Тооны логарифм дүрслэл. Логарифм

b-ийн логарифм (b > 0) a суурь (a > 0, a ≠ 1) b-ийг авахын тулд a тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм.

b-ийн суурь 10 логарифмыг ингэж бичиж болно бүртгэл(б), ба е суурийн логарифм (натурал логарифм) - ln(b).

Логарифмын асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг:

Логарифмын шинж чанарууд

Дөрвөн үндсэн байдаг логарифмын шинж чанарууд.

a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 байг.

Property 1. Бүтээгдэхүүний логарифм

Бүтээгдэхүүний логарифмлогарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Property 2. Хэсгийн логарифм

Хэсгийн логарифмлогарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна:

log a (x / y) = log a x – log a y

Property 3. Зэрэглэлийн логарифм

Зэрэг логарифмзэрэг ба логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна:

Хэрэв логарифмын суурь нь экспонентт байгаа бол өөр томъёог хэрэглэнэ.

Property 4. Үндэсийн логарифм

n-р зэргийн язгуур нь 1/n-ийн чадалтай тэнцүү тул энэ шинж чанарыг градусын логарифмын шинж чанараас авч болно.

Нэг суурийн логарифмээс нөгөө суурийн логарифм руу шилжих томъёо

Энэ томъёог логарифмын янз бүрийн даалгавруудыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Онцгой тохиолдол:

Логарифмын харьцуулалт (тэгш бус байдал)

Бид ижил суурьтай логарифмын дор f(x) ба g(x) 2 функцтэй ба тэдгээрийн хооронд тэгш бус байдлын тэмдэг байна гэж бодъё.

Тэдгээрийг харьцуулахын тулд эхлээд a логарифмын суурийг харах хэрэгтэй.

• Хэрэв a > 0 бол f(x) > g(x) > 0 байна
• Хэрэв 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Логарифмын тусламжтайгаар асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ: жишээ

Логарифм бүхий даалгавар 11-р ангийн математикийн USE-д 5-р даалгавар, 7-р даалгаварт багтсан тул та манай вэбсайтаас холбогдох хэсгүүдээс шийдэл бүхий даалгавруудыг олох боломжтой. Мөн логарифм бүхий даалгавруудыг математикийн даалгавруудын банкнаас олдог. Та бүх жишээг сайтаас хайж олох боломжтой.

Логарифм гэж юу вэ

Логарифмыг үргэлж авч үздэг хэцүү сэдэвсургуулийн математикт. Логарифмын талаар олон янзын тодорхойлолт байдаг ч зарим нэг шалтгааны улмаас ихэнх сурах бичгүүдэд тэдгээрийн хамгийн төвөгтэй, харамсалтай нь ашиглагддаг.

Бид логарифмыг энгийн бөгөөд тодорхой тодорхойлох болно. Үүний тулд хүснэгт үүсгэцгээе:

Тэгэхээр бид хоёр эрх мэдэлтэй.

Логарифм - шинж чанар, томъёо, хэрхэн шийдвэрлэх

Хэрэв та тоог доод шугамаас авбал энэ тоог авахын тулд хоёрыг өсгөх шаардлагатай хүчийг хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, 16-г авахын тулд та хоёрыг дөрөв дэх хүчийг нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Мөн 64-ийг авахын тулд хоёрыг зургаа дахь зэрэглэлд хүргэх хэрэгтэй. Үүнийг хүснэгтээс харж болно.

Тэгээд одоо - үнэндээ логарифмын тодорхойлолт:

Аргументын суурь a нь х тоог авахын тулд а тоог өсгөх ёстой хүч юм.

Тэмдэглэгээ: log a x \u003d b, энд a нь суурь, x нь аргумент, b нь үнэндээ логарифм нь тэнцүү байна.

Жишээ нь, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ын суурь 2 логарифм нь 2 3 = 8 учраас гурван). 2 6 = 64 болохоор лог 2 64 = 6 байж болно.

Өгөгдсөн суурь хүртэлх тооны логарифмийг олох үйлдлийг гэнэ. Ингээд хүснэгтэндээ шинэ мөр нэмье:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
бүртгэл 2 2 = 1	бүртгэл 2 4 = 2	бүртгэл 2 8 = 3	бүртгэл 2 16 = 4	бүртгэл 2 32 = 5	бүртгэл 2 64 = 6

Харамсалтай нь бүх логарифмуудыг тийм ч хялбар гэж үздэггүй. Жишээлбэл, лог 2-ыг олохыг хичээ 5. 5-ын тоо хүснэгтэд байхгүй, гэхдээ логик нь логарифм нь сегментийн хаа нэгтээ хэвтэхийг заадаг. Учир нь 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг: аравтын бутархайн дараах тоог тодорхойгүй хугацаагаар бичиж болно, тэд хэзээ ч давтагдахгүй. Хэрэв логарифм нь үндэслэлгүй бол түүнийг дараах байдлаар үлдээсэн нь дээр: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Логарифм нь хоёр хувьсагчтай (суурь ба аргумент) илэрхийлэл гэдгийг ойлгох нь чухал. Эхэндээ олон хүмүүс үндэслэл нь хаана байна, маргаан нь хаана байна гэж андуурдаг. Ядаргаатай үл ойлголцол гарахаас зайлсхийхийн тулд зургийг хараарай.

Бидний өмнө логарифмын тодорхойлолтоос өөр зүйл байхгүй. Санаж байна уу: логарифм бол хүч юм, үүнд та аргумент авахын тулд суурийг өсгөх хэрэгтэй. Энэ нь хүч чадалд өргөгдсөн суурь юм - зурган дээр үүнийг улаан өнгөөр ​​тодруулсан. Суурь нь үргэлж доод талд байдаг нь харагдаж байна! Би энэ гайхалтай дүрмийг эхний хичээл дээр оюутнууддаа хэлдэг - ямар ч төөрөгдөл байхгүй.

Логарифмыг хэрхэн тоолох вэ

Бид тодорхойлолтыг олж мэдсэн - логарифмыг хэрхэн тоолохыг сурахад л үлдэж байна, жишээлбэл. "лог" тэмдгийг арилгах. Эхлээд бид тодорхойлолтоос хоёр чухал баримт гарч ирснийг тэмдэглэж байна.

1. Аргумент ба суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой. Энэ нь логарифмын тодорхойлолтыг багасгасан рациональ илтгэгчээр зэрэглэлийг тодорхойлсоноос үүсдэг.
2. Аливаа чадлын нэгж нь нэгж хэвээр байгаа тул суурь нь нэгдлээс ялгаатай байх ёстой. Үүнээс болоод “хоёрыг авахын тулд ямар хүч гаргах ёстой вэ” гэдэг асуулт утгагүй болж байна. Ийм зэрэглэл байхгүй!

Ийм хязгаарлалт гэж нэрлэдэг хүчинтэй хүрээ(ОДЗ). Логарифмын ODZ нь дараах байдалтай байна: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

b тоо (логарифмын утга) дээр ямар ч хязгаарлалт байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, логарифм нь сөрөг байж магадгүй: log 2 0.5 = −1, учир нь 0.5 = 2 −1.

Гэсэн хэдий ч одоо бид логарифмын ODZ-ийг мэдэх шаардлагагүй зөвхөн тоон илэрхийллүүдийг авч үзэх болно. Асуудлыг эмхэтгэгчид бүх хязгаарлалтыг аль хэдийн харгалзан үзсэн болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал гарч ирэхэд DHS-ийн шаардлага заавал байх болно. Үнэн хэрэгтээ, үндэслэл, аргумент нь дээр дурдсан хязгаарлалттай заавал нийцэхгүй маш хүчтэй бүтэцтэй байж болно.

Одоо бод ерөнхий схемлогарифмын тооцоолол. Энэ нь гурван алхамаас бүрдэнэ:

1. a суурь ба аргумент x-ийг боломжит хамгийн бага суурь нь нэгээс их байхаар илэрхийл. Замдаа аравтын бутархайг арилгах нь дээр;
2. b хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийд: x = a b ;
3. Үүний үр дүнд b тоо нь хариулт болно.

Тэгээд л болоо! Хэрэв логарифм нь үндэслэлгүй бол энэ нь эхний алхам дээр харагдах болно. Суурь нь нэгээс их байх шаардлага нь маш их хамааралтай: энэ нь алдаа гарах магадлалыг бууруулж, тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Аравтын бутархайтай адил: хэрэв та тэдгээрийг нэн даруй энгийн болгон хувиргавал алдаа хэд дахин бага байх болно.

Энэ схем хэрхэн ажилладагийг тодорхой жишээн дээр харцгаая.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 5 25

1. Суурь ба аргументыг тавын зэрэглэлээр илэрхийлье: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Тэгшитгэл хийж, шийдье:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Хариулт хүлээн авсан: 2.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоолох:

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 4 64

1. Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр илэрхийлье: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Тэгшитгэл хийж, шийдье:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Хариулт хүлээн авсан: 3.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 16 1

1. Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр илэрхийлье: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Тэгшитгэл хийж, шийдье:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Хариулт хүлээн авсан: 0.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 7 14

1. Суурь ба аргументыг долоон зэрэглэлээр илэрхийлье: 7 = 7 1 ; 14-ийг долоон хүч гэж төлөөлдөггүй, учир нь 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Өмнөх догол мөрөөс харахад логарифмыг тооцохгүй;
3. Хариулт нь өөрчлөлтгүй: log 7 14.

Жижигхэн тэмдэглэл сүүлчийн жишээ. Тоо нь өөр тооны яг хүчин чадал биш гэдгийг хэрхэн батлах вэ? Маш энгийн - зүгээр л үндсэн хүчин зүйл болгон задлаарай. Өргөтгөхөд дор хаяж хоёр ялгаатай хүчин зүйл байгаа бол тоо нь тодорхой хүч биш юм.

Даалгавар. Тооны яг зэрэг нь: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - яг зэрэг, учир нь зөвхөн нэг үржүүлэгч байдаг;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 нь яг хүчин чадал биш, учир нь 3 ба 2 гэсэн хоёр хүчин зүйл байдаг;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - яг зэрэг;
35 = 7 5 - дахин тодорхой зэрэг биш;
14 \u003d 7 2 - дахин тодорхой зэрэг биш;

Анхдагч тоонууд нь үргэлж өөрсдийнхөө яг хүч байдаг гэдгийг анхаарна уу.

Аравтын логарифм

Зарим логарифмууд нь маш түгээмэл тул тусгай нэр, тэмдэглэгээтэй байдаг.

x аргумент нь суурь 10 логарифм, өөрөөр хэлбэл. х-г авахын тулд 10-ыг өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: lgx.

Жишээлбэл, log 10 = 1; бүртгэл 100 = 2; lg 1000 = 3 - гэх мэт.

Одооноос эхлэн сурах бичигт “Find lg 0.01” гэх мэт хэллэг гарч ирэхэд энэ нь үсгийн алдаа биш гэдгийг мэдэж аваарай. Энэ бол аравтын бутархай логарифм юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ийм тэмдэглэгээнд дасаагүй бол үүнийг үргэлж дахин бичиж болно.
log x = log 10 x

Энгийн логарифмын хувьд үнэн бүх зүйл аравтын бутархайн хувьд ч үнэн байдаг.

байгалийн логарифм

Өөр өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй өөр логарифм байдаг. Нэг ёсондоо аравтын аравтын тооноос ч илүү чухал. Энэ талаар юмнатурал логарифмын тухай.

x аргумент нь е суурьтай логарифм, i.e. х тоог авахын тулд e тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: lnx.

Олон хүн асуух болно: e тоо юу вэ? Энэ бол иррациональ тоо юм яг үнэ цэнэолж, бүртгэх боломжгүй. Энд зөвхөн эхний тоонууд байна:
e = 2.718281828459…

Энэ тоо юу вэ, яагаад хэрэгтэй байгааг бид нарийвчлан судлахгүй. Зөвхөн e нь суурь гэдгийг санаарай байгалийн логарифм:
ln x = log e x

Тиймээс ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - гэх мэт. Нөгөө талаас, ln 2 бол иррационал тоо юм. Ерөнхийдөө аливаа рационал тооны натурал логарифм нь иррациональ юм. Мэдээжийн хэрэг, нэгдмэл байдлаас бусад нь: ln 1 = 0.

Натурал логарифмын хувьд энгийн логарифмын хувьд үнэн байх бүх дүрэм хүчинтэй байна.

Мөн үзнэ үү:

Логарифм. Логарифмын шинж чанарууд (логарифмын хүч).

Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн илэрхийлэх вэ?

Бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг.

Логарифм нь логарифмын тэмдгийн доорх тоог авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүчийг илтгэдэг үзүүлэлт юм.

Иймд тодорхой c тоог а суурийн логарифм болгон илэрхийлэхийн тулд логарифмын тэмдгийн доор логарифмын суурьтай ижил суурьтай зэрэглэлийг тавьж, энэ c тоог илтгэгч рүү бичих хэрэгтэй.

Логарифмын хэлбэрээр та эерэг, сөрөг, бүхэл тоо, бутархай, оновчтой, иррационал гэсэн ямар ч тоог илэрхийлж болно.

Туршилт эсвэл шалгалтын стресстэй нөхцөлд a ба c-г андуурахгүйн тулд та дараах дүрмийг санаж болно.

доор байгаа нь доошоо, дээр байгаа нь дээшээ.

Жишээлбэл, та 2-ын тоог 3-ын суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлэхийг хүсч байна.

Бидэнд 2 ба 3 гэсэн хоёр тоо байна. Эдгээр тоонууд нь суурь ба илтгэгч бөгөөд бид логарифмын тэмдгийн доор бичнэ. Эдгээр тоонуудын алийг нь зэрэглэлийн суурь дээр, аль нь дээш, илтгэгч дээр бичих ёстойг тодорхойлоход л үлдлээ.

Логарифмын тэмдэглэл дэх суурь 3 нь доод талд байгаа бөгөөд энэ нь бид хоёрыг 3-ын суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэхэд бид мөн суурь руу 3-ыг бичнэ гэсэн үг юм.

2 нь 3-аас их. Зэрэглэлийн тэмдэглэгээнд бид гурвын дээрх хоёрыг, өөрөөр хэлбэл экспонент дээр бичнэ.

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифм

логарифм эерэг тоо бшалтгаанаар а, Хаана a > 0, a ≠ 1, тоог өсгөх ёстой экспонент юм. а, олж авах б.

Логарифмын тодорхойлолтдараах байдлаар товчхон бичиж болно.

Энэ тэгш байдал нь хүчинтэй байна b > 0, a > 0, a ≠ 1.Түүнийг ихэвчлэн дууддаг логарифмын ижилсэл.
Тооны логарифмийг олох үйлдлийг гэнэ логарифм.

Логарифмын шинж чанарууд:

Бүтээгдэхүүний логарифм:

Хуваалтын хэсгийн логарифм:

Логарифмын суурийг орлуулах:

Зэрэг логарифм:

үндэс логарифм:

Эрчим хүчний суурьтай логарифм:

Аравтын болон натурал логарифм.

Аравтын логарифмтоонууд тухайн тооны суурь 10 логарифмыг дуудаж   lg гэж бичнэ б
байгалийн логарифмтоонууд энэ тооны логарифмыг суурь руу дууддаг д, Хаана днь иррационал тоо бөгөөд ойролцоогоор 2.7-той тэнцүү. Үүний зэрэгцээ тэд ln гэж бичдэг б.

Алгебр ба геометрийн бусад тэмдэглэл

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тооны нэгэн адил нэмэх, хасах, хөрвүүлэх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь тийм ч энгийн тоо биш тул энд дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн шинж чанарууд.

Эдгээр дүрмийг мэддэг байх ёстой - үүнгүйгээр ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log a x ба log a y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Анхаарна уу: энд гол зүйл бол - ижил үндэслэл. Хэрэв суурь нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томъёо нь танд тооцоолоход тусална логарифм илэрхийлэлтүүний бие даасан хэсгүүдийг тооцдоггүй байсан ч ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифмын суурь нь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон тестийн цаас. Тийм ээ, хяналт - шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэл (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргумент дээр зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Үүнийг харахад амархан сүүлчийн дүрэмэхний хоёрыг дагадаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдаж байвал эдгээр бүх дүрмүүд нь утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Мөн өөр нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сурах, өөрөөр хэлбэл. та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоог логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг зэрэгтэй тэнцүү болохыг анхаарна уу: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Бидэнд байгаа:

Сүүлийн жишээг тодруулах шаардлагатай гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Тэд тэнд зогсож буй логарифмын үндэслэл, аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч ижил тоотой байна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваагч дээр үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үр дүн нь хариулт юм: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хэрэв суурь нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифм лог a x-г өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг солих боломжтой боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр байна.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс бусад тохиолдолд шийдэх боломжгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Логарифмын аргументууд нь яг экспонент гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул бид тайвнаар дөрөв ба хоёрыг үржүүлээд дараа нь логарифмуудыг олов.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг.

Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зөвхөн логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Үнэхээр b тоог энэ зэрэгт байгаа b тоо нь а тоог өгөх хэмжээнд хүртэл өсгөвөл юу болох вэ? Энэ нь зөв: энэ нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүн дээр "өлгөх" болно.

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд шиг гол логарифмын ижилсэлзаримдаа энэ нь цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log 25 64 = log 5 8 гэдгийг анхаарна уу - зүгээр л суурь болон логарифмын аргументаас квадратыг гаргаж авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэхэд хэцүү хоёр таних тэмдгийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтоос гарах үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд ордог бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.

1. log a a = 1 байна. Нэг удаа санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. log a 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Логарифмын илэрхийлэл, жишээний шийдэл. Энэ нийтлэлд бид логарифмыг шийдвэрлэхтэй холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Даалгаврууд нь илэрхийллийн утгыг олох асуултыг тавьдаг. Логарифмын тухай ойлголтыг олон ажилд ашигладаг бөгөөд түүний утгыг ойлгох нь туйлын чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. USE-ийн хувьд логарифмыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, хэрэглээний асуудал, мөн функцийг судлахтай холбоотой ажлуудад ашигладаг.

Логарифмын утгыг ойлгох жишээг энд үзүүлэв.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг:

Таны үргэлж санаж байх ёстой логарифмын шинж чанарууд:

*Үйлдвэрийн логарифм нь хүчин зүйлсийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

* * *

* Хэсгийн логарифм (бутархай) нь хүчин зүйлийн логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна.

* * *

* Зэрэглэлийн логарифм нь экспонент ба түүний суурийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна.

* * *

*Шинэ суурь руу шилжих

* * *

Бусад үл хөдлөх хөрөнгө:

* * *

Логарифмыг тооцоолох нь илтгэгчийн шинж чанарыг ашиглахтай нягт холбоотой.

Бид тэдгээрийн заримыг жагсаав:

Энэ өмчийн мөн чанар нь тоологчийг хуваагч болон эсрэгээр шилжүүлэхэд илтгэгчийн тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгддөг. Жишээлбэл:

Энэ өмчийн үр дагавар:

* * *

Хүчин чадлыг өсгөхөд суурь нь хэвээр байх боловч илтгэгчийг үржүүлнэ.

* * *

Таны харж байгаагаар логарифмын тухай ойлголт маш энгийн. Хамгийн гол нь тодорхой ур чадвар өгдөг сайн дадлага хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг томъёоны талаархи мэдлэг нь заавал байх ёстой. Хэрэв анхан шатны логарифмыг хөрвүүлэх ур чадвар бүрдээгүй бол энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ амархан алдаа гаргаж болно.

Дадлага хийж, математикийн хичээлийн хамгийн энгийн жишээг эхлээд шийдэж, дараа нь илүү төвөгтэй жишээнүүд рүү шилжинэ. Ирээдүйд би "муухай" логарифмууд хэрхэн шийдэгддэгийг харуулах болно, шалгалтанд ийм зүйл байхгүй, гэхдээ тэд сонирхож байна, бүү алдаарай!

Тэгээд л болоо! Чамд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Бид логарифмыг үргэлжлүүлэн судалж байна. Энэ нийтлэлд бид ярих болно логарифмын тооцоо, энэ процесс гэж нэрлэгддэг логарифм. Нэгдүгээрт, бид логарифмын тооцоог тодорхойлолтоор нь авч үзэх болно. Дараа нь логарифмын утгыг тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглан хэрхэн олохыг авч үзье. Үүний дараа бид бусад логарифмын анх өгөгдсөн утгуудаар дамжуулан логарифмын тооцоолол дээр анхаарлаа хандуулах болно. Эцэст нь логарифмын хүснэгтүүдийг хэрхэн ашиглах талаар сурцгаая. Онолыг бүхэлд нь нарийвчилсан шийдэл бүхий жишээнүүдээр хангасан болно.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолтоор логарифмыг тооцоолох

Хамгийн энгийн тохиолдолд хурдан бөгөөд хялбар гүйцэтгэх боломжтой тодорхойлолтоор логарифм олох. Энэ үйл явц хэрхэн явагддагийг нарийвчлан авч үзье.

Үүний мөн чанар нь b тоог a c хэлбэрээр илэрхийлэх явдал бөгөөд логарифмын тодорхойлолтоор c тоо нь логарифмын утга юм. Өөрөөр хэлбэл, логарифмийг олох нь дараах тэгш байдлын гинжин хэлхээнд тохирч байна: log a b=log a a c =c .

Тиймээс логарифмын тооцоолол нь тодорхойлолтоор ийм c тоог олоход хүргэдэг бөгөөд a c \u003d b бөгөөд c тоо нь өөрөө логарифмын хүссэн утга юм.

Өмнөх догол мөрүүдийн мэдээллийг харгалзан логарифмын тэмдгийн доорх тоог логарифмын суурийн тодорхой хэмжээгээр өгсөн бол логарифм нь юутай тэнцүү болохыг шууд зааж өгч болно - энэ нь экспоненттай тэнцүү байна. Жишээ үзүүлье.

Жишээ.

Лог 2 2 −3-ыг олоод мөн e 5.3-ийн натурал логарифмыг тооцоол.

Шийдэл.

Логарифмын тодорхойлолт нь log 2 2 −3 = −3 гэдгийг шууд хэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Үнэн хэрэгтээ, логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь 2-ын суурь -3-ын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь логарифмийг олно: lne 5.3 =5.3.

Хариулт:

log 2 2 −3 = −3 ба lne 5.3 =5.3 .

Хэрэв логарифмын тэмдгийн доорх b тоог логарифмын суурийн хүч гэж өгөөгүй бол b тооны дүрсийг a c хэлбэрээр гаргаж авах боломжтой эсэхийг сайтар бодож үзэх хэрэгтэй. Ихэнхдээ энэ дүрслэл нь маш тодорхой байдаг, ялангуяа логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь 1, 2, эсвэл 3, ... зэрэгтэй тэнцүү байх үед

Жишээ.

Логарифмуудыг тооцоолох log 5 25 , ба .

Шийдэл.

25=5 2 гэдгийг харахад хялбар бөгөөд энэ нь эхний логарифмыг тооцоолох боломжийг олгоно: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Бид хоёр дахь логарифмын тооцоог үргэлжлүүлнэ. Тоог 7-ын зэрэглэлээр илэрхийлж болно: (шаардлагатай бол үзнэ үү). Тиймээс, .

Гурав дахь логарифмыг дараах хэлбэрээр дахин бичье. Одоо та үүнийг харж болно , эндээс бид ингэж дүгнэж байна . Тиймээс логарифмын тодорхойлолтоор .

Товчхондоо шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хариулт:

бүртгэл 5 25=2 , Тэгээд .

Хэрэв хангалттай том натурал тоо нь логарифмын тэмдгийн доор байвал түүнийг анхны хүчин зүйл болгон задлахад гэмгүй. Энэ нь ихэвчлэн ийм тоог логарифмын суурийн зарим зэрэглэлээр илэрхийлэхэд тусалдаг тул энэ логарифмийг тодорхойлолтоор нь тооцоолоход тусалдаг.

Жишээ.

Логарифмын утгыг ол.

Шийдэл.

Логарифмын зарим шинж чанарууд нь логарифмын утгыг шууд зааж өгөх боломжийг олгодог. Эдгээр шинж чанаруудад нэгийн логарифмын шинж чанар болон суурьтай тэнцүү тооны логарифмын шинж чанарууд багтана: log 1 1=log a a 0 =0 ба log a a=log a a 1 =1 . Өөрөөр хэлбэл, 1-ийн тоо эсвэл а тоо нь логарифмын суурьтай тэнцүү байх үед логарифмын тэмдгийн доор байгаа тохиолдолд эдгээр тохиолдолд логарифмууд нь 0 ба 1 байна.

Жишээ.

Логарифм ба lg10 гэж юу вэ?

Шийдэл.

-ээс хойш энэ нь логарифмын тодорхойлолтоос үүдэлтэй .

Хоёрдахь жишээнд логарифмын тэмдгийн доорх 10 тоо нь суурьтай нь давхцаж байгаа тул аравтын бутархай логарифм нь нэгтэй тэнцүү буюу lg10=lg10 1 =1 .

Хариулт:

БА lg10=1 .

Тодорхойлолтоор логарифмыг тооцоолох нь (үүнийг бид өмнөх догол мөрөнд авч үзсэн) логарифмын шинж чанаруудын нэг болох log a a p =p тэгш байдлыг ашиглахыг хэлнэ гэдгийг анхаарна уу.

Практикт логарифмын тэмдгийн доорх тоо болон логарифмын суурь нь зарим тооны зэрэглэлээр хялбархан дүрслэгдэх үед томъёог ашиглах нь маш тохиромжтой. , энэ нь логарифмын шинж чанаруудын аль нэгэнд тохирно. Энэ томьёоны хэрэглээг харуулсан логарифмыг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

-ийн логарифмыг тооцоол.

Шийдэл.

Хариулт:

.

Тооцоонд дээр дурдаагүй логарифмын шинж чанаруудыг бас ашигладаг боловч бид дараагийн догол мөрөнд энэ тухай ярих болно.

Бусад мэдэгдэж буй логарифмуудын хувьд логарифмийг олох

Энэ догол мөр дэх мэдээлэл нь логарифмын шинж чанарыг тооцоолохдоо ашиглах сэдвийг үргэлжлүүлнэ. Гэхдээ энд гол ялгаа нь логарифмын шинж чанарыг утга нь мэдэгдэж байгаа өөр логарифмын хувьд анхны логарифмыг илэрхийлэхэд ашигладаг. Тодорхой болгохын тулд жишээ татъя. Бид log 2 3≈1.584963 гэдгийг мэдэж байгаа гэж бодъё, тэгвэл бид логарифмын шинж чанарыг ашиглан бага зэрэг хувиргах замаар жишээ нь log 2 6-г олж болно: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Дээрх жишээнд бид бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хангалттай байсан. Гэсэн хэдий ч, өгөгдсөн логарифмыг анхны логарифмыг тооцоолохын тулд илүү өргөн цар хүрээтэй логарифмын шинж чанарыг ашиглах шаардлагатай болдог.

Жишээ.

log 60 2=a, log 60 5=b гэдгийг мэдэж байвал 60 суурьтай 27-ийн логарифмыг тооцоол.

Шийдэл.

Тиймээс бид лог 60 27-г олох хэрэгтэй. Эндээс харахад 27=3 3 , анхны логарифм нь зэрэглэлийн логарифмын шинж чанараас шалтгаалан 3·log 60 3 гэж дахин бичиж болно.

Одоо log 60 3-ыг мэдэгдэж буй логарифмуудаар хэрхэн илэрхийлж болохыг харцгаая. Суурьтай тэнцүү тооны логарифмын шинж чанар нь тэгш байдлын лог 60 60=1 бичих боломжийг олгоно. Нөгөө талаас log 60 60=log60(2 2 3 5)= лог 60 2 2 +лог 60 3+лог 60 5= 2 лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5 . Тиймээс, 2 лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5=1. Тиймээс, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Эцэст нь бид анхны логарифмыг тооцоолно: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Хариулт:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Маягтын логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёоны утгыг тусад нь дурдах нь зүйтэй. . Энэ нь ямар ч суурьтай логарифмуудаас тодорхой суурьтай, утгууд нь мэдэгдэж байгаа эсвэл тэдгээрийг олох боломжтой логарифм руу шилжих боломжийг олгодог. Ихэвчлэн анхны логарифмаас шилжилтийн томъёоны дагуу тэд 2, e эсвэл 10 суурийн аль нэгэнд логарифм руу шилждэг, учир нь эдгээр суурийн хувьд тэдгээрийг тодорхой нарийвчлалтайгаар тооцоолох боломжийг олгодог логарифмын хүснэгтүүд байдаг. Дараагийн хэсэгт бид үүнийг хэрхэн хийхийг харуулах болно.

Логарифмын хүснэгтүүд, тэдгээрийн хэрэглээ

Логарифмын утгыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд та ашиглаж болно логарифмын хүснэгтүүд. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг нь суурь 2 логарифмын хүснэгт, натурал логарифмын хүснэгт, аравтын логарифмын хүснэгт юм. Аравтын бутархай тооллын системд ажиллахдаа логарифмын хүснэгтийг аравтын суурь болгоход тохиромжтой. Түүний тусламжтайгаар бид логарифмын утгыг олж сурах болно.

Үзүүлсэн хүснэгт нь 1000-аас 9999 хүртэлх тооны аравтын бутархай логарифмын утгыг аравтын нэгийн нарийвчлалтайгаар олох боломжийг олгодог (аравтын бутархай гурван оронтой). Аравтын бутархай логарифмын хүснэгтийг ашиглан логарифмын утгыг олох зарчмыг шинжлэх болно тодорхой жишээ- илүү ойлгомжтой. lg1,256-г олцгооё.

Аравтын бутархай логарифмын хүснэгтийн зүүн баганад бид 1.256 тооны эхний хоёр цифрийг олно, өөрөөр хэлбэл 1.2-ыг олно (тодорхой байхын тулд энэ тоог цэнхэр өнгөөр ​​дугуйлсан). 1.256 тооны гурав дахь орон (тоо 5) нь давхар шугамын зүүн талын эхний буюу сүүлчийн мөрөнд (энэ тоог улаанаар дугуйлсан) олно. Анхны 1.256 дугаарын дөрөв дэх орон (тоо 6) давхар шугамын баруун талын эхний буюу сүүлчийн мөрөнд (энэ тоог ногооноор дугуйлсан) олно. Одоо бид тэмдэглэсэн мөр ба тэмдэглэгдсэн баганын огтлолцол дахь логарифмын хүснэгтийн нүднүүдээс тоонуудыг олдог (эдгээр тоонуудыг тодруулсан болно. жүрж). Тэмдэглэгдсэн тоонуудын нийлбэр нь аравтын бутархайн логарифмын хүссэн утгыг дөрөв дэх аравтын бутархай хүртэл өгдөг, өөрөөр хэлбэл, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Дээрх хүснэгтийг ашиглан аравтын бутархайн дараа гурваас дээш оронтой тоонуудын аравтын бутархай логарифмын утгыг олох, мөн 1-ээс 9.999 хүртэлх хязгаараас давж гарах боломжтой юу? Тиймээ чи чадна. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг жишээгээр харуулъя.

lg102.76332-ыг тооцоод үзье. Эхлээд та бичих хэрэгтэй дугаараар стандарт хэлбэр : 102.76332=1.0276332 10 2 . Үүний дараа мантиса нь гурав дахь аравтын бутархай хүртэл дугуйрсан байх ёстой 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, анхны аравтын бутархай логарифм нь үүссэн тооны логарифмтай ойролцоогоор тэнцүү, өөрөөр хэлбэл lg102.76332≈lg1.028·10 2-ыг авна. Одоо логарифмын шинж чанаруудыг ашиглана уу: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Эцэст нь аравтын бутархай логарифмын lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 хүснэгтийн дагуу lg1.028 логарифмын утгыг олно. Үүний үр дүнд логарифмыг тооцоолох бүх үйл явц дараах байдалтай байна. lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Эцэст нь хэлэхэд, аравтын бутархай логарифмын хүснэгтийг ашиглан та ямар ч логарифмын ойролцоо утгыг тооцоолж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд шилжилтийн томъёог ашиглан аравтын бутархай логарифм руу очиж, хүснэгтээс утгыг нь олж, үлдсэн тооцоог хийхэд хангалттай.

Жишээлбэл, лог 2 3-ыг тооцоолъё. Логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёоны дагуу бид . Аравтын логарифмын хүснэгтээс бид lg3≈0.4771 ба lg2≈0.3010-ыг олно. Тиймээс, .

Ном зүй.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад Алгебр ба анализын эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Өнөөдөр бид ярих болно логарифмын томьёомөн жагсаал хийх шийдлийн жишээнүүд.

Тэд өөрсдөө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын дагуу шийдлийн хэв маягийг илэрхийлдэг. Шийдвэрт логарифмын томьёог хэрэглэхээс өмнө бид юуны түрүүнд бүх шинж чанаруудыг танд сануулж байна.

Одоо эдгээр томьёо (шинж чанар) дээр үндэслэн бид харуулж байна Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Томьёонд үндэслэн логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.

Логарифм a суурийн эерэг тоо b (логийг a b гэж тэмдэглэсэн) b > 0, a > 0, 1-тэй b-ийг авахын тулд a-г өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Тодорхойлолтын дагуу log a b = x, энэ нь a x = b-тэй тэнцэх тул log a a x = x.

Логарифм, жишээнүүд:

бүртгэл 2 8 = 3, учир нь 2 3 = 8

бүртгэл 7 49 = 2 учир нь 7 2 = 49

бүртгэл 5 1/5 = -1, учир нь 5 -1 = 1/5

Аравтын логарифмнь энгийн логарифм бөгөөд суурь нь 10. lg гэж тэмдэглэнэ.

бүртгэл 10 100 = 2 учир нь 10 2 = 100

байгалийн логарифм- мөн ердийн логарифм логарифм, гэхдээ e суурьтай (e \u003d 2.71828 ... - иррационал тоо). ln гэж нэрлэдэг.

Логарифмын томьёо эсвэл шинж чанарыг санах нь зүйтэй, учир нь логарифм, логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд бидэнд хэрэгтэй болно. Томъёо бүрийг жишээн дээр дахин боловсруулъя.

• Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 бүртгэл 5 50 /9 бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 50- бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 25 = 9 2 = 81

• Логарифм болох тооны зэрэг ба логарифмын суурийн шинж чанарууд

  Логарифмын тооны илтгэгч log a b m = mlog a b

  Үндсэн илтгэгч логарифмын бүртгэл a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  хэрэв m = n бол log a n b n = log a b болно

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Шинэ суурь руу шилжих
  log a b = log c b / log c a,

  хэрэв c = b бол бид log b b = 1 болно

  дараа нь log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Таны харж байгаагаар логарифмын томъёонууд нь санагдсан шиг тийм ч төвөгтэй биш юм. Одоо логарифмыг шийдэх жишээнүүдийг авч үзээд бид логарифмын тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Бид логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг "" нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзэх болно. Битгий алдаарай!

Хэрэв танд шийдлийн талаар асуулт байгаа бол тэдгээрийг нийтлэлийн сэтгэгдэлд бичээрэй.

Жич: Сонголтоор гадаадад өөр ангид суралцахаар шийдсэн.

Энэ нийтлэлийн гол зүйл бол логарифм. Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг өгч, хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг үзүүлж, логарифмын жишээг өгч, натурал ба аравтын логарифмын тухай ярих болно. Үүний дараа үндсэн логарифмын таних тэмдгийг анхаарч үзээрэй.

Хуудасны навигаци.

Логарифмын тодорхойлолт

Логарифмын тухай ойлголт нь асуудлыг шийдвэрлэх үед үүсдэг тодорхой утгаарааурвуу, та зэрэг болон мэдэгдэж буй суурийн мэдэгдэж буй утгаас илтгэгчийг олох шаардлагатай үед.

Гэхдээ хангалттай оршил, "логарифм гэж юу вэ" гэсэн асуултанд хариулах цаг болсон уу? Тохиромжтой тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

b-ийн логарифм нь a суурь, энд a>0 , a≠1 ба b>0 нь үр дүнд нь b авахын тулд a тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм.

Энэ үе шатанд "логарифм" гэсэн үг нь "ямар тоо" ба "ямар үндэслэлээр" гэсэн хоёр асуултыг нэн даруй гаргах ёстой гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Өөрөөр хэлбэл, зүгээр л логарифм гэж байдаггүй, харин зарим суурь дээр зөвхөн тооны логарифм байдаг.

Бид даруй танилцуулах болно логарифмын тэмдэглэгээ: b тооны а суурийн логарифмыг ихэвчлэн log a b гэж тэмдэглэдэг. b тооны суурь e ба 10 суурьтай логарифм нь lnb ба lgb гэсэн тусгай тэмдэглэгээтэй, өөрөөр хэлбэл log e b биш, харин lnb, log 10 b биш, харин lgb гэж бичдэг.

Одоо та авчрах боломжтой: .
Мөн бичлэгүүд утгагүй, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёр дахь нь суурь дахь сөрөг тоо, гурав дахь нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо байдаг. суурь дахь нэгж.

Одоо ярилцъя логарифм унших дүрэм. a b оруулгын бүртгэлийг "а суурьтай b-ийн логарифм" гэж уншина. Жишээлбэл, log 2 3 нь 3-ын суурь 2-ын логарифм бөгөөд суурь нь хоёр цэгийн гуравны хоёрын логарифм юм. Квадрат язгууртаваас. e суурийн логарифм гэж нэрлэдэг байгалийн логарифм, мөн lnb тэмдэглэгээг "b-ийн натурал логарифм" гэж уншина. Жишээлбэл, ln7 нь долоон тооны натурал логарифм бөгөөд бид үүнийг pi-ийн натурал логарифм гэж унших болно. 10-р суурийн логарифм нь мөн тусгай нэртэй байдаг - аравтын логарифм, мөн lgb тэмдэглэгээг "аравтын логарифм b" гэж уншина. Жишээлбэл, lg1 нь нэгийн аравтын логарифм, lg2.75 нь хоёр цэгийн далан таван зуутын аравтын логарифм юм.

Логарифмын тодорхойлолтыг өгсөн a>0, a≠1 ба b>0 нөхцлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. Эдгээр хязгаарлалтууд хаанаас ирснийг тайлбарлая. Үүнийг хийхийн тулд дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарах хэлбэрийн тэгш байдал бидэнд туслах болно.

a≠1 -ээр эхэлцгээе. Аль ч хүчинд нэг нь нэгтэй тэнцүү тул тэгш байдал нь зөвхөн b=1-д үнэн байх боловч log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлаас зайлсхийхийн тулд a≠1-ийг хүлээн авна.

a>0 нөхцлийн зохистой байдлыг баталъя. a=0 байхад логарифмын тодорхойлолтоор бид тэгш эрхтэй байх ба энэ нь зөвхөн b=0 байхад л боломжтой. Харин тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг байх тул log 0 0 нь тэгээс өөр ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлаас a≠0 нөхцөлөөр зайлсхийж болно. Мөн а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Эцэст нь b>0 нөхцөл нь a>0 , учир нь тэгш бус байдлаас гарах ба эерэг суурьтай зэрэглэлийн утга үргэлж эерэг байна.

Энэ догол мөрийн төгсгөлд бид логарифмын дуут тодорхойлолт нь логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь тодорхой хэмжээний суурь байх үед логарифмын утгыг шууд зааж өгөх боломжийг олгодог гэж бид хэлж байна. Үнэн хэрэгтээ, логарифмын тодорхойлолт нь b=a p бол b тооны логарифм нь a суурьтай тэнцүү гэдгийг батлах боломжийг бидэнд олгодог. Өөрөөр хэлбэл log a a p =p тэгш байдал үнэн байна. Жишээлбэл, бид 2 3 =8, дараа нь log 2 8=3 гэдгийг мэднэ. Энэ талаар бид нийтлэлд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.