Логарифмыг үржүүлэх томъёо. Логарифмын тодорхойлолт, үндсэн логарифмын ижилсэл
Өнөөдөр бид ярих болно логарифмын томьёомөн жагсаал хийх шийдлийн жишээнүүд.
Тэд өөрсдөө логарифмын үндсэн шинж чанаруудын дагуу шийдлийн хэв маягийг илэрхийлдэг. Шийдвэрт логарифмын томьёог хэрэглэхээс өмнө бид юуны түрүүнд бүх шинж чанаруудыг танд сануулж байна.
Одоо эдгээр томьёо (шинж чанар) дээр үндэслэн бид харуулж байна Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.
Томьёонд үндэслэн логарифмыг шийдвэрлэх жишээ.
Логарифм a суурийн эерэг тоо b (логийг a b гэж тэмдэглэсэн) b > 0, a > 0, 1-тэй b-ийг авахын тулд a-г өсгөх ёстой илтгэгч юм.
Тодорхойлолтын дагуу log a b = x, энэ нь a x = b-тэй тэнцэх тул log a a x = x.
Логарифм, жишээнүүд:
бүртгэл 2 8 = 3, учир нь 2 3 = 8
бүртгэл 7 49 = 2 учир нь 7 2 = 49
бүртгэл 5 1/5 = -1, учир нь 5 -1 = 1/5
Аравтын логарифмнь энгийн логарифм бөгөөд суурь нь 10. lg гэж тэмдэглэнэ.
бүртгэл 10 100 = 2 учир нь 10 2 = 100
байгалийн логарифм- мөн ердийн логарифм логарифм, гэхдээ e суурьтай (e \u003d 2.71828 ... - иррационал тоо). ln гэж нэрлэдэг.
Логарифмын томьёо эсвэл шинж чанарыг санах нь зүйтэй, учир нь логарифм, логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд бидэнд хэрэгтэй болно. Томъёо бүрийг жишээн дээр дахин боловсруулъя.
- Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна
log a (b/c) = log a b - log a c9 бүртгэл 5 50 /9 бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 50- бүртгэл 5 2 = 9 бүртгэл 5 25 = 9 2 = 81
- Логарифм болох тооны зэрэг ба логарифмын суурийн шинж чанарууд
Логарифмын тооны илтгэгч log a b m = mlog a b
Логарифмын суурийн илтгэгч log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
хэрэв m = n бол log a n b n = log a b болно
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Шинэ суурь руу шилжих
log a b = log c b / log c a,хэрэв c = b бол бид log b b = 1 болно
дараа нь log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
Таны харж байгаагаар логарифмын томъёонууд нь санагдсан шиг тийм ч төвөгтэй биш юм. Одоо логарифмыг шийдэх жишээнүүдийг авч үзээд бид логарифмын тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Бид логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг "" нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзэх болно. Битгий алдаарай!
Хэрэв танд шийдлийн талаар асуулт байгаа бол тэдгээрийг нийтлэлийн сэтгэгдэлд бичээрэй.
Жич: Сонголтоор гадаадад өөр ангид суралцахаар шийдсэн.
-ээс эхэлье нэгдлийн логарифмын шинж чанарууд. Түүний томъёолол нь дараах байдалтай байна: нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, log a 1=0 a>0 , a≠1 . Баталгаа нь ойлгомжтой: дээрх a>0 ба a≠1 нөхцөлийг хангасан аливаа a-д 0 =1 байх тул логарифмын тодорхойлолтоос нэн даруй батлагдсан log a 1=0 тэгшитгэл гарч ирнэ.
Харгалзан үзэх шинж чанарыг хэрэглэх жишээг өгье: log 3 1=0 , lg1=0 ба .
Дараагийн үл хөдлөх хөрөнгө рүү шилжье: суурьтай тэнцүү тооны логарифм нь нэгтэй тэнцүү байна, тэр бол, log a a=1хувьд a>0 , a≠1 . Үнэн хэрэгтээ аливаа a -ийн хувьд a 1 =a тул логарифмын тодорхойлолтоор log a a=1 болно.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ нь log 5 5=1 , log 5.6 5.6 болон lne=1 юм.
Жишээлбэл, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 ба 
.
Хоёр эерэг тооны үржвэрийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1 . Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг баталъя. Зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан a log a x+log a y =a log a x a log a y, мөн үндсэн логарифмын адилтгалаар log a x =x ба log a y =y , тэгвэл log a x a log a y =x y болно. Тиймээс, лог a x+log a y =x y , эндээс шаардлагатай тэгш байдал нь логарифмын тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.
Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглах жишээг үзүүлье: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ба 
.
Үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг x 1 , x 2 , …, x n эерэг тооны хязгаарлагдмал тооны n үржвэрт ерөнхийлж болно. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Энэ тэгш байдал амархан нотлогддог.
Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний натурал логарифмыг гурвын нийлбэрээр сольж болно байгалийн логарифмуудтоо 4 , e , болон .
Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна. Хуваарийн логарифмын шинж чанар нь a>0, a≠1, x ба y нь эерэг тоонууд байх хэлбэрийн томьёотой тохирч байна. Энэ томъёоны хүчинтэй байдал нь бүтээгдэхүүний логарифмын томъёоны нэгэн адил нотлогддог: оноос хойш 
, дараа нь логарифмын тодорхойлолтоор .
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна. 
.
Дараа нь үргэлжлүүлье градусын логарифмын шинж чанар. Зэрэглэлийн логарифм нь энэ зэргийн суурийн индекс ба модулийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. Зэрэглэлийн логарифмын энэ шинж чанарыг бид дараах томъёогоор бичнэ. log a b p =p log a |b|, энд a>0 , a≠1 , b ба p нь b p-ийн зэрэг нь утга учиртай, b p >0 байх тоо юм.
Бид эхлээд энэ шинж чанарыг эерэг b гэж баталж байна. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог a log a b , дараа нь b p =(a log a b) p хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог ба чадлын шинж чанараас шалтгаалан үүссэн илэрхийлэл нь p log a b -тэй тэнцүү байна. Тиймээс бид b p =a p log a b тэгшитгэлд хүрч, логарифмын тодорхойлолтоор бид log a b p =p log a b гэж дүгнэж байна.
Энэ өмчийг сөрөг b гэж батлах хэвээр байна. Энд бид сөрөг b-ийн хувьд log a b p илэрхийлэл нь зөвхөн тэгш илтгэгч p (учир нь b p зэрэгийн утга тэгээс их байх ёстой, эс тэгвээс логарифм утгагүй болно) утга учиртай болохыг тэмдэглэж байна, энэ тохиолдолд b p =|b| х . Дараа нь b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, эндээс log a b p =p log a |b| .
Жишээлбэл, 
ба ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Энэ нь өмнөх өмчөөс үүдэлтэй язгуураас авсан логарифмын шинж чанар: n-р зэргийн язгуурын логарифм нь 1/n бутархай ба язгуур илэрхийллийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, 
, энд a>0 , a≠1 , n нь нэгээс их натурал тоо, b>0 .
Нотолгоо нь аливаа эерэг b-д хүчинтэй тэгш байдал (харна уу) ба зэрэглэлийн логарифмын шинж чанар дээр суурилдаг. 
.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ энд байна: 
.
Одоо баталъя логарифмын шинэ суурь руу хөрвүүлэх томъёотөрлийн 
. Үүний тулд тэгш байдлын log c b=log a b log c a гэсэн үнэн зөвийг батлахад хангалттай. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог a log a b , дараа нь log c b=log c a log a b гэж илэрхийлэх боломжийг олгодог. Зэрэглэлийн логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хэвээр байна: log c a log a b = log a b log c a. Ийнхүү log c b=log a b log c a тэнцүү байх нь батлагдсан бөгөөд энэ нь логарифмын шинэ суурь руу шилжих томьёо мөн батлагдсан гэсэн үг юм.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн жишээг үзүүлье: ба 
.
Шинэ суурь руу шилжих томъёо нь "тохиромжтой" суурьтай логарифмуудтай ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Жишээлбэл, логарифмын утгыг логарифмын хүснэгтээс тооцоолохын тулд натурал эсвэл аравтын логарифм руу шилжихэд ашиглаж болно. Логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёо нь зарим тохиолдолд бусад суурьтай зарим логарифмын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог.
Байнга хэрэглэдэг онцгой тохиолдолхэлбэрийн c=b логарифмын шинэ суурь руу шилжих томьёо 
. Энэ нь log a b ба log b a – болохыг харуулж байна. Жишээ нь, 
.
Мөн томъёог ихэвчлэн ашигладаг 
, энэ нь логарифмын утгыг олоход тустай. Бидний үгсийг батлахын тулд бид маягтын логарифмын утгыг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно. Бидэнд байгаа 
. Томьёог батлахын тулд 
a логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглахад хангалттай. 
.
Логарифмын харьцуулах шинж чанарыг батлахад л үлдэж байна.
Аливаа эерэг тоонуудын хувьд b 1 ба b 2 , b 1 гэдгийг баталцгаая log a b 2 ба a>1 хувьд тэгш бус байдал log a b 1 байна Эцэст нь логарифмын хамгийн сүүлийн жагсаасан шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Бид түүний эхний хэсгийг нотлохоор хязгаарлагдаж, өөрөөр хэлбэл, хэрэв a 1 >1, a 2 >1 болон a 1 гэдгийг нотолж байна. 1 нь үнэн log a 1 b>log a 2 b . Логарифмын энэ өмчийн үлдсэн мэдэгдлүүд ижил төстэй зарчмаар нотлогддог. Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. 1 >1 , 2 >1 ба 1 гэж бодъё 1 log a 1 b≤log a 2 b үнэн. Логарифмын шинж чанараар эдгээр тэгш бус байдлыг дахин бичиж болно 
Тэгээд 
тус тус ба тэдгээрээс log b a 1 ≤log b a 2 ба log b a 1 ≥log b a 2 байна. Дараа нь ижил суурьтай хүчнүүдийн шинж чанараар b log b a 1 ≥b log b a 2 ба b log b a 1 ≥b log b a 2 тэгшитгэлүүд хангагдах ёстой, өөрөөр хэлбэл a 1 ≥a 2. Тиймээс бид a 1 нөхцөлтэй зөрчилдсөн
Ном зүй.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад.Алгебр ба анализын эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).
Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:
- Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, онцгой санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан танд чухал мэдэгдэл, мессеж илгээж болно.
- Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай тохиолдолд - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүх ажиллагааны явцад болон / эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн дагуу хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон нийтийн ашиг сонирхлын бусад зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
b-ийн логарифм (b > 0) a суурь (a > 0, a ≠ 1) b-ийг авахын тулд a тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм.
b-ийн суурь 10 логарифмыг ингэж бичиж болно бүртгэл(б), ба е суурийн логарифм (натурал логарифм) - ln(b).
Логарифмын асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг:
Логарифмын шинж чанарууд
Дөрвөн үндсэн байдаг логарифмын шинж чанарууд.
a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 байг.
Property 1. Бүтээгдэхүүний логарифм
Бүтээгдэхүүний логарифмлогарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Property 2. Хэсгийн логарифм
Хэсгийн логарифмлогарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна:
log a (x / y) = log a x – log a y
Property 3. Зэрэглэлийн логарифм
Зэрэг логарифмзэрэг ба логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна:
Хэрэв логарифмын суурь нь экспонентт байгаа бол өөр томъёог хэрэглэнэ.
Property 4. Үндэсийн логарифм
n-р зэргийн язгуур нь 1/n-ийн чадалтай тэнцүү тул энэ шинж чанарыг градусын логарифмын шинж чанараас авч болно.
Нэг суурийн логарифмээс нөгөө суурийн логарифм руу шилжих томъёо
Энэ томъёог логарифмын янз бүрийн даалгавруудыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.
Онцгой тохиолдол:
Логарифмын харьцуулалт (тэгш бус байдал)
Бид ижил суурьтай логарифмын дор f(x) ба g(x) 2 функцтэй ба тэдгээрийн хооронд тэгш бус байдлын тэмдэг байна гэж бодъё.
Тэдгээрийг харьцуулахын тулд эхлээд a логарифмын суурийг харах хэрэгтэй.
- Хэрэв a > 0 бол f(x) > g(x) > 0 байна
- Хэрэв 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Логарифмын тусламжтайгаар асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ: жишээ
Логарифм бүхий даалгавар 11-р ангийн математикийн USE-д 5-р даалгавар, 7-р даалгаварт багтсан тул та манай вэбсайтаас холбогдох хэсгүүдээс шийдэл бүхий даалгавруудыг олох боломжтой. Мөн логарифм бүхий даалгавруудыг математикийн даалгавруудын банкнаас олдог. Та бүх жишээг сайтаас хайж олох боломжтой.
Логарифм гэж юу вэ
Логарифмыг сургуулийн математикийн хичээлд үргэлж хэцүү сэдэв гэж үздэг. Логарифмын талаар олон янзын тодорхойлолт байдаг ч зарим нэг шалтгааны улмаас ихэнх сурах бичгүүдэд тэдгээрийн хамгийн төвөгтэй, харамсалтай нь ашиглагддаг.
Бид логарифмыг энгийн бөгөөд тодорхой тодорхойлох болно. Үүний тулд хүснэгт үүсгэцгээе:
Тэгэхээр бид хоёр эрх мэдэлтэй.
Логарифм - шинж чанар, томъёо, хэрхэн шийдвэрлэх
Хэрэв та тоог доод шугамаас авбал энэ тоог авахын тулд хоёрыг өсгөх шаардлагатай хүчийг хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, 16-г авахын тулд та хоёрыг дөрөв дэх хүчийг нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Мөн 64-ийг авахын тулд хоёрыг зургаа дахь зэрэглэлд хүргэх хэрэгтэй. Үүнийг хүснэгтээс харж болно.
Тэгээд одоо - үнэндээ логарифмын тодорхойлолт:
Аргументын суурь a нь х тоог авахын тулд а тоог өсгөх ёстой хүч юм.
Тэмдэглэгээ: log a x \u003d b, энд a нь суурь, x нь аргумент, b нь үнэндээ логарифм нь тэнцүү байна.
Жишээ нь, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ын суурь 2 логарифм нь 2 3 = 8 учраас гурван). Бүртгэл 2 64 = 6 байж болно, учир нь 2 6 = 64.
Өгөгдсөн суурь хүртэлх тооны логарифмийг олох үйлдлийг гэнэ. Ингээд хүснэгтэндээ шинэ мөр нэмье:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| бүртгэл 2 2 = 1 | бүртгэл 2 4 = 2 | бүртгэл 2 8 = 3 | бүртгэл 2 16 = 4 | бүртгэл 2 32 = 5 | бүртгэл 2 64 = 6 |
Харамсалтай нь бүх логарифмуудыг тийм ч хялбар гэж үздэггүй. Жишээлбэл, лог 2-ыг олохыг хичээ 5. 5-ын тоо хүснэгтэд байхгүй, гэхдээ логик нь логарифм нь сегментийн хаа нэгтээ хэвтэхийг заадаг. Учир нь 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг: аравтын бутархайн дараах тоог тодорхойгүй хугацаагаар бичиж болно, тэд хэзээ ч давтагдахгүй. Хэрэв логарифм нь үндэслэлгүй бол түүнийг дараах байдлаар үлдээсэн нь дээр: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Логарифм нь хоёр хувьсагчтай (суурь ба аргумент) илэрхийлэл гэдгийг ойлгох нь чухал. Эхэндээ олон хүмүүс үндэслэл нь хаана байна, маргаан нь хаана байна гэж андуурдаг. Ядаргаатай үл ойлголцол гарахаас зайлсхийхийн тулд зургийг хараарай.
Бидний өмнө логарифмын тодорхойлолтоос өөр зүйл байхгүй. Санаж байна уу: логарифм бол хүч юм, үүнд та аргумент авахын тулд суурийг өсгөх хэрэгтэй. Энэ нь хүч чадалд өргөгдсөн суурь юм - зурган дээр үүнийг улаан өнгөөр тодруулсан. Суурь нь үргэлж доод талд байдаг нь харагдаж байна! Би энэ гайхалтай дүрмийг эхний хичээл дээр оюутнууддаа хэлдэг - ямар ч төөрөгдөл байхгүй.
Логарифмыг хэрхэн тоолох вэ
Бид тодорхойлолтыг олж мэдсэн - логарифмыг хэрхэн тоолохыг сурахад л үлдэж байна, жишээлбэл. "лог" тэмдгийг арилгах. Эхлээд бид тодорхойлолтоос хоёр чухал баримт гарч ирснийг тэмдэглэж байна.
- Аргумент ба суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой. Энэ нь логарифмын тодорхойлолтыг багасгасан рациональ илтгэгчээр зэрэглэлийг тодорхойлсоноос үүсдэг.
- Аливаа чадлын нэгж нь нэгж хэвээр байгаа тул суурь нь нэгдлээс ялгаатай байх ёстой. Үүнээс болоод “хоёрыг авахын тулд ямар хүч гаргах ёстой вэ” гэдэг асуулт утгагүй болж байна. Ийм зэрэглэл байхгүй!
Ийм хязгаарлалт гэж нэрлэдэг хүчинтэй хүрээ(ОДЗ). Логарифмын ODZ нь дараах байдалтай байна: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
b тоо (логарифмын утга) дээр ямар ч хязгаарлалт байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, логарифм нь сөрөг байж магадгүй: log 2 0.5 = −1, учир нь 0.5 = 2 −1.
Гэсэн хэдий ч одоо бид логарифмын ODZ-ийг мэдэх шаардлагагүй зөвхөн тоон илэрхийллүүдийг авч үзэх болно. Асуудлыг эмхэтгэгчид бүх хязгаарлалтыг аль хэдийн харгалзан үзсэн болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал гарч ирэхэд DHS-ийн шаардлага заавал байх болно. Үнэн хэрэгтээ, үндэслэл, аргумент нь дээр дурдсан хязгаарлалттай заавал нийцэхгүй маш хүчтэй бүтэцтэй байж болно.
Одоо бод ерөнхий схемлогарифмын тооцоолол. Энэ нь гурван алхамаас бүрдэнэ:
- a суурь ба аргумент x-ийг боломжит хамгийн бага суурь нь нэгээс их байхаар илэрхийл. Замдаа аравтын бутархайг арилгах нь дээр;
- b хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийд: x = a b ;
- Үүний үр дүнд b тоо нь хариулт болно.
Тэгээд л болоо! Хэрэв логарифм нь үндэслэлгүй бол энэ нь эхний алхам дээр харагдах болно. Суурь нь нэгээс их байх шаардлага нь маш их хамааралтай: энэ нь алдаа гарах магадлалыг бууруулж, тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Аравтын бутархайтай адил: хэрэв та тэдгээрийг нэн даруй энгийн болгон хувиргавал алдаа хэд дахин бага байх болно.
Энэ схем хэрхэн ажилладагийг тодорхой жишээн дээр харцгаая.
Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 5 25
- Суурь ба аргументыг тавын зэрэглэлээр илэрхийлье: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Хариулт хүлээн авсан: 2.
Тэгшитгэл хийж, шийдье:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Даалгавар. Логарифмыг тооцоолох:
Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 4 64
- Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр илэрхийлье: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Тэгшитгэл хийж, шийдье:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Хариулт хүлээн авсан: 3.
Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 16 1
- Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр илэрхийлье: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Тэгшитгэл хийж, шийдье:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Хариулт хүлээн авсан: 0.
Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 7 14
- Суурь ба аргументыг долоон зэрэглэлээр илэрхийлье: 7 = 7 1 ; 14-ийг долоон хүч гэж төлөөлдөггүй, учир нь 7 1< 14 < 7 2 ;
- Өмнөх догол мөрөөс харахад логарифмыг тооцохгүй;
- Хариулт нь өөрчлөлтгүй: log 7 14.
Жижигхэн тэмдэглэл сүүлчийн жишээ. Тоо нь өөр тооны яг хүчин чадал биш гэдгийг хэрхэн батлах вэ? Маш энгийн - зүгээр л үндсэн хүчин зүйл болгон задлаарай. Өргөтгөхөд дор хаяж хоёр ялгаатай хүчин зүйл байгаа бол тоо нь тодорхой хүч биш юм.
Даалгавар. Тооны яг зэрэг нь: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - яг зэрэг, учир нь зөвхөн нэг үржүүлэгч байдаг;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 нь яг хүчин чадал биш, учир нь 3 ба 2 гэсэн хоёр хүчин зүйл байдаг;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - яг зэрэг;
35 = 7 5 - дахин тодорхой зэрэг биш;
14 \u003d 7 2 - дахин тодорхой зэрэг биш;
Бид мөн тэмдэглэж байна анхны тоонуудТэд үргэлж өөрсдийнхөө эрх мэдэлтэй байдаг.
Аравтын логарифм
Зарим логарифмууд нь маш түгээмэл тул тусгай нэр, тэмдэглэгээтэй байдаг.
x аргумент нь суурь 10 логарифм, өөрөөр хэлбэл. х-г авахын тулд 10-ыг өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: lgx.
Жишээлбэл, log 10 = 1; бүртгэл 100 = 2; lg 1000 = 3 - гэх мэт.
Одооноос эхлэн сурах бичигт “Find lg 0.01” гэх мэт хэллэг гарч ирэхэд энэ нь үсгийн алдаа биш гэдгийг мэдэж аваарай. Энэ бол аравтын бутархай логарифм юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ийм тэмдэглэгээнд дасаагүй бол үүнийг үргэлж дахин бичиж болно.
log x = log 10 x
Энгийн логарифмын хувьд үнэн бүх зүйл аравтын бутархайн хувьд ч үнэн байдаг.
байгалийн логарифм
Өөр өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй өөр логарифм байдаг. Нэг ёсондоо аравтын аравтын тооноос ч илүү чухал. Энэ талаар юмнатурал логарифмын тухай.
x аргумент нь е суурьтай логарифм, i.e. х тоог авахын тулд e тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: lnx.
Олон хүн асуух болно: e тоо юу вэ? Энэ бол иррациональ тоо юм яг үнэ цэнэолж, бүртгэх боломжгүй. Энд зөвхөн эхний тоонууд байна:
e = 2.718281828459…
Энэ тоо юу вэ, яагаад хэрэгтэй байгааг бид нарийвчлан судлахгүй. Зөвхөн e нь натурал логарифмын суурь гэдгийг санаарай.
ln x = log e x
Тиймээс ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - гэх мэт. Нөгөө талаас, ln 2 бол иррационал тоо юм. Ерөнхийдөө аливаа рационал тооны натурал логарифм нь иррациональ юм. Мэдээжийн хэрэг, нэгдмэл байдлаас бусад нь: ln 1 = 0.
Натурал логарифмын хувьд энгийн логарифмын хувьд үнэн байх бүх дүрэм хүчинтэй байна.
Мөн үзнэ үү:
Логарифм. Логарифмын шинж чанарууд (логарифмын хүч).
Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн илэрхийлэх вэ?
Бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг.
Логарифм нь логарифмын тэмдгийн доорх тоог авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүчийг илтгэдэг үзүүлэлт юм.
Иймд тодорхой c тоог а суурийн логарифм болгон илэрхийлэхийн тулд логарифмын тэмдгийн доор логарифмын суурьтай ижил суурьтай зэрэглэлийг тавьж, энэ c тоог илтгэгч рүү бичих хэрэгтэй.
Логарифмын хэлбэрээр та эерэг, сөрөг, бүхэл тоо, бутархай, оновчтой, иррационал гэсэн ямар ч тоог илэрхийлж болно.
Туршилт эсвэл шалгалтын стресстэй нөхцөлд a ба c-г андуурахгүйн тулд та дараах дүрмийг санаж болно.
доор байгаа нь доошоо, дээр байгаа нь дээшээ.
Жишээлбэл, та 2-ын тоог 3-ын суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлэхийг хүсч байна.
Бидэнд 2 ба 3 гэсэн хоёр тоо байна. Эдгээр тоонууд нь суурь ба илтгэгч бөгөөд бид логарифмын тэмдгийн доор бичнэ. Эдгээр тоонуудын алийг нь зэрэглэлийн суурь дээр, аль нь дээш, илтгэгч дээр бичих ёстойг тодорхойлоход л үлдлээ.
Логарифмын тэмдэглэл дэх суурь 3 нь доод талд байгаа бөгөөд энэ нь бид хоёрыг 3-ын суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэхэд бид мөн суурь руу 3-ыг бичнэ гэсэн үг юм.
2 нь 3-аас их. Зэрэглэлийн тэмдэглэгээнд бид гурвын дээрх хоёрыг, өөрөөр хэлбэл экспонент дээр бичнэ.
Логарифм. Эхний түвшин.
Логарифм
логарифмэерэг тоо бшалтгаанаар а, Хаана a > 0, a ≠ 1, тоог өсгөх ёстой экспонент юм. а, олж авах б.
Логарифмын тодорхойлолтдараах байдлаар товчхон бичиж болно.
Энэ тэгш байдал нь хүчинтэй байна b > 0, a > 0, a ≠ 1.Түүнийг ихэвчлэн дууддаг логарифмын ижилсэл.
Тооны логарифмийг олох үйлдлийг гэнэ логарифм.
Логарифмын шинж чанарууд:
Бүтээгдэхүүний логарифм:
Хуваалтын хэсгийн логарифм:
Логарифмын суурийг орлуулах:
Зэрэг логарифм:
үндэс логарифм:
Эрчим хүчний суурьтай логарифм:
Аравтын болон натурал логарифм.
Аравтын логарифмтоонууд тухайн тооны суурь 10 логарифмыг дуудаж lg гэж бичнэ б
байгалийн логарифмтоонууд энэ тооны логарифмыг суурь руу дууддаг д, Хаана днь иррационал тоо бөгөөд ойролцоогоор 2.7-той тэнцүү. Үүний зэрэгцээ тэд ln гэж бичдэг б.
Алгебр ба геометрийн бусад тэмдэглэл
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Логарифмыг ямар ч тооны нэгэн адил нэмэх, хасах, хөрвүүлэх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь тийм ч энгийн тоо биш тул энд дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээрийг нэрлэдэг үндсэн шинж чанарууд.
Эдгээр дүрмийг мэддэг байх ёстой - үүнгүйгээр ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.
Логарифмын нэмэх ба хасах
Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log a x ба log a y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Анхаарна уу: энд гол зүйл бол - ижил үндэслэл. Хэрэв суурь нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!
Эдгээр томъёо нь танд тооцоолоход тусална логарифм илэрхийлэлтүүний бие даасан хэсгүүдийг тооцдоггүй байсан ч ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:
бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.
Логарифмын суурь нь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.
Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.
Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон тестийн цаас. Тийм ээ, хяналт - шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэл (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.
Логарифмаас илтгэгчийг хасах
Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргумент дээр зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.
Үүнийг харахад амархан сүүлчийн дүрэмэхний хоёрыг дагадаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.
Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдаж байвал эдгээр бүх дүрмүүд нь утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Мөн өөр нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сурах, өөрөөр хэлбэл. та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоог логарифм руу оруулж болно.
Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ
Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .
Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг зэрэгтэй тэнцүү болохыг анхаарна уу: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Бидэнд байгаа:
Сүүлийн жишээг тодруулах шаардлагатай гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Тэд тэнд зогсож буй логарифмын үндэслэл, аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.
Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоотой байна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваагч дээр үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үр дүн нь хариулт юм: 2.
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хэрэв суурь нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?
Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.
Өгчихье логарифмын бүртгэлсүх. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:
Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.
Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг солих боломжтой боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр байна.
Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.
Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс бусад тохиолдолд шийдэх боломжгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.
Логарифмын аргументууд нь яг экспонент гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:
Үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул бид тайвнаар дөрөв ба хоёрыг үржүүлээд дараа нь логарифмуудыг олов.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.
Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.
Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг.
Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:
Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зөвхөн логарифмын утга юм.
Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:
Үнэхээр b тоог энэ зэрэгт байгаа b тоо нь а тоог өгөх хэмжээнд хүртэл өсгөвөл юу болох вэ? Энэ нь зөв: энэ нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүн дээр "өлгөх" болно.
Шинэ суурь хөрвүүлэх томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
log 25 64 = log 5 8 гэдгийг анхаарна уу - зүгээр л суурь болон логарифмын аргументаас квадратыг гаргаж авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂
Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг
Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэхэд хэцүү хоёр таних тэмдгийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтоос гарах үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд ордог бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.
- log a a = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
- log a 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.
Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.
\(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)
Үүнийг илүү хялбар тайлбарлая. Жишээ нь, \(\log_(2)(8)\) нь \(8\)-ийг авахын тулд \(2\)-ыг өсгөх шаардлагатай тэнцүү байна. Эндээс \(\log_(2)(8)=3\) болох нь тодорхой байна.
|
Жишээ нь: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
учир нь \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
учир нь \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
учир нь \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Логарифмын аргумент ба суурь
Аливаа логарифм нь дараахь "анатоми" -тай байдаг.
Логарифмын аргументыг ихэвчлэн өөрийн түвшинд бичдэг ба суурь нь логарифмын тэмдэгт ойртсон доод бичвэрт бичигддэг. Мөн энэ оруулгыг дараах байдлаар уншина: "Хорин таваас тавын суурь хүртэлх логарифм".
Логарифмыг хэрхэн тооцоолох вэ?
Логарифмыг тооцоолохын тулд та асуултанд хариулах хэрэгтэй: аргументыг авахын тулд суурийг ямар хэмжээгээр өсгөх ёстой вэ?
Жишээлбэл, логарифмыг тооцоол: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) \(16\) авахын тулд \(4\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Хоёр дахь нь ойлгомжтой. Тийм учраас:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
в) \(1\) авахын тулд \(\sqrt(5)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Мөн ямар зэрэг нь аливаа тоог нэгж болгодог вэ? Мэдээж тэг!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) авахын тулд \(\sqrt(7)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Эхнийх нь - эхний зэрэглэлийн аль ч тоо нь өөртэйгөө тэнцүү байна.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) \(\sqrt(3)\)-г авахын тулд \(3\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Энэ нь бутархай хүч гэдгийг бид мэднэ Квадрат язгуурзэрэг нь \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Жишээ : Логарифмыг тооцоолох \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Шийдэл :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Логарифмын утгыг олох хэрэгтэй, үүнийг x гэж тэмдэглэе. Одоо логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
\(4\sqrt(2)\) болон \(8\) ямар холбоосууд вэ? Хоёр, учир нь хоёуланг нь хоёроор илэрхийлж болно: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Зүүн талд бид зэрэглэлийн шинж чанаруудыг ашигладаг: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) болон \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Суурь нь тэнцүү, бид шалгуур үзүүлэлтүүдийн тэгш байдал руу шилждэг |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Тэгшитгэлийн хоёр талыг \(\frac(2)(5)\)-аар үржүүл. |
|
|
Үүссэн үндэс нь логарифмын утга юм |
Хариулт : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Логарифмыг яагаад зохион бүтээсэн бэ?
Үүнийг ойлгохын тулд тэгшитгэлийг шийдье: \(3^(x)=9\). Тэгш байдлыг хангахын тулд \(x\)-г тааруулна уу. Мэдээжийн хэрэг, \(x=2\).
Одоо тэгшитгэлийг шийд: \(3^(x)=8\) x хэдтэй тэнцүү вэ? Гол нь энэ.
Хамгийн овсгоотой нь: "Х нь хоёроос арай бага" гэж хэлэх болно. Энэ тоог яг яаж бичих вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд тэд логарифмыг гаргаж ирэв. Түүний ачаар энд хариултыг \(x=\log_(3)(8)\) гэж бичиж болно.
\(\log_(3)(8)\), мөн гэдгийг онцлон хэлмээр байна аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ энэ нь богино байна. Учир нь хэрэв бид үүнийг аравтын бутархайгаар бичихийг хүсвэл дараах байдалтай харагдана: \(1.892789260714.....\)
Жишээ : \(4^(5x-4)=10\) тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) болон \(10\)-г ижил суурь болгон бууруулах боломжгүй. Тиймээс энд та логарифмгүйгээр хийж чадахгүй. Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Тэгшитгэлийг эргүүлээрэй, ингэснээр x зүүн талд байна |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Бидний өмнө. \(4\) баруун тийш шилжүүлнэ үү. Мөн логарифмаас бүү ай, үүнийг ердийн тоо шиг хүлээн зөвшөөр. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Тэгшитгэлийг 5-д хуваа |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Энэ бол бидний үндэс юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ хариулт нь сонгогдоогүй байна. |
Хариулт : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Аравтын болон натурал логарифм
Логарифмын тодорхойлолтод дурдсанчлан түүний суурь нь ямар ч байж болно эерэг тоо, нэгжээс бусад нь \((a>0, a\neq1)\). Боломжит бүх суурийн дотроос хоёр нь маш олон удаа тохиолддог тул логарифмын хувьд тусгай богино тэмдэглэгээг зохион бүтээжээ.
Натурал логарифм: суурь нь Эйлерийн тоо \(e\) (ойролцоогоор \(2.7182818…\)-тай тэнцүү), логарифмыг \(\ln(a)\) гэж бичдэг логарифм.
Тэр бол, \(\ln(a)\) нь \(\log_(e)(a)\)-тай ижил байна
Аравтын логарифм: Суурь нь 10 байх логарифмыг \(\lg(a)\) гэж бичнэ.
Тэр бол, \(\lg(a)\) нь \(\log_(10)(a)\)-тай ижил байна, энд \(a\) нь зарим тоо юм.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Логарифм нь олон шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийн нэгийг "Үндсэн логарифмын таних тэмдэг" гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдалтай байна.
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Энэ шинж чанар нь тодорхойлолтоос шууд гардаг. Энэ томъёо яг яаж гарч ирснийг харцгаая.
Санаж үзье богино тэмдэглэлЛогарифмын тодорхойлолтууд:
хэрэв \(a^(b)=c\), дараа нь \(\log_(a)(c)=b\)
Өөрөөр хэлбэл, \(b\) нь \(\log_(a)(c)\)-тэй ижил байна. Дараа нь бид \(a^(b)=c\) томъёонд \(b\)-ын оронд \(\log_(a)(c)\) гэж бичиж болно. Энэ нь \(a^(\log_(a)(c))=c\) болсон - гол логарифмын таних тэмдэг.
Та логарифмын бусад шинж чанаруудыг олж болно. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та шууд тооцоолоход хэцүү логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг хялбарчилж, тооцоолж болно.
Жишээ : \(36^(\log_(6)(5))\) илэрхийллийн утгыг ол.
Шийдэл :
Хариулт : \(25\)
Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?
Дээр дурдсанчлан аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Мөн эсрэгээр нь үнэн: дурын тоог логарифм хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, \(\log_(2)(4)\) нь хоёртой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Дараа нь та хоёрын оронд \(\log_(2)(4)\) гэж бичиж болно.
Гэхдээ \(\log_(3)(9)\) нь \(2\)-тэй тэнцүү тул \(2=\log_(3)(9)\) гэж бичиж болно. Үүнтэй адил \(\log_(5)(25)\), \(\log_(9)(81)\) гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь болж байна
\(2=\лог_(2)(4)=\лог_(3)(9)=\лог_(4)(16)=\лог_(5)(25)=\лог_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Тиймээс, хэрэв бидэнд хэрэгтэй бол бид хоёрыг дурын суурьтай логарифм хэлбэрээр (тэгшитгэлд ч, бүр илэрхийлэлд ч, бүр тэгш бус байдалд ч) бичиж болно - бид зүгээр л квадрат суурийг аргумент болгон бичдэг.
Гурвалсантай адилхан - үүнийг \(\log_(2)(8)\), эсвэл \(\log_(3)(27)\), эсвэл \(\log_(4)( гэж бичиж болно. 64) \) ... Энд бид шоо дахь суурийг аргумент болгон бичнэ.
\(3=\лог_(2)(8)=\лог_(3)(27)=\лог_(4)(64)=\лог_(5)(125)=\лог_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Мөн дөрөвтэй:
\(4=\лог_(2)(16)=\лог_(3)(81)=\лог_(4)(256)=\лог_(5)(625)=\лог_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Мөн хасах нэгээр:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
Мөн гуравны нэг нь:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Дурын тоог \(a\) нь \(b\) суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно: \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Жишээ : Илэрхийллийн утгыг ол \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\лог_(2)(7))\)
Шийдэл :
Хариулт : \(1\)
