2 бол иррационал тоо юм. Иррационал тоо, тодорхойлолт, жишээ

Бүх натурал тоонуудын багцыг N үсгээр тэмдэглэдэг. Натурал тоо гэдэг нь бидний биетийг тоолоход ашигладаг тоонууд юм: 1,2,3,4, ... Зарим эх сурвалжид 0 тоог мөн натурал тоо гэж үздэг.

Бүх бүхэл тоонуудын багцыг Z үсгээр тэмдэглэнэ. Бүхэл тоонууд нь бүх натурал, тэг ба сөрөг тоонууд юм.

1,-2,-3, -4, …

Одоо бүх бүхэл тооны олонлог дээр бүх энгийн бутархайн олонлогийг нэмье: 2/3, 18/17, -4/5 гэх мэт. Дараа нь бид бүх рационал тоонуудын багцыг авна.

Рационал тоонуудын багц

Бүх рационал тоонуудын олонлогийг Q үсгээр тэмдэглэнэ.Бүх рационал тооны олонлог (Q) нь m/n, -m/n хэлбэрийн тоо болон 0 тооноос бүрдэх олонлог юм. Аливаа натурал тоо дараах байдлаар үйлчилж болно. н, м. Бүх рационал тоог төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй PERIODIC аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Мөн эсрэгээр нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархайг рационал тоо болгон бичиж болно.

Харин жишээ нь 2.0100100010... тоо юу вэ? Энэ нь төгсгөлгүй ҮЕИЙН БИШ бутархай бутархай юм. Мөн энэ нь оновчтой тоонд хамаарахгүй.

Сургуулийн алгебрийн хичээлд зөвхөн бодит (эсвэл бодит) тоог судалдаг. Бүх бодит тоонуудын багцыг R үсгээр тэмдэглэнэ. R олонлог нь бүх рационал ба бүх иррационал тооноос бүрдэнэ.

Иррационал тооны тухай ойлголт

Иррационал тоонууд нь бүгд хязгааргүй аравтын үе бус бутархай юм. Иррационал тоонд тусгай тэмдэглэгээ байдаггүй.

Жишээлбэл, натурал тоонуудын квадрат биш натурал тоонуудын квадрат язгуурыг гаргаж авсан бүх тоо иррациональ байх болно. (√2, √3, √5, √6 гэх мэт).

Гэхдээ дөрвөлжин үндсийг гаргаж авснаар иррационал тоонууд олддог гэж битгий бодоорой. Жишээлбэл, "pi" тоо нь бас иррациональ бөгөөд үүнийг хуваах замаар олж авдаг. Хичнээн хичээсэн ч аль ч натурал тооны квадрат язгуурыг авч чадахгүй.

Мөн тэд "шалтгаан" гэсэн утгатай "харьцаа" гэсэн латин үгнээс язгуураа гаргаж авсан. Шууд орчуулгад үндэслэн:

• Рационал тоо нь "боломжийн тоо" юм.
• Үүний дагуу иррационал тоо нь "үндэслэлгүй тоо" юм.

Рационал тооны тухай ерөнхий ойлголт

Рационал тоо нь дараах байдлаар бичиж болох тоо юм.

1. Энгийн эерэг бутархай.
2. Сөрөг энгийн бутархай.
3. Тэг тоогоор (0).

Өөрөөр хэлбэл, оновчтой тоонд дараахь тодорхойлолтууд хамаарна.

• Аливаа натурал тоо нь угаасаа рациональ байдаг, учир нь аливаа натурал тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.
• Ямар ч бүхэл тоо, түүний дотор тэг тоо, учир нь дурын бүхэл тоог эерэг энгийн бутархай, сөрөг энгийн бутархай эсвэл тэг тоо болгон бичиж болно.
• Аливаа энгийн бутархай, эерэг эсвэл сөрөг байх нь хамаагүй, оновчтой тооны тодорхойлолтод шууд ханддаг.
• Тодорхойлолт нь холимог тоо, төгсгөлтэй аравтын бутархай эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархайг агуулж болно.

Рационал тооны жишээ

Рационал тоонуудын жишээг харцгаая.

• Натурал тоо - "4", "202", "200".
• Бүхэл тоо - "-36", "0", "42".
• Энгийн бутархай.

Дээрх жишээнүүдээс харахад энэ нь тодорхой харагдаж байна оновчтой тоо нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болно. Мэдээжийн хэрэг, 0 (тэг) тоо нь эргээд оновчтой тоо бөгөөд эерэг эсвэл сөрөг тооны ангилалд хамаарахгүй.

Иймд би ерөнхий боловсролын хөтөлбөрт дараах тодорхойлолтыг ашиглан сануулъя: “Рационал тоо” гэдэг нь x/y бутархай хэлбэрээр бичигдэх тоонууд бөгөөд энд x (тоологч) нь бүхэл тоо, y (хуваарагч) нь 1-р тоо юм. натурал тоо.

Иррационал тооны тухай ерөнхий ойлголт ба тодорхойлолт

Бид "рационал тоо"-оос гадна "иррационал тоо" гэгддэг. Эдгээр тоонуудыг товчхон тодорхойлохыг хичээцгээе.

Эртний математикчид хүртэл дөрвөлжингийн диагональыг түүний хажуугийн дагуу тооцоолохыг хүсч байсан ч иррационал тоо байдаг талаар олж мэдсэн.
Рационал тооны тодорхойлолт дээр үндэслэн та логик гинжийг үүсгэж, иррационал тооны тодорхойлолтыг өгч болно.
Тиймээс, мөн чанартаа, эдгээр оновчтой бус бодит тоонууд нь зүгээр л иррационал тоонууд юм.
Иррационал тоог илэрхийлдэг аравтын бутархай нь үечилсэн бөгөөд хязгааргүй биш юм.

Иррационал тооны жишээ

Тодорхой болгохын тулд иррационал тооны жижиг жишээг авч үзье. Бидний аль хэдийн ойлгосноор хязгааргүй аравтын бутархайг иррациональ гэж нэрлэдэг, жишээлбэл:

• “-5.020020002...” гэсэн тоо (хоёрыг нэг, хоёр, гурав гэх мэт дарааллаар тусгаарласан нь тодорхой харагдаж байна. тэг)
• “7.040044000444... (энд гинжин хэлхээнд дөрөв, тэгийн тоо нэгээр нэмэгдэж байгаа нь тодорхой байна) гэсэн тоо.
• Хүн бүр Пи (3.1415...) тоог мэддэг. Тийм ээ, тийм - энэ нь бас үндэслэлгүй юм.

Ерөнхийдөө бүх бодит тоо нь рационал ба иррациональ байдаг. Энгийнээр хэлбэл, иррационал тоог x/y энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй.

Ерөнхий дүгнэлт ба тоонуудын товч харьцуулалт

Бид тоо бүрийг тусад нь авч үзсэн боловч оновчтой тоо ба иррационал тооны хоорондох ялгаа хэвээр байна.

1. Квадрат язгуурыг гаргаж авах, тойргийг диаметрээр нь хуваах зэрэгт иррационал тоо гарч ирдэг.
2. Рационал тоо нь энгийн бутархайг илэрхийлнэ.

Хэд хэдэн тодорхойлолтоор нийтлэлээ дуусгая:

• 0 (тэг)-д хуваахаас бусад рационал тоон дээр гүйцэтгэсэн арифметик үйлдэл нь эцэстээ рационал тоонд хүргэнэ.
• Иррационал тоон дээр арифметик үйлдэл хийх эцсийн үр дүн нь рационал ба иррационал утгыг хоёуланг нь хүргэж болно.
• Хэрэв хоёр тоо хоёулаа арифметик үйлдэлд оролцвол (хуваах эсвэл тэгээр үржүүлэхээс бусад) үр дүн нь иррационал тоо болно.

Бүх рационал тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ нь бүхэл тоо (жишээ нь, 12, –6, 0), төгсгөлтэй аравтын бутархай (жишээлбэл, 0.5; –3.8921) болон хязгааргүй үечилсэн бутархай (жишээлбэл, 0.11(23); –3 ,(87) зэрэгт хамаарна. )).

Гэсэн хэдий ч хязгааргүй үечилсэн бус аравтын бутархайэнгийн бутархай хэлбэрээр төлөөлөх боломжгүй. Тэд ийм л байна иррационал тоо(өөрөөр хэлбэл, үндэслэлгүй). Ийм тооны жишээ нь π тоо бөгөөд ойролцоогоор 3.14-тэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч 4-ийн тооны дараа давтагдах үеийг ялгах боломжгүй бусад тооны төгсгөлгүй цуврал байдаг тул энэ нь яг юу болохыг тодорхойлох боломжгүй юм. Түүгээр ч барахгүй π тоог нарийн илэрхийлэх боломжгүй ч тодорхой геометрийн утгатай. π тоо нь аливаа тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан харьцаа юм. Тиймээс рационал тоонуудын нэгэн адил иррационал тоо нь байгальд байдаг.

Иррационал тооны өөр нэг жишээ бол эерэг тооны квадрат язгуур юм. Зарим тооноос үндсийг гаргаж авах нь оновчтой утгыг өгдөг, бусдаас - иррациональ. Жишээлбэл, √4 = 2, өөрөөр хэлбэл 4-ийн үндэс нь оновчтой тоо юм. Гэхдээ √2, √5, √7 болон бусад олон тоонууд нь иррационал тоонуудыг үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг зөвхөн ойролцоогоор аравтын бутархай руу бөөрөнхийлж гаргаж авах боломжтой. Энэ тохиолдолд фракц нь үе үе биш болдог. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тоонуудын үндэс нь юу болохыг яг таг, тодорхой хэлэх боломжгүй юм.

Тэгэхээр √5 нь √4 = 2 ба √9 = 3 тул 2 ба 3 тоонуудын хооронд орших тоо юм. Мөн √4 нь √5-аас √5-тай ойрхон тул √5 нь 3-аас 2-той ойр байна гэж дүгнэж болно. √9-ээс √5 хүртэл. Үнэхээр √5 ≈ 2.23 эсвэл √5 ≈ 2.24.

Иррационал тоог бусад тооцоололд (зөвхөн үндсийг задлах үед биш) олж авдаг бөгөөд сөрөг байж болно.

Иррационал тоонуудын хувьд бид ийм тоогоор илэрхийлсэн уртыг хэмжихийн тулд ямар нэгж сегментийг авсан ч бид үүнийг тодорхой хэмжих боломжгүй гэж хэлж болно.

Арифметик үйлдлүүдэд рационал тоонуудын хамт иррационал тоо оролцож болно. Үүний зэрэгцээ хэд хэдэн зүй тогтол бий. Жишээлбэл, арифметик үйлдэлд зөвхөн рационал тоонууд оролцдог бол үр дүн нь үргэлж рационал тоо болно. Хэрэв зөвхөн иррациональ хүмүүс үйл ажиллагаанд оролцвол үр дүн нь оновчтой эсвэл иррационал тоо байх эсэхийг хоёрдмол утгагүй хэлэх боломжгүй юм.

Жишээлбэл, хэрэв та √2 * √2 гэсэн хоёр иррационал тоог үржүүлбэл 2 гарна - энэ нь оновчтой тоо юм. Нөгөө талаас √2 * √3 = √6 нь иррационал тоо юм.

Хэрэв арифметик үйлдэл нь рационал ба иррационал тоонуудыг агуулдаг бол үр дүн нь иррациональ байх болно. Жишээлбэл, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

√17 – 4 яагаад иррационал тоо вэ? Бид рационал тоо х байна гэж төсөөлье. Дараа нь √17 = x + 4. Харин x + 4 нь рационал тоо, учир нь бид x-г рациональ гэж үзсэн. 4-ийн тоо бас оновчтой тул x + 4 нь оновчтой. Гэхдээ рационал тоо нь √17 иррационал тоотой тэнцүү байж болохгүй. Иймд √17 – 4 нь оновчтой үр дүнг өгдөг гэсэн таамаг буруу байна. Арифметик үйлдлийн үр дүн нь иррациональ байх болно.

Гэхдээ энэ дүрэмд үл хамаарах зүйл бий. Хэрэв бид иррационал тоог 0-ээр үржүүлбэл 0 оновчтой тоог авна.

Мөн π

Тиймээс иррационал тооны олонлог нь ялгаа юм I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \арын налуу зураас \mathbb (Q) )бодит ба рационал тоонуудын багц.

Иррационал тоонууд, илүү тодорхой хэлбэл, нэгж урттай хэрчмүүдтэй харьцуулашгүй сегментүүд байдаг нь эртний математикчдад аль хэдийн мэдэгдэж байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан. тооны иррациональ байдал 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Үл хөдлөх хөрөнгө

• Хоёр эерэг иррационал тооны нийлбэр нь рационал тоо байж болно.
• Иррационал тоо нь доод ангид хамгийн их тоогүй, дээд ангид хамгийн бага тоогүй рационал тоонуудын багц дахь Дедекинд хэсгүүдийг тодорхойлдог.
• Иррационал тоонуудын багц нь тоон шулуун дээр хаа сайгүй нягт байдаг: дурын хоёр ялгаатай тооны хооронд иррационал тоо байдаг.
• Иррационал тооны олонлог дээрх дараалал нь бодит трансцендент тооны олонлогийн дараалалтай изоморф байна. [ ]

Алгебрийн болон трансцендент тоо

Иррационал тоо бүр нь алгебр эсвэл трансцендентал байдаг. Алгебрийн тооны олонлог нь тоолж болох олонлог юм. Бодит тооны олонлог тоолох боломжгүй тул иррационал тооны олонлогийг тоолж баршгүй.

Иррационал тоонуудын багц нь хоёр дахь ангиллын олонлог юм.

Боломжит тэгш байдлыг квадрат болгоё:

Өгүүллэг

Эртний үе

Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750-690 онд) 2 ба 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй болохыг олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан [ ] .

Иррационал тоо, илүү нарийвчлалтай харьцуулшгүй сегментүүд байсны анхны нотолгоо нь ихэвчлэн Метапонтумын Пифагорын Гиппасустай холбоотой байдаг (ойролцоогоор МЭӨ 470 он). Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд бүхэл тооны удаа ордог. ] .

Хиппас аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг нотолсон тодорхой мэдээлэл байхгүй байна. Домогт өгүүлснээр тэрээр таван хошууны хажуугийн уртыг судалснаар олсон байна. Тиймээс энэ нь ердийн таван өнцөгт дэх диагональ ба хажуугийн харьцаа тул үүнийг алтан харьцаа гэж үзэх нь үндэслэлтэй юм.

Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг alogos(Үгээр хэлэхийн аргагүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр тэд Хиппасусыг зохих ёсоор хүндэтгэдэггүй байв. Хиппас далайд аялж байхдаа энэ нээлтийг хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх биетүүдийг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харьцаа болгон бууруулж болно гэсэн сургаалыг үгүйсгэсэн орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосноос" болж шидсэн гэсэн домог байдаг. Хиппасыг нээсэн нь Пифагорын математикийн хувьд ноцтой асуудал үүсгэж, тоонууд болон геометрийн биетүүд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн үндсэн таамаглалыг устгасан.

Хожим нь Книдын Евдокс (МЭӨ 410 эсвэл 408 он - МЭӨ 355 эсвэл 347 он) оновчтой ба иррациональ харилцааг харгалзан үзсэн пропорцын онолыг боловсруулсан. Энэ нь иррационал тооны үндсэн мөн чанарыг ойлгох үндэс суурь болсон. Тоо хэмжээ нь тоо биш, харин шугамын хэсэг, өнцөг, талбай, эзлэхүүн, цаг хугацааны интервал зэрэг объектуудын тэмдэглэгээ гэж үзэж эхэлсэн - тасралтгүй өөрчлөгдөж болох объектууд (орчин үеийн утгаараа). Нэг тооноос нөгөө тоо руу, жишээ нь 4-өөс 5 хүртэл "үсрэх" замаар л өөрчлөгддөг тоонуудын хэмжээ нь тоонуудаас ялгаатай байсан. Тоонууд нь хамгийн бага хуваагдашгүй хэмжигдэхүүнээс бүтдэг бол хэмжигдэхүүнийг тодорхойгүй хугацаагаар багасгаж болно.

Хэмжигдэхүүнтэй ямар ч тоон утга хамааралгүй тул Евдокс бутархайг хоёр хэмжигдэхүүний харьцаа, пропорцийг хоёр бутархайн тэгш байдал гэж тодорхойлохдоо харьцуулсан болон үл хэмжигдэхүүнийг хоёуланг нь хамарч чадсан. Тэгшитгэлээс тоон утгыг (тоо) хассанаар тэрээр иррационал хэмжигдэхүүнийг тоо гэж нэрлэх урхинаас зайлсхийсэн. Евдоксийн онол нь Грекийн математикчдад геометрийн чиглэлээр гайхалтай ахиц дэвшил гаргах боломжийг олгож, тэдэнд зүйрлэшгүй хэмжигдэхүүнтэй ажиллахад шаардлагатай логик үндэслэлийг бий болгосон. Евклидийн элементүүдийн арав дахь ном нь иррационал хэмжигдэхүүнүүдийн ангилалд зориулагдсан болно.

Дунд насны

Дундад зууны үе нь тэг, сөрөг тоо, бүхэл тоо, бутархай гэх мэт ойлголтуудыг анх Энэтхэг, дараа нь Хятадын математикчид хүлээн авснаараа онцлог юм. Хожим нь Арабын математикчид нэгдэж, сөрөг тоог анх удаа алгебрийн объект (эерэг тоонуудын хамт) гэж үзсэн нь одоо алгебр гэж нэрлэгддэг салбарыг хөгжүүлэх боломжтой болсон.

Арабын математикчид эртний Грекийн "тоо" ба "хэмжээ" гэсэн ойлголтуудыг нэгтгэж, бодит тоонуудын нэг, илүү ерөнхий санаа болгожээ. Тэд Евклидийн харилцааны талаархи санаа бодлыг шүүмжилж, эсрэгээрээ дурын хэмжигдэхүүнүүдийн харилцааны онолыг боловсруулж, тооны тухай ойлголтыг тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харилцаа болгон өргөжүүлсэн. Персийн математикч Аль Махани (МЭ 800 он орчим) Евклидийн ном 10 элементийн талаархи тайлбартаа квадрат иррационал тоо (хэлбэрийн тоо) болон илүү ерөнхий куб иррационал тоонуудыг судалж, ангилсан байдаг. Тэрээр рационал ба иррационал хэмжигдэхүүнүүдийг тодорхойлсон бөгөөд түүнийг иррационал тоо гэж нэрлэсэн. Тэрээр эдгээр объектуудыг хялбархан ажиллуулж байсан боловч тэдгээрийг тусдаа объект гэж ярьсан, жишээлбэл:

Хэмжигдэхүүн нь үндсэндээ шугамын хэрчмүүд гэсэн Евклидийн үзэл баримтлалаас ялгаатай нь Аль Махани бүхэл тоо ба бутархайг рационал хэмжигдэхүүн, квадрат ба шоо язгуурыг иррациональ гэж үзсэн. Тэрээр дараахь хэмжигдэхүүнүүдийн иррационалийг харуулсан хүн байсан тул иррационал тооны олонлогт арифметик хандлагыг нэвтрүүлсэн.

Египетийн математикч Абу Камил (МЭ 850 он - МЭ 930 он орчим) иррационал тоог квадрат тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл тэгшитгэл дэх коэффициент гэж хүлээн зөвшөөрөхийг хамгийн түрүүнд хүлээн зөвшөөрсөн - ерөнхийдөө квадрат эсвэл куб хэлбэрийн үндэс, түүнчлэн үндэс дөрөв дэх зэрэг. 10-р зуунд Иракийн математикч Аль Хашими иррационал болон рационал тоонуудын үржвэрийн иррациональ байдал, категори болон бусад математик хувиргалтын үр дүнгийн ерөнхий нотолгоог (харааны геометрийн үзүүлбэр гэхээсээ илүү) гаргажээ. Аль Хазин (МЭ 900 - МЭ 971) оновчтой ба иррационал хэмжигдэхүүний дараах тодорхойлолтыг өгсөн.

Эдгээр санаануудын ихэнхийг 12-р зуунд араб бичвэрүүдийг латин хэл рүү хөрвүүлсний дараа Европын математикчид хожим баталжээ. Исламын өв залгамжлалын хуулиудаар мэргэшсэн Магребийн Арабын математикч Аль Хассар 12-р зуунд бутархай тоон болон хуваагчийг хэвтээ баараар хуваах орчин үеийн бэлгэдлийн математик тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн. Дараа нь 13-р зуунд Фибоначчийн бүтээлүүдэд ижил тэмдэглэгээ гарч ирэв. XIV-XVI зууны үед. Сангамаграмагийн Мадхава болон Кералагийн Одон орон, математикийн сургуулийн төлөөлөгчид π гэх мэт тодорхой иррационал тоонуудад нийлдэг хязгааргүй цувааг судалж, мөн зарим тригонометрийн функцүүдийн иррационалийг харуулсан. Жестадева эдгээр үр дүнг Юктибхаза номонд танилцуулсан. (трансцендент тоо байдаг гэдгийг нотлох), ингэснээр иррационал тоонуудын ангиллын талаархи Евклидийн ажлыг дахин эргэцүүлэн бодох болно. Энэ сэдвээр бүтээлүүд 1872 онд хэвлэгдсэн

Иррационал тоотой нягт холбоотой үргэлжилсэн бутархайг (өгөгдсөн тоог илэрхийлсэн үргэлжилсэн бутархай нь зөвхөн иррациональ тохиолдолд хязгааргүй байдаг) анх 1613 онд Каталди судалж, дараа нь Эйлерийн бүтээлд дахин анхаарал хандуулсан. 19-р зууны эхэн үе - Лагранжийн бүтээлүүдэд. Дирихлет мөн үргэлжилсэн бутархайн онолыг хөгжүүлэхэд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан. 1761 онд Ламберт үүнийг харуулахын тулд үргэлжилсэн бутархайг ашигласан π (\displaystyle \pi)оновчтой тоо биш, бас тэр e x (\displaystyle e^(x))Тэгээд tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) 0-ээс бусад рационалын хувьд иррациональ байна x (\displaystyle x). Хэдийгээр Ламбертын нотлох баримтыг бүрэн бус гэж нэрлэж болох ч ерөнхийдөө, ялангуяа бичсэн цагийг нь авч үзвэл нэлээд хатуу гэж үздэг. 1794 онд Лежендре Бессел-Клиффордын функцийг нэвтрүүлсний дараа үүнийг харуулсан. π 2 (\displaystyle \pi ^(2))үндэслэлгүй, ухаангүй байдал хаанаас гардаг вэ? π (\displaystyle \pi)бага зэрэг дагадаг (рационал тоон квадрат нь оновчтой тоог өгнө).

Трансцендент тоо байдаг гэдгийг 1844-1851 онд Лиувилл нотолсон. Хожим нь Георг Кантор (1873) өөр аргыг ашиглан тэдний оршин тогтнолыг харуулсан бөгөөд бодит цувралын аль ч интервал нь хязгааргүй тооны трансцендент тоог агуулдаг гэж нотолсон. Чарльз Эрмит 1873 онд үүнийг нотолсон дтрансцендентал, 1882 онд Фердинанд Линдеманн энэхүү үр дүнд үндэслэн трансцендентийг харуулсан. π (\displaystyle \pi) Уран зохиол

Иррационал тооны багцыг ихэвчлэн том үсгээр тэмдэглэдэг Би (\displaystyle \mathbb (I))сүүдэргүй тод хэв маягаар. Тиймээс: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \арын налуу зураас \mathbb (Q) ), өөрөөр хэлбэл иррационал тооны олонлог нь бодит ба рационал тооны олонлогуудын ялгаа юм.

Иррационал тоонууд, илүү нарийвчлалтай, нэгж урттай сегменттэй харьцуулшгүй сегментүүд байгаа нь эртний математикчдад аль хэдийн мэдэгдэж байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь дөрвөлжингийн иррациональтай тэнцэх болно. дугаар.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

• 1 / 5

  Оновчгүй зүйл нь:

  Оновчгүй байдлын нотолгооны жишээ

  2-ын үндэс

  Үүний эсрэгээр гэж үзье: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))оновчтой, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгддэг m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Хаана m (\displaystyle m)нь бүхэл тоо бөгөөд n (\displaystyle n)- натурал тоо.

  Боломжит тэгш байдлыг квадрат болгоё:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Баруун сум 2=(\frac (m^(2)) ))(n^(2)))\Баруун сум m^(2)=2n^(2)).

  Өгүүллэг

  Эртний үе

  Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750 он - МЭӨ 690 он) 2 ба 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан. [ ] .

  Иррационал тоо байгаагийн анхны нотолгоог ихэвчлэн Пифагорын хүн болох Метапонтын Гиппас (МЭӨ 500 оны орчим) гэж үздэг. Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд бүхэл тооны удаа ордог. ] .

  Хиппас аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг нотолсон тодорхой мэдээлэл байхгүй байна. Домогт өгүүлснээр тэрээр таван хошууны хажуугийн уртыг судалснаар олсон байна. Тиймээс энэ нь алтан харьцаа байсан гэж үзэх үндэслэлтэй. ] .

  Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг alogos(Үгээр хэлэхийн аргагүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр тэд Хиппасусыг зохих ёсоор хүндэтгэдэггүй байв. Хиппас далайд аялж байхдаа энэ нээлтийг хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх биетүүдийг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харьцаа болгон бууруулж болно гэсэн сургаалыг үгүйсгэсэн орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосноос" болж шидсэн гэсэн домог байдаг. Хиппасыг нээсэн нь Пифагорын математикийн хувьд ноцтой асуудал үүсгэж, тоонууд болон геометрийн биетүүд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн үндсэн таамаглалыг устгасан.