ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ പരിമിതമായ അടച്ച ഏരിയയിൽ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ അന്വേഷണം.
ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞാൻ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പഠനത്തിന് കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവ് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കണം എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും: അതിന്റെ ഏറ്റവും വലുത് കണ്ടെത്തുന്നതിന് അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം. തുടർന്ന് ടാസ്ക് ബി 15 ൽ നിന്നുള്ള ചില പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കും തുറന്ന ബാങ്ക്എന്നതിനായുള്ള അസൈൻമെന്റുകൾ.
പതിവുപോലെ, ആദ്യം സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം.
ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള ഏതൊരു പഠനത്തിന്റെയും തുടക്കത്തിൽ, ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു
ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഏത് ഇടവേളകളിലാണ് ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നതെന്നും അത് കുറയുന്നതെന്നും നിങ്ങൾ അന്വേഷിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും അതിന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ പഠിക്കുകയും വേണം, അതായത്, ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന്റെ ചിഹ്നം നിലനിർത്തുന്ന ഇടവേളകൾ.
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകൾ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന്റെ ഇടവേളകളാണ്.
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകൾ ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നതിന്റെ ഇടവേളകളാണ്.
1 . നമുക്ക് ചുമതല B15 പരിഹരിക്കാം (നമ്പർ 245184)
ഇത് പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം പിന്തുടരും:
a) ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക
b) ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
സി) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുക.
d) ഫംഗ്ഷന്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.
ഇ) ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം എടുക്കുന്ന പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക.
f) ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
ഈ ടാസ്ക്കിന്റെ വിശദമായ പരിഹാരം ഞാൻ വീഡിയോ പാഠത്തിൽ പറയുന്നു:
ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസർ പിന്തുണയ്ക്കുന്നില്ല. "ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ സമയം" സിമുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുക
ഫയർഫോക്സ്
2. നമുക്ക് ചുമതല B15 പരിഹരിക്കാം (നമ്പർ 282862)
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക 
സെഗ്മെന്റിൽ
x=2 എന്ന പരമാവധി പോയിന്റിൽ, സെഗ്‌മെന്റിലെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്. ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:
ഉത്തരം: 5
3 . നമുക്ക് ചുമതല B15 (നമ്പർ 245180) പരിഹരിക്കാം:
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക 
1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷൻ ശീർഷകത്തിന്റെ വ്യാപ്തി മുതൽ="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യമാണ്. ODZ ഫംഗ്‌ഷനുടേതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വ്യവസ്ഥ ശീർഷകം="4-2x-x^2>0 ആണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക"> при .!}
തലക്കെട്ട്="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
അതിനാൽ പോയിന്റ് ഫംഗ്ഷന്റെ ODZ-ന്റേതാണ്
പോയിന്റിന്റെ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:
ഫംഗ്ഷൻ പോയിന്റിൽ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം എടുക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഇനി നമുക്ക് ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം ഇവിടെ കണ്ടെത്താം:
കുറിപ്പ് 1. ഈ പ്രശ്നത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തിയില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക: ഞങ്ങൾ നിയന്ത്രണങ്ങൾ മാത്രം പരിഹരിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ പോയിന്റ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റേതാണോ എന്ന് പരിശോധിച്ചു. ഈ പ്രശ്നത്തിൽ, ഇത് മതിയായി മാറി. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും അങ്ങനെയല്ല. ഇത് ചുമതലയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
കുറിപ്പ് 2. ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഒരാൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഉപയോഗിക്കാം:
- ഒരു കോമ്പൗണ്ട് ഫംഗ്ഷന്റെ ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആന്തരിക പ്രവർത്തനം അതിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കൈക്കൊള്ളുന്ന അതേ പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കൈക്കൊള്ളുന്നു. വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: I if ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു വലിയ മൂല്യംഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ആർഗ്യുമെന്റ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.
- സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം കുറയുകയാണെങ്കിൽ, ആന്തരിക പ്രവർത്തനം ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം കൈക്കൊള്ളുന്ന അതേ പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കൈക്കൊള്ളുന്നു. . കുറയുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, ഇടവേള I-ൽ ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നു.
ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം - നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും വർദ്ധിക്കുന്നു. ലോഗരിതത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു പദപ്രയോഗമുണ്ട് - ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ, ഇത് ഒരു നെഗറ്റീവ് സീനിയർ കോഫിഫിഷ്യന്റ് ഉപയോഗിച്ച് പോയിന്റിലെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം എടുക്കുന്നു. 
. അടുത്തതായി, നമ്മൾ x ന്റെ ഈ മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു അതിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
$z=f(x,y)$ എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെടുകയും $D$ എന്ന ബൗണ്ടഡ് അടച്ച ഡൊമെയ്‌നിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്യട്ടെ. ഇതിനായി ഈ പ്രദേശത്ത് അനുവദിക്കുക നൽകിയ പ്രവർത്തനംആദ്യ ഓർഡറിന്റെ പരിമിതമായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട് (പരിമിതമായ എണ്ണം പോയിന്റുകൾ ഒഴികെ). തന്നിരിക്കുന്ന അടച്ച പ്രദേശത്ത് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഒരു ലളിതമായ അൽഗോരിതത്തിന്റെ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്.
$D$ എന്ന അടച്ച ഡൊമെയ്‌നിലെ $z=f(x,y)$ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം.
- $D$ എന്ന മേഖലയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന $z=f(x,y)$ ഫംഗ്ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. നിർണായക പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.
- സാധ്യമായ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങളുടെ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തി $D$ മേഖലയുടെ അതിർത്തിയിലുള്ള $z=f(x,y)$ ഫംഗ്ഷന്റെ സ്വഭാവം അന്വേഷിക്കുക. ലഭിച്ച പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.
- മുമ്പത്തെ രണ്ട് ഖണ്ഡികകളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായത് തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
നിർണ്ണായക പോയിന്റുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? കാണിക്കുക മറയ്ക്കുക
താഴെ നിർണായക പോയിന്റുകൾഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ പോയിന്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കുക (അതായത് $\frac(\ഭാഗിക z)(\ഭാഗിക x)=0$, $\frac(\ഭാഗിക z)(\ഭാഗിക y)=0 $) അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല.
ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ പോയിന്റുകളെ പലപ്പോഴും വിളിക്കുന്നു നിശ്ചല പോയിന്റുകൾ. അതിനാൽ, നിർണായക പോയിന്റുകളുടെ ഒരു ഉപവിഭാഗമാണ് സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റുകൾ.
ഉദാഹരണം #1
$x=3$, $y=0$, $y=x എന്നീ വരികളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അടച്ച മേഖലയിൽ $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക +1$.
മുകളിൽ പറഞ്ഞവ ഞങ്ങൾ പിന്തുടരും, എന്നാൽ ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത ഏരിയയുടെ ഡ്രോയിംഗ് കൈകാര്യം ചെയ്യും, അത് ഞങ്ങൾ $D$ എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കും. ഈ പ്രദേശത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മൂന്ന് നേർരേഖകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നു. $x=3$ എന്ന നേർരേഖ y-അക്ഷത്തിന് (അക്ഷം Oy) സമാന്തരമായ $(3;0)$ എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. നേർരേഖ $y=0$ എന്നത് abscissa അക്ഷത്തിന്റെ (Ox axis) സമവാക്യമാണ്. ശരി, ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാൻ $y=x+1$ നമുക്ക് ഈ നേർരേഖ വരയ്ക്കുന്ന രണ്ട് പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം. നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, $x$ എന്നതിന് പകരം രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, $x=10$ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ എന്ന വരിയിൽ $(10;11)$ എന്ന പോയിന്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. എന്നിരുന്നാലും, $x=3$, $y=0$ എന്നീ വരികളുമായി $y=x+1$ എന്ന വരി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതാണ് നല്ലത്. എന്തുകൊണ്ട് ഇത് മികച്ചതാണ്? കാരണം ഞങ്ങൾ ഒരു കല്ല് കൊണ്ട് രണ്ട് പക്ഷികളെ താഴെയിടും: $y=x+1$ എന്ന നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും, അതേ സമയം ഈ നേർരേഖ നൽകിയിരിക്കുന്ന മറ്റ് വരകളെ ഏത് ബിന്ദുകളിലാണ് വിഭജിക്കുന്നത് എന്ന് കണ്ടെത്തുക. പ്രദേശം. $y=x+1$ എന്ന വരി $x=3$ എന്ന വരിയെ $(3;4)$ എന്ന ബിന്ദുവിലും $y=0$ - എന്ന വരി $(-1;0)$ എന്ന ബിന്ദുവിലും വിഭജിക്കുന്നു. സഹായ വിശദീകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരത്തിന്റെ ഗതി അലങ്കോലപ്പെടുത്താതിരിക്കാൻ, ഈ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നേടുന്നതിനുള്ള ചോദ്യം ഞാൻ ഒരു കുറിപ്പിൽ ഇടും.
$(3;4)$, $(-1;0)$ എന്നീ പോയിന്റുകൾ എങ്ങനെയാണ് ലഭിച്ചത്? കാണിക്കുക മറയ്ക്കുക
$y=x+1$, $x=3$ എന്നീ വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. ആവശ്യമുള്ള പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഒന്നും രണ്ടും വരികളുടേതാണ്, അതിനാൽ അജ്ഞാത കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
$$ \ഇടത് \( \ആരംഭിച്ചു(വിന്യസിച്ചു) & y=x+1;\\ & x=3. \end(വിന്യസിച്ചു) \വലത്. $$
അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം നിസ്സാരമാണ്: ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് $x=3$ പകരം വയ്ക്കുന്നത് നമുക്ക് ലഭിക്കും: $y=3+1=4$. $(3;4)$ എന്നത് $y=x+1$, $x=3$ എന്നീ വരികളുടെ ആവശ്യമുള്ള ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റാണ്.
ഇനി നമുക്ക് $y=x+1$, $y=0$ എന്നീ വരികളുടെ വിഭജന പോയിന്റ് കണ്ടെത്താം. വീണ്ടും, ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
$$ \ഇടത് \( \ആരംഭിച്ചു(വിന്യസിച്ചു) & y=x+1;\\ & y=0. \end(വിന്യസിച്ചു) \വലത്. $$
ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് $y=0$ പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ എന്നത് $y=x+1$, $y=0$ (abscissa axis) എന്നീ വരികളുടെ ആവശ്യമുള്ള ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റാണ്.
ഇതുപോലെയുള്ള ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാൻ എല്ലാം തയ്യാറാണ്:
കുറിപ്പിന്റെ ചോദ്യം വ്യക്തമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, കാരണം ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് എല്ലാം കാണാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, ഡ്രോയിംഗ് തെളിവായി വർത്തിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നത് ഓർമിക്കേണ്ടതാണ്. ചിത്രം വ്യക്തതയ്ക്കുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം മാത്രമാണ്.
പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന വരികളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഞങ്ങളുടെ ഏരിയ സജ്ജീകരിച്ചത്. ഈ വരികൾ ഒരു ത്രികോണത്തെ നിർവചിക്കുന്നുവെന്നത് വ്യക്തമാണ്, അല്ലേ? അതോ വ്യക്തമല്ലേ? അല്ലെങ്കിൽ ഒരേ വരികളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന മറ്റൊരു പ്രദേശം നമുക്ക് നൽകിയേക്കാം:
തീർച്ചയായും, പ്രദേശം അടച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് വ്യവസ്ഥ പറയുന്നു, അതിനാൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചിത്രം തെറ്റാണ്. എന്നാൽ അത്തരം അവ്യക്തതകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, അസമത്വങ്ങളാൽ പ്രദേശങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. $y=x+1$ എന്ന വരിയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്? ശരി, $y ≤ x+1$. ഞങ്ങളുടെ ഏരിയ $y=0$ എന്ന വരിക്ക് മുകളിലായിരിക്കണം? കൊള്ളാം, അതിനാൽ $y ≥ 0$. വഴിയിൽ, അവസാനത്തെ രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ ഒന്നായി കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \ഇടത് \( \ആരംഭിച്ചു(വിന്യസിച്ചു) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(വിന്യസിച്ചു) \വലത്. $$
ഈ അസമത്വങ്ങൾ $D$ എന്ന ഡൊമെയ്‌നെ നിർവചിക്കുകയും അവ്യക്തതകളൊന്നുമില്ലാതെ അതിനെ അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ അടിക്കുറിപ്പിന്റെ തുടക്കത്തിലെ ചോദ്യത്തിൽ ഇത് നമ്മെ എങ്ങനെ സഹായിക്കും? ഇത് സഹായിക്കുകയും ചെയ്യും :) $M_1(1;1)$ എന്ന പോയിന്റ് $D$ എന്ന മേഖലയുടേതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ പ്രദേശത്തെ നിർവചിക്കുന്ന അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് $x=1$, $y=1$ എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. രണ്ട് അസമത്വങ്ങളും തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ, പോയിന്റ് പ്രദേശത്തിനകത്താണ്. അസമത്വങ്ങളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും തൃപ്‌തികരമല്ലെങ്കിൽ, പോയിന്റ് പ്രദേശത്തിന്റേതല്ല. അതിനാൽ:
$$ \ഇടത് \( \ആരംഭിച്ചു(വിന്യസിച്ചു) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(വിന്യസിച്ചു) \വലത്. \;\; \ഇടത് \( \(അലൈന് ചെയ്തു) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \ അവസാനം (വിന്യസിച്ചു) \വലത്.$$
രണ്ട് അസമത്വങ്ങളും ശരിയാണ്. $M_1(1;1)$ എന്ന പോയിന്റ് $D$ എന്ന പ്രദേശത്തിന്റേതാണ്.
ഇപ്പോൾ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ സ്വഭാവം അന്വേഷിക്കാനുള്ള ഊഴമാണ്, അതായത്. പോകുക. $y=0$ എന്ന നേർരേഖയിൽ തുടങ്ങാം.
$y=0$ (abscissa axis) എന്ന നേർരേഖ $-1 ≤ x ≤ 3$ എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ $D$ എന്ന പ്രദേശത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ എന്ന ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് $y=0$ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. $x$ എന്ന ഒരു വേരിയബിളിന്റെ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ $f_1(x)$ ആയി സൂചിപ്പിക്കും:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
ഇപ്പോൾ $f_1(x)$ ഫംഗ്‌ഷനായി $-1 ≤ x ≤ 3$ എന്ന ഇടവേളയിൽ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
$x=2$ മൂല്യം $-1 ≤ x ≤ 3$ എന്ന സെഗ്മെന്റിൽ പെടുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ പോയിന്റുകളുടെ പട്ടികയിലേക്ക് $M_2(2;0)$ ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. കൂടാതെ, $-1 ≤ x ≤ 3$ എന്ന സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തുള്ള $z$ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്. $M_3(-1;0)$, $M_4(3;0)$ എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ. വഴിയിൽ, പോയിന്റ് $M_2$ പരിഗണനയിലുള്ള സെഗ്മെന്റിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, തീർച്ചയായും, അതിൽ $z$ എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.
അതിനാൽ, $M_2$, $M_3$, $M_4$ എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ $z$ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, ഈ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗമായ $z=x^2+2xy-y^2-4x$-ൽ പകരം വയ്ക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, $M_2$ എന്ന പോയിന്റിന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
എന്നിരുന്നാലും, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ അൽപ്പം ലളിതമാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, $M_3M_4$ എന്ന സെഗ്മെന്റിൽ ഞങ്ങൾക്ക് $z(x,y)=f_1(x)$ ഉണ്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. ഞാൻ അത് വിശദമായി പറയാം:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \അവസാനം (വിന്യസിച്ചു)
തീർച്ചയായും, സാധാരണയായി അത്തരം വിശദമായ എൻട്രികൾ ആവശ്യമില്ല, ഭാവിയിൽ ഞങ്ങൾ എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ചെറിയ രീതിയിൽ എഴുതാൻ തുടങ്ങും:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
ഇനി നമുക്ക് $x=3$ എന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് തിരിയാം. $0 ≤ y ≤ 4$ എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള $D$ എന്ന ഡൊമെയ്‌നെ ഈ ലൈൻ പരിധിയാക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ $z$-ലേക്ക് $x=3$ പകരം വയ്ക്കുക. അത്തരമൊരു പകരത്തിന്റെ ഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് $f_2(y)$ എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
$f_2(y)$ ഫംഗ്‌ഷനായി, നിങ്ങൾ $0 ≤ y ≤ 4$ എന്ന ഇടവേളയിൽ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
$y=3$ മൂല്യം $0 ≤ y ≤ 4$ എന്ന സെഗ്മെന്റിൽ പെടുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ നേരത്തെ കണ്ടെത്തിയ പോയിന്റുകളിലേക്ക് $M_5(3;3)$ ചേർക്കുന്നു. കൂടാതെ, $0 ≤ y ≤ 4$ എന്ന സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തുള്ള പോയിന്റുകളിൽ $z$ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. $M_4(3;0)$, $M_6(3;4)$ എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ. $M_4(3;0)$ എന്ന പോയിന്റിൽ $z$ ന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ട്. $M_5$, $M_6$ എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ $z$ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. $M_4M_6$ സെഗ്മെന്റിൽ ഞങ്ങൾക്ക് $z(x,y)=f_2(y)$ ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, അതിനാൽ:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \അവസാനം (വിന്യസിച്ചു)
അവസാനമായി, $D$ ന്റെ അവസാന അതിർത്തി പരിഗണിക്കുക, അതായത്. വരി $y=x+1$. ഈ ലൈൻ $-1 ≤ x ≤ 3$ എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള $D$ മേഖലയെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. $z$ എന്ന ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് $y=x+1$ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവ ലഭിക്കും:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
ഒരിക്കൽ കൂടി നമുക്ക് $x$ എന്ന ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്. വീണ്ടും, $-1 ≤ x ≤ 3$ എന്ന സെഗ്മെന്റിൽ ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. $f_(3)(x)$ എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
$x=1$ എന്ന മൂല്യം $-1 ≤ x ≤ 3$ എന്ന ഇടവേളയുടേതാണ്. $x=1$ ആണെങ്കിൽ, $y=x+1=2$. പോയിന്റുകളുടെ പട്ടികയിലേക്ക് $M_7(1;2)$ ചേർക്കുകയും ഈ ഘട്ടത്തിൽ $z$ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തുള്ള പോയിന്റുകൾ $-1 ≤ x ≤ 3$, അതായത്. പോയിന്റുകൾ $M_3(-1;0)$, $M_6(3;4)$ എന്നിവ നേരത്തെ പരിഗണിച്ചിരുന്നു, അവയിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തി.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
പരിഹാരത്തിന്റെ രണ്ടാം ഘട്ടം പൂർത്തിയായി. ഞങ്ങൾക്ക് ഏഴ് മൂല്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
നമുക്ക് തിരിയാം. മൂന്നാമത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച ആ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കും:
$$z_(മിനിറ്റ്)=-4; \; z_(പരമാവധി)=6.$$
പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു, ഉത്തരം എഴുതാൻ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു.
ഉത്തരം: $z_(മിനിറ്റ്)=-4; \; z_(പരമാവധി)=6$.
ഉദാഹരണം #2
$x^2+y^2 ≤ 25$ എന്ന പ്രദേശത്ത് $z=x^2+y^2-12x+16y$ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.
ആദ്യം നമുക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കാം. $x^2+y^2=25$ എന്ന സമവാക്യം (ഇത് തന്നിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിന്റെ അതിർത്തിരേഖയാണ്) ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് ഒരു കേന്ദ്രവും (അതായത് $(0;0)$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ) ആരവും ഉള്ള ഒരു വൃത്തത്തെ നിർവചിക്കുന്നു. 5. അസമത്വം $x^2 +y^2 ≤ 25$ സൂചിപ്പിച്ച വൃത്തത്തിനകത്തും പുറത്തുമുള്ള എല്ലാ പോയിന്റുകളെയും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കും. ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുകയും നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം.
$$ \frac(\ഭാഗിക z)(\ഭാഗിക x)=2x-12; \frac(\ഭാഗിക z)(\ഭാഗിക y)=2y+16. $$
കണ്ടെത്തിയ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നിലവിലില്ലാത്ത പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല. രണ്ട് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഒരേസമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, അതായത്. നിശ്ചല പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
$$ \ഇടത് \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(വിന്യസിച്ചു) \വലത്.$$
ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിന്റ് ലഭിച്ചു $(6;-8)$. എന്നിരുന്നാലും, കണ്ടെത്തിയ പോയിന്റ് $D$ എന്ന പ്രദേശത്ത് ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. ഡ്രോയിംഗ് പോലും അവലംബിക്കാതെ ഇത് കാണിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഞങ്ങളുടെ ഡൊമെയ്ൻ $D$ നിർവചിക്കുന്ന അസമത്വം $x^2+y^2 ≤ 25$ നിലവിലുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം. $x=6$, $y=-8$ എങ്കിൽ, $x^2+y^2=36+64=100$, അതായത്. അസമത്വം $x^2+y^2 ≤ 25$ തൃപ്തികരമല്ല. ഉപസംഹാരം: പോയിന്റ് $(6;-8)$ $D$ എന്ന പ്രദേശത്ത് ഉൾപ്പെടുന്നില്ല.
അതിനാൽ, $D$ ഉള്ളിൽ നിർണ്ണായക പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല. നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം. തന്നിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പെരുമാറ്റം ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. വൃത്തത്തിൽ $x^2+y^2=25$. നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും $x$ എന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ $y$ പ്രകടിപ്പിക്കാം, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷൻ ഞങ്ങളുടെ $z$ എന്ന ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. സർക്കിൾ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $y=\sqrt(25-x^2)$ അല്ലെങ്കിൽ $y=-\sqrt(25-x^2)$. ഉദാഹരണത്തിന്, തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് $y=\sqrt(25-x^2)$ പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
കൂടുതൽ പരിഹാരം മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 1 ലെ പ്രദേശത്തിന്റെ അതിർത്തിയിലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന് പൂർണ്ണമായും സമാനമായിരിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ലഗ്രാഞ്ച് രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ന്യായമാണെന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു. ഈ രീതിയുടെ ആദ്യ ഭാഗത്തിൽ മാത്രമേ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ളൂ. Lagrange രീതിയുടെ ആദ്യ ഭാഗം പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കുകയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി $z$ ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കും.
ഞങ്ങൾ Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുന്നു:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും സമവാക്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ സംവിധാനം രചിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \ഇടത് \( \ആരംഭിക്കുക (അലൈൻ ചെയ്തത്) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aligned) \ വലത്. \;\; \ഇടത് \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( വിന്യസിച്ചു)\വലത്.$$
ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് $\lambda\neq -1$ എന്ന് ഉടൻ സൂചിപ്പിക്കാം. എന്തുകൊണ്ട് $\lambda\neq -1$? ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് $\lambda=-1$ പകരം വയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
$\lambda=-1$ മൂല്യം അസാധുവാണെന്ന് $0=6$ എന്ന വൈരുദ്ധ്യം പറയുന്നു. ഔട്ട്പുട്ട്: $\lambda\neq -1$. $\lambda$ എന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ $x$, $y$ എന്നിവ പ്രകടിപ്പിക്കാം:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \അവസാനം (വിന്യസിച്ചു)
എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ $\lambda\neq -1$ വ്യവസ്ഥ പ്രത്യേകമായി വ്യവസ്ഥ ചെയ്തതെന്ന് ഇവിടെ വ്യക്തമാകുമെന്ന് ഞാൻ വിശ്വസിക്കുന്നു. $1+\lambda$ എന്ന പദപ്രയോഗം തടസ്സമില്ലാതെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലേക്ക് യോജിപ്പിക്കുന്നതിനാണ് ഇത് ചെയ്തത്. അതായത്, ഡിനോമിനേറ്റർ $1+\lambda\neq 0$ ആണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.
$x$, $y$ എന്നിവയ്‌ക്കായി ലഭിച്ച എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, അതായത്. $x^2+y^2=25$-ൽ:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയിൽ നിന്ന് $1+\lambda=2$ അല്ലെങ്കിൽ $1+\lambda=-2$. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് $\lambda$ എന്ന പാരാമീറ്ററിന്റെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്, അതായത്: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. അതനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് $x$, $y$ എന്നീ രണ്ട് ജോഡി മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കും:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \അവസാനം (വിന്യസിച്ചു)
അതിനാൽ, നമുക്ക് സാധ്യമായ സോപാധികമായ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ലഭിച്ചു, അതായത്. $M_1(3;-4)$, $M_2(-3;4)$. $M_1$, $M_2$ എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ $z$ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \അവസാനം (വിന്യസിച്ചു)
ഒന്നും രണ്ടും ഘട്ടങ്ങളിൽ നമുക്ക് ലഭിച്ചതിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കണം. എന്നാൽ അകത്ത് ഈ കാര്യംതിരഞ്ഞെടുപ്പ് ചെറുതാണ് :) ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:
$$z_(മിനിറ്റ്)=-75; \; z_(പരമാവധി)=125. $$
ഉത്തരം: $z_(മിനിറ്റ്)=-75; \; z_(പരമാവധി)=125$.
ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞാൻ സംസാരിക്കും ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതംപ്രവർത്തനം, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിന്റുകൾ.
സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് തീർച്ചയായും ആവശ്യമാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടികഒപ്പം വ്യത്യസ്തത നിയമങ്ങൾ. ഈ ബോർഡിൽ എല്ലാം ഉണ്ട്:
ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം.
വിശദീകരിക്കാൻ എനിക്ക് എളുപ്പമാണെന്ന് തോന്നുന്നു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം. പരിഗണിക്കുക:
ഉദാഹരണം:[–4;0] എന്ന വിഭാഗത്തിൽ y=x^5+20x^3–65x ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
ഘട്ടം 1.ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുന്നു.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
ഘട്ടം 2എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
എക്സ്ട്രീം പോയിന്റ്ഫംഗ്‌ഷൻ അതിന്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ മൂല്യത്തിൽ എത്തുന്ന അത്തരം പോയിന്റുകൾക്ക് ഞങ്ങൾ പേര് നൽകുന്നു.
എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഈ ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു, കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ നമ്മുടെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളാണ്.
t = x^2, തുടർന്ന് 5t^2 + 60t - 65 = 0 എന്നിവ മാറ്റിവെച്ച് ഞാൻ അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.
സമവാക്യം 5 കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
ഞങ്ങൾ റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ x^2 = t:
X_(1 ഉം 2 ഉം) = ± sqrt(1) = ±1
x_(3 ഉം 4 ഉം) = ± sqrt(-13) (ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു, റൂട്ടിന് കീഴിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകരുത്, തീർച്ചയായും നമ്മൾ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്)
ആകെ: x_(1) = 1, x_(2) = -1 - ഇവയാണ് ഞങ്ങളുടെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ.
ഘട്ടം 3ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുക.
സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി.
വ്യവസ്ഥയിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് സെഗ്മെന്റ് [b][–4;0] നൽകി. x=1 എന്ന പോയിന്റ് ഈ സെഗ്മെന്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് പരിഗണിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ x=-1 എന്ന പോയിന്റിന് പുറമേ, നമ്മുടെ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഇടത്, വലത് ബോർഡറുകളും പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് -4, 0 എന്നീ പോയിന്റുകൾ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഈ മൂന്ന് പോയിന്റുകളും യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. കണ്ടീഷനിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത് ഒറിജിനൽ ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക (y=x^5+20x^3–65x), ചിലത് ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
ഇതിനർത്ഥം ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി മൂല്യം [b]44 ആണ്, അത് [b]-1 പോയിന്റുകളിൽ എത്തുന്നു, ഇത് സെഗ്‌മെന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു [-4; 0].
ഞങ്ങൾ തീരുമാനിച്ചു, ഉത്തരം ലഭിച്ചു, ഞങ്ങൾ മികച്ചവരാണ്, നിങ്ങൾക്ക് വിശ്രമിക്കാം. എന്നാൽ നിർത്തുക! y(-4) എണ്ണുന്നത് എങ്ങനെയെങ്കിലും വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നില്ലേ? പരിമിതമായ സമയ സാഹചര്യങ്ങളിൽ, മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, ഞാൻ അതിനെ ഇതുപോലെ വിളിക്കുന്നു:
സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകളിലൂടെ.
ഈ വിടവുകൾ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി, അതായത് നമ്മുടെ ദ്വിചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യത്തിനായി കാണപ്പെടുന്നു.
ഞാൻ അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യുന്നു. ഞാൻ ഒരു ദിശാരേഖ വരയ്ക്കുന്നു. ഞാൻ പോയിന്റുകൾ സജ്ജീകരിച്ചു: -4, -1, 0, 1. തന്നിരിക്കുന്ന സെഗ്മെന്റിൽ 1 ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല എന്ന വസ്തുത ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകൾ ശരിയായി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. നമുക്ക് 1-നേക്കാൾ പലമടങ്ങ് വലിയ ചില സംഖ്യകൾ എടുക്കാം, നമുക്ക് 100 എന്ന് പറയാം, അതിനെ മാനസികമായി നമ്മുടെ ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായ 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65-ലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഒന്നും കണക്കാക്കാതെ തന്നെ, 100 എന്ന പോയിന്റിൽ അത് വ്യക്തമാകും. ഫംഗ്‌ഷന് പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം 1 മുതൽ 100 വരെയുള്ള ഇടവേളകളിൽ ഇതിന് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ട്. 1-ലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ (ഞങ്ങൾ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് പോകുന്നു), ഫംഗ്ഷൻ ചിഹ്നം മൈനസിലേക്ക് മാറ്റും. പോയിന്റ് 0 ലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ അടയാളം നിലനിർത്തും, കാരണം ഇത് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അതിർത്തി മാത്രമാണ്, സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ടല്ല. -1 ലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ വീണ്ടും ചിഹ്നത്തെ പ്ലസ് ആയി മാറ്റും.
സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എവിടെയാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം (അതിനായി ഞങ്ങൾ ഇത് വരച്ചു) പ്ലസ് മുതൽ മൈനസ് വരെയുള്ള ചിഹ്നം മാറ്റുന്നു (നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ പോയിന്റ് -1)പ്രവർത്തനം എത്തുന്നു അതിന്റെ പ്രാദേശിക പരമാവധി (y(-1)=44 നേരത്തെ കണക്കാക്കിയത് പോലെ)ഈ സെഗ്മെന്റിൽ (ഇത് യുക്തിപരമായി വളരെ വ്യക്തമാണ്, ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നത് അവസാനിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, കാരണം ഇത് അതിന്റെ പരമാവധിയിലെത്തി കുറയാൻ തുടങ്ങി).
അതനുസരിച്ച്, ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എവിടെയാണ് മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് ചിഹ്നം മാറുന്നു, നേടിയത് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പ്രാദേശിക മിനിമം. അതെ, അതെ, ഞങ്ങൾ ലോക്കൽ മിനിമം പോയിന്റും കണ്ടെത്തി, അത് 1 ആണ്, കൂടാതെ y(1) എന്നത് ഇടവേളയിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യമാണ്, നമുക്ക് -1 മുതൽ +∞ വരെ പറയാം. ഇത് ഒരു പ്രാദേശിക മിനിമം മാത്രമാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക, അതായത് ഒരു നിശ്ചിത സെഗ്‌മെന്റിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്. യഥാർത്ഥ (ആഗോള) മിനിമം ഫംഗ്ഷൻ എവിടെയെങ്കിലും എത്തുമെന്നതിനാൽ, -∞.
എന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ആദ്യ രീതി സൈദ്ധാന്തികമായി ലളിതമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ലളിതമാണ്, എന്നാൽ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ടിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ അടയാളം മാറാത്ത സന്ദർഭങ്ങളുണ്ട്, തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് ഈ പ്രാദേശിക, ആഗോള മാക്സിമ, മിനിമ എന്നിവയുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാം, എന്നിരുന്നാലും നിങ്ങൾ ആസൂത്രണം ചെയ്താൽ അത് നന്നായി കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടിവരും. ഒരു സാങ്കേതിക സർവ്വകലാശാലയിൽ പ്രവേശിക്കാൻ (കൂടാതെ മറ്റെന്താണ് നൽകേണ്ടത് പ്രൊഫൈൽ പരീക്ഷഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക). എന്നാൽ പരിശീലനവും പരിശീലനവും മാത്രമേ ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിപ്പിക്കുകയുള്ളൂ. കൂടാതെ ഞങ്ങളുടെ വെബ്സൈറ്റിൽ നിങ്ങൾക്ക് പരിശീലനം നൽകാം. ഇവിടെ .
നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ എന്തെങ്കിലും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, ചോദിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകാനും ലേഖനത്തിൽ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്താനും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും ഞാൻ സന്തുഷ്ടനാണ്. ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ചാണ് ഈ സൈറ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നതെന്ന് ഓർക്കുക!
ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എങ്ങനെ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാമെന്ന് നോക്കാം. ഗ്രാഫ് നോക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള എല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും, അതായത്:
- പ്രവർത്തന വ്യാപ്തി
- പ്രവർത്തന ശ്രേണി
- ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ
- വർദ്ധനവിന്റെയും കുറവിന്റെയും കാലഘട്ടങ്ങൾ
- ഉയർന്നതും താഴ്ന്നതുമായ പോയിന്റുകൾ
- ഇടവേളയിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യം.
നമുക്ക് പദാവലി വ്യക്തമാക്കാം:
അബ്സിസ്സപോയിന്റിന്റെ തിരശ്ചീന കോർഡിനേറ്റ് ആണ്.
ഓർഡിനേറ്റ് ചെയ്യുക- ലംബ കോർഡിനേറ്റ്.
abscissa- തിരശ്ചീന അക്ഷം, മിക്കപ്പോഴും അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
Y-അക്ഷം- ലംബ അക്ഷം, അല്ലെങ്കിൽ അച്ചുതണ്ട്.
വാദംഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ആശ്രയിക്കുന്ന ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളാണ്. മിക്കപ്പോഴും സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ സ്വയം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, ഫംഗ്ഷൻ ഫോർമുലയിൽ പകരം വയ്ക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഡൊമെയ്ൻഫംഗ്‌ഷനുകൾ - ഫംഗ്ഷൻ നിലനിൽക്കുന്ന ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ (ഒപ്പം മാത്രം) മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം.
സൂചിപ്പിച്ചത്: അല്ലെങ്കിൽ .
ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഒരു സെഗ്മെന്റാണ്. ഈ സെഗ്മെന്റിലാണ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് വരച്ചിരിക്കുന്നത്. ഇവിടെ മാത്രമേ ഈ പ്രവർത്തനം നിലവിലുള്ളൂ.
പ്രവർത്തന ശ്രേണിവേരിയബിൾ എടുക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ്. ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിൽ, ഇത് ഒരു സെഗ്മെന്റാണ് - ഏറ്റവും താഴ്ന്നത് മുതൽ ഉയർന്ന മൂല്യം വരെ.
ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ- ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ പോയിന്റുകൾ, അതായത്. ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിൽ, ഇവയാണ് പോയിന്റുകളും .
പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആണ്എവിടെ . ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിൽ, ഇവ ഇടവേളകളും .
പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ആണ്എവിടെ . ഞങ്ങൾക്ക് ഈ ഇടവേള (അല്ലെങ്കിൽ ഇടവേള) മുതൽ വരെ.
ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങൾ - പ്രവർത്തനങ്ങൾ വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നുചില സെറ്റിൽ. ഒരു സെറ്റ് എന്ന നിലയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സെഗ്മെന്റ്, ഒരു ഇടവേള, ഇടവേളകളുടെ ഒരു യൂണിയൻ അല്ലെങ്കിൽ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനും എടുക്കാം.
ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, കൂടുതൽ , കൂടുതൽ , അതായത് ഗ്രാഫ് വലത്തോട്ടും മുകളിലേക്കും പോകുന്നു.
ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നുസെറ്റിൽ എന്തെങ്കിലും ആണെങ്കിൽ സെറ്റിൽ പെട്ടതാണെങ്കിൽ അസമത്വം അസമത്വത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
കുറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി, ഒരു വലിയ മൂല്യം ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഗ്രാഫ് വലത്തോട്ടും താഴോട്ടും പോകുന്നു.
ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുകയും ഇടവേളകളിൽ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.
എന്താണെന്ന് നമുക്ക് നിർവചിക്കാം ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ.
പരമാവധി പോയിന്റ്- ഇത് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ഒരു ആന്തരിക പോയിന്റാണ്, അതിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം അതിനോട് വേണ്ടത്ര അടുത്തുള്ള എല്ലാ പോയിന്റുകളേക്കാളും കൂടുതലാണ്.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പരമാവധി പോയിന്റ് അത്തരമൊരു പോയിന്റാണ്, ഏത് ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യമാണ് കൂടുതൽഅയൽവാസികളേക്കാൾ. ഇത് ചാർട്ടിലെ ഒരു പ്രാദേശിക "കുന്നു" ആണ്.
ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിൽ - പരമാവധി പോയിന്റ്.
താഴ്ന്ന പോയിന്റ്- നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ഒരു ആന്തരിക പോയിന്റ്, അതിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം അതിനോട് വേണ്ടത്ര അടുത്തുള്ള എല്ലാ പോയിന്റുകളേക്കാളും കുറവാണ്.
അതായത്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്, അതിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം അയൽവാസികളേക്കാൾ കുറവാണ്. ഗ്രാഫിൽ, ഇത് ഒരു പ്രാദേശിക "ദ്വാരം" ആണ്.
ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിൽ - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്.
പോയിന്റ് അതിർത്തിയാണ്. ഇത് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ഒരു ഇന്റീരിയർ പോയിന്റല്ല, അതിനാൽ പരമാവധി പോയിന്റിന്റെ നിർവചനത്തിന് അനുയോജ്യമല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അവൾക്ക് ഇടതുവശത്ത് അയൽക്കാരില്ല. അതുപോലെ, നമ്മുടെ ചാർട്ടിൽ മിനിമം പോയിന്റ് ഉണ്ടാകില്ല.
കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ പോയിന്റുകളെ കൂട്ടായി വിളിക്കുന്നു ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്ര പോയിന്റുകൾ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് കൂടാതെ .
എന്നാൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്ഷൻ മിനിമംമുറിവിൽ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉത്തരം ഇതാണ്: കാരണം ഫംഗ്ഷൻ മിനിമംഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റിൽ അതിന്റെ മൂല്യമാണ്.
അതുപോലെ, ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പരമാവധി . അത് ബിന്ദുവിൽ എത്തിയിരിക്കുന്നു.
ഫംഗ്ഷന്റെ തീവ്രത, എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.
ചിലപ്പോൾ ടാസ്ക്കുകളിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾതന്നിരിക്കുന്ന സെഗ്മെന്റിൽ. അവ തീവ്രതയുമായി പൊരുത്തപ്പെടണമെന്നില്ല.
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രവർത്തന മൂല്യംഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതിന് തുല്യവും പൊരുത്തപ്പെടുന്നതുമാണ്. എന്നാൽ ഈ വിഭാഗത്തിലെ അതിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം തുല്യമാണ്. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഇടത് അറ്റത്താണ് ഇത് എത്തുന്നത്.
ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, ഒരു സെഗ്‌മെന്റിലെ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളിലോ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റങ്ങളിലോ കൈവരിക്കുന്നു.
ഒരു ഫ്ലോട്ടിംഗ് വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒരു ലൈഫ്‌ലൈനായി വർത്തിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള ഒരു മിനിയേച്ചറും ലളിതവുമായ ടാസ്ക്. പ്രകൃതിയിൽ, ജൂലൈ പകുതിയോടെ ഉറക്കമില്ലാത്ത മേഖല, അതിനാൽ കടൽത്തീരത്ത് ഒരു ലാപ്‌ടോപ്പുമായി സ്ഥിരതാമസമാക്കാൻ സമയമായി. രാവിലെ തന്നെ കളിച്ചു സൂര്യകിരണങ്ങൾസിദ്ധാന്തം, പ്രായോഗികതയിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം, അതിന്റെ ഭാരം കുറഞ്ഞതാണെങ്കിലും, മണലിൽ ഗ്ലാസ് ശകലങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഈ പേജിന്റെ ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ മനസ്സാക്ഷിയോടെ പരിഗണിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. പ്രായോഗിക ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുകകൂടാതെ ലേഖനത്തിന്റെ മെറ്റീരിയൽ മനസ്സിലാക്കുക ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ.
ആദ്യം, പ്രധാന കാര്യത്തെക്കുറിച്ച് ചുരുക്കത്തിൽ. എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പാഠത്തിൽ പ്രവർത്തന തുടർച്ചഒരു ബിന്ദുവിലെ തുടർച്ചയുടെയും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയുടെയും നിർവചനം ഞാൻ നൽകി. ഒരു സെഗ്‌മെന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ മാതൃകാപരമായ പെരുമാറ്റം രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു സമാനമായി. ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു സെഗ്മെന്റിൽ തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു:
1) ഇത് ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു;
2) ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി വലതുവശത്ത്പോയിന്റിലും ഇടത്തെ.
രണ്ടാമത്തെ ഖണ്ഡിക വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഏകപക്ഷീയമായ തുടർച്ചഒരു ഘട്ടത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അതിന്റെ നിർവചനത്തിന് നിരവധി സമീപനങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ ഞാൻ നേരത്തെ ആരംഭിച്ച വരിയിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കും:
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി നടക്കുന്നു വലതുവശത്ത്, അത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ നിർവചിക്കുകയും അതിന്റെ വലതുഭാഗത്തെ പരിധി ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ: 
. ബിന്ദുവിൽ അത് തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു ഇടത്തെ, ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ നിർവചിക്കുകയും അതിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പരിധി ആ പോയിന്റിലെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ: 
മാജിക് റബ്ബർ ബാൻഡ് ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന നഖങ്ങളാണ് പച്ച ഡോട്ടുകൾ എന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക:
മാനസികമായി നിങ്ങളുടെ കൈകളിൽ ചുവന്ന വര എടുക്കുക. വ്യക്തമായും, നമ്മൾ ഗ്രാഫ് മുകളിലേക്കും താഴേക്കും (അച്ചുതണ്ടിൽ) എത്രത്തോളം നീട്ടിയാലും, പ്രവർത്തനം നിലനിൽക്കും. പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു- മുകളിൽ ഒരു വേലി, താഴെ ഒരു വേലി, ഞങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു പാടശേഖരത്തിൽ മേയുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു സെഗ്മെന്റിൽ തുടർച്ചയായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അതിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, ഈ ലളിതമായ വസ്തുത പ്രസ്താവിക്കുകയും കർശനമായി തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു വെയർസ്ട്രാസിന്റെ ആദ്യ സിദ്ധാന്തം.... ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രാഥമിക പ്രസ്താവനകൾ മടുപ്പിക്കുന്ന തരത്തിൽ സാധൂകരിക്കപ്പെടുന്നതിൽ പലരും അലോസരപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ ഉണ്ട് പ്രധാന അർത്ഥം. ടെറി മധ്യകാലഘട്ടത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത നിവാസികൾ ദൃശ്യപരതയുടെ പരിധിക്കപ്പുറം ആകാശത്തേക്ക് ഗ്രാഫ് വലിച്ചിട്ടതായി കരുതുക, ഇത് ചേർത്തു. ദൂരദർശിനി കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, ബഹിരാകാശത്തിലെ പരിമിതമായ പ്രവർത്തനം ഒട്ടും വ്യക്തമായിരുന്നില്ല! തീർച്ചയായും, ചക്രവാളത്തിനപ്പുറം എന്താണ് നമ്മെ കാത്തിരിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ അറിയാം? എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഒരിക്കൽ ഭൂമി പരന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്നു, അതിനാൽ ഇന്ന് സാധാരണ ടെലിപോർട്ടേഷനുപോലും തെളിവ് ആവശ്യമാണ് =)
ഇതനുസരിച്ച് രണ്ടാമത്തെ വീർസ്ട്രാസ് സിദ്ധാന്തം, സെഗ്മെന്റിൽ തുടർച്ചയായിപ്രവർത്തനം അതിലെത്തുന്നു കൃത്യമായ മുകളിലെ അറ്റംഅവന്റെയും കൃത്യമായ താഴത്തെ അറ്റം .
നമ്പറിലും വിളിച്ചിട്ടുണ്ട് സെഗ്‌മെന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി മൂല്യംസൂചിപ്പിക്കുന്നതും സംഖ്യ - സെഗ്‌മെന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യംഅടയാളപ്പെടുത്തി .
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ: 
കുറിപ്പ്
: സിദ്ധാന്തത്തിൽ, രേഖകൾ സാധാരണമാണ് 
.
ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം എവിടെയാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് ഉയര്ന്ന സ്ഥാനംഗ്രാഫിക്സ്, ഏറ്റവും ചെറിയത് - ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പോയിന്റ് എവിടെയാണ്.
പ്രധാനം!എന്ന ലേഖനത്തിൽ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തീവ്രത, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യംഒപ്പം ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രവർത്തന മൂല്യം – ഒരേ അല്ല, എന്ത് പരമാവധി പ്രവർത്തനംഒപ്പം ഫംഗ്ഷൻ മിനിമം. അതിനാൽ, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സംഖ്യയാണ് സംഖ്യ, പക്ഷേ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യമല്ല.
വഴിയിൽ, സെഗ്മെന്റിന് പുറത്ത് എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത്? അതെ, പ്രളയം പോലും, പരിഗണനയിലിരിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിന്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ, ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒട്ടും താൽപ്പര്യമില്ല. രണ്ട് അക്കങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് മാത്രമാണ് ചുമതല 
അത്രമാത്രം!
മാത്രമല്ല, പരിഹാരം പൂർണ്ണമായും വിശകലനാത്മകമാണ്, അതിനാൽ, വരയ്ക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല!
അൽഗോരിതം ഉപരിതലത്തിൽ കിടക്കുന്നു, മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് സ്വയം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:
1) ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക നിർണായക പോയിന്റുകൾ, അത് ഈ വിഭാഗത്തിൽ പെട്ടതാണ്.
ഒരു ഗുഡി കൂടി പിടിക്കുക: ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് മതിയായ അവസ്ഥ പരിശോധിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം, ഇപ്പോൾ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, കുറഞ്ഞത് അല്ലെങ്കിൽ കൂടിയ സാന്നിധ്യം ഇതുവരെ ഉറപ്പുനൽകിയിട്ടില്ലഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അല്ലെങ്കിൽ കൂടിയ മൂല്യം എന്താണ്. ഡെമോ ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ പരമാവധിയിലെത്തുന്നു, വിധിയുടെ ഇച്ഛയനുസരിച്ച് അതേ സംഖ്യയാണ് ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യംഇടവേളയിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. പക്ഷേ, തീർച്ചയായും, അത്തരമൊരു യാദൃശ്ചികത എല്ലായ്പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നില്ല.
അതിനാൽ, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നത് വേഗതയേറിയതും എളുപ്പവുമാണ്, അവയ്ക്ക് എക്സ്ട്രീമ ഉണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് വിഷമിക്കാതെ.
2) സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.
3) 1-ഉം 2-ഉം ഖണ്ഡികകളിൽ കാണുന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ചെറുതും ഏറ്റവും വലുതും തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു വലിയ സംഖ്യ, ഉത്തരം എഴുതുക.
ഞങ്ങൾ നീലക്കടലിന്റെ തീരത്ത് ഇരുന്നു ആഴം കുറഞ്ഞ വെള്ളത്തിൽ കുതികാൽ അടിക്കുന്നു:
ഉദാഹരണം 1
ഒരു സെഗ്മെന്റിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം:
1) ഈ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:
രണ്ടാമത്തേതിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു നിര്ണ്ണായക ബിന്ദു:
2) സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക: 
3) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലുകളും ലോഗരിതങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് "ബോൾഡ്" ഫലങ്ങൾ ലഭിച്ചു, ഇത് അവയുടെ താരതമ്യത്തെ ഗണ്യമായി സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്നു. ഇക്കാരണത്താൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ എക്സൽ ഉപയോഗിച്ച് സ്വയം ആയുധമാക്കുകയും ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യും, അത് മറക്കരുത്: 
ഇപ്പോൾ എല്ലാം വ്യക്തമാണ്.
ഉത്തരം:
സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ ഉദാഹരണം:
ഉദാഹരണം 6
ഒരു സെഗ്മെന്റിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക
