യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകൾ: വിവരണവും അവ എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? സംഖ്യകൾ യുക്തിരഹിതമല്ല
യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യ- ഈ യഥാർത്ഥ സംഖ്യ, യുക്തിസഹമല്ലാത്തത്, അതായത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്, . ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയെ അനന്തമായ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം സാധാരണയായി ഷേഡിംഗ് ഇല്ലാതെ ബോൾഡ് ശൈലിയിൽ ഒരു വലിയ ലാറ്റിൻ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ: , അതായത്. ധാരാളം അവിവേക സംഖ്യകളുണ്ട് യഥാർത്ഥവും യുക്തിസഹവുമായ സംഖ്യകളുടെ ഗണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച്, കൂടുതൽ കൃത്യമായി യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെന്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സെഗ്‌മെന്റുകൾ പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഇതിനകം അറിയാമായിരുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, ഡയഗണലിന്റെയും ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെയും പൊരുത്തക്കേട് അവർക്ക് അറിയാമായിരുന്നു, ഇത് സംഖ്യയുടെ യുക്തിരാഹിത്യത്തിന് തുല്യമാണ്.
പ്രോപ്പർട്ടികൾ
- ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും അനന്തമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാം, അതേസമയം അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളും അവ മാത്രമേ ആനുകാലികമല്ലാത്ത അനന്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളായി എഴുതുകയുള്ളൂ.
- താഴ്ന്ന ക്ലാസിൽ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ ഇല്ലാത്തതും ഉയർന്ന ക്ലാസിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ ഇല്ലാത്തതുമായ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ Dedekind കട്ട്സ് നിർവചിക്കുന്നു.
- ഓരോ യഥാർത്ഥ അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതമാണ്.
- ഓരോ അവിഭാജ്യ സംഖ്യയും ബീജഗണിതമോ അതീന്ദ്രിയമോ ആണ്.
- അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണം സംഖ്യാരേഖയിൽ എല്ലായിടത്തും സാന്ദ്രമാണ്: ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുണ്ട്.
- അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലെ ക്രമം യഥാർത്ഥ അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലെ ക്രമത്തിന് ഐസോമോഫിക് ആണ്.
- അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതും രണ്ടാമത്തെ വിഭാഗത്തിന്റെ ഗണവുമാണ്.
ഉദാഹരണങ്ങൾ
| യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
യുക്തിരഹിതമാണ്:
യുക്തിരാഹിത്യത്തിന്റെ തെളിവുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ
2-ന്റെ റൂട്ട്
നമുക്ക് വിപരീതമായി അനുമാനിക്കാം: ഇത് യുക്തിസഹമാണ്, അതായത്, ഇത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ആയ ഒരു അംശമായ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അനുമാനിക്കപ്പെട്ട സമത്വം വർഗ്ഗീകരിക്കാം:
.ഇത് സമമാണ് എന്നും . മുഴുവനും ഉള്ളിടത്ത് ഇരിക്കട്ടെ. പിന്നെ
അതിനാൽ, even എന്നർത്ഥം even and . ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അപ്രസക്തതയ്ക്ക് വിരുദ്ധമായതും തുല്യവുമാണ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയത്. ഇതിനർത്ഥം യഥാർത്ഥ അനുമാനം തെറ്റായിരുന്നു, ഇത് ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയാണ്.
സംഖ്യ 3 ന്റെ ബൈനറി ലോഗരിതം
നമുക്ക് വിപരീതമായി അനുമാനിക്കാം: ഇത് യുക്തിസഹമാണ്, അതായത്, അത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, എവിടെയാണ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ. മുതൽ, പോസിറ്റീവ് ആയി തിരഞ്ഞെടുക്കാം. പിന്നെ
എന്നാൽ ഇരട്ടയും വിചിത്രവും. നമുക്ക് ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ലഭിക്കുന്നു.
ഇ
കഥ
ബിസി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മാനവ (സി. 750 ബിസി - സി. 690 ബിസി) 2, 61 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ, അവിവേക സംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പരോക്ഷമായി സ്വീകരിച്ചു. .
അയുക്തിക സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ആദ്യ തെളിവ് സാധാരണയായി പെന്റഗ്രാമിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം പഠിച്ച് ഈ തെളിവ് കണ്ടെത്തിയ പൈതഗോറിയൻ മെറ്റാപോണ്ടസിന്റെ ഹിപ്പാസസ് (സി. 500 ബി.സി.) ആണ്. പൈതഗോറിയൻമാരുടെ കാലത്ത്, ആവശ്യത്തിന് ചെറുതും അവിഭാജ്യവുമായ ഒരു യൂണിറ്റ് നീളം ഉണ്ടെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെട്ടു, അത് ഏത് വിഭാഗത്തിലും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ പ്രവേശിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, അതിന്റെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ അനുമാനം ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നതിനാൽ, നീളത്തിന്റെ ഒരൊറ്റ യൂണിറ്റ് ഇല്ലെന്ന് ഹിപ്പാസസ് വാദിച്ചു. ഒരു ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൽ യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യ ഇരട്ടയും ഒറ്റയും ആയിരിക്കണം എന്ന് അദ്ദേഹം കാണിച്ചു. തെളിവ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെട്ടു:
- ഒരു ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാലിന്റെ നീളവും ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം ഇങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം എ:ബി, എവിടെ എഒപ്പം ബിസാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയതായി തിരഞ്ഞെടുത്തു.
- പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്: എ² = 2 ബി².
- കാരണം എ- പോലും, എഇരട്ടിയായിരിക്കണം (ഒറ്റ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഒറ്റയായിരിക്കുമെന്നതിനാൽ).
- എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് എ:ബിഅപ്രസക്തമായ ബിവിചിത്രമായിരിക്കണം.
- കാരണം എപോലും, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എ = 2വൈ.
- പിന്നെ എ² = 4 വൈ² = 2 ബി².
- ബി² = 2 വൈ², അതിനാൽ ബി- എന്നിട്ടും ബിപോലും.
- എന്നിരുന്നാലും, അത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് ബിവിചിത്രമായ വൈരുദ്ധ്യം.
ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ അനുപാതത്തെ കണക്കാക്കാനാവാത്ത അളവുകൾ എന്ന് വിളിച്ചു ലോഗോകൾ(പറയാൻ പറ്റാത്തത്), എന്നാൽ ഐതിഹ്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് അവർ ഹിപ്പാസസിന് അർഹമായ ബഹുമാനം നൽകിയില്ല. "പ്രപഞ്ചത്തിലെ എല്ലാ അസ്തിത്വങ്ങളെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്കും അവയുടെ അനുപാതങ്ങളിലേക്കും ചുരുക്കാമെന്ന സിദ്ധാന്തത്തെ നിഷേധിക്കുന്ന പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഒരു മൂലകം സൃഷ്ടിച്ചതിന്" ഹിപ്പാസസ് ഒരു കടൽ യാത്രയിലാണെന്നും മറ്റ് പൈതഗോറിയൻമാർ കടലിലേക്ക് വലിച്ചെറിയപ്പെട്ടുവെന്നും ഒരു ഐതിഹ്യമുണ്ട്. ഹിപ്പാസസിന്റെ കണ്ടെത്തൽ പൈതഗോറിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഗുരുതരമായ പ്രശ്‌നമുണ്ടാക്കി, അക്കങ്ങളും ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളും ഒന്നാണെന്നും വേർതിരിക്കാനാവാത്തതാണെന്നും ഉള്ള അടിസ്ഥാന അനുമാനത്തെ തകർത്തു.
യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ സാധാരണയായി ഒരു വലിയ അക്ഷരം കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഞാൻ (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mathbb (I) )തണലില്ലാതെ ബോൾഡ് ശൈലിയിൽ. അങ്ങനെ: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), അതായത്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണം യഥാർത്ഥവും യുക്തിസഹവുമായ സംഖ്യകളുടെ ഗണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വം, കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെന്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സെഗ്‌മെന്റുകൾ, പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഇതിനകം അറിയാമായിരുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഡയഗണലിന്റെയും വശത്തിന്റെയും അസമത്വം അവർക്ക് അറിയാമായിരുന്നു, ഇത് യുക്തിരാഹിത്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അക്കം.
എൻസൈക്ലോപീഡിക് YouTube
-
1 / 5
യുക്തിരഹിതമാണ്:
യുക്തിരാഹിത്യത്തിന്റെ തെളിവുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ
2-ന്റെ റൂട്ട്
നമുക്ക് വിപരീതമായി അനുമാനിക്കാം: 2 (\പ്രദർശനശൈലി (\sqrt (2)))യുക്തിസഹമായ, അതായത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു m n (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (m)(n))), എവിടെ m (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ m)ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ n (\displaystyle n)- സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.
നമുക്ക് അനുമാനിക്കപ്പെട്ട സമത്വം വർഗ്ഗീകരിക്കാം:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Righttarrow m^(2)=2n^(2)).കഥ
പൗരാണികത
ബിസി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മാനവ (സി. 750 ബിസി - സി. 690 ബിസി) 2, 61 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ, അവിവേക സംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പരോക്ഷമായി സ്വീകരിച്ചു. [ ] .
അയുക്തിക സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ആദ്യ തെളിവ് സാധാരണയായി പൈതഗോറിയനായ മെറ്റാപോണ്ടസിന്റെ ഹിപ്പാസസാണ് (ബി.സി. 500). പൈതഗോറിയൻമാരുടെ കാലത്ത്, ആവശ്യത്തിന് ചെറുതും അവിഭാജ്യവുമായ ഒരു യൂണിറ്റ് നീളം ഉണ്ടെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെട്ടിരുന്നു, അതിൽ ഏതെങ്കിലും സെഗ്മെന്റിലെ തവണകളുടെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉൾപ്പെടുന്നു. ] .
ഏത് സംഖ്യയാണ് ഹിപ്പാസസ് യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതെന്ന് കൃത്യമായ വിവരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഐതിഹ്യമനുസരിച്ച്, പെന്റഗ്രാമിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം പഠിച്ചാണ് അദ്ദേഹം അത് കണ്ടെത്തിയത്. അതിനാൽ, ഇത് സുവർണ്ണ അനുപാതമാണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നത് ന്യായമാണ് [ ] .
ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ അനുപാതത്തെ കണക്കാക്കാനാവാത്ത അളവുകൾ എന്ന് വിളിച്ചു ലോഗോകൾ(പറയാൻ പറ്റാത്തത്), എന്നാൽ ഐതിഹ്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് അവർ ഹിപ്പാസസിന് അർഹമായ ബഹുമാനം നൽകിയില്ല. "പ്രപഞ്ചത്തിലെ എല്ലാ അസ്തിത്വങ്ങളെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്കും അവയുടെ അനുപാതങ്ങളിലേക്കും ചുരുക്കാമെന്ന സിദ്ധാന്തത്തെ നിഷേധിക്കുന്ന പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഒരു മൂലകം സൃഷ്ടിച്ചതിന്" ഹിപ്പാസസ് ഒരു കടൽ യാത്രയിലാണെന്നും മറ്റ് പൈതഗോറിയൻമാർ കടലിലേക്ക് വലിച്ചെറിയപ്പെട്ടുവെന്നും ഒരു ഐതിഹ്യമുണ്ട്. ഹിപ്പാസസിന്റെ കണ്ടെത്തൽ പൈതഗോറിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഗുരുതരമായ പ്രശ്‌നമുണ്ടാക്കി, അക്കങ്ങളും ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളും ഒന്നാണെന്നും വേർതിരിക്കാനാവാത്തതാണെന്നും ഉള്ള അടിസ്ഥാന അനുമാനത്തെ തകർത്തു.
"കാരണം" എന്നർത്ഥം വരുന്ന "അനുപാതം" എന്ന ലാറ്റിൻ പദത്തിൽ നിന്നാണ് അവർ അവരുടെ വേരുകൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. അക്ഷരീയ വിവർത്തനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി:
- ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ "ന്യായമായ സംഖ്യ" ആണ്.
- ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ, അതനുസരിച്ച്, "യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യ" ആണ്.
ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെ പൊതുവായ ആശയം
ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യ എന്നത് ഇങ്ങനെ എഴുതാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്:
- ഒരു സാധാരണ പോസിറ്റീവ് അംശം.
- നെഗറ്റീവ് കോമൺ ഫ്രാക്ഷൻ.
- പൂജ്യം (0) എന്ന സംഖ്യയായി.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനങ്ങൾ ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയ്ക്ക് ബാധകമാണ്:
- ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും അന്തർലീനമായി യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെയും ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.
- ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയും, പൂജ്യം ഉൾപ്പെടെ, ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒന്നുകിൽ പോസിറ്റീവ് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായോ നെഗറ്റീവ് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായോ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയായോ എഴുതാം.
- ഏതൊരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയും, അത് പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ എന്നത് പ്രശ്നമല്ല, ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയുടെ നിർവചനത്തെ നേരിട്ട് സമീപിക്കുന്നു.
- നിർവചനത്തിൽ ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യ, ഒരു പരിമിത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യ എന്നിവയും ഉൾപ്പെടാം.
യുക്തിസഹ സംഖ്യ ഉദാഹരണങ്ങൾ
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:
- സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ - "4", "202", "200".
- പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ - “-36”, “0”, “42”.
- സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ.
മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് വളരെ വ്യക്തമാണ് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും ആകാം. സ്വാഭാവികമായും, സംഖ്യ 0 (പൂജ്യം), അത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയാണ്, അതേ സമയം പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നില്ല.
അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ പരിപാടിയെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: "റേഷണൽ സംഖ്യകൾ" എന്നത് x/y എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാവുന്ന സംഖ്യകളാണ്, ഇവിടെ x (സംഖ്യ) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും y (ഡിനോമിനേറ്റർ) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.
ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ പൊതുവായ ആശയവും നിർവചനവും
"യുക്തിപരമായ സംഖ്യകൾ" കൂടാതെ "അയുക്തിരഹിത സംഖ്യകൾ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതും നമുക്കറിയാം. ഈ സംഖ്യകൾ നിർവചിക്കാൻ നമുക്ക് ഹ്രസ്വമായി ശ്രമിക്കാം.
പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പോലും, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഡയഗണൽ അതിന്റെ വശങ്ങളിൽ കണക്കാക്കാൻ ആഗ്രഹിച്ചു, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് പഠിച്ചു.
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലോജിക്കൽ ശൃംഖല നിർമ്മിക്കാനും ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ നിർവചനം നൽകാനും കഴിയും.
അതിനാൽ, സാരാംശത്തിൽ, യുക്തിസഹമല്ലാത്ത യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളാണ്.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ആനുകാലികവും അനന്തവുമല്ല.
ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ
വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം നോക്കാം. ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയതുപോലെ, അനന്തമായ ദശാംശ നോൺ-ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:
- നമ്പർ “-5.020020002... (രണ്ടുകളെ ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, എന്നിങ്ങനെ പൂജ്യങ്ങളുടെ ക്രമം കൊണ്ട് വേർതിരിക്കുന്നത് വ്യക്തമായി കാണാം)
- നമ്പർ “7.040044000444... (ഇവിടെ വ്യക്തമാണ് നാലിന്റെയും പൂജ്യങ്ങളുടെയും എണ്ണം ഒരു ചെയിനിൽ ഓരോ തവണയും വർദ്ധിക്കുന്നു).
- പൈ (3.1415...) എന്ന സംഖ്യ എല്ലാവർക്കും അറിയാം. അതെ, അതെ - അതും യുക്തിരഹിതമാണ്.
പൊതുവേ, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയെ ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയായി x/y പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല.
പൊതുവായ നിഗമനവും അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഹ്രസ്വമായ താരതമ്യവും
ഞങ്ങൾ ഓരോ സംഖ്യയും വെവ്വേറെ നോക്കി, പക്ഷേ ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയും അവിഭാജ്യ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അവശേഷിക്കുന്നു:
- സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു വൃത്തത്തെ അതിന്റെ വ്യാസം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, മുതലായവ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ സംഭവിക്കുന്നു.
- ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
കുറച്ച് നിർവചനങ്ങൾ നൽകി നമ്മുടെ ലേഖനം അവസാനിപ്പിക്കാം:
- 0 (പൂജ്യം) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അല്ലാതെ ഒരു റേഷ്യൽ സംഖ്യയിൽ നടത്തുന്ന ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനം ആത്യന്തികമായി ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയിലേക്ക് നയിക്കും.
- അന്തിമഫലം, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയിൽ ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ, ഒരു യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ മൂല്യത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.
- രണ്ട് സംഖ്യകളും ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിൽ പങ്കെടുത്താൽ (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് ഒഴികെ), അപ്പോൾ ഫലം ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയായിരിക്കും.
ഉദാഹരണം:
\(4\) എന്നത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയാണ്, കാരണം ഇത് \(\frac(4)(1)\) എന്ന് എഴുതാം ;
\(0.0157304\) യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം അത് \(\frac(157304)(10000000)\) എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം ;
\(0.333(3)...\) - ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയാണ്: \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം അതിനെ \(\frac(1)(2)\) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. തീർച്ചയായും, നമുക്ക് പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ശൃംഖല നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഡിനോമിനേറ്ററും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാൻ കഴിയാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണ്.
അത് അസാധ്യമാണ് കാരണം അത് അനന്തമായഭിന്നസംഖ്യകൾ, കൂടാതെ ആനുകാലികമല്ലാത്തവ പോലും. അതിനാൽ, പരസ്പരം വിഭജിക്കുമ്പോൾ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ നൽകുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളൊന്നുമില്ല.
ഉദാഹരണം:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്;
\(π≈3.1415926... \) ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്;
\(\log_(2)(5)≈2.321928...\) എന്നത് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്.ഉദാഹരണം (OGE-ൽ നിന്നുള്ള അസൈൻമെന്റ്). ഏത് പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥമാണ് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\(\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).പരിഹാരം:
1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – \(14\) എന്നതിന്റെ റൂട്ട് എടുക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത് ഒരു സംഖ്യയെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, അതിനാൽ സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണ്.
2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – വേരുകളൊന്നും അവശേഷിക്കുന്നില്ല, സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എളുപ്പത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന് \(\frac(-5)(1)\), അത് യുക്തിസഹമാണ്.
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല - സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണ്.
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) യുക്തിരഹിതവുമാണ്.
ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ നിർവ്വചനം
ദശാംശ നൊട്ടേഷനിൽ അനന്തമായ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ.
ഉദാഹരണത്തിന്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലമെടുത്താൽ ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ യുക്തിരഹിതമാണ്, അവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളല്ല. എന്നാൽ എല്ലാ അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളും വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ എടുക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്നതല്ല, കാരണം വിഭജനം വഴി ലഭിക്കുന്ന പൈ എന്ന സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതമാണ്, കൂടാതെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കാൻ സാധ്യതയില്ല.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
അനന്ത ദശാംശങ്ങളായി എഴുതിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, അകാരണ സംഖ്യകൾ മാത്രമേ ആനുകാലികമല്ലാത്ത അനന്ത ദശാംശങ്ങളായി എഴുതിയിട്ടുള്ളൂ.
രണ്ട് നോൺ-നെഗറ്റീവ് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയായി അവസാനിക്കും.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ Dedekind കട്ടുകളെ നിർവചിക്കുന്നു, അതിൽ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയില്ല, ഉയർന്ന ക്ലാസിൽ ചെറിയ സംഖ്യയില്ല.
ഏതൊരു യഥാർത്ഥ അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതമാണ്.
എല്ലാ അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളും ബീജഗണിതമോ അതീന്ദ്രിയമോ ആണ്.
ഒരു വരിയിലെ അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം സാന്ദ്രമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാണ്.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം അനന്തവും എണ്ണാൻ കഴിയാത്തതും രണ്ടാമത്തെ വിഭാഗത്തിന്റെ ഒരു ഗണവുമാണ്.
0 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ഒഴികെ, യുക്തിസഹ സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഗണിത പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ, ഫലം ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയായിരിക്കും.
ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയിലേക്ക് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ ചേർക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയിൽ അവസാനിക്കാം.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം തുല്യമല്ല.സംഖ്യകൾ യുക്തിരഹിതമല്ല
ചിലപ്പോൾ ഒരു സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണോ എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും സംഖ്യ ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലോ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം, റൂട്ട് അല്ലെങ്കിൽ ലോഗരിതം എന്നിവയുടെ രൂപത്തിലാണെങ്കിൽ.
അതിനാൽ, ഏത് സംഖ്യകൾ യുക്തിരഹിതമല്ലെന്ന് അറിയുന്നത് അമിതമായിരിക്കില്ല. നാം അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ അവിവേകമല്ലെന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം തന്നെ അറിയാം.
യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ ഇവയല്ല:
ആദ്യം, എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും;
രണ്ടാമതായി, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ;
മൂന്നാമത്, സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ;
നാലാമതായി, വിവിധ മിശ്രിത സംഖ്യകൾ;
അഞ്ചാമതായി, ഇവ അനന്തമായ ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്.മേൽപ്പറഞ്ഞവയ്‌ക്ക് പുറമേ, +, -, , : പോലുള്ള ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളാൽ നിർവ്വഹിക്കുന്ന യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ സംയോജനമാകാൻ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ കഴിയില്ല, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ രണ്ട് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഫലവും ഇതായിരിക്കും. ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ.
ഇനി ഏതൊക്കെ സംഖ്യകൾ യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് നോക്കാം:
ഈ നിഗൂഢമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതിഭാസത്തിന്റെ ആരാധകർ പൈയെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുകയും അതിന്റെ രഹസ്യം അനാവരണം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു ഫാൻ ക്ലബ്ബിന്റെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം പൈ സംഖ്യകൾ ഹൃദയപൂർവ്വം അറിയുന്ന ഏതൊരു വ്യക്തിക്കും ഈ ക്ലബ്ബിൽ അംഗമാകാം;
ജർമ്മനിയിൽ, യുനെസ്കോയുടെ സംരക്ഷണത്തിൽ, കാസ്റ്റഡൽ മോണ്ടെ കൊട്ടാരം ഉണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ, അതിന്റെ അനുപാതത്തിന് നിങ്ങൾക്ക് പൈ കണക്കാക്കാം. ഫ്രെഡറിക് രണ്ടാമൻ രാജാവ് കൊട്ടാരം മുഴുവൻ ഈ നമ്പറിനായി സമർപ്പിച്ചു.
ബാബേൽ ഗോപുരത്തിന്റെ നിർമ്മാണത്തിൽ അവർ പൈ എന്ന നമ്പർ ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിച്ചുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. എന്നാൽ നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഇത് പദ്ധതിയുടെ തകർച്ചയിലേക്ക് നയിച്ചു, കാരണം ആ സമയത്ത് പൈയുടെ മൂല്യത്തിന്റെ കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടൽ വേണ്ടത്ര പഠിച്ചിരുന്നില്ല.
ഗായിക കേറ്റ് ബുഷ് തന്റെ പുതിയ ഡിസ്കിൽ "പൈ" എന്ന ഒരു ഗാനം റെക്കോർഡുചെയ്‌തു, അതിൽ പ്രസിദ്ധമായ സംഖ്യാ പരമ്പരയായ 3, 141... ൽ നിന്നുള്ള നൂറ്റി ഇരുപത്തിനാല് അക്കങ്ങൾ കേട്ടു.
