2 ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്. അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ, നിർവചനം, ഉദാഹരണങ്ങൾ

എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തെ N എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പ്രകൃതി സംഖ്യകൾ നമ്മൾ ഒബ്ജക്റ്റുകളെ എണ്ണാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ്: 1,2,3,4, ... ചില സ്രോതസ്സുകളിൽ, 0 എന്ന സംഖ്യയും ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തെ Z എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എല്ലാം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്, പൂജ്യം, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ:

1,-2,-3, -4, …

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തിലേക്ക് എല്ലാ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗണവും ചേർക്കാം: 2/3, 18/17, -4/5 തുടങ്ങിയവ. അപ്പോൾ നമുക്ക് എല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ് ലഭിക്കും.

യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം

എല്ലാ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തെ Q എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെയും (Q) സെറ്റ് m/n, -m/n, സംഖ്യ 0 എന്നിവയുടെ സംഖ്യകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു ഗണമാണ്. ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും ഇങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാനാകും n,m. എല്ലാ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളെയും പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയ ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഏതെങ്കിലും പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയ ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയായി എഴുതാം എന്നതും സത്യമാണ്.

പക്ഷേ, ഉദാഹരണത്തിന്, 2.0100100010 എന്ന സംഖ്യയെ സംബന്ധിച്ചെന്ത്...? ഇത് അനന്തമായ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. കൂടാതെ ഇത് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾക്ക് ബാധകമല്ല.

സ്കൂൾ ബീജഗണിത കോഴ്സിൽ, യഥാർത്ഥ (അല്ലെങ്കിൽ യഥാർത്ഥ) സംഖ്യകൾ മാത്രമേ പഠിക്കൂ. എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തെ R എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. R ഗണത്തിൽ എല്ലാ യുക്തിസഹവും എല്ലാ അവിവേക സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളുടെ ആശയം

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളെല്ലാം അനന്തമായ ദശാംശമല്ലാത്ത ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്. അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾക്ക് പ്രത്യേക പദവിയില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളല്ലാത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലം വേർതിരിച്ചെടുത്താൽ ലഭിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളും യുക്തിരഹിതമായിരിക്കും. (√2, √3, √5, √6, മുതലായവ).

എന്നാൽ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുത്താൽ മാത്രമേ അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കൂ എന്ന് കരുതരുത്. ഉദാഹരണത്തിന്, "പൈ" എന്ന സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതമാണ്, അത് വിഭജനത്തിലൂടെയാണ് ലഭിക്കുന്നത്. നിങ്ങൾ എത്ര ശ്രമിച്ചാലും, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലമെടുത്താൽ നിങ്ങൾക്ക് അത് നേടാനാവില്ല.

"കാരണം" എന്നർത്ഥം വരുന്ന "അനുപാതം" എന്ന ലാറ്റിൻ പദത്തിൽ നിന്നാണ് അവർ അവരുടെ വേരുകൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. അക്ഷരീയ വിവർത്തനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി:

• ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ "ന്യായമായ സംഖ്യ" ആണ്.
• ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ, അതനുസരിച്ച്, "യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യ" ആണ്.

ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെ പൊതുവായ ആശയം

ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യ എന്നത് ഇങ്ങനെ എഴുതാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്:

1. ഒരു സാധാരണ പോസിറ്റീവ് അംശം.
2. നെഗറ്റീവ് കോമൺ ഫ്രാക്ഷൻ.
3. പൂജ്യം (0) എന്ന സംഖ്യയായി.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനങ്ങൾ ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയ്ക്ക് ബാധകമാണ്:

• ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും അന്തർലീനമായി യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെയും ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.
• ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയും, പൂജ്യം ഉൾപ്പെടെ, ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒന്നുകിൽ പോസിറ്റീവ് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായോ നെഗറ്റീവ് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായോ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയായോ എഴുതാം.
• ഏതൊരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയും, അത് പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ എന്നത് പ്രശ്നമല്ല, ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയുടെ നിർവചനത്തെ നേരിട്ട് സമീപിക്കുന്നു.
• നിർവചനത്തിൽ ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യ, ഒരു പരിമിത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യ എന്നിവയും ഉൾപ്പെടാം.

യുക്തിസഹ സംഖ്യ ഉദാഹരണങ്ങൾ

യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

• സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ - "4", "202", "200".
• പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ - “-36”, “0”, “42”.
• സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് വളരെ വ്യക്തമാണ് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും ആകാം. സ്വാഭാവികമായും, സംഖ്യ 0 (പൂജ്യം), അത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയാണ്, അതേ സമയം പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നില്ല.

അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ പരിപാടിയെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: "റേഷണൽ സംഖ്യകൾ" എന്നത് x/y എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാവുന്ന സംഖ്യകളാണ്, ഇവിടെ x (സംഖ്യ) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും y (ഡിനോമിനേറ്റർ) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.

ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ പൊതുവായ ആശയവും നിർവചനവും

"യുക്തിപരമായ സംഖ്യകൾ" കൂടാതെ "അയുക്തിരഹിത സംഖ്യകൾ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതും നമുക്കറിയാം. ഈ സംഖ്യകൾ നിർവചിക്കാൻ നമുക്ക് ഹ്രസ്വമായി ശ്രമിക്കാം.

പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പോലും, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഡയഗണൽ അതിന്റെ വശങ്ങളിൽ കണക്കാക്കാൻ ആഗ്രഹിച്ചു, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് പഠിച്ചു.
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലോജിക്കൽ ശൃംഖല നിർമ്മിക്കാനും ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ നിർവചനം നൽകാനും കഴിയും.
അതിനാൽ, സാരാംശത്തിൽ, യുക്തിസഹമല്ലാത്ത യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളാണ്.
അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ആനുകാലികവും അനന്തവുമല്ല.

ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം നോക്കാം. ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയതുപോലെ, അനന്തമായ ദശാംശ നോൺ-ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

• നമ്പർ “-5.020020002... (രണ്ടുകളെ ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, എന്നിങ്ങനെ പൂജ്യങ്ങളുടെ ക്രമം കൊണ്ട് വേർതിരിക്കുന്നത് വ്യക്തമായി കാണാം)
• നമ്പർ “7.040044000444... (ഇവിടെ വ്യക്തമാണ് നാലിന്റെയും പൂജ്യങ്ങളുടെയും എണ്ണം ഒരു ചെയിനിൽ ഓരോ തവണയും വർദ്ധിക്കുന്നു).
• പൈ (3.1415...) എന്ന സംഖ്യ എല്ലാവർക്കും അറിയാം. അതെ, അതെ - അതും യുക്തിരഹിതമാണ്.

പൊതുവേ, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയെ ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയായി x/y പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല.

പൊതുവായ നിഗമനവും അക്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഹ്രസ്വമായ താരതമ്യവും

ഞങ്ങൾ ഓരോ സംഖ്യയും വെവ്വേറെ നോക്കി, പക്ഷേ ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയും അവിഭാജ്യ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അവശേഷിക്കുന്നു:

1. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു വൃത്തത്തെ അതിന്റെ വ്യാസം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, മുതലായവ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ സംഭവിക്കുന്നു.
2. ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

കുറച്ച് നിർവചനങ്ങൾ നൽകി നമ്മുടെ ലേഖനം അവസാനിപ്പിക്കാം:

• 0 (പൂജ്യം) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അല്ലാതെ ഒരു റേഷ്യൽ സംഖ്യയിൽ നടത്തുന്ന ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനം ആത്യന്തികമായി ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയിലേക്ക് നയിക്കും.
• അന്തിമഫലം, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയിൽ ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ, ഒരു യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ മൂല്യത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.
• രണ്ട് സംഖ്യകളും ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിൽ പങ്കെടുത്താൽ (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് ഒഴികെ), അപ്പോൾ ഫലം ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയായിരിക്കും.

എല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെയും ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഇത് പൂർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, 12, –6, 0), പരിമിത ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, 0.5; –3.8921), അനന്തമായ ആനുകാലിക ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, 0.11(23); –3 ,(87) ബാധകമാണ്. )).

എന്നിരുന്നാലും അനന്തമായ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ദശാംശങ്ങൾസാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതാണ് അവർ യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ(അതായത് യുക്തിരഹിതം). അത്തരമൊരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം π എന്ന സംഖ്യയാണ്, ഇത് ഏകദേശം 3.14 ന് തുല്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് കൃത്യമായി തുല്യമായത് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം സംഖ്യ 4 ന് ശേഷം മറ്റ് സംഖ്യകളുടെ അനന്തമായ ശ്രേണിയുണ്ട്, അതിൽ ആവർത്തിക്കുന്ന കാലയളവുകൾ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയില്ല. മാത്രമല്ല, π എന്ന സംഖ്യ കൃത്യമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ലെങ്കിലും, അതിന് ഒരു പ്രത്യേക ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്. സംഖ്യ π എന്നത് ഏതൊരു വൃത്തത്തിന്റെയും നീളവും അതിന്റെ വ്യാസത്തിന്റെ നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്. അതിനാൽ, യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ പ്രകൃതിയിൽ നിലനിൽക്കുന്നു, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ പോലെ.

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണമാണ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ. ചില സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് യുക്തിസഹമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു, മറ്റുള്ളവയിൽ നിന്ന് - യുക്തിരഹിതമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, √4 = 2, അതായത് 4 ന്റെ റൂട്ട് ഒരു റേഷണൽ സംഖ്യയാണ്. എന്നാൽ √2, √5, √7 എന്നിവയും മറ്റു പലതും യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളിൽ കലാശിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത ദശാംശ സ്ഥാനത്തേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യുന്ന ഏകദേശ കണക്കിലൂടെ മാത്രമേ അവ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യ ആനുകാലികമല്ലാത്തതായി മാറുന്നു. അതായത്, ഈ സംഖ്യകളുടെ റൂട്ട് എന്താണെന്ന് കൃത്യമായി കൃത്യമായി പറയാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ √5 എന്നത് 2-നും 3-നും ഇടയിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്, √4 = 2, √9 = 3. √9 മുതൽ √5 വരെ. തീർച്ചയായും, √5 ≈ 2.23 അല്ലെങ്കിൽ √5 ≈ 2.24.

മറ്റ് കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും (വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുമ്പോൾ മാത്രമല്ല), നെഗറ്റീവ് ആകാം.

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, അത്തരമൊരു സംഖ്യ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ദൈർഘ്യം അളക്കാൻ നമ്മൾ ഏത് യൂണിറ്റ് സെഗ്മെന്റ് എടുത്താലും, നമുക്ക് അത് തീർച്ചയായും അളക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾക്ക് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം പങ്കെടുക്കാം. അതേസമയം, നിരവധി പതിവുകളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിൽ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ മാത്രമേ ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂവെങ്കിൽ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയാണ്. യുക്തിഹീനരായവർ മാത്രമേ ഓപ്പറേഷനിൽ പങ്കെടുക്കുന്നുള്ളൂവെങ്കിൽ, ഫലം ഒരു യുക്തിസഹമോ അകാരണമായതോ ആയ സംഖ്യയാണോ എന്ന് സംശയമില്ലാതെ പറയാനാവില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ രണ്ട് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ √2 * √2 ഗുണിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് 2 ലഭിക്കും - ഇതൊരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയാണ്. മറുവശത്ത്, √2 * √3 = √6 ഒരു അകാരണ സംഖ്യയാണ്.

ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിൽ യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഫലം യുക്തിരഹിതമായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 - 4.

എന്തുകൊണ്ട് √17 – 4 ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്? നമുക്ക് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ x ലഭിക്കുമെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അപ്പോൾ √17 = x + 4. എന്നാൽ x + 4 ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയാണ്, കാരണം x എന്നത് യുക്തിസഹമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചു. 4 എന്ന സംഖ്യയും യുക്തിസഹമാണ്, അതിനാൽ x + 4 യുക്തിസഹമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ √17 ന് തുല്യമാകരുത്. അതിനാൽ, √17 - 4 ഒരു യുക്തിസഹമായ ഫലം നൽകുന്നു എന്ന അനുമാനം തെറ്റാണ്. ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലം യുക്തിരഹിതമായിരിക്കും.

എന്നിരുന്നാലും, ഈ നിയമത്തിന് ഒരു അപവാദം ഉണ്ട്. നാം ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയെ 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് 0 സംഖ്യ ലഭിക്കും.

ഒപ്പം π

അങ്ങനെ, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് വ്യത്യാസം I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )യഥാർത്ഥവും യുക്തിസഹവുമായ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം.

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വം, കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെന്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സെഗ്‌മെന്റുകൾ, പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഇതിനകം അറിയാമായിരുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഡയഗണലിന്റെയും വശത്തിന്റെയും പൊരുത്തക്കേട് അവർക്ക് അറിയാമായിരുന്നു, ഇത് യുക്തിരാഹിത്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അക്കം 2 (\പ്രദർശനശൈലി (\sqrt (2))).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ

• രണ്ട് പോസിറ്റീവ് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയാകാം.
• താഴ്ന്ന ക്ലാസിൽ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ ഇല്ലാത്തതും ഉയർന്ന ക്ലാസിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ ഇല്ലാത്തതുമായ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ Dedekind വിഭാഗങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്നു.
• സംഖ്യാരേഖയിൽ എല്ലായിടത്തും അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം സാന്ദ്രമാണ്: ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുണ്ട്.
• അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലെ ക്രമം യഥാർത്ഥ അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലെ ക്രമത്തിന് ഐസോമോഫിക് ആണ്. [ ]

ബീജഗണിതവും അതീന്ദ്രിയവുമായ സംഖ്യകൾ

ഓരോ അവിഭാജ്യ സംഖ്യയും ബീജഗണിതമോ അതീന്ദ്രിയമോ ആണ്. ബീജഗണിത സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം എണ്ണാവുന്ന ഗണമാണ്. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണം കണക്കാക്കാനാവില്ല.

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം രണ്ടാമത്തെ വിഭാഗത്തിന്റെ ഒരു ഗണമാണ്.

നമുക്ക് അനുമാനിക്കപ്പെട്ട സമത്വം വർഗ്ഗീകരിക്കാം:

കഥ

പൗരാണികത

ബിസി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അവിവേക സംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം പരോക്ഷമായി സ്വീകരിച്ചു, മാനവ (ഏകദേശം 750-690 ബിസി) ചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ, 2, 61 എന്നിവ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ [ ] .

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ആദ്യ തെളിവ്, അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ കൃത്യമായി കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ അസ്തിത്വം, സാധാരണയായി മെറ്റാപോണ്ടത്തിലെ പൈതഗോറിയൻ ഹിപ്പാസസാണ് (ഏകദേശം 470 ബിസി) ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നത്. പൈതഗോറിയൻമാരുടെ കാലത്ത്, ആവശ്യത്തിന് ചെറുതും അവിഭാജ്യവുമായ ഒരു യൂണിറ്റ് നീളം ഉണ്ടെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെട്ടു, അതിൽ ഏതെങ്കിലും സെഗ്മെന്റിലെ തവണകളുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉൾപ്പെടുന്നു. ] .

ഏത് സംഖ്യയാണ് ഹിപ്പാസസ് യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതെന്ന് കൃത്യമായ വിവരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഐതിഹ്യമനുസരിച്ച്, പെന്റഗ്രാമിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം പഠിച്ചാണ് അദ്ദേഹം അത് കണ്ടെത്തിയത്. അതിനാൽ, ഇത് ഒരു സാധാരണ പെന്റഗണിലെ ഡയഗണലിന്റെ വശത്തിന്റെ അനുപാതമായതിനാൽ ഇത് സുവർണ്ണ അനുപാതമാണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നത് ന്യായമാണ്.

ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ അനുപാതത്തെ കണക്കാക്കാനാവാത്ത അളവുകൾ എന്ന് വിളിച്ചു ലോഗോകൾ(പറയാൻ പറ്റാത്തത്), എന്നാൽ ഐതിഹ്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് അവർ ഹിപ്പാസസിന് അർഹമായ ബഹുമാനം നൽകിയില്ല. "പ്രപഞ്ചത്തിലെ എല്ലാ അസ്തിത്വങ്ങളെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്കും അവയുടെ അനുപാതങ്ങളിലേക്കും ചുരുക്കാമെന്ന സിദ്ധാന്തത്തെ നിഷേധിക്കുന്ന പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഒരു മൂലകം സൃഷ്ടിച്ചതിന്" ഹിപ്പാസസ് ഒരു കടൽ യാത്രയിലാണെന്നും മറ്റ് പൈതഗോറിയൻമാർ കടലിലേക്ക് വലിച്ചെറിയപ്പെട്ടുവെന്നും ഒരു ഐതിഹ്യമുണ്ട്. ഹിപ്പാസസിന്റെ കണ്ടെത്തൽ പൈതഗോറിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഗുരുതരമായ പ്രശ്‌നമുണ്ടാക്കി, അക്കങ്ങളും ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളും ഒന്നാണെന്നും വേർതിരിക്കാനാവാത്തതാണെന്നും ഉള്ള അടിസ്ഥാന അനുമാനത്തെ തകർത്തു.

പിന്നീട്, യുഡോക്സസ് ഓഫ് സിനിഡസ് (410 അല്ലെങ്കിൽ 408 ബിസി - 355 അല്ലെങ്കിൽ 347 ബിസി) യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ ബന്ധങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത് അനുപാതങ്ങളുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാന സാരാംശം മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമായി ഇത് പ്രവർത്തിച്ചു. അളവ് കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങിയത് ഒരു സംഖ്യയായിട്ടല്ല, മറിച്ച് ലൈൻ സെഗ്‌മെന്റുകൾ, കോണുകൾ, ഏരിയകൾ, വോള്യങ്ങൾ, സമയ ഇടവേളകൾ - തുടർച്ചയായി മാറാൻ കഴിയുന്ന എന്റിറ്റികൾ (വാക്കിന്റെ ആധുനിക അർത്ഥത്തിൽ) പോലുള്ള എന്റിറ്റികളുടെ ഒരു പദവിയായാണ്. മാഗ്നിറ്റ്യൂഡുകൾ സംഖ്യകളുമായി വൈരുദ്ധ്യം കാണിക്കുന്നു, ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് അടുത്ത സംഖ്യയിലേക്ക് "ജമ്പ്" വഴി മാത്രമേ മാറാൻ കഴിയൂ, ഉദാഹരണത്തിന്, 4 മുതൽ 5 വരെ. അക്കങ്ങൾ അവിഭാജ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ അളവാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, അതേസമയം അളവുകൾ അനിശ്ചിതമായി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും.

അളവിലുള്ള മൂല്യങ്ങളൊന്നും മാഗ്നിറ്റ്യൂഡുമായി ബന്ധമില്ലാത്തതിനാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ രണ്ട് അളവുകളുടെ അനുപാതമായും അനുപാതം രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ തുല്യതയായും നിർവചിക്കുമ്പോൾ ആനുപാതികവും അനുരൂപമല്ലാത്തതുമായ അളവുകൾ ഉൾക്കൊള്ളാൻ യൂഡോക്സസിന് കഴിഞ്ഞു. സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ (സംഖ്യകൾ) നീക്കം ചെയ്തുകൊണ്ട്, യുക്തിരഹിതമായ അളവിനെ ഒരു സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കേണ്ട കെണി അദ്ദേഹം ഒഴിവാക്കി. യുഡോക്സസിന്റെ സിദ്ധാന്തം ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ജ്യാമിതിയിൽ അവിശ്വസനീയമായ പുരോഗതി കൈവരിക്കാൻ അനുവദിച്ചു, അവർക്ക് അളവറ്റ അളവുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കാൻ ആവശ്യമായ യുക്തിസഹമായ അടിസ്ഥാനം നൽകി. യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളുടെ പത്താമത്തെ പുസ്തകം യുക്തിരഹിതമായ അളവുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു.

മധ്യ കാലഘട്ടം

ആദ്യം ഇന്ത്യക്കാരും പിന്നീട് ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും പൂജ്യം, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ തുടങ്ങിയ സങ്കൽപ്പങ്ങൾ സ്വീകരിച്ചതാണ് മധ്യകാലഘട്ടത്തെ അടയാളപ്പെടുത്തിയത്. പിന്നീട്, അറബ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ചേർന്നു, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെ ബീജഗണിത വസ്തുക്കളായി (പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളോടൊപ്പം) ആദ്യം പരിഗണിച്ചത്, ഇപ്പോൾ ബീജഗണിതം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന അച്ചടക്കം വികസിപ്പിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി.

അറബ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പുരാതന ഗ്രീക്ക് ആശയങ്ങളായ "സംഖ്യ", "മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ്" എന്നിവയെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ പൊതുവായ ആശയമായി സംയോജിപ്പിച്ചു. ബന്ധങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള യൂക്ലിഡിന്റെ ആശയങ്ങളെ അവർ വിമർശിച്ചു; വിപരീതമായി, അവർ ഏകപക്ഷീയമായ അളവുകളുടെ ബന്ധങ്ങളുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തം വികസിപ്പിക്കുകയും തുടർച്ചയായ അളവുകളുടെ ബന്ധങ്ങളിലേക്ക് സംഖ്യ എന്ന ആശയം വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. യൂക്ലിഡിന്റെ പുസ്തകം 10 മൂലകങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള തന്റെ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ, പേർഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ അൽ മഖാനി (സി. 800 CE) ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അകാരണ സംഖ്യകളും (രൂപത്തിന്റെ സംഖ്യകളും) കൂടുതൽ പൊതുവായ ക്യൂബിക് അവിവേക സംഖ്യകളും പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുകയും തരംതിരിക്കുകയും ചെയ്തു. യുക്തിരഹിതവും യുക്തിരഹിതവുമായ അളവുകൾ അദ്ദേഹം നിർവചിച്ചു, അതിനെ അദ്ദേഹം അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിച്ചു. അവൻ ഈ വസ്തുക്കളുമായി എളുപ്പത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവയെ പ്രത്യേക വസ്തുക്കളായി സംസാരിച്ചു, ഉദാഹരണത്തിന്:

അളവുകൾ പ്രാഥമികമായി രേഖാ ഖണ്ഡങ്ങളാണെന്ന യൂക്ലിഡിന്റെ ആശയത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, അൽ മഖാനി പൂർണ്ണസംഖ്യകളും ഭിന്നസംഖ്യകളും യുക്തിസഹമായ അളവുകളായി കണക്കാക്കി, ചതുരവും ക്യൂബ് വേരുകളും യുക്തിരഹിതമാണ്. അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലേക്കുള്ള ഗണിത സമീപനവും അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചു, കാരണം ഇനിപ്പറയുന്ന അളവുകളുടെ യുക്തിരാഹിത്യം കാണിച്ചത് അദ്ദേഹമാണ്:

ഈജിപ്ഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ അബു കാമിൽ (c. 850 CE - c. 930 CE) ആണ് അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരമായി അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളിലെ ഗുണകങ്ങളായി - പൊതുവെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അല്ലെങ്കിൽ ക്യൂബിക് രൂപ വേരുകളിലും വേരുകളിലും തിരിച്ചറിയുന്നത് സ്വീകാര്യമാണെന്ന് ആദ്യം കരുതിയത്. നാലാം ഡിഗ്രിയുടെ. പത്താം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ഇറാഖി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ അൽ ഹാഷിമി ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ യുക്തിരാഹിത്യം, ഘടകാംശം, മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്ര പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ എന്നിവയുടെ യുക്തിരഹിതവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ തെളിവുകൾ (ദൃശ്യ ജ്യാമിതീയ പ്രകടനങ്ങൾക്ക് പകരം) നിർമ്മിച്ചു. അൽ ഖാസിൻ (900 AD - 971 AD) യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ അളവിന് ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം നൽകുന്നു:

12-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ അറബി ഗ്രന്ഥങ്ങൾ ലാറ്റിനിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്തതിനുശേഷം ഈ ആശയങ്ങളിൽ പലതും പിന്നീട് യൂറോപ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സ്വീകരിച്ചു. ഇസ്ലാമിക അനന്തരാവകാശ നിയമങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ മഗ്രിബിൽ നിന്നുള്ള അറബ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ അൽ ഹസർ, 12-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കായി ആധുനിക പ്രതീകാത്മക ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിച്ചു, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരു തിരശ്ചീന ബാർ കൊണ്ട് ഹരിച്ചു. പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫിബൊനാച്ചിയുടെ കൃതികളിലും ഇതേ നൊട്ടേഷൻ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. XIV-XVI നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ. സംഗമഗ്രാമത്തിലെ മാധവനും കേരള സ്‌കൂൾ ഓഫ് അസ്‌ട്രോണമി ആൻഡ് മാത്തമാറ്റിക്‌സിന്റെ പ്രതിനിധികളും π പോലുള്ള ചില അവിവേക സംഖ്യകളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്ന അനന്തമായ ശ്രേണികൾ അന്വേഷിച്ചു, കൂടാതെ ചില ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ യുക്തിരാഹിത്യം കാണിക്കുകയും ചെയ്തു. യുക്തിഭാസ എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ ജസ്തദേവ ഈ ഫലങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചു. (അതേ സമയം അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വം തെളിയിക്കുന്നു), അതുവഴി യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രവർത്തനത്തെ പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യുന്നു. ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൃതികൾ 1872 ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ള തുടർ ഭിന്നസംഖ്യകൾ (ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന തുടർച്ചയായ ഭിന്നസംഖ്യ അനന്തമാണ്, സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണെങ്കിൽ മാത്രം), 1613-ൽ കാറ്റാൽഡി ആദ്യമായി പര്യവേക്ഷണം ചെയ്തു, തുടർന്ന് യൂലറുടെ കൃതിയിൽ വീണ്ടും ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടു. പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ - ലഗ്രാഞ്ചിന്റെ കൃതികളിൽ. തുടർച്ചയായ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വികാസത്തിലും ഡിറിച്ലെറ്റ് ഗണ്യമായ സംഭാവനകൾ നൽകി. 1761-ൽ, അത് കാണിക്കാൻ ലാംബെർട്ട് തുടർച്ചയായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചു π (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \pi )ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയല്ല, അതും e x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ e^(x))ഒപ്പം tg ⁡ x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \ ഓപ്പറേറ്റർനാമം (tg) x)പൂജ്യം അല്ലാത്ത ഏതൊരു യുക്തിക്കും യുക്തിരഹിതമാണ് x (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x). ലാംബെർട്ടിന്റെ തെളിവ് അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കാമെങ്കിലും, അത് പൊതുവെ വളരെ കർക്കശമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും അത് എഴുതിയ സമയം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ. 1794-ൽ ലെജൻഡ്രെ, ബെസൽ-ക്ലിഫോർഡ് ഫംഗ്ഷൻ അവതരിപ്പിച്ച ശേഷം, അത് കാണിച്ചു π 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \pi ^(2))യുക്തിരഹിതം, യുക്തിരാഹിത്യം എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു? π (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \pi )നിസ്സാരമായി പിന്തുടരുന്നു (സ്ക്വയർ ചെയ്ത ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യ ഒരു യുക്തിസഹമായി നൽകും).

അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വം 1844-1851 ൽ ലിയോവില്ലെ തെളിയിച്ചു. പിന്നീട്, ജോർജ്ജ് കാന്റർ (1873) മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് അവരുടെ അസ്തിത്വം കാണിച്ചു, കൂടാതെ യഥാർത്ഥ ശ്രേണിയുടെ ഏത് ഇടവേളയിലും അനന്തമായ അതീന്ദ്രിയ സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് വാദിച്ചു. ചാൾസ് ഹെർമിറ്റ് 1873-ൽ അത് തെളിയിച്ചു ഇഅതീന്ദ്രിയവും, 1882-ൽ ഫെർഡിനാൻഡ് ലിൻഡെമാൻ, ഈ ഫലത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അതീന്ദ്രിയത കാണിച്ചു. π (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \pi ) സാഹിത്യം

യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ സാധാരണയായി ഒരു വലിയ അക്ഷരം കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഞാൻ (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ \mathbb (I) )തണലില്ലാതെ ബോൾഡ് ശൈലിയിൽ. അങ്ങനെ: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), അതായത്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഗണം യഥാർത്ഥവും യുക്തിസഹവുമായ സംഖ്യകളുടെ ഗണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്.

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വം, കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, യൂണിറ്റ് നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെന്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സെഗ്‌മെന്റുകൾ, പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഇതിനകം അറിയാമായിരുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ ഡയഗണലിന്റെയും വശത്തിന്റെയും അസമത്വം അവർക്ക് അറിയാമായിരുന്നു, ഇത് യുക്തിരാഹിത്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അക്കം.

എൻസൈക്ലോപീഡിക് YouTube

• 1 / 5

  യുക്തിരഹിതമാണ്:

  യുക്തിരാഹിത്യത്തിന്റെ തെളിവുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

  2-ന്റെ റൂട്ട്

  നമുക്ക് വിപരീതമായി അനുമാനിക്കാം: 2 (\പ്രദർശനശൈലി (\sqrt (2)))യുക്തിസഹമായ, അതായത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു m n (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (m)(n))), എവിടെ m (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ m)ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ n (\displaystyle n)- സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.

  നമുക്ക് അനുമാനിക്കപ്പെട്ട സമത്വം വർഗ്ഗീകരിക്കാം:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Righttarrow m^(2)=2n^(2)).

  കഥ

  പൗരാണികത

  ബിസി ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മാനവ (സി. 750 ബിസി - സി. 690 ബിസി) 2, 61 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ചില സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ, അവിവേക സംഖ്യകൾ എന്ന ആശയം ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പരോക്ഷമായി സ്വീകരിച്ചു. [ ] .

  അയുക്തിക സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വത്തിന്റെ ആദ്യ തെളിവ് സാധാരണയായി പൈതഗോറിയനായ മെറ്റാപോണ്ടസിന്റെ ഹിപ്പാസസാണ് (ബി.സി. 500). പൈതഗോറിയൻമാരുടെ കാലത്ത്, ആവശ്യത്തിന് ചെറുതും അവിഭാജ്യവുമായ ഒരു യൂണിറ്റ് നീളം ഉണ്ടെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെട്ടിരുന്നു, അതിൽ ഏതെങ്കിലും സെഗ്മെന്റിലെ തവണകളുടെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉൾപ്പെടുന്നു. ] .

  ഏത് സംഖ്യയാണ് ഹിപ്പാസസ് യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതെന്ന് കൃത്യമായ വിവരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഐതിഹ്യമനുസരിച്ച്, പെന്റഗ്രാമിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം പഠിച്ചാണ് അദ്ദേഹം അത് കണ്ടെത്തിയത്. അതിനാൽ, ഇത് സുവർണ്ണ അനുപാതമാണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നത് ന്യായമാണ് [ ] .

  ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ അനുപാതത്തെ കണക്കാക്കാനാവാത്ത അളവുകൾ എന്ന് വിളിച്ചു ലോഗോകൾ(പറയാൻ പറ്റാത്തത്), എന്നാൽ ഐതിഹ്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് അവർ ഹിപ്പാസസിന് അർഹമായ ബഹുമാനം നൽകിയില്ല. "പ്രപഞ്ചത്തിലെ എല്ലാ അസ്തിത്വങ്ങളെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്കും അവയുടെ അനുപാതങ്ങളിലേക്കും ചുരുക്കാമെന്ന സിദ്ധാന്തത്തെ നിഷേധിക്കുന്ന പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഒരു മൂലകം സൃഷ്ടിച്ചതിന്" ഹിപ്പാസസ് ഒരു കടൽ യാത്രയിലാണെന്നും മറ്റ് പൈതഗോറിയൻമാർ കടലിലേക്ക് വലിച്ചെറിയപ്പെട്ടുവെന്നും ഒരു ഐതിഹ്യമുണ്ട്. ഹിപ്പാസസിന്റെ കണ്ടെത്തൽ പൈതഗോറിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഗുരുതരമായ പ്രശ്‌നമുണ്ടാക്കി, അക്കങ്ങളും ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളും ഒന്നാണെന്നും വേർതിരിക്കാനാവാത്തതാണെന്നും ഉള്ള അടിസ്ഥാന അനുമാനത്തെ തകർത്തു.