രണ്ട് വശങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ത്രികോണ ഫോർമുലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം. എല്ലാ രീതികളിലും, ഏറ്റവും എളുപ്പവും പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നതും ഉയരത്തെ അടിത്തറയുടെ നീളം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും തുടർന്ന് ഫലം രണ്ടായി ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ രീതി ഒരേയൊരുതിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്. വ്യത്യസ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചുവടെ വായിക്കാം.

പ്രത്യേക തരം ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാനുള്ള വഴികൾ ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം നോക്കും - ചതുരാകൃതി, ഐസോസിലുകൾ, സമഭുജം. ഓരോ ഫോർമുലയുടെയും സാരാംശം മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന ഒരു ചെറിയ വിശദീകരണത്തോടെ ഞങ്ങൾ അനുഗമിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സാർവത്രിക രീതികൾ

ചുവടെയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യേക നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അവ ഓരോന്നും ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും:

• a, b, c - നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെ നീളം;
• r എന്നത് നമ്മുടെ ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്;
• R എന്നത് അതിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റി വിവരിക്കാവുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്;
• α എന്നത് b, c എന്നീ വശങ്ങളാൽ രൂപപ്പെടുന്ന കോണിന്റെ വ്യാപ്തിയാണ്;
• a യും c യും തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ വ്യാപ്തിയാണ് β;
• γ എന്നത് a, b എന്നീ വശങ്ങളാൽ രൂപപ്പെടുന്ന കോണിന്റെ വ്യാപ്തിയാണ്;
• h എന്നത് നമ്മുടെ ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരമാണ്, α കോണിൽ നിന്ന് a വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു;
• p - a, b, c എന്നീ വശങ്ങളുടെ പകുതി തുക.

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ രീതിയിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്നതെന്ന് യുക്തിപരമായി വ്യക്തമാണ്. ത്രികോണം എളുപ്പത്തിൽ ഒരു സമാന്തരരേഖയായി പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയും, അതിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശം ഒരു ഡയഗണലായി പ്രവർത്തിക്കും. ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം അതിലേക്ക് വരച്ച ഉയരത്തിന്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. ഡയഗണൽ ഈ സോപാധിക സമാന്തരരേഖയെ 2 സമാന ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ഓക്സിലറി പാരലലോഗ്രാമിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം എന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ്.

S=½ a b sin γ

ഈ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളം, അതായത്, എ, ബി എന്നിവയാൽ രൂപപ്പെടുന്ന കോണിന്റെ സൈനാൽ ഗുണിച്ചാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. ഈ ഫോർമുല യുക്തിപരമായി മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. നമ്മൾ ഉയരം β കോണിൽ നിന്ന് b വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, a യുടെ നീളം γ കോണിന്റെ സൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം ലഭിക്കും, അതായത്, h .

പ്രസ്തുത ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം വൃത്തത്തിന്റെ പകുതി ദൂരത്തെ അതിന്റെ ചുറ്റളവിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്നതിന്റെ പകുതി ഗുണിച്ചാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സൂചിപ്പിച്ച വൃത്തത്തിന്റെ അർദ്ധപരിധിയുടെയും ആരത്തിന്റെയും ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

S= a b c/4R

ഈ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, ചിത്രത്തിന്റെ വശങ്ങളിലെ ഉൽപ്പന്നത്തെ ചുറ്റുമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ 4 ആരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ആവശ്യമായ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാർവത്രികമാണ്, കാരണം അവ ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (സ്കെയിൽ, ഐസോസിലിസ്, ഇക്വിലേറ്ററൽ, ചതുരാകൃതി) നിർണ്ണയിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും, അത് ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കില്ല.

പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഈ രൂപത്തിന്റെ പ്രത്യേകത അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേസമയം അതിന്റെ ഉയരങ്ങളാണെന്നതാണ്. a, b എന്നിവ കാലുകൾ ആണെങ്കിൽ, c ഹൈപ്പോടെനസ് ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഇതിന് രണ്ട് വശങ്ങൾ നീളമുണ്ട്, ഒരു വശം ബി നീളമുണ്ട്. തൽഫലമായി, കോണിന്റെ സൈനിലൂടെ a വശത്തിന്റെ ചതുരത്തിന്റെ ഗുണനത്തെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? അതിൽ, എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളം a ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ എല്ലാ കോണുകളുടെയും വ്യാപ്തി α ആണ്. അതിന്റെ ഉയരം വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ പകുതിയും 3 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലവും തുല്യമാണ്. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ a വശത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തെ 3 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലത്താൽ ഗുണിച്ച് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. 4.

ജീവിതത്തിൽ ചിലപ്പോൾ വളരെക്കാലമായി മറന്നുപോയ സ്കൂൾ അറിവുകൾക്കായി നിങ്ങളുടെ മെമ്മറിയിലേക്ക് ആഴ്ന്നിറങ്ങേണ്ട സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള ഭൂമിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അപ്പാർട്ട്മെന്റിലോ സ്വകാര്യ വീട്ടിലോ മറ്റൊരു നവീകരണത്തിനുള്ള സമയം വന്നിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു ഉപരിതലത്തിന് എത്ര മെറ്റീരിയൽ ആവശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ത്രികോണാകൃതി. രണ്ട് മിനിറ്റിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു കാലമുണ്ടായിരുന്നു, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് ഓർക്കാൻ തീവ്രമായി ശ്രമിക്കുകയാണോ?

അതിനെക്കുറിച്ച് വിഷമിക്കേണ്ട! എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഒരു വ്യക്തിയുടെ മസ്തിഷ്കം വളരെക്കാലമായി ഉപയോഗിക്കാത്ത അറിവ് എവിടെയെങ്കിലും ഒരു വിദൂര കോണിലേക്ക് മാറ്റാൻ തീരുമാനിക്കുമ്പോൾ അത് തികച്ചും സാധാരണമാണ്, അതിൽ നിന്ന് അത് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ അത്ര എളുപ്പമല്ല. അത്തരമൊരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ മറന്നുപോയ സ്കൂൾ അറിവുകൾക്കായി തിരയുന്നതിൽ നിങ്ങൾ ബുദ്ധിമുട്ടേണ്ടതില്ല, ഈ ലേഖനത്തിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആവശ്യമായ പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്ന വിവിധ രീതികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണം ഒരു തരം ബഹുഭുജമാണെന്ന് എല്ലാവർക്കും അറിയാം, അത് സാധ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ വശങ്ങളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. തത്വത്തിൽ, ഏതൊരു ബഹുഭുജത്തെയും അതിന്റെ വശങ്ങൾ വിഭജിക്കാത്ത ഭാഗങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ച് പല ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കാം. അതിനാൽ, ത്രികോണം അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഏതാണ്ട് ഏത് രൂപത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാം.

ജീവിതത്തിൽ സംഭവിക്കാവുന്ന എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളിലും, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രത്യേക തരങ്ങൾ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും: കൂടാതെ ദീർഘചതുരം.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പ മാർഗം അതിന്റെ കോണുകളിൽ ഒന്ന് ശരിയായിരിക്കുമ്പോഴാണ്, അതായത് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ. ഇത് പകുതി ദീർഘചതുരമാണെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പരസ്പരം വലത് കോണായി രൂപപ്പെടുന്ന വശങ്ങളുടെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം, അതിന്റെ ലംബങ്ങളിൽ ഒന്നിൽ നിന്ന് എതിർവശത്തേക്ക് താഴ്ത്തുകയും, ഈ വശത്തിന്റെ നീളം, ബേസ് എന്ന് വിളിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, വിസ്തീർണ്ണം ഉയരത്തിന്റെയും അടിത്തറയുടെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നമായി കണക്കാക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്:

S = 1/2*b*h, അതിൽ

S എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ ആവശ്യമായ പ്രദേശമാണ്;

b, h - യഥാക്രമം, ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരവും അടിത്തറയും.

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, കാരണം ഉയരം എതിർവശത്തെ വിഭജിക്കുകയും എളുപ്പത്തിൽ അളക്കുകയും ചെയ്യും. വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വലത് കോണായി രൂപപ്പെടുന്ന വശങ്ങളിലൊന്നിന്റെ നീളം ഉയരമായി എടുക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഇതെല്ലാം തീർച്ചയായും നല്ലതാണ്, എന്നാൽ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളിൽ ഒന്ന് ശരിയാണോ അല്ലയോ എന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും? ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിന്റെ വലുപ്പം ചെറുതാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു നിർമ്മാണ ആംഗിൾ, ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ത്രികോണം, ഒരു പോസ്റ്റ്കാർഡ് അല്ലെങ്കിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മറ്റൊരു വസ്തു എന്നിവ ഉപയോഗിക്കാം.

എന്നാൽ നമുക്ക് ഒരു ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള ഭൂമി ഉണ്ടെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക: അനുമാനിക്കപ്പെടുന്ന വലത് കോണിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് ഒരു വശത്ത് 3 ന്റെ ഗുണിത ദൂരം (30 cm, 90 cm, 3 m) കണക്കാക്കുക, മറുവശത്ത് 4 ന്റെ ഗുണിത ദൂരം അളക്കുക. അനുപാതം (40 സെ.മീ, 160 സെ.മീ, 4 മീ). ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഈ രണ്ട് സെഗ്‌മെന്റുകളുടെയും അവസാന പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം അളക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഫലം 5 (50 സെന്റീമീറ്റർ, 250 സെന്റീമീറ്റർ, 5 മീറ്റർ) ഗുണിതമാണെങ്കിൽ, ആംഗിൾ ശരിയാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

നമ്മുടെ ചിത്രത്തിന്റെ ഓരോ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെയും നീളം അറിയാമെങ്കിൽ, ഹെറോണിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഇതിന് ലളിതമായ ഒരു രൂപം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു പുതിയ മൂല്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിനെ അർദ്ധപരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് നമ്മുടെ ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയാണ്, പകുതിയായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. സെമി-പരിധി കണക്കാക്കിയ ശേഷം, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പ്രദേശം നിർണ്ണയിക്കാൻ തുടങ്ങാം:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), എവിടെ

sqrt - സ്ക്വയർ റൂട്ട്;

p - സെമി-പരിധി മൂല്യം (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - ത്രികോണത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ (വശങ്ങൾ).

എന്നാൽ ത്രികോണത്തിന് ക്രമരഹിതമായ ആകൃതി ഉണ്ടെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? ഇവിടെ സാധ്യമായ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്. അവയിൽ ആദ്യത്തേത്, അത്തരമൊരു രൂപത്തെ രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയാണ്, അതിന്റെ മേഖലകളുടെ ആകെത്തുക വെവ്വേറെ കണക്കാക്കുകയും പിന്നീട് കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ, രണ്ട് വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണും ഈ വശങ്ങളുടെ വലുപ്പവും അറിയാമെങ്കിൽ, ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക:

S = 0.5 * ab * sinC, എവിടെ

a,b - ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ;

c എന്നത് ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ വലുപ്പമാണ്.

പിന്നീടുള്ള കേസ് പ്രായോഗികമായി അപൂർവമാണ്, എന്നിരുന്നാലും, ജീവിതത്തിൽ എല്ലാം സാധ്യമാണ്, അതിനാൽ മുകളിലുള്ള ഫോർമുല അമിതമായിരിക്കില്ല. നിങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ആശംസകൾ!

ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ:

S = ½ * a * h,

എവിടെ:
എസ് - ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം,
a എന്നത് അതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളമാണ്,
h ആണ് ഈ വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയ ഉയരം.

സൈഡ് നീളവും ഉയരവും ഒരേ അളവിലുള്ള യൂണിറ്റുകളിൽ അവതരിപ്പിക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അനുബന്ധ "" യൂണിറ്റുകളിൽ ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം.
20 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത്, എതിർ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് 10 സെന്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ലംബമായി താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു.
ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും അറിയാമെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

S = ½ * a * b * sinγ,

ഇവിടെ: a, b എന്നത് രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ വശങ്ങളുടെ നീളവും γ എന്നത് അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ മൂല്യവുമാണ്.

പ്രായോഗികമായി, ഉദാഹരണത്തിന്, ഭൂമിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം അളക്കുമ്പോൾ, മുകളിലുള്ള ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം ചിലപ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, കാരണം ഇതിന് അധിക നിർമ്മാണവും കോണുകളുടെ അളവും ആവശ്യമാണ്.

ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെയും നീളം നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, ഹെറോണിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം,
p - സെമി-പരിധി: p = (a+b+c)/2.

എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളം കൂടാതെ, ത്രികോണത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരം അറിയാമെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന കോം‌പാക്റ്റ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

എവിടെ: r - ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം (р - സെമി-പരിധി).

ചുറ്റളവിന്റെ ആരവും അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

എവിടെ: R - ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ ആരം.

ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളവും മൂന്ന് കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ (തത്വത്തിൽ, രണ്ട് മതി - മൂന്നാമത്തേതിന്റെ മൂല്യം ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ തുല്യതയിൽ നിന്നാണ് കണക്കാക്കുന്നത് - 180º), തുടർന്ന് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

ഇവിടെ α എന്നത് a വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോണിന്റെ മൂല്യമാണ്;
β, γ - ത്രികോണത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണം മൂന്ന് തുല്യ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണമാണ്. ഇതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്: ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്, എല്ലാ കോണുകളും 60 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണം ഐസോസിലിസ് ആണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

a=7 നീളമുള്ള ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശം നൽകട്ടെ. അത്തരമൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശം അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം. ഇതിനായി, ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉപയോഗിക്കുന്നു: S = (3^(1/2)*a^2)/4. ഈ ഫോർമുലയിൽ a=7 മൂല്യം മാറ്റി ഇനിപ്പറയുന്നത് നേടാം: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1.7 / 4 = 20.82. അങ്ങനെ, a=7 വശമുള്ള ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം S=20.82 ന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

വൃത്തത്തിന്റെ ആരം നൽകിയാൽ, അത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:
S = 3*3^(1/2)*r^2, ഇവിടെ r എന്നത് ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്. ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം r=4 ആയിരിക്കട്ടെ. നേരത്തെ എഴുതിയ ഫോർമുലയിലേക്ക് അത് മാറ്റി, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം നേടാം: S = 3*1.7*4*4 = 81.6. അതായത്, ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 4 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 81.6 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ആരം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, ഇവിടെ R എന്നത് ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ് . നമുക്ക് R=5 എന്ന് കരുതുക, ഈ മൂല്യം ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: S = 3*1.7*25/4 = 31.9. ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ ആരം 5 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 31.9 ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

കുറിപ്പ്

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളവും ആലേഖനം ചെയ്തതും ചുറ്റപ്പെട്ടതുമായ സർക്കിളുകളുടെ ആരവും.

സഹായകരമായ ഉപദേശം

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിലെ ആലേഖനം ചെയ്തതും ചുറ്റപ്പെട്ടതുമായ സർക്കിളുകളുടെ ആരം രണ്ടിന്റെ ഘടകം കൊണ്ട് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഇത് അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സൂത്രവാക്യം മാത്രമേ ഓർമ്മിക്കാൻ കഴിയൂ, ഉദാഹരണത്തിന്, ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ ദൂരത്തിലൂടെ, രണ്ടാമത്തേത്, ഈ പ്രസ്താവന അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളിലൊന്നിന്റെ നീളവും അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പല തരത്തിൽ കണക്കാക്കാം. ഓരോ കണക്കുകൂട്ടൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലും ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉപയോഗം ഉൾപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ ഇത് ഭയപ്പെടുത്തരുത് - അവ കണക്കാക്കാൻ, ഇന്റർനെറ്റിലേക്ക് ആക്സസ് ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഓപ്പറേറ്റിംഗ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ബിൽറ്റ്-ഇൻ കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെ സാന്നിധ്യം പരാമർശിക്കേണ്ടതില്ല.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ഒരു വശത്തിന്റെ (A) അറിയപ്പെടുന്ന ദൈർഘ്യത്തിൽ നിന്ന് ഏരിയ (S) കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യ ഓപ്ഷനും അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ (α, β) മൂല്യങ്ങളും ഈ കോണുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ കേസിലെ വിസ്തീർണ്ണം അറിയപ്പെടുന്ന വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരമായിരിക്കും, ഇത് അറിയപ്പെടുന്ന കോണുകളുടെ ഇരട്ടി കോട്ടാൻജെന്റുകളാൽ ഹരിച്ചിരിക്കും: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). ഉദാഹരണത്തിന്, അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം 15 സെന്റീമീറ്റർ ആണെങ്കിൽ, അടുത്തുള്ള കോണുകൾ 40°യും 60°ഉം ആണെങ്കിൽ, ഏരിയ കണക്കുകൂട്ടൽ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0.895082918+3.12460562)) = 225/4.4590454 = 50.4592305 ചതുരശ്ര സെന്റീമീറ്റർ.

വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ കോട്ടാൻജെന്റുകൾക്ക് പകരം അറിയപ്പെടുന്ന കോണുകളുടെ സൈനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ പതിപ്പിൽ, വിസ്തീർണ്ണം അറിയപ്പെടുന്ന വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്, ഓരോ കോണുകളുടെയും സൈനുകൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഈ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഇരട്ടി സൈനാൽ ഹരിച്ചാൽ: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). ഉദാഹരണത്തിന്, അറിയപ്പെടുന്ന 15 സെന്റീമീറ്റർ വശവും തൊട്ടടുത്തുള്ള 40°, 60° കോണുകളും ഉള്ള അതേ ത്രികോണത്തിന്, ഏരിയ കണക്കുകൂട്ടൽ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621)/(2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.459230 ചതുരശ്ര സെന്റിമീറ്റർ.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള മൂന്നാമത്തെ ഓപ്ഷൻ കോണുകളുടെ സ്പർശനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. വിസ്തീർണ്ണം അറിയപ്പെടുന്ന വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, ഓരോ കോണുകളുടെയും സ്പർശനങ്ങൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഈ കോണുകളുടെ ടാൻജെന്റുകളുടെ ഇരട്ടി തുക കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). ഉദാഹരണത്തിന്, മുൻ ഘട്ടങ്ങളിൽ 15 സെന്റീമീറ്റർ വശവും 40 °, 60 ° എന്നിവയോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്, പ്രദേശത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: (15*15*tg(40)*tg(60 ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.40389) = -80.430.58 ചതുരം =490.5 സെന്റീമീറ്റർ എസ്.

ഗൂഗിൾ സെർച്ച് എഞ്ചിൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് പ്രായോഗിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫോർമുലകളിലേക്ക് സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റി അവ തിരയൽ അന്വേഷണ ഫീൽഡിൽ നൽകുക.

ടിപ്പ് 4: ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെയും ദീർഘചതുരത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിലെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രണ്ട് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളാണ് ത്രികോണവും ദീർഘചതുരവും. ഈ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങളാൽ രൂപംകൊണ്ട ചുറ്റളവുകൾക്കുള്ളിൽ, വിമാനത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗമുണ്ട്, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പല തരത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഓരോ നിർദ്ദിഷ്ട കേസിലും രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് കണക്കുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം- ഈ രൂപത്തിന്റെ വലുപ്പം കാണിക്കുന്ന ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ ഒരു സംഖ്യാ സ്വഭാവം (ഈ ചിത്രത്തിന്റെ അടച്ച രൂപരേഖയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഉപരിതലത്തിന്റെ ഭാഗം). പ്രദേശത്തിന്റെ വലുപ്പം അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ചതുര യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ട്രയാംഗിൾ ഏരിയ ഫോർമുലകൾ

1. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം വശവും ഉയരവും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല
   ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണംഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെയും ഈ വശത്തേക്ക് വരച്ച ഉയരത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്
   
2. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മൂന്ന് വശങ്ങളും ചുറ്റളവിന്റെ ആരവും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഫോർമുല
   
3. മൂന്ന് വശങ്ങളും ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരവും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുല
   ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണംത്രികോണത്തിന്റെ അർദ്ധപരിധിയുടെയും ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.
   
ഇവിടെ S എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്,
- ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം,
- ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം,
- വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണും,
- ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിന്റെ ആരം,
R - ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിന്റെ ആരം,

സ്ക്വയർ ഏരിയ ഫോർമുലകൾ

1. ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം വശങ്ങളിലായി നീളത്തിന്റെ ഫോർമുല
   ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശംഅതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്.
2. ഡയഗണൽ നീളത്തിലുള്ള ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുല
   ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശംഅതിന്റെ ഡയഗണലിന്റെ നീളത്തിന്റെ പകുതി ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്.
   

   എസ്=	1	2
   	2

ഇവിടെ S എന്നത് ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്,
- ചതുരത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം,
- ചതുരത്തിന്റെ ഡയഗണലിന്റെ നീളം.

ദീർഘചതുരം ഏരിയ ഫോർമുല

ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണംഅതിന്റെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്

ഇവിടെ S എന്നത് ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്,
- ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം.

സമാന്തരരേഖ ഏരിയ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

1. വശത്തെ നീളവും ഉയരവും അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല
   ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം
2. രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുല
   ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണംഅതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനാൽ ഗുണിച്ചാൽ.
   

   a b sin α

ഇവിടെ S എന്നത് സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്,
- സമാന്തരരേഖയുടെ വശങ്ങളുടെ നീളം,
- സമാന്തരചലനത്തിന്റെ നീളം,
- സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ.

ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

1. വശത്തെ നീളവും ഉയരവും അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല
   ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണംഅതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളവും ഈ വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തിയ ഉയരത്തിന്റെ നീളവും തുല്യമാണ്.
2. സൈഡ് നീളവും കോണും അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുല
   ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണംഅതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന്റെയും റോംബസിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിന്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.
3. ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ നീളത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഫോർമുല
   ഒരു റോംബസിന്റെ വിസ്തീർണ്ണംഅതിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.
ഇവിടെ S എന്നത് റോംബസിന്റെ വിസ്തൃതിയാണ്,
- റോംബസിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം,
- റോംബസിന്റെ ഉയരത്തിന്റെ നീളം,
- റോംബസിന്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ,
1, 2 - ഡയഗണലുകളുടെ ദൈർഘ്യം.

ട്രപസോയിഡ് ഏരിയ ഫോർമുലകൾ

1. ട്രപസോയിഡിനുള്ള ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യം

   എവിടെയാണ് S എന്നത് ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം,
   - ട്രപസോയിഡിന്റെ അടിത്തറയുടെ നീളം,
   - ട്രപസോയിഡിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം,
   

പ്രദേശത്തിന്റെ ആശയം

ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം, പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു ത്രികോണം, ഒരു ചതുരം പോലുള്ള ഒരു രൂപവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ യൂണിറ്റ് വിസ്തീർണ്ണം ഞങ്ങൾ എടുക്കും, അതിന്റെ വശം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. സമ്പൂർണ്ണതയ്ക്കായി, ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകൾ എന്ന ആശയത്തിന് രണ്ട് അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

പ്രോപ്പർട്ടി 1:ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ പ്രദേശങ്ങളും തുല്യമാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടി 2:ഏത് രൂപത്തെയും പല കണക്കുകളായി തിരിക്കാം. കൂടാതെ, യഥാർത്ഥ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ എല്ലാ ഘടക രൂപങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

വ്യക്തമായും, ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശം ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ഒരു ഡയഗണൽ ആണ്, അതിന്റെ ഒരു വശം $5$ നീളമുണ്ട് ($5$ സെല്ലുകൾ ഉള്ളതിനാൽ), മറ്റൊന്ന് $6$ ആണ് ($6$ സെല്ലുകൾ ഉള്ളതിനാൽ). അതിനാൽ, ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അത്തരമൊരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ പകുതിക്ക് തുല്യമായിരിക്കും. ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

അപ്പോൾ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്

ഉത്തരം: $15$.

അടുത്തതായി, ത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിരവധി രീതികൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അതായത് ഉയരവും അടിത്തറയും, ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യവും ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണവും ഉപയോഗിച്ച്.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരവും അടിത്തറയും ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

സിദ്ധാന്തം 1

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ പകുതി ഗുണനമായും ആ ഭാഗത്തേക്കുള്ള ഉയരമായും കാണാം.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു

$S=\frac(1)(2)αh$

ഇവിടെ $a$ എന്നത് വശത്തിന്റെ നീളം, $h$ എന്നത് അതിലേക്ക് വരച്ച ഉയരമാണ്.

തെളിവ്.

$AC=α$ എന്ന $ABC$ എന്ന ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക. ഉയരം $BH$ ഈ വശത്തേക്ക് വരച്ചിരിക്കുന്നു, അത് $h$ ന് തുല്യമാണ്. ചിത്രം 2-ൽ ഉള്ളതുപോലെ $AXYC$ എന്ന ചതുരം വരെ നമുക്ക് ഇത് നിർമ്മിക്കാം.

$AXBH$ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $h\cdot AH$ ആണ്, ദീർഘചതുരത്തിന്റെ $HBYC$ $h\cdot HC$ ആണ്. പിന്നെ

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

അതിനാൽ, ത്രികോണത്തിന്റെ ആവശ്യമായ വിസ്തീർണ്ണം, പ്രോപ്പർട്ടി 2 ന് തുല്യമാണ്

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഉദാഹരണം 2

സെല്ലിന് ഒന്നിന് തുല്യമായ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ടെങ്കിൽ ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം $9$ ന് തുല്യമാണ് ($9$ എന്നത് $9$ ചതുരങ്ങളാണ്). ഉയരവും $9$ ആണ്. തുടർന്ന്, സിദ്ധാന്തം 1 വഴി, നമുക്ക് ലഭിക്കും

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

ഉത്തരം: $40.5$.

ഹെറോണിന്റെ ഫോർമുല

സിദ്ധാന്തം 2

$α$, $β$, $γ$ എന്നിങ്ങനെ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകിയാൽ, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താനാകും

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ഇവിടെ $ρ$ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഈ ത്രികോണത്തിന്റെ അർദ്ധപരിധിയാണ്.

തെളിവ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം പരിഗണിക്കുക:

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, $ABH$ ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും

$CBH$ എന്ന ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, നമുക്കുണ്ട്

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

ഈ രണ്ട് ബന്ധങ്ങളിൽ നിന്നും നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കുന്നു

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

മുതൽ $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, തുടർന്ന് $α+β+γ=2ρ$, അതായത്

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

സിദ്ധാന്തം 1 വഴി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$