гэр › Төрөл бүрийн › Логарифмын 1 суурь 4. Логарифмын тодорхойлолт, шинж чанар: онол, бодлого

Логарифмын 1 суурь 4. Логарифмын тодорхойлолт, шинж чанар: онол, бодлого

Анхан шатны алгебрийн элементүүдийн нэг нь логарифм юм. Нэр нь ирсэн Грек"тоо" эсвэл "хүч" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд эцсийн тоог олохын тулд суурь дээрх тоог өсгөх шаардлагатай хүчийг илэрхийлдэг.

Логарифмын төрлүүд

log a b нь b тооны a суурийн логарифм (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - аравтын логарифм (логарифмын суурь 10, a = 10);
ln b - натурал логарифм (логарифмын суурь e, a = e).

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?

b тооны а суурийн логарифм нь илтгэгч бөгөөд энэ нь а суурийг b тоо хүртэл өсгөхийг шаарддаг. Үр дүн нь "b-ийн логарифм нь a-ийн суурь" гэсэн үг юм. Логарифмын асуудлын шийдэл нь өгөгдсөн зэрэглэлийг заасан тоонуудын тоогоор тодорхойлох явдал юм. Логарифмыг тодорхойлох, шийдвэрлэх, мөн тэмдэглэгээг өөрөө өөрчлөх үндсэн дүрмүүд байдаг. Тэдгээрийг ашиглан логарифмын тэгшитгэлийг шийдэж, деривативыг олох, интегралыг шийдвэрлэх болон бусад олон үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үндсэндээ логарифмын шийдэл нь түүний хялбаршуулсан тэмдэглэгээ юм. Үндсэн томъёо, шинж чанаруудыг доор харуулав.

Ямар ч а; a > 0; a ≠ 1 ба дурын x хувьд; y > 0.

a log a b = b - үндсэн логарифмын ижилсэл
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0-ийн хувьд
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - шинэ суурь руу шилжих томъёо
log a x = 1/log x a

Логарифмыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ - алхам алхмаар шийдвэрлэх заавар

Эхлээд шаардлагатай тэгшитгэлийг бичнэ үү.

Анхаарна уу: хэрэв суурь логарифм нь 10 бол бичлэгийг богиносгож, аравтын логарифмийг авна. Хэрэв натурал e тоо байгаа бол натурал логарифм болгон бууруулж бичнэ. Энэ нь бүх логарифмын үр дүн нь b тоог олж авахын тулд суурь тоог өсгөх хүчин чадал юм.

Шууд шийдэл нь энэ зэргийн тооцоонд оршдог. Логарифм бүхий илэрхийлэлийг шийдэхийн өмнө үүнийг дүрмийн дагуу, өөрөөр хэлбэл томъёог ашиглан хялбарчлах ёстой. Өгүүлэлд бага зэрэг буцаж орсноор та үндсэн таних тэмдгийг олж болно.

Логарифмыг хоёроор нэмэх, хасах янз бүрийн тоо, гэхдээ ижил суурьтай бол b ба c тоонуудын үржвэр буюу хуваагдлаар нэг логарифмаар солино. Энэ тохиолдолд та шилжилтийн томъёог өөр суурь дээр хэрэглэж болно (дээрхийг үзнэ үү).

Хэрэв та логарифмыг хялбарчлахын тулд илэрхийлэл ашиглаж байгаа бол зарим хязгаарлалтыг анхаарах хэрэгтэй. Энэ нь: a логарифмын суурь нь зөвхөн эерэг тоо боловч нэгтэй тэнцүү биш юм. b тоо нь а шиг тэгээс их байх ёстой.

Илэрхийллийг хялбаршуулсаны дараа та логарифмыг тоон хэлбэрээр тооцоолох боломжгүй байх тохиолдол байдаг. Ийм илэрхийлэл нь утгагүй байдаг, учир нь олон градус нь иррационал тоо юм. Энэ нөхцөлд тооны хүчийг логарифм хэлбэрээр үлдээнэ.

үндсэн шинж чанарууд.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

ижил үндэслэл

log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргумент дээр зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7 бөгөөд Лев Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та мэдэх болно яг үнэ цэнэүзэсгэлэнд оролцогчид, мөн Лев Толстойн төрсөн он сар өдөр.

Логарифмын жишээ

Илэрхийллийн логарифмыг ав

Жишээ 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 шинж чанаруудаар бид тооцоолно

4. Хаана .

Жишээ 2 Хэрэв x-г ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тооны нэгэн адил нэмэх, хасах, хөрвүүлэх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь тийм ч энгийн тоо биш тул энд дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн шинж чанарууд.

Эдгээр дүрмийг мэддэг байх ёстой - үүнгүйгээр ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Анхаарна уу: энд гол зүйл бол - ижил үндэслэл. Хэрэв суурь нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томъёо нь танд тооцоолоход тусална логарифм илэрхийлэлтүүний бие даасан хэсгүүдийг тооцдоггүй байсан ч ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмын суурь нь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон тестийн цаас. Тийм ээ, хяналт - шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэл (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Үүнийг харахад амархан сүүлчийн дүрэмэхний хоёрыг дагадаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдаж байвал эдгээр бүх дүрмүүд нь утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Мөн өөр нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сурах, өөрөөр хэлбэл. та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоог логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй болохыг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

гэж бодож байна сүүлчийн жишээтодруулах шаардлагатай. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томьёо. Логарифм бол шийдлийн жишээ юм.

Тэд тэнд зогсож буй логарифмын үндэслэл, аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоологч ба хуваагч нь ижил тоотой: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үр дүн нь хариулт юм: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хэрэв суурь нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг солих боломжтой боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр байна.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс бусад тохиолдолд шийдэх боломжгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Логарифмын аргументууд нь яг экспонент гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул бид тайвнаар дөрөв ба хоёрыг үржүүлээд дараа нь логарифмуудыг олов.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо салцгаая аравтын логарифм, шинэ суурь руу шилжих:

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зөвхөн логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Үнэхээр b тоог энэ зэрэгт байгаа b тоо нь а тоог өгөх хэмжээнд хүртэл өсгөвөл юу болох вэ? Энэ нь зөв: энэ нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүн дээр "өлгөх" болно.

Шинэ суурь хөрвүүлэх томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 гэдгийг анхаарна уу - зүгээр л суурь болон логарифмын аргументаас квадратыг гаргаж авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанарууд гэж нэрлэхэд хэцүү хоёр таних тэмдгийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтоос гарах үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд ордог бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.

logaa = 1 байна. Нэг удаа санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

b тооны суурь а хүртэлх логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолно гэдэг нь тэгш байдал үнэн байх ийм x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Дээр дурдсан шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай, учир нь тэдгээрийн үндсэн дээр бараг бүх асуудал, жишээг логарифм дээр үндэслэн шийддэг. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авч болно

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог тооцоолохдоо (3.4) ихэвчлэн тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр талтай байдаг.
Аравтын суурь логарифмыг ихэвчлэн арван суурь логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бүртгэлд үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс харагдаж байна. Жишээлбэл

Натурал логарифм нь суурь нь экспонент (ln(x) гэж тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7 бөгөөд Лев Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Өөр нэг чухал суурь нь хоёр логарифм юм

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Дээрх материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын бодлогыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгохын тулд би зөвхөн цөөн хэдэн нийтлэг жишээг өгөх болно сургуулийн сургалтын хөтөлбөрболон их дээд сургуулиуд.

Логарифмын жишээ

Илэрхийллийн логарифмыг ав

Жишээ 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 шинж чанаруудаар бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгавартай шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

4. Хаана .

Хэд хэдэн дүрмийг ашиглан төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэлбэрт хялбаршуулсан болно

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2 Хэрэв x-г ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид 5 ба 13-р шинж чанаруудыг сүүлийн үе хүртэл хэрэглэнэ

Тэмдэглэлд орлуулж, эмгэнэл илэрхийл

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Нөхцөлүүдийн нийлбэрээр логарифм бичих хувьсагчийн логарифмыг авна

Энэ бол логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифмын тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг танд удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаархи мэдлэгийг өргөжүүлэх болно ...

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Эдгээр томьёо нь логарифмын илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмын суурь нь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, хяналт - шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэл (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргумент дээр зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй болохыг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээг тодруулах шаардлагатай гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Тэд тэнд зогсож буй логарифмын үндэслэл, аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Шинэ суурь руу шилжих

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

logaa = 1 байна. Нэг удаа санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Натурал логарифмын үндсэн шинж чанарууд, график, тодорхойлолтын муж, утгын олонлог, үндсэн томъёо, дериватив, интеграл, зэрэглэлийн цуваа дахь тэлэлт, ln x функцийг комплекс тоогоор дүрслэн харуулахыг үзүүлэв.

Тодорхойлолт

байгалийн логарифмнь y = функц юм ln x, илтгэгчийн урвуу, x \u003d e y ба энэ нь e тооны суурийн логарифм юм: ln x = log e x.

Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x)′ = 1/ x.

Үндэслэсэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = функцийн график ln x.

Натурал логарифмын график (функц у = ln x) илтгэгчийн графикаас гарна толин тусгал дүрс y = x шулуун шугамтай харьцуулахад.

Натурал логарифм нь x-ийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог. Энэ нь тодорхойлолтын талбартаа монотоноор нэмэгддэг.

x → гэж 0 натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй ( - ∞ ).

x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй ( + ∞ ) байна. Том х-ийн хувьд логарифм аажмаар нэмэгддэг. А эерэг үзүүлэлттэй аливаа х a чадлын функц логарифмаас хурдан өсдөг.

Натурал логарифмын шинж чанарууд

Тодорхойлолтын талбар, утгын багц, экстремум, өсөлт, бууралт

Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.

ln x утгууд

бүртгэл 1 = 0

Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо

Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёо:

Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар

Суурь солих томъёо

Аливаа логарифмыг үндсэн өөрчлөлтийн томъёог ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Эдгээр томъёоны баталгааг "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.

Урвуу функц

Натурал логарифмын эсрэг тал нь экспонент юм.

Хэрэв бол

Хэрэв , тэгвэл .

Дериватив ln x

Натурал логарифмын дериватив:
.
X модулийн натурал логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томъёоны гарал үүсэл > > >

Интеграл

Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.
.
Тэгэхээр,

Комплекс тоонуудын илэрхийлэл

z нийлмэл хувьсагчийн функцийг авч үзье:
.
Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье zмодулиар дамжуулан rболон маргаан φ :
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Эсвэл
.
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв бид тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
тэгвэл өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.

Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь нэг утгатай функц биш юм.

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл

-ийн хувьд өргөтгөл явагдана:

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Дээд боловсролын байгууллагын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, Лан, 2009 он.

\(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)

Үүнийг илүү хялбар тайлбарлая. Жишээ нь, \(\log_(2)(8)\) нь \(8\)-ийг авахын тулд \(2\)-ыг өсгөх шаардлагатай тэнцүү байна. Эндээс \(\log_(2)(8)=3\) болох нь тодорхой байна.

Жишээ нь:	\(\log_(5)(25)=2\)	учир нь \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	учир нь \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	учир нь \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Логарифмын аргумент ба суурь

Аливаа логарифм нь дараахь "анатоми" -тай байдаг.

Логарифмын аргументыг ихэвчлэн өөрийн түвшинд бичдэг ба суурь нь логарифмын тэмдэгт ойртсон доод бичвэрт бичигддэг. Мөн энэ оруулгыг дараах байдлаар уншина: "Хорин таваас тавын суурь хүртэлх логарифм".

Логарифмыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Логарифмыг тооцоолохын тулд та асуултанд хариулах хэрэгтэй: аргументыг авахын тулд суурийг ямар хэмжээгээр өсгөх ёстой вэ?

Жишээлбэл, логарифмыг тооцоол: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) авахын тулд \(4\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Хоёр дахь нь ойлгомжтой. Тийм учраас:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

в) \(1\) авахын тулд \(\sqrt(5)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Мөн ямар зэрэг нь аливаа тоог нэгж болгодог вэ? Мэдээж тэг!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) авахын тулд \(\sqrt(7)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Эхнийх нь - эхний зэрэглэлийн аль ч тоо нь өөртэйгөө тэнцүү байна.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)-г авахын тулд \(3\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Энэ нь бутархай хүч гэдгийг бид мэднэ Квадрат язгуурзэрэг нь \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Жишээ : Логарифмыг тооцоолох \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Шийдэл :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Логарифмын утгыг олох хэрэгтэй, үүнийг x гэж тэмдэглэе. Одоо логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Зүүн баруун сум\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) болон \(8\) ямар холбоосууд вэ? Хоёр, учир нь хоёуланг нь хоёроор илэрхийлж болно: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Зүүн талд бид зэрэглэлийн шинж чанаруудыг ашигладаг: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) болон \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Суурь нь тэнцүү, бид шалгуур үзүүлэлтүүдийн тэгш байдал руу шилждэг
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Тэгшитгэлийн хоёр талыг \(\frac(2)(5)\)-аар үржүүл.
		Үүссэн үндэс нь логарифмын утга юм

Хариулах : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Логарифмыг яагаад зохион бүтээсэн бэ?

Үүнийг ойлгохын тулд тэгшитгэлийг шийдье: \(3^(x)=9\). Тэгш байдлыг хангахын тулд \(x\)-г тааруулна уу. Мэдээжийн хэрэг, \(x=2\).

Одоо тэгшитгэлийг шийд: \(3^(x)=8\) x хэдтэй тэнцүү вэ? Гол нь энэ.

Хамгийн овсгоотой нь: "Х нь хоёроос арай бага" гэж хэлэх болно. Энэ тоог яг яаж бичих вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд тэд логарифмыг гаргаж ирэв. Түүний ачаар энд хариултыг \(x=\log_(3)(8)\) гэж бичиж болно.

\(\log_(3)(8)\), мөн гэдгийг онцлон хэлмээр байна аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ энэ нь богино байна. Учир нь хэрэв бид үүнийг аравтын бутархайгаар бичихийг хүсвэл дараах байдалтай харагдана: \(1.892789260714.....\)

Жишээ : \(4^(5x-4)=10\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) болон \(10\)-г ижил суурь болгон бууруулах боломжгүй. Тиймээс энд та логарифмгүйгээр хийж чадахгүй. Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: \(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Тэгшитгэлийг эргүүлээрэй, ингэснээр x зүүн талд байна
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Бидний өмнө. \(4\) баруун тийш шилжүүлнэ үү. Мөн логарифмаас бүү ай, үүнийг ердийн тоо мэт хар.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Тэгшитгэлийг 5-д хуваа
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Энэ бол бидний үндэс юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ хариулт нь сонгогдоогүй байна.

Хариулах : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Аравтын болон натурал логарифм

Логарифмын тодорхойлолтод дурдсанчлан түүний суурь нь нэг \((a>0, a\neq1)\)-аас бусад эерэг тоо байж болно. Боломжит бүх суурийн дотроос хоёр нь маш олон удаа тохиолддог тул логарифмын хувьд тусгай богино тэмдэглэгээг зохион бүтээжээ.

Натурал логарифм: суурь нь Эйлерийн тоо \(e\) (ойролцоогоор \(2.7182818…\)-тай тэнцүү), логарифмыг \(\ln(a)\) гэж бичдэг логарифм.

Тэр бол, \(\ln(a)\) нь \(\log_(e)(a)\)-тай ижил байна

Аравтын логарифм: Суурь нь 10 байх логарифмыг \(\lg(a)\) гэж бичнэ.

Тэр бол, \(\lg(a)\) нь \(\log_(10)(a)\)-тай ижил байна, энд \(a\) нь зарим тоо юм.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифм нь олон шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийн нэгийг "Үндсэн логарифмын таних тэмдэг" гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдалтай байна.

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Энэ шинж чанар нь тодорхойлолтоос шууд гардаг. Энэ томъёо яг яаж гарч ирснийг харцгаая.

Санаж үзье богино тэмдэглэлЛогарифмын тодорхойлолтууд:

хэрэв \(a^(b)=c\), дараа нь \(\log_(a)(c)=b\)

Өөрөөр хэлбэл, \(b\) нь \(\log_(a)(c)\)-тэй ижил байна. Дараа нь бид \(a^(b)=c\) томъёонд \(b\)-ын оронд \(\log_(a)(c)\) гэж бичиж болно. Энэ нь \(a^(\log_(a)(c))=c\) болсон - гол логарифмын таних тэмдэг.

Та логарифмын бусад шинж чанаруудыг олж болно. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та шууд тооцоолоход хэцүү логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг хялбарчилж, тооцоолж болно.

Жишээ : \(36^(\log_(6)(5))\) илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл :

Хариулах : \(25\)

Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дээр дурдсанчлан аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Мөн эсрэгээр нь үнэн: дурын тоог логарифм хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, \(\log_(2)(4)\) нь хоёртой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Дараа нь та хоёрын оронд \(\log_(2)(4)\) гэж бичиж болно.

Гэхдээ \(\log_(3)(9)\) нь \(2\)-тэй тэнцүү тул \(2=\log_(3)(9)\) гэж бичиж болно. Үүнтэй адил \(\log_(5)(25)\), \(\log_(9)(81)\) гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь болж байна

\(2=\лог_(2)(4)=\лог_(3)(9)=\лог_(4)(16)=\лог_(5)(25)=\лог_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Тиймээс, хэрэв бидэнд хэрэгтэй бол бид хоёрыг дурын суурьтай логарифм хэлбэрээр бичиж болно (тэгшитгэлд ч, бүр илэрхийлэлд ч, бүр тэгш бус байдалд ч) - бид зүгээр л квадрат суурийг аргумент болгон бичнэ.

Гурвалсантай адилхан - үүнийг \(\log_(2)(8)\), эсвэл \(\log_(3)(27)\), эсвэл \(\log_(4)( гэж бичиж болно. 64) \) ... Энд бид шоо дахь суурийг аргумент болгон бичнэ.

\(3=\лог_(2)(8)=\лог_(3)(27)=\лог_(4)(64)=\лог_(5)(125)=\лог_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Мөн дөрөвтэй:

\(4=\лог_(2)(16)=\лог_(3)(81)=\лог_(4)(256)=\лог_(5)(625)=\лог_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Мөн хасах нэгээр:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Мөн гуравны нэг нь:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Дурын тоог \(a\) нь \(b\) суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Жишээ : Илэрхийллийн утгыг ол \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\лог_(2)(7))\)

Шийдэл :

Хариулах : \(1\)

Танил байх, ... харилцаатай байх

өгөгдсөн нөгөө хоёроос гурван тооны аль нэгийг нь олох даалгаврыг тавьж болно. Өгөгдсөн a, дараа нь N-ийг экспонентацаар олно. Хэрэв N өгөгдсөн бол х (эсвэл экспоненциал) зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авбал a олно. Одоо a ба N өгөгдсөн тохиолдолд х-г олох шаардлагатай тохиолдлыг авч үзье.

N тоо эерэг байг: а тоо эерэг ба нэгтэй тэнцүү биш: .

Тодорхойлолт. N тооны а суурьтай логарифм нь N тоог авахын тулд a өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм; логарифмыг тэмдэглэнэ

Тиймээс (26.1) тэгш байдлын хувьд илтгэгч нь N-ийн а суурийн логарифм юм. Бичлэгүүд

ижил утгатай. Тэгш байдлыг (26.1) заримдаа логарифмын онолын үндсэн шинж чанар гэж нэрлэдэг; үнэндээ энэ нь логарифмын тухай ойлголтын тодорхойлолтыг илэрхийлдэг. By энэ тодорхойлолтлогарифмын суурь нь үргэлж эерэг бөгөөд нэгдлээс ялгаатай; логарифм болох N тоо эерэг байна. Сөрөг тоо ба тэг нь логарифмгүй. Өгөгдсөн суурьтай ямар ч тоо тодорхой логарифмтай болохыг баталж болно. Тиймээс тэгш байдал нь . Энд нөхцөл нь зайлшгүй чухал гэдгийг анхаарна уу, эс тэгвээс дүгнэлт нь үндэслэлгүй болно, учир нь тэгш байдал нь x ба y-ийн аль ч утгын хувьд үнэн юм.

Жишээ 1. Хай

Шийдэл. Тоо авахын тулд та суурь 2-ыг хүч чадалд өсгөх хэрэгтэй.

Ийм жишээг шийдвэрлэхдээ та дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Жишээ 2. Ол.

Шийдэл. Бидэнд байгаа

1 ба 2-р жишээн дээр бид логарифм болох тоог үндэслэлийн зэрэгтэй рационал илтгэгчээр төлөөлүүлэн хүссэн логарифмыг хялбархан оллоо. Ерөнхий тохиолдолд, жишээлбэл, логарифм нь иррациональ утгатай тул үүнийг хийх боломжгүй. Энэ мэдэгдэлтэй холбоотой нэг асуултад анхаарлаа хандуулцгаая. 12-р хэсэгт бид өгөгдсөн аливаа бодит хүчийг тодорхойлох боломжийн тухай ойлголтыг танилцуулсан эерэг тоо. Энэ нь ерөнхийдөө иррационал тоо байж болох логарифмуудыг нэвтрүүлэхэд шаардлагатай байсан.

Логарифмын зарим шинж чанарыг авч үзье.

Өмч чанар 1. Хэрэв тоо ба суурь нь тэнцүү бол логарифм нь нэгтэй тэнцүү, харин эсрэгээр логарифм нь нэгтэй тэнцүү бол тоо ба суурь нь тэнцүү байна.

Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор бид хаанаас байна гэж үзье

Үүний эсрэгээр, тодорхойлолтоор Дараа нь үзье

Өмч 2. Аливаа суурийн нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү.

Баталгаа. Логарифмын тодорхойлолтоор (ямар ч эерэг суурийн тэг хүч нь нэгтэй тэнцүү, (10.1)-ийг үзнэ үү). Эндээс

Q.E.D.

Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл N = 1. Үнэхээр бид .

Логарифмын дараах шинж чанарыг хэлэхийн өмнө a, b хоёр тоо нь хоёулаа c-ээс их эсвэл c-ээс бага бол гурав дахь c тооны нэг талд оршдог гэдгийг зөвшөөрье. Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь c-ээс их, нөгөө нь c-ээс бага бол тэдгээрийг c-ийн эсрэг талд оршдог гэж бид хэлдэг.

Өмч 3. Хэрэв тоо ба суурь нь нэгдмэл байдлын нэг талд орвол логарифм эерэг байна; Хэрэв тоо ба суурь нь нэгдмэл байдлын эсрэг талд байрладаг бол логарифм нь сөрөг байна.

3-р өмчийн баталгаа нь суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь эерэг, суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь сөрөг байвал a-ийн зэрэг нь нэгээс их байх явдалд үндэслэдэг. Суурь нь нэгээс их, илтгэгч нь сөрөг, суурь нь нэгээс бага, илтгэгч нь эерэг байвал зэрэг нь нэгээс бага байна.

Дөрвөн тохиолдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Бид тэдгээрийн эхнийх нь дүн шинжилгээгээр хязгаарлагдах болно, уншигч үлдсэнийг нь өөрөө авч үзэх болно.

Тэгэхлээр тэгш байдлын илтгэгч нь сөрөг ч биш, тэгтэй тэнцүү биш байх тул энэ нь эерэг, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байсан юм.

Жишээ 3. Дараах логарифмуудын аль нь эерэг, аль нь сөрөг болохыг ол.

Шийдэл, a) 15 тоо ба 12 суурь нь нэгжийн нэг талд байрладаг тул;

б) , 1000 ба 2 нь нэгжийн нэг талд байрладаг тул; Үүний зэрэгцээ суурь нь логарифмын тооноос их байх нь чухал биш;

в) 3.1 ба 0.8 нь нэгдмэл байдлын эсрэг талд байрладаг тул;

G); Яагаад?

e); Яагаад?

Дараах 4-6 шинж чанаруудыг ихэвчлэн логарифмын дүрэм гэж нэрлэдэг: тэдгээр нь зарим тоонуудын логарифмуудыг мэдэж, тэдгээрийн үржвэрийн логарифм, коэффициент, тус бүрийн зэргийг олох боломжийг олгодог.

4-р шинж чанар (бүтээгдэхүүний логарифмын дүрэм). Өгөгдсөн суурь дахь хэд хэдэн эерэг тооны үржвэрийн логарифм нь ижил суурь дээрх эдгээр тоонуудын логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Эерэг тоонуудыг өгье.

Тэдний үржвэрийн логарифмын хувьд бид логарифмыг тодорхойлох тэгшитгэлийг (26.1) бичнэ.

Эндээс бид олдог

Эхний болон сүүлчийн илэрхийлэлүүдийн илтгэгчийг харьцуулж үзвэл бид шаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.

Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай гэдгийг анхаарна уу; хоёр сөрөг тооны үржвэрийн логарифм нь утга учиртай боловч энэ тохиолдолд бид олж авна

Ерөнхийдөө хэрэв хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр эерэг байвал түүний логарифм нь эдгээр хүчин зүйлсийн модулиудын логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Property 5 (хэсгийн логарифмын дүрэм). Эерэг тоонуудын хуваагчийн логарифм нь ижил суурь дээр авсан ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна. Баталгаа. Тууштай олох

Q.E.D.

6-р шинж чанар (зэрэглэлийн логарифмын дүрэм). Аливаа эерэг тооны чадлын логарифм нь тухайн тооны логарифмыг илтгэгчийг үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Баталгаа. Бид дугаарын үндсэн таних тэмдгийг (26.1) дахин бичнэ.

Q.E.D.

Үр дагавар. Эерэг тооны язгуурын логарифм нь язгуур тооны логарифмыг язгуурын илтгэгчид хуваасантай тэнцүү байна.

Бид 6-р өмчийг хэрхэн, хэрхэн ашиглах талаар танилцуулснаар энэ үр дүнгийн үнэн зөвийг баталж чадна.

Жишээ 4. Логарифмыг a суурь болгох:

a) (b, c, d, e бүх утгууд эерэг байна гэж үздэг);

б) (энэ гэж таамаглаж байна).

Шийдэл, a) Энэ илэрхийллийг бутархайн зэрэглэлд шилжүүлэх нь тохиромжтой.

(26.5)-(26.7) тэгшитгэл дээр үндэслэн бид одоо бичиж болно:

Тоонуудын логарифмууд дээр тоонуудаас илүү энгийн үйлдлүүд хийгдэж байгааг бид анзаарч байна: тоог үржүүлэхдээ тэдгээрийн логарифмуудыг нэмж, хуваахдаа хасах гэх мэт.

Тийм ч учраас логарифмыг тооцоолох практикт ашигласан (29-р хэсгийг үзнэ үү).

Логарифмын урвуу үйлдлийг потенциац гэж нэрлэдэг, тухайлбал: потенциац гэдэг нь тухайн тооны өгөгдсөн логарифмээр энэ тоог өөрөө олох үйлдэл юм. Үнэн чанартаа, хүчирхэгжүүлэх нь ямар нэгэн онцгой арга хэмжээ биш юм: энэ нь суурийг хүчирхэг болгоход хүргэдэг ( логарифмтай тэнцүүтоо). "Потенциаци" гэсэн нэр томъёог "exponentiation" гэсэн нэр томъёотой ижил утгатай гэж үзэж болно.

Потенциацийн үед логарифмын дүрмээс урвуу дүрмийг ашиглах шаардлагатай: логарифмын нийлбэрийг бүтээгдэхүүний логарифмээр, логарифмын зөрүүг хуваалтын логарифмээр солих гэх мэт. Ялангуяа хэрэв байгаа бол. логарифмын тэмдгийн өмнө ямар ч хүчин зүйл байвал потенциацийн үед логарифмын тэмдгийн дор заагч зэрэгт шилжүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 5. Мэдэгдэж байгаа бол N-г ол

Шийдэл. Сая дурдсан потенциацын дүрэмтэй холбогдуулан энэ тэгшитгэлийн баруун талд байгаа логарифмын тэмдгүүдийн урд байрлах 2/3 ба 1/3 хүчин зүйлсийг эдгээр логарифмын тэмдгийн дор илтгэгч рүү шилжүүлнэ; бид авдаг

Одоо бид логарифмын зөрүүг хэсгийн логарифмээр орлуулж байна:

Энэ тэгшитгэлийн гинжин хэлхээний сүүлчийн бутархайг авахын тулд бид өмнөх бутархайг хуваагч дахь иррационал байдлаас чөлөөлсөн (25-р хэсэг).

Өмч чанар 7. Хэрэв суурь нь нэгээс их бол том тоо нь том логарифмтай (бага нь бага байх), суурь нь нэгээс бага бол том тоо нь жижиг логарифмтай (мөн жижиг нь бага байна) нэг нь том хэмжээтэй).

Энэ шинж чанарыг тэгш бус байдлын логарифмын дүрэм болгон томъёолсон бөгөөд тэдгээрийн аль аль нь эерэг байна.

Нэгээс их суурьтай тэгш бус байдлын логарифмыг авахдаа тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдаж, нэгээс бага суурьтай логарифм авах үед тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө (80-р зүйлийг мөн үзнэ үү).

Баталгаажуулалт нь 5 ба 3-р шинж чанарууд дээр суурилдаг. Хэрэв , тэгвэл, логарифмыг авбал бид гарах тохиолдлыг авч үзье.

(a ба N/M нь нэгдмэл байдлын нэг талд оршдог). Эндээс