гэр › Гэрэл ба шил › Өгөгдсөн цэг дэх функцүүдийн үржвэрийн дериватив. Деривативыг ол: алгоритм ба шийдлийн жишээ

Өгөгдсөн цэг дэх функцүүдийн үржвэрийн дериватив. Деривативыг ол: алгоритм ба шийдлийн жишээ

Энэ хичээлээр бид функцийн деривативуудыг үргэлжлүүлэн судалж, бүтээгдэхүүний дериватив ба quotients гэх мэт илүү ахисан сэдэв рүү шилжинэ. Хэрэв та өмнөх хичээлийг үзсэн бол бид зөвхөн хамгийн энгийн бүтэц, тухайлбал чадлын функц, нийлбэр ба ялгаварын деривативыг авч үзсэнийг та ойлгосон байх. Ялангуяа нийлбэрийн дериватив нь тэдгээрийн нийлбэртэй, зөрүүний дериватив нь тэдгээрийн зөрүүтэй тэнцүү байдгийг бид олж мэдсэн. Харамсалтай нь, quotient болон бүтээгдэхүүний деривативын хувьд томъёо нь илүү төвөгтэй байх болно. Бид функцүүдийн үржвэрийн деривативын томъёоноос эхэлнэ.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд

Эхлэхийн тулд би уянгын жижиг ухралт хийе. Энэ хичээлээр бид стандарт чадлын функц болох $y=((x)^(n))$-аас гадна $y=\sin x$, $ зэрэг бусад функцуудтай тулгарах болно. y=\ cos x$ болон бусад тригонометр - $y=tgx$ ба мэдээж $y=ctgx$.

Хэрэв бид бүгд чадлын функцийн деривативыг сайн мэддэг бол $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, дараа нь тригонометрийн функцуудыг тусад нь дурдах хэрэгтэй. Үүнийг бичье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\зүүн(\sinx \баруун))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \баруун))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left() ctgx \баруун))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ та эдгээр томъёог маш сайн мэддэг тул цаашаа явцгаая.

Бүтээгдэхүүний дериватив гэж юу вэ?

Нэгдүгээрт, хамгийн чухал зүйл бол: хэрэв функц нь өөр хоёр функцийн үржвэр бол, жишээ нь $f\cdot g$ бол энэ бүтцийн дериватив нь дараах илэрхийлэлтэй тэнцүү байна.

Таны харж байгаагаар энэ томьёо нь бидний өмнө нь авч үзсэн томъёоноос хамаагүй өөр бөгөөд илүү төвөгтэй юм. Жишээлбэл, нийлбэрийн деривативыг энгийн аргаар тооцдог - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, эсвэл үүсмэл ялгаа бөгөөд үүнийг мөн энгийн аргаар тооцдог - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Бодлого дээр өгөгдсөн хоёр функцийн деривативыг тооцоолохын тулд эхний томъёог ашиглахыг хичээцгээе. Эхний жишээнээс эхэлье:

Мэдээжийн хэрэг, дараах бүтээн байгуулалт нь үржүүлэгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг, эсвэл илүү тодорхой бол үржүүлэгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг: $((x)^(3))$, бид үүнийг $f$, $\left(x-5 \right) гэж үзэж болно. $-г бид $g$ гэж үзэж болно. Дараа нь тэдний бүтээгдэхүүн нь яг хоёр функцийн бүтээгдэхүүн байх болно. Бид шийднэ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(3)) \баруун))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) баруун))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \ end(align)\].

Одоо бидний нэр томъёо бүрийг нарийвчлан авч үзье. Эхний болон хоёр дахь гишүүний аль аль нь $x$ зэрэгтэй байгааг бид харж байна: эхний тохиолдолд энэ нь $((x)^(2))$, хоёрдугаарт $((x)^(3)) байна. доллар. Хаалтанд үлдээж, хамгийн бага зэрэглэлийг хаалтанд оруулъя.

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \баруун)=( (x)^(2))(4x-15)\\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Ингээд л бид хариултыг нь олсон.

Асуудал руугаа буцаж очоод шийдэхийг хичээцгээе:

Тиймээс дахин бичье:

Дахин хэлэхэд, бид хоёр функцийн үржвэрийн үржвэрийн тухай ярьж байгааг тэмдэглэж байна: $f$ гэж тэмдэглэж болох $x$ ба $\left(\sqrt(x)-1 \right)$. $g$ гэж тэмдэглэнэ.

Тиймээс бидний өмнө хоёр функцийн үржвэр дахин гарч ирэв. $f\left(x \right)$ функцийн деривативыг олохын тулд бид дахин томъёогоо ашиглана. Бид авах:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \баруун))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\төгсгөл(эгц)\]

Хариулт нь олдсон.

Яагаад хүчин зүйлийн дериватив гэж?

Бид зөвхөн деривативтай холбоогүй хэд хэдэн маш чухал математик баримтуудыг ашигласан боловч тэдний мэдлэггүйгээр энэ сэдвийг цаашид судлах нь утгагүй болно.

Нэгдүгээрт, хамгийн эхний асуудлыг шийдэж, деривативын бүх шинж тэмдгүүдээс аль хэдийн ангижруулж, ямар нэг шалтгааны улмаас бид энэ илэрхийллийг хүчин зүйл болгож эхлэв.

Хоёрдугаарт, дараах асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид 8-9-р ангийн томъёог ашиглан хэд хэдэн удаа рационал илтгэгчтэй, араас нь язгуураас хүчийг дамжуулсан бөгөөд үүнийг тусад нь давтах нь зүйтэй болов уу.

Факторчиллын тухайд - яагаад эдгээр бүх нэмэлт хүчин чармайлт, өөрчлөлтүүд хэрэгтэй байна вэ? Үнэн хэрэгтээ, хэрэв асуудал нь "функцийн деривативыг ол" гэж хэлсэн бол эдгээр нэмэлт алхмуудыг хийх шаардлагагүй. Гэсэн хэдий ч, бүх төрлийн шалгалт, шалгалтанд таныг хүлээж буй бодит асуудлуудад зөвхөн деривативыг олох нь хангалтгүй байдаг. Баримт нь дериватив нь зөвхөн функцийн өсөлт, бууралтыг олж мэдэх хэрэгсэл бөгөөд үүний тулд та тэгшитгэлийг шийдэж, хүчин зүйл хийх хэрэгтэй. Энд энэ техник маш тохиромжтой байх болно. Ерөнхийдөө хэрэв ямар нэгэн өөрчлөлт хийх шаардлагатай бол ирээдүйд хүчин зүйлчилсэн функцтэй ажиллах нь илүү тохиромжтой бөгөөд тааламжтай байдаг. Тиймээс, 1-р дүрэм: Хэрэв деривативыг хүчин зүйлчлэх боломжтой бол та үүнийг хийх хэрэгтэй. Мөн нэн даруй 2-р дүрмийг (үндсэндээ энэ нь 8-9-р ангийн материал юм): хэрэв асуудал нь үндэстэй бол n--р зэрэгтэй, язгуур нь хоёроос илт их байвал энэ язгуурыг рациональ илтгэгчтэй энгийн зэрэгээр сольж болох ба илтгэгч дотор бутархай гарч ирнэ. n― яг тэр зэрэг ― энэ бутархайн хуваарьт байх болно.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв язгуур дор ямар нэгэн зэрэг байгаа бол (манай тохиолдолд энэ нь зэрэг юм к), дараа нь энэ нь хаашаа ч явахгүй, харин зүгээр л яг энэ зэргийн тоологч дээр төгсдөг.

Одоо та энэ бүгдийг ойлгосон тул бүтээгдэхүүний дериватив руу буцаж очоод хэд хэдэн тэгшитгэлийг тооцоолъё.

Гэхдээ тооцоолол руу шууд шилжихээсээ өмнө би дараахь хэв маягийг сануулмаар байна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\зүүн(\sin x \баруун))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \баруун))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эхний жишээг авч үзье:

Бид дахин хоёр функцийн бүтээгдэхүүнтэй байна: эхнийх нь $f$, хоёр дахь нь $g$. Би танд томъёог сануулъя:

\[((\left(f\cdot g \баруун))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Ингээд шийдье:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \баруун))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёрдахь функц руу шилжье:

Дахин хэлэхэд $\left(3x-2 \right)$ нь $f$-ийн функц, $\cos x$ нь $g$-ийн функц юм. Нийтдээ хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ зүүн(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \баруун)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \баруун)\cdot \sin x \\\end(зохицуулах)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Үүнийг тусад нь бичье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \баруун)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Бид энэ илэрхийлэлийг хүчин зүйлээр тооцдоггүй, учир нь энэ бол эцсийн хариулт биш байна. Одоо бид хоёр дахь хэсгийг шийдэх хэрэгтэй. Үүнийг бичээд үзье:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \баруун))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(зохицуулах)\]

Одоо анхны даалгавар руугаа буцаж, бүх зүйлийг нэг бүтцэд нэгтгэе:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(зохицуулах)\]

Энэ бол эцсийн хариулт.

Сүүлчийн жишээ рүү шилжье - энэ нь тооцооллын хувьд хамгийн төвөгтэй, хамгийн том хэмжээтэй байх болно. Тиймээс, жишээ нь:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \баруун))^(\prime ))-((\left(2xctgx \баруун))^(\prime ) )\]

Бид хэсэг бүрийг тусад нь тооцдог:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \баруун))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \баруун))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \баруун))^(\prime ))=((\left(2x \баруун))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \баруун)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Анхны функц руу буцаж очоод түүний деривативыг бүхэлд нь тооцоолъё.

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \баруун)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Чухамдаа энэ бол үүсмэл бүтээлүүдийн талаар танд хэлэхийг хүссэн зүйл юм. Таны харж байгаагаар томьёоны гол асуудал нь түүнийг цээжлэхдээ биш, харин нэлээн их хэмжээний тооцооллыг багтаасан явдал юм. Гэхдээ энэ нь зүгээр юм, учир нь бид одоо маш их шаргуу ажиллах ёстой квиент дериватив руу шилжиж байна.

Хэмжилтийн дериватив нь юу вэ?

Тэгэхээр, хэсгийн деривативын томъёо. Энэ нь сургуулийн деривативын талаархи хамгийн төвөгтэй томъёо байж магадгүй юм. Бидэнд $\frac(f)(g)$ хэлбэрийн функц байгаа гэж бодъё, энд $f$ болон $g$ нь мөн үндсэн тоог хасаж болох функцууд юм. Дараа нь дараахь томъёогоор тооцоолно.

Тоолуур нь бүтээгдэхүүний деривативын томъёог бага зэрэг сануулж байгаа боловч нэр томъёоны хооронд хасах тэмдэг байгаа бөгөөд анхны хувагчийн квадратыг мөн хуваагч дээр нэмсэн. Энэ нь практик дээр хэрхэн ажилладагийг харцгаая:

Үүнийг шийдэхийг хичээцгээе:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \баруун))^(\prime ))=\frac(((\зүүн) (((x)^(2))-1 \баруун))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \баруун )\cdot ((\left(x+2 \баруун))^(\prime )))(((\left(x+2 \баруун))^(2)))\]

Би хэсэг бүрийг тусад нь бичиж, бичихийг санал болгож байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\left(((x)^(2))-1 \баруун))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ баруун))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \баруун))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\төгсгөл(зохицуулах)\]

Илэрхийлэлээ дахин бичье:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\зүүн(x+2 \баруун))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \баруун))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \баруун) ))^(2))) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид хариултаа олсон. Хоёрдахь функц руу шилжье:

Түүний тоологч нь зүгээр л нэг байгаа тул энд тооцоо хийх нь арай хялбар байх болно. Ингээд бичье:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \баруун))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \баруун)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \баруун))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \баруун))^(2)))\]

Жишээний хэсэг бүрийг тусад нь тооцоолъё:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \баруун))^(\prime ))=((\left(() (x)^(2)) \баруун))^(\prime ))+(4)"=2x \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Илэрхийлэлээ дахин бичье:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \баруун)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \баруун))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \баруун))^(2)))\]

Бид хариултаа олсон. Хүлээгдэж байсанчлан тооцооллын хэмжээ эхний функцээс хамаагүй бага байна.

Тэмдэглэлүүдийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ?

Анхааралтай оюутнуудад асуулт гарч ирж магадгүй юм: яагаад зарим тохиолдолд функцийг $f\left(x \right)$ гэж тэмдэглэж, бусад тохиолдолд зүгээр л $y$ гэж бичдэг вэ? Үнэн хэрэгтээ математикийн үүднээс авч үзвэл ямар ч ялгаа байхгүй - та эхний болон хоёр дахь тэмдэглэгээг хоёуланг нь ашиглах эрхтэй бөгөөд шалгалт, шалгалтанд торгууль ногдуулахгүй. Сурах бичиг, асуудлын зохиогчид яагаад зарим тохиолдолд $f\left(x \right)$, зарим тохиолдолд (илүү олон удаа) - зүгээр л $y$ гэж бичдэгийг сонирхсоор байгаа хүмүүст тайлбарлах болно. Баримт нь функцийг \ хэлбэрээр бичихдээ бидний тооцооллыг уншсан хүмүүст функциональ хамаарлын алгебрийн тайлбарын талаар тусгайлан ярьж байна гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, $x$ тодорхой хувьсагч байгаа бөгөөд бид энэ хувьсагчийн хамаарлыг авч үзээд $f\left(x \right)$ гэж тэмдэглэнэ. Үүний зэрэгцээ, ийм тэмдэглэгээг хараад таны тооцооллыг уншдаг хүн, жишээлбэл, байцаагч, ирээдүйд түүнийг зөвхөн алгебрийн хувиргалтууд хүлээж байна - ямар ч график, геометр байхгүй гэж ухамсартайгаар хүлээх болно.

Нөгөөтэйгүүр, \ хэлбэрийн тэмдэглэгээг ашиглан, өөрөөр хэлбэл хувьсагчийг нэг үсгээр тэмдэглэснээр бид ирээдүйд функцийн геометрийн тайлбарыг сонирхож байгаагаа нэн даруй тодорхой болгож байна. бүгд, түүний график дээр. Үүний дагуу, маягтын тэмдэглэлтэй тулгарах үед уншигч график тооцоолол, тухайлбал, график, барилга байгууламж гэх мэтийг хүлээх эрхтэй боловч ямар ч тохиолдолд аналитик хувиргалтыг хийхгүй.

Өнөөдөр бидний авч үзэж байгаа ажлуудын дизайны нэг онцлогт би та бүхний анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна. Олон оюутнууд намайг хэтэрхий нарийвчилсан тооцоо хийдэг гэж боддог бөгөөд тэдний ихэнхийг алгасаж эсвэл зүгээр л толгойдоо шийдэж болно. Гэсэн хэдий ч яг ийм нарийвчилсан бүртгэл нь таныг доромжилсон алдаанаас ангижрах, жишээлбэл, шалгалт эсвэл шалгалтанд өөрийгөө бэлдэх тохиолдолд зөв шийдсэн асуудлын хувийг мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлэх боломжийг олгоно. Тиймээс, хэрэв та өөрийн чадвардаа эргэлзэж байгаа бол, хэрэв та энэ сэдвийг дөнгөж судалж эхэлж байгаа бол яарах хэрэггүй - алхам бүрийг нарийвчлан тайлбарлаж, хүчин зүйл, цус харвалт бүрийг бичээрэй, тун удахгүй та ийм жишээг илүү сайн шийдэж сурах болно. олон сургуулийн багш нараас илүү. Энэ тодорхой болсон гэж найдаж байна. Өөр хэдэн жишээ тоолъё.

Хэд хэдэн сонирхолтой даалгавар

Энэ удаад бидний харж байгаачлан тригонометрийг тооцоолж буй деривативуудад агуулагдаж байна. Иймд танд дараах зүйлийг сануулъя.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(зохицуулах) )\]

Мэдээжийн хэрэг, бид хуваалтын деривативгүйгээр хийж чадахгүй, тухайлбал:

\[((\left(\frac(f)(g) \баруун))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Эхний функцийг авч үзье:

\[\эхлэх(эгцлэх)& (f)"=((\зүүн(\frac(\sin x)(x) \баруун))^(\prime ))=\frac((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \баруун))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс бид энэ илэрхийллийн шийдлийг олсон.

Хоёр дахь жишээ рүү шилжье:

Тригонометр нь энэ функцын тоологч ба хуваагч хоёуланд нь байдаг тул түүний дериватив нь илүү төвөгтэй байх нь ойлгомжтой. Бид шийднэ:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Бидэнд уг бүтээгдэхүүний дериватив байгаа гэдгийг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд энэ нь тэнцүү байх болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) баруун))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(зохицуулах)\]

Тооцоололдоо буцаж орцгооё. Бид бичнэ:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо! Бид тооцоо хийсэн.

Бүтээгдэхүүний деривативын энгийн томъёонд хуваалтын деривативыг хэрхэн бууруулах вэ?

Энд би тригонометрийн функцүүдийн талаар маш чухал нэг зүйлийг хэлэхийг хүсч байна. Баримт нь бидний анхны бүтээцэд $\frac(\sin x)(\cos x)$ хэлбэрийн илэрхийлэл байгаа бөгөөд үүнийг зүгээр л $tgx$-р сольж болно. Тиймээс бид хэсгийн деривативыг бүтээгдэхүүний деривативын энгийн томъёо болгон бууруулна. Энэ жишээг дахин тооцоолж, үр дүнг харьцуулж үзье.

Тиймээс одоо бид дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Энэ баримтыг харгалзан $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ анхны функцээ дахин бичье. Бид авах:

Тоолж үзье:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \баруун))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \баруун)) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(зохицуулах) \]

Одоо, хэрэв бид өөр аргаар тооцоолохдоо олж авсан үр дүнг урьд нь олж авсан үр дүнг харьцуулж үзвэл бид ижил илэрхийлэлийг хүлээн авсан гэдэгт итгэлтэй байх болно. Тиймээс бид деривативыг тооцоолохдоо аль замаар явсан хамаагүй, хэрэв бүх зүйл зөв тооцоолсон бол хариулт нь ижил байх болно.

Асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал нюансууд

Төгсгөлд нь би та бүхэнд хуваалтын деривативыг тооцоолохтой холбоотой өөр нэг нарийн зүйлийг хэлмээр байна. Миний одоо танд хэлэх гэж байгаа зүйл бол видео хичээлийн анхны скриптэд байгаагүй. Гэсэн хэдий ч зураг авалтаас хэдхэн цагийн өмнө би нэг шавьтайгаа суралцаж байсан бөгөөд бид дөнгөж сая хуваах дериватив сэдвээр ярилцаж байсан. Олон оюутнууд энэ зүйлийг ойлгохгүй байгаа нь тодорхой болсон. Тиймээс бид дараах функцын устгах харвалтыг тооцоолох хэрэгтэй гэж үзье.

Зарчмын хувьд эхлээд харахад ер бусын зүйл байхгүй. Гэсэн хэдий ч тооцооллын явцад бид олон тэнэг, доромжилсон алдаа гаргаж болзошгүй тул би одоо ярихыг хүсч байна.

Тиймээс бид энэ деривативыг тооцоолно. Юуны өмнө бидэнд $3((x)^(2))$ гэсэн нэр томъёо байгаа тул дараах томъёог эргэн санах нь зүйтэй.

\[((\left(((x)^(n)) \баруун))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Нэмж дурдахад, бидэнд $\frac(48)(x)$ гэсэн нэр томъёо байдаг - бид үүнийг хуваалтын деривативаар шийдвэрлэх болно, тухайлбал:

\[((\left(\frac(f)(g) \баруун))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Тиймээс, шийдье:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \баруун))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \баруун)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Эхний нэр томъёонд ямар ч асуудал байхгүй, үзнэ үү:

\[((\left(3((x)^(2)) \баруун))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \баруун))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Гэхдээ $\frac(48)(x)$ гэсэн эхний нэр томъёогоор та тусдаа ажиллах хэрэгтэй. Олон оюутнууд $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ олох, мөн $((\left) олох шаардлагатай үед нөхцөл байдлыг төөрөлдүүлдэг. (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Өөрөөр хэлбэл, хувьсагч нь хуваагч эсвэл хуваарьт байгаа үед тогтмол нь хуваагчдаа, тогтмол нь хуваарьт байх үед андуурдаг.

Эхний сонголтоос эхэлцгээе:

\[((\left(\frac(x)(48) \баруун))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \баруун))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Нөгөө талаас, хэрэв бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийхийг оролдвол бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\left(\frac(48)(x) \баруун))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \баруун) ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \баруун))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48) )(((x)^(2))) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч ижил жишээг өөрөөр тооцоолж болно: бид хуваалтын дериватив руу шилжих үе шатанд бид $\frac(1)(x)$-ийг сөрөг илтгэгчтэй хүч гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл бид дараахь зүйлийг авна. :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \баруун))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \баруун))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \баруун)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\төгсгөл(эгц)\]

Гэх мэтчилэн бид ижил хариултыг авсан.

Ийнхүү бид хоёр чухал баримтад дахин итгэлтэй байна. Нэгдүгээрт, ижил деривативыг огт өөр аргаар тооцоолж болно. Жишээ нь, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ нь хуваалтын дериватив болон чадлын функцийн дериватив аль алиныг нь авч үзэж болно. Түүнээс гадна, хэрэв бүх тооцоолол зөв хийгдсэн бол хариулт нь үргэлж ижил байх болно. Хоёрдугаарт, хувьсагч ба тогтмол хоёрыг агуулсан деривативыг тооцоолохдоо хувьсагч хаана байрлаж байгаа нь үндсэндээ чухал юм - тоологч эсвэл хуваарьт. Эхний тохиолдолд хувьсагч нь тоологч хэсэгт байх үед бид хялбархан тооцоолж болох энгийн шугаман функцийг авдаг. Хэрэв хувьсагч нь хуваарьт байгаа бол бид өмнө нь өгөгдсөн дагалдах тооцоолол бүхий илүү төвөгтэй илэрхийлэлийг олж авна.

Энэ үед хичээлийг бүрэн гүйцэд гэж үзэж болох тул хэрэв та категори эсвэл бүтээгдэхүүний деривативын талаар юу ч ойлгохгүй байгаа бол ерөнхийдөө энэ сэдвээр асуух зүйл байвал эргэлзэх хэрэггүй - миний вэбсайт руу очно уу. , бичээрэй, залгана уу, би танд тусалж чадах уу, би мэдээж хичээх болно.

Дериватив нь өөрөө нарийн төвөгтэй сэдэв биш боловч маш өргөн цар хүрээтэй бөгөөд бидний одоо судалж байгаа зүйлийг ирээдүйд илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах болно. Тийм ч учраас яг одоо коорциент эсвэл бүтээгдэхүүний деривативыг тооцоолохтой холбоотой бүх үл ойлголцлыг олж тогтоох нь дээр. Тэд үл ойлголцлын асар том цасан бөмбөлөг болсон үед биш, харин шийдвэрлэхэд хялбар жижиг теннисний бөмбөг байх үед.

Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь Δ функцийн өсөлтийн харьцааны хязгаар юм. yаргументийн өсөлт рүү Δ x:

Бүх зүйл ойлгомжтой байх шиг байна. Гэхдээ энэ томъёог ашиглан функцийн деривативыг тооцоолж үзээрэй е(x) = x 2 + (2x+ 3) · д xнүгэл x. Хэрэв та бүх зүйлийг тодорхойлолтоор хийвэл хэдэн хуудас тооцоо хийсний дараа та зүгээр л унтах болно. Тиймээс илүү энгийн бөгөөд үр дүнтэй аргууд байдаг.

Эхлэхийн тулд бид бүх төрлийн функцүүдээс энгийн функц гэж нэрлэгддэг функцүүдийг ялгаж салгаж болно гэдгийг тэмдэглэж байна. Эдгээр нь харьцангуй энгийн илэрхийллүүд бөгөөд деривативуудыг удаан хугацаанд тооцоолж, хүснэгтэд оруулав. Ийм функцууд нь тэдгээрийн деривативуудын хамт санахад хялбар байдаг.

Энгийн функцүүдийн деривативууд

Үндсэн функцууд нь доор жагсаасан бүх функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн деривативуудыг цээжээр мэддэг байх ёстой. Түүнээс гадна тэдгээрийг цээжлэх нь тийм ч хэцүү биш - тиймээс тэд анхан шатны шинж чанартай байдаг.

Тиймээс, үндсэн функцүүдийн деривативууд:

Нэр	Чиг үүрэг	Дериватив
Тогтмол	е(x) = C, C ∈ Р	0 (тийм ээ, тэг!)
Рационал үзүүлэлттэй хүч	е(x) = x n	n · x n − 1
Синус	е(x) = нүгэл x	cos x
Косинус	е(x) = cos x	- нүгэл x(хасах синус)
Тангенс	е(x) = тг x	1/cos 2 x
Котангенс	е(x) = ctg x	− 1/нүгэл 2 x
Байгалийн логарифм	е(x) = бүртгэл x	1/x
Дурын логарифм	е(x) = бүртгэл а x	1/(x ln а)
Экспоненциал функц	е(x) = д x	д x(юу ч өөрчлөгдөөгүй)

Хэрэв энгийн функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлбэл шинэ функцийн деривативыг хялбархан тооцоолно.

(C · е)’ = C · е ’.

Ерөнхийдөө деривативын тэмдгээс тогтмолуудыг авч болно. Жишээлбэл:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Мэдээжийн хэрэг, энгийн функцуудыг бие биендээ нэмэх, үржүүлэх, хуваах гэх мэт олон зүйлийг хийх боломжтой. Ийм байдлаар шинэ функцууд гарч ирэх бөгөөд энэ нь ялангуяа энгийн байхаа больсон боловч тодорхой дүрмийн дагуу ялгаатай байх болно. Эдгээр дүрмийг доор авч үзэх болно.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив

Функцуудыг өгье е(x) Мөн g(x), деривативууд нь бидэнд мэдэгддэг. Жишээлбэл, та дээр дурдсан үндсэн функцуудыг авч болно. Дараа нь та эдгээр функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны деривативыг олох боломжтой.

(е + g)’ = е ’ + g ’
(е − g)’ = е ’ − g ’

Тэгэхээр хоёр функцийн нийлбэр (ялгаа) нь деривативуудын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна. Илүү олон нэр томъёо байж болно. Жишээлбэл, ( е + g + h)’ = е ’ + g ’ + h ’.

Хатуухан хэлэхэд алгебрт "хасах" гэсэн ойлголт байдаггүй. "Сөрөг элемент" гэсэн ойлголт байдаг. Тиймээс ялгаа е − gнийлбэр болгон дахин бичиж болно е+ (−1) g, дараа нь зөвхөн нэг томъёо үлдэнэ - нийлбэрийн дериватив.

е(x) = x 2 + нүгэл х; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцийн нийлбэр тул:

е ’(x) = (x 2 + нүгэл x)’ = (x 2)' + (нүгэл x)’ = 2x+ cos x;

Бид функцийг ижил төстэй шалтгаанаар тайлбарлаж байна g(x). Зөвхөн гурван нэр томъёо байдаг (алгебрийн үүднээс):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Хариулт:
е ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Бүтээгдэхүүний дериватив

Математик бол логик шинжлэх ухаан тул олон хүн нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү бол тухайн бүтээгдэхүүний дериватив гэж олон хүн үздэг. ажил хаях"> деривативын үржвэртэй тэнцүү байна. Гэхдээ та эргэлзээрэй! Бүтээгдэхүүний деривативыг огт өөр томъёогоор тооцдог. Тухайлбал:

(е · g) ’ = е ’ · g + е · g ’

Томъёо нь энгийн боловч ихэнхдээ мартагддаг. Зөвхөн сургуулийн сурагчид төдийгүй оюутнууд ч гэсэн. Үр дүн нь буруу шийдэгдсэн асуудлууд юм.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · д x .

Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцын бүтээгдэхүүн тул бүх зүйл энгийн:

е ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− нүгэл x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x)

Чиг үүрэг g(x) эхний үржүүлэгч нь арай илүү төвөгтэй боловч ерөнхий схем өөрчлөгддөггүй. Мэдээжийн хэрэг, функцийн эхний хүчин зүйл g(x) нь олон гишүүнт ба дериватив нь нийлбэрийн дериватив юм. Бидэнд байгаа:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · д x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · д x + (x 2 + 7x− 7) · ( д x)’ = (2x+ 7) · д x + (x 2 + 7x− 7) · д x = д x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x+ 9) · д x .

Хариулт:
е ’(x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x);
g ’(x) = x(x+ 9) · д x .

Сүүлийн шатанд деривативыг хүчин зүйлээр ангилдаг болохыг анхаарна уу. Албан ёсоор үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ ихэнх деривативуудыг дангаар нь тооцдоггүй, харин функцийг шалгахын тулд хийдэг. Энэ нь цаашид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх, түүний тэмдгүүдийг тодорхойлох гэх мэт болно гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгон хуваах нь дээр.

Хэрэв хоёр функц байгаа бол е(x) Мөн g(x), болон g(x) Бидний сонирхож буй олонлог дээр ≠ 0 байвал бид шинэ функцийг тодорхойлж болно h(x) = е(x)/g(x). Ийм функцийн хувьд та деривативыг олж болно:

Сул биш, тийм үү? Хасах нь хаанаас ирсэн бэ? Яагаад g 2? Мөн үүн шиг! Энэ бол хамгийн төвөгтэй томъёонуудын нэг бөгөөд та үүнийг лонхгүйгээр олж чадахгүй. Тиймээс үүнийг тодорхой жишээн дээр судлах нь дээр.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Бутархай тус бүрийн тоологч ба хуваагч нь энгийн функцуудыг агуулдаг тул бидэнд хэрэгтэй зүйл бол энэ хэсгийн деривативын томъёо юм.

Уламжлал ёсоор тоологчийг хүчин зүйл болгон хувацгаая - энэ нь хариултыг ихээхэн хялбаршуулах болно:

Нарийн төвөгтэй функц нь хагас километрийн урттай томьёо байх албагүй. Жишээлбэл, функцийг авахад хангалттай е(x) = нүгэл xболон хувьсагчийг солино x, дээр гэж хэлье x 2 + лн x. Энэ нь бүтэх болно е(x) = нүгэл ( x 2 + лн x) - энэ бол нарийн төвөгтэй функц юм. Энэ нь мөн деривативтай боловч дээр дурдсан дүрмийн дагуу үүнийг олох боломжгүй болно.

Би юу хийх хэрэгтэй вэ? Ийм тохиолдолд нийлмэл функцийн деривативын хувьсагч болон томъёог орлуулах нь дараахь зүйлийг хийхэд тусална.

е ’(x) = е ’(т) · т', Хэрэв x-ээр солигдоно т(x).

Дүрмээр бол, энэ томъёог ойлгох нөхцөл байдал нь квентийн деривативаас ч илүү гунигтай байдаг. Тиймээс тодорхой жишээнүүдийг ашиглан алхам бүрийг нарийвчлан тайлбарлах нь дээр.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = д 2x + 3 ; g(x) = нүгэл ( x 2 + лн x)

Хэрэв функцэд байгаа бол гэдгийг анхаарна уу е(x) илэрхийлэл 2-ын оронд x+ 3 амархан байх болно x, тэгвэл бид энгийн функцийг авна е(x) = д x. Тиймээс бид орлуулалт хийж байна: 2-г үзье x + 3 = т, е(x) = е(т) = д т. Бид нийлмэл функцийн деривативыг дараах томъёогоор хайдаг.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

Тэгээд одоо - анхаарлаа хандуулаарай! Бид урвуу орлуулалтыг гүйцэтгэдэг: т = 2x+ 3. Бид дараахыг авна:

е ’(x) = д т · т ’ = д 2x+ 3 (2 x + 3)’ = д 2x+ 3 2 = 2 д 2x + 3

Одоо функцийг харцгаая g(x). Үүнийг солих шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой x 2 + лн x = т. Бидэнд байгаа:

g ’(x) = g ’(т) · т' = (нүгэл т)’ · т’ = cos т · т ’

Урвуу солих: т = x 2 + лн x. Дараа нь:

g ’(x) = cos ( x 2 + лн x) · ( x 2 + лн x)’ = cos ( x 2 + лн x) · (2 x + 1/x).

Тэгээд л болоо! Сүүлийн илэрхийллээс харахад бүх асуудлыг үүсмэл нийлбэрийг тооцоолох хүртэл багасгасан.

Хариулт:
е ’(x) = 2 · д 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) учир нь ( x 2 + лн x).

Хичээлдээ би "үүсмэл" гэсэн нэр томъёоны оронд "анхны" гэдэг үгийг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, нийлбэрийн цохилт нь цус харвалтын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь илүү ойлгомжтой юу? За, сайн байна.

Тиймээс деривативыг тооцоолох нь дээр дурдсан дүрмийн дагуу эдгээр ижил цохилтоос ангижрахад хүргэдэг. Эцсийн жишээ болгон рационал илтгэгчтэй дериватив хүчин рүү буцъя:

(x n)’ = n · x n − 1

Цөөхөн хүн дүрд нь үүнийг мэддэг nбутархай тоо байж магадгүй. Жишээлбэл, үндэс нь x 0.5. Үндэс дор нь ямар нэгэн гоёмсог зүйл байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд үр дүн нь нарийн төвөгтэй функц байх болно - тэд туршилт, шалгалтанд ийм бүтэц өгөх дуртай.

Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:

Эхлээд язгуурыг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлээр дахин бичье.

е(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Одоо бид орлуулалт хийж байна: зөвшөөрөх x 2 + 8x − 7 = т. Бид дараах томъёог ашиглан деривативыг олно.

е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (т 0.5)’ · т’ = 0.5 · т−0.5 · т ’.

Урвуу орлуулалтыг хийцгээе: т = x 2 + 8x− 7. Бидэнд:

е ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Эцэст нь, үндэс рүү буцах:

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, ОХУ-ын төрийн байгууллагуудын хүсэлтийн үндсэн дээр - өөрийн хувийн мэдээллийг задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Математикийн физикийн асуудал эсвэл жишээг шийдвэрлэх нь дериватив, түүнийг тооцоолох аргуудын талаар мэдлэггүйгээр бүрэн боломжгүй юм. Дериватив нь математик шинжилгээний хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Бид өнөөдрийн нийтлэлийг энэ үндсэн сэдэвт зориулахаар шийдлээ. Дериватив гэж юу вэ, түүний физик, геометрийн утга нь юу вэ, функцийн деривативыг хэрхэн тооцоолох вэ? Эдгээр бүх асуултыг нэг дор нэгтгэж болно: деривативыг хэрхэн ойлгох вэ?

Деривативын геометрийн болон физикийн утга

Функц байх болтугай f(x) , тодорхой интервалд заасан (а, б) . x ба x0 цэгүүд энэ интервалд хамаарна. X өөрчлөгдөхөд функц нь өөрөө өөрчлөгддөг. Аргументыг өөрчлөх - түүний утгуудын ялгаа x-x0 . Энэ ялгааг дараах байдлаар бичнэ дельта х ба аргументийн өсөлт гэж нэрлэдэг. Функцийн өөрчлөлт эсвэл өсөлт нь хоёр цэг дэх функцийн утгуудын зөрүү юм. Деривативын тодорхойлолт:

Тухайн цэг дэх функцийн үүсмэл утга нь өгөгдсөн цэг дэх функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар нь тэг байх хандлагатай байдаг.

Үгүй бол дараах байдлаар бичиж болно.

Ийм хязгаар олох нь ямар учиртай юм бэ? Тэгээд энэ нь юу вэ:

цэг дээрх функцийн дериватив нь OX тэнхлэг хоорондын өнцгийн тангенс ба тухайн цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчтэй тэнцүү байна.

Деривативын физик утга: цаг хугацааны хувьд замын дериватив нь шулуун хөдөлгөөний хурдтай тэнцүү байна.

Сургуулийн наснаас хойш хүн бүр хурд бол тодорхой зам гэдгийг мэддэг x=f(t) ба цаг хугацаа т . Тодорхой хугацааны дундаж хурд:

Цаг мөчид хөдөлгөөний хурдыг олж мэдэх t0 Та хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй:

Нэгдүгээр дүрэм: тогтмолыг тохируулах

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс гаргаж авч болно. Түүнээс гадна үүнийг хийх ёстой. Математикийн жишээг шийдвэрлэхдээ үүнийг дүрмээр аваарай - Хэрэв та илэрхийлэлийг хялбарчилж чадвал түүнийг хялбарчлахаа мартуузай .

Жишээ. Деривативыг тооцоолъё:

Хоёрдугаар дүрэм: функцүүдийн нийлбэрийн дериватив

Хоёр функцийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Функцийн зөрүүний деривативын хувьд ч мөн адил.

Бид энэ теоремын баталгааг өгөхгүй, харин практик жишээг авч үзэх болно.

Функцийн деривативыг ол:

Гуравдугаар дүрэм: функцүүдийн үржвэрийн дериватив

Хоёр дифференциалагдах функцийн үржвэрийн деривативыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Жишээ нь: функцийн деривативыг ол:

Шийдэл:

Энд нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг тооцоолох талаар ярих нь чухал юм. Комплекс функцийн дериватив нь завсрын аргументтай харьцуулахад энэ функцийн деривативын үржвэртэй, бие даасан хувьсагчтай холбоотой завсрын аргументийн деривативтай тэнцүү байна.

Дээрх жишээн дээр бид дараах илэрхийлэлтэй тулгардаг.

Энэ тохиолдолд завсрын аргумент нь тав дахь зэрэглэлд 8x байна. Ийм илэрхийллийн деривативыг тооцоолохын тулд эхлээд завсрын аргументтай холбоотойгоор гадаад функцийн деривативыг тооцож, дараа нь бие даасан хувьсагчийн хувьд завсрын аргументийн деривативаар үржүүлнэ.

Дөрөвдүгээр дүрэм: хоёр функцийн хуваалтын дериватив

Хоёр функцийн хуваалтын деривативыг тодорхойлох томъёо:

Бид даммигийн деривативын талаар эхнээс нь ярихыг хичээсэн. Энэ сэдэв нь тийм ч энгийн зүйл биш тул анхааруулах хэрэгтэй: жишээнүүдэд алдаанууд ихэвчлэн байдаг тул деривативыг тооцоолохдоо болгоомжтой байгаарай.

Энэ болон бусад сэдвээр асуух зүйл байвал оюутны үйлчилгээтэй холбогдож болно. Богино хугацаанд бид танд хамгийн хэцүү тестийг шийдэж, даалгавруудыг ойлгоход тань туслах болно, тэр ч байтугай та урьд өмнө хэзээ ч дериватив тооцоолол хийж байгаагүй.

u функцийг цэгийн тодорхой орчимд тодорхойлж, цэг дээр деривативтай байг. Дараа нь тэдний бүтээгдэхүүн нь дараах томъёогоор тодорхойлогддог цэг дээр деривативтай байна.
(1) .

Баталгаа

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
;
.
Энд ба хувьсагчийн функцууд ба . Гэхдээ тэмдэглэгээнд хялбар болгохын тулд бид тэдгээрийн аргументуудын тэмдэглэгээг орхих болно.

Дараа нь бид үүнийг анзаарч байна
;
.
Нөхцөлөөр, функцүүд ба цэг дээр деривативууд байдаг бөгөөд эдгээр нь дараахь хязгаар юм.
;
.
Дериватив байдгаас үзэхэд ба функцууд цэг дээр тасралтгүй байна. Тийм ч учраас
;
.

Дараах функцүүдийн үржвэр болох x хувьсагчийн y функцийг авч үзье.
.
Энэ функцийн өсөлтийг дараах цэг дээр авч үзье.

.
Одоо бид деривативыг олно:

.

Тэгэхээр,
.
Дүрэм нь батлагдсан.

Хувьсагчийн оронд та өөр ямар ч хувьсагч ашиглаж болно. Үүнийг x гэж тэмдэглэе. Дараа нь ба деривативууд байвал хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг томъёогоор тодорхойлно.
.
Эсвэл богино хувилбараар
(1) .