നത് എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ഞാൻ വിശദീകരിക്കും. \ എന്ന രൂപത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എഴുതുന്നതിലൂടെ, പ്രവർത്തനപരമായ ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ ബീജഗണിത വ്യാഖ്യാനത്തെക്കുറിച്ചാണ് ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകമായി സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വായിക്കുന്നവരോട് ഞങ്ങൾ പരോക്ഷമായി സൂചന നൽകുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത വേരിയബിൾ $x$ ഉണ്ട്, ഞങ്ങൾ ഈ വേരിയബിളിനെ ആശ്രയിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുകയും $f\left(x \right)$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതേ സമയം, അത്തരമൊരു പദവി കണ്ടാൽ, നിങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വായിക്കുന്ന ഒരാൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻസ്പെക്ടർ, ഭാവിയിൽ ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങൾ മാത്രമേ അവനെ കാത്തിരിക്കൂ എന്ന് ഉപബോധമനസ്സോടെ പ്രതീക്ഷിക്കും - ഗ്രാഫുകളും ജ്യാമിതിയും ഇല്ല.

മറുവശത്ത്, ഫോമിന്റെ \, അതായത്, ഒരൊറ്റ അക്ഷരമുള്ള ഒരു വേരിയബിളിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഭാവിയിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉടനടി വ്യക്തമാക്കുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്, ആദ്യം എല്ലാം, അതിന്റെ ഗ്രാഫിൽ. അതനുസരിച്ച്, ഫോമിന്റെ ഒരു റെക്കോർഡ് അഭിമുഖീകരിക്കുമ്പോൾ, ഗ്രാഫിക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ, അതായത് ഗ്രാഫുകൾ, നിർമ്മാണങ്ങൾ മുതലായവ പ്രതീക്ഷിക്കാൻ വായനക്കാരന് അവകാശമുണ്ട്, പക്ഷേ, ഒരു സാഹചര്യത്തിലും, വിശകലന പരിവർത്തനങ്ങൾ.

ഇന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന ടാസ്ക്കുകളുടെ രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു സവിശേഷതയിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഞാൻ വളരെ വിശദമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നൽകുന്നുവെന്ന് പല വിദ്യാർത്ഥികളും കരുതുന്നു, അവയിൽ പലതും ഒഴിവാക്കുകയോ അല്ലെങ്കിൽ അവരുടെ തലയിൽ ലളിതമായി പരിഹരിക്കുകയോ ചെയ്യാം. എന്നിരുന്നാലും, കുറ്റകരമായ തെറ്റുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനും ശരിയായി പരിഹരിച്ച പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശതമാനം ഗണ്യമായി വർദ്ധിപ്പിക്കാനും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന അത്തരമൊരു വിശദമായ രേഖയാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ടെസ്റ്റുകൾക്കോ പരീക്ഷകൾക്കോ വേണ്ടിയുള്ള സ്വയം തയ്യാറെടുപ്പിന്റെ കാര്യത്തിൽ. അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ കഴിവുകളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും ഉറപ്പില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഈ വിഷയം പഠിക്കാൻ തുടങ്ങിയാൽ, തിരക്കുകൂട്ടരുത് - ഓരോ ഘട്ടവും വിശദമായി വിവരിക്കുക, എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഓരോ സ്ട്രോക്കും എഴുതുക, അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ നന്നായി പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഉടൻ പഠിക്കും. പല സ്കൂൾ അധ്യാപകരെക്കാളും. ഇത് വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി കണക്കാക്കാം.

രസകരമായ നിരവധി ജോലികൾ

ഈ സമയം, നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, കണക്കാക്കുന്ന ഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ത്രികോണമിതിയുണ്ട്. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\ end(align )\]

തീർച്ചയായും, ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ലാതെ നമുക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, അതായത്:

\[(\ഇടത്(\frac(f)(g) \right))^(\പ്രൈം ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

നമുക്ക് ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കാം:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)\]

അതിനാൽ ഈ പദപ്രയോഗത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തി.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് പോകാം:

വ്യക്തമായും, ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ത്രികോണമിതി ഉള്ളതിനാൽ അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കും. ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുന്നു:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac((\ഇടത്(x\sin x \right ))^(\പ്രൈം ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

ഞങ്ങൾക്ക് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് തുല്യമായിരിക്കും:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \\) വലത്))^(\പ്രൈം ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\ end(align)\]

നമുക്ക് നമ്മുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)((\cos )^(2))x) \\\ end(align)\]

അത്രയേയുള്ളൂ! ഞങ്ങൾ കണക്ക് ചെയ്തു.

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ലളിതമായ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം?

ഇവിടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പരാമർശം നടത്താൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ നിർമ്മാണത്തിൽ $\frac(\sin x)(\cos x)$ എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത, അത് എളുപ്പത്തിൽ $tgx$ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനാകും. അങ്ങനെ, ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ലളിതമായ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ചുരുക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ ഉദാഹരണം വീണ്ടും കണക്കാക്കി ഫലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം.

അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

ഈ വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷൻ $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ വീണ്ടും എഴുതാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് കണക്കാക്കാം:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\പ്രൈം ))=tgx+x\frac(1)(((\cos)^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\ അവസാനം(അലൈൻ) \]

ഇനി വേറൊരു രീതിയിൽ കണക്കു കൂട്ടിയപ്പോൾ കിട്ടിയ റിസൾട്ടും നേരത്തെ കിട്ടിയ റിസൾട്ടും താരതമ്യം ചെയ്താൽ നമുക്കും അതേ എക്സ്പ്രഷൻ കിട്ടിയെന്ന് ബോധ്യമാകും. അങ്ങനെ, ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ ഏത് വഴിക്ക് പോയാലും, എല്ലാം ശരിയായി കണക്കാക്കിയാൽ, ഉത്തരം ഒന്നായിരിക്കും.

പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രധാനപ്പെട്ട സൂക്ഷ്മതകൾ

ഉപസംഹാരമായി, ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സൂക്ഷ്മത കൂടി ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഞാൻ ഇപ്പോൾ നിങ്ങളോട് പറയാൻ പോകുന്നത് വീഡിയോ പാഠത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ സ്ക്രിപ്റ്റിൽ ആയിരുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ചിത്രീകരണത്തിന് രണ്ട് മണിക്കൂർ മുമ്പ്, ഞാൻ എന്റെ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയുമായി പഠിക്കുകയായിരുന്നു, ഞങ്ങൾ ക്വട്ടേഷൻ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ വിഷയം ചർച്ച ചെയ്യുകയായിരുന്നു. കൂടാതെ, പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഈ കാര്യം മനസ്സിലാകുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ നീക്കംചെയ്യൽ സ്ട്രോക്ക് നമുക്ക് കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് പറയാം:

തത്വത്തിൽ, ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ അതിൽ അമാനുഷികമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയയിൽ നമുക്ക് മണ്ടത്തരവും കുറ്റകരവുമായ നിരവധി തെറ്റുകൾ വരുത്താം, അത് ഞാൻ ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഈ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നു. ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾക്ക് $3((x)^(2))$ എന്ന പദം ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്:

\[((\ഇടത്(((x))^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

കൂടാതെ, ഞങ്ങൾക്ക് $\frac(48)(x)$ എന്ന പദം ഉണ്ട് - ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിലൂടെ ഞങ്ങൾ അത് കൈകാര്യം ചെയ്യും, അതായത്:

\[(\ഇടത്(\frac(f)(g) \right))^(\പ്രൈം ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

അതിനാൽ, നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാം:

\[(y)"=((\ഇടത്(\frac(48)(x) \വലത്))^(\പ്രൈം ))+((\ഇടത്(3(x)^(2)) \വലത്)) ^(\പ്രൈം ))+10(0)"\]

ആദ്യ ടേമിൽ പ്രശ്‌നങ്ങളൊന്നുമില്ല, കാണുക:

\[((\ഇടത്(3(x)^(2)) \വലത്))^(\പ്രൈം ))=3\cdot ((\ഇടത്(((x))^(2)) \വലത്))^ (\പ്രൈം ))=3k.2x=6x\]

എന്നാൽ ആദ്യ ടേമിൽ, $\frac(48)(x)$, നിങ്ങൾ പ്രത്യേകം പ്രവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്. $(\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ കണ്ടെത്തേണ്ടി വരുമ്പോഴും $((\ഇടത്) കണ്ടെത്തേണ്ടി വരുമ്പോഴും പല വിദ്യാർത്ഥികളും സാഹചര്യം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. (\frac (48)(x) \right))^(\പ്രൈം ))$. അതായത്, സ്ഥിരാങ്കം ഡിനോമിനേറ്ററിലും സ്ഥിരാങ്കം ന്യൂമറേറ്ററിലായിരിക്കുമ്പോഴും യഥാക്രമം, വേരിയബിൾ ന്യൂമറേറ്ററിലോ ഡിനോമിനേറ്ററിലോ ആയിരിക്കുമ്പോൾ അവർ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകുന്നു.

ആദ്യ ഓപ്ഷനിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം:

\[((\ഇടത്(\frac(x)(48) \വലത്))^(\പ്രൈം ))=((\ഇടത്(\frac(1)(48)\cdot x \വലത്))^(\പ്രൈം ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

മറുവശത്ത്, രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:

\[\ആരംഭിക്കുക(അലൈന് ചെയ്യുക)& ((\ഇടത്(\frac(48)(x)\വലത്))^(\പ്രൈം ))=(\ഇടത്(48\cdot \frac(1)(x) \വലത് ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )((((x)^(2))) \\\ end(align)\]

എന്നിരുന്നാലും, അതേ ഉദാഹരണം വ്യത്യസ്തമായി കണക്കാക്കാം: ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് കടന്ന ഘട്ടത്തിൽ, നമുക്ക് $\frac(1)(x)$ നെ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ശക്തിയായി കണക്കാക്കാം, അതായത്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും. :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x))^-- 1)) \right))^(\പ്രൈം ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )((((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\ end(align)\]

അങ്ങനെ, അങ്ങനെ ഞങ്ങൾക്ക് അതേ ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

അങ്ങനെ, രണ്ട് സുപ്രധാന വസ്തുതകൾ നമുക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ബോധ്യപ്പെട്ടു. ഒന്നാമതായി, ഒരേ ഡെറിവേറ്റീവ് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ രീതികളിൽ കണക്കാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, $(\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ എന്നത് ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവായും ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവായും കണക്കാക്കാം. മാത്രമല്ല, എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ശരിയായി നടപ്പിലാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉത്തരം എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമായിരിക്കും. രണ്ടാമതായി, ഒരു വേരിയബിളും സ്ഥിരാങ്കവും അടങ്ങിയ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, വേരിയബിൾ എവിടെയാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് എന്നത് അടിസ്ഥാനപരമായി പ്രധാനമാണ് - ന്യൂമറേറ്ററിലോ ഡിനോമിനേറ്ററിലോ. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, വേരിയബിൾ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ലളിതമായ ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും. വേരിയബിൾ ഡിനോമിനേറ്ററിലാണെങ്കിൽ, നേരത്തെ നൽകിയ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കൊപ്പം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പദപ്രയോഗം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, പാഠം പൂർണ്ണമായി കണക്കാക്കാം, അതിനാൽ ഒരു ഘടകത്തിന്റെയോ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയോ ഡെറിവേറ്റീവുകളെ കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒന്നും മനസ്സിലാകുന്നില്ലെങ്കിൽ, പൊതുവേ, ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, മടിക്കരുത് - എന്റെ വെബ്സൈറ്റിലേക്ക് പോകുക , എഴുതുക, വിളിക്കുക, ഞാൻ തീർച്ചയായും ശ്രമിക്കും എനിക്ക് നിങ്ങളെ സഹായിക്കാമോ.

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ സ്വയം ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ വിഷയമല്ല, എന്നാൽ അവ വളരെ വിപുലമാണ്, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ ഇപ്പോൾ പഠിക്കുന്നത് ഭാവിയിൽ ഉപയോഗിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ് ഒരു ഘടകത്തിന്റെയോ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയോ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ തെറ്റിദ്ധാരണകളും ഉടനടി തിരിച്ചറിയുന്നത് നല്ലത്. അവർ തെറ്റിദ്ധാരണയുടെ വലിയ സ്നോബോൾ ആയിരിക്കുമ്പോൾ അല്ല, മറിച്ച് അവർ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ എളുപ്പമുള്ള ഒരു ചെറിയ ടെന്നീസ് ബോൾ ആയിരിക്കുമ്പോൾ.

നിങ്ങൾ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവിന്റെ അനുപാതത്തിന്റെ പരിധിയാണ് Δ വൈആർഗ്യുമെന്റ് ഇൻക്രിമെന്റിലേക്ക് Δ x:

എല്ലാം വ്യക്തമായതായി തോന്നുന്നു. എന്നാൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാൻ ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ശ്രമിക്കുക എഫ്(x) = x 2 + (2x+ 3) · ഇ xപാപം x. നിങ്ങൾ എല്ലാം നിർവചനം അനുസരിച്ച് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ രണ്ട് പേജുകൾക്ക് ശേഷം നിങ്ങൾ ഉറങ്ങും. അതിനാൽ, ലളിതവും കൂടുതൽ ഫലപ്രദവുമായ വഴികളുണ്ട്.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, വിവിധ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. ഇവ താരതമ്യേന ലളിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്, ഇവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ വളരെക്കാലമായി കണക്കാക്കുകയും പട്ടികപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ് - അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കൊപ്പം.

പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

എലിമെന്ററി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ എല്ലാം താഴെ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഹൃദയം കൊണ്ട് അറിഞ്ഞിരിക്കണം. മാത്രമല്ല, അവ മനഃപാഠമാക്കുന്നത് ഒട്ടും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല - അതുകൊണ്ടാണ് അവ പ്രാഥമികമായത്.

അതിനാൽ, പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ:

പേര്	ഫംഗ്ഷൻ	ഡെറിവേറ്റീവ്
സ്ഥിരമായ	എഫ്(x) = സി, സി ∈ ആർ	0 (അതെ, പൂജ്യം!)
യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള പവർ	എഫ്(x) = x എൻ	എൻ · x എൻ − 1
സൈനസ്	എഫ്(x) = പാപം x	കോസ് x
കോസൈൻ	എഫ്(x) = കോസ് x	- പാപം x(മൈനസ് സൈൻ)
ടാൻജെന്റ്	എഫ്(x) = tg x	1/കോസ് 2 x
കോട്ടാൻജെന്റ്	എഫ്(x) = ctg x	- 1/പാപം 2 x
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം	എഫ്(x) = ലോഗ് x	1/x
അനിയന്ത്രിതമായ ലോഗരിതം	എഫ്(x) = ലോഗ് എ x	1/(x ln എ)
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ	എഫ്(x) = ഇ x	ഇ x(ഒന്നും മാറിയിട്ടില്ല)

ഒരു എലിമെന്ററി ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, പുതിയ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം:

(സി · എഫ്)’ = സി · എഫ് ’.

പൊതുവേ, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ എടുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

വ്യക്തമായും, പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരസ്പരം ചേർക്കാം, ഗുണിക്കുക, വിഭജിക്കുക - കൂടാതെ മറ്റു പലതും. ഇങ്ങനെയാണ് പുതിയ ഫംഗ്ഷനുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത്, ഇനി പ്രത്യേകിച്ച് പ്രാഥമികമല്ല, ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ നിയമങ്ങൾ ചുവടെ ചർച്ചചെയ്യുന്നു.

തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ്

പ്രവർത്തനങ്ങൾ നൽകട്ടെ എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x), ഇതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നമുക്ക് അറിയാം. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് എടുക്കാം. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താനാകും:

(എഫ് + ജി)’ = എഫ് ’ + ജി ’
(എഫ് − ജി)’ = എഫ് ’ − ജി ’

അതിനാൽ, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) തുല്യമാണ്. കൂടുതൽ നിബന്ധനകൾ ഉണ്ടായേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ( എഫ് + ജി + എച്ച്)’ = എഫ് ’ + ജി ’ + എച്ച് ’.

കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, ബീജഗണിതത്തിൽ "വ്യവകലനം" എന്ന ആശയം ഇല്ല. "നെഗറ്റീവ് ഘടകം" എന്ന ആശയം ഉണ്ട്. അതുകൊണ്ട് വ്യത്യാസം എഫ് − ജിഒരു തുകയായി മാറ്റിയെഴുതാം എഫ്+ (-1) ജി, തുടർന്ന് ഒരു ഫോർമുല മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ - തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്.

എഫ്(x) = x 2 + sin x; ജി(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) എന്നത് രണ്ട് പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അതിനാൽ:

എഫ് ’(x) = (x 2 + പാപം x)’ = (x 2)' + (പാപം x)’ = 2x+ cos x;

ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനത്തിന് സമാനമായി ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു ജി(x). ഇതിനകം മൂന്ന് പദങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ (ബീജഗണിതത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്):

ജി ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ഉത്തരം:
എഫ് ’(x) = 2x+ cos x;
ജി ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു ലോജിക്കൽ സയൻസാണ്, അതിനാൽ ഒരു തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് പലരും വിശ്വസിക്കുന്നു. സമരം">ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ സ്ക്രൂ യൂ! ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത്. അതായത്:

(എഫ് · ജി) ’ = എഫ് ’ · ജി + എഫ് · ജി ’

ഫോർമുല ലളിതമാണ്, പക്ഷേ അത് പലപ്പോഴും മറന്നുപോകുന്നു. കൂടാതെ സ്കൂൾ കുട്ടികൾ മാത്രമല്ല, വിദ്യാർത്ഥികളും. തെറ്റായി പരിഹരിക്കപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ ആണ് ഫലം.

ടാസ്ക്. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക: എഫ്(x) = x 3 cos x; ജി(x) = (x 2 + 7x- 7) · ഇ x .

ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) രണ്ട് പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ്, അതിനാൽ എല്ലാം ലളിതമാണ്:

എഫ് ’(x) = (x 3 കോസ് x)’ = (x 3) ചെലവ് x + x 3 (കോസ് x)’ = 3x 2 കോസ് x + x 3 (- പാപം x) = x 2 (3കോസ് x − xപാപം x)

ഫംഗ്ഷൻ ജി(x) ആദ്യ ഗുണിതം കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്, പക്ഷേ പൊതുവായ സ്കീം മാറില്ല. വ്യക്തമായും, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ആദ്യ ഘടകം ജി(x) ഒരു ബഹുപദമാണ്, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ജി ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · ഇ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · ഇ x + (x 2 + 7x− 7) · ( ഇ x)’ = (2x+ 7) · ഇ x + (x 2 + 7x- 7) · ഇ x = ഇ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ഇ x = x(x+ 9) · ഇ x .

ഉത്തരം:
എഫ് ’(x) = x 2 (3കോസ് x − xപാപം x);
ജി ’(x) = x(x+ 9) · ഇ x .

അവസാന ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഔപചാരികമായി, ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല, എന്നാൽ മിക്ക ഡെറിവേറ്റീവുകളും സ്വന്തമായി കണക്കാക്കില്ല, മറിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കാനാണ്. ഇതിനർത്ഥം കൂടുതൽ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കും, അതിന്റെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും, അങ്ങനെ പലതും. അത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഫാക്റ്ററൈസ് ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്.

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ എഫ്(x) ഒപ്പം ജി(x), ഒപ്പം ജി(x) ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സെറ്റിൽ ≠ 0, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കാം എച്ച്(x) = എഫ്(x)/ജി(x). അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനത്തിനായി നിങ്ങൾക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താനും കഴിയും:

ദുർബലമല്ല, അല്ലേ? മൈനസ് എവിടെ നിന്ന് വന്നു? എന്തിന് ജി 2? പിന്നെ ഇതുപോലെ! ഇത് ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് - ഒരു കുപ്പി ഇല്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പഠിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ടാസ്ക്. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:

ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് വേണ്ടത് ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുലയാണ്:

പാരമ്പര്യമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം - ഇത് ഉത്തരം വളരെ ലളിതമാക്കും:

ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷൻ അരകിലോമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ഫോർമുല ആയിരിക്കണമെന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്ഷൻ എടുത്താൽ മതി എഫ്(x) = പാപം xവേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക x, പറയുക, ഓൺ x 2 + ln x. അത് പ്രവർത്തിക്കും എഫ്(x) = പാപം ( x 2 + ln x) - ഇതൊരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനമാണ്. ഇതിന് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവും ഉണ്ട്, എന്നാൽ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അത് കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല.

ഞാൻ എന്ത് ചെയ്യണം? അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി ഒരു വേരിയബിളും ഫോർമുലയും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് സഹായിക്കുന്നു:

എഫ് ’(x) = എഫ് ’(ടി) · ടി', എങ്കിൽ xമാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ടി(x).

ചട്ടം പോലെ, ഈ സൂത്രവാക്യം മനസ്സിലാക്കുന്ന സാഹചര്യം ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനേക്കാൾ സങ്കടകരമാണ്. അതിനാൽ, ഓരോ ഘട്ടത്തിന്റെയും വിശദമായ വിവരണത്തോടെ നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നതും നല്ലതാണ്.

ടാസ്ക്. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക: എഫ്(x) = ഇ 2x + 3 ; ജി(x) = പാപം ( x 2 + ln x)

ഫംഗ്ഷനിലാണെങ്കിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക എഫ്(x) പദപ്രയോഗത്തിന് പകരം 2 x+ 3 എളുപ്പമായിരിക്കും x, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനം ലഭിക്കും എഫ്(x) = ഇ x. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു പകരം വയ്ക്കുന്നു: അനുവദിക്കുക 2 x + 3 = ടി, എഫ്(x) = എഫ്(ടി) = ഇ ടി. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി തിരയുന്നു:

എഫ് ’(x) = എഫ് ’(ടി) · ടി ’ = (ഇ ടി)’ · ടി ’ = ഇ ടി · ടി ’

ഇപ്പോൾ - ശ്രദ്ധ! ഞങ്ങൾ വിപരീത മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ നടത്തുന്നു: ടി = 2x+ 3. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എഫ് ’(x) = ഇ ടി · ടി ’ = ഇ 2x+ 3 (2 x + 3)’ = ഇ 2x+ 3 2 = 2 ഇ 2x + 3

ഇനി നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ നോക്കാം ജി(x). വ്യക്തമായും, അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട് x 2 + ln x = ടി. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ജി ’(x) = ജി ’(ടി) · ടി’ = (പാപം ടി)’ · ടി’ = കോസ് ടി · ടി ’

വിപരീത മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ: ടി = x 2 + ln x. അപ്പോൾ:

ജി ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

അത്രയേയുള്ളൂ! അവസാന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, മുഴുവൻ പ്രശ്നവും ഡെറിവേറ്റീവ് തുക കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:
എഫ് ’(x) = 2 · ഇ 2x + 3 ;
ജി ’(x) = (2x + 1/x) കോസ് ( x 2 + ln x).

മിക്കപ്പോഴും എന്റെ പാഠങ്ങളിൽ, "ഡെറിവേറ്റീവ്" എന്ന പദത്തിന് പകരം ഞാൻ "പ്രൈം" എന്ന വാക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, തുകയുടെ സ്ട്രോക്ക് സ്ട്രോക്കുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. അത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാണോ? ശരി, അത് നല്ലതാണ്.

അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നത് മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത നിയമങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് ഇതേ സ്ട്രോക്കുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു. അവസാന ഉദാഹരണമായി, നമുക്ക് ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവ് പവറിലേക്ക് മടങ്ങാം:

(x എൻ)’ = എൻ · x എൻ − 1

റോളിൽ അത് കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് അറിയാം എൻഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായിരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, റൂട്ട് ആണ് x 0.5 റൂട്ടിന് കീഴിൽ എന്തെങ്കിലും ഫാൻസി ഉണ്ടെങ്കിൽ? വീണ്ടും, ഫലം ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനമായിരിക്കും - ടെസ്റ്റുകളിലും പരീക്ഷകളിലും അത്തരം നിർമ്മാണങ്ങൾ നൽകാൻ അവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.

ടാസ്ക്. ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:

ആദ്യം, നമുക്ക് ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് റൂട്ട് ഒരു ശക്തിയായി മാറ്റിയെഴുതാം:

എഫ്(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു പകരം വയ്ക്കുന്നു: അനുവദിക്കുക x 2 + 8x − 7 = ടി. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:

എഫ് ’(x) = എഫ് ’(ടി) · ടി ’ = (ടി 0.5)' · ടി= 0.5 · ടി−0.5 · ടി ’.

നമുക്ക് റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെന്റ് ചെയ്യാം: ടി = x 2 + 8x− 7. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

എഫ് ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) -0.5 · ( x 2 + 8x- 7)' = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ഒടുവിൽ, വേരുകളിലേക്ക് മടങ്ങുക:

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിന്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ഫോൺ നമ്പർ, ഇമെയിൽ വിലാസം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ, അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവന്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവന്റുകൾ എന്നിവയുമായി നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമങ്ങൾ, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷനിലെ സർക്കാർ സ്ഥാപനങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ശാരീരിക പ്രശ്‌നങ്ങളോ ഉദാഹരണങ്ങളോ പരിഹരിക്കുന്നത് ഡെറിവേറ്റീവിനെയും അത് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളെയും കുറിച്ചുള്ള അറിവില്ലാതെ പൂർണ്ണമായും അസാധ്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്. ഇന്നത്തെ ലേഖനം ഈ അടിസ്ഥാന വിഷയത്തിനായി സമർപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ തീരുമാനിച്ചു. എന്താണ് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ്, അതിന്റെ ഭൗതികവും ജ്യാമിതീയവുമായ അർത്ഥം എന്താണ്, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങളെല്ലാം ഒന്നായി സംയോജിപ്പിക്കാം: ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം?

ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ജ്യാമിതീയവും ഭൗതികവുമായ അർത്ഥം

ഒരു ചടങ്ങ് നടക്കട്ടെ f(x) , ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു (എ, ബി) . x, x0 എന്നീ പോയിന്റുകൾ ഈ ഇടവേളയിൽ പെടുന്നു. x മാറുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം തന്നെ മാറുന്നു. വാദം മാറ്റുന്നു - അതിന്റെ മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം x-x0 . ഈ വ്യത്യാസം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ഡെൽറ്റ x ഇതിനെ ആർഗ്യുമെന്റ് ഇൻക്രിമെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മാറ്റം അല്ലെങ്കിൽ വർദ്ധനവ് എന്നത് രണ്ട് പോയിന്റുകളിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവ്വചനം:

ഒരു പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ അനുപാതത്തിന്റെ പരിധിയാണ്, രണ്ടാമത്തേത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വർദ്ധനവ്.

അല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

അത്തരമൊരു പരിധി കണ്ടെത്തുന്നതിന്റെ പ്രയോജനം എന്താണ്? അത് എന്താണെന്ന് ഇതാ:

ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് OX അക്ഷത്തിനും ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റിനുമിടയിലുള്ള കോണിന്റെ ടാൻജെന്റിന് തുല്യമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം: സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പാതയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് റെക്റ്റിലീനിയർ ചലനത്തിന്റെ വേഗതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, സ്കൂൾ കാലം മുതൽ, വേഗത ഒരു പ്രത്യേക പാതയാണെന്ന് എല്ലാവർക്കും അറിയാം x=f(t) സമയവും ടി . ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ ശരാശരി വേഗത:

ഒരു നിമിഷത്തിൽ ചലനത്തിന്റെ വേഗത കണ്ടെത്താൻ t0 നിങ്ങൾ പരിധി കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്:

റൂൾ ഒന്ന്: ഒരു സ്ഥിരാങ്കം സജ്ജമാക്കുക

സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം. മാത്രമല്ല, ഇത് ചെയ്യണം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അത് ഒരു നിയമമായി എടുക്കുക - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അത് ലളിതമാക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക .

ഉദാഹരണം. നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാം:

റൂൾ രണ്ട്: ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും ഇത് ശരിയാണ്.

ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഒരു തെളിവ് നൽകില്ല, പകരം ഒരു പ്രായോഗിക ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:

റൂൾ മൂന്ന്: ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം: ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം:

ഇവിടെ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും തുല്യമാണ്.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം കാണാം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റ് അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് 8x ആണ്. അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ബാഹ്യ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നു, തുടർന്ന് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

റൂൾ നാല്: രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല:

ഞങ്ങൾ ആദ്യം മുതൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകളെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. ഈ വിഷയം തോന്നുന്നത്ര ലളിതമല്ല, അതിനാൽ മുന്നറിയിപ്പ് നൽകുക: ഉദാഹരണങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും അപകടങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഇതിനെക്കുറിച്ചും മറ്റ് വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ചും എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വിദ്യാർത്ഥി സേവനവുമായി ബന്ധപ്പെടാം. ചുരുങ്ങിയ സമയത്തിനുള്ളിൽ, നിങ്ങൾ മുമ്പ് ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിലും, ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ടെസ്റ്റ് പരിഹരിക്കാനും ടാസ്ക്കുകൾ മനസ്സിലാക്കാനും ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ u ഒരു പോയിന്റിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ നിർവചിക്കപ്പെടട്ടെ, പോയിന്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ അവരുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് പോയിന്റിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, അത് ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
(1) .

തെളിവ്

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കാം:
;
.
ഇവിടെയും വേരിയബിളുകളുടെയും ഫംഗ്‌ഷനുകളും. എന്നാൽ നൊട്ടേഷന്റെ എളുപ്പത്തിനായി, അവരുടെ വാദങ്ങളുടെ പദവികൾ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കും.

അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ അത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നു
;
.
വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, ഫംഗ്‌ഷനുകളും പോയിന്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഉണ്ട്, അവ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധികളാണ്:
;
.
ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അസ്തിത്വത്തിൽ നിന്ന് ഫംഗ്ഷനുകളും ബിന്ദുവിൽ തുടർച്ചയായും തുടരുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ്
;
.

ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നമായ x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ y ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കുക:
.
ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവ് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

.
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:

.

അതിനാൽ,
.
ഭരണം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഒരു വേരിയബിളിന് പകരം, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റേതെങ്കിലും വേരിയബിളും ഉപയോഗിക്കാം. അതിനെ x ആയി സൂചിപ്പിക്കാം. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
.
അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ചെറിയ പതിപ്പിൽ
(1) .