0-ийн натурал логарифм нь тэнцүү байна. Логарифм

Логарифм гэж юу вэ?

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй "маш их биш ..." хүмүүст зориулагдсан.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Логарифм гэж юу вэ? Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ? Эдгээр асуултууд олон төгсөгчдийг төөрөгдүүлдэг. Уламжлал ёсоор бол логарифмын сэдвийг төвөгтэй, ойлгомжгүй, аймшигтай гэж үздэг. Ялангуяа - логарифм бүхий тэгшитгэлүүд.

Энэ нь туйлын үнэн биш юм. Мэдээжийн хэрэг! Итгэхгүй байна уу? Сайн байна. Одоо 10-20 минутын турш та:

1. Ойлгох логарифм гэж юу вэ.

2. Бүтэн ангиллын экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэж сур. Хэдийгээр та тэдний талаар сонсоогүй ч гэсэн.

3. Энгийн логарифм тооцоолж сур.

Түүнээс гадна, үүний тулд та зөвхөн үржүүлгийн хүснэгт, тоог хэрхэн хүчирхэг болгож байгааг мэдэх хэрэгтэй ...

Би чамайг эргэлзэж байгааг мэдэрч байна ... За, цагийг барь! Яв!

Эхлээд оюун ухаандаа дараах тэгшитгэлийг шийдээрэй.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.

b тооны а суурийн логарифм нь b тоог авахын тулд а тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм.

Хэрэв , тэгвэл .

Логарифм нь маш их юм чухал математик хэмжигдэхүүн, учир нь логарифмын тооцоолол нь зөвхөн шийдвэрлэх боломжийг олгодоггүй экспоненциал тэгшитгэл, гэхдээ бас үзүүлэлтүүдтэй ажиллах, экспоненциал болон логарифм функцийг ялгаж, тэдгээрийг нэгтгэж, тооцоолоход илүү тохиромжтой хэлбэрт хүргэдэг.

-тай холбоотой

Логарифмын бүх шинж чанарууд нь шинж чанаруудтай шууд холбоотой байдаг экспоненциал функцууд. Жишээлбэл, тэр нь гэсэн үг:

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхдээ логарифмын шинж чанарууд нь хүч чадалтай ажиллах дүрмээс илүү чухал бөгөөд ашигтай байж болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Энд зарим таних тэмдэг байна:

Энд гол алгебрийн илэрхийлэл байна:

;

.

Анхаар!зөвхөн x>0, x≠1, y>0-д л байж болно.

Байгалийн логарифм гэж юу вэ гэсэн асуултыг ойлгохыг хичээцгээе. Математикийн тусдаа сонирхол хоёр төрлийг төлөөлдөг- эхнийх нь суурь дээр "10" тоотой бөгөөд үүнийг "" гэж нэрлэдэг. аравтын логарифм". Хоёр дахь нь байгалийн гэж нэрлэгддэг. Натурал логарифмын суурь нь e тоо юм. Түүний тухай бид энэ нийтлэлд дэлгэрэнгүй ярих болно.

Тэмдэглэл:

• lg x - аравтын бутархай;
• ln x - байгалийн.

Identity ашиглан бид ln e = 1, мөн lg 10=1 болохыг харж болно.

байгалийн бүртгэлийн график

Бид байгалийн логарифмын графикийг стандарт сонгодог аргаар цэгээр байгуулдаг. Хэрэв та хүсвэл функцийг шалгаж үзээд функцийг зөв барьж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Гэсэн хэдий ч логарифмыг хэрхэн зөв тооцоолохыг мэдэхийн тулд үүнийг "гараар" хэрхэн бүтээхийг сурах нь утга учиртай юм.

Чиг үүрэг: y = log x. График өнгөрөх цэгүүдийн хүснэгтийг бичье.

Бид яагаад аргумент x-ийн ийм утгыг сонгосноо тайлбарлая. Энэ бүхэн танил талтай холбоотой: Байгалийн логарифмын хувьд энэ таних тэмдэг нь дараах байдалтай харагдана.

Тохиромжтой болгохын тулд бид таван лавлах цэгийг авч болно:

;

;

.

;

.

Тиймээс байгалийн логарифмуудыг тоолох нь нэлээд энгийн ажил бөгөөд үүнээс гадна хүч чадлын үйлдлүүдийн тооцоог хялбарчилж, тэдгээрийг хувиргадаг. хэвийн үржүүлэх.

Графикийг цэгээр байгуулсны дараа бид ойролцоогоор графикийг авна.

Натурал логарифмын домэйн (өөрөөр хэлбэл X аргументийн бүх хүчинтэй утга) нь тэгээс их бүх тоо юм.

Анхаар!Байгалийн логарифмын тодорхойлолтын домэйнд зөвхөн орно эерэг тоонууд! Хамрах хүрээ нь x=0-ийг оруулаагүй болно. Логарифмын оршин тогтнох нөхцлөөс хамааран энэ нь боломжгүй юм.

Утгын хүрээ (жишээ нь y = ln x функцийн бүх хүчинтэй утгууд) нь интервал дахь бүх тоонууд юм.

байгалийн бүртгэлийн хязгаар

Графикийг судалж үзэхэд y үед функц хэрхэн ажилладаг вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ<0.

Мэдээжийн хэрэг функцийн график нь у тэнхлэгийг гатлах хандлагатай байгаа боловч х-ийн натурал логарифм учраас үүнийг хийх боломжгүй болно.<0 не существует.

Байгалийн хязгаар бүртгэлингэж бичиж болно:

Логарифмын суурийг өөрчлөх томъёо

Байгалийн логарифмтай харьцах нь дурын суурьтай логарифмтай харьцахаас хамаагүй хялбар юм. Тийм ч учраас бид дурын логарифмыг натурал логарифм болгон багасгах, эсвэл дурын суурьт натурал логарифмээр илэрхийлэхийг сурахыг хичээх болно.

Логарифмын таних тэмдэгээс эхэлье:

Дараа нь дурын тоо эсвэл y хувьсагчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Энд x нь дурын тоо (логарифмын шинж чанарын дагуу эерэг).

Энэ илэрхийллийг хоёр тал дээр логарифмчилж болно. Үүнийг дурын суурь z ашиглан хийцгээе:

Үл хөдлөх хөрөнгийг ашиглацгаая (зөвхөн "хамт"-ын оронд илэрхийлэл байна):

Эндээс бид бүх нийтийн томъёог олж авна.

.

Ялангуяа z=e бол:

.

Бид хоёр натурал логарифмын харьцаагаар логарифмыг дурын суурь болгон илэрхийлж чадсан.

Бид асуудлыг шийддэг

Байгалийн логарифмуудыг илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн асуудлын жишээг авч үзье.

Даалгавар 1. ln x = 3 тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай.

Шийдэл:Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан: хэрэв , тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

Даалгавар 2. Тэгшитгэлийг шийд (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Шийдэл: Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан: хэрэв , тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

.

Дахин нэг удаа бид логарифмын тодорхойлолтыг хэрэглэнэ.

.

Тиймээс:

.

Та хариултыг ойролцоогоор тооцоолж болно, эсвэл энэ маягтанд үлдээж болно.

Даалгавар 3.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:Орлуулалт хийцгээе: t = ln x. Дараа нь тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна.

.

Бидэнд квадрат тэгшитгэл байна. Түүний ялгагчийг олъё:

Тэгшитгэлийн эхний үндэс:

.

Тэгшитгэлийн хоёр дахь үндэс:

.

Бид t = ln x орлуулалтыг хийснийг санаж, бид дараахь зүйлийг авна.

Статистик ба магадлалын онолд логарифмын хэмжигдэхүүнүүд маш түгээмэл байдаг. Энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь e - ихэвчлэн экспоненциал утгын өсөлтийн хурдыг илэрхийлдэг.

Компьютерийн шинжлэх ухаан, програмчлал, компьютерийн онолд логарифмууд нь жишээлбэл, N битийг санах ойд хадгалахын тулд нэлээд түгээмэл байдаг.

Фрактал ба хэмжээсийн онолд логарифмыг байнга ашигладаг, учир нь фракталуудын хэмжээсийг зөвхөн тэдгээрийн тусламжтайгаар тодорхойлдог.

Механик, физикийн чиглэлээрлогарифм ашиглаагүй хэсэг байхгүй. Барометрийн тархалт, статистик термодинамикийн бүх зарчмууд, Циолковскийн тэгшитгэл гэх мэтийг зөвхөн логарифм ашиглан математикийн аргаар тайлбарлах боломжтой процессууд юм.

Химийн хувьд логарифмыг Нерстийн тэгшитгэл, исэлдэлтийн процессын тайлбарт ашигладаг.

Гайхалтай нь хөгжимд ч гэсэн октавын хэсгүүдийн тоог олохын тулд логарифм ашигладаг.

Натурал логарифм Функц y=ln x түүний шинж чанарууд

Натурал логарифмын үндсэн шинж чанарын баталгаа

ихэвчлэн дугаар авдаг д = 2,718281828 . Энэ суурь дахь логарифмуудыг нэрлэдэг байгалийн. Натурал логарифмын тусламжтайгаар тооцоолол хийхдээ тэмдгээр ажиллах нь түгээмэл байдаг лn, гэхдээ үгүй бүртгэл; тоо байхад 2,718281828 , суурийг тодорхойлох, зааж өгөхгүй.

Өөрөөр хэлбэл, үг хэллэг нь дараах байдлаар харагдах болно. байгалийн логарифмтоо Xтоог өсгөх экспонент юм д, олж авах x.

Тэгэхээр, ln(7,389...)= 2 учир нь д 2 =7,389... . Тооны натурал логарифм д= 1 учир нь д 1 =д, мөн нэгдлийн натурал логарифм нь тэгтэй тэнцүү, учир нь д 0 = 1.

Тоо нь өөрөө дмонотон хязгаарлагдмал дарааллын хязгаарыг тодорхойлно

гэж тооцоолсон д = 2,7182818284... .

Ихэнх тохиолдолд санах ойд тоог засахын тулд шаардлагатай тооны цифрүүд нь тодорхойгүй огноотой холбоотой байдаг. Тооны эхний есөн цифрийг санах хурд дХэрэв та 1828 он бол Лев Толстойн мэндэлсэн жил болохыг анхаарвал аравтын бутархайны дараа нэмэгдэх болно!

Өнөөдрийг хүртэл байгалийн логарифмын бүрэн бүтэн хүснэгтүүд байдаг.

байгалийн бүртгэлийн график(функц у=ln x) нь шулуун шугамын хувьд толин тусгал дүрс болох илтгэгчийн графикийн үр дагавар юм у = xмөн иймэрхүү харагдаж байна:

Натурал логарифмыг эерэг бодит тоо бүрт олж болно амуруйн доорх талбай гэж y = 1/x-аас 1 өмнө а.

Байгалийн логарифм орсон бусад олон томьёотой нийцэж байгаа энэхүү томъёоны энгийн шинж чанар нь "байгалийн" гэсэн нэрийг бий болгох шалтгаан болсон.

Хэрэв бид дүн шинжилгээ хийвэл байгалийн логарифм, бодит хувьсагчийн бодит функц болж, дараа нь үйлчилнэ урвуу функцэкспоненциал функц руу, энэ нь ижил төстэй байдал руу буурдаг:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Бүх логарифмын адилаар натурал логарифм нь үржүүлэхийг нэмэх, хуваахыг хасах руу хөрвүүлдэг.

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Логарифмыг зөвхөн нэгтэй тэнцүү биш эерэг суурь болгонд олж болно д, гэхдээ бусад суурийн логарифмууд нь натурал логарифмаас зөвхөн тогтмол хүчин зүйлээр ялгаатай бөгөөд ихэвчлэн натурал логарифмын хувьд тодорхойлогддог.

Шинжилгээ хийсний дараа байгалийн бүртгэлийн график,Энэ нь хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд байдаг гэдгийг бид олж мэднэ x. Энэ нь тодорхойлолтын талбартаа монотоноор нэмэгддэг.

At x → 0 натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй ( -∞ ).Үд x → +∞ натурал логарифмын хязгаар нь нэмэх хязгааргүй ( + ∞ ). Томоор нь xлогарифм аажмаар нэмэгддэг. Аливаа эрчим хүчний функц х аэерэг илтгэгчтэй алогарифмаас хурдан өсдөг. Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй.

Хэрэглээ байгалийн логарифмууддээд математикийн дамжлагад маш оновчтой. Тиймээс логарифмыг ашиглах нь үл мэдэгдэх нь экспонент хэлбэрээр гарч ирдэг тэгшитгэлийн хариултыг олоход тохиромжтой. Тооцоололд байгалийн логарифм ашиглах нь олон тооны математикийн томьёог хөнгөвчлөх боломжийг олгодог. суурь логарифмууд д Эдгээр нь физикийн олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд оролцдог бөгөөд химийн, биологийн болон бусад үйл явцын математик тайлбарт байгалийн жамаар ордог. Тиймээс логарифмыг хагас задралын тодорхой хугацааны задралын тогтмолыг тооцоолох эсвэл цацраг идэвхт байдлын асуудлыг шийдвэрлэхэд задралын хугацааг тооцоолоход ашигладаг. Тэд математик, практик шинжлэх ухааны олон салбарт тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд санхүүгийн салбарт, тэр дундаа нийлмэл хүүг тооцоолоход ашигладаг.

"Натурал логарифм. Натурал логарифмын суурь. Натурал тооны логарифм" сэдвээр хичээл, илтгэл.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.

11-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
9-11-р ангийн "Тригонометр" интерактив гарын авлага
10-11-р ангийн "Логарифм" интерактив гарын авлага

Байгалийн логарифм гэж юу вэ

Залуус аа, сүүлийн хичээлээр бид шинэ, тусгай дугаар сурсан - e Өнөөдөр бид энэ дугаартай үргэлжлүүлэн ажиллах болно.
Бид логарифмыг судалж үзсэн бөгөөд логарифмын суурь нь 0-ээс их тооны олонлог байж болохыг бид мэднэ. Өнөөдөр бид мөн e тоон дээр суурилсан логарифмийг авч үзэх болно.Ийм логарифмийг ихэвчлэн натурал логарифм гэж нэрлэдэг. . Энэ нь өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй: $\ln(n)$ нь натурал логарифм юм. Энэ тэмдэглэгээ нь: $\log_e(n)=\ln(n)$-тай тэнцэнэ.
Экспоненциал ба логарифм функцүүд нь урвуу, тэгвэл натурал логарифм нь функцийн урвуу утгатай: $y=e^x$.
Урвуу функцууд нь $y=x$ шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй байна.
Экспоненциал функцийг $y=x$ шулуунтай харьцуулан натурал логарифмыг зуръя.

(0;1) цэг дээрх $y=e^x$ функцийн графиктай шүргэгчийн налуу нь 45° байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дараа нь (1; 0) цэг дээрх натурал логарифмын графиктай шүргэгчийн налуу нь мөн 45°-тай тэнцүү байна. Эдгээр шүргэгч хоёулаа $y=x$ шулуунтай параллель байна. Шүргэгчийг тоймлон зурцгаая:

$y=\ln(x)$ функцийн шинж чанарууд

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Тэгш, сондгой ч биш.
3. Тодорхойлолтын бүх хүрээг хамарна.
4. Дээрээс нь хязгаарлагдахгүй, доороос нь хязгаарлагдахгүй.
5. Хамгийн их утга байхгүй, хамгийн бага утга гэж байхгүй.
6. Тасралтгүй.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Дээшээ гүдгэр.
9. Хаа сайгүй ялгарах боломжтой.

Дээд математикийн хичээлээр энэ нь батлагдсан урвуу функцийн дериватив нь өгөгдсөн функцийн деривативын эсрэг юм.
Баталгаажуулах нь нэг их утгагүй, зүгээр л томьёог бичье: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Жишээ.
Функцийн деривативын утгыг тооцоол: $x=4$ цэг дээр $y=\ln(2x-7)$.
Шийдэл.
Ерөнхийдөө манай функцийг $y=f(kx+m)$ функцээр илэрхийлдэг тул бид ийм функцүүдийн деривативыг тооцоолж болно.
$y"=(\ln((2x-7))"=\frac(2)((2x-7))$.
Шаардлагатай цэг дээрх деривативын утгыг тооцоолъё: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Хариулт: 2.

Жишээ.
$y=ln(x)$ функцийн графикт $x=e$ цэг дээр шүргэгч зур.
Шийдэл.
$x=a$ цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бид сайн санаж байна.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Шаардлагатай утгыг дараалан тооцоолъё.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ цэг дээрх шүргэгч тэгшитгэл нь $y=\frac(x)(e)$ функц юм.
Натурал логарифм ба шүргэгчийг зуръя.

Жишээ.
Нэг хэвийн байдал ба экстремын функцийг судал: $y=x^6-6*ln(x)$.
Шийдэл.
$D(y)=(0;+∞)$ функцийн домайн.
Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Дериватив нь тодорхойлолтын домэйноос бүх x-д байдаг, тэгвэл ямар ч чухал цэг байхгүй. Тогтмол цэгүүдийг олцгооё:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
$х=-1$ цэг нь тодорхойлолтын домэйнд хамаарахгүй. Дараа нь бидэнд $х=1$ нэг хөдөлгөөнгүй цэг байна. Өсөх ба буурах интервалыг ол:

$x=1$ цэг нь хамгийн бага цэг, тэгвэл $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Хариулт: Функц сегмент дээр буурч байна (0;1], функц $ туяа дээр нэмэгдэж байна)